Anota¸c˜oes sobre s´eries

(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

rodrigo.uff.math@gmail.com

‡

3 de janeiro de 2018

(2)

(3)

1 S ´eries 5

1.1 Nota¸c˜oes . . . 5

1.2 Defini¸c˜ao e conceitos b´asicos. . . 5

1.2.1 Mudan¸ca de vari´avel em s´eries . . . 7

1.2.2 Condi¸cão necessária para convergência de séries . . . 9

1.2.3 Crit´erio de compara¸c˜ao . . . 15

1.2.4 Crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy . . . 17

1.2.5 Séries do tipo X∞ k=1 1 k^p e divergência da série harmônica. . . 19

1.2.6 Divergência da série harmônica. . . 21

1.2.7 Divergˆencia de X∞ k=1 1 k^p com p <1. . . 23

1.2.8 S´eries de Fun¸c˜oes Racionais . . . 28

1.2.9 Crit´erio de Cauchy para s´eries . . . 30

1.3 S´eries absolutamente convergentes . . . 33

1.3.1 Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente . . . 33

1.3.2 Parte negativa e positiva de uma s´erie . . . 34

1.3.3 Teste da raiz-Cauchy . . . 38

1.3.4 Teste da raz˜ao-D’ Alembert . . . 40

1.3.5 Crit´erio de Dirichlet . . . 46

1.3.6 Crit´erio de Leibniz. . . 49

1.3.7 Crit´erio de Kummer . . . 55

1.4 Comutatividade . . . 60

1.5 Soma sobre um conjunto infinito arbitr´ario . . . 64

1.6 S´eries em espa¸cos vetoriais normados . . . 65

1.7 Soma de Ces `aro . . . 65 3

(4)

1.7.1 S´erie de Grandi . . . 72

1.8 Sequˆencias (C, P) som´aveis . . . 73

1.9 S´eries de termos n˜ao negativos . . . 74

1.9.1 Critério de compara¸cão por limite para séries de termos positivos 75 1.10 Representa¸cão decimal . . . 79

1.11 Teste da integral para convergˆencia de s´eries . . . 89

1.11.1 Sequˆencia de varia¸c˜ao limitada . . . 91

1.12 S´eries em espa¸cos vetoriais normados . . . 94

1.13 Produto de s´eries . . . 96

1.14 S´eries e desigualdade das m´edias . . . 100

1.15 Extens˜ao do conceito de s´erie para −∞ X k=1 a_k. . . 100

(5)

S ´eries

Esse texto ainda não se encontra na sua versão final, sendo, por enquanto, cons- titu´ıdo apenas de anota¸cões informais. Sugestões para melhoria do texto, corre¸cões da parte matemática ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email rodrigo.uff.math@gmail.com.

1.1 Nota ¸c ˜ oes

Usaremos o ∆ para simbolizar o operador que faz a diferen¸ca de termos consecu- tivos de uma fun¸c˜ao

∆f(x) := f(x+1) −f(x).

A nota¸c˜ao Q para denotar o operador que faz o quociente, Qf(x) = f(x+1)

f(x) .

1.2 Defini ¸c ˜ ao e conceitos b ´asicos

Vamos definir o somat´orio como Xs

k=s

f(k) =f(s)∀s ∈Z Xb

k=a

f(k) = Xp k=a

f(k) + Xb k=p+1

f(k)∀b, a, p∈Z.

5

(6)

Perceba que não colocamos limita¸cão em b, a e p inteiros , na defini¸cão acima podemos ter b < a. Em especial tomando p=a−1 na identidade acima segue que

Xb k=a

f(k) = Xa−1 k=a

f(k) + Xb

k=a

f(k)

logo deve valer Xa−1 k=a

f(k) =0 que ´e chamada de soma vazia .

m

Defini ¸c ão 1 (Série). Sejam a∈ Z, A um conjunto indutivo que contenha a , f(k) :A→R uma fun¸cão . Chamamos de série o limite do somatório

lims(n) =lim Xn

k=a

f(k) :=

X∞ k=a

f(k) , caso o limite exista, onde

s(n) = Xn k=a

f(k).

Se existir o limite de s(n) com lims(n) = s diremos que a série é convergente e sua soma é s.

Se o limite lims(n) n˜ao existir diremos que a s´erie diverge. A soma finita s(n) =

Xn k=a

f(k) é chamada reduzida de ordemnou n−ésima soma parcial da série X∞

k=a

f(k) . Se a série é divergente, pode acontecer de lims(n) =∞, lims(n) = −∞ ou a soma oscilar, isto é, quando (s(n)) diverge e lims(n)6=∞ e lims(n)6= −∞.

Se (s_n) converge diremos que X∞ k=a

f(k) converge caso (s_n) seja divergente diremos que

X∞ k=a

f(k) diverge , apesar de X∞ k=a

f(k) ser um n úmero real, caso haja convergência e não haver número associado a

X∞ k=a

f(k) caso haja divergência, tal uso é feito apenas no sentido de nota¸cão . Caso a série seja convergente dizemos também que (f(k)) é somável .

(7)

b

Propriedade 1. Toda sequência (xn) de n úmeros reais pode ser considerada como a sequência das reduzidas de uma série.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Supondo

x_n= Xn

k=1

a_k aplicando ∆ segue

∆x_n =a_n+1 e para n = 1, x₁ =

X1 k=1

a_k = a₁, se n = 0 temos x₀ = X0

k=1

a_k = 0 por ser uma soma vazia

Xn k=1

a_k= Xn−1 k=0

a_k+1 = Xn−1

k=0

∆x_k =x_k

n

1

=x_n−x₀ =x_n.

Se ∆x_n = a_n+1 n˜ao implica que a_n = ∆x_n−1, pois a primeira vale para n ≥ 0 natural a segunda n˜ao vale para n=0.

Z

^Exemplo ^1. Encontrar o erro na manipula¸c˜ao 0=0+0· · ·=

= (1−1) + (1−1) +· · ·=

=1+ (−1+1) + (−1+1) +· · ·=1 logo 1=0.

