• Nenhum resultado encontrado

Anota¸c˜oes sobre s´eries

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Anota¸c˜oes sobre s´eries"

Copied!
102
0
0

Texto

(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

rodrigo.uff.math@gmail.com

3 de janeiro de 2018

(2)
(3)

1 S ´eries 5

1.1 Nota¸c˜oes . . . 5

1.2 Defini¸c˜ao e conceitos b´asicos. . . 5

1.2.1 Mudan¸ca de vari´avel em s´eries . . . 7

1.2.2 Condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries . . . 9

1.2.3 Crit´erio de compara¸c˜ao . . . 15

1.2.4 Crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy . . . 17

1.2.5 S´eries do tipo X k=1 1 kp e divergˆencia da s´erie harmˆonica. . . 19

1.2.6 Divergˆencia da s´erie harmˆonica. . . 21

1.2.7 Divergˆencia de X k=1 1 kp com p <1. . . 23

1.2.8 S´eries de Fun¸c˜oes Racionais . . . 28

1.2.9 Crit´erio de Cauchy para s´eries . . . 30

1.3 S´eries absolutamente convergentes . . . 33

1.3.1 Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente . . . 33

1.3.2 Parte negativa e positiva de uma s´erie . . . 34

1.3.3 Teste da raiz-Cauchy . . . 38

1.3.4 Teste da raz˜ao-D’ Alembert . . . 40

1.3.5 Crit´erio de Dirichlet . . . 46

1.3.6 Crit´erio de Leibniz. . . 49

1.3.7 Crit´erio de Kummer . . . 55

1.4 Comutatividade . . . 60

1.5 Soma sobre um conjunto infinito arbitr´ario . . . 64

1.6 S´eries em espa¸cos vetoriais normados . . . 65

1.7 Soma de Ces `aro . . . 65 3

(4)

1.7.1 S´erie de Grandi . . . 72

1.8 Sequˆencias (C, P) som´aveis . . . 73

1.9 S´eries de termos n˜ao negativos . . . 74

1.9.1 Crit´erio de compara¸c˜ao por limite para s´eries de termos positivos 75 1.10 Representa¸c˜ao decimal . . . 79

1.11 Teste da integral para convergˆencia de s´eries . . . 89

1.11.1 Sequˆencia de varia¸c˜ao limitada . . . 91

1.12 S´eries em espa¸cos vetoriais normados . . . 94

1.13 Produto de s´eries . . . 96

1.14 S´eries e desigualdade das m´edias . . . 100

1.15 Extens˜ao do conceito de s´erie para X k=1 ak. . . 100

(5)

S ´eries

Esse texto ainda n˜ao se encontra na sua vers˜ao final, sendo, por enquanto, cons- titu´ıdo apenas de anota¸c˜oes informais. Sugest˜oes para melhoria do texto, corre¸c˜oes da parte matem´atica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email rodrigo.uff.math@gmail.com.

1.1 Nota ¸c ˜ oes

Usaremos o ∆ para simbolizar o operador que faz a diferen¸ca de termos consecu- tivos de uma fun¸c˜ao

∆f(x) := f(x+1) −f(x).

A nota¸c˜ao Q para denotar o operador que faz o quociente, Qf(x) = f(x+1)

f(x) .

1.2 Defini ¸c ˜ ao e conceitos b ´asicos

Vamos definir o somat´orio como Xs

k=s

f(k) =f(s)∀s ∈Z Xb

k=a

f(k) = Xp k=a

f(k) + Xb k=p+1

f(k)∀b, a, p∈Z.

5

(6)

Perceba que n˜ao colocamos limita¸c˜ao em b, a e p inteiros , na defini¸c˜ao acima podemos ter b < a. Em especial tomando p=a−1 na identidade acima segue que

Xb k=a

f(k) = Xa−1 k=a

f(k) + Xb

k=a

f(k)

logo deve valer Xa−1 k=a

f(k) =0 que ´e chamada de soma vazia .

m

Defini ¸c ˜ao 1 (S´erie). Sejam a∈ Z, A um conjunto indutivo que contenha a , f(k) :A→R uma fun¸c˜ao . Chamamos de s´erie o limite do somat´orio

lims(n) =lim Xn

k=a

f(k) :=

X k=a

f(k) , caso o limite exista, onde

s(n) = Xn k=a

f(k).

Se existir o limite de s(n) com lims(n) = s diremos que a s´erie ´e convergente e sua soma ´e s.

Se o limite lims(n) n˜ao existir diremos que a s´erie diverge. A soma finita s(n) =

Xn k=a

f(k) ´e chamada reduzida de ordemnou n−´esima soma parcial da s´erie X

k=a

f(k) . Se a s´erie ´e divergente, pode acontecer de lims(n) =∞, lims(n) = −∞ ou a soma oscilar, isto ´e, quando (s(n)) diverge e lims(n)6=∞ e lims(n)6= −∞.

Se (sn) converge diremos que X k=a

f(k) converge caso (sn) seja divergente di- remos que

X k=a

f(k) diverge , apesar de X k=a

f(k) ser um n ´umero real, caso haja convergˆencia e n˜ao haver n´umero associado a

X k=a

f(k) caso haja divergˆencia, tal uso ´e feito apenas no sentido de nota¸c˜ao . Caso a s´erie seja convergente dizemos tamb´em que (f(k)) ´e som´avel .

(7)

b

Propriedade 1. Toda sequˆencia (xn) de n ´umeros reais pode ser considerada como a sequˆencia das reduzidas de uma s´erie.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Supondo

xn= Xn

k=1

ak aplicando ∆ segue

∆xn =an+1 e para n = 1, x1 =

X1 k=1

ak = a1, se n = 0 temos x0 = X0

k=1

ak = 0 por ser uma soma vazia

Xn k=1

ak= Xn−1 k=0

ak+1 = Xn−1

k=0

∆xk =xk

n

1

=xn−x0 =xn.

Se ∆xn = an+1 n˜ao implica que an = ∆xn−1, pois a primeira vale para n ≥ 0 natural a segunda n˜ao vale para n=0.

Z

Exemplo 1. Encontrar o erro na manipula¸c˜ao 0=0+0· · ·=

= (1−1) + (1−1) +· · ·=

=1+ (−1+1) + (−1+1) +· · ·=1 logo 1=0.

