6 Descric¸ ˜ao Te ´orica do OPO Triplamente Ressonante
6.2.3 Emaranhamento e Excesso de Ru´ıdo de Fase Introduzido pelos F ˆonons
A teoria descrita at´e aqui concorda quantitativamente muito bem com o experi- mento para os ru´ıdos e correlac¸ ˜oes de intensidade. Por´em no que diz respeito `a fase h´a excesso de ru´ıdo e correlac¸˜ao presentes nos trˆes campos [129]. Este problema foi ana- lisado em detalhes em [17] e tem como causa o espalhamento de f ´otons da portadora para as bandas laterais devido ao acoplamento com os f ˆonons no cristal. Consequente- mente, este efeito deve ser menor quanto mais frio estiver o cristal. Nestas condic¸ ˜oes, os ru´ıdos e correlac¸ ˜oes dos campos intracavidade s˜ao acrescidos das entradas da matriz
Figura 6.3: Ru´ıdos do OPO - Situac¸˜ao em que adicionamos o ru´ıdo de fase introduzido pelos fˆonons do cristal. de difus˜ao espectral, VQij(Ω) =ηij q PiPj. (6.44)
Isto faz com que a matriz espectral na sa´ıda seja dada por
Sph(Ω) = Ss(Ω) + T 1
2γ′iΩ + MV
Q 1
−iΩ + MT (6.45)
Os coeficientes ηi podem ser medidos de forma independente do OPO e s˜ao func¸˜ao
da temperatura, como mostrado em [17]. Note que como n˜ao h´a menc¸˜aoσ em (6.44), esta contribuic¸˜ao para a matriz de covariˆancias espectral depende explicitamente da potˆencia de limiar.
A matriz de covariˆancias global composta pelas seis bandas laterais dos trˆes campos est´a relacionada com o espectro de ru´ıdo pela relac¸˜ao (3.122). De posse da matriz de covariˆancias, podemos testar o crit´erio PPT como discutido no cap´ıtulo 5. De acordo com (3.123), a parte real do espectro de ru´ıdo se refere `a matriz de covariˆancias dos operadores no subespac¸o de soma de bandas laterais (ou subtrac¸˜ao a menos de uma rotac¸˜ao) quando a fotocorrente ´e estacion´aria
V+= Re[Ss(Ω)]. (6.46)
O emaranhamento pode ser testado atrav´es dos autovalores simpl´eticos como mostrado na figura 6.4.
6.2 An´alise Espectral do OPO 137
Figura 6.4: Menores autovalores simpl´eticos calculados a partir de transposic¸˜oes parciais
da matriz V+ para os parˆametros γ0 = 0.15, γ = 0.02, Ω = 0.45, µ0 = 0.06, µ = 0.002 e
η = (0.20, 0.095, 0.105, 0.120, 0.130, 0.060)T (curvas cheias) eη = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T (curvas pon- tilhadas). Nas curvas tracejadas, consideroµ0= 0 e µ = 0 na presenc¸a do excesso de ru´ıdo de
fase. Note que devido ao excesso de ru´ıdo, perdas maiores podem agir de maneira positiva para o emaranhamento. Nas curvas pretas, o bombeio ´e transposto e nas curvas em azul, um dos gˆemeos ´e transposto.
6.2.4
Squeezing de Dois Modos
Uma forma menos direta de resolver o sistema (6.38), mas que tr´as um pouco mais de intuic¸˜ao f´ısica sobre o sistema ´e obtida ao passar para o espac¸o de soma e subtrac¸˜ao
entre os feixes gˆemeos8,
δq±= √1
2(δq1± δq2) e δp±= 1 √
2(δp1± δp2). (6.47)
Neste espac¸o, as vari´aveis no subespac¸o de subtrac¸˜ao se desacoplam do resto como pode ser visto em (6.31-6.36). Para dessintonia nula, ∆ = ∆0= 0, as equac¸ ˜oes para o
subespac¸o de subtrac¸˜ao se tornam,
d dtδq−=−2γ′δq−+ p 2γvq−+p2µvq−′ e d dtδp−= p 2γvp−+ p2µvp−′. (6.48)
8´E importante n˜ao confundir esta transformac¸˜ao com a de soma e subtrac¸˜ao de bandas laterais
discutida no cap´ıtulo 3. Aquela transformac¸˜ao ´e realizada entre as bandas laterais inferior e superior de cada campo e ocorre de fato no experimento, pois forma o espac¸o privilegiado pela fotodetecc¸˜ao. Aqui a passagem para o espac¸o de soma e subtrac¸˜ao ´e uma conveniˆencia matem´atica. N˜ao fazemos esta transformac¸˜ao no nosso experimento, as a mesma pode ser implementada de incidimos cada feixe gˆemeo em uma das portas de um divisor de feixes balanceado. Note que isto funciona somente se os dois campos possuem portadoras com a mesma frequˆencia.