Come¸camos com uma s´erie X∞

k=1

a_k onde cada a_k =0=1−1, isto é, a soma dos elementos da sequência (0, 0,· · ·) então até a segunda linha tudo está correto, porém na terceira linha tratamos o termo da série somada como os termos da sequência (1, −1+1, −1+1, · · ·) que é uma série diferente da série inicial

1.2.1 Mudan ¸ca de vari ´avel em s ´eries

(8)

b

Propriedade 2 (Mudan¸ca de variável em séries). Por mudan¸ca de variável temos que se g(n) =

Xn k=a

f(k) ent˜ao g(n) = Xn+t k=a+t

f(k−t) com limn = ∞ temos tamb´em limn+t=∞ logo

lim Xn

k=a

f(k) =lim Xn+t k=a+t

f(k−t) = X∞ k=a

f(k) = X∞ k=a+t

f(k−t).

Logo se temos uma s´erie X∞ k=a

f(k) podemos somar t aos limites (t+∞ = ∞, t+a), subtraindo t do argumento da fun¸c˜ao

X∞ k=a

f(k) = X∞ k=a+t

f(k−t).

b

Propriedade 3 (Produto por −1). Por propriedade de somat´orios se g(n) = Xn

k=a

f(k) ent˜ao g(n) = X−a k=−n

f(−k) com limn=∞ temos lim−n= −∞ e

lim Xn k=a

f(k) =lim X−a k=−n

f(−k) = X∞

k=a

f(k) = X−a k=−∞

f(−k).

X∞ k=a

f(k) = X−a k=−∞

f(−k).

b

Propriedade 4. Sejam X∞ k=a

f(k) e c um n ´umero real diferente de zero ent˜ao X∞

k=a

f(k) ´e convergente sse X∞

k=a

cf(k) ´e convergente.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se g(n) = Xn k=a

f(k) ´e convergente, existe o limite limg(n) , vale tamb´em c.g(n) = c

Xn k=a

f(k) = Xn k=a

c.f(k) e existe o limite limc.g(n) = climg(n) implicando que a s´erie

X∞ k=a

cf(k) =c X∞ k=a

f(k) ´e convergente.

(9)

Se h(n) = Xn k=a

cf(k) = cg(n) ent˜ao g(n) = Xn k=a

f(k), sendo h(n) convergente, ent˜ao limh(n) = d para algum d real e vale limh(n)

c = limg(n) como c 6= 0 tem-se limg(n) = limh(n)

c = d

c que existe de onde segue que limg(n) = X∞ k=a

f(k) ´e convergente.

b

Propriedade 5. Sejam X∞ k=as

f_s(k)convergente pra toda express˜aof_s(k),g_s(n) = Xn

k=as

f_s(k) , a_s n úmeros inteiros e c_s n úmeros reais, para todo s ∈ [1, p]_N , então Xp

s=1

c_s X∞ k=as

f_s(k) converge.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Considerando a soma Xp

s=1

c_sg_s(n) como os limites limg_s(n) existem e pela propriedade de soma de limites segue que existe o limite:

lim Xp

s=1

c_sg_s(n) = Xp

s=1

c_slimg_s(n) = Xp

s=1

X∞ k=as

f_s(k).

1.2.2 Condi ¸c ˜ ao necess ária para convergência de s éries

b

Propriedade 6 (Condi¸cão necessária para convergência de séries). Se s(n) = Xn

k=a

a_k converge ent˜ao lima_k=0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que se lima(n) =s e tamb´em lims(n+1) =s e

s(n+1) −s(n) =

n+1

X

k=a

a_k− Xn k=a

a_k=a_n+1 logo

lims(n+1) −s(n) =lima_n+1 =lims(n+1) −lims(n) =s−s assim lima_n+1 =0, lima_n =0.

Essa é uma condi¸cão necessária porém não suficiente para convergência de séries.

(10)

$

Corol ário 1. Se f(k) não tende a zero a série não pode convergir. Esse critério

é útil para provar que algumas séries divergem. Veremos depois que esse critério não é suficiente, pois existem séries em que o termo somado tende a zero mas a série diverge, como é o caso da série harmônica.

Z

^Exemplo ^2. ^{A s´erie} _X_∞

k=1

cos(k),

não converge, pois não temos que limcos(n) = 0. Pois se assim fosse, também ter´ıamos limcos(2n). Porém

cos(2n) =cos²(n) −sen²(n),

passando ao limite ter´ıamos tamb´em que limsen²(n) =0. Da´ı e da identidade

cos²(n) +sen²(n) =1, na passagem do limite ter´ıamos o absurdo de 0 =1.

b

Propriedade 7. Se X∞

k=1

a_k ´e convergente ent˜ao X∞

k=1

a_2k+a_2k−1 ´e convergente e tem mesma soma que a primeira s´erie.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja sn =

Xn k=1

ak, ela converge, ent˜ao s₂n = X2n

k=1

ak= Xn

k=1

a₂k+ Xn

k=1

a₂k−1= Xn

k=1

a₂k+ a₂k−1 tamb´em converge e tende ao mesmo limite de sn.

Z

^Exemplo ^3. ^{A s´erie} ^X^∞

k=1

a_2k+a_2k−1 pode convergir por´em X∞

k=1

a_k, como ´e o caso de tomar ak = (−1)^k a s´erie

X∞ k=1

(−1)^k não converge pois lim(−1)^k 6=0, porém a_2k+a_2k−1=1−1=0 e a primeira série converge.

(11)

b

Propriedade 8. A s´erie X∞

k=a

f(k) converge ⇔ a s´erie X∞

k=b

f(k) converge. Esta propriedade nos diz que o estado de convergência da série não é alterado pela redu¸cão ou adi¸cão de um número finito de termos, isto é, podemos alterar o limite inferior do somatório por outro número real e a convergência da série não se altera.