Come¸camos com uma s´erie X

k=1

ak onde cada ak =0=1−1, isto ´e, a soma dos elementos da sequˆencia (0, 0,· · ·) ent˜ao at´e a segunda linha tudo est´a correto, por´em na terceira linha tratamos o termo da s´erie somada como os termos da sequˆencia (1, −1+1, −1+1, · · ·) que ´e uma s´erie diferente da s´erie inicial

1.2.1 Mudan ¸ca de vari ´avel em s ´eries

(8)

b

Propriedade 2 (Mudan¸ca de vari´avel em s´eries). Por mudan¸ca de vari´avel temos que se g(n) =

Xn k=a

f(k) ent˜ao g(n) = Xn+t k=a+t

f(k−t) com limn = ∞ temos tamb´em limn+t=∞ logo

lim Xn

k=a

f(k) =lim Xn+t k=a+t

f(k−t) = X k=a

f(k) = X k=a+t

f(k−t).

Logo se temos uma s´erie X k=a

f(k) podemos somar t aos limites (t+∞ = ∞, t+a), subtraindo t do argumento da fun¸c˜ao

X k=a

f(k) = X k=a+t

f(k−t).

b

Propriedade 3 (Produto por −1). Por propriedade de somat´orios se g(n) = Xn

k=a

f(k) ent˜ao g(n) = X−a k=−n

f(−k) com limn=∞ temos lim−n= −∞ e

lim Xn k=a

f(k) =lim X−a k=−n

f(−k) = X

k=a

f(k) = X−a k=−

f(−k).

X k=a

f(k) = X−a k=−∞

f(−k).

b

Propriedade 4. Sejam X k=a

f(k) e c um n ´umero real diferente de zero ent˜ao X

k=a

f(k) ´e convergente sse X

k=a

cf(k) ´e convergente.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se g(n) = Xn k=a

f(k) ´e convergente, existe o limite limg(n) , vale tamb´em c.g(n) = c

Xn k=a

f(k) = Xn k=a

c.f(k) e existe o limite limc.g(n) = climg(n) implicando que a s´erie

X k=a

cf(k) =c X k=a

f(k) ´e convergente.

(9)

Se h(n) = Xn k=a

cf(k) = cg(n) ent˜ao g(n) = Xn k=a

f(k), sendo h(n) convergente, ent˜ao limh(n) = d para algum d real e vale limh(n)

c = limg(n) como c 6= 0 tem-se limg(n) = limh(n)

c = d

c que existe de onde segue que limg(n) = X k=a

f(k) ´e conver- gente.

b

Propriedade 5. Sejam X k=as

fs(k)convergente pra toda express˜aofs(k),gs(n) = Xn

k=as

fs(k) , as n ´umeros inteiros e cs n ´umeros reais, para todo s ∈ [1, p]N , ent˜ao Xp

s=1

cs X k=as

fs(k) converge.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Considerando a soma Xp

s=1

csgs(n) como os limites limgs(n) existem e pela propriedade de soma de limites segue que existe o limite:

lim Xp

s=1

csgs(n) = Xp

s=1

cslimgs(n) = Xp

s=1

X k=as

fs(k).

1.2.2 Condi ¸c ˜ ao necess ´aria para convergˆencia de s ´eries

b

Propriedade 6 (Condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries). Se s(n) = Xn

k=a

ak converge ent˜ao limak=0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que se lima(n) =s e tamb´em lims(n+1) =s e

s(n+1) −s(n) =

n+1

X

k=a

ak− Xn k=a

ak=an+1 logo

lims(n+1) −s(n) =liman+1 =lims(n+1) −lims(n) =s−s assim liman+1 =0, liman =0.

Essa ´e uma condi¸c˜ao necess´aria por´em n˜ao suficiente para convergˆencia de s´eries.

(10)

$

Corol ´ario 1. Se f(k) n˜ao tende a zero a s´erie n˜ao pode convergir. Esse crit´erio

´e ´util para provar que algumas s´eries divergem. Veremos depois que esse crit´erio n˜ao ´e suficiente, pois existem s´eries em que o termo somado tende a zero mas a s´erie diverge, como ´e o caso da s´erie harmˆonica.

Z

Exemplo 2. A s´erie X

k=1

cos(k),

n˜ao converge, pois n˜ao temos que limcos(n) = 0. Pois se assim fosse, tamb´em ter´ıamos limcos(2n). Por´em

cos(2n) =cos2(n) −sen2(n),

passando ao limite ter´ıamos tamb´em que limsen2(n) =0. Da´ı e da identidade

cos2(n) +sen2(n) =1, na passagem do limite ter´ıamos o absurdo de 0 =1.

b

Propriedade 7. Se X

k=1

ak ´e convergente ent˜ao X

k=1

a2k+a2k−1 ´e convergente e tem mesma soma que a primeira s´erie.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja sn =

Xn k=1

ak, ela converge, ent˜ao s2n = X2n

k=1

ak= Xn

k=1

a2k+ Xn

k=1

a2k−1= Xn

k=1

a2k+ a2k−1 tamb´em converge e tende ao mesmo limite de sn.

Z

Exemplo 3. A s´erie X

k=1

a2k+a2k−1 pode convergir por´em X

k=1

ak, como ´e o caso de tomar ak = (−1)k a s´erie

X k=1

(−1)k n˜ao converge pois lim(−1)k 6=0, por´em a2k+a2k−1=1−1=0 e a primeira s´erie converge.

(11)

b

Propriedade 8. A s´erie X

k=a

f(k) converge ⇔ a s´erie X

k=b

f(k) converge. Esta propriedade nos diz que o estado de convergˆencia da s´erie n˜ao ´e alterado pela redu¸c˜ao ou adi¸c˜ao de um n´umero finito de termos, isto ´e, podemos alterar o limite inferior do somat´orio por outro n´umero real e a convergˆencia da s´erie n˜ao se altera.

