Crit´erios de Divisibilidade

Seja a um n´umero inteiro positivo. Escrevendo a na base 10, temos a = amam−1. . . a1a0= am10m+ am−110m−1+· · · + a110 + a0, (⋆)

onde 0_{≤ a}m, . . . , a0≤ 9 e am6= 0.

Veremos como as potˆencias de 10 se comportam m´odulo n, para n = 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11 e obteremos, respectivamente, crit´erios de divisi- bilidade por 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11.

Exemplo 29

Seja n = 2. Temos que 10≡ 0 mod 2. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), temos que 10j_{≡ 0}j _{= 0 mod 2, para todo j≥ 1. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i)}

e (ii), obtemos:

a = amam−1. . . a1a0 = am10m+ am−110m−1+· · · + a110 + a0

≡ am· 0 + am−1· 0 + · · · + a1· 0 + a0 mod 2

= a0 mod 2.

Logo, a _{≡ a}0 mod 2 e o resto da divis˜ao de a por 2 ´e o mesmo resto da

divis˜ao de a0 por 2.

Exemplo 30

Seja n = 3. Temos que 10_{≡ 1 mod 3. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), temos} que 10j_{≡ 1}j _{= 1 mod 3, para todo j≥ 1. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i)}

e (ii), obtemos:

a = amam−1. . . a1a0 = am10m+ am−110m−1+· · · + a110 + a0

≡ am· 1 + am−1· 1 + · · · + a1· 1 + a0 mod 3

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

Logo, a_{≡ a}m+ am−1+· · · + a1+ a0 mod 3 e o resto da divis˜ao de a por 3

´e o mesmo resto da divis˜ao de am+ am−1+· · · + a1+ a0 por 3.

Exemplo 31

Seja n = 4. Temos que 10 ≡ 2 mod 4, logo 102 _{≡ 2}2 _{= 4 ≡ 0 mod 4.}

Assim, da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), para todo j≥ 3, temos 10j_{= 10}2_·10j−2_≡

0_{· 10}j−2_{= 0 mod 4. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i) e (ii), obtemos:}

a = amam−1. . . a1a0 = am10m+ am−110m−1+· · · + a110 + a0

≡ am· 0 + am−1· 0 + · · · + a1· 10 + a0 mod 4

= a1a0≡ 2a1+ a0 mod 4.

Logo, a≡ a1a0≡ 2a1+ a0 mod 4 e o resto da divis˜ao de a por 4 ´e o mesmo

resto da divis˜ao de a1a0 por 4, equivalentemente, ´e o mesmo resto da divis˜ao

de 2a1+ a0 por 4.

Por exemplo, 2379_{≡ 79 ≡ 2 · 7 + 9 = 23 ≡ 3 mod 4.} Exemplo 32

Seja n = 5. Temos que 10≡ 0 mod 5. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), temos que 10j_{≡ 0}j_{= 0 mod 5, para todo j≥ 1. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i)}

e (ii), obtemos:

a = amam−1. . . a1a0 = am10m+ am−110m−1+· · · + a110 + a0

≡ am· 0 + am−1· 0 + · · · + a1· 0 + a0 mod 5

= a0 mod 5.

Logo, a ≡ a0 mod 5 e o resto da divis˜ao de a por 5 ´e o mesmo resto da

divis˜ao de a0 por 5.

Exemplo 33

Seja n = 9. Temos que 10_{≡ 1 mod 9. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), temos} que 10j_{≡ 1}j_{= 1 mod 9, para todo j≥ 1. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i)}

e (ii), obtemos:

a = amam−1. . . a1a0 = am10m+ am−110m−1+· · · + a110 + a0

≡ am· 1 + am−1· 1 + · · · + a1· 1 + a0 mod 9

= am+ am−1+· · · + a1+ a0 mod 9.

Logo, a_{≡ a}m+ am−1+· · · + a1+ a0 mod 9 e o resto da divis˜ao de a por 9

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 5

Exemplo 34

Seja n = 10. Temos que 10_{≡ 0 mod 10. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), temos} que 10j_{≡ 0}j_{= 0 mod 10, para todo j≥ 1. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i)}

e (ii), obtemos:

a = amam−1. . . a1a0 = am10m+ am−110m−1+· · · + a110 + a0

≡ am· 0 + am−1· 0 + · · · + a1· 0 + a0 mod 10

= a0 mod 10.