ê Demonstra ¸c ˜ao.Tomamos g(n) = Xn k=a

f(k) e h(n) = Xn

k=b

f(k). Se b = a não temos nada a mostrar, pois as séries serão iguais. Se b > a tem-se

g(n) = Xn

k=a

f(k) = Xb−1

k=a

f(k) + Xn

k=b

f(k) = Xb−1 k=a

f(k) +h(n)

g(n) − Xb−1

k=a

f(k) =h(n)

supondo g(n) convergente e tomando o limite n → ∞ temos que no lado esquerdo temos uma série convergente e no lado direito a série também será convergente, se h(n) é convergente, usamos que

g(n) = Xb−1

k=a

f(k) +h(n)

tomando o limite tem-se que h(n) convergente implica g(n) convergente. Se a > b usamos o mesmo procedimento

h(n) = Xn k=b

f(k) = Xa−1 k=b

f(k) + Xn

k=a

f(k) = Xa−1

k=b

f(k) +g(n). (1.1)

h(n) − Xa−1

k=b

f(k) =g(n) (1.2)

se g(n) converge usamos 1.1 se h(n) converge usamos 1.2.

Como o limite inferior do somatório não altera na convergência, iremos em alguns momentos denotar a série sem o limite inferior, da seguinte maneira

X∞ k

f(k) = X∞

f(k)

(12)

Z

Êxemplo ⁴ (Série geométrica). Vamos estudar a convergência da série X∞

k=0

a^k. Se a=1 temos a soma

Xn k=0

1=n+1, lim Xn

k=0

1=∞. Se a6=1 temos

Xn−1 k=0

a^k= a^k a−1

n

0

= aⁿ−1 a−1

quando a > 1 o limite limaⁿ = ∞, com a < −1 a sequência alterna valores tomando valores positivos para valores pares dene negativos para valores ´ımpares de n, porém com valor absoluto crescente, o limite não existe nesse caso. Caso a= −1 o resultado da soma finita é

Xn−1 k=0

(−1)^k= (−1)ⁿ−1

−2

a sequência alterna entre valor 0 para n par e 1 para n ´ımpar. Se |a|<1 tem-se que limaⁿ =0 e o resultado da série é

X∞ k=0

a^k=limaⁿ−1

a−1 = −1

a−1 = 1 1−a.

Podemos usar também a condi¸cão necessária para convergência de séries. Te- mos que ter limaⁿ=0 , isto só acontece quando|a|<1, então estes são os únicos valores de a para os quais a série é convergente.

Z

^Exemplo ^5. ^{A s´erie} _∞

X

k=0

a² (1+a²)^k

converge com qualquer a ∈ R. Vale que 1 ≤ a²+1 ∀ a∈ R logo 0 < 1

1+a² ≤ 1,

(13)

portanto a série converge por ser série geométrica. Sabemos que X∞

k=0

b^k = 1 1−b, substituindo b= 1

a²+1, chegamos no resultado X∞

k=0

1

(1+a²)^k = a²+1 a² ⇒

X∞ k=0

a²

(1+a²)^k =a²+1.

Z

^Exemplo ^6. Mostrar que a s´erie X∞ n=a

(−1)ⁿa_n n!

onde a_n = Yn

k=1

2k diverge. Vamos chegar primeiro numa express˜ao para o termo geral

a_n = Yn

k=1

2k= Yn

k=1

2 Yn

k=1

k=2ⁿ.n!

logo a s´erie ´e _∞

X

n=a

(−1)ⁿ2ⁿn!

n! =

X∞ n=a

(−1)ⁿ2ⁿ

sendo b_n = (−1)ⁿ2ⁿ o limite limb_n = lim(−1)ⁿ2ⁿ 6= 0 o limite não existe pois a subsequência b_2n =2²ⁿ tem limite +∞ e a subsequência b_2n+1 = −2²ⁿ⁺¹ tem limite

−∞.

Z

^Exemplo ^7. Dadas as s´eries X∞

k=1

a_k e X∞

k=1

b_k com a_n = √

n+1−√

n , b_n = log(1+ 1

n) , mostre que lima_n = limb_n =0. Calcule explicitamente as n-´esimas reduzidas sn e tn destas s´eries e mostre que limsn=limtn = +∞.

s_n= Xn

k=1

a_k= Xn

k=1

√

k+1−√ k=

Xn k=1

∆√ k=√

k

n+1

1

=√

n+1−1

(14)

logo lims_n =∞ tn =

Xn k=1

log(1+ 1 k) =

Xn k=1

log(k+1) −log(k) = Xn

k=1

∆log(k) =log(k)

n+1

1

=

=log(n+1) −log(1) =log(n+1) logo limt_n = +∞. O limite dos termos das s´eries

a_n =√

n+1−√

n= √ 1

n+1+√

n lima_n=0 b_n =log(1+ 1

n) 0< log(1+ 1

n) = log[(1+_n¹)ⁿ]

n ≤ (1+_n¹)ⁿ n como lim(1 + 1

n)ⁿ = e então tal sequência é limitada, logo lim(1+ _n¹)ⁿ

n = 0

de onde segue por teorema do sandu´ıche que limlog(1+ 1

n) = 0. Usamos que log(n) < n. Assim temos duas série cujos termos gerais tendem a zero, porém as séries divergem, esse exemplo mostra que a condi¸cão de limf(k) = 0 em uma série

X∞ k=b

f(k) ser satisfeita não garante que a série será convergente, a condi¸cão

é apenas uma condi¸cão necessária.

b

Propriedade 9. Seja (a_k) sequˆencia com a_k ≥ 0∀ k ou a_k ≤ 0 ∀ k. Nessas condi¸c˜oes

a s´erie X∞ k=a

a_k converge ⇔ s(n) = Xn

k=a

a_k forma uma sequˆencia limitada.

ê Demonstra ¸c ˜ao. ⇒). Seja s(n) limitada com a_k≥0∀k , temos que s(n+1) −s(n) =a_n+1≥0⇒s(n+1)≥s(n)

assims(n) é uma sequência crescente limitada superiormente, portanto é convergente.

Se ak≤0 temos

s(n+1) −s(n) =a_n+1≤0⇒s(n+1)≤s(n)

logo s(n) sendo limitada inferiormente e decrescente ´e convergente.

(15)

⇐).

Agora se a série é convergente então s(n) é limitada , pois toda sequência convergente é limitada.

m

Defini ¸c ˜ao 2. Quando temos a_k≥0 es(n) = Xn k=a

a_k ´e limitada superiormente temos que a s´erie

X∞ k=a

a_k converge, ent˜ao neste caso escrevemos X∞

k=a

a_k <∞ para simbolizar que a s´erie

X∞ k=a

a_k com a_k≥0 ´e convergente.