ê Demonstra ¸c ˜ao.Tomamos g(n) = Xn k=a

f(k) e h(n) = Xn

k=b

f(k). Se b = a n˜ao temos nada a mostrar, pois as s´eries ser˜ao iguais. Se b > a tem-se

g(n) = Xn

k=a

f(k) = Xb−1

k=a

f(k) + Xn

k=b

f(k) = Xb−1 k=a

f(k) +h(n)

g(n) − Xb−1

k=a

f(k) =h(n)

supondo g(n) convergente e tomando o limite n → ∞ temos que no lado esquerdo temos uma s´erie convergente e no lado direito a s´erie tamb´em ser´a convergente, se h(n) ´e convergente, usamos que

g(n) = Xb−1

k=a

f(k) +h(n)

tomando o limite tem-se que h(n) convergente implica g(n) convergente. Se a > b usamos o mesmo procedimento

h(n) = Xn k=b

f(k) = Xa−1 k=b

f(k) + Xn

k=a

f(k) = Xa−1

k=b

f(k) +g(n). (1.1)

h(n) − Xa−1

k=b

f(k) =g(n) (1.2)

se g(n) converge usamos 1.1 se h(n) converge usamos 1.2.

Como o limite inferior do somat´orio n˜ao altera na convergˆencia, iremos em alguns momentos denotar a s´erie sem o limite inferior, da seguinte maneira

X k

f(k) = X

f(k)

(12)

Z

Exemplo 4 (S´erie geom´etrica). Vamos estudar a convergˆencia da s´erie X

k=0

ak. Se a=1 temos a soma

Xn k=0

1=n+1, lim Xn

k=0

1=∞. Se a6=1 temos

Xn−1 k=0

ak= ak a−1

n

0

= an−1 a−1

quando a > 1 o limite liman = ∞, com a < −1 a sequˆencia alterna valores tomando valores positivos para valores pares dene negativos para valores ´ımpares de n, por´em com valor absoluto crescente, o limite n˜ao existe nesse caso. Caso a= −1 o resultado da soma finita ´e

Xn−1 k=0

(−1)k= (−1)n−1

−2

a sequˆencia alterna entre valor 0 para n par e 1 para n ´ımpar. Se |a|<1 tem-se que liman =0 e o resultado da s´erie ´e

X k=0

ak=liman−1

a−1 = −1

a−1 = 1 1−a.

Podemos usar tamb´em a condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries. Te- mos que ter liman=0 , isto s´o acontece quando|a|<1, ent˜ao estes s˜ao os ´unicos valores de a para os quais a s´erie ´e convergente.

Z

Exemplo 5. A s´erie

X

k=0

a2 (1+a2)k

converge com qualquer a ∈ R. Vale que 1 ≤ a2+1 ∀ a∈ R logo 0 < 1

1+a2 ≤ 1,

(13)

portanto a s´erie converge por ser s´erie geom´etrica. Sabemos que X

k=0

bk = 1 1−b, substituindo b= 1

a2+1, chegamos no resultado X

k=0

1

(1+a2)k = a2+1 a2

X k=0

a2

(1+a2)k =a2+1.

Z

Exemplo 6. Mostrar que a s´erie X n=a

(−1)nan n!

onde an = Yn

k=1

2k diverge. Vamos chegar primeiro numa express˜ao para o termo geral

an = Yn

k=1

2k= Yn

k=1

2 Yn

k=1

k=2n.n!

logo a s´erie ´e

X

n=a

(−1)n2nn!

n! =

X n=a

(−1)n2n

sendo bn = (−1)n2n o limite limbn = lim(−1)n2n 6= 0 o limite n˜ao existe pois a subsequˆencia b2n =22n tem limite +∞ e a subsequˆencia b2n+1 = −22n+1 tem limite

−∞.

Z

Exemplo 7. Dadas as s´eries X

k=1

ak e X

k=1

bk com an = √

n+1−√

n , bn = log(1+ 1

n) , mostre que liman = limbn =0. Calcule explicitamente as n-´esimas reduzidas sn e tn destas s´eries e mostre que limsn=limtn = +∞.

sn= Xn

k=1

ak= Xn

k=1

k+1−√ k=

Xn k=1

∆√ k=√

k

n+1

1

=√

n+1−1

(14)

logo limsn =∞ tn =

Xn k=1

log(1+ 1 k) =

Xn k=1

log(k+1) −log(k) = Xn

k=1

∆log(k) =log(k)

n+1

1

=

=log(n+1) −log(1) =log(n+1) logo limtn = +∞. O limite dos termos das s´eries

an =√

n+1−√

n= √ 1

n+1+√

n liman=0 bn =log(1+ 1

n) 0< log(1+ 1

n) = log[(1+n1)n]

n ≤ (1+n1)n n como lim(1 + 1

n)n = e ent˜ao tal sequˆencia ´e limitada, logo lim(1+ n1)n

n = 0

de onde segue por teorema do sandu´ıche que limlog(1+ 1

n) = 0. Usamos que log(n) < n. Assim temos duas s´erie cujos termos gerais tendem a zero, por´em as s´eries divergem, esse exemplo mostra que a condi¸c˜ao de limf(k) = 0 em uma s´erie

X k=b

f(k) ser satisfeita n˜ao garante que a s´erie ser´a convergente, a condi¸c˜ao

´e apenas uma condi¸c˜ao necess´aria.

b

Propriedade 9. Seja (ak) sequˆencia com ak ≥ 0∀ k ou ak ≤ 0 ∀ k. Nessas condi¸c˜oes

a s´erie X k=a

ak converge ⇔ s(n) = Xn

k=a

ak forma uma sequˆencia limitada.

ê Demonstra ¸c ˜ao. ⇒). Seja s(n) limitada com ak≥0∀k , temos que s(n+1) −s(n) =an+1≥0⇒s(n+1)≥s(n)

assims(n) ´e uma sequˆencia crescente limitada superiormente, portanto ´e convergente.

Se ak≤0 temos

s(n+1) −s(n) =an+1≤0⇒s(n+1)≤s(n)

logo s(n) sendo limitada inferiormente e decrescente ´e convergente.

(15)

⇐).

Agora se a s´erie ´e convergente ent˜ao s(n) ´e limitada , pois toda sequˆencia con- vergente ´e limitada.

m

Defini ¸c ˜ao 2. Quando temos ak≥0 es(n) = Xn k=a

ak ´e limitada superiormente temos que a s´erie

X k=a

ak converge, ent˜ao neste caso escrevemos X

k=a

ak <∞ para simbolizar que a s´erie

X k=a

ak com ak≥0 ´e convergente.