Logo, a_{≡ a}0 mod 10 e o resto da divis˜ao de a por 10 ´e o mesmo resto da

divis˜ao de a0 por 10 que ´e a0.

Exemplo 35

Seja n = 11. Temos que 10 _{≡ −1 mod 11. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii),} temos que, para todo j≥ 1,

10j _{≡ (−1)}j₌



1 mod 11, se j ´e par −1 mod 11, se j ´e ´ımpar Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i) e (ii), obtemos:

a = amam−1. . . a1a0 = · · · + a4104+ a3103+ a2102+ a110 + a0

≡ · · · + a4+ a3· (−1) + a2+ a1· (−1) + a0 mod 11 ≡ · · · + a6− a5+ a4− a3+ a2− a1+ a0 mod11.

Logo, a≡ · · · + a6− a5+ a4− a3+ a2− a1+ a0 mod 11 e o resto da divis˜ao

de a por 11 ´e o mesmo resto da divis˜ao de· · ·+a6−a5+a4−a3+a2−a1+a0

por 11.

Por exemplo, 235794_{≡ (4+7+3)−(9+5+2) = 14−16 = −2 ≡ 9 mod 11.} Como conseq¨uˆencia dos Exemplos anteriores, obtemos crit´erios de di- visibilidade por 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, respectivamente, correspondendo ao caso em que o resto ´e 0.

Proposi¸c˜ao 15 (Crit´erios de Divisibilidade)

Seja a = amam−1. . . a1a0 um n´umero inteiro positivo,

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

onde 0_{≤ a}m, . . . , a0≤ 9 e am6= 0. Ent˜ao,

(i) 2 divide a se, e somente se, a0 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.

(ii) 3 divide a se, e somente se, 3 divide am+ am−1+· · · + a1+ a0.

(iii) 4 divide a se, e somente se, 4 divide a1a0

se, e somente se, 4 divide 2a1+ a0.

(iv) 5 divide a se, e somente se, a0∈ {0, 5}.

(v) 9 divide a se, e somente se, 9 divide am+ am−1+· · · + a1+ a0.

(vi) 10 divide a se, e somente se, a0= 0.

(vii) 11 divide a se, e somente se, 11 divide (a0+ a2+ a4+· · · ) − (a1+ a3+

a5+· · · ).

Demonstra¸c˜ao: ´E imediata, pelos seis Exemplos anteriores, observando nos itens (i), (iv) e (vi) a condi¸c˜ao a0∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. 

Veremos agora duas propriedades muito ´uteis das congruˆencias. Proposi¸c˜ao 16 (Outras propriedades da congruˆencia)

Sejam a, b, c, m, n_{∈ Z, com n ≥ 2 e m ≥ 2. Ent˜ao,}

(i) a≡ b mod m e a ≡ b mod n se, e somente se, a ≡ b mod mmc(m, n). (ii) Se a_{· c ≡ b · c mod n e mdc(c, n) = 1, ent˜ao a ≡ b mod n.}

Demonstra¸c˜ao: (i) a_{≡ b mod m, a ≡ b mod n ⇐⇒ m | (a − b), n | (a − b)} ⇐⇒ a − b´e m´ultiplo de m e de n ⇐⇒ a − b´e m´ultiplo do mmc(m, n) ⇐⇒ mmc(m, n) | (a − b) ⇐⇒ a_{≡ b mod mmc(m, n).} (ii) a_{· c ≡ b · c mod n =⇒ n | (a · c − b · c) = (a − b) · c} (1) =⇒ n | (a − b) =⇒ a ≡ b mod n. 

Em (1) usamos a hip´otese mdc(c,n) = 1. Veja o Exerc´ıcio 4 (a) da Se¸c˜ao 4.

Vamos resolver o item (b) do Exerc´ıcio 9 da Se¸c˜ao anterior, usando congruˆencias e suas propriedades.

Exemplo 36

Vamos mostrar que 45 | (133n_{+ 17}3n_{), para todo n≥ 1 ´ımpar.}

Primeiramente, escrevemos 45 = 32

· 5. Usaremos congruˆencia m´odulo 9, congruˆencia m´odulo 5 e a Proposi¸c˜ao anterior item (i), com 45 = mmc(9, 5).