1.2.3 Crit ´erio de compara ¸c ˜ao

b

Propriedade 10 (Crit´erio de compara¸c˜ao). Sejam X∞ k=a

a_k e X∞

k=a

b_k séries de termos não negativos. Se existem c > 0 e n₀ ∈ N tais que a_k ≤ cb_k para todo k≥n₀ então :

1. A convergˆencia de X∞ k=a

b_k implica a convergˆencia de X∞ k=a

a_k .

2. A divergˆencia de X∞ k=a

a_k implica a divergˆencia de X∞ k=a

b_k.

ê Demonstra ¸c ˜ao. 1. De a_k≤cb_k segue

Xn k=n₀

a_k

| {z }

s(n)

≤c Xn k=n₀

b_k

| {z }

:=p(n)

se Xn

k=a

b_k converge ent˜ao Xn k=n₀

b_k converge de onde segue que s(n) é limitada superiormente e como é crescente s(n) converge implicando a convergência de X∞

k=a

b_k .

(16)

2. Agora se s(n) diverge, como é crescente seu limite é infinito , pois ela é ilimitada superiormente, de c.p(n) ≥ s(n), p(n) ≥ s(n)

c então p(n) também é ilimitada superiormente e ainda por ser crescente tem limite infinito, logo a série associada p(n) =

Xn k=n₀

b_k tende a infinito.

Z

^Exemplo ^8. Mostrar que

X∞ k=1

k^k =∞. De 1< k elevamos a k, 1< k^k aplicamos a soma

Xn k=1

n= Xn

k=1

1<

Xn k=1

k^k

por compara¸cão (como são séries de termos positivos) segue que X∞

k=1

k^k=∞.

Z

Êxemplo ^9. ^{Se 0}^{< c} ^{e 1}^<^|â^| êntão ^X_c₊¹_a^k ^converge.

Vale 1

c+ak < 1

a^k e a segunda s´erie converge, logo por compara¸c˜ao a primeira converge.

Vamos usar o seguinte pequeno resultado em certas demonstra¸c˜oes.

b

Propriedade 11. Sejam (x_n) e (y_n) sequˆencias, se ∆x_n =∆y_n para todo n, ent˜ao xn =yn+c para alguma constante c.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Aplicamos o somat´orio Xn−1

k=1

em cada lado na igualdade

∆x_k=∆y_k e usamos a soma telesc´opica, de onde segue x_n−x₁ =y_n−y₁⇒x_n =y_n+x| {z }₁−y₁

=c

.

(17)

$

Corol ´ario 2. Se ∆x_n =∆y_n ∀ n e existe t ∈N tal que x_t =y_t ent˜ao x_n =y_n para todo n. Tal propriedade vale poisx_n=y_n+c, tomando n=t seguex_t=y_t+c que implica c=0, logo x_n =y_n para todo n.

b

Propriedade 12. Seja n >0∈N ent˜ao Xn−1

s=0

2^s+1X−1 k=2^s

f(k) =

2Xⁿ−1 k=1

f(k).

ê Demonstra ¸c ˜ao.[1-Soma telesc´opica]

Xn−1 s=0

2^s+1X−1 k=2^s

f(k) = Xn−1

s=0

[

2^s+1X−1 k=0

f(k) −

2^s−1

X

k=0

f(k)

| {z }

g(s)

] = Xn−1

s=0

∆g(s) =g(n) −g(0)

|{z}=0

=

2Xⁿ−1 k=1

f(k).

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Para n=1 X0

s=0

2X^s+1−1 k=2^s

f(k) = X2−1 k=2⁰

f(k) =

2¹−1

X

k=1

f(k) Temos que

∆ Xn−1

s=0

2X^s+1−1 k=2^s

f(k) =

2ⁿ⁺¹X−1 k=2ⁿ

f(k) e

∆

2Xⁿ−1 k=1

f(k) =

2ⁿ⁺¹X−1 k=1

f(k) −

2Xⁿ−1 k=1

1 k^r =

2ⁿ⁺¹X−1 k=2ⁿ

f(k) +

2Xⁿ−1 k=1

f(k) −

2Xⁿ−1 k=1

f(k) =

2ⁿ⁺¹X−1 k=2ⁿ

f(k).

logo est´a provada a igualdade.

1.2.4 Crit ´erio de condensa ¸c ˜ao de Cauchy

b

Propriedade 13 (Critério de condensa¸cão de Cauchy). Seja (xn) uma sequência decrescente de termos positivos então X

x_k converge ⇔ X

2^k.x₂k converge.

(18)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Usaremos a identidade Xn−1

s=0

2^s+1X−1 k=2^s

f(k) =

2Xⁿ−1 k=1

f(k).

⇒).

Vamos provar que se X

x_k converge ent˜ao X

2^k.x₂k converge, usando a con- trapositiva, que ´e equivalente logicamente, vamos mostrar que se X

2^k.x₂^k diverge ent˜ao X

x_k diverge.

Como x_k ´e decrescente ent˜ao vale 2^sx₂s+1 =

2X^s+1−1 k=2^s

x₂s+1 ≤

2X^s+1−1 k=2^s

x_k

aplicando

n−1

X

s=0

segue

1 2

Xn−1 s=0

2^s+1x₂s+1 ≤

2Xⁿ−1 k=1

x_k logo se X

2^sx₂^s diverge ent˜ao X

x_k diverge.

⇐).

Vamos provar que se X

2^k.x₂^k converge ent˜ao ent˜ao X

x_k converge, de maneira direta. Usando que

2X^s+1−1 k=2^s

x_k≤

2X^s+1−1 k=2^s

x₂^s =2^sx₂^s

aplicando Xn−1

s=0

segue que

2Xⁿ−1 k=1

x_k≤ Xn−1

s=0

2^sx₂^s da´ı se X

2^sx₂^s converge ent˜ao X

x_k converge .