1.2.3 Crit ´erio de compara ¸c ˜ao

b

Propriedade 10 (Crit´erio de compara¸c˜ao). Sejam X k=a

ak e X

k=a

bk s´eries de termos n˜ao negativos. Se existem c > 0 e n0 ∈ N tais que ak ≤ cbk para todo k≥n0 ent˜ao :

1. A convergˆencia de X k=a

bk implica a convergˆencia de X k=a

ak .

2. A divergˆencia de X k=a

ak implica a divergˆencia de X k=a

bk.

ê Demonstra ¸c ˜ao. 1. De ak≤cbk segue

Xn k=n0

ak

| {z }

s(n)

≤c Xn k=n0

bk

| {z }

:=p(n)

se Xn

k=a

bk converge ent˜ao Xn k=n0

bk converge de onde segue que s(n) ´e limitada superiormente e como ´e crescente s(n) converge implicando a convergˆencia de X

k=a

bk .

(16)

2. Agora se s(n) diverge, como ´e crescente seu limite ´e infinito , pois ela ´e ili- mitada superiormente, de c.p(n) ≥ s(n), p(n) ≥ s(n)

c ent˜ao p(n) tamb´em ´e ilimitada superiormente e ainda por ser crescente tem limite infinito, logo a s´erie associada p(n) =

Xn k=n0

bk tende a infinito.

Z

Exemplo 8. Mostrar que

X k=1

kk =∞. De 1< k elevamos a k, 1< kk aplicamos a soma

Xn k=1

n= Xn

k=1

1<

Xn k=1

kk

por compara¸c˜ao (como s˜ao s´eries de termos positivos) segue que X

k=1

kk=∞.

Z

Exemplo 9. Se 0< c e 1<|a| ent˜ao Xc+1ak converge.

Vale 1

c+ak < 1

ak e a segunda s´erie converge, logo por compara¸c˜ao a primeira converge.

Vamos usar o seguinte pequeno resultado em certas demonstra¸c˜oes.

b

Propriedade 11. Sejam (xn) e (yn) sequˆencias, se ∆xn =∆yn para todo n, ent˜ao xn =yn+c para alguma constante c.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Aplicamos o somat´orio Xn−1

k=1

em cada lado na igualdade

∆xk=∆yk e usamos a soma telesc´opica, de onde segue xn−x1 =yn−y1⇒xn =yn+x| {z }1−y1

=c

.

(17)

$

Corol ´ario 2. Se ∆xn =∆yn ∀ n e existe t ∈N tal que xt =yt ent˜ao xn =yn para todo n. Tal propriedade vale poisxn=yn+c, tomando n=t seguext=yt+c que implica c=0, logo xn =yn para todo n.

b

Propriedade 12. Seja n >0∈N ent˜ao Xn−1

s=0

2s+1X−1 k=2s

f(k) =

2Xn−1 k=1

f(k).

ê Demonstra ¸c ˜ao.[1-Soma telesc´opica]

Xn−1 s=0

2s+1X−1 k=2s

f(k) = Xn−1

s=0

[

2s+1X−1 k=0

f(k) −

2s−1

X

k=0

f(k)

| {z }

g(s)

] = Xn−1

s=0

∆g(s) =g(n) −g(0)

|{z}=0

=

2Xn−1 k=1

f(k).

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Para n=1 X0

s=0

2Xs+1−1 k=2s

f(k) = X2−1 k=20

f(k) =

21−1

X

k=1

f(k) Temos que

∆ Xn−1

s=0

2Xs+1−1 k=2s

f(k) =

2n+1X−1 k=2n

f(k) e

2Xn1 k=1

f(k) =

2n+1X1 k=1

f(k) −

2Xn1 k=1

1 kr =

2n+1X1 k=2n

f(k) +

2Xn1 k=1

f(k) −

2Xn1 k=1

f(k) =

2n+1X1 k=2n

f(k).

logo est´a provada a igualdade.

1.2.4 Crit ´erio de condensa ¸c ˜ao de Cauchy

b

Propriedade 13 (Crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy). Seja (xn) uma sequˆencia decrescente de termos positivos ent˜ao X

xk converge ⇔ X

2k.x2k con- verge.

(18)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usaremos a identidade Xn−1

s=0

2s+1X−1 k=2s

f(k) =

2Xn−1 k=1

f(k).

⇒).

Vamos provar que se X

xk converge ent˜ao X

2k.x2k converge, usando a con- trapositiva, que ´e equivalente logicamente, vamos mostrar que se X

2k.x2k diverge ent˜ao X

xk diverge.

Como xk ´e decrescente ent˜ao vale 2sx2s+1 =

2Xs+1−1 k=2s

x2s+1

2Xs+1−1 k=2s

xk

aplicando

n−1

X

s=0

segue

1 2

Xn−1 s=0

2s+1x2s+1

2Xn−1 k=1

xk logo se X

2sx2s diverge ent˜ao X

xk diverge.

⇐).

Vamos provar que se X

2k.x2k converge ent˜ao ent˜ao X

xk converge, de maneira direta. Usando que

2Xs+1−1 k=2s

xk

2Xs+1−1 k=2s

x2s =2sx2s

aplicando Xn−1

s=0

segue que

2Xn−1 k=1

xk≤ Xn−1

s=0

2sx2s da´ı se X

2sx2s converge ent˜ao X

xk converge .

Z

Exemplo 10. A s´erie

X

k=3

1 [ln(k)]s

diverge para qualquer valor real de s. Se s ≤ 0 o resultado vale pois temos s´erie com soma de [ln(k)]−s que n˜ao converge para zero, se s > 0 temos que

(19)

ln(k+1)>ln(k) logo [ln(k+1)]s >[ln(k)]s e da´ı 1

[ln(k)]s > 1 [ln(k+1)]s

ent˜ao a sequˆencia ´e decrescente de termos positivos e podemos aplica o crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy

X

k=3

2k [k]s[ln(2)]s tal s´erie diverge, pois o termo geral n˜ao tende a zero.

