A superfluidez é a propriedade de certos fluidos (superfluidos) que permite escoa- mento por capilaridade por tubos pequenos ou fendas sem dissipação de energia, e cuja viscosidade é nula [7]. Existe uma forte relação entre a condensação de Bose-Einstein e a ocorrência de superfluidez, e Landau (1941) mostrou que, se o espectro de excitações de um fluido obedece certas condições, haverá movimentos do fluido que não causarão dissipação de energia.
Imaginemos um corpo se movendo a uma velocidade constante v por um condensado líquido de Bose-Einstein, e vamos tentar prever pra quais velocidades é possível que esse corpo produza excitações no condensado. No referencial do fluido em repouso, o objeto exerce um potencial dependente do tempo sobre as partículas, e para simplificar essa análise trabalhamos no referencial do corpo em si.
Primeiramente, vamos analisar a transformação de energia entre referenciais, as trans- formações de Galileu. Para um sistema de energia E e momento p, a energia num refe- rencial se movendo com velocidade v é
E(v) = E − p · v + 1 2M v
2
. (3.51)
Para um condensado no estado fundamental (energia E0 e momento zero) a massa
total é M = N m. Logo, no referencial se movendo com v temos
E(v) = E0+
1 2N mv
2. (3.52)
do fluido é
Eex = E0+ p, (3.53)
e a energia no referencial se movendo com o obstáculo seria
Eex(v) = E0+ p− p · v +
1 2N mv
2.
(3.54)
Comparando esse valor com 3.52 vemos que a energia necessária para ocorrer uma excitação no referencial se movendo com o objeto é p− p · v, mas, como no referencial do
corpo o potencial produzido por ele é estático, não há transferência de energia do corpo para o fluido e essas excitações só ocorrerão espontaneamente caso sejam energeticamente favoráveis, ou seja
p− p · v ≤ 0. (3.55)
Logo, se temos
v = p
p (3.56)
seria possível criar excitações com momento paralelo a v, por exemplo. Além disso, velocidades maiores podem criar excitações cujo momento tem ângulo cos−1(p/pv). Por
outro lado existe um valor mínimo de velocidade dado por
vc = min
p p
(3.57)
abaixo do qual 3.55 não seria satisfeito, e seria impossível criar excitações, de tal forma que não haveria um mecanismo de atenuação do movimento do condensado, e o líquido exibiria superfluidez.
Num condensado de Bose-Einstein com interações locais, vimos que o espectro de energia é ~ω(q) = r ~2q2 2m ~2q2 2m + 2µ , (3.58)
para um dado momento ~q, e temos
vmin = lim p→0 p p = r µ m (3.59)
que corresponde a velocidade do som no condensado. É importante notar que as interações são fundamentais para a ocorrência da superfluidez num condensado de Bose-Einstein, pois o gás de bósons ideal teria velocidade de fase p/2m, que vai a zero quando p = 0.
Outro ponto importante é que nem sempre a velocidade mínima de fase está associada com excitações de energia tendendo a zero. No condensado com interações não-locais
Figura 11: Espectro de excitações tridimensional com a reta que passa pelo ponto de vmin, a partir do
qual podem surgir excitações no movimento do fluido.
observamos a formação de um maxon e de um roton, e dependendo da intensidade da interação esse roton pode ter valores cada vez menores. Caso a energia associada ao roton seja tal que
roton proton < lim p→0 ep p (3.60)
teremos uma velocidade mínima menor que estará associada a excitações não-nulas, e é isso que ocorre nos casos de interações soft-core que tratamos nesse capitulo. No caso tridimensional por exemplo, note que todos os pontos abaixo da linha do limite linear para q pequeno terão velocidades de fase associadas menores que o que naturalmente se espera para o mínimo com interações locais. O novo mínimo é dado pela velocidade associada ao roton, como podemos ver na figura 11.