Z

^Exemplo ^10. ^{A s´erie} _∞

X

k=3

1 [ln(k)]^s

diverge para qualquer valor real de s. Se s ≤ 0 o resultado vale pois temos s´erie com soma de [ln(k)]^−s que n˜ao converge para zero, se s > 0 temos que

(19)

ln(k+1)>ln(k) logo [ln(k+1)]^s >[ln(k)]^s e da´ı 1

[ln(k)]^s > 1 [ln(k+1)]^s

então a sequência é decrescente de termos positivos e podemos aplica o critério de condensa¸cão de Cauchy _∞

X

k=3

2^k [k]^s[ln(2)]^s tal s´erie diverge, pois o termo geral n˜ao tende a zero.

1.2.5 S ´eries do tipo X

∞

k=1

1 k

^p

e divergência da s érie harm ônica.

b

Propriedade 14. A s´erie X∞

k=1

1

k^p converge se p >1 e diverge se p≤1. ê Demonstra ¸c ão. Pelo critério de condensa¸cão de Cauchy a série

X∞ k=1

1 k^p converge, se e somente se,

X∞ k=1

2^k 2^kp =

X∞ k=1

2^k(1−p), tal série geométrica converge se 1−p <0, isto é, p >1 e diverge caso 1−p≥0⇒p≤1.

Z

Êxemplo ^11. Estudar a convergência da série X∞

k=1

(√

k+1−√ k)^p. Primeiro racionalizamos o termo somado

√k+1−√

k= (√

k+1−√ k)(√

k+1+√

√ k)

k+1+√

k = k+1−k

√k+1+√

k = 1

√k+1+√ k,

√ k≤√

k+1⇒2√ k≤√

k+1+

√

k⇒ 1

√k+1+√

k ≤ 1 2√

k, elevando a p segue que

( 1

√k+1+√

k)^p ≤ 1 2^pk^p²

(20)

por compara¸c˜ao se p

2 >1⇔p >2, a s´erie converge . De maneira similar 1

2^p(k+1)^p² ≤( 1

√k+1+√ k)^p, por compara¸c˜ao diverge caso p

2 ≤1.

Z

Êxemplo ¹² ^(IME-1964)^. Estude a convergência das séries.

1.

X∞ k=1

1

√3

k. 2.

X∞ k=1

1 e^k. 3.

X∞ k=1

ln(k) k .

1. A primeira s´erie diverge pois X∞

k=1

1

k³¹ ´e uma s´erie do tipo X∞

k=1

1

k^p, com p = 1

3 <1, que vimos ser divergente.

2. A s´erie X∞

k=1

1

e^k, converge por ser s´erie geom´etrica com 0< 1 e <1.

3. A s´erie X∞

k=1

ln(k)

k diverge pois para k grande vale ln(k) >1, da´ı ln(k) k > 1

k, como

X∞ k=1

1

k diverge, ent˜ao por compara¸c˜ao X∞

k=1

ln(k)

k tamb´em diverge.

Z

^Exemplo ^13. Calcular o limite

nlim→∞

Xn k=0

1 (n+k)^r

(21)

para r >1 real. Escrevemos o somat´orio como Xn

k=0

1 (n+k)^r =

X2n k=n

1 (k)^r =

X2n k=1

1 (k)^r −

Xn−1 k=1

1 (k)^r com r > 1 cada uma das s´eries lim

Xn−1 k=1

1

(k)^r = s e lim X2n

k=1

1

(k)^r = s convergem e para o mesmo valor, como a diferen¸ca dos limites ´e o limite da diferen¸ca em sequˆencias convergentes, segue que

nlim→∞

Xn k=0

1

(n+k)^r =lim( X2n

k=1

1 (k)^r−

Xn−1 k=1

1

(k)^r) =lim X2n

k=1

1

(k)^r−lim Xn−1

k=1

1

(k)^r =s−s =0.

b

Propriedade 15. Se ak≥0 ∀k∈N e (a_k⁰) é uma subsequência de (ak) então X∞

k=c

a_k <∞ implica que X∞

k=c

a_k⁰ <∞.

ê Demonstra ¸c ão. Seja N₁ o conjunto dos ´ındices da subsequência (a_k⁰), definimos c_k = a_k se k ∈ N₁ e c_k = 0 se k /∈ N₁ para todo k natural, então temos que c_k ≤ a_k pois caso k ∈ N₁ temos c_k =a_k caso k /∈ N₁ c_k = 0 ≤ a_k logo em qualquer caso vale c_k ≤a_k, tomando a soma em ambos lados temos

g(n) = Xn

k=c

c_k ≤ Xn

k=c

a_k <∞

logo a soma dos termos da subsequência g(n) é limitada superiormente e temos também ∆g(n) = c_n+1 ≥ 0 pois se c_n+1 = 0 vale c_n+1 ≥ 0 e se c_n+1 = a_n+1 e por propriedade da sequência (a_n) temos a_n+1 ≥0 de onde segue c_n+1 =a_n+1 ≥0, então a sequência_∞ g(n) é limitada superiormente e não-decrescente logo convergente e vale X

k=c

c_k <∞.

Mostramos então que se (a_n) é uma sequência tal que a_n ≥0 e a série dos seus termos converge então dada qualquer subsequência de de (a_n⁰) de (a_n) então a série dos termos dessa subsequência também converge.

1.2.6 Divergência da s érie harm ônica.

(22)

Z

Êxemplo ¹⁴ (Série Harmônica). Os n úmeros harmônicos são definidos como H_n =

Xn k=1

1 k temos que lim 1

n = 0 satisfaz a condi¸cão necessária para convergência de séries mas vamos mostrar que a série

limHn = X∞

k=1

1 k =∞ , isto ´e, a s´erie diverge.

Suponha que a série harmônica seja convergente, denotando limH_n =H Sejam N₁ o subconjunto de N dos ´ındices pares e N₂ o conjunto dos n úmeros ´ımpares.