1.2.5 S ´eries do tipo X

k=1

1

k

p

e divergˆencia da s ´erie harm ˆonica.

b

Propriedade 14. A s´erie X

k=1

1

kp converge se p >1 e diverge se p≤1. ê Demonstra ¸c ˜ao. Pelo crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy a s´erie

X k=1

1 kp con- verge, se e somente se,

X k=1

2k 2kp =

X k=1

2k(1−p), tal s´erie geom´etrica converge se 1−p <0, isto ´e, p >1 e diverge caso 1−p≥0⇒p≤1.

Z

Exemplo 11. Estudar a convergˆencia da s´erie X

k=1

(√

k+1−√ k)p. Primeiro racionalizamos o termo somado

√k+1−√

k= (√

k+1−√ k)(√

k+1+√

√ k)

k+1+√

k = k+1−k

√k+1+√

k = 1

√k+1+√ k,

√ k≤√

k+1⇒2√ k≤√

k+1+

k⇒ 1

√k+1+√

k ≤ 1 2√

k, elevando a p segue que

( 1

√k+1+√

k)p ≤ 1 2pkp2

(20)

por compara¸c˜ao se p

2 >1⇔p >2, a s´erie converge . De maneira similar 1

2p(k+1)p2 ≤( 1

√k+1+√ k)p, por compara¸c˜ao diverge caso p

2 ≤1.

Z

Exemplo 12 (IME-1964). Estude a convergˆencia das s´eries.

1.

X k=1

1

3

k. 2.

X k=1

1 ek. 3.

X k=1

ln(k) k .

1. A primeira s´erie diverge pois X

k=1

1

k31 ´e uma s´erie do tipo X

k=1

1

kp, com p = 1

3 <1, que vimos ser divergente.

2. A s´erie X

k=1

1

ek, converge por ser s´erie geom´etrica com 0< 1 e <1.

3. A s´erie X

k=1

ln(k)

k diverge pois para k grande vale ln(k) >1, da´ı ln(k) k > 1

k, como

X k=1

1

k diverge, ent˜ao por compara¸c˜ao X

k=1

ln(k)

k tamb´em diverge.

Z

Exemplo 13. Calcular o limite

nlim→∞

Xn k=0

1 (n+k)r

(21)

para r >1 real. Escrevemos o somat´orio como Xn

k=0

1 (n+k)r =

X2n k=n

1 (k)r =

X2n k=1

1 (k)r

Xn−1 k=1

1 (k)r com r > 1 cada uma das s´eries lim

Xn−1 k=1

1

(k)r = s e lim X2n

k=1

1

(k)r = s convergem e para o mesmo valor, como a diferen¸ca dos limites ´e o limite da diferen¸ca em sequˆencias convergentes, segue que

nlim→∞

Xn k=0

1

(n+k)r =lim( X2n

k=1

1 (k)r

Xn−1 k=1

1

(k)r) =lim X2n

k=1

1

(k)r−lim Xn−1

k=1

1

(k)r =s−s =0.

b

Propriedade 15. Se ak≥0 ∀k∈N e (ak0) ´e uma subsequˆencia de (ak) ent˜ao X

k=c

ak <∞ implica que X

k=c

ak0 <∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja N1 o conjunto dos ´ındices da subsequˆencia (ak0), defi- nimos ck = ak se k ∈ N1 e ck = 0 se k /∈ N1 para todo k natural, ent˜ao temos que ck ≤ ak pois caso k ∈ N1 temos ck =ak caso k /∈ N1 ck = 0 ≤ ak logo em qualquer caso vale ck ≤ak, tomando a soma em ambos lados temos

g(n) = Xn

k=c

ck ≤ Xn

k=c

ak <∞

logo a soma dos termos da subsequˆencia g(n) ´e limitada superiormente e temos tamb´em ∆g(n) = cn+1 ≥ 0 pois se cn+1 = 0 vale cn+1 ≥ 0 e se cn+1 = an+1 e por propriedade da sequˆencia (an) temos an+1 ≥0 de onde segue cn+1 =an+1 ≥0, ent˜ao a sequˆencia g(n) ´e limitada superiormente e n˜ao-decrescente logo convergente e vale X

k=c

ck <∞.

Mostramos ent˜ao que se (an) ´e uma sequˆencia tal que an ≥0 e a s´erie dos seus termos converge ent˜ao dada qualquer subsequˆencia de de (an0) de (an) ent˜ao a s´erie dos termos dessa subsequˆencia tamb´em converge.

1.2.6 Divergˆencia da s ´erie harm ˆonica.

(22)

Z

Exemplo 14 (S´erie Harmˆonica). Os n ´umeros harmˆonicos s˜ao definidos como Hn =

Xn k=1

1 k temos que lim 1

n = 0 satisfaz a condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries mas vamos mostrar que a s´erie

limHn = X

k=1

1 k =∞ , isto ´e, a s´erie diverge.

Suponha que a s´erie harmˆonica seja convergente, denotando limHn =H Sejam N1 o subconjunto de N dos ´ındices pares e N2 o conjunto dos n ´umeros ´ımpares.

Se Hn converge temos que a s´erie sobre suas subsequˆencias tamb´em converge,

sendo ent˜ao n

X

k=1

1

2k−1 =tn, X

k=1

1

2k−1 =t Xn

k=1

1

2k =sn, X

k=1

1

2k =s= 1 2

X k=1

1 k = H

2

temos H2n =sn+tn tomando o limite limH2n =H =lim(sn+tn) =s+t , como s= H

2 segue que t= H

2 pois a soma deve ser H, desse modo a diferen¸ca t−s=0, mas

tn−sn = Xn

k=1

1 2k−1−

Xn k=1

1 2k =

Xn k=1

1

(2k)(2k−1) = 1 2 +

Xn k=2

1

(2k)(2k−1) >0 logo

limtn−sn =t−s >0

de onde segue t > s que ´e absurdo. Pode-se mostrar que limtn−sn =ln(2).

(23)

Z

Exemplo 15. Na s´erie harmˆonica percebemos que 1

3 + 1 4 > 2

4 = 1 2 1

5+ 1 6 + 1

7 + 1 8 > 4

8 = 1 2 1

9+ 1 10 + 1

11+ 1 12 + 1

13 + 1 14+ 1

15+ 1 16 > 8

16 = 1 2

podemos continuar agrupando os termos das somas dessa maneira, vendo que a soma dos termos harmˆonicos n˜ao s˜ao limitados superiormente.

