Crit´erio de compara¸c˜ao por limite para s´eries de termos positivos 75

b

Propriedade 65. 1. Sejam duas s´eriesX

ak e X

bk de termos positivos, se existe lima_k

bk

=a6=0 ent˜ao X

a_k converge ⇔ X

b_k converge . 2. Se lima_k

b_k =0 ent˜ao a convergˆencia deX

b_k implica convergˆencia de X a_k. ê Demonstra ¸c ˜ao.

1. Existe n₀ ∈N tal que para k > n₀ tem-se 0< t₁ < a−ε < a_k

b_k < a+ε < t₂ como b_k>0 tem-se

t₁b_k< a_k< t₂b_k aplicamos a soma

Xn k=n₀+1

, da´ı

t₁ Xn k=n₀+1

bk<

Xn k=n₀+1

ak< t₂ Xn k=n₀+1

bk

usando essa desigualdade temos por compara¸c˜ao que se X

b_k converge ent˜ao Xak converge e se X

ak converge ent˜ao X

bk converge.

2. De maneira similar ao item anterior.

Existe n₀ ∈N tal que para k > n₀ tem-se 0≤ a_k

bk

< ε < t₂ como b_k>0 tem-se

0≤a_k< t₂b_k aplicamos a soma

Xn k=n₀+1

, da´ı

0≤ Xn k=n₀+1

ak< t₂ Xn k=n₀+1

bk

usando essa desigualdade temos por compara¸c˜ao que se X

b_k converge ent˜ao Xak converge.

Z

^{Exemplo 50. A s´erie Xsen(}_k¹⁾ diverge pois X 1

k diverge e

klim→∞

sen(_k¹)

1 k

=1 pois isso equivale tomando 1

k =x que x →0 ent˜ao ca´ı no limite fundamental limx→0

sen(x) x =1. Notamos que sen(1

k) ´e positivo pois a fun¸c˜ao ´e positiva no intervalo (0,π 2).

Por isso podemos aplicar o crit´erio .

Z

^{Exemplo 51.} Pode valer que X

a_k converge, valendo limak

b_k = 0 e X b_k n˜ao converge, tome por exemplo a_k = 1

k², b_k = 1 k, X

b_k n˜ao converge, limak

b_k = lim k

k² = lim 1

k = 0 e X

a_k converge, logo a rec´ıproca do item 2 da propriedade anterior n˜ao vale.

Z

^{Exemplo 52. Se Xak} de termos positivos converge ent˜ao X

sen(a_k) tamb´em converge, pois da primeira convergˆencia temos lima_k = 0 da´ı para k grande vale que sen(ak)>0 e vale limsen(a_k)

a_k =1 ent˜ao X

sen(ak) converge.

Podemos ainda resolver sem esse crit´erio, pois se 0 <|x|< π

2 tem-se sen(x)<

x, da´ı com

0≥sen(a_k)< a_k e por compara¸c˜ao a primeira converge.

b

Propriedade 66. Seja (a_n) uma sequˆencia n˜ao-crescente de n´umeros reais positivos. Se X

a_k converge ent˜ao limna_n =0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usaremos o crit´erio de Cauchy . Existe n₀∈ N tal que para

n+1> n₀ vale

2na_2n

2 =na_2n ≤ X2n k=n+1

a_k < ε

logo lim 2na_2n=0. Agora mostramos que a subsequˆencia dos ´ımpares tamb´em tende a zero. Valea_2n+1≤a_2n da´ı 0<(2n+1)a_2n+1≤2na_2n+a_2n por teorema do sandu´ıche segue o resultado. Como as subsequˆencias pares e ´ımpares de (na_n) tendem a zero, ent˜ao a sequˆencia tende a zero.

$

Corol ´ario 26. A s´erie harmˆonica X 1

k diverge, pois (1

n) ´e decrescente e vale limn

n =16=0.

b

Propriedade 67. Seja (x_k) uma sequˆencia de n´umeros n˜ao negativos com a s´erie X

x_k convergente ent˜ao X

x²_k ´e convergente.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[1] Como X

ak ´e convergente, vale limak = 0 e da´ı para k > n₀ vale x_k <1 que implica x²_k≤x_k logo por compara¸c˜ao X

x²_k converge.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Como temos x_k ≥ 0 segue tamb´em x²_k ≥ 0, sendo ent˜ao s(n) =

Xn k=b

x²_k temos∆s(n) =x²_n+1 ≥0, logos(n) ´e n˜ao decrescente, se mostrarmos que a s´erie ´e limitada superiormente teremos uma sequˆencia que ´e limitada e mon´otona logo convergente. Temos que s(n) ´e limitada superiormente da seguinte maneira

Xn k=b

x²_k≤( Xn k=b

x_k)(

Xn k=b

x_k) logo a s´erie ´e convergente.