Se H_n converge temos que a série sobre suas subsequências também converge,

sendo ent˜ao _n

X

k=1

1

2k−1 =tn, X∞

k=1

1

2k−1 =t Xn

k=1

1

2k =sn, X∞

k=1

1

2k =s= 1 2

X∞ k=1

1 k = H

2

temos H_2n =s_n+t_n tomando o limite limH_2n =H =lim(s_n+t_n) =s+t , como s= H

2 segue que t= H

2 pois a soma deve ser H, desse modo a diferen¸ca t−s=0, mas

t_n−s_n = Xn

k=1

1 2k−1−

Xn k=1

1 2k =

Xn k=1

1

(2k)(2k−1) = 1 2 +

Xn k=2

1

(2k)(2k−1) >0 logo

limt_n−s_n =t−s >0

de onde segue t > s que ´e absurdo. Pode-se mostrar que limt_n−s_n =ln(2).

(23)

Z

Êxemplo ^15. Na série harmônica percebemos que 1

3 + 1 4 > 2

4 = 1 2 1

5+ 1 6 + 1

7 + 1 8 > 4

8 = 1 2 1

9+ 1 10 + 1

11+ 1 12 + 1

13 + 1 14+ 1

15+ 1 16 > 8

16 = 1 2

podemos continuar agrupando os termos das somas dessa maneira, vendo que a soma dos termos harmônicos não são limitados superiormente.

Usando o crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy X∞

k=1

2^k

2^k =X

1 diverge.

1.2.7 Divergˆencia de X

∞

k=1

1 k

^p

com p < 1 .

$

Corol ´ario 3.

X∞ k=1

1

k^p diverge se p < 1. Para p < 1 vale k^p < k e da´ı 1 k < 1

k^p, da´ı por compara¸c˜ao como

X∞ k=1

1

k diverge isso implica que X∞

k=1

1

k^p tamb´em diverge.

Z

^Exemplo ^16. ^{A s´erie} ^X^∞

k=0

√k

12

k+3 diverge, pois vale que

√k

12

k+3 > 1

k+3, onde a s´erie da segunda diverge.

b

Propriedade 16. A s´erie X∞

k=2

1 k(ln(k) +c)^r diverge se r≤1 e converge se r >1. c≥0.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Usamos o crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy X 2^k

2^k(ln(2^k) +c)^r =X 1 (kln(2) +c)^r

(24)

que diverge se r≤1 e converge se r >1 .

$

Corol ´ario 4. A seguinte s´erie converge X∞

k=2

1 [ln(k)]^k.

Como ln(k)>2 para k suficientemente grande , tem-se [ln(k)]^k>2^k⇒ 1

[ln(k)]^k < 1 2^k, logo por crit´erio de compara¸c˜ao

X∞ k=2

1

[ln(k)]^k converge .

Z

k=1

1 kH_k

H_n = Xn

k=1

1 k.

podemos mostrar que H_n ≤ 1+ln(n) da´ı nH_n ≤ n(1+ln(n)) 1

n(ln(n) +1) ≤ 1

nH_n, logo a primeira diverge por crit´erio de compara¸c˜ao .

Z

^Exemplo ^18. ^{A s´erie}

X∞ k=2

1

kln(k)(ln(lnk))^r diverge se r≤1 e converge se r >1.

Aplicamos o m´etodo de condensa¸c˜ao de cauchy X∞

k=2

2^k

2^kln(2^k)(ln(ln 2^k))^r = X∞

k=2

1

kln(2)(ln(k) +ln((ln 2)))^r

(25)

que converge se r >1 e diverge se r≤1.

Z

^Exemplo ^19. Provar que a s´erie Xln(n)

n² converge. Pelo crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy temos que

X2ⁿln(2ⁿ)

2ⁿ.2ⁿ =Xnln(2) 2ⁿ tal s´erie converge, logo a primeira tamb´em converge.

Z

^Exemplo ^20. Mostrar que a s´erie X∞

k=1

1

k² converge, usando o critério de compara¸cão. Come¸caremos com o somatório

Xn k=2

1

k(k−1) = − Xn

k=2

1 k − 1

k−1 = − 1 k−1

n+1

2

== −1

n +1= n−1 n

onde usamos soma telesc´opica Xb k=a

∆f(k)

| {z }

=f(k+1)−f(k)

=f(b+1) −f(a) =f(k)

b+1

a

, ∆f(k) = f(k+1) −f(k) é apenas uma nota¸cão para essa diferen¸ca. Tomando o limite na expressão acima

lim−1

n+1=1= X∞

k=2

1 k(k−1). Vamos mostrar com esse resultado que a s´erie

X∞ k=1

1

k² converge , temos que para k >1

1

k(k−1) > 1 k² pois

k² > k²−k k >0

(26)

e k >1 por an´alise de sinal , logo aplicando o somat´orio X∞

k=2

1 k(k−1) >

X∞ k=2

1 k²

somando 1 em ambos lados e usando o resultado da s´erie que foi calculada 2 >1+

X∞ k=2

1 k² =

X∞ k=1

1 k².

Z

Êxemplo ^21. Exemplo de sequência x(n) que diverge, porém, ∆x(n) converge para zero. Sabemos que uma condi¸cão necessária mas não suficiente para convergência de uma série

X∞ k=1

f(k) e que limf(k) =0, porém não é suficiente pois existem séries em que limf(k) = 0 e a série diverge, um exemplo desse tipo de série é a série harmônica, se temos limf(k) = 0 e a sequências x(n) =

Xn k=1

f(k) diverge, temos que ∆x(n) =f(n+1) cujo limite lim∆x(n) =f(n+1) =0 , no caso especial x(n) =

Xn k=1

1

k diverge, por´em ∆x(n) = 1

n+1 converge para zero.

b

Propriedade 17. Seja

g(n) = Xn

k=a

f(k) ent˜ao limf(k) =0 equivale a lim∆g(n) =0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos que ∆g(n) = f(n +1) logo se limf(k) = 0 temos lim∆g(n) =0 e se lim∆g(n) =0 implica limf(k) =0 .

b

Propriedade 18. Sejam X∞ n=u

a_n e X∞

n=s

b_ns´eries de termos positivos. Se X∞

n=s

b_n=

∞ e existe n₀ ∈N tal que a_n+1 an

≥ b_n+1

bn para todo n > n₀ ent˜ao X∞ n=u

a_n=∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. a_n+1

a_n ≥ b_n+1

b_n , Qa_k ≥ Qb_k tomando o produt´orio com k

(27)

variando de k=n₀+1 at´e n−1 na desigualdade em ambos lados segue Yn−1

k=n₀+1

Qa_k= a_n a_n₀₊₁ ≥

Yn−1 k=n₀+1

Qb_k= b_n

b_n₀₊₁, a_n ≥ a_n₀₊₁ b_n₀₊₁b_n pois temos termos positivos, tomando a s´erie temos

X∞ n=n₀+1

a_n≥ a_n₀ bn₀

X∞ n=n₀+1

b_n =∞ logo a s´erie tende ao infinito por compara¸c˜ao.