Usando o crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy X

k=1

2k

2k =X

1 diverge.

1.2.7 Divergˆencia de X

k=1

1

k

p

com p < 1 .

$

Corol ´ario 3.

X k=1

1

kp diverge se p < 1. Para p < 1 vale kp < k e da´ı 1 k < 1

kp, da´ı por compara¸c˜ao como

X k=1

1

k diverge isso implica que X

k=1

1

kp tamb´em diverge.

Z

Exemplo 16. A s´erie X

k=0

k

12

k+3 diverge, pois vale que

k

12

k+3 > 1

k+3, onde a s´erie da segunda diverge.

b

Propriedade 16. A s´erie X

k=2

1 k(ln(k) +c)r diverge se r≤1 e converge se r >1. c≥0.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Usamos o crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy X 2k

2k(ln(2k) +c)r =X 1 (kln(2) +c)r

(24)

que diverge se r≤1 e converge se r >1 .

$

Corol ´ario 4. A seguinte s´erie converge X

k=2

1 [ln(k)]k.

Como ln(k)>2 para k suficientemente grande , tem-se [ln(k)]k>2k⇒ 1

[ln(k)]k < 1 2k, logo por crit´erio de compara¸c˜ao

X k=2

1

[ln(k)]k converge .

Z

Exemplo 17. Estudar a convergˆencia da s´erie X

k=1

1 kHk

Hn = Xn

k=1

1 k.

podemos mostrar que Hn ≤ 1+ln(n) da´ı nHn ≤ n(1+ln(n)) 1

n(ln(n) +1) ≤ 1

nHn, logo a primeira diverge por crit´erio de compara¸c˜ao .

Z

Exemplo 18. A s´erie

X k=2

1

kln(k)(ln(lnk))r diverge se r≤1 e converge se r >1.

Aplicamos o m´etodo de condensa¸c˜ao de cauchy X

k=2

2k

2kln(2k)(ln(ln 2k))r = X

k=2

1

kln(2)(ln(k) +ln((ln 2)))r

(25)

que converge se r >1 e diverge se r≤1.

Z

Exemplo 19. Provar que a s´erie Xln(n)

n2 converge. Pelo crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy temos que

X2nln(2n)

2n.2n =Xnln(2) 2n tal s´erie converge, logo a primeira tamb´em converge.

Z

Exemplo 20. Mostrar que a s´erie X

k=1

1

k2 converge, usando o crit´erio de compara¸c˜ao. Come¸caremos com o somat´orio

Xn k=2

1

k(k−1) = − Xn

k=2

1 k − 1

k−1 = − 1 k−1

n+1

2

== −1

n +1= n−1 n

onde usamos soma telesc´opica Xb k=a

∆f(k)

| {z }

=f(k+1)−f(k)

=f(b+1) −f(a) =f(k)

b+1

a

, ∆f(k) = f(k+1) −f(k) ´e apenas uma nota¸c˜ao para essa diferen¸ca. Tomando o limite na express˜ao acima

lim−1

n+1=1= X

k=2

1 k(k−1). Vamos mostrar com esse resultado que a s´erie

X k=1

1

k2 converge , temos que para k >1

1

k(k−1) > 1 k2 pois

k2 > k2−k k >0

(26)

e k >1 por an´alise de sinal , logo aplicando o somat´orio X

k=2

1 k(k−1) >

X k=2

1 k2

somando 1 em ambos lados e usando o resultado da s´erie que foi calculada 2 >1+

X k=2

1 k2 =

X k=1

1 k2.

Z

Exemplo 21. Exemplo de sequˆencia x(n) que diverge, por´em, ∆x(n) con- verge para zero. Sabemos que uma condi¸c˜ao necess´aria mas n˜ao suficiente para convergˆencia de uma s´erie

X k=1

f(k) e que limf(k) =0, por´em n˜ao ´e suficiente pois existem s´eries em que limf(k) = 0 e a s´erie diverge, um exemplo desse tipo de s´erie ´e a s´erie harmˆonica, se temos limf(k) = 0 e a sequˆencias x(n) =

Xn k=1

f(k) diverge, temos que ∆x(n) =f(n+1) cujo limite lim∆x(n) =f(n+1) =0 , no caso especial x(n) =

Xn k=1

1

k diverge, por´em ∆x(n) = 1

n+1 converge para zero.

b

Propriedade 17. Seja

g(n) = Xn

k=a

f(k) ent˜ao limf(k) =0 equivale a lim∆g(n) =0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que ∆g(n) = f(n +1) logo se limf(k) = 0 temos lim∆g(n) =0 e se lim∆g(n) =0 implica limf(k) =0 .

b

Propriedade 18. Sejam X n=u

an e X

n=s

bns´eries de termos positivos. Se X

n=s

bn=

∞ e existe n0 ∈N tal que an+1 an

≥ bn+1

bn para todo n > n0 ent˜ao X n=u

an=∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. an+1

an ≥ bn+1

bn , Qak ≥ Qbk tomando o produt´orio com k

(27)

variando de k=n0+1 at´e n−1 na desigualdade em ambos lados segue Yn−1

k=n0+1

Qak= an an0+1

Yn−1 k=n0+1

Qbk= bn

bn0+1, an ≥ an0+1 bn0+1bn pois temos termos positivos, tomando a s´erie temos

X n=n0+1

an≥ an0 bn0

X n=n0+1

bn =∞ logo a s´erie tende ao infinito por compara¸c˜ao.