$

Corol ´ario 27. Se X

a_k ´e absolutamente convergente ent˜ao X

a²_k converge, usamos o resultado anterior comx_k=|a_k|, ent˜ao a convergˆencia deX

|a_k|implica a convergˆencia de X

|a_k|² =X a²_k.

Z

^{Exemplo 53.} Se n˜ao vale x_k > 0 ent˜ao podemos ter X

x_k convergente e Xx²_k divergente, pois X(−1)^k

√k converge e X 1

k diverge.

b

Propriedade 68. Se X

a_k, a_k>0 converge ent˜ao a s´erie X√ ak

k tamb´em converge .

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usando a desigualdade de Cauchy (

a s´erie ´e limitada superiormente, sendo crescente, ela converge .

$

Corol ´ario 28. Se X

x²_k, converge ent˜ao a s´erieXx_k

k tamb´em converge, basta usar o resultado anterior com ak =x²_k.

b

Propriedade 69. Se X

x²_n e X

y²_n convergem ent˜ao X

x_n.y_n converge absolutamente.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usando a desigualdade de Cauchy ( logo por crit´erio de compara¸c˜ao segue que X

x_n.y_n converge absolutamente.

1.10 Representa ¸c ˜ ao decimal

m

Defini ¸c ˜ao 17 (Representa¸c˜ao numa base b). Dado um n ´umero natural b >1, a representa¸c˜ao de um n´umero real x na forma

x= Xn k=−∞

b^ka_k

onde a_k ∈ {0,· · · , b−1}, ´e chamada de representa¸c˜ao na base b do n ´umero x . Cada a_k ´e chamado de algarismo e k de seu ´ındice.

Caso x = Xn k=−∞

b^ka_k denotaremos tamb´em

x = (an· · ·a₀, a−1· · ·a−t· · ·)b

que vamos denotar em nota¸c˜ao compacta

x= (a_k)ⁿ_{(k=−∞, b)}. Caso de um n ´umero natural

x= (a_k)ⁿ_(b) = (a₀,· · · , a_n)_b

o ´ındice b para simbolizar a base, o expoente n para simbolizar que k varia de 0 at´e n.

b

Propriedade 70. Todo n ´umero m∈N pode ser representado numa base a.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Pelo teorema de divis˜ao euclidiana, se tomarmos n´umeros f(0) = m e a 6= 0 naturais, teremos n ´umeros f(1) e R(0) determinados univocamente, tais que f(0) = af(1) +R(0) com 0≤R(0)< a. Onde f(1) ´e o quociente, R(0) ´e o resto da divis˜ao de f(0) por a. Podemos assim definir uma sequˆencia

f(n) =af(n+1) +R(n)

onde R(n) ´e sempre o resto da divis˜ao de f(n) por a, logo R(n) ∈ {0,· · · , a−1}, f(n+1) ´e o quociente. esse tipo de recorrˆencia podemos encontrar a f´ormula geral .

Vamos resolver ent˜ao essa recorrˆencia. Tomamos f(n) = h(n) 1

aⁿ, substituindo temos

f(n)

a −R(n)

a =f(n+1) h(n)

aⁿ⁺¹ −R(n)

a = h(n+1) aⁿ⁺¹

−R(n)

a aⁿ⁺¹= −aⁿR(n) =∆h(n)

aplicando o somat´orio em ambos termos, variando de k=0 at´e n−1 temos Xn−1

k=0

∆h(k) =h(n) −h(0) = − Xn−1 k=0

a^kR(k)

h(n) =h(0) − Xn−1

k=0

a^kR(k) logo temos

f(n)aⁿ =h(0) − Xn−1

k=0

a^kR(k) tomando n=0 temos

f(0) =h(0) logo

f(n)aⁿ+ Xn−1

k=0

a^kR(k) =f(0)

se f(n) =R(n), podemos juntar ao limite superior do somat´orio, ficando com f(0) =

Xn k=0

a^kR(k)

Este resultado permite ver o mˆetodo para expressar um n´umero em termo de potˆencias de a que ´e chamado de base.