Essa característica de sistemas com espectros exóticos como o do soft-core indica que deve haver algum tipo de transição de fase para certos valores de α, como pretendemos analisar no próximo capítulo.
4
Diagramas de Fase
O espectro de excitações do condensado com interações soft-core, como vimos, tem uma região de oscilação em que ocorrem um roton e um maxon. A medida que a interação vai ficando mais forte, ou seja, o α do espectro de excitações vai aumentando, vemos que o roton e o maxon vão ficando cada vez mais acentuados, até que chega um ponto no qual o roton toca o eixo horizontal q. O valor de α em que isso ocorre é de extrema importância, já que se o α continuar aumentando de valor a partir desse ponto uma parte cada vez maior do espectro teria energias complexas e não seria físico.
Pela forma diferenciada do espectro para cada grau dimensional vemos que os α∗,
onde ocorre o ponto crítico, também são diferentes. Neste capítulo iremos nos concentrar no caso bidimensional e observar a transição de fase do condensado relacionado ao α∗, e
veremos que este apresentará características de um supersólido (que discutiremos mais à frente).
4.1
α
∗e transição de fase
É fácil observar computacionalmente qual seria o α∗ para um dado grau de dimensão,
já que gráfico gerado tem uma certa sensibilidade aos valores de α e vemos que o ponto de transição é o último valor de α no qual não ocorrem valores complexos de ~˜ω(q). Em duas dimensões esse valor é α∗ = 14.74, e na figura 12 vemos o espectro para esse valor.
A medida que α se aproxima de α∗, há um estado de excitação q com energia associada
tendendo a zero. Nesse ponto de transição esse estado excitado será tão energeticamente favorável de ocorrer quanto o estado sem excitações, que correspondia ao nosso estado fundamental. Isso indica que deve ocorrer o surgimento de um novo estado fundamental modulado por uma excitação associada a esse q, ou seja, teremos uma componente do sistema com uma densidade variando periodicamente.
Figura 12: Valor de α∗ para duas dimensões
Figura 13: Expectativa qualitativa da densidade do sistema para uma dimensão (esquerda) e para duas dimensões vista de cima (direita).
constante para uma variação senoidal, não havendo uma transição de fase física, mas em duas dimensões esperamos que a geometria do sistema passe de um condensado homogêneo a uma cadeia de picos e vales com simetria triangular (hexagonal) [9].
Esse tipo de geometria é a forma mais eficiente de distribuição de corpos esféricos em um plano, que é o que esperamos que ocorra quando o sistema for modulado por vibrações de um determinado momento. Na figura 13 vemos como seria a distribuição de densidade para uma e duas dimensões.
Esse novo estado fundamental tem uma forma extremamente diferente do que o estado homogêneo anterior, e vemos que há uma quebra da simetria translacional que havia no estado superfluido de forma que ela agora é quantizada, sendo definida agora pelos vetores primitivos da rede de Bravais associada.
O objetivo, então, será calcular numericamente a forma da função de onda, para duas dimensões, que minimiza a energia para diferentes valores de α e então encontrar o ponto de transição em que se torna mais favorável energeticamente a modulação da densidade do condensado, em vez do estado totalmente homogêneo.
É importante ressaltar que, apesar de não abordarmos nesse trabalho, essa transição de fase em três dimensões é bem mais complicada que o caso bidimensional. Enquanto em duas dimensões temos argumentos de otimização que indicam uma rede triangular como sendo a distribuição da densidade na fase supersólida, em três não é tão simples definir a competição entre estruturas BCC ou FCC por exemplo. Um estudo do espectro de excitação de um condensando de bósons com interações soft-core e organização FCC pode ser visto em [10], e a questão da transição de fase supersólida em um condensado com átomos de Rydberg excitados é abordada em [11].