Z

^Exemplo ^22. Mostre que a sequˆencia definida por f(n) =

Xn k=1

1 k+n

converge para um n úmero em [0,1]. Primeiro vamos mostrar que a sequência é crescente

f(n+1) −f(n) = Xn+1

k=1

1 k+n+1−

Xn k=1

1

k+n = 1 2(n+1)+

Xn k=1

1 k+n+1−

Xn k=1

1 k+n =

= 1

2(n+1)+ Xn

k=1

1

k+n+1 − 1 k+n

= 1

2(n+1) + Xn

k=1

∆ 1 k+n =

= 1

2(n+1) + 1

2n+1− 1

n+1 = 1

2n+1 − 1 2(n+1) mas temos 1

2n+1 − 1

2(n+1) > 0 pois 1

2n+1 > 1

2(n+1), 2n+2 >2n+1, 2 >1 agora vamos mostrar que a s´erie ´e limitada superiormente por 1 temos

1

n > 1 k+n k+n > n

pois nosso valor k ´e maior que zero, tomando o somat´orio em ambos lados com k em [1, n] temos

Xn k=1

1

n =n1

n =1>

Xn k=1

1 k+n

(28)

assim a s´erie ´e limitada superiormente , crescente e limitada inferiormente pelo seu primeiro termo

X1 k=1

1

k+1 = 1 2

logo a sequência assume valores no intervalo [0,1]. O limite dessa sequência é ln(2), podemos mostrar isso transformando o limite numa integral podemos usar também a fun¸cão digamma

∆ψ(k+n) = 1 k+n Xn

k=1

∆ψ(k+n) =ψ(2n+1) −ψ(n+1) = Xn

k=1

1

k+n =H₂n−Hn= X2n

k=1

(−1)^k+1 k tendo limite ln(2).

Z

^Exemplo ^23. Mostre que a s´erie X∞

k=0

1

k^k ´e convergente.

Para k > 2 vale k^k > k² da´ı 1

k^k < 1

k², da convergˆencia de X 1

k² segue a convergˆencia de

X∞ k=0

1 k^k.

Z

^Exemplo ^24. ^{A s´erie} ^X^∞

k=0

1

k^ln(k) ´e convergente pois para k grande temos ln(k)>2 da´ı segue 1

k^ln(k) < 1 k².

1.2.8 S ´eries de Fun ¸c ˜ oes Racionais

Vamos estudar convergˆencia de s´eries do tipo Xp(x)

g(x) onde p(x) e g(x)6=0 s˜ao polinˆomios.

b

Propriedade 19. Se P(x) ´e um polinˆomio de grau n ≥ 2 sem ra´ızes nos

(29)

naturais, ent˜ao

X 1

P(x) converge.

ê Demonstra ¸c ˜ao. J´a sabemos que X

x

1

xⁿ converge se n ≥ 2, por exemplo por critério de condensa¸cão de Cauchy, ou por compara¸cão com a série convergente X

x

1

x² para x suficientemente grande. Tomando um polinˆomio de grau n, temos que an 6=0 e

|a_nxⁿ+. . .+a₀x⁰|=xⁿ|a_n+. . .+a₀

xⁿ|≥xⁿ| |a_n|−|an−1

x +. . .+ a₀ xⁿ| |, onde usamos que |x+y|≥| |x|−|y| |. Com x suficientemente grande temos que

|a_n−1

x +. . .+a₀

xⁿ|≤ |a_n|

2 ⇒−|a_n|

2 ≤−|a_n−1

x +. . .+a₀ xⁿ| da´ı |an|

2 ≤|a_n|−|an−1

x +. . .+a₀

xⁿ|, por isso xⁿ|a_n|

2 ≤xⁿ|a_n+. . .+ a₀

xⁿ|, para x suficientemente grande,

da´ı, X

x

1

|P(x)| ≤X 2

|a_n|xⁿ,

que converge, logo temos a convergˆencia absoluta para X

x

1

P(x) e por isso a s´erie converge.

b

Propriedade 20. Sejam polinˆomios Xp

k=0

a_kx^k , Xp+1 k=0

b_kx^k e c > b_p+1

a_p com c >0, ent˜ao existe x₀∈R tal que x > x₀ implica

1 cx <

Pp k=0

a_kx^k

p+1P

k=0

bkx^k

(30)

Z

n=1

Yn s=1

(p+s) (q+s) com p, q reais em [0,∞)

Para q≤p temos q+s≤p+s⇒1≤ p+s

q+s logo 1 ≤ Yn

s=1

(p+s)

(q+s) =a_n portanto an não converge para zero e a série não pode convergir .

Suponha agora p < q, existe t real tal que p+t = q o termo a_n se escreve

como Yn

s=1

(p+s) (p+t+s).

Vamos analisar os casos de t ≤1 e 2≤t, no primeiro p+t+s≤p+s+1⇒ p+s

p+s+1 ≤ p+s p+t+s aplicando

Yn s=1

na desigualdade acima temos um produto telesc´opico Yn

s=1

p+s

p+s+1 = p+1 p+n+1 ≤

Yn s=1

p+s p+t+s

por compara¸cão com série harmônica a soma de an diverge nesse caso . Sendo agora 2≤t

2≤t⇒p+s+2≤p+s+t⇒ p+s

p+s+t ≤ p+s p+s+2 aplicando

Yn s=1

, novamente temos um produto telesc´opico

Yn s=1

p+s p+s+t ≤

Yn s=1

p+s p+s+2 =

Y2 s=1

p+s

p+s+n = (p+1)(p+2) (p+1+n)(p+2+n) logo por crit´erio de compara¸c˜ao a soma de a_n converge .