Z

Exemplo 22. Mostre que a sequˆencia definida por f(n) =

Xn k=1

1 k+n

converge para um n ´umero em [0,1]. Primeiro vamos mostrar que a sequˆencia ´e crescente

f(n+1) −f(n) = Xn+1

k=1

1 k+n+1−

Xn k=1

1

k+n = 1 2(n+1)+

Xn k=1

1 k+n+1−

Xn k=1

1 k+n =

= 1

2(n+1)+ Xn

k=1

1

k+n+1 − 1 k+n

= 1

2(n+1) + Xn

k=1

∆ 1 k+n =

= 1

2(n+1) + 1

2n+1− 1

n+1 = 1

2n+1 − 1 2(n+1) mas temos 1

2n+1 − 1

2(n+1) > 0 pois 1

2n+1 > 1

2(n+1), 2n+2 >2n+1, 2 >1 agora vamos mostrar que a s´erie ´e limitada superiormente por 1 temos

1

n > 1 k+n k+n > n

pois nosso valor k ´e maior que zero, tomando o somat´orio em ambos lados com k em [1, n] temos

Xn k=1

1

n =n1

n =1>

Xn k=1

1 k+n

(28)

assim a s´erie ´e limitada superiormente , crescente e limitada inferiormente pelo seu primeiro termo

X1 k=1

1

k+1 = 1 2

logo a sequˆencia assume valores no intervalo [0,1]. O limite dessa sequˆencia ´e ln(2), podemos mostrar isso transformando o limite numa integral podemos usar tamb´em a fun¸c˜ao digamma

∆ψ(k+n) = 1 k+n Xn

k=1

∆ψ(k+n) =ψ(2n+1) −ψ(n+1) = Xn

k=1

1

k+n =H2n−Hn= X2n

k=1

(−1)k+1 k tendo limite ln(2).

Z

Exemplo 23. Mostre que a s´erie X

k=0

1

kk ´e convergente.

Para k > 2 vale kk > k2 da´ı 1

kk < 1

k2, da convergˆencia de X 1

k2 segue a convergˆencia de

X k=0

1 kk.

Z

Exemplo 24. A s´erie X

k=0

1

kln(k) ´e convergente pois para k grande temos ln(k)>2 da´ı segue 1

kln(k) < 1 k2.

1.2.8 S ´eries de Fun ¸c ˜ oes Racionais

Vamos estudar convergˆencia de s´eries do tipo Xp(x)

g(x) onde p(x) e g(x)6=0 s˜ao polinˆomios.

b

Propriedade 19. Se P(x) ´e um polinˆomio de grau n ≥ 2 sem ra´ızes nos

(29)

naturais, ent˜ao

X 1

P(x) converge.

ê Demonstra ¸c ˜ao. J´a sabemos que X

x

1

xn converge se n ≥ 2, por exemplo por crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy, ou por compara¸c˜ao com a s´erie convergente X

x

1

x2 para x suficientemente grande. Tomando um polinˆomio de grau n, temos que an 6=0 e

|anxn+. . .+a0x0|=xn|an+. . .+a0

xn|≥xn| |an|−|an−1

x +. . .+ a0 xn| |, onde usamos que |x+y|≥| |x|−|y| |. Com x suficientemente grande temos que

|an−1

x +. . .+a0

xn|≤ |an|

2 ⇒−|an|

2 ≤−|an−1

x +. . .+a0 xn| da´ı |an|

2 ≤|an|−|an−1

x +. . .+a0

xn|, por isso xn|an|

2 ≤xn|an+. . .+ a0

xn|, para x suficientemente grande,

da´ı, X

x

1

|P(x)| ≤X 2

|an|xn,

que converge, logo temos a convergˆencia absoluta para X

x

1

P(x) e por isso a s´erie converge.

b

Propriedade 20. Sejam polinˆomios Xp

k=0

akxk , Xp+1 k=0

bkxk e c > bp+1

ap com c >0, ent˜ao existe x0∈R tal que x > x0 implica

1 cx <

Pp k=0

akxk

p+1P

k=0

bkxk

(30)

Z

Exemplo 25. Estudar a convergˆencia da s´erie X

n=1

Yn s=1

(p+s) (q+s) com p, q reais em [0,∞)

Para q≤p temos q+s≤p+s⇒1≤ p+s

q+s logo 1 ≤ Yn

s=1

(p+s)

(q+s) =an portanto an n˜ao converge para zero e a s´erie n˜ao pode convergir .

Suponha agora p < q, existe t real tal que p+t = q o termo an se escreve

como Yn

s=1

(p+s) (p+t+s).

Vamos analisar os casos de t ≤1 e 2≤t, no primeiro p+t+s≤p+s+1⇒ p+s

p+s+1 ≤ p+s p+t+s aplicando

Yn s=1

na desigualdade acima temos um produto telesc´opico Yn

s=1

p+s

p+s+1 = p+1 p+n+1 ≤

Yn s=1

p+s p+t+s

por compara¸c˜ao com s´erie harmˆonica a soma de an diverge nesse caso . Sendo agora 2≤t

2≤t⇒p+s+2≤p+s+t⇒ p+s

p+s+t ≤ p+s p+s+2 aplicando

Yn s=1

, novamente temos um produto telesc´opico

Yn s=1

p+s p+s+t ≤

Yn s=1

p+s p+s+2 =

Y2 s=1

p+s

p+s+n = (p+1)(p+2) (p+1+n)(p+2+n) logo por crit´erio de compara¸c˜ao a soma de an converge .

1.2.9 Crit ´erio de Cauchy para s ´eries

(31)

b

Propriedade 21 (Crit´erio de Cauchy para s´eries). Tem-se que uma sequˆencia

´e convergente em R ⇔ ela ´e de Cauchy, logo se definimos s(n) = Xn

k=a

ak temos que a s´erie ´e convergente ⇔ para cada ε >0 existe n0 ∈N tal que n > n0 e para todo p∈N vale |s(n+p) −s(n)|< ε temos que

s(n+p) −s(n) = Xn+p

k=a

ak− Xn k=a

ak= Xn+p k=n+1

ak+ Xn k=a

ak− Xn k=a

ak =

= Xn+p k=n+1

ak logo temos que ter

| Xn+p k=n+1

ak|< ε

b

Propriedade 22. Se f(k)≥ 0 para k ∈[a,∞)Z, a∈ Z ent˜ao a s´erie X k=a

f(k)

´e convergente ou diverge para +∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Definindo g(n) = Xn

k=a

f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≥ 0 logo g(n) ´e uma sequˆencia n˜ao decrescente, seg(n)for limitada ent˜ao g(n) converge implicando que a s´erie converge, se g(n) n˜ao for limitada, por ser n˜ao decrescente ela diverge para +∞, implicando que a s´erie diverge para +∞.