4.2
Teorema de Bloch
No regime de modulação da densidade do sistema esperamos que a função de onda (e consequentemente o potencial de interação Uint(r) =R dr0U (r˜ 0−r)|ψ(r0)|) seja periódica,
e pelo teorema de Bloch uma solução para o Hamiltoniano H = −~2∇2/2m + U
int(r) será
da forma
ψ(r) = eiq·ru(r), (4.1)
onde u(r) é uma função periódica tal que
u(r + R) = u(r), (4.2)
com R sendo um vetor da rede de Bravais associada ao sistema modulado [8].
Uma outra forma de se expressar esse teorema é que as soluções deverão ter a forma
ψ(r + R) = eiq·Rψ(r). (4.3)
Uma demonstração do teorema de Bloch pode ser dada analisando a ação dos opera- dores de translação TR para R pertencentes a rede de Bravais, que ao atuarem em uma
função deslocam seu argumento de R, ou seja:
Como H é periódico, então H(r + R) = H(r) e temos
TRHψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) = HTrψ. (4.5)
Como essa equação vale para qualquer solução ψ(r), vemos que TR e H comutam.
Já que esses operadores comutam, os autoestados de H também são autoestados de TR, ou seja,
Hψ = εψ (4.6)
Trψ = c(R)ψ. (4.7)
Levando em conta que translações sucessivas R e R0 correspondem a uma translação total R + R0, ou seja, TRTR0 = TR+R0, os autovalores de TR devem satisfazer
c(R + R0) = c(R)c(R0). (4.8)
Olhando agora para os vetores primitivos da rede de Bravais dados por ai, podemos
sempre encontrar um valor de xi tal que c(ai) possa ser escrito como
c(ai) = e2πixi. (4.9)
Com isso, se tomarmos um vetor da rede de Bravais qualquer R = n1a1+ n2a2+ n3a3
teremos
c(R) = c(ai)n1c(a2)n2c(a3)n3 (4.10)
= e2πi(x1n1+x2n2+x3n3) (4.11)
= eiq·R, (4.12)
com q = x1b1 + x2b2 + x3b3, onde bi são os vetores primitivos da rede recíproca que
satisfazem a equação
bi· aj = 2πδij. (4.13)
Podemos concluir por essa discussão que os autoestados de H são de tal forma que, dado um vetor da rede de Bravais R, temos
TRψ(r) = ψ(r + R) = c(R)ψ(r) = eiq·Rψ(r), (4.14)
O vetor q pode em princípio ser complexo, mas usando as condições de contorno de um sistema físico finito temos
ψ(r + Niai) = ψ(r), i = 1, 2, 3 (4.15)
onde N1N2N3 = N é o número total de células unitárias da rede. Comparando com 4.3
concluímos que
eiNiq·ai = 1, (4.16)
e pela forma de q, isso implica
e2πiNixi = 1, (4.17) e temos então xi = mi Ni , (4.18)
com mi inteiro, e a forma geral de uma onda permitida q é
q = 3 X i=1 mi Ni bi. (4.19)
É fácil ver que sempre podemos escrever q = q0 + Q onde Q é um vetor da rede recíproca, logo sempre podemos reduzir qualquer q para um vetor na primeira zona de Brillouin.
4.3
Algoritmo de minimização da energia
Uma forma de analisar o estado fundamental do sistema no regime supersólido é reali- zar um cálculo computacional da expansão de Fourier da função de onda [17], lembrando que queremos resolver o problema bidimensional.
Partindo da equação de Gross-Pitaevskii independente do tempo com uma interação não local, − ~ 2 2m∇ 2ψ(r) + Z dr0V (r − r0)|ψ(r0)|2ψ(r) = µψ(r), (4.20) onde a normalização de ψ(r) é N = Z dr |ψ(r)|2, (4.21)
vamos procurar uma solução com a periodicidade da rede cristalina triangular, que é o que esperamos na transição de fase. Logo, pelo teorema de Bloch a função de onda pode
ser escrita como
ψ(r) = eiq·rφ(r) (4.22)
onde φ(r) é uma função periódica que satisfaz a periodicidade da rede, ou seja, φ(r + n1a1 + n2a2) = φ(r) com n1, n2 inteiros e a1, a2 sendo os vetores primitivos da rede de
Bravais associada. Isso implica que podemos fazer uma expansão de Fourier de φ(r) de forma que
ψ(r) = eiq·rX
G
CGeiG·r, (4.23)
com G correspondendo a vetores da rede recíproca e CG o coeficiente associado.
