A utilização eficiente do método iterativo de Newton-Raphson exige que se recorra a critérios de convergência e, eventualmente, de paragem. Estes critérios devem ser seleccionados com extremo cuidado, visto o equilíbrio do sistema e a precisão dos resultados deles dependerem. Neste trabalho consideram-se dois tipos distintos de critérios de convergência:
1. Critérios baseados na magnitude das correcções da variável que controla o processo (e.g. a temperatura no processo térmico);
2. Critérios baseados na magnitude do resíduo.
Neste contexto, consideraram-se os seguintes critérios baseados na magnitude das correcções da variável que controla o processo:
δTi+2
t+Δt ≤ εtolδT1t+Δt e (2.66)
máx δTt+Δti+2 k
≤ εtolδT1t+Δt. (2.67)
· designa a norma euclidiana de um vector e i ∈ IN0. εtol é um parâmetro11 de tolerância pre-
definido e k = 1, . . . , Nnós, em que Nnóscorresponde ao número de componentes do vector Tt+Δt.
Por outro lado, considerou-se o seguinte critério baseado na magnitude do resíduo:
Ri+1
t+Δt ≤ εtolR0t+Δt. (2.68)
11Nesta secção faz-se, por uma questão de simplificação, referência a um único parâmetro de tolerância, εtol.
No entanto, atenda-se ao facto de, na prática, se poderem considerar diferentes valores deεtol para cada um dos critérios.
Critérios de Convergência e de Paragem
As condições 2.66 e 2.67 verificam quando é que as sucessivas iterações se traduzem em variações insignificantes da variável de controlo. No entanto, embora estas condições sejam de fácil imple- mentação e envolvam um esforço computacional reduzido, não se revelam eficazes em situações em que o esquema iterativo possa convergir (ou divergir) de um modo muito lento. Por outro lado, a condição 2.68 controla a magnitude do resíduo, verificando quando é que a sua norma se torna suficientemente pequena. A simplicidade da implementação deste critério advém do facto de o vector Ri+1t+Δt ser obtido em cada iteração. No entanto, este critério revela-se insensível à taxa de variação do resíduo. Neste contexto, a utilização simultânea dos diferentes tipos de critério (cf. inequações 2.66 a 2.68) permite um controlo mais versátil e eficaz da convergência de um processo iterativo.
Por outro lado, de modo a evitar situações em que a não-convergência ou a convergência lenta do processo iterativo resulte num tempo despendido em cálculo computacional excessivo, foram considerados dois tipos distintos de critério de paragem. O primeiro critério de paragem adoptado neste trabalho consiste na finalização do ciclo iterativo, assim que o número de iterações efectuadas,
N , atinja o número máximo de iterações admissível:
N = Nmáx. (2.69)
Com base na magnitude do resíduo, foi também implementado um critério de paragem que visa a finalização do ciclo iterativo sempre que se verifiquem oscilações numéricas de magnitude excessiva ou, inclusive, a divergência da solução, isto é,
Ri+1 t+Δt ≥ 1 εtol R0 t+Δt. (2.70)
Capítulo 3
Problema Termomecânico —
Termoelasticidade Quase-Estática
Desacoplada
Tecem-se algumas considerações gerais acerca do problema geral de termoelasticidade linear, que combina a teoria da elasticidade linear com a condução de calor para situações de regime transitório. Refere-se a sua relação com os problemas de termoelasticidade desacoplada e de termoelasticidade quase-estática desacoplada. Apresenta-se a equação diferencial do problema quase-estático de elasticidade linear associado ao problema de termoelasticidade quase-estática desacoplada (linear). Com base no princípio dos deslocamentos virtuais, obtém-se a formulação integral fraca deste problema, procedendo-se à sua discretização espacial por elementos finitos.
3.1
Introdução
Várias aplicações de engenharia envolvem a consideração de fenómenos de termoelasticidade. Não raras vezes, estes fenómenos podem ser modelados com base na hipótese da sua linearidade. Assim, a utilização quer do método dos elementos finitos quer de metodologias de homogeneização pode revelar-se uma ferramenta particularmente útil e versátil para a modelação dos fenómenos de termoelasticidade linear. Em particular, as equações que descrevem o balanço de energia e a conservação de quantidade de movimento para o problema geral de termoelasticidade linear num meio sólido1Ω∈ IR3no intervalo de tempo ]0, tf] correspondem, assumindo pequenas deformações 1O meio sólido ocupa o conjunto aberto Ω ∈ IR3, delimitado pela fronteira Γ. A resolução do problema geral
de termoelasticidade linear corresponde à determinação de u e T em ¯Ω × ]0, tf], sendo ¯Ω = Ω ∪ Γ o fecho de Ω. A formulação detalhada do problema geral de termoelasticidade linear pode ser consultada, por exemplo, em [Boley e Weiner 1997, Fung e Tong 2001].
Formulação Diferencial do Problema Termoelástico
e considerando um referencial cartesiano ortonormado, a [Fung e Tong 2001]
ρc ˙T− div [k · grad(T )] − Q + T β : ˙ = 0 em Ω × ]0, tf] e (3.1)
div (σ) + f − ρa = 0 em Ω × ]0, tf], (3.2)
respectivamente. ρ e c são a massa específica e o calor específico (definido a deformação constante). ˙
T é a taxa de variação temporal do campo de temperaturas T . k e grad(T ) são o tensor de
condutividade térmica e o gradiente do campo de temperaturas, respectivamente. Q representa a taxa temporal de geração de calor por unidade de volume. β e ˙ são os tensores dos módulos térmicos e das taxas de variação temporal do campo de deformações , respectivamente. σ é o tensor das tensões de Cauchy. f e a são os vectores das forças volúmicas e das acelerações, respectivamente.
Neste contexto, o problema geral de termoelasticidade linear combina a teoria da elasticidade linear com a condução de calor para situações de regime transitório, pelo que a sua resolução se revela matematicamente complexa [Boley e Weiner 1997]. No entanto, na maioria das aplicações da termoelasticidade a problemas de engenharia é possível introduzir duas hipóteses simplifica- tivas nas equações 3.1 e 3.2 sem se levar ao aparecimento de erros significativos na sua solução. A primeira hipótese simplificativa consiste em não considerar o termo Tβ : ˙, de dissipação ter- moelástica (vd. equação 3.1). Este termo pode ser desprezado na generalidade dos problemas de termoelasticidade linear, exceptuando aqueles em que o fenómeno de dissipação termoelástica seja o objecto de estudo [Boley e Weiner 1997], tal como, por exemplo, no estudo da fricção in- terna em metais. Por outro lado, a segunda hipótese simplificativa consiste em não considerar o termo ρa de inércia mecânica (vd. equação 3.2). A consideração de apenas a primeira hipótese ou de ambas conduz aos ditos problemas de termoelasticidade desacoplada e de termoelasticidade quase-estática desacoplada, respectivamente. Por oposição, o problema geral de termoelasticidade linear é usualmente denominado de problema de termoelasticidade acoplada. Em termos gerais, as duas hipóteses simplificativas são admissíveis para o estudo de um determinado sistema no caso de o seu tempo característico térmico e de o tempo de aplicação de cargas térmicas (e.g. a taxa temporal de geração de calor volúmica, Q) serem bastante superiores ao tempo caracterís- tico mecânico do sistema. Uma análise mais detalhada destes assuntos pode ser consultada em [Boley e Weiner 1997].
O problema de termoelasticidade quase-estática desacoplada consiste em dois problemas distin- tos: um problema linear de condução de calor que, em termos de comportamento exclusivamente térmico, pode ser quase-estático (cf. equação 2.63) ou transitório (cf. equação 2.45), e um problema quase-estático de elasticidade linear, usualmente denominado de problema de termoelasticidade2
(linear) (cf. [Fung e Tong 2001]). Em termos práticos, nesta situação procede-se à resolução do problema de condução de calor, sendo o campo de temperaturas resultante utilizado, posterior- mente, no problema de termoelasticidade.