Da mesma maneira tem-se

b

Propriedade 23. Se f(k)≤ 0 para k ∈[a,∞)Z, a∈ Z ent˜ao a s´erie X k=a

f(k)

´e convergente ou diverge para −∞.

A demonstra¸c˜ao ´e a mesma que da propriedade anterior, apenas mudando ≥ por ≤, +∞ por −∞ e n˜ao decrescente por n˜ao crescente

ê Demonstra ¸c ˜ao. Definindo g(n) = Xn

k=a

f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≤ 0 logo g(n) ´e uma sequˆencia n˜ao crescente, se g(n) for limitada ent˜ao g(n) converge

(32)

implicando que a s´erie converge, se g(n) n˜ao for limitada, por ser n˜ao crescente ela diverge para −∞, implicando que a s´erie diverge para −∞.

b

Propriedade 24.

X k=a

b converge ⇔ b=0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja g(n) = Xn

k=a

b, Se b = 0 temos g(n) = Xn k=a

0 = 0 assim temos que s´erie ´e o limite da sequˆencia constante 0, limg(n) =0 =

X k=a

0. Se X

k=a

b converge, pela condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia temos que ter limb=0, como b ´e constante, por propriedade de limites tem-se limb =blim 1 =b= 0 logo b tem que ser zero para que a s´erie seja convergente

X k=a

0=0=0+0+0+0+0+0+· · ·=0.

Se b6=0 ent˜ao a s´erie diverge para +∞ ou −∞ pois ∆g(n) =b, se b >0 tem-se que a s´erie ´e crescente e divergente logo seu limite ´e +∞ se b < 0 segue que ∆g(n)<0 logo decrescente e divergente assim seu limite ´en −∞. As reduzidas s˜ao dadas por X

k=a

b=b(n+1−a), se b <0 X

k=a

b=b+b+b+b+· · ·= −∞

se b >0

X

k=a

b=b+b+b+b+· · ·= +∞.

b

Propriedade 25 (A s´erie harmˆonica diverge para +∞.). Seja 2n ≥ k (n, k naturais maiores que zero), ent˜ao

1 k ≥ 1

2n

(33)

tomando a soma em [n+1,2n]

X2n k=n+1

1 k ≥

X2n k=n+1

1

2n = n 2n = 1

2

assim o crit´erio de Cauchy, n˜ao ´e v´alido para s´erie harmˆonica, pois tomando ε= 1

2 e p=n n˜ao temos

| X2n k=n+1

1 k|< 1

2

para n suficientemente grande, pois vale para qualquer n

2n

X

k=n+1

1 k ≥ 1

2 sendo g(n) =

Xn k=1

1

k temos ∆g(n) = 1

n+1 > 0 logo a s´erie ´e crescente. Sendo crescente e divergente ent˜ao ela tem limite+∞.Com a s´erie harmˆonica temos um exemplo de s´erie cujo termo somado tem limite 0 por´em a s´erie diverge lim 1

n =0.

1.3 S ´eries absolutamente convergentes

m

Defini ¸c ˜ao 3 (S´eries absolutamente convergentes). Uma s´erie X

k=a

ak ´e dita absolutamente convergente se

X k=a

|ak| ´e convergente.

m

Defini ¸c ˜ao 4 (S´erie condicionalmente convergente). Uma s´erie X

k=a

ak ´e con- dicionalmente convergente se

X k=a

ak converge por´em X k=a

|ak| diverge.

1.3.1 Toda s ´erie absolutamente convergente ´e convergente

(34)

F Teorema 1 (Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente). Se s(n) = Xn

k=b

|ak| converge ent˜ao Xn

k=b

ak converge.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se Xn k=b

|ak| converge, podemos usar o crit´erio de Cauchy, que garante que para todo ε >0 existe n0 ∈N, tal que para n > n0 e p∈N vale

| Xn+p k=n+1

|ak| |= Xn+p k=n+1

|ak|< ε mas vale a desigualdade

| Xn+p k=n+1

ak|≤ Xn+p k=n+1

|ak|< ε

logo Xn

k=b

ak ´e uma sequˆencia de Cauchy, portanto converge.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Temos1 que ak ≤ |ak| e tamb´em −ak ≤ |ak| logo dessa

´ultima 0≤ak+|ak|que por sua vez ´e menor que 2|ak|, como 2 X k=0

|ak|converge ent˜ao X

k=0

ak+|ak| tamb´em converge por compara¸c˜ao, da´ı X

k=0

ak+|ak|− X

k=0

|ak|= X

k=0

ak

converge por ser soma de s´eries convergentes.

Daremos uma outra demonstra¸c˜ao dessa propriedade usando o conceito de parte positiva e negativa de uma s´erie.

1.3.2 Parte negativa e positiva de uma s ´erie

m

Defini ¸c ˜ao 5 (Parte negativa e positiva de uma s´erie). Seja X

ak uma s´erie, para cada k definimos a parte positiva pk da seguinte maneira

pk=



akse ak ≥0 0 se ak<0

1Solu¸c˜ao de Diogenes Mota

Referências

Documentos relacionados

O aluno deverá realizar as atividades propostas pela professora que estarão disponibilizadas no portal E-CLASS..

São por demais conhecidas as dificuldades de se incorporar a Amazônia à dinâmica de desenvolvimento nacional, ora por culpa do modelo estabelecido, ora pela falta de tecnologia ou

Neste trabalho, foram apresentados os resultados experimentais obtidos para o coeficiente de transferência de calor, para a ebulição convectiva em um

These premises lead to the investigation (Article 6) if frailty status, identified using 4 different instruments, was associated with: a) daily protein consumption, b)

A técnica de treinamento de multi-condição também foi usada para aumentar o desempenho de sistemas de reconhecimento de locutor em ambientes com diferentes tipos de ruídos

a Os grãos de pólen de Toona ciliata são pequenos, perfeitamente formados e binucleados, desde o estádio de flor fechada; b A espessura da exina do pólen é menor na flor fechada; c

Constatou-se que a maioria dos estudantes, 73,7% não tinham conhecimento do significado da sigla ECA - Estatuto da Criança e do Adolescente, o que sugere a falta de informação

[r]