m

Defini ¸c ˜ao 18. Um algarismos `a esquerda de um algarismo at dado de Xm

k=−∞

b^k

s˜ao os algarismos a_k com k > t, caso existam . Algarismos `a direita de a_t s˜ao os algarismos, a_k comk < t, caso existam . Dados dois algarismos a_t e a_w distintos, w > t, os algarismos entre esses dois s˜ao os algarismos a_k com t < k < w, caso w=t+1 ent˜ao n˜ao existe algarismo entre a_t e a_w.

m

Defini ¸c ˜ao 19 (Representa¸c˜ao decimal de n´umero natural). Um n ´umero natural pode ser representado da forma

Xn k=0

a_k10^k.

m

Defini ¸c ˜ao 20 (Representa¸c˜ao decimal de um n´umero real). Seja dada uma sequˆencia (a_k)^∞₀ = (a₀, a₁, a₂,· · ·) onde a₀ ´e um inteiro qualquer e a_k com k >0 pertence ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Um n ´umero real na forma decimal ´e representado por

a₀, a₁a₂a₃· · ·

onde cada a_k ´e chamado de d´ıgito do n ´umero na forma decimal . Para dar sentido `a a₀, a₁a₂a₃· · · como n ´umero real, definimos

a₀, a₁a₂a₃· · ·= X∞

k=0

ak

10^k =a₀+ X∞

k=1

ak

10^k

O sistema decimal para representar n ´umeros naturais ´e variante do sistema sexagesimal utilizado pelos babilˆonios h´a cerca de 1700 anos antes de Cristo, ele foi desenvolvido na China e na ´India. Por neste sistema, todo n ´umero ser

representado por uma sequˆencia formada pelos algarismos 0, 1, ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

sendo em n ´umero de 10, o sistema ´e portanto chamado de decimal .

O sistema decimal tamb´em ´e dito posicional, pois cada algarismo, al´em de seu valor intr´ınseco, possui um peso que lhe ´e atribu´ıdo em fun¸c˜ao de sua posi¸c˜ao dentro da sequˆencia. Esse peso ´e uma potˆencia de 10 e varia como exposto acima.

Agora vamos mostrar que essa s´erie da representa¸c˜ao decimal sempre converge , logo a₀, a₁a₂a₃· · · representa um ´unico n´umero real.

b

Propriedade 71. Cada decimal representa um ´unico n´umero real.

ê Demonstra ¸c ˜ao. X∞

k=1

a_k

10^k ´e uma s´erie de n ´umeros positivos limitada supe-riormente pela s´erie

X∞ k=1

9

10^k que converge para 1 ent˜ao X∞

k=1

a_k

10^k converge para um n ´umero real pelo crit´erio de compara¸c˜ao . O crit´erio de compara¸c˜ao usa que uma sequˆencia limitada superiormente e crescente converge para o supremo do con-junto, ent˜ao essa demonstra¸c˜ao em geral necessita que o corpo em que estamos trabalhando seja completo, por exemplo, nem toda representa¸c˜ao decimal converge para um n ´umero racional.

Com isso conclu´ımos que a₀, a₁a₂a₃· · · = X∞

k=0

a_k

10^k = a₀ + X∞

k=1

a_k

10^k = c ´e um n ´umero real .

Pela unicidade de limite o n ´umero real que a₀, a₁a₂a₃· · · representa ´e ´unico . Cada a₀, a₁a₂a₃· · · representa um e apenas um n ´umero real.

$

Corol ´ario 29.

0,9999· · ·=1 pois pela defini¸c˜ao de representa¸c˜ao decimal

0,99· · ·=0+ X∞

k=1

9 10^k =1

No caso mostramos que uma representa¸c˜ao decimal para 1 pode ser dada por a₀ =0 e a_k=9 para todo k >0 ent˜ao associamos 0,9999· · · ao n ´umero 1 .

Perceba que o n ´umero 1 tem pelos menos duas representa¸c˜oes decimais, pois 1 tamb´em tem a representa¸c˜ao

1,00· · · pois

1,00· · ·=1+ X∞

k=1

0 10^k =1.

$

Corol ´ario 30. Em geral a₀,0000· · ·=a₀ e (a₀−1),9999· · ·=a₀ pois

(a₀−1),9999· · ·=a₀−1+ X∞

k=0

9

10^k =a₀−1+1=a₀.

Conclu´ımos ent˜ao que todo n´umero inteiroa₀ possui pelo menos duas representa¸c˜oes decimais

a₀,0000· · · e (a₀−1),99· · · .