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 5

Temos

13_{≡ 4 mod 9 =⇒ 13}3 _{≡ 4}3 _{= 64≡ 1 mod 9 e 17 ≡ 8 ≡ −1 mod 9. Logo,}

133n+ 173n_{= (13}3₎n_{+ 17}3n

≡ 1n_{+ (−1)}3n _{= 1 − 1 = 0 mod 9, pois 3n ´e}

´ımpar, em virtude de 3n_{≡ 1 · 1 = 1 mod 2.} Agora,

13_{≡ 3 mod 5 e 17 ≡ 2 mod 5 =⇒ 13}3_{≡ 3}3_{= 27≡ 2 mod 5 e}

173_{≡ 2}3_{= 8≡ 3 ≡ −2 mod 5}

=⇒ 133_{≡ 2 mod 5 e 17}3_{≡ −2 mod 5.}

Ent˜ao,

133n+ 173n_{= (13}3₎n_{+ (17}3₎n_{≡ 2}n_{+ (−2)}n_{= 2}n_{− 2}n_{= 0 mod 5, pois n ´e}

´ımpar.

Como 133n_{+ 17}3n _{≡ 0 mod 9, 13}3n_{+ 17}3n _{≡ 0 mod 5 e 45 = mmc(9, 5),}

ent˜ao 133n_{+ 17}3n_{≡ 0 mod 45.}

Teorema 5 (Pequeno Teorema de Fermat) Seja p um natural primo.

(i) Se a_{∈ Z, ent˜ao a}p

≡ a mod p.

(ii) Se a_{∈ Z e p n˜ao divide a, ent˜ao a}p−1_{≡ 1 mod p.}

Veja o Exerc´ıcio 4 da Se¸c˜ao 3.

Demonstra¸c˜ao:

(i) Seja a_{∈ N. Faremos indu¸c˜ao sobre a.} Se a = 0, ent˜ao 0p_{= 0≡ 0 mod p.}

Seja a_{≥ 0 e suponhamos que a}p_{≡ a mod p. Ent˜ao}

(a + 1)p_{= a}p₊ p 1
a p−1₊ p 2
a p−2_{+· · · +} p p−1
a + 1.

Como p | p_j
, para 1 ≤ j ≤ p − 1, temos que p

j
≡ 0 mod p, para

1 _{≤ j ≤ p − 1, logo (a + 1)}p_{≡ a}p_{+ 1 mod p . Pela hip´otese de indu¸c˜ao,}

obtemos que ap_{+ 1 ≡ a + 1 mod p. Pela transitividade da congruˆencia}

mod p, temos

(a + 1)p_{≡ a}p_{+ 1≡ a + 1 mod p, isto ´e (a + 1)}p_{≡ a + 1 mod p.}

Logo, a propriedade vale para todo a_{∈ N.}

Seja agora a∈ Z, a < 0. Ent˜ao, −a > 0 e (−a)p_{≡ −a mod p.}

Se p ´e um primo ´ımpar, temos −ap _{= (−a)}p

≡ −a mod p, que ´e equivalente a ap_{≡ a mod p.}

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

Seja p = 2. Ent˜ao, 1 + 1 = 2 _{≡ 0 mod 2, isto ´e, 1 ≡ −1 mod 2, donde} a = a_{· 1 ≡ a · (−1) = −a mod 2. Portanto, a}2_{= (−a)}2_{≡ −a ≡ a mod 2,}

completando a demonstra¸c˜ao de (i).

(ii) Suponhamos que p ∤ a. Ent˜ao, mdc(a, p) = 1.

Como a_{· a}p−1_{= a}p_{≡ a = a · 1 mod p e mdc(a, p) = 1, pelo item (ii)}

da Proposi¸c˜ao anterior, temos ap−1

≡ 1 mod p.  Exemplo 37

Qual o resto da divis˜ao de 20012006_{− 1 por 17?}

Como 2001 = 17_{· 117 + 12 e 17 ´e primo, ent˜ao 1 = mdc(2001, 17).} Al´em disso, 2006 = 16· 125 + 6. Logo,

20012006_{− 1 = 2001}16·125+6_{− 1} = (200116₎125_{· 2001}6_{− 1} ≡ 1125_{· 2001}6_{− 1 = 2001}6_{− 1 mod 17.} 2001_{≡ 12 mod 17 =⇒ 2001}6_{− 1≡ 12}6_{− 1 mod 17.} 126_{− 1≡ (−5)}6_{− 1 = 25}3_{− 1≡ 8}3_{− 1 = 64· 8 − 1 ≡ (−4) · 8 − 1 = −33 ≡ 1} mod 17.

Logo, 20012006_{− 1 ≡ 2001}6_{− 1≡ 12}6_{− 1≡ 1 mod 17 e o resto ´e 1.}

Seja n ≥ 2 um inteiro. Pela Proposi¸c˜ao 12 a congruˆencia m´odulo n ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia. A classe de equivalˆencia a de um inteiro a na congruˆencia m´odulo n ´e chamada de classe residual m´odulo n.

Lembre que . . . classes distintas s˜ao

disjuntas.

a = {x_{∈ Z ; x ≡ a mod n}} = {x_{∈ Z ; n | (x − a)}}

= {x_{∈ Z ; x e a deixam o mesmo resto na divis˜ao por n}.} Exemplo 38

Seja n = 2. Dado a_{∈ Z, pela divis˜ao euclidiana, existem q e r, unicamente} determinados, tais que a = 2· q + r, com 0 ≤ r ≤ 1.

Logo,

a = 

0 ⇐⇒ a ´e par 1 ⇐⇒ a ´e ´ımpar S´o h´a duas classes distintas m´odulo 2, a saber 0 e 1. Das propriedades de rela¸c˜ao de equivalˆencia,

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 5

Sejam a, b inteiros. Ent˜ao, a_{≡ b mod 2 ⇐⇒ a = b ⇐⇒}



ae b s˜ao ambos pares ou ae b s˜ao ambos ´ımpares. Exemplo 39

Seja n = 3. Dado a∈ Z, pela divis˜ao euclidiana, existem q e r, unicamente determinados, tais que a = 3· q + r, com 0 ≤ r ≤ 2.

Logo, a =      0 ⇐⇒ a = 3 · q, para algum q ∈ Z; 1 ⇐⇒ a = 3 · q + 1, para algum q ∈ Z; 2 ⇐⇒ a = 3 · q + 2, para algum q ∈ Z. S´o h´a trˆes classes distintas m´odulo 3, a saber, 0, 1 e 2.

Das propriedades de rela¸c˜ao de equivalˆencia,

Z = 0∪ 1 ∪ 2, onde 0 = 3Z, 1 = 3Z + 1 e 2 = 3Z + 2. Proposi¸c˜ao 17

Seja n _{≥ 2. Para cada a ∈ Z existe um ´unico r ∈ Z, com 0 ≤ r ≤ n − 1,} tal que a = r. Logo, h´a n classes residuais m´odulo n distintas, a saber, 0, 1, . . . , n − 1, onde r = nZ + r e Z = 0_{∪ 1 ∪ . . . ∪ n − 1.}

Demonstra¸c˜ao: Dado a ∈ Z, pela divis˜ao euclidiana de a por n, existe um ´

unico r, com 0_{≤ r ≤ n − 1, tal que}

a = q_{· n + r, para algum q ∈ Z.}

Portanto, a_{≡ r mod n e a = r, mostrando a existˆencia.} Sejam r, s inteiros tais que 0≤ r, s ≤ n − 1 e r = s.

Ent˜ao, −(n − 1) _{≤ r − s ≤ n − 1 e n | r − s. Logo, r − s = 0, isto ´e,} r = s, mostrando a unicidade. 

Defini¸c˜ao 13 (Conjunto das classes residuais m´odulo n)

O conjunto quociente de Z pela congruˆencia m´odulo n ´e representado por Zn e ´e chamado de conjunto das classes residuais m´odulo n.

Zn= {0, 1, . . . , n − 1}.

Exemplo 40 Z2 = {0, 1}

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

Z4= {0, 1, 2, 3}

Z5= {0, 1, 2, 3, 4}

Z6= {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Vamos dar a Zn uma estrutura de anel, definindo opera¸c˜oes de adi¸c˜ao

e multiplica¸c˜ao entre seus elementos. Defini¸c˜ao 14 (Adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de Zn)

Seja n≥ 2. Sejam a, b ∈ Z. Definimos

a + b = a + b a_{· b = a · b}

Observamos que essas defini¸c˜oes n˜ao dependem dos representantes das classes residuais. De fato, pela Proposi¸c˜ao 14 itens (i) e (ii), temos que

a_{≡ a}′ _{mod n e} b_{≡ b}′ _{mod n} =⇒  a + b_{≡ a}′_{+ b}′ _{mod n} a_{· b ≡ a}′_{· b}′ _{mod n} ⇐⇒  a + b = a′_{+ b}′ a_{· b = a}′_{· b}′ ⇐⇒  a + b = a + b = a′_{+ b}′ _{= a}′_{+ b}′ a_{· b = a · b = a}′_{· b}′ _{= a}′_{· b}′

Logo, a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao das classes residuais independem do inteiro que ´e representante da classe.

Vejamos as tabelas das opera¸c˜oes em Z2,Z3 e Z4, nos seguintes exem-

plos.

Exemplo 41

Tabelas das opera¸c˜oes em Z2

+ 0 1 0 0 1 1 1 0 · 0 1 0 0 0 1 0 1 Exemplo 42

Tabelas das opera¸c˜oes em Z3

+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 · 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 5

Exemplo 43

Tabelas das opera¸c˜oes em Z4

+ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 · 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1

Proposi¸c˜ao 18 (Propriedades da adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de Zn)

Seja n≥ 2. A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao de Zntˆem as seguintes propriedades,

para quaisquer a, b, c∈ Zn:

A1 (Associativa) (a + b) + c = a + (b + c) A2 (Comutativa) a + b = b + a ;

A3 (Existˆencia de elemento neutro) 0 ´e o elemento neutro aditivo 0 + a = a;

A4 (Existˆencia de sim´etrico) o sim´etrico de a ´e −a a + −a = 0;

M1 (Associativa) (a· b) · c = a · (b · c) M2 (Comutativa) a· b = b · a ;

M3 (Existˆencia de unidade) 1 ´e a unidade de Zn

1_{· a = a;} AM (Distributiva) (a + b)_{· c = a · c + b · c.}

Demonstra¸c˜ao: As propriedades A3, A4 e M3 s˜ao facilmente verificadas. Faremos a demonstra¸c˜ao apenas de A1 e AM. Vocˆe deve fazer a de- monstra¸c˜ao das outras propriedades.

(a + b) + c (1)= a + b + c (2) = (a + b) + c (3) = a + (b + c) (4) = a + b + c (5) = a + (b + c),

mostrando A1. Fazendo as modifica¸c˜oes convenientes, vocˆe obt´em M1.

Em (1) e (2) usamos a defini¸c˜ao da adi¸c˜ao das classes residuais. Em (3) usamos que a adi¸c˜ao em Z ´e associativa. Em (4) e (5), novamente, usamos a defini¸c˜ao da adi¸c˜ao das classes residuais.

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn (a + b)_{· c} (1)= a + b_{· c} (2) = (a + b)_{· c} (3) = a_{· c + b · c} (4) = a_{· c + b · c} (5) = a_{· c + b · c,} mostrando AM.  Em (1) usamos a defini¸c˜ao da adi¸c˜ao das classes residuais e em (2), a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao. Em (3) usamos a distributividade em Z. Em (4) usamos a defini¸c˜ao da adi¸c˜ao das classes residuais e em (5), a defini¸c˜ao da multiplica¸c˜ao.

Corol´ario 10

Seja n_{≥ 2. Z}n´e um anel comutativo com unidade.

Exemplo 44

Z4 tem divisor de 0, pois 2· 2 = 0, com 2 6= 0. Portanto, Z4 n˜ao ´e um

dom´ınio. Al´em disso, Z∗

4= {1, 3}, pois 1 = 1· 1 e 1 = 9 = 3 · 3, cada um deles

´e seu pr´oprio inverso. Proposi¸c˜ao 19

Seja n_{≥ 2. Um elemento a ∈ Z}n´e invert´ıvel se, e somente se, mdc(a, n) = 1.

Demonstra¸c˜ao:

(=⇒:) Seja a ∈ Zn um elemento invert´ıvel. Ent˜ao, existe b ∈ Zn tal que

1 = a_{·b = a · b. Portanto, a·b ≡ 1 mod n, que ´e equivalente a n | (a·b−1).} Logo, a· b − 1 = q · n, para algum q ∈ Z, isto ´e, 1 = a · b + (−q) · n. Logo, 1 =mdc(a, n).

Veja Exerc´ıcio 1, item (a), da Se¸c˜ao 4.

(⇐=:) Suponhamos que mdc(a, n) = 1. Ent˜ao, existem x, y ∈ Z tais que 1 = a_{· x + n · y. Logo,}

1 = a_{· x + n · y = a · x + n · y = a · x + 0 · y = a · x,} mostrando que x ´e o inverso de a. 

Exemplo 45

Seja n = 143. No Exemplo 22 (b), mostramos que 1 = 143_{·152+315·(−69).} Portanto, 1 = mdc(143, 315) e em Z143a classe residual 315 = 29 ´e invert´ıvel,

com inverso −69 = 74.

0 = 143 = 74 + 69 = 74 + 69 ⇐⇒ −69 = 74.

Exemplo 46

Para cada j _{∈ {0, 1, . . . , 7}, temos que mdc(j, 8) = 1 se, e somente se,} j_{∈ {1, 3, 5, 7}. Logo,}

Z∗

8= {1, 3, 5, 7},

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 5

Exemplo 47

Para cada j _{∈ {0, 1, . . . , 9}, temos que mdc(j, 10) = 1 se, e somente se,} j_{∈ {1, 3, 7, 9}. Logo,}

Z∗

10= {1, 3, 7, 9},

com 3· 7 = 1 e 9 · 9 = 1. Defini¸c˜ao 15 (Fun¸c˜ao de Euler)

Seja n_{≥ 2 um inteiro. A fun¸c˜ao de Euler ´e definida por} φ(n) = ♯ { s_{∈ Z ; 1 ≤ s < n e mdc(s, n) = 1}.} Exemplo 48

A fun¸c˜ao de Euler tem as seguintes propriedades: (i) φ(p) = p − 1, se p ´e primo.

(ii) φ(pm_{) = p}m_{− p}m−1_{, se p ´e primo e m≥ 1.}

(iii) φ(m_{· n) = φ(m) · φ(n), se mdc(m, n) = 1.}

Al´em disso, φ(n) ´e o n´umero de elementos invert´ıveis de Zn, isto ´e,

φ(n) =♯Z∗ n.

Observa¸c˜ao: Seja n > 3. Suponhamos que n n˜ao ´e primo. Ent˜ao, existem a, b_{∈ Z, tais que n = a · b, com 1 < a, b < n. Logo,}

0 = n = a_{· b = a · b, com a 6= 0 e b 6= 0.}

Portanto, se n n˜ao ´e primo, ent˜ao Znn˜ao ´e um dom´ınio. Logo, Znn˜ao

´e um corpo. Exemplo 49

Z2 e Z3s˜ao corpos (Verifique). Z5´e um corpo, pois Z5´e um anel comutativo

e todo elemento n˜ao-nulo tem inverso, a saber,

Lembre que . . .

Todo corpo ´e um dom´ınio.

1_{· 1 = 1, 2 · 3 = 6 = 1 e 4 · 4 = 16 = 1.} Corol´ario 11

Seja n_{≥ 2. Z}n´e um corpo se, e somente se, n ´e primo.

Demonstra¸c˜ao:

(⇐=:) Suponhamos que n ´e primo. Ent˜ao, mdc(j, n) = 1, para todo j = 1, . . . , n − 1, e, pela Proposi¸c˜ao anterior, j ´e invert´ıvel. Logo, todo elemento

n˜ao-nulo de Zn´e invert´ıvel, mostrando que Zn´e um corpo. P =⇒ Q se, e somente se, ∼ Q =⇒∼ P.

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

Teorema 6 (Teorema de Wilson)

Se p ´e um natural primo, ent˜ao (p − 1)!≡ −1 mod p.

Demonstra¸c˜ao: Se p = 2, ent˜ao p − 1 = 1 e (p − 1)! = 1 _{≡ −1 mod 2.} Suponhamos que p ´e um primo ´ımpar. A congruˆencia (p − 1)!≡ −1 mod p ´e equivalente `as seguintes igualdades em Zp

(p − 1)! = −1 ⇐⇒ p − 1 · . . . · 2 · 1 = p − 1.

Se A ´e um anel e a ∈ A ´e tal que 1A= a2, ent˜ao a ´e

invert´ıvel em A e a−1_{= a.}

Vamos mostrar a ´ultima igualdade. Para isto, observamos que a∈ Zp

e a2 _{= 1 se, e somente se, 0 = a}2_{− 1 = (a − 1)(a + 1). Como Z}

p ´e um

corpo, a − 1 = 0 ou a + 1 = 0. Portanto, a = 1 ou a = −1 = p − 1. Assim, as classe residuais que s˜ao inversas delas mesmas s˜ao 1 e p − 1 e as outras ocorrem aos pares no produto p − 1· . . . · 2 · 1, isto ´e, para cada uma tem um fator distinto no produto que ´e seu inverso. Logo,

p − 1≡ −1 mod p

⇐⇒ p − 1 = −1 em Zp. p − 1· . . . · 2 · 1 = p − 1 · 1 = p − 1. 

Agora vamos resolver um tipo especial de equa¸c˜ao.

Seja n _{≥ 2 um inteiro e sejam a, b ∈ Z}n. Vamos resolver em Zn

equa¸c˜oes do tipo

a_{· x = b,} (1)

ou seja, determinar x_{∈ Z solu¸c˜ao da congruˆencia} a_{· x ≡ b mod n.} (2) Observa¸c˜ao:

(a) Sejam x0, x1 ∈ Z tais que x0 ´e uma solu¸c˜ao de (2) e x1 ≡ x0 mod n.

Ent˜ao, x1 ´e solu¸c˜ao de (2).

De fato, x1≡ x0 mod n (⋆) =⇒ a · x1≡ a · x0 mod n (⋆⋆) =⇒ a · x1≡ a · x0≡ b mod n . Em (⋆) usamos que a ≡ a mod n e a Proposi¸c˜ao 14 (ii). Em (⋆⋆) usamos que a· x0≡ b mod n e a

congruˆencia m´odulo n ´e transitiva.

Assim, as solu¸c˜oes de (2) se repartem em classes residuais m´odulo n e cada classe residual corresponde a uma solu¸c˜ao de (1).

Quantas s˜ao as solu¸c˜oes m´odulo n?

Resposta: h´a d = mdc(a, n) classes residuais distintas que s˜ao solu¸c˜oes, conforme veremos no pr´oximo Teorema.

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 5

(b) Se mdc(a, n) = 1, ent˜ao a ´e invert´ıvel em Zne a equa¸c˜ao (1) tem uma

´

unica solu¸c˜ao em Zn, a saber, tomando c o inverso de a, temos:

a_{· x = b =⇒ c · (a · x) = c · b =⇒ x = c · b.} Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 50

Consideremos em Z7 a equa¸c˜ao 2· x = 5.

Z7´e um corpo. Todo a 6= 0

tem inverso em Z7.

Nesse caso, mdc(2, 7) = 1. Logo, 2 tem inverso em Z7. Como 4· 2 = 8 = 1,

temos que 4 ´e o inverso de 2 e

x = (4_{· 2) · x = 4 · (2 · x) = 4 · 5 = 20 = 6.} Exemplo 51

Consideremos em Z9 a equa¸c˜ao 5· x = 2.

Nesse caso, mdc(5, 9) = 1. Logo, 5 tem inverso em Z9. Como 2· 5 = 10 = 1,

temos que 2 ´e o inverso de 5 e

x = (2_{· 5) · x = 2 · (5 · x) = 2 · 2 = 4.} Teorema 7

Sejam a, b e n inteiros com n≥ 2. Seja d = mdc(a, n). Temos:

(i) A congruˆencia a_{· x ≡ b mod n tem solu¸c˜ao se, e somente se, d | b;} (ii) Se d | b, ent˜ao existem exatamente d solu¸c˜oes distintas m´odulo n, cujos representantes s˜ao

x0, x0+n_d, . . . , x0+ (d − 1)·n_d,

onde x0´e uma solu¸c˜ao particular da congruˆencia.

Demonstra¸c˜ao:

(i) A congruˆencia a_{· x ≡ b mod n tem solu¸c˜ao se, e somente se, a equa¸c˜ao} diofantina a_{· x + n · y = b tem solu¸c˜ao x, y ∈ Z se, e somente se, pela} Proposi¸c˜ao 11, d = mdc(a, n) | b.

(ii) Se d = mdc(a, n) | b ent˜ao, pelo Teorema 4, tomando uma solu¸c˜ao particular x0, y0 de a· x + n · y = b obtemos que

x = x0+ t· n_d e y = y0− t· a_d, com t ∈ Z,

s˜ao as solu¸c˜oes de a· x + n · y = b e toda solu¸c˜ao de a · x ≡ b mod n ´e da forma x = x0+ t· n_d, com t ∈ Z.

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

x = x0+ t·n_d = x0+ (d· q + r) · n_d = x0+ q· n + r · n_d ≡ x0+ r· n_d mod n

e x0, x0+n_d, . . . , x0+ (d − 1)·n_d n˜ao s˜ao congruentes m´odulo n. 

Exemplo 52

Vamos resolver a congruˆencia 12_{· x ≡ 28 mod 8.}

A equa¸c˜ao tem solu¸c˜ao, pois mdc(12, 8) = 4 e 4 | 28. Al´em disso, h´a 4 solu¸c˜oes n˜ao congruentes m´odulo 8.

Usando o Algoritmo de Euclides, temos que 12_{· 3 + 8 · (−4) = 4. Portanto,} 12_{· (21) + 8 · (−28) = 28, isto ´e x}0= 21e y0= −28s˜ao solu¸c˜oes particulares

de 12_{· x + 8 · y = 28.} Assim, x = 21 + r· 8

4 = 21 + 2r, com r = 0, 1, 2, 3, s˜ao os representantes das

solu¸c˜oes n˜ao congruentes m´odulo 8, isto ´e, x = 21, x = 23, x = 25 e x = 27. As solu¸c˜oes s˜ao as classes m´odulo 8: x = 21_{≡ 5 mod 8, x = 23 ≡ 7 mod 8,} x = 25_{≡ 1 mod 8 e x = 27 ≡ 3 mod 8.}

Exemplo 53

Vamos resolver a congruˆencia 245_{· x ≡ 95 mod 180.}

A equa¸c˜ao tem solu¸c˜ao, pois mdc(245, 180) = 5 e 5 | 95. Al´em disso, h´a 5 solu¸c˜oes n˜ao congruentes m´odulo 180.

Usando o Algoritmo de Euclides, temos que 245_{· (−11) + 180 · 15 = 5. Como} 95 = 5_{· 19, ent˜ao 245 · ((−11) · 19) + 180 · (15 · 19) = 95, isto ´e x}0= −209 e

y0 = 285s˜ao solu¸c˜oes particulares de 245· x + 180 · y = 95.

Assim, x = −209 + r·180

5 = −209 + 36r, com r = 0, 1, 2, 3, 4, s˜ao os represen-

tantes das solu¸c˜oes n˜ao congruentes m´odulo 180, isto ´e, x = −209, x = −173, x = −137, x = −101 e x = −65.

As solu¸c˜oes s˜ao as classes m´odulo 180: x = −209 _{≡ 151 mod 180,} x = −173 _{≡ 7 mod 180, x = −137 ≡ 43 mod 180, x = −101 ≡ 79} mod 180 e x = −65_{≡ 115 mod 180.}

Exerc´ıcios

1. Mostre que se n ≥ 1, ent˜ao o algarismo das unidades, na representa¸c˜ao na base 10 de 3n_{, s´o pode ser 1, 3, 7 ou 9. Ache os algarismos das}

unidades de 3400_{, 3}401_{, 3}402 _{e 3}403_.

2. Ache, na base 10, crit´erios de divisibilidade por: (a) 4, 25, 100.

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 5

(b) 8, 125, 1000. (c) Generalize.

3. Sejam m e n inteiros ´ımpares. Mostre que:

(a) 8 | (m2_{− n}2_{) (b) 8 | (m}4_{+ n}4_{− 2)}

4. Mostre que para todo n´umero natural n, 9 divide 10n_{+ 3· 4}n+2_{+ 5.}

5. Mostre que, para todo n´umero inteiro positivo n, temos: (a) 9 | (10n_{− 1)} (b) 3 | (10n_{− 7}n₎ (c) 8 | (32n_{− 1)} (d) 6 | (52n+1_{+ 1)} (e) 6 | (52n_{− 1)} (f) 13 | (92n_{− 4}2n₎ (g) 53 | (74n_{− 2}4n₎ (h) 19 | (32n+1_{+ 4}4n+2₎ (i) 17 | (102n+1_{+ 7}2n+1₎

6. Determine os algarismos x, y, z para que, em cada caso, os n´umeros abaixo, representados na base 10, tenham a propriedade mencionada:

(a) 2x7y ´e divis´ıvel por 11 e por 4. (b) 28x75y ´e divis´ıvel por 3 e por 11.

(c) 45xy ´e divis´ıvel por 4 e por 9.

(d) 13xy45z ´e divis´ıvel por 8, por 9 e por 11. 7. Sejam a, b, c, m, n∈ Z, com m ≥