Critério de Rotura

Na formulação do MEA a rotura é avaliada segundo o critério de Mohr-Coulomb. Contudo, a sua aplicação direta a partir das molas normais e tangenciais, em vez de se basear nas tensões principais, pode, além de conduzir ao aumento de resistência da estrutura, levar à imprecisão do comportamento em fase de rotura. A resolução deste problema passa por determinar as tensões principais nos pontos de contacto das molas, conforme se observa na Figura 2.9.

Figura 2.9: Tensões principais para problemas bidimensionais [59]

De acordo com a Figura 2.9, as componentes da tensão normal e de corte, σ1e τ,

no ponto de contacto (A), são determinadas a partir da deformação das respetivas molas axiais e de corte, ligadas a esse ponto. A tensão normal σ2, no ponto (A),

pode ser obtida a partir das tensões normais em (B) e (C), da seguinte forma: σ2 =

x aσB+

a − x

Assim, a tensão principal máxima de tração pode ser calculada por: σp=( σ 1+ σ2 2 ) + √ ( σ1_{− σ}2 2 )2 + (τ )2 (2.13)

Se o valor da tensão principal, σp, exceder a tensão de resistência à tração do

material, as forças normais e de corte da mola são transferidas para o centro do elemento como um par de forças e momentos, sendo redistribuídas com sentido oposto no passo de cálculo seguinte. Nas zonas que fendilham, a redistribuição dessas forças é importante para se poder seguir a propagação da fenda. Para as molas axiais, as forças são redistribuídas até a tensão de tração na fase fendilhada ser nula.

No instante em que se atinge a tensão de fendilhação, as molas de corte deveriam ter alguma resistência devido ao efeito de “travamento” entre elementos, no entanto, a rigidez assume um valor nulo. Para ter em conta este efeito e o atrito entre elementos, é utilizado o modelo de comportamento da Figura 2.5.

A inclinação da fenda, β, em relação à face do elemento pode ser obtida pela equação (2.14), em que na presença de tensões tangenciais nulas a direção da fenda coincide com a face do elemento.

tan(2β) = ( 2τ σ1− σ2 ) (2.14) Se a mola romper por corte devido à compressão, as forças tangenciais são redistribuídas e a rigidez ao corte da mola é nula no seguinte instante da análise. Para molas sujeitas a esforços de compressão é também utilizada a rotura de Mohr-Coulomb.

O comportamento do elemento durante a fratura pode ser representado utilizando duas técnicas. A primeira consiste em dividir o elemento em dois corpos, cada um com três GDL (2D), gerando-se novas molas, como ilustrado na Figura 2.10(a). A aplicação desta técnica tem as seguintes vantagens [59]:

• Redistribuição precisa das tensões de tração;

• A propagação da fenda é simulada com maior rigor, visto que a cunha de fratura pode ser aproximadamente representada no elemento de discretização;

• A largura da fenda é obtida com exatidão de forma a simular corretamente a transferência das tensões de corte e a separação do elemento;

• Tensões de corte devido a esforços de compressão são também simuladas com precisão.

Apesar das vantagens enumeradas acima, esta técnica tem também as suas complicações [59]:

• O número de elementos aumenta significativamente após a fissuração, resultando num maior esforço computacional, e, especialmente, se forem utilizados elementos de pequenas dimensões e o número de fendas for elevado.

• A rigidez das molas não é calculada com tanta precisão, como antes da fissuração, porque a área associada a cada mola envolve um processo de cálculo mais complexo. Este efeito não é tão notório em casos de carregamento monotónico, no entanto, quando a estrutura é sujeita a uma ação cíclica e as fendas podem abrir e fechar, pode conduzir a imprecisões na análise.

• Sucessivas fendas no mesmo elemento podem levar a diminuições drásticas na precisão da análise.

• Se a fenda tiver pouca inclinação (valores de β reduzidos), Figura 2.9, podem surgir erros numéricos se os elementos fissurados tiverem proporções reduzidas. Para grandes discrepâncias entre elementos adjacentes a exatidão da análise é também inferior.

A segunda técnica a ser utilizada na formulação da fratura, consiste em manter a geometria inicial do elemento e redistribuir as tensões que se geram durante essa fase, conforme se ilustra na Figura 2.10(b). Quando no ponto de aplicação da mola é atingida a tensão principal máxima, de acordo com o critério de rotura anterior, as forças de axiais e de corte da respetiva mola são redistribuídas com sentido oposto no passo de cálculo seguinte, sendo primeiro transferidas ao centro do elemento e depois então aplicadas à estrutura.

(a) Divisão do elemento pelo plano de

fratura e geração de novas molas (b) Redistribuição das tensões pelasfaces do elemento Figura 2.10: Técnicas de simulação da fratura dos elementos [59]

O método de fratura por redistribuição das tensões na face, é relativamente simples, com a vantagem de não ser necessário nenhum tratamento especial para representar o processo de fendilhação. Na presença de tensões de corte reduzidas esta técnica revela bastante precisão, uma vez que a fratura é paralela

às faces do elemento (β = 0). Por outro lado, se as tensões de corte forem predominantes, é necessário reduzir a dimensão dos elementos para se poderem obter resultados de fendas mais realistas. Outra desvantagem associada a aplicação desta técnica está relacionada com a imprecisão nos resultados dos parâmetros de comportamento após-fratura, que dependem essencialmente da largura da fenda.

Em problemas tridimensionais são utilizadas abordagens semelhantes. Em geral, a fendilhação ocorre quando a tensão máxima principal do ponto de contacto da mola atinge a resistência à tração do material. Na Figura 2.11 ilustra-se o estado de tensão em cada mola e as tensões principais máximas.

As técnicas referidas anteriormente para descrever o comportamento dos elementos bidimensionais, durante a fratura, aplicam-se também em 3D, como apresentado na Figura 2.12. No ELS é utilizada a técnica ilustrada na Figura 2.12(b).

Figura 2.11: Critério de fissuração no betão [7].

(a) Divisão do elemento pelo plano de fratura e geração de novas molas

(b) Redistribuição das tensões pelas faces do elemento