1.2.9 Crit ´erio de Cauchy para s ´eries

(31)

b

Propriedade 21 (Critério de Cauchy para séries). Tem-se que uma sequência

´e convergente em R ⇔ ela ´e de Cauchy, logo se definimos s(n) = Xn

k=a

a_k temos que a s´erie ´e convergente ⇔ para cada ε >0 existe n₀ ∈N tal que n > n₀ e para todo p∈N vale |s(n+p) −s(n)|< ε temos que

s(n+p) −s(n) = Xn+p

k=a

a_k− Xn k=a

a_k= Xn+p k=n+1

a_k+ Xn k=a

a_k− Xn k=a

a_k =

= Xn+p k=n+1

a_k logo temos que ter

| Xn+p k=n+1

a_k|< ε

b

Propriedade 22. Se f(k)≥ 0 para k ∈[a,∞)Z, a∈ Z ent˜ao a s´erie X∞ k=a

f(k)

´e convergente ou diverge para +∞.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Definindo g(n) = Xn

k=a

f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≥ 0 logo g(n) é uma sequência não decrescente, seg(n)for limitada então g(n) converge implicando que a série converge, se g(n) não for limitada, por ser não decrescente ela diverge para +∞, implicando que a série diverge para +∞.

Da mesma maneira tem-se

b

Propriedade 23. Se f(k)≤ 0 para k ∈[a,∞)_Z, a∈ Z ent˜ao a s´erie X∞ k=a

f(k)

´e convergente ou diverge para −∞.

A demonstra¸cão é a mesma que da propriedade anterior, apenas mudando ≥ por ≤, +∞ por −∞ e não decrescente por não crescente

ê Demonstra ¸c ˜ao. Definindo g(n) = Xn

k=a

f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≤ 0 logo g(n) é uma sequência não crescente, se g(n) for limitada então g(n) converge

(32)

implicando que a série converge, se g(n) não for limitada, por ser não crescente ela diverge para −∞, implicando que a série diverge para −∞.

b

Propriedade 24.

X∞ k=a

b converge ⇔ b=0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja g(n) = Xn

k=a

b, Se b = 0 temos g(n) = Xn k=a

0 = 0 assim temos que série é o limite da sequência constante 0, limg(n) =0 =

X∞ k=a

0. Se X∞

k=a

b converge, pela condi¸cão necessária para convergência temos que ter limb=0, como b é constante, por propriedade de limites tem-se limb =blim 1 =b= 0 logo b tem que ser zero para que a série seja convergente

X∞ k=a

0=0=0+0+0+0+0+0+· · ·=0.

Se b6=0 então a série diverge para +∞ ou −∞ pois ∆g(n) =b, se b >0 tem-se que a série é crescente e divergente logo seu limite é +∞ se b < 0 segue que ∆g(n)<0 logo decrescente e divergente assim seu limite é_n −∞. As reduzidas são dadas por X

k=a

b=b(n+1−a), se b <0 X∞

k=a

b=b+b+b+b+· · ·= −∞

se b >0 _∞

X

k=a

b=b+b+b+b+· · ·= +∞.

b

Propriedade 25 (A série harmônica diverge para +∞.). Seja 2n ≥ k (n, k naturais maiores que zero), então

1 k ≥ 1

2n

(33)

tomando a soma em [n+1,2n]

X2n k=n+1

1 k ≥

X2n k=n+1

1

2n = n 2n = 1

2

assim o critério de Cauchy, não é válido para série harmônica, pois tomando ε= 1

2 e p=n n˜ao temos

| X2n k=n+1

1 k|< 1

2

para n suficientemente grande, pois vale para qualquer n

2n

X

k=n+1

1 k ≥ 1

2 sendo g(n) =

Xn k=1

1

k temos ∆g(n) = 1

n+1 > 0 logo a série é crescente. Sendo crescente e divergente então ela tem limite+∞.Com a série harmônica temos um exemplo de série cujo termo somado tem limite 0 porém a série diverge lim 1

n =0.

1.3 S ´eries absolutamente convergentes

m

Defini ¸c ão 3 (Séries absolutamente convergentes). Uma série X∞

k=a

ak ´e dita absolutamente convergente se

X∞ k=a

|a_k| ´e convergente.

m

Defini ¸c ão 4 (Série condicionalmente convergente). Uma série X∞

k=a

a_k ´e condicionalmente convergente se

X∞ k=a

a_k converge por´em X∞ k=a

|a_k| diverge.

1.3.1 Toda s ´erie absolutamente convergente ´e convergente

(34)

F Teorema 1 (Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente). Se s(n) = Xn

k=b

|a_k| converge ent˜ao Xn

k=b

a_k converge.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se Xn k=b

|a_k| converge, podemos usar o crit´erio de Cauchy, que garante que para todo ε >0 existe n₀ ∈N, tal que para n > n₀ e p∈N vale

| Xn+p k=n+1

|a_k| |= Xn+p k=n+1

|a_k|< ε mas vale a desigualdade

| Xn+p k=n+1

a_k|≤ Xn+p k=n+1

|a_k|< ε

logo Xn

k=b

a_k ´e uma sequˆencia de Cauchy, portanto converge.

ê Demonstra ¸c ˜ao.[2] Temos¹ que a_k ≤ |a_k| e tamb´em −a_k ≤ |a_k| logo dessa

´ultima 0≤a_k+|a_k|que por sua vez ´e menor que 2|a_k|, como 2 X∞ k=0

|a_k|converge ent˜ao X∞

k=0

a_k+|a_k| tamb´em converge por compara¸c˜ao, da´ı X∞

k=0

ak+|ak|− X∞

k=0

|ak|= X∞

k=0

ak

converge por ser soma de s´eries convergentes.

Daremos uma outra demonstra¸c˜ao dessa propriedade usando o conceito de parte positiva e negativa de uma s´erie.

1.3.2 Parte negativa e positiva de uma s ´erie

m

Defini ¸c ˜ao 5 (Parte negativa e positiva de uma s´erie). Seja X

a_k uma s´erie, para cada k definimos a parte positiva p_k da seguinte maneira

p_k=





a_kse a_k ≥0 0 se a_k<0

1Solu¸c˜ao de Diogenes Mota