Z

^{Exemplo 54.}

0,999· · ·=1 1,999· · ·=2.

m

Defini ¸c ˜ao 21 (Representa¸c˜oes decimais distintas). Duas representa¸c˜oes de-cimais a₀, a₁a₂a₃· · · e b₀, b₁b₂b₃· · · s˜ao ditas distintas quando as sequˆencias

associadas (a₀, a₁, a₂,· · ·) e (b₀, b₁, b₂,· · ·) s˜ao distintas .

$

Corol ´ario 31. N ´umeros reais podem ter duas representa¸c˜oes decimais distin-tas.

ConsidereBo conjunto das sequˆencias(a₀, a₁, a₂,· · ·)associadas a uma representa¸c˜ao decimal, temos uma fun¸c˜ao f que associa a cada elemento de B a um n ´umero real, definida como

f(a₀, a₁, a₂,· · ·) = X∞

k=0

a_k 10^k

por´emfn˜ao ´e injetiva, pois existem sequˆenciasx₁ e x₂ distintas tais quef(x₁) =f(x₂).

Podemos mostrar que f ´e sobrejetora, isto ´e, para cada x real existe uma sequˆencia x₁ tal que f(x₁) =x.

m

Defini ¸c ˜ao 22 (D´ızima peri´odica). Uma representa¸c˜ao decimal a₀, a₁a₂· · · ´e dita ser uma d´ızima peri´odica quando a sequˆencia dos d´ıgitos (a_k) ´e peri´odica a partir de algum k=n.

m

Defini ¸c ˜ao 23 (D´ızima peri´odica simples ou D´ızima simples). Uma d´ızima peri´odica, ´e dita ser simples, quando a sequˆencia dos d´ıgitos (ak) ´e peri´odica a partir de k=1.

m

Defini ¸c ˜ao 24 (D´ızima peri´odica composta ou D´ızima composta). Uma d´ızima peri´odica, ´e dita ser composta, quando a sequˆencia dos d´ıgitos (ak) ´e peri´odica a partir de k >1.

Em R se considera a adi¸c˜ao usual + e o produto usual ×, que fazem de R um corpo, al´em disso se considera o limite com a norma do m´odulo

limx_n=a⇔∀ ε > 0∃n₀∈N|n > n₀ ⇒|x_n−a|< ε

Se usamos outra maneira de medir distˆancia ao inv´es do m´odulo, n˜ao se est´a trabalhando emR de maneira usual, seria algo como dizer, 1+1 n˜ao ´e 2 pois estamos usando uma "adi¸c˜ao"diferente, como por exemplo uma definida assim a+sb= (a+ b).2 da´ı 1+_s1= (1+1)2 =4.

Em→ usando adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e norma usual, definindo a expans˜ao decimal como s´erie tem-se

0,999· · ·=1.

Uma coloca¸c˜ao comum de alguns estudantes ´e que 0,999· · · n˜ao ´e 1 e sim tende a 1, o que n˜ao ´e verdade, pois 0,999· · · n˜ao ´e uma sequˆencia dessa forma n˜ao faz sentido dizer que ele tende `a 1, 0,999· · · ´e o limite de uma sequˆencia de n´umeros reais, por defini¸c˜ao, sendo portanto um n´umero real.

b

Propriedade 72. x ´e racional ⇔ possui representa¸c˜ao peri´odica.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

⇒). Se x ´e racional x = p

q, por divis˜ao euclidiana p=a₀q+r₀ logo x =a₀+r₀

q.

Existe s₁ m´ınimo tal que 10^s1r₀ ≥ q, da´ı por divis˜ao euclidiana 10^s1r₀ = a_s1q+r_s1, ent˜ao

x=a₀+ r₀10^s1

q 10^−s1 =a₀+as₁10^−s1+r_s1 q10^−s1

vale que a_s1 <10 por minimalidade de s₁ , pois caso contr´ario se a_s1 ≥10 ent˜ao 10^s1r₀ =a_s1q+r_s1 ≥10.q

e por isso 10^s1−1r₀≥ q contradizendo a minimalidade de s₁. Por isso as₁ ´e inteiro no conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Repetimos o procedimento com r_s1

x=a₀+as₁10^−s1+as₂10^−s2 +r_s2 q 10^−s2,

rs_k ´e o resto da divis˜ao de um n ´umero por q, ele pode assumir os valores {0,1,· · · , q−2, q−1}, um n ´umero finito de valores, ent˜ao para algum k o n ´umero r_sk deve ser igual a algum outro r_st com k > t, da´ı o processo para se obter a_sk+1

´e o mesmo para se obter a_st+1 e os n ´umeros come¸cam a se repetir na sequˆencia da expans˜ao decimal.