Como estamos procurando soluções nos estado fundamental (de mínimo momento), podemos assumir |q| = 0. Substituindo 4.23 em 4.20 e multiplicando ambos os lados da equação porRcel.u.dre−iG·r, chegamos a
h ~2 2mG 2 + n 0V (0)˜ i CG+ X ∆G6=0 S∆GCG+∆G= µCG (4.24) S∆G≡ ˜V (∆G) X G0 CG∗0+∆GCG0, (4.25)
onde usamos a condição de ortogonalidade 1
S Z
cel.u.
dr e−i(G−G0)·r = δG,G0 (4.26)
com S correspondendo a área da célula unitária e também a condição de normalização, que implica na densidade n0 ser
n0 =
X
G
|CG|2. (4.27)
Usamos também a transformada de Fourier da interação,
˜ V (k) =
Z
dr e−ik·rV (r), (4.28) que como já vimos no caso de interações soft-core toma a forma
˜
V (k) = 2πU0R20
J1(kR0)
kR0
. (4.29)
vetores unitários da rede e a área da célula unitária será a1 = λˆi (4.30) a2 = λ 2(ˆi + √ 3ˆj) (4.31) S = √ 3 4 λ 2 , (4.32)
onde λ é a distância mínima entre dois pontos periódicos.
O problema computacional se reduz então a procurar os valores de λ e CG que mini-
mizem a energia por partícula, dada por E N = ~2 2mNcel.u. Z cel.u. dr|∇ψ(r)|2+ 1 2Ncel.u. Z drdr0V (r − r0)|ψ(r0)|2|ψ(r)|2 = ~ 2 2mn0 X G G2|CG|2+ 1 2n0 X G1,G2,G3 ˜ V (G1− G3)CG∗1+G2−G3C ∗ G3CG2CG1. (4.33)
Para simplificar o tratamento matemático vamos escalar as equações de forma que fiquem adimensionais. Escalando as distâncias em R0 e escrevendo tudo em função do
coeficiente de interação α = n0U0mR40/~2 e da densidade escalada ˜n = n0R20 chegamos a
seguinte equação para os coeficientes:
hG2 2 + πα i CG+ X ∆G6=0 S∆GCG+∆G= ˜µCG, (4.34) onde S∆G= ˜V (∆G) P G0CG∗0+∆GCG0 ˜ n (4.35)
com ˜V (k) = 2παJ1(k)/k, e finalmente a expressão para a energia por partícula fica
˜ E N = 1 2˜n X G G2|CG|2+ 1 2˜n2 X G1,G2,G3 ˜ V (G1− G3)CG∗1+G2−G3C ∗ G3CG2CG1. (4.36)
O procedimento, então, é resolver o problema dos autovalores da equação 4.34 para µ numericamente, porém levando em conta que 4.34 é um sistema não-linear. Para isso, resolvemos de forma auto-consistente, o processo resumido nos seguintes passos:
1. Para um dado valor de α, escolha um valor apropriado de λ.
2. Escolha valores iniciais apropriados para os coeficientes {CG}
3. Substitua os valores {CG} em S∆G na equação 4.34 e diagonalize-a numericamente.
5. Escolha os {CG} do estado de menor energia.
6. Itere os passos 3. a 5. até haver convergência.
7. Escolha um valor diferente de λ que possa minimizar a energia total por partícula.
8. Itere 2. a 7. até haver convergência.
O algoritmo em Python usado pode ser encontrado no apêndice A.
4.4
Resultados
Foram calculadas as energias mínimas para vários valores de α, obtendo-se resultados com precisão na segunda casa decimal. Essa precisão se mostrou suficiente para os valores adimensionais de energia e de distância associados. Um ponto importante de citar é que a aproximação de campo médio utilizada tem que ser coerente com o sistema simulado, o que ocorre se usarmos densidades grandes o suficiente para que as distâncias entre partículas não sejam relevantes no cálculo da energia de interação. Para isso, usamos n0R20 = 4.4. Essa abordagem foi a usada em [9].
A energia por partícula do sistema superfluido homogêneo é simples de se prever, e corresponde ao cálculo da energia por partícula para |ψ(r)|2 = n
0 e energia cinética nula,
que adimensionalmente em função de α = α0n0R20 será
˜ E0 N = 1 2N Z drdr0V (r − r0)|ψ(r)|2|ψ(r0)|2 (4.37) = 1 2n0 Z dr0α0Θ(R0− |r − r0|) (4.38) = α 0 n0πR20 2 (4.39) = πα 2 . (4.40)
Usamos esse valor como base para comparação com os valores obtidos no algoritmo, e na figura 14 podemos ver que há um ponto em que a menor energia por partícula se torna menor do que a prevista para o estado homogêneo, e é nesse ponto que ocorre a transição. O ponto de transição é αc= 12.66, como podemos ver mais claramente na figura 15.
Esse valor de αc é menor do que o indicado pelo espectro de excitação do condensado,
que vimos ser α∗ = 14.74, o que é algo extremamente interessante. Isto aponta que o
mecanismo de formação do supersólido é só em parte contido na abordagem do espectro de excitações.
Figura 14: Gráfico da energia por partícula em função de α, onde observamos uma queda da energia em relação ao estado superfluido homogêneo.
Figura 15: Diferença entre a energia do estado superfluido e supersólido em relação a α, onde vemos claramente o ponto de transição de fase.
Figura 16: Densidade do estado fundamental para diferentes valores de α.
A estrutura do supersólido pode ser observada na figura 16, onde se vê claramente os sítios na rede triangular. A medida que α cresce observa-se uma diminuição pequena da distância entre os sítios também, pois para α = 13.0, por exemplo, λ = 1.51 enquanto para α = 39.9 tivemos λ = 1.45. A vizinhança das transições de fase são muitas vezes complicadas de se tratar computacionalmente devido aos aspectos de descontinuidade (a derivada da energia é descontínua no ponto de transição, como é fácil ver no gráfico), e se espera uma maior confiabilidade no gráfico a partir de α = 12.8 ou α = 12.9.
Sendo a energia por partícula o parâmetro externo que indica a transição de fase e levando em conta que α é o agente da transição (não a temperatura, que é constante e igual a 0 K), essa transição é de primeira ordem, de um estado líquido para um sólido e havendo coexistência das duas fases (esse aspecto não é abordado nesse trabalho).
Como já foi citado, há uma quebra da simetria translacional do sistema ao mesmo tempo que há a quebra da simetria global de gauge. Esse último aspecto mantém a coerência de fase a longas distâncias e possibilita a superfluidez do cristal, daí o nome supersólido. A superfluidez se expressa pelo “hopping” de partículas entre cada aglomerado de partículas da rede.
5
Conclusões
Neste trabalho abordamos o surgimento e a equação dos autoestados de um con- densado de Bose-Einstein. Partindo da distribuição de Bose pudemos ver a implicação matemática de que para certos valores de µ e de T qualquer número de partículas acima de um valor Ncocuparam o estado fundamental, cuja ocupação pode crescer arbitrariamente,
surgindo assim o condensado de Bose-Einstein.
Em seguida, usando uma aproximação de campo médio, derivamos a equação de Gross-Pitaveskii para bósons com interação local. Usando a GPE resolvemos o problema de um condensado em uma armadilha harmônica de duas maneiras, primeiro por um cálculo variacional partindo de uma solução gaussiana e logo em seguida usando a apro- ximação de Thomas-Fermi, na qual ignoramos o termo de energia cinética. Analisamos também o condensado contido em uma caixa e a distância ξ entre a parede e o ponto a partir do qual o condensado é homogêneo, chamado também de comprimento de “healing”.
No capítulo 3 abordamos o problema de pequenas excitações no estado fundamental do condensado por meio de excitações de Bogoliubov, tanto para interações locais quanto para interações soft-core. Observamos o surgimento de um maxon e um roton no espectro de excitações do caso soft-core, e que a partir de um certo valor da intensidade da interação o roton toca o eixo indicando que existem excitações com valor nulo de energia associados, indicando uma modulação da densidade do sistema como um estado energeticamente mais favorável que o homogêneo.
No último capítulo analisamos a transição de fase que ocorre quando a modulação da densidade se torna favorável, e usando simulações numéricas conseguimos definir o ponto de transição do estado superfluido para o supersólido de um condensado de bósons com interação soft-core, observando que o ponto de transição achado é menor que o previsto pelo espectro de excitações de Bogoliubov.
APÊNDICE A -- Código de minimização
Neste apêndice temos o código em Python usado para calcular o valor das energias dos estados fundamentais para diferentes valores de α. Ele está organizado de forma que após calcular as energias mínimas ele guarda em um documento o valor dessa energia, a distância λ associada e o α.
A variável coefs_dim, que usamos igual a 7, corresponde a quantidade de coeficientes por dimensão, ou seja, definindo Cab como sendo o coeficiente associado ao termo de vetor
q = ab1+ bb2 da rede recíproca, indica que usamos todos os coeficientes que vão de C−3−3
a C33 (igual a 72 = 49 coeficientes).
Importante notar que inicialmente organizamos os coeficientes em uma matriz, porém a função de diagonalização retorna vetores unidimensionais, e em qualquer momento no qual usamos o vetor de coeficientes ele estará organizado da forma
[C−3−3, C−3−2, . . . , C−33, C−2−3, . . . , C3,2, C33].
Observe que a cada loop da variável α conseguimos também o autoestado de menor energia associado, que pode ser usado para gerar o gráfico levando em conta que cada item do vetor corresponde a um dos coeficientes da expansão de Fourier da solução. O código está a seguir:
1 # −∗− c o d i n g : u t f −8 −∗− 2 """ 3 @author : V i c t o r 4 """ 5 6 import numpy a s np 7 import numpy . l i n a l g a s LA 8 import s c i p y . s p e c i a l a s s p c 9 10 d a t a = open ( " dados . t x t " , "w" )# g u a r d a o s r e s u l t a d o s d a s s i m u l a c o e s 11 d a t a . w r i t e ( " a l p h a ␣lambda_min␣ e n e r g i a _ m i n " ) 12 n_0 = 4 . 4 #d e n s i d a d e a d i m e n s i o n a l 13 c o e f s _ d i m = 7 #q u a n t i d a d e de c o e f i c i e n t e s p o r dimensao 14
15 x = np . l i n s p a c e ( 0 . , 1 0 . , 5 0 0 ) 16 y = np . l i n s p a c e ( 0 . , 1 0 . , 5 0 0 ) 17 X, Y = np . m e s h g r i d ( x , y ) 18 19 def V_four ( a l p h a , Dg , b1 , b2 ) : 20 g = Dg [ 0 ] ∗ b1+Dg [ 1 ] ∗ b2 21 i f Dg != [ 0 , 0 ] :
22 return 2∗ np . p i ∗ a l p h a ∗ s p c . j 1 (LA . norm ( g ) ) /LA . norm ( g ) 23 e l s e : 24 return np . p i ∗ a l p h a 25 26 def S_Dg( c o e f s , a l p h a , Dg , b1 , b2 ) : 27 D c o e f s = np . r o l l ( c o e f s , Dg [ 0 ] , a x i s =0) 28 D c o e f s = np . r o l l ( D c o e f s , Dg [ 1 ] , a x i s =1) 29 r e s u l t = np . sum( np . c o n j ( c o e f s [ Dg [ 0 ] i f Dg[ 0 ] > 0 e l s e 0 : Dg [ 0 ] i f Dg[ 0 ] < 0 e l s e coefs_dim , Dg [ 1 ] i f Dg[ 1 ] > 0 e l s e 0 : Dg [ 1 ] i f Dg[ 1 ] < 0 e l s e c o e f s _ d i m ] ) ∗ D c o e f s [ Dg [ 0 ] i f Dg[ 0 ] > 0 e l s e 0 : Dg [ 0 ] i f Dg[ 0 ] < 0 e l s e coefs_dim , Dg [ 1 ] i f Dg[ 1 ] > 0 e l s e 0 : Dg [ 1 ] i f Dg[ 1 ] < 0 e l s e c o e f s _ d i m ] ) 30 r e s u l t ∗= V_four ( a l p h a , Dg , b1 , b2 ) /n_0 31 return r e s u l t 32 33 f o r a l p h a in np . a r a n g e ( 1 . 0 , 3 0 . 0 , 0 . 1 ) : 34 min_lbda = 0 35 min_lbda_energy = f l o a t ( " i n f " ) 36 f o r l b d a in np . a r a n g e ( 1 . 0 , 1 . 9 , 0 . 1 ) : 37 c o n t=0 38 b1 , b2 = 2∗ np . p i ∗np . a r r a y ( [ 1 . 0 / l b d a , − 1 . 0 / ( np . s q r t ( 3 ) ∗ l b d a ) ] ) , 2∗ np . p i ∗np . a r r a y ( [ 0 , 2 . 0 / ( np . s q r t ( 3 ) ∗ l b d a ) ] ) #v e t o r e s p r i m i t i v o s da r e d e r e c i p r o c a 39 40 c o e f _ g s = np . s q r t ( n_0/ c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 ) ∗np . o n e s ( ( coefs_dim , c o e f s _ d i m ) , d t y p e=np . c f l o a t ) #i n i c i a l i z a c a o d o s c o e f i c i e n t e s 41 42 l a s t _ m i n _ e n e r g y = 0 43 l a s t _ m i n _ e i g = np . z e r o s ( c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 , d t y p e=np . c f l o a t )# g u a r d a r a o e s t a d o de menor e n e r g i a , c a s o s e q u e i r a p l o t a r 44 while True : 45 l i n _ s y s t e m = np . z e r o s ( ( c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 , c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 ) , d t y p e=np . c f l o a t ) # i n i c i a l i z a c a o da m a t r i z do s i s t e m a l i n e a r 46 f o r i in xrange ( c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 ) : 47 f o r j in xrange ( c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 ) : 48 Dg = [ j // c o e f s _ d i m − i // c o e f s _ d i m , j%c o e f s _ d i m − i%c o e f s _ d i m ] 49 l i n _ s y s t e m [ i , j ] += S_Dg( c o e f _ g s , a l p h a , Dg , b1 , b2 ) 50 i f Dg == [ 0 , 0 ] :
51 l i n _ s y s t e m [ i , j ]+= 0 . 5 ∗LA . norm ( ( i // c o e f s _ d i m − ( coefs_dim −1) / / 2 ) ∗ b1 + ( i%c o e f s _ d i m − ( coefs_dim −1) / / 2 ) ∗ b2 ) ∗∗2
52 e i g _ v a l , e i g _ v e c s = LA . e i g ( l i n _ s y s t e m ) 53 e i g _ v e c s = np . s q r t ( n_0 ) ∗ e i g _ v e c s
54 #assumimos uma o r g a n i z a c a o r e g u l a r do v e t o r d o s c o e f i c i e n t e s de forma que 55 #cada coefs_dim v a l o r e s co rre sp ond em a uma l i n h a da m a t r i z d o s c o e f i c i e n t e s 56
57 min_energy = f l o a t ( " i n f " ) 58 min_eig = e i g _ v e c s [ : , 0 ]
59 f o r i in xrange ( c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 ) : #p e r c o r r e m o s cada a u t o v e t o r o b t i d o e s e l e c i o n a m o s o com menor e n e r g i a a s s o c i a d a
60 e n e r g y = 0
61 c u r r e n t _ e i g = e i g _ v e c s [ : , i ]
62 c u r r e n t _ e i g = np . r e s h a p e ( c u r r e n t _ e i g , ( coefs_dim , c o e f s _ d i m ) ) 63 f o r j 1 in xrange ( c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 ) :
64 e n e r g y+=LA . norm ( ( j 1 // c o e f s _ d i m − ( coefs_dim −1) / / 2 ) ∗ b1+( j 1%c o e f s _ d i m − ( coefs_dim −1) / / 2 ) ∗ b2 ) ∗∗2 ∗ np . abs ( e i g _ v e c s [ j 1 , i ] ) ∗∗2 65 f o r j 2 in xrange ( c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 ) : 66 dg1g2 = [ j 1 // c o e f s _ d i m − j 2 // coefs_dim , j 1%c o e f s _ d i m − j 2% c o e f s _ d i m ] 67 e n e r g y += S_Dg( c u r r e n t _ e i g , a l p h a , dg1g2 , b1 , b2 ) ∗np . c o n j ( e i g _ v e c s [ j 2 , i ] ) ∗ e i g _ v e c s [ j 1 , i ] 68 e n e r g y /= 2∗n_0 69 i f e n e r g y < min_energy : 70 min_energy = e n e r g y 71 min_eig = e i g _ v e c s [ : , i ] 72 c o n t+=1
73 i f abs ( l a s t _ m i n _ e n e r g y − min_energy ) < 0 . 0 1 and LA . norm ( l a s t _ m i n _ e i g − min_eig ) < 0 . 1 : 74 break 75 l a s t _ m i n _ e n e r g y = min_energy 76 l a s t _ m i n _ e i g = min_eig 77 c o e f _ g s = np . r e s h a p e ( min_eig , ( coefs_dim , c o e f s _ d i m ) ) #r e i n s e r i m o s o v e t o r de menor e n e r g i a p a r a o proximo l o o p 78
79 i f abs ( l a s t _ m i n _ e n e r g y ) < abs ( min_lbda_energy ) : 80 min_lbda_energy = l a s t _ m i n _ e n e r g y
81 min_lbda = l b d a
82 Z = np . z e r o s (X . shape , d t y p e=np . complex ) 83 f o r i in xrange ( c o e f s _ d i m ∗ ∗ 2 ) :
84 Z+= l a s t _ m i n _ e i g [ i ] ∗ np . exp ( 1 j ∗ ( ( ( i // coefs_dim −( coefs_dim −1) / / 2 ) ∗ b1 [ 0 ] + ( i% c o e f s _ d i m − ( coefs_dim −1) / / 2 ) ∗ b2 [ 0 ] ) ∗X + ( ( i // c o e f s _ d i m − ( coefs_dim −1) / / 2 ) ∗ b1 [ 1 ] + ( i%c o e f s _ d i m − ( coefs_dim −1) / / 2 ) ∗ b2 [ 1 ] ) ∗Y) )
85 86 print ( " a l p h a ␣=␣ "+s t r ( a l p h a )+" , ␣ lambda ␣=␣ "+s t r ( l b d a )+" , ␣ e n e r g y ␣=␣ "+s t r ( l a s t _ m i n _ e n e r g y )+" , ␣ l o o p s ␣=␣ "+s t r ( c o n t ) ) 87 88 d a t a . w r i t e ( s t r ( a l p h a )+" ␣ " +s t r ( min_lbda )+" ␣ "+s t r ( min_lbda_energy )+" \n" ) 89 d a t a . c l o s e ( )
Referências
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