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Estudo de interações locais e soft-core em condensados de Bose-Einstein

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Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Física

Bacharelado em Física

Estudo de Interações Locais e Soft-Core em

Condensados de Bose-Einstein

Victor Santos de Souza

Natal, RN, Brasil 2018

(2)

Estudo de Interações Locais e

Soft-Core em

Condensados de Bose-Einstein

Monografia de Graduação apresentada ao Curso de Bacharelado em Física do Depar-tamento de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-cial para obtenção do grau de Bacharel em Física.

Curso: Bacharelado em Física

Orientador: Prof. Dr. Tommaso Macrì

Natal, RN, Brasil

(3)

Souza, Victor Santos de.

Estudo de interações locais e soft-core em condensados de Bose-Einstein / Victor Santos de Souza. - 2018.

64f.: il.

Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Física Teórica e Experimental, Bacharelado em Física. Natal, 2018.

Orientador: Tommaso Macrì.

1. Física Monografia. 2. Condensados de BoseEinstein -Monografia. 3. Potenciais soft-core - -Monografia. 4. Equação de GrossPitaevskii Monografia. 5. Aproximação de Bogoliubov -Monografia. I. Macrì, Tommaso. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 53

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

(4)

Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Física

Bacharelado em Física

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Monografia de

Graduação:

Estudo de Interações Locais e

Soft-Core em

Condensados de Bose-Einstein

elaborada por

Victor Santos de Souza

Como requisito parcial para o obtenção do título de BACHAREL EM FÍSICA

COMISSÃO EXAMINADORA:

Prof. Dr. Tommaso Macrì - Orientador, UFRN

Prof. Dr. João Medeiros de Araújo, UFRN

Prof. Dr. Leonardo Dantas Machado, UFRN

(5)
(6)

Agradeço a minha família que sempre me apoiou não importando as circunstâncias, a meu orientador Prof. Dr. Tommaso Macrì cuja motivação e contribuição foi mais que essencial, a Gislene que me ajudou a rastrear e corrigir os erros que eu nunca veria, todos do grupo Quantum Many-Body Dynamics pois direta ou indiretamente construíram esse trabalho, a meus amigos Igor, Dênis e todos os outros que, estando nós no mesmo barco, ajudamos uns aos outros a remar, e em especial a Gustavo e Yuri, grandes amigos para todas as horas. Acima de tudo agradeço a Deus, Que possibilita todas as coisas.

(7)
(8)

Condensados de Bose-Einstein (BEC, sigla em inglês comumente usada) são um es-tado da matéria no qual uma fração grande do sistema de bósons está no menor eses-tado energético possível, exibindo efeitos de não-localidade e superfluidez.

Desde a primeira realização experimental de um BEC em 1995 tem havido um grande interesse por condensação de diferentes tipos de substâncias, e muitas descrições teóricas ainda tem sido desenvolvidas. Os efeitos de diferentes tipos de interações entre partículas apontam para transições de fases ainda não totalmente descritos nesse regime.

Neste trabalho analisamos o condensado de Bose-Einstein para partículas com in-terações locais e inin-terações soft-core, e no último caso observamos a transição da fase superfluida para supersólida, que ocorre para um certo valor da intensidade da interação.

Palavras-chave: Condensados de Bose-Einstein. Potenciais Soft-Core. Equação de Gross-Pitaevskii. Aproximação de Bogoliubov.

(9)

Bose-Einstein condensates are a state of matter in which a large fraction of the bosons composing the system are found in the lowest one-particle energy state, exhibiting non-locality and superfluidity.

Since it was first realized in 1995, BECs have gathered great interest in the scientific community, specially on the pursuit for condensation in new substances and their theo-retical description. The effect of different types of interactions under this regime point to phase transitions not yet fully comprehended.

In this work we analyze the Bose-Einstein condensate with both local and soft-core interactions, and on the latter we observe the superfluid-supersolid phase transition which occurs for a certain value of the interaction intensity.

Keywords: Bose-Einstein condensate. Soft-core potentials. Gross-Pitaevskii equation. Bogoliubov approximation.

(10)

1 As figuras da esquerda representam a distribuição de velocidades no experimento por Anderson et al. (1995). O gráfico a mais à esquerda está a uma temperatura logo acima da condensação; o do centro logo no início da condensação; o da direita é quase um condensado puro. Retirado de [3]. . . 2 2 Número de partículas excitadas (Nex) e Número de partículas no condensado

(N0) para um valor fixo de T . Se N = N0 + Nex > Nc há condensação de

Bose-Einstein. Baseado em [6]. . . 8 3 Expressão variacional gaussiana da energia (adimensional) por partícula para

valores diferentes de N a/aosc. . . 15

4 Estados fundamentais das aproximações variacional Gaussiana e de Thomas-Fermi para um potencial de oscilador harmônico isotrópico. ψ(r) está escalado para unidades de N1/2/(βaosc)3/2, onde β = (N a/aosc)1/5. . . 17

5 Gráfico da função de onda a partir da parede infinita no ponto x = 0. O eixo x está em unidades de ξ. . . 20 6 Potencial escalado adimensionalmente da interação dipolo-dipolo em função da

distância para θ = π/2 na primeira figura e potencial para uma distância r = 1 variando o ângulo da separação entre os dipolos na segunda figura. . . 21 7 Gráfico do espectro escalado, para α = 4πna3 = 1. Note o comportamento

linear para valores pequenos de q, onde a reta corresponde a f (˜q) = √α˜q, o comportamento para ˜q pequeno. . . 25 8 Gráficos do espectro de excitação para diferentes valores de α = mR30nU0/~2

com a reta referente ao comportamento próximo do zero . . . 28 9 Espectro de energias do problema bidimensional para diferentes valores de α =

mR40nU0/~2. Note a acentuação do roton e maxon e a valores de energia menores

do que os relacionados a interação local para uma região do gráfico. . . 31 10 Gráfico do espectro tridimensional para diferentes valores de α = mR5

0nU0/~2. . 34

11 Espectro de excitações tridimensional com a reta que passa pelo ponto de vmin,

a partir do qual podem surgir excitações no movimento do fluido. . . 36 12 Valor de α∗ para duas dimensões . . . 38

(11)

e para duas dimensões vista de cima (direita). . . 38 14 Gráfico da energia por partícula em função de α, onde observamos uma queda

da energia em relação ao estado superfluido homogêneo. . . 45 15 Diferença entre a energia do estado superfluido e supersólido em relação a α,

onde vemos claramente o ponto de transição de fase. . . 45 16 Densidade do estado fundamental para diferentes valores de α. . . 46

(12)

Resumo i Abstract ii 1 Introdução 1 1.1 A distribuição de Bose . . . 2 1.2 Densidade de estados . . . 3 1.3 Temperatura de transição . . . 5 1.4 Fração do condensado . . . 7 2 Interações no condensado 9 2.1 Equação de Gross-Pitaevskii . . . 9

2.2 Bósons em uma armadilha . . . 11

2.2.1 Cálculo variacional . . . 13

2.2.2 Aproximação de Thomas-Fermi . . . 16

2.3 Comprimento de Healing do condensado . . . 17

2.4 Interações não-locais . . . 20 3 Aproximação de Bogoliubov 23 3.1 Problema unidimensional . . . 23 3.1.1 Interação local . . . 24 3.1.2 Interação soft-core . . . 26 3.2 Problema bidimensional . . . 28 3.2.1 Interação local . . . 29 3.2.2 Interação soft-core . . . 30 3.3 Problema tridimensional . . . 32 3.3.1 Interação soft-core . . . 32

3.4 Critério de Landau e superfluidez . . . 34

4 Diagramas de Fase 37 4.1 α∗ e transição de fase . . . 37

(13)

4.3 Algoritmo de minimização da energia . . . 41 4.4 Resultados . . . 44

5 Conclusões 47

Apêndice A -- Código de minimização 48

(14)

1

Introdução

Partindo do trabalho de S. N. Bose [1], que consistia em uma derivação da distribuição de Planck dos fótons baseado apenas em princípios estatísticos, sem usar princípios da eletrodinâmica clássica, Einstein considerou, em vez de fótons, um gás de partículas bosô-nicas de massa finita não-interagentes, e concluiu que abaixo de uma certa temperatura uma fração não-nula do número de partículas ocupariam o estado de menor energia para cada uma partícula. A primeira ocorrência de uma aplicação mais aprofundada desse conceito surgiu em 1938 quando F. London [2] sugeriu uma conexão entre a superfluidez do4He e a condensação de Bose-Einstein.

Apesar da extrema importância do 4He superfluido como um protótipo de um

con-densado de Bose-Einstein (BEC), a interação elevada entre os átomos de4He reduz gran-demente a ocupação de átomos no estado de zero-momento, mesmo em temperaturas extremamente baixas. A ordem relativa de ocupação determinada experimentalmente é de aproximadamente 0.1 perto da pressão de ebulição.

Na procura de um sistema adequado para observação do condensado de Bose-Einstein, a necessidade de minimizar as interações que reduzam a ocupação do menor nível de ener-gia gerou uma busca por substâncias que continuassem gasosas em temperaturas ultrabai-xas. Hecht propôs, em 1959, um condensado de hidrogênios com spins polarizados como um bom candidato para um gás de bósons fracamente interagentes, porém seu insight recebeu muito pouca atenção até ser confirmado por Stwalley e Nosanow, que dispunham na época de dados mais detalhados sobre as interações desse tipo de sistema. As dificul-dades de resfriamento criogênico do hidrogênio dificultaram a realização experimental, e somente em 1998 a condensação de Bose-Einstein de um átomo de hidrogênio foi obtida [4].

As realizações experimentais mais conhecida, porém, ocorreram em 1995 quando os grupos experimentais de Cornell e Wieman, em Boulder, e o de Ketterle, no MIT, com-binaram diferentes técnicas de resfriamento e conseguiram atingir a temperatura e as densidades necessárias para observação do condensado de Bose-Einstein no 87Rb (ver

(15)

Figura 1: As figuras da esquerda representam a distribuição de velocidades no experimento por Anderson et al. (1995). O gráfico a mais à esquerda está a uma temperatura logo acima da condensação; o do centro logo no início da condensação; o da direita é quase um condensado puro. Retirado de [3].

figura 1) e no 23Na [3].

Avanços no resfriamento à laser de metais alcalinos indicaram esses átomos como ótimos candidatos à condensação de Bose-Einstein, e posteriormente obtiveram-se con-densados de outros átomos também. Até o momento foram obtidos concon-densados de Bose-Einstein de7Li,23N a, 39K,41K,85Rb,87Rb,133CsK,52Cr,40Ca,84Sr,86Sr,88Sr, 174Y b,

164Dy e 168Er.

1.1

A distribuição de Bose

Usando uma abordagem semiclássica, vamos analisar a distribuição estatística de um gás de bósons não interagentes e, posteriormente, a física de tal gás em um potencial ar-madilha. Nesta abordagem tratamos o espectro de energia como contínuo, o que somente é válido quando a temperatura é bem maior que ∆/kB, onde ∆ denota a separação

entre níveis de energia. Essa abordagem será, necessariamente, refinada em temperaturas abaixo da temperatura de condensação de Bose-Einstein. Para mais detalhes ver [5], visto que esse capítulo e o próximo são amplamente baseados nessa referência.

(16)

energéticos ν para uma só partícula é dado por

f0(ν) =

1

e(ν−µ)/kBT − 1, (1.1)

sendo ν a energia do estado ν de uma partícula e µ o potencial químico, que é determinado

como uma função de T e N devido a condição de que o número de partículas seja igual a ocupância total dos estados individuais.

Essa distribuição é aproximada pela distribuição de Boltzmann para altas tempera-turas, onde os efeitos quânticos podem ser ignorados:

f0(ν) ∼= e−(ν−µ)/kBT, (1.2)

Essas equações, aliadas a intuição física, ajudam a compreender a formação do BEC. Para altas temperaturas, a ocupação média de um dado estado é muito menor que 1, e particularmente temos e(µ−min)/kBT  1 onde 

min é o estado de energia mínima de uma

partícula. A medida que a temperatura diminui tanto µ quanto a ocupação média dos estados acessíveis aumentam, porém de maneira que µ nunca seja maior que min, devido

isso implicar no resultado não físico que 1.1 seria negativo para níveis energéticos muito pequenos. Essa restrição implica que a ocupação dos níveis energéticos excitados respeita a desigualdade

f0(ν) ≤ 1/{exp[(ν− min)/kBT ] − 1}. (1.3)

Se a soma das ocupações dos estados excitados é menor que N , as partículas restantes ocupam simultaneamente o estado fundamental de uma partícula, cuja ocupação pode ser tão grande quanto necessária, e atingimos o condensado de Bose-Einstein. A temperatura de transição até a qual esse fenômeno pode ocorrer, TC, depende da densidade de estados

a baixas temperaturas, que será abordado aqui em alguns casos.

Em temperaturas abaixo de TC o potencial químico é igual a minaté termos de ordem

kBT /N , que serão extremamente pequenos para N muito grande. A ocupância do estado

fundamental será uma fração não-nula do número de partículas, e será dado por N − Nex,

sendo Nex a soma das ocupações dos estados excitados.

1.2

Densidade de estados

No cálculo de ocupações totais de sistemas termodinâmicos é comum generalizar so-matórios por integrais, assumindo que detalhes da estrutura de níveis de energia são aproximados pelo tratamento contínuo das variáveis quando as distâncias entre níveis

(17)

de energia são muito menores que os valores de energia em si. Essa aproximação não é apropriada para a fração do condensado de Bose-Einstein, pois a contribuição do estado fundamental não é tratada da maneira correta, mas é muito útil para contabilizar as contribuições dos estados excitados.

Para uma partícula livre em um sistema de volume V , haverá aproximadamente 1 estado quântico para cada elemento de volume (2π~)3 do espaço de fase. O volume no

espaço do momento que corresponde a valores de momento menores que p corresponde ao volume de uma esfera de raio p, 4πp3/3. Como a energia da partícula é p= p2/2m, a

quantidade de estados G() com energia menor ou igual a  será

G() = V 4π 3 (2m)3/2 (2π~)3 = V 21/2 3π2 ~3 (m)3/2. (1.4)

A densidade de estados será uma função de  e pode ser dada por

g() = dG() d = V m3/2 21/2π2 ~3 1/2 , (1.5)

cujo resultado para 3 dimensões pode ser generalizado para d dimensões, com a densidade de estados de uma partícula livre tendo a forma g() ∝ d/2−1 (note a independência da

densidade com a energia para d = 2).

Outro caso importante, especialmente devido a sua aplicação experimental na detec-ção do condensado de Bose-Einstein, é o de uma partícula sob um potencial de oscilador harmônico. Para um oscilador em três dimensões anisotrópico, podemos escrever o po-tencial como V (r) = 1 2m(ω 2 xx 2+ ω2 yy 2+ ω2 zz 2), (1.6)

sendo os níveis de energia dados por

(nx, ny, nz) = (nx+ 1/2)~ωx+ (ny + 1/2)~ωy) + (nz+ 1/2)~ωz. (1.7)

Para determinar a quantidade de estados com energia menor que um dado valor , assumindo que  é suficientemente maior que ~ωi, integramos sobre as grandezas i =

ni~ωi, que variam quase de forma contínua, e ignoramos o valor de energia de ponto zero

(assumimos nesse cálculo que ela é zero). Como  = x + y + z corresponde a uma

superfície de energia constante , calculamos G() sabendo que ele é proporcional à região no primeiro octante delimitado pelos eixos e esse plano:

G() = 1 ~3ωxωyωz Z  0 dx Z −x 0 dy Z −x−y 0 dz = 3 6~3ω xωyωz (1.8)

(18)

derivando esse resultado obtemos a densidade de estados g() g() =  2 2~3ω xωyωz . (1.9)

De maneira similar ao caso da partícula livre, é fácil generalizar esse resultado para d dimensões: g() =  d−1 (d − 1)!Q i~ωi (1.10)

Os cálculos dessas densidades de estados indicam que g() pode ser escrito na maioria dos casos como

g() = Cαα−1, (1.11)

para a partícula livre em três dimensões α = 3/2, e para um oscilador harmônico também tridimensional α = 3.

1.3

Temperatura de transição

A temperatura de transição Tccorresponde a maior temperatura em que pode ocorrer

condensação de Bose-Einstein num dado sistema, e esse valor pode ser calculado levando em conta que em Tc a ocupação total dos estados excitados do sistema é igual ao número

total de partículas N .

Como tratamos de N muito grande, é possível assumir que a energia de ponto-zero é 0 e integrar a partir desse valor. A quantidade de partículas em estados excitados será a integral da densidades de estados vezes a ocupação média:

Nex = Z ∞ 0 d g()f0() = Z ∞ 0 d g() 1 e(−µ)/kBT − 1 (1.12)

Esse valor será máximo quando µ = 0, e na temperatura de transição, como vimos, Nex(T = Tc, µ = 0) = N . Escrevendo a integral em função de x = /kBTc, teremos

N = Cα(kBTc)α Z ∞ 0 dx x α−1 ex− 1 (1.13)

Expandindo o termo da distribuição de Bose em potências de e−x leva a 1 ex− 1 = e−x 1 − e−x = e −x (1 + e−x+ e−2x+ . . .), (1.14)

(19)

resultando na integral: N = Cα(kBTc)α Z ∞ 0 dx xα−1 ∞ X s=1 e−sx. (1.15)

Fazendo a subsituição u = sx, simplificamos a integral:

N = Cα(kBTc)α ∞ X s=1 Z ∞ 0 du s uα−1 sα−1e −u (1.16) = Cα(kBTc)α ∞ X s=1 s−α Z ∞ 0 du uα−1e−u (1.17) = Cα(kBTc)αΓ(α)ζ(α) (1.18)

onde Γ(α) =R0∞duuα−1e−u e ζ(α) =P∞

s=1s

−α é a função zeta de Riemann.

Com isso chegamos a seguinte expressão para a temperatura de transição:

kBTc=

N1/α

[CαΓ(α)ζ(α)]1/α

(1.19)

Para uma partícula livre em 3 dimensões, onde α = 3/2, temos Γ(3/2) = √π/2, ζ(3/2) = 2.612 e C3/2 pode ser obtido de 1.5. A expressão para Tc é

kBTc= 2π [2.612]2/3 ~2n2/3 m ≈ 3.31 ~2n2/3 m (1.20)

onde n = N/V . Já para um oscilador harmônico tridimensional, com α = 3, Γ(3) = 2, ζ(3) = 1.202 e podemos obter C3 de 1.9, chegando a seguinte expressão:

kbTc= ~¯

ωN1/3

(1.202)1/3 ≈ 0.94~¯ωN

1/3, (1.21)

onde ¯ω = (ωxωyωz)1/3 é a média geométrica entre as frequências características do

oscila-dor.

Uma definição útil de ser introduzida é a da densidade de espaço de fase, que é definido como o número de partículas contidas num volume igual ao cubo do comprimento de onda térmico de de Broglie, dado por λT = (2π~2/mkBT )1/2:

$ = n 2π~

2

mkBT



(1.22)

Para um gás clássico $ representa a ocupação típica dos estados de uma partícula. Como a maior parte dos estados ocupados tem energia menor ou igual a kBT , o número

(20)

ocupação total dos estados energéticos menores que kBT , que pela equação 1.4 é

aproxi-madamente (mkBT /~2)3/2. Comparando com a expressão para $ vemos que a densidade

de espaço de fase é a razão entre a densidade de partículas e o número de estados ocupados significativamente por unidade de volume.

Substituindo Tcem 1.20 por 1.22 vemos que a transição de fase para o condensado de

Bose-Einstein ocorre quando $ = ζ(3/2) ≈ 2.612, e esse resultado próximo da unidade indica que tanto baixas temperaturas quanto altas densidades de partículas tem seu papel para a condensação.

1.4

Fração do condensado

Para o cálculo do número de partículas que estejam na fração condensada é interes-sante usarmos o mesmo procedimento anterior para o cálculo da quantidade de partículas Nex excitadas que, usando µ = 0, é

Nex(T ) = Cα

Z ∞

0

d α−1 1

e/kBT − 1. (1.23)

Como vimos na seção anterior, o resultado dessa integral para α > 1 (caso contrário, a integral diverge) é

Nex = CαΓ(α)ζ(α)(kBT )α. (1.24)

Essa expressão por si só não parece trazer a informação que queremos, já que o resultado nem é função explícita de N , mas se compararmos com o resultado obtido em 1.19 para a temperatura de transição Tc podemos reescrever Nex:

Nex(T ) = N

T Tc

(1.25)

Com o número de partículas excitadas podemos escrever uma expressão para N0(T ),

o número de partículas da fração condensada:

N0(T ) = N − Nex(T ) = N h 1 −T Tc αi (1.26)

Vemos que obtendo a expressão para a densidade de estados de um sistema, checamos se ele pode teoricamente produzir um condensado de Bose-Einstein (α > 1), calculamos sua temperatura de transição e com esse resultado podemos prever a fração de partículas que formarão o condensado a uma dada temperatura T < Tc.

(21)

Figura 2: Número de partículas excitadas (Nex) e Número de partículas no condensado (N0) para um

valor fixo de T . Se N = N0+ Nex > Nc há condensação de Bose-Einstein. Baseado em [6].

Também é interessante analisar a importância do potencial químico µ na formação do condensado. Como já vimos

N0 ∝ n0 =

1

exp[β(0− µ)] − 1

, (1.27)

e a medida que µ → 0 essa ocupação do estado fundamental vai ficando cada vez maior.

O número total de partículas é

N = N0+ Nex, (1.28)

e Nex tende a aumentar a medida que o sistema cresce.

Para um valor fixo de T , Nex vai aumentando a medida que µ vai se aproximando

de 0, seu valor máximo, e quando µ atinge 0 chegamos ao máximo de Nex = Nc. N0,

por outro lado, diverge nesse limite. A partir desse ponto ocorre a condensação de Bose-Einstein.

Na figura 2 vemos o comportamento de Nex e N0 em função de µ, já que µ é definido

(22)

2

Interações no condensado

Neste capítulo derivamos a equação de Gross-Pitaevskii, que descreve as propriedades de um condensado de Bose-Einstein suficientemente diluto (comprimento de espalhamento muito menor que o espaço entre partículas) em temperatura zero. Essa dedução parte de uma abordagem na aproximação de campo-médio do problema.

Em seguida analisamos a aproximação de Thomas-Fermi, em que o termo de energia cinética do hamiltoniano é desprezado em vista que ele é muito menor que os termos de energia potencial para valores suficientemente altos da energia de interação. Detalhes podem ser encontrados em [5].

2.1

Equação de Gross-Pitaevskii

A interação efetiva entre duas partículas que estejam em estados baixos de energia é bem descrita por uma interação de contato do tipo U0δ(r − r0) com U0 = 4π~2a/m,

onde a é o comprimento de espalhamento. Esse comprimento caracteriza os processos de espalhamento na mecânica quântica. Para abordar o caso de muitos corpos, adotamos uma aproximação de campo-médio (ou Hartree) e assumimos que a função de onda do sistema é o produto simetrizado das funções de onda de uma partícula.

Num condensado de Bose-Einstein, esse estado de uma partícula é o mesmo para cada partícula, de modo que o estado total é escrito como

Ψ(r1, r2, ..., rN) = N Y i=1 φ(ri) (2.1) com Φ(ri) normalizado a 1.

Essa definição da função de onda não leva em conta as correlações produzidos pela interação que ocorre quando 2 átomos estão próximos, o qual está incluído na interação efetiva U0δ(r − r0). Essa interação pontual é suficiente para esse tratamento teórico, já

(23)

que as dimensões associadas ao tamanho da nuvem de bósons e os comprimentos de onda das excitações são muito maiores que os comprimentos associados ao espalhamento.

O Hamiltoniano efetivo desse sistema é então

H = N X i=1 hp2 i 2m + V (r) i + U0 X i<j δ(ri− rj). (2.2)

Calculando a energia do estado total (o valor esperado do Hamiltoniano), chegamos a

E = N Z drh ~ 2 2m|∇φ(r)| 2 + V (r)|φ(r)|2+ (N − 1) 2 U0|φ(r)| 4i (2.3)

. O termo cinético vem de uma integração por partes dos termos −~

2

2mφ

2

riφ, e no termo

de interação N (N − 1)/2 vem da quantidade de maneiras possíveis de se tomar um par de bósons.

Agora, vamos considerar um gás de Bose uniforme de volume V . A função de onda do estado estacionário é φ(r) = 1/V1/2, o que implica que a energia de interação entre um par de partículas será R drUo|φ(r)|2 = U0/V . A energia desse estado será dada por

E = N (N − 1) 2V U0 ' N2 2V U0 = 1 2V n 2U 0, (2.4)

onde usamos o fato que N  1 e que n = N/V .

Com isso, vemos que é possível definir a função de onda do estado condensado como ψ(r) = N1/2φ(r). Substituindo esse resultado em 2.3, levando em conta que N  1,

podemos escrever a energia do sistema como

E = Z drh ~ 2 2m|∇ψ(r)| 2+ V (r)|ψ(r)|2 +1 2U0|ψ(r)| 4i (2.5)

Para achar a solução de equilíbrio para ψ(r), minimizamos a energia com relação a variações independentes de ψ∗(r) e ψ(r), que são independentes pois correspondem a variações da parte real e da parte imaginária da função de onda (que devemos considerar individualmente), levando em conta a restrição do número total de partículas:

N = Z

dr |ψ(r)|2 (2.6)

Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos δE − µδN = 0 com µ (potencial químico) sendo a constante multiplicativa que mantém a constância do número de partículas. Com isso, ficamos livres para variar arbitrariamente ψ∗ ou ψ, e minimizando

(24)

E − µN , ou seja, igualar a variação desse termo com respeito a ψ∗(r) a zero nos leva a − ~ 2 2m∇ 2ψ(r) + V (r)ψ(r) + U 0|ψ(r)|2ψ(r) = µψ(r) (2.7)

Chegar na parte não referente a energia cinética desse resultado é trivial, já para o termo da energia cinética é necessário fazer uma integração por partes:

Z drh ~ 2 2m|∇ψ(r)| 2i = ~ 2 2m[∇ψ(r)ψ ∗ (r)]S− ~ 2 2m Z dr ψ∗(r)∇2ψ(r)

O termo de superfície se anula para sistemas de tamanho infinito ou com condições de contorno periódicas, e assim chegamos em 2.7. Esta é a equação de Gross-Pitaevskii inde-pendente do tempo, e é interessante notar sua semelhança com a equação de Schrödinger pois o termo de energia potencial da SE corresponde ao potencial agindo nas partículas somado a um termo U0|ψ(r)|2, que no caso é não-linear e corresponde ao campo médio

produzido pelos outros bósons.

Diferente da SE, os autovalores da GPE são o potencial químico em vez da energia, que tem valores divergentes quando as partículas são interagentes.

2.2

Bósons em uma armadilha

Nesse capítulo analisamos soluções para o estado fundamental da equação de Gross-Pitaevskii para bósons em uma armadilha, mais especificamente um potencial harmônico. Essa escolha de armadilha não é em vão, visto que muitas montagens experimentais utilizam esse tipo de armadilha.

De forma geral, vamos ignorar a possível anisotropia do oscilador e assumir que o potencial é da forma V (r) = mω0r2/2. Para uma nuvem de bósons de raio aproximado

R, a energia potencial de uma partícula é em torno de mω0R2/2. Pelo Princípio da

Incerteza de Heisenberg, o momento dessa partícula é da ordem de ~/R, e sua energia cinética da ordem de ~2/2mR2.

Logo, na ausência de interações a energia total varia como 1/R2 para R pequeno e R2 para R grande, e tem um valor mínimo quando mω0R2/2 = ~2/2mR2. Nesse equilíbrio

temos: aosc =  ~ mω0 1/2 (2.8)

(25)

Para um sistema de bósons interagentes, por outro lado, a expressão energética é dife-rente. A densidade média desse sistema é da ordem n ∼ N/R3, e a energia de interação de

uma partícula logo é U0n ∼ N U0/R3. Essa contribuição gera, para interações repulsivas,

um deslocamento do mínimo de energia para R maiores. Á medida que N U0 aumenta,

paralelamente, a contribuição da energia cinética se torna menos relevante, e no limite das fortes interações podemos fazer uma análise que ignora este termo. Da mesma forma que antes, o R de mínima energia ocorre quando a contribuição da energia potencial se iguala a energia de interação:

mω2 0R2 2 = U0N R3 = 4π~2aN mR3 (2.9) R5 = 8π ~ 2 m2ω2 0 aN = 8πa4oscaN (2.10) R ∼ aosc N a aosc 1/5 (2.11)

Substituindo esse valor na energia: E N ∼ mω2 0 2 aosc N a aosc 2/5 + 4π~ 2aN m a −1 osc N a aosc 3/5 (2.12) ∼ ~ω0 N a aosc 2/5 (2.13)

A quantidade N a/aosc, como vemos, é uma medida da força da interação e

experi-mentalmente costuma ser bem maior que 1 para interações repulsivas. Usando os valores |a| ∼ 10 nm, aosc ∼ 1 µm e N entre 104 e 105, temos que R/aosc = (N a/aosc)2/5 variaria

entre 2.5 e 6. Como vimos em 2.12, tanto a energia potencial quanto a energia de interação são da ordem de mω2

0R2 para R no valor de equilíbrio, enquanto que a energia cinética

é proporcional a R−2. A razão entre a energia cinética e as outras contribuições acaba sendo proporcional a (aosc/N a)4/5, o que justifica ignorar a sua contribuição no equilíbrio

para N muito elevado.

Por outro lado, no caso de interações atrativas, para R não muito grande há um mínimo local similar ao caso anterior, porém a energia diverge a −∞ quando R tende a zero devido ao termo −1/R3. Quando N é suficientemente pequeno, há um mínimo local

em um R levemente menor que no caso de partículas não-interagentes, porém a medida que N cresce esse mínimo local se torna cada vez menos acentuado até que para um certo Nc ele desaparece, e a partir desse valor não há um estado metaestável

Concluindo essa análise preliminar, vamos analisar quantitativamente o problema de um gás de bósons presos num potencial harmônico geral da forma V (x, y, z) = m(ω2

(26)

ω2

yy2+ ω2zz2)/2, com as três frequências características de cada dimensão podendo variar

entre si. Vamos procurar uma solução para o estado estacionário usando um cálculo varia-cional partindo de uma função de teste gaussiana, e logo depois partir para a aproximação de Thomas-Fermi.

2.2.1

Cálculo variacional

Vamos iniciar com a solução de ponto zero do potencial harmônico na ausência de interações:

φ0(x, y, z) =

1 π3/4(a

xayaz)1/2

e−x2/2a2xe−y2/2a2ye−z2/2a2z, (2.14)

onde ai = ~/mωi corresponde aos comprimentos característicos do oscilador. A densidade

da nuvem, N |φ0(r)|2, é gaussiana e logo esperamos que as interações interatômicas

mo-difiquem as dimensões dessa nuvem. Baseado nisso, usamos uma solução de teste dado por ψ(r) = N 1/2 π3/4(b xbybz)1/2 e−x2/2b2xe−y2/2b2ye−z2/2b2z (2.15)

onde os bi serão os parâmetros variacionais. Observe que essa função é normalizada a N ,

como em 2.6. Calculando a energia desse estado (substituindo ψ(r) em 2.5), temos

E(bx, by, bz) = Z drh ~ 2 2m|∇ψ(r)| 2+ V (r)|ψ(r)|2+ U0 2 |ψ(r)| 4i (2.16) = Z drh ~ 2 2m|ψ(r)| 2X i r2i1 b4 i + 1 a4 i i + U0 2 Z dr |ψ(r)|4 (2.17)

O único trabalho nessa integral se dá em resolver as integrais da formaR e−(ri/bi)2r2

idri.

Fazendo as simplificações necessárias no resultado, chegamos a

E(bx, by, bz) = N X i ~ωi a2 i 4b2 i + b 2 i 4a2 i  + N 2U 0 2(2π)3/2b xbybz . (2.18)

Uma estimativa inicial da energia pode ser obtido colocando bi igual aos valores ai,

correspondentes a função de onda na ausência de interações. Temos

E ' NX i ~ωi 2 + N2U 0 2(2π)3/2a xayaz , (2.19)

que pode ser reescrito como

E ' NX i ~ωi 2 + N2 2 h00| u |00i , (2.20)

(27)

onde

h00| u |00i = U0

Z

dr |φ0(r)|4 (2.21)

é a energia de interação entre duas partículas no estado fundamental do oscilador. Esse resultado é uma boa aproximação para o caso em que a energia de interação é pequena comparada com as energias de ponto-zero ~ωi do oscilador harmônico.

Agora, para encontrar a forma otimizada da função de onda minimizamos E(bx, by, bz),

ou seja, queremos que ∂biE = 0 para todos os bi:

N ~ωi  − 2a 2 i 4b3 i + 2 bi 4a2 i  − N 2U 0 2(2π)3/2b iQjbj = 0 (2.22) ~ωi 2 b2 i a2 i − a 2 i b2 i  − N U0 2(2π)3/2b xbybz = 0 (2.23)

De forma a simplificar essa expressão, vamos escrever essa equação em função da va-riável adimensional βi = bi/ai e introduzir o comprimento característico de um oscilador a

de frequência ω = (ωxωyωz)1/3, ou seja, a média geométrica das frequências características

do oscilador inicial:

a = r

~

mω (2.24)

As equações para βi ficam

~ωi 2  βi2− 1 β2 i  − 1 2(2π)3/2 N U0 a3β xβyβz = 0. (2.25)

Agora, vamos considerar o caso em que o número de partículas é suficientemente alto de modo que a energia de interação por partícula é muito maior que a maior das energias ~ωi. Isso permite ignorar o termo proporcional a βi−2 no termo da energia cinética.

Resolvemos βi usando o fato que

βi =

r ωj

ωi

βj, (2.26)

que pode ser mostrado subtraindo duas das equações entre si, que nos leva a

~ωi 2 β 2 i = 1 2(2π)3/2 N U0 a3 √ ωjωk ωi 1 β3 i . (2.27)

Usando U0 = 4π~2a/m, e fazendo as devidas simplificações chegamos a

βi5 =2 π 1/2N a a ω ωi 5/2 . (2.28)

Retornando para bi, temos

bi = 2 π 1/10N a a ω ωi a. (2.29)

(28)

Figura 3: Expressão variacional gaussiana da energia (adimensional) por partícula para valores diferentes de N a/aosc.

Chegamos então ao resultado da energia por partícula (nessa aproximação em que igno-ramos parte da energia cinética):

E N = 5 4 2 π 1/5N a a 2/5 ~ω. (2.30)

Observamos que a energia por partícula nessa aproximação, de acordo com 2.30, é proporcional a N2/5 é é de ordem ∼ (N a/a2/5) vezes maior que a energia na ausência

de interações. Na figura 3 plotamos o gráfico da energia por partícula em função de bx = by = bz para vários valores de N a/aosc, incluindo valores nos quais a < 0, ou seja,

interações atrativas.

A linha tracejada na figura 3 corresponde ao valor de Nc a partir do qual não há mais

mínimo local em um sistema de partículas atrativas e ocorre um colapso da nuvem de bósons. Esse valor Nc pode ser calculado usando a condição que a primeira e a segunda

derivada de E/N em relação a b sejam ambas nulas, que resulta em

Nca

aosc

= 2(2π)

1/2

55/4 ≈ −0.67 (2.31)

Concluída essa análise, vamos verificar na seção seguinte a aproximação de Thomas-Fermi e comparar os valores obtidos.

(29)

2.2.2

Aproximação de Thomas-Fermi

Como já vimos anteriormente, quando o número de átomos é grande e as interações são repulsivas podemos ignorar o termo cinético na expressão da energia de partículas presas num oscilador harmônico. Logo, ignorando desde o começo o termo cinético na equação de Gross-Pitaevskii podemos calcular uma solução bem simplificada mas precisa para o estado fundamental desse sistema. Ou seja, devemos resolver a equação

[V (r) + U0|ψ(r)|2]ψ(r) = µψ(r). (2.32)

Esta equação tem a solução

n(r) = |ψ(r)|2 = µ − V (r) U0

, (2.33)

para a região em que o termo da direita é positivo e ψ(0) = 0 para r fora dessa região, ou seja, essa função é não nula na região limitada por V (r) = µ.

Um argumento físico para esse resultado é que a energia necessária para adicionar uma partícula (µ) em qualquer ponto da nuvem é o mesmo, e é dado pela soma da energia potencial V (r) com a contribuição local da energia de interação dado por n(r)U0.

A extensão da nuvem de bósons nessa aproximação de Thomas-Fermi pode ser encon-trado inserindo o valor limite de V (r) = µ na equação do potencial harmônico, que nos dá R2i = 2µ mω2 i , (2.34) onde i = x, y, z.

Uma relação entre o número de partículas e µ pode ser calculada usando a condição de normalização de ψ (2.6). Escalando as coordenadas espaciais com (2µ/mω2

i)1/2 e

integrando no interior da esfera unitária chegamos a

N = 8π 15  2µ mω2 3/2 µ U0 . (2.35)

Substituindo U0 = 4π~2a/m e resolvendo para µ teremos

µ = 15 2/5 2 N a a 2/5 ~ω. (2.36)

(30)

Figura 4: Estados fundamentais das aproximações variacional Gaussiana e de Thomas-Fermi para um potencial de oscilador harmônico isotrópico. ψ(r) está escalado para unidades de N1/2/(βa

osc)3/2, onde

β = (N a/aosc)1/5.

que podemos obter com a ajuda das equações 2.34 e 2.36. O raio médio então é dado por

R = 151/5N a a 1/5 a ≈ 1.719N a a 1/5 a, (2.37)

e podemos observar que o raio médio é maior quea na maioria das condições experimentais de N a/a.

Na figura 4 temos a comparação entre as funções de onda para o cálculo variacional e a obtida pela aproximação de Thomas-Fermi.

A energia por partícula na aproximação de Thomas-Fermi pode ser obtida levando-se em conta que µ = ∂E/∂N , e como vimos a dependência de µ com N em 2.36, uma integração simples nos leva a

E N =

5

7µ. (2.38)

Esse valor é ligeiramente menor que o encontrado em 2.30 para o cálculo variacional, de forma que ET F/ECV ≈ 0.92.

2.3

Comprimento de Healing do condensado

Um caso interessante para análise do comportamento do condensado de Bose-Einstein é o do condensado confinado em uma caixa de paredes intransponíveis. A função de onda deve se anular na parede, mas ao longo do interior da caixa ela deve atingir seu valor

(31)

máximo (visto que o condensado é homogêneo).

A distância entre a parede e seu valor máximo, que chamaremos de ξ, pode ser esti-mado analisando a equação de Gross-Pitaevskii. Para pontos longe da parede o termo da energia da interação é aproximadamente constante, ∼ nU0, e a energia total é definida

pela competição entre esse termo e o termo cinético. Como ξ corresponde a escala espacial de variações perto da parede, a energia cinética é da ordem de ~2/2mξ2, e o equilíbrio

ocorre quando ~2 2mξ2 = nU0, (2.39) e temos ξ2 = ~ 2 2mnU0 = 1 8πna. (2.40)

Definindo n = (4πrs3/3)−1 onde rs é o raio da esfera correspondente ao volume médio por

partícula, podemos reescrever ξ como

ξ2 = r

3 s

6a. (2.41)

Experimentalmente a distância entre as partículas é geralmente muito maior que o comprimento de espalhamento, logo o comprimento de coerência ξ acaba sendo maior que a distância interatômica. Essa terminologia “comprimento de coerência” faz alusão ao fato que a partir dessa distância não há variações substanciais da função de onda, e por isso ξ também é chamado de comprimento de healing.

Para analisar quantitativamente o resultado, vamos tentar resolver a equação de Gross-Pitaevskii para um potencial que é zero para x ≥ 0 e infinito para x < 0, e como o estado fundamental desse sistema é homogêneo para y e z, temos

− ~ 2 2m d2ψ(x) dx2 + U0|ψ(x)| 2 ψ(x) = µψ(x). (2.42)

Como ja vimos, para um sistema uniforme, que é o caso para maior parte do sistema distante da parede, µ ' U0|ψ0|2, onde ψ0 é a função de onda fora da parede, quando

podemos ignorar a energia cinética. Logo, a equação será

~2 2m d2ψ(x) dx2 = −U0[|ψ0| 2− |ψ(x)|2 ]ψ(x). (2.43)

Essa equação, como podemos perceber, equivale ao caso clássico de resolver a equação do movimento de uma partícula num potencial ∝ ψ2

(32)

coordenada espacial e x como o tempo. Para isso, vamos fazer a seguinte simplificação: d2ψ dx2 + κ(ψ 2 0ψ − ψ 3) = 0, (2.44)

onde κ = 2mU0/~2. É fácil checar que, multiplicando ambos os lados por dψ/dx e

organizando, podemos reescrevê-la como dψ dx =

p

2c1+ F (x), (2.45)

onde c1 é uma constante a ser definida e

F (x) = − Z dψ κ(ψ02ψ − ψ3) = −κ 2  ψ02ψ2− ψ 4 2  . (2.46)

A constante c1 pode ser definida levando em conta a condição de contorno no infinito,

que é ψ(∞) = ψ0 e dψ(∞)/dx = 0, com isso

2c1− κ(ψ04− ψ 4

0/2) = 0 (2.47)

c1 = κψ40/4. (2.48)

Logo, a equação da função de onda pode ser encontrada por

Z ψ(x) ψ(0)=0 dψ (kψ4 0/2 − κ(ψ20ψ2− ψ4/2))1/2 = Z x 0 dx (2.49) s 2 κψ4 0 Z ψ(x) 0 dψ 1 − (ψ/ψ0)2 = x (2.50)

fazendo a substituição u = ψ/ψ0, chegamos a

r 2 κ 1 ψ0 Z u(ψ(x)) u(0) du 1 − u2 = x (2.51) r 2 κ 1 ψ0 tanh−1 ψ ψ0  = x (2.52)

Organizando esta equação, finalmente temos a dependência entre x e ψ(x):

Ψ(x) = ψ0tanh

r κ 2ψ0x



. (2.53)

Substituindo o valor de κ, levando em conta que |ψ0|2 = n e usando a equação 2.40

podemos simplificar o resultado em função do comprimento de coerência:

ψ(x) = ψ0tanh(x/

(33)

Figura 5: Gráfico da função de onda a partir da parede infinita no ponto x = 0. O eixo x está em unidades de ξ.

Na figura 5 vemos o gráfico dessa função de onda, e podemos observar que a função se aproxima de ψ0 em x ∼ ξ.

2.4

Interações não-locais

Experimentalmente, muitos resultados do condensado de Bose-Einstein foram obtidos em nuvens de partículas com interações não-locais, ou seja, que não eram suficientemente descritos pelo termo de interação U0δ(r − r0).

Um exemplo desse tipo de sistema são gases de partículas dipolares [15], e a conden-sação dos átomos de cromo é um dos casos de interesse. Cada átomo de 52Cr possui

spin eletrônico total S = 3, e assim a interação dipolo-dipolo entre seus momentos eletro-magnéticos (que são anisotrópicos) tem um valor elevado, principalmente em comparação com átomos alcalinos de S = 1/2. A energia de interação dipolar entre dois átomos é

Umd=

µ0(2µB)2

4πr3 [S1· S2− 3(S1· ˆr)(S2· ˆr)], (2.55)

e, se considerarmos os átomos completamente polarizados por um campo magnético ex-terno ao longo do eixo z de modo que mS = −3 para todos eles, a energia Umd terá a

(34)

Figura 6: Potencial escalado adimensionalmente da interação dipolo-dipolo em função da distância para θ = π/2 na primeira figura e potencial para uma distância r = 1 variando o ângulo da separação entre os dipolos na segunda figura.

forma Umd(r − r0) = µ0(2µB)2 4π  1 |r − r0|3 − 3(z − z0)2 |r − r0|5  . (2.56)

Usando a aproximação de campo médio, assim como fizemos para partículas somente com interação local, a energia referente a essa interação será

Emd=

1 2

Z

drdr0Umd(r − r0)n(r)n(r0), (2.57)

e como vimos, n(r) = |ψ(r)|2. A equação da função de onda no condensado pode ser achada minimizando a energia da mesma forma que foi feito na seção 2.1, levando em conta esse novo termo da interação dipolar, e a equação de Gross-Pitaevskii fica

− ~ 2 2m∇ 2ψ(r)+V (r)ψ(r)+hU 0|ψ(r)|2+ Z dr0Umd(r −r0)|ψ(r0)|2 i ψ(r) = µψ(r). (2.58)

Na figura 6 vemos como o módulo de Umd decai rapidamente com a distância, e além

disso como ela varia de uma interação atrativa para uma interação repulsiva em torno do ângulo θ = π/2. Note que analisamos a forma esférica de Umd, dada por

Umd(r) = µ0(2µB)2 4π  1 |r|3 − 3(|r| cos θ)2 |r|5  . (2.59)

Outro caso de interesse neste trabalho é o da interação de bósons soft-core [14], que será visto em mais detalhes no próximo capítulo. Um exemplo de um sistema que pode ser aproximado por bósons soft-core são os átomos de Rydberg [16], definidos por átomos (geralmente alcalinos) no qual um ou alguns dos elétrons tem o número quântico principal

(35)

muito elevado. Um exemplo de potencial soft-core pode ser dado por

Vsc(r) = V0Θ(R0− r), (2.60)

onde Θ(r) é a função de Heaviside, R0 é o alcance do potencial e V0 sua intensidade.

Potenciais soft-core são caracterizados por terem um valor quase constante abaixo de um certo raio de distância e caírem para perto de zero acima desse raio, algo que representando de forma simplificada na função escada de Heaviside.

Da mesma forma que anteriormente, a energia dessa interação é

Esc =

1 2

Z

drdr0Vsc(r − r0)n(r)n(r0) (2.61)

e a equação de Gross-Pitaevskii fica da forma

− ~ 2 2m∇ 2ψ(r) + V (r)ψ(r) + Z dr0Vsc(r − r0)|ψ(r0)|2ψ(r) = µψ(r). (2.62)

(36)

3

Aproximação de Bogoliubov

No capítulo anterior tratamos da equação de Gross-Pitaevskii independente do tempo, que é suficiente para resolver certos problemas como o da determinação do estado funda-mental, por exemplo. Porém, para o estudo da evolução de um sistema necessitamos da GPE dependente do tempo, que corresponde a uma generalização da equação de Schrö-dinger dependente do tempo levando em conta o termo não-linear de interação:

i~∂ψ(r, t) ∂t = − ~2 2m∇ 2ψ(r, t) + V (r)ψ(r, t) + U 0|ψ(r, t)|2ψ(r, t), (3.1)

e da mesma forma que para a equação de Schrödinger normal a evolução dos auto-estados no tempo se dá por um fator e−iEt/~, na GPE ela se dá por um fator e−iµt/~, onde µ é o potencial químico do sistema.

Nas seções seguintes vamos tratar do problema do espectro de energia de pequenas excitações no estado fundamental do condensado, tanto para o caso de interações locais quanto para um exemplo de interações não-locais, usando a abordagem de excitações de Bogoliubov, onde tratamos de excitações pequenas o suficientes para que possamos linearizar as equações. Muitas vezes essas soluções enfatizam ainda mais o comportamento coletivo do gás de bósons, como vamos ver.

3.1

Problema unidimensional

Inicialmente é interessante resolver o problema unidimensional, já que os passos in-termediários são mais simples e o resultado final, como veremos, será o mesmo (para interações locais).

(37)

3.1.1

Interação local

Um condensado uniforme de bósons livres, ou seja, com V (x) = 0, tem estado funda-mental dado por

ψ0(t) =

ne−iµt/~, (3.2) onde n é a densidade. Se causarmos uma pequena oscilação nesse estado, esperamos um estado final da forma ψ(x, t) = ψ0(t) + δψ(x, t), onde

δψ(x, t) = e−iµt/~h X

i

ui(x)e−iωit+ vi(x)∗eiωit

i

(3.3)

corresponde a uma expansão de Fourier dessa excitação (v∗(x) está conjugado para conve-niência matemática, como veremos posteriormente). Vamos então aplicar ψ(x, t) na GPE e linearizar o resultado em termos de δψ(x, t), já que as oscilações são pequenas:

i~∂(Ψ0+ δΨ) ∂t = −~2 2m d2 dx2 + Uo | Ψ0(t) + δΨ(x, t) |2 Ψ0(t) + δΨ(x, t)  (3.4) = −~2m2dxd22 + Uo(Ψ0Ψ∗0+ Ψ0δΨ∗+ δΨΨ∗0+ δΨδΨ ∗)(Ψ 0 + δΨ). (3.5)

Expandindo os termos e linearizando essa equação chegamos a

i~∂δψ ∂t = − ~2 2m d2δψ dx2 + U0(ψ 2 eδψ ∗ + 2|ψe|2δψ). (3.6)

Substituímos então os valores |ψ0|2 = n, ψ02 = ne−i2µt/~e, para simplificar as equações,

já que são lineares nas componentes de δΨ, δΨ = e−iµt/~(ui(x)e−iωt+ v(x)∗eiωt) que

cor-responde a uma componente de frequência qualquer. Vamos observar que haverão termos multiplicando e−iωt e outros multiplicando eiωt, e isolando os termos que multiplicam cada

um desses coeficientes ortogonais entre si, chegamos a um sistema de equações:            (~ω + µ)u(x) = −~2 2m d2u(x) dx2 + 2Uonu(x) − Uonv(x) (~ω − µ)v(x) = ~2 2m d2v(x) dx2 − 2Uonv(x) + Uonu(x) . (3.7)

Usando o fato que µ = nU0, simplificamos ainda mais:

           ~ωu(x) = −~ 2 2m d2u(x) dx2 + µu(x) − µv(x) ~ωv(x) = ~ 2 2m d2v(x) dx2 − µv(x) + µu(x) . (3.8)

(38)

Figura 7: Gráfico do espectro escalado, para α = 4πna3= 1. Note o comportamento linear para valores

pequenos de q, onde a reta corresponde a f (˜q) =√α˜q, o comportamento para ˜q pequeno.

uqeiqxe v(x) = vqeiqx, que se justificam pois num condensado uniforme as soluções devem

possuir invariância translacional. Com, isso chegamos ao seguinte sistema de equações algébricas:            ~ωuq = (~ 2q2 2m + µ)uq− µvq ~ωvq = µuq− (~ 2q2 2m + µ)vq (3.9)

O cálculo se resume em resolver esse sistema de equações de autovalor ~ω, onde concluímos que ~ω(q) = ± r ~2q2 2m  ~2q2 2m + 2µ  , (3.10)

e fisicamente levamos em conta só a solução positiva, já que tratamos de oscilações ener-géticas acima do estado estacionário. Essa função representa o espectro de excitação do condensado associado a momentos ~q.

Na figura 7 usamos uma versão escalada adimensional da equação, onde escalamos ˜

q ∼ qa e a equação geral por ~2/ma2, chegando a

~˜ω(q) = r ˜ q2 2 q˜2 2 + 2α  , (3.11)

(39)

onde α = nU0ma2

~2 = 4πna

3. É interessante observar o comportamento do espectro, que

é linear para valores pequenos de q mas à medida que q cresce a dependência se torna quadrática, se assemelhando ao espectro de uma partícula livre não interagente.

3.1.2

Interação soft-core

Em contrapartida à seção anterior, vamos desenvolver um modelo de partículas que não apenas interagem localmente, mas tem um raio R0 de influência de modo que duas

partículas a uma distância igual ou menor que essa irão interagir.

Esse tipo de interação pode ser descrito por uma função do tipo ˜U (r) = U0Θ(R0−|r|),

que só é não-nula entre −R0 e R0.

Antes de tentar resolver a GPE com essas interações é interessante calcular o µ do estado fundamental para esse caso soft-core, que deve mudar consideravelmente em relação ao caso local. Para um condensado com V (x) = 0 no estado fundamental, temos

µψ0(x) = − ~ 2 2m d2ψ0(x) dx2 + Z dy ˜U (x − y)|ψ0(y)|2ψ0(x). (3.12)

O estado fundamental é independente de x, e como sabemos que |ψ0|2 = n, temos

µΨe(x, t) = 2nUoRoΨe(x, t) µ|Ψe(x, t)|2 = 2nUoRo|Ψe(x, t)|2 Z µ|Ψe(x, t)|2dx = Z 2nUoRo|Ψe(x, t)|2dx µN = 2nN UoRo µ = 2nU0R0. (3.13)

Da mesma forma que no caso anterior, vamos analisar a GPE dependente do tempo para uma pequena excitação do estado fundamental ψ(x, t) = ψ0(t) + δψ(x, t).

Substi-tuindo na GPE com o termo de interação temos

i~∂Ψe ∂t + i~ ∂δΨ(x) ∂t = − ~ 2 2m d2Ψ e dx2 − ~2 2m d2δΨ(x) dx2 + Z dy ˜U (x − y)|Ψe+ δΨ(y)|2(Ψe+ δΨ(x)).

(40)

módulos quadrados e linearizar os termos chegamos a Z

dy ˜U (x − y)(| Ψ0(t) |2 Ψ0(t)+ | Ψ0(t) |2 δΨ(x, t)+ | Ψ0(t) |2 δΨ(y, t) + Ψ20(t)δΨ ∗

(y, t)).

Substituindo na equação geral e fazendo as simplificações necessárias, temos

(Ψ0(t) + δΨ(x, t)) = −~ 2 2m d2δΨ(x, t) dx2 + | Ψ0(t) |2 δΨ(x, t) Z dy ˜U (x−y)+ | Ψ0(t) |2 Z dy ˜U (x−y)δΨ(y, t)+Ψ20(t) Z dy ˜U (x−y)δΨ∗(y, t).

Como antes, fazemos as substituições ψ0 =

ne−iµt/~ e δΨ = e−iµt/~(ui(x)e−iωt +

v(x)∗eiωt), e após organizar os termos entre os coeficientes de eiωt e coeficientes de e−iωt

, separamos a equação em duas equações ortogonais:

           ~ω u(x) = −~ 2 2m d2u(x) dx2 + nR dy ˜U (x − y)u(y) − nR dy ˜U (x − y)v(y) ~ω v(x) = ~ 2 2m d2v(x) dx2 − nR dy ˜U (x − y)v(y) + nR dy ˜U (x − y)u(y) . (3.14)

Agora, fazemos as substituições u(x) = uqeiqx e v(x) = vqeiqx, que tornará o

sis-tema algébrico como no caso local. Primeiramente, vamos resolver a primeira integral, e generalizar para as outras integrais:

Z dy ˜U (x − y)uqeiqx = uqUo Z x+Ro x−Ro dy eiqy = uqUo heiqy iq ix+Ro x−Ro = uqUoeiqx eiqRo − e−iqRo iq  = uqUoeiqx 2sin(qRo) q

Ao inserir essas substituições no sistema de equações, vamos ver que todos os termos serão multiplicados por eiqx , e podemos cancelar esse coeficiente. O sistema final de

equações será            ~ωuq = (~ 2q2 2m + nUo 2sin(qRo) q )uq− nUo 2sin(qRo) q vq ~ωvq = nUo2sin(qRq o)uq− (~ 2q2 2m + nUo 2sin(qRo) q )vq (3.15)

(41)

Figura 8: Gráficos do espectro de excitação para diferentes valores de α = mR30nU0/~2 com a reta

referente ao comportamento próximo do zero

Resolvendo o sistema para os autovalores ~ω, chegamos à relação

~ω = s ~2q2 2m  ~2q2 2m + 4nUo sin(qRo) q  (3.16)

Na figura 8 observamos o comportamento desse espectro para a função escalada adi-mensionalmente, dada por

~˜ω(q) = s ˜ q2 2 q˜2 2 + 4α sin ˜q ˜ q  (3.17) onde α = mR3

0nU0/~2 é a constante relacionada a força e ao alcance da interação e

˜

q = qR0. Note que para α pequeno ela se assemelha ao espectro de interações locais, mas

a medida que α cresce fica explícito a formação de um máximo e um mínimo na região inicial do gráfico, chamados respectivamente de maxon e roton.

3.2

Problema bidimensional

O interesse no caso bidimensional do estudo de interações não locais se dá no fato que muitos efeitos de cristalização podem ser tratados nesse contexto, e muitas simu-lações e esquemas experimentais são feitos em sistemas que, para todos os efeitos,são bidimensionais.

Essa abordagem é usada no estudo de transição de fases superfluído-supersólido em condensados de bósons com interações soft-core, como pode ser visto em [9].

(42)

3.2.1

Interação local

A maior parte das considerações unidimensionais se aplicam ao caso bidimensional, e vamos observar que os resultados finais serão os mesmos. O potencial químico, por exemplo, continua sendo dado por µ = nU0. Para um vetor posição bidimensional r, a

equação de Gross-Pitaevskii no caso de um condensado de bósons livres é

i~∂ψ(r, t) ∂t = h − h 2 2m∇ 2 + Uo|ψ(r, t)|2 i ψ(r, t). (3.18)

Aplicando uma pequena perturbação no sistema, representada por

ψ(r, t) = ψ0(t) + δψ(r, t) (3.19)

com

ψ(r, t) = e−iµ~t[u(r)e−iωt− v∗(r)eiωt], (3.20)

e levando em conta a linearização em δψ(r, t) da equação resultante nos leva ao seguinte sistema de equações, da mesma forma que no caso unidimensional:

           ~ω u(r) = −~ 2 2m∇ 2u(r) + µu(r) − µv(r) ~ω v(r) = ~ 2 2m∇ 2v(r) − µv(r) + µu(r) . (3.21)

Fazendo as substituições u(r) = uqeiq·r e v(r) = vqeiq·r, referente a soluções de

oscilações em um gás uniforme. A laplaciana de u(r), que terá mesma forma da de v(r), corresponderá então a

∇2u

qeiq·r = uq(i2q2xeiq·r+ i2q2yeq·r) (3.22)

∇2uqeiq·r = −q2uqeiq·r. (3.23)

E chegaremos ao mesmo sistema final de equações do modelo unidimensional, dado por            ~ωuq = (~ 2q2 2m + µ)uq− µvq ~ωvq = µuq− (~ 2q2 2m + µ)vq . (3.24)

(43)

Resolver essa equação para os autovalores ~ω nos leva ao seguinte espectro energético: ~ω(q) = ± r ~2q2 2m  ~2q2 2m + 2µ  , (3.25)

Como podemos ver, o resultado é independente do grau dimensional.

3.2.2

Interação soft-core

A diferença principal no caso do sistema bidimensional em relação ao unidimensional é no termo de interação, já que a geometria de um raio de interação num plano é diferente da que ocorre tanto em 1d quanto em 3d. Primeiramente, vamos calcular o potencial químico para esse sistema, levando em conta um estado fundamental homogêneo dado por |ψ0|2 = n. Como V (x) = 0 e esse estado é independente de x, a equação de GP fica

µψ0(t) =

Z

dr0U (r˜ 0− r)|ψ0(t)|2ψ0(t). (3.26)

Multiplicando ambos os lados por ψ∗0(t), vemos que, para U (r) = U0Θ(R0− r), a integral

do termo de interação será apenas a área de um círculo de raio R0 vezes o fator U0:

µn = Z

dr0U (r˜ 0 − r)n2 (3.27)

µ = πnUoR2o. (3.28)

Inserindo na equação temporal de Gross-Pitaevskii o estado perturbado ψ(r, t) = ψ0(t) + δψ(r, t), linearizando os termos em δψ(r, t) e separando em coeficientes de eiωt e

e−iωt chegaremos ao mesmo sistema linear que já vimos no caso unidimensional:

~ω u(r) = −~ 2 2m∇ 2u(r) + n Z dr0U (r˜ 0 − r)u(r0) − n Z dr0U (r˜ 0 − r)v(r0) (3.29) ~ω v(r) = ~ 2 2m∇ 2v(r) − n Z dr0U (r˜ 0− r)v(r0) + n Z dr0U (r˜ 0− r)u(r0) (3.30)

Agora, fazemos as substituições u(r) = uqeiq·r e v(r) = vqeiq·r. Analisamos os termos

com integrais separadamente. Para isso, vamos fazer a substituição r0 = z + r e dr0 = dz, de modo que a integral envolvendo u(r) (a integral para v(r) será da mesma maneira) ficará da forma

Z

dz ˜U (z)u(z + r) = uqeiq·r

Z

(44)

Figura 9: Espectro de energias do problema bidimensional para diferentes valores de α = mR40nU0/~2.

Note a acentuação do roton e maxon e a valores de energia menores do que os relacionados a interação local para uma região do gráfico.

Resolvendo esta integral em coordenadas polares, temos

eiq·ruqUo Z Ro 0 z Z 2π 0

eiqz cos(θ)dθdz = eiq·ruqUo

Z Ro

0

z2πJ0(qz)



dz (3.32)

onde J0(qz) é a função de Bessel de primeira espécie. Fazendo uma substituição z = α/q

e dz = dα/q chegamos a Z dr0U (r˜ 0 − r)u(r0) = eiq·ruqUo2π q2 Z qRo 0 αJ0(α)dα (3.33) = eiq·ruqUo2πRo q J1(qRo) (3.34)

Estendendo esse resultado para as outras integrais e cancelando o coeficiente geral eiq·r chegamos ao seguinte sistema de equações algébricas:

           ~ω uq = (~ 2q2 2m + 2πnUoRo q J1(qRo))uq− 2πnUoRo q J1(qRo)vq ~ω vq = 2πnUqoRoJ1(qRo)uq− (~ 2q2 2m + 2πnUoRo q J1(qRo))vq (3.35)

Resolvemos o sistema pros autovalores ~ω e levamos em conta o resultado positivo, chegando finalmente ao espectro de energias:

~ω = s ~2q2 2m  ~2q2 2m + 4πnUoRo q J1(qRo)  . (3.36)

(45)

Escalando essa função adimensionalmente, para ˜q = qR0 e α = mR40nU0/~2 temos ~˜ω(q) = s ˜ q2 2 q˜2 2 + 4πα J1(˜q) ˜ q  . (3.37)

Vemos na figura 9 o gráfico desse espectro, e vemos uma tendência a formação de um maxon e um roton assim como no caso unidimensional.

3.3

Problema tridimensional

O resultado para interações locais, como vimos, é independentemente da dimensiona-lidade do sistema, e não é necessário repetir os cálculos. Desse modo vamos nos limitar ao cálculo da interação soft-core em três dimensões.

3.3.1

Interação soft-core

Em 3d as interações soft-core correspondem a esferas de raio R0 associadas a cada

partícula. Como nos outros casos, calculamos inicialmente o potencial químico do estado estacionário homogêneo e independente da posição dado por |ψ0|2 = n:

µψ0(t) =

Z

dr0U (r˜ 0− r)|ψ0(t)|2ψ0(t). (3.38)

Multiplicando ambos os lados por ψ0∗, o resultado da integral de ˜U (r0 − r) será U0 vezes

o volume de uma esfera de raio R0:

µn = Z dr0U (r˜ 0− r)n2 (3.39) µ = nUo 4 3πR 3 o. (3.40)

Na equação de Gross-Pitaevskii temporal inserimos o estado perturbado e linearizamos a equação em δψ0(x, t). Substituindo δΨ(x, t) = e−i

µ

~t[u(r)e−iωt− v∗(r)eiωt] chegamos ao

sistema de equações ~ω u(r) = −~ 2 2m∇ 2u(r) + n Z dr0U (r˜ 0 − r)u(r0) − n Z dr0U (r˜ 0 − r)v(r0) (3.41) ~ω v(r) = ~ 2 2m∇ 2v(r) − n Z dr0U (r˜ 0− r)v(r0) + n Z dr0U (r˜ 0− r)u(r0). (3.42)

Substituindo uq e vq pelas ondas planas como feito anteriormente, resolvemos as

(46)

r0 = z + r e dr0 = dz. O termo envolvendo uq será

Z

dz ˜U (z)u(z + r) = uqeiq·r

Z

dz ˜U (z)eiq·z. (3.43)

Em coordenadas esféricas a integral fica Z dr0U (r˜ 0− r)u(r0) = eiq·ru qUo Z 2π 0 dφ Z Ro 0 dz z2 Z π 0

dθ eiqz cos θsin θ (3.44) Fazendo a substituição u = cos θ, du = sin θdθ temos

Z

dr0U (r˜ 0 − r)u(r0) = 2πeiq·ruqUo

Z 2π 0 dφ Z Ro 0 dz z2he iqzu iqz i1 −1 (3.45) = 2πeiq·ruqUo Z Ro 0 dz z22 sin(qz) qz (3.46) = 4πeiq·ruqUo q3 [sin(qR0) − qR0cos(qR0)]. (3.47)

Estendemos esse resultado para os outros termos e, após cancelar eiq·r em ambas as

equações chegamos no sistema algébrico            ~ω uq= (~ 2q2 2m + 4πnUo

q3 [sin(qR0) − qR0cos(qR0)])uq− 4πnUq3 o[sin(qR0) − qR0cos(qR0)]vq

~ω vq = 4πnUq3 o[sin(qR0) − qR0cos(qR0)]uq− (~

2q2

2m + 4πnUo

q3 [sin(qR0) − qR0cos(qR0)])vq

(3.48)

Resolvendo esse sistema linear para ω~ chegamos ao seguinte resultado:

~ω = s ~2q2 2m  ~2q2 2m + 8πnUo q3 [sin(qR0) − qR0cos(qR0)]  . (3.49)

Na figura 10 plotamos o espectro escalado dado por

~˜ω = s ˜ q 2 q˜ 2 + 8πα sin(˜q) − ˜q cos(˜q) ˜ q3  , (3.50)

Onde tridimensionalmente α = mR05nU0/~2. Assim como nos casos uni e bidimensionais

o termo trigonométrico causa um máximo e mínimo de forma muito consistente entre esses espectros.

(47)

Figura 10: Gráfico do espectro tridimensional para diferentes valores de α = mR5

0nU0/~2.

3.4

Critério de Landau e superfluidez

A superfluidez é a propriedade de certos fluidos (superfluidos) que permite escoa-mento por capilaridade por tubos pequenos ou fendas sem dissipação de energia, e cuja viscosidade é nula [7]. Existe uma forte relação entre a condensação de Bose-Einstein e a ocorrência de superfluidez, e Landau (1941) mostrou que, se o espectro de excitações de um fluido obedece certas condições, haverá movimentos do fluido que não causarão dissipação de energia.

Imaginemos um corpo se movendo a uma velocidade constante v por um condensado líquido de Bose-Einstein, e vamos tentar prever pra quais velocidades é possível que esse corpo produza excitações no condensado. No referencial do fluido em repouso, o objeto exerce um potencial dependente do tempo sobre as partículas, e para simplificar essa análise trabalhamos no referencial do corpo em si.

Primeiramente, vamos analisar a transformação de energia entre referenciais, as trans-formações de Galileu. Para um sistema de energia E e momento p, a energia num refe-rencial se movendo com velocidade v é

E(v) = E − p · v + 1 2M v

2

. (3.51)

Para um condensado no estado fundamental (energia E0 e momento zero) a massa

total é M = N m. Logo, no referencial se movendo com v temos

E(v) = E0+

1 2N mv

2. (3.52)

(48)

do fluido é

Eex = E0+ p, (3.53)

e a energia no referencial se movendo com o obstáculo seria

Eex(v) = E0+ p− p · v +

1 2N mv

2.

(3.54)

Comparando esse valor com 3.52 vemos que a energia necessária para ocorrer uma excitação no referencial se movendo com o objeto é p− p · v, mas, como no referencial do

corpo o potencial produzido por ele é estático, não há transferência de energia do corpo para o fluido e essas excitações só ocorrerão espontaneamente caso sejam energeticamente favoráveis, ou seja

p− p · v ≤ 0. (3.55)

Logo, se temos

v = p

p (3.56)

seria possível criar excitações com momento paralelo a v, por exemplo. Além disso, velocidades maiores podem criar excitações cujo momento tem ângulo cos−1(p/pv). Por

outro lado existe um valor mínimo de velocidade dado por

vc = min

p p



(3.57)

abaixo do qual 3.55 não seria satisfeito, e seria impossível criar excitações, de tal forma que não haveria um mecanismo de atenuação do movimento do condensado, e o líquido exibiria superfluidez.

Num condensado de Bose-Einstein com interações locais, vimos que o espectro de energia é ~ω(q) = r ~2q2 2m  ~2q2 2m + 2µ  , (3.58)

para um dado momento ~q, e temos

vmin = lim p→0 p p = r µ m (3.59)

que corresponde a velocidade do som no condensado. É importante notar que as interações são fundamentais para a ocorrência da superfluidez num condensado de Bose-Einstein, pois o gás de bósons ideal teria velocidade de fase p/2m, que vai a zero quando p = 0.

Outro ponto importante é que nem sempre a velocidade mínima de fase está associada com excitações de energia tendendo a zero. No condensado com interações não-locais

(49)

Figura 11: Espectro de excitações tridimensional com a reta que passa pelo ponto de vmin, a partir do

qual podem surgir excitações no movimento do fluido.

observamos a formação de um maxon e de um roton, e dependendo da intensidade da interação esse roton pode ter valores cada vez menores. Caso a energia associada ao roton seja tal que

roton proton < lim p→0 ep p (3.60)

teremos uma velocidade mínima menor que estará associada a excitações não-nulas, e é isso que ocorre nos casos de interações soft-core que tratamos nesse capitulo. No caso tridimensional por exemplo, note que todos os pontos abaixo da linha do limite linear para q pequeno terão velocidades de fase associadas menores que o que naturalmente se espera para o mínimo com interações locais. O novo mínimo é dado pela velocidade associada ao roton, como podemos ver na figura 11.

Essa característica de sistemas com espectros exóticos como o do soft-core indica que deve haver algum tipo de transição de fase para certos valores de α, como pretendemos analisar no próximo capítulo.

(50)

4

Diagramas de Fase

O espectro de excitações do condensado com interações soft-core, como vimos, tem uma região de oscilação em que ocorrem um roton e um maxon. A medida que a interação vai ficando mais forte, ou seja, o α do espectro de excitações vai aumentando, vemos que o roton e o maxon vão ficando cada vez mais acentuados, até que chega um ponto no qual o roton toca o eixo horizontal q. O valor de α em que isso ocorre é de extrema importância, já que se o α continuar aumentando de valor a partir desse ponto uma parte cada vez maior do espectro teria energias complexas e não seria físico.

Pela forma diferenciada do espectro para cada grau dimensional vemos que os α∗,

onde ocorre o ponto crítico, também são diferentes. Neste capítulo iremos nos concentrar no caso bidimensional e observar a transição de fase do condensado relacionado ao α∗, e

veremos que este apresentará características de um supersólido (que discutiremos mais à frente).

4.1

α

e transição de fase

É fácil observar computacionalmente qual seria o α∗ para um dado grau de dimensão,

já que gráfico gerado tem uma certa sensibilidade aos valores de α e vemos que o ponto de transição é o último valor de α no qual não ocorrem valores complexos de ~˜ω(q). Em duas dimensões esse valor é α∗ = 14.74, e na figura 12 vemos o espectro para esse valor.

A medida que α se aproxima de α∗, há um estado de excitação q com energia associada

tendendo a zero. Nesse ponto de transição esse estado excitado será tão energeticamente favorável de ocorrer quanto o estado sem excitações, que correspondia ao nosso estado fundamental. Isso indica que deve ocorrer o surgimento de um novo estado fundamental modulado por uma excitação associada a esse q, ou seja, teremos uma componente do sistema com uma densidade variando periodicamente.

(51)

Figura 12: Valor de α∗ para duas dimensões

Figura 13: Expectativa qualitativa da densidade do sistema para uma dimensão (esquerda) e para duas dimensões vista de cima (direita).

constante para uma variação senoidal, não havendo uma transição de fase física, mas em duas dimensões esperamos que a geometria do sistema passe de um condensado homogêneo a uma cadeia de picos e vales com simetria triangular (hexagonal) [9].

Esse tipo de geometria é a forma mais eficiente de distribuição de corpos esféricos em um plano, que é o que esperamos que ocorra quando o sistema for modulado por vibrações de um determinado momento. Na figura 13 vemos como seria a distribuição de densidade para uma e duas dimensões.

Esse novo estado fundamental tem uma forma extremamente diferente do que o estado homogêneo anterior, e vemos que há uma quebra da simetria translacional que havia no estado superfluido de forma que ela agora é quantizada, sendo definida agora pelos vetores primitivos da rede de Bravais associada.

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