10^sk+1|{z}rs_k

=r_st

≥q⇒s_k+1 =s_t+1 10^sk+1 r_sk

|{z}

=r_st

= a_sk+1

|{z}

=a_st+1

q+ r_sk+1

|{z}

=r_st+1

por isso a representa¸c˜ao se torna peri´odica. Um n´umero racional possui representa¸c˜ao decimal peri´odica.

⇐). Um n ´umero com representa¸c˜ao decimal peri´odica representa um n´umero de-cimal. Um n ´umero com representa¸c˜ao decimal peri´odica ´e da forma

a₀, a| {z }₁· · ·a_t parte n˜ao peri´odica

a_t+1· · ·a_t+pa_t+1· · · ·a_t+p

a₀+ Xt

k=1

ak10^−k+at+1(10^−(t+1)+10^−(t+p+1)+10^−(t+2p+1)+· · ·)+at+2(10^−(t+2)+10^−(t+p+2)+10^−(t+2p+2)+· · ·)+

+· · ·+a_t+p(10^−(t+p)+10^−(t+p+p)+10^−(t+2p+p)+· · ·)

onde cada parcela ´e racional, ent˜ao a soma resultante ´e um n´umero racional.

a_t+p(10^−(t+p)+10^−(t+p+p)+10^−(t+2p+p)+· · ·) =a_t+p10^−(t+p)(1+10^−(p)+10^−(2p)+· · ·) o n ´umero

X∞ k=0

10^−kp ´e racional logo todas parcelas s˜ao realmente racionais.

Z

^{Exemplo 55.} Achar d´ızima de 2

11. Temos que 2

11 = 20.10⁻¹ 11 =

11 11 + 9

11

10⁻¹ =1.10⁻¹+ 9

1110⁻¹ =

=1.10⁻¹+ 90

1110⁻² =1.10⁻¹+ (8.11 11 + 2

11)10⁻²=1.10⁻¹+8.10⁻²+ 2

1110⁻² = como aparece novamente o termo 2

11 as express˜oes come¸cam a se repetir . Ent˜ao temos que

2

11 =0,1818181818· · ·=0,18.

b

Propriedade 73. Sejam a= X∞

k=0

a_k10^−k e b= X∞

k=0

b_k10^−k duas representa¸c˜oes decimais. Se a₀> b₀:

1. ent˜ao a≥b.

2. Vale a=b⇔a₀ =b₀+1, b_k=9, a_k=0 ∀k≥1.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

1. Como a₀ e b₀ s˜ao inteiros e a₀ > b₀ ent˜ao a₀ ≥b₀+1, isto ´e, a₀−b₀ ≥1, da´ı

a−b= X∞ k=0

(a_k−b_k)10^−k= (a₀−b₀)

| {z }

≥1

+ X∞

k=1

(a_k−b_k)10^−k.

Ora, o termo X∞

k=1

(ak−bk)10^−k atinge um m´ınimo quando cada ak−bk assume valor −9, onde a soma resulta em −1, por isso

a−b≥1− X∞

k=1

9·10^−k =1−1=0 portanto a≥b.

2. a=b⇔a−b=0. Passando para a s´erie (a₀−b₀) +

X∞ k=1

(a_k−b_k)10^−k=0

como vimos o m´ınimo atingido pela s´erie ´e −1 por isso n˜ao pode valera₀> b₀+1 o que implicaria a₀ ≥ b₀+2, isto ´e, a₀−b₀ ≥ 2, pois a soma n˜ao seria nula.

Portanto vale a₀ ≤ b₀ + 1 e de a₀ > b₀ segue que a₀ ≥ b₀ +1, portanto a₀ = b₀+1. Observe que essas desigualdades s˜ao poss´ıveis de serem tratadas assim pois a₀ e b₀ s˜ao n´umeros inteiros. Precisamos que

X∞ k=1

(a_k−b_k)10^−k= −1, vamos provar que para isso acontecer, cada a_k = 0 e cada b_k = 9. Queremos

que suficiente-mente grande, isto ´e, maior que um certo natural.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por hip´otese n˜ao vale a_k = b_k para todo k, logo existe um

Multiplicando por 10^t conclu´ımos que X∞ para todo k >0. Como quer´ıamos demonstrar.

$

Corol ´ario 32. • Se um n ´umero possui duas representa¸c˜oes decimais tal

n ´umero ´e racional.

• N ´umeros irracionais possuem representa¸c˜ao ´unica.

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