Se n˜ao houvesse cristal na cavidade, n˜ao haveria gerac¸˜ao de feixes gˆemeos e o estado de sa´ıda seria o mesmo estado de v´acuo de entrada. A equac¸˜ao para a evoluc¸˜ao de δq− eδp− para esta situac¸˜ao pode ser encontrada fazendoχ = 0 em (6.31-6.36), o que faz com que a matriz M seja diagonal e leve ao seguinte conjunto de equac¸ ˜oes para o subespac¸o de subtrac¸˜ao, d dtδq vac − =−γ′δqvac− + p 2γvq−+ p2µvq−′ e d dtδp vac − =−γ′δqvac− + p 2γvp−+ p2µvp−′.(6.49) Note que aqui a equac¸˜ao para ambas as quadraturas possuem um mesmo termo de decaimento. O decaimento com o fator de 2γ′ em (6.48) ´e o respons´avel pelo squeezing
na subtrac¸˜ao das intensidades no OPO acima do limiar. Como a quadratura conjugada n˜ao possui termos de decaimento ela pode, em princ´ıpio, se tornar arbitrariamente grande. Para tornar este argumento mais expl´ıcito vamos olhar para as soluc¸ ˜oes das equac¸ ˜oes (6.49) e (6.48). Todas elas ser˜ao da forma
fβ(t) = Z t −∞ dt1e−βγ ′(t−t1)h p 2γv(t1) + p 2µv′(t1) i (6.50) em queδqvac
− =δpvac− = f1,δq−= f2eδp−= f0. Os termos de v´acuo s˜ao representados por
v = vq−ou vp−e v′=vq−′ou vp−′. Os processos de entrada e sa´ıda da cavidade levam a um modo de sa´ıda de fβS(t) = p2γ fβ(t)− v(t). Portanto, as correlac¸˜oes temporais do campo
intracavidade e do campo de sa´ıda se tornam h fβ(t) fβ(t′)i = 1 βe−βγ ′|t−t′| e h fβS(t) fβS(t′)i = δ(t − t′)− 2γ 1−1 β ! e−βγ′|t−t′| (6.51) poishvq−(t1)vq−(t2)i = hvp−(t1)vp−(t2)i = δ(t1−t2), sendo que o mesmo vale para vp−′(t) e vq−′(t)
e todas as outras correlac¸ ˜oes se anulam. Note que estas correlac¸ ˜oes temporais preveem fotocorrentes estacion´arias. Quandoβ = 1, o estado de sa´ıda tem a mesma correlac¸˜ao do estado de v´acuo de entrada como era de se esperar. Paraβ = 2, h´a uma diminuic¸˜ao da correlac¸˜ao temporal por um fatorγe−2γ′|t−t′|, o que significa que h´a squeezing em relac¸˜ao ao ru´ıdo de v´acuo quando t = t′. A correlac¸˜ao temporal fora da cavidade diverge al´em de uma delta de Dirac quandoβ = 0.
No dom´ınio da frequˆencia, a soluc¸˜ao para este sistema ´e δqS−(Ω) = − 2γ iΩ− 2γ′+ 1 vq−(Ω)− 2 √γµ iΩ− 2γ′v q −′(Ω), δpS−(Ω) = (2γ − 1)vp−(Ω) + 2√γµvp−′(Ω).
Atrav´es do c´alculo dos espectros de ru´ıdo podemos prever squeezing emδqS
6.2 An´alise Espectral do OPO 139
Figura 6.5: Squeezing de intensidade de antisqueezing de fase na subtrac¸˜ao das intensidades.
As curvas azuis representam a situac¸˜ao em queµ = 0.1γ e as curvas vermelhas em que µ = 0. dente deσ para qualquer valor de Ω,
Sq−(Ω) =hδqS−(Ω)δqS−(−Ω)i = γ′Ω 2+µ γ′(1 + Ω2) e Sp−(Ω) =hδp S −(Ω)δpS−(−Ω)i = γ′Ω2+γ γ′Ω2 .
O ru´ıdo de intensidade no modo de subtrac¸˜ao ´e sempre menor que o ru´ıdo quˆantico padr˜ao, o que ocorre devido `as correlac¸ ˜oes de intensidade presentes no OPO. Essa compress˜ao ser´a maior quanto mais pr ´oximo da frequˆencia de ressonˆancia estivermos medindo, ou seja, quanto menor Ω. Quando a cavidade ´e perfeita para os feixes gˆemeos,µ = 0 e Sq−(Ω) = 1/Sp−(Ω) = Ω2/(1 + Ω2), temos um estado comprimido de fato na subtrac¸˜ao. Dependendo da frequˆencia de an´alise, obtemos diferentes valores de
squeezing tendo como casos limite o estado de v´acuo (Sq−(Ω→ ∞) → 1) e o estado de
squeezing infinito tratado por EPR (Sq−(Ω→ 0) → 0) [29]. Note tamb´em que o squeezing sofre bastante com as perdas intracavidade. Nestas circunstˆancias, Sq−(Ω→ 0) = 1 − η, ondeη = γ/γ′ ´e a eficiˆencia quˆantica. Esta relac¸˜ao significa que para perdas esp ´urias de apenas 10% do coeficiente de transmiss˜ao, Sq−(Ω→ 0) ≈ 0.1, o que ´e equivalente a um fator de squeezing de 1, 15 (ou 10 dB).