Crit´erio PPT ap ´os Atenuac¸˜ao

Vamos utilizar o crit´erio PPT para estudar a dinˆamica frente a perdas do emara- nhamento em estados gaussianos, pois ele ´e uma condic¸˜ao necess´aria e suficiente para o emaranhamento nesta classe de estados. Modelamos a dissipac¸˜ao como perdas por uma das portas de um divisor de feixes, como mostrado em (2.17). Elas v˜ao agir nos

ru´ıdos e correlac¸ ˜oes como ∆2ξˆa(Ti) = h[δ ˆξa(Ti)]2i = h  p Tiδ ˆξb± p 1_{− T}iδ ˆξ0a 2 i = Ti(∆2ξˆa− 1) + 1 h ˆξa(Ti) ˆξb(Tj)i = h  p Tiδ ˆξa± p 1_{− T}iδ ˆξ0a  q Tjδ ˆξb± q 1_{− T}jδ ˆξ0b  i = q TiTjh ˆξaξˆbi,

pois ˆξae ˆξb0 s˜ao descorrelacionados. Estas express ˜oes s˜ao compactadas em func¸˜ao da

matriz de covariˆancias como

V→ V′=_{L(V) = L(V − I)L + I,} (5.44)

onde_{I ´e a matriz identidade, L = diag(}√T₁, √T₁,√T2,√T2) e Tis˜ao os coeficientes de

transmiss˜ao. A transformac¸˜ao (5.44) se traduz nas matrizes A₁, A₂e C como

A′_i =TiAi+ (1− Ti)I e C′=

p

T1T2C. (5.45)

Como o crit´erio PPT depende apenas do sinal de Wppt21, se as atenuac¸ ˜oes se fatorassem

para todas as quantidades envolvidas em (5.42) de forma simples como ocorre com det(C), o estado se manteria emaranhado at´e atenuac¸˜ao total. Entretanto, devido a (5.44) e a primeira equac¸˜ao de (5.45), essa fatorac¸˜ao n˜ao ocorre para as purezas global e locais. Estas possuem uma dinˆamica n˜ao-linear em func¸˜ao das perdas, chegando a µ = µi= 1 para atenuac¸˜ao total. Esta dinˆamica n˜ao-linear das purezas ´e a origem dos

estados de emaranhamento fr´agil.

O procedimento que adotaremos ser´a calcular Wpptap ´os a atenuac¸˜ao,

W_ppt′ (T₁, T₂) = det(V′) + 1 + 2 det(C′)₋ X

j=1,2

det(A′_i). (5.46)

Um ponto muito importante a ressaltar ´e de que aqui n˜ao podemos usar a forma padr˜ao 1 como fizemos antes porque a operac¸˜ao que leva `a forma padr˜ao 1 - mais especificamente a transformac¸˜ao de squeezing - n˜ao comuta com a atenuac¸˜ao. Portanto, se aplicarmos a atenuac¸˜ao ap ´os passar para a forma padr˜ao 1, a matriz de covariˆancias obtida n˜ao necessariamente ´e a mesma que obter´ıamos se invertˆessemos os processos. Como no experimento a atenuac¸˜ao ´e aplicada no sistema real, antes de passar para a forma padr˜ao 1, o mesmo deve ser feito aqui.

O emaranhamento do sistema ´e dito robusto quando W′_ppt(T1, T2)< 0 dentro de

toda a regi˜ao em que 0< T₁, T2< 1. Para calcular a dependˆencia expl´ıcita com relac¸˜ao `a

21_{A partir deste ponto, vou supor que W}

phys≥ 0 sempre. Esta suposic¸˜ao ´e completamente razo´avel

e justificada, principalmente no contexto experimental, pois qualquer estado que possamos preparar ´e, por definic¸˜ao, f´ısico.

5.4 An´alise da Robustez do Emaranhamento em Sistemas de Vari´aveis Cont´ınuas de Dois Modos 113 atenuac¸˜ao, vamos reescrever cada um dos termos de (5.46) em func¸˜ao de quantidades que escalam de forma simples com as perdas. As mais diretas delas s˜ao

det(C′) = T₁T₂det(C) e det(V′_{− I) = T1}2T2₂det(V_{− I).} (5.47) Como qualquer matriz 2× 2 possui as propriedades

det(M− I) = det(M) − tr(M) + 1 e tr(M − I) = tr(M) − 2, (5.48) a atenuac¸˜ao tamb´em ´e fatorada nas quantidades

γ′_{i− δ}′_i=T_i2(γi− δi) e δ′_i=Tiδi, (5.49)

onde γ_i = det(A_i)_{− 1 e δi}= tr(A_i)_{− 2, tal que γi− δi} = det(A_{i− I). γi} ´e somente uma maneira conveniente de se escrever as purezas dos subsistemas. Ela ´e nula para um estado puro, positiva para uma mistura estat´ıstica e tende a infinito quanto mais o estado estiver longe de um estado puro. A quantidadeδi ´e a soma dos ru´ıdos de ˆp e ˆq

de cada subsistema menos os ru´ıdos de ˆp e ˆq de um estado de v´acuo. Por este motivo, ela ser´a chamada de excesso de ru´ıdo no decorrer deste texto. Este excesso de ru´ıdo ´e nulo para um estado coerente e positivo para qualquer outro estado f´ısico. A pureza global pode ser escrita em func¸˜ao deδieγicomo

det(V) = det(V_{− I) + η, onde} (5.50)

η = δ1(γ2− δ2) +δ2(γ1− δ1) + det(A1) + det(A2) +δ1δ2+ Tr1+ Tr2− tr(CTC)− 1, (5.51)

Tr1= tr(CTJ(A1− I)JC) e Tr2= tr(CJ(A2− I)JCT).

Estas ´ultimas quantidades escalam com as perdas como

Tr′₁=T₁2T2Tr1, Tr′2=T1T22Tr2, e tr(CTC) = T1T2tr(CTC). (5.52)

Quando substitu´ımos (5.50) em (5.20) e aplicamos a atenuac¸˜ao em todos os seus termos, chegamos em

W′_ppt(T1, T2) = T1T2WH, com WH=T1T2Γ22+T1Γ21+T2Γ12+ Γ11] (5.53)

Γ₂₂= det(V_{− I) = det(V) − η,} Γ₁₂= Tr₂+δ₁(γ_{2− δ2}), Γ₂₁= Tr₁+δ2(γ1− δ1), Γ11=δ1δ2− tr(CTC) + 2 det(C).

sistema ´e sempre separ´avel, W′_ppt(T1, 0) = W′_ppt(0, T2) = 0 22. Para qualquer T1 ,0 e

T2,0, podemos fatorar (5.53) de modo que WH pode ser usada no lugar de W_ppt′

como crit´erio de emaranhamento, pois ambas guardam a mesma informac¸˜ao. Todas as poss´ıveis dinˆamicas de W_ppt′ frente a perdas s˜ao mostradas na figura 5.4, para isso usamos uma matriz de covariˆancias mais simples na forma

Figura 5.4: Curvas de W_ppt′ (T1, T2). Os estados do tipo mostrado em a) s˜ao robustos. O

emaranhamento presente neles somente ´e perdido para atenuac¸˜ao total em ambos os subsistemas. O estado c) ´e separ´avel e mantendo-se sempre assim quando atenuado. Os estados d) e e) s˜ao parcialmente robustos com relac¸˜ao a um e dois subsistemas. E o estado b) se torna separ´avel antes da atenuac¸˜ao total para qualquer um dos subsistemas.

                   ∆2q₁ 0 cq 0 0 ∆2p₁ 0 cp cq 0 ∆2q2 0 0 cp 0 ∆2p2                    (5.54)

As curvas a)-d) s˜ao constru´ıdas com os seguintes parˆametros comuns: ∆2q₁= ∆2q₂= 2.55, ∆2p1= ∆2p2= 1.80 e cp=−1.26. Passamos de uma situac¸˜ao para a outra variando

o parˆametro cq. A figura a) representa um estado emaranhado robusto, com cq= 1.275.

Na figura b), o estado ´e fr´agil com relac¸˜ao a atenuac¸˜ao de qualquer uma das partes, com

cq= 0.893. Um exemplo de estado separ´avel ´e mostrado na figura c), onde cq= 0.3825.

Escolhendo cq= 1.03, o sistema ´e fr´agil para atenuac¸˜ao conjunta nos dois subsistemas, 22_{Isto significa que o estado formado quando um dos campos est´a no estado de v´acuo ´e sempre}

5.4 An´alise da Robustez do Emaranhamento em Sistemas de Vari´aveis Cont´ınuas de Dois Modos 115 mas ´e robusto quando atenuamos apenas uma das partes, como pode ser visto na figura d). Para construir a matriz de covariˆancias cuja dinˆamica ´e mostrada na figura e), uma das partes foi atenuada at´e que o estado gerado se torne fr´agil para atenuac¸˜ao em uma delas. Isto ocorre para a seguinte matriz de covariˆancias,

                   2.55 0 0.653 0 0 1.80 0 −0.797 0.653 0 1.62 0 0 _−0.797 0 1.32                    (5.55)

Os estados que s˜ao fr´ageis para atenuac¸˜ao em apenas uma das partes s˜ao chama- dos de parcialmente robustos. Por definic¸˜ao, todos os estados robustos s˜ao tamb´em parcialmente robustos.

A func¸˜ao WH ´e um parabol ´oide hiperb ´olico com coeficientes Γije possui uma pro-

priedade bastante ´util para nossa an´alise: a curva definida por WH(T1, T2) = constante

´e uma hip´erbole com ass´ıntotas dadas por T1=constante e T2=constante. Quando

WH(T1, T2) = 0, a curva formada ´e o conjunto de atenuac¸ ˜oes para as quais o estado

emaranhado se torna separ´avel. Ela divide os estados emaranhados dos separ´aveis dentro da regi˜ao de atenuac¸ ˜oes f´ısicas. A quantidade WH ´e mostrada na figura 5.5 e a

fronteira consiste das atenuac¸ ˜oes que satisfazem W_H(T₁, T₂) = 0 . Devido ao fato de os coeficientes Γijserem dependentes entre si, a hip´erbole WH(T1, T2) = 0 n˜ao pode ter uma

orientac¸˜ao arbitr´aria. Cada ramo da mesma deve ser formado por uma func¸˜ao mono- tonicamente decrescente em relac¸˜ao a qualquer uma das atenuac¸ ˜oes, como mostrado na figura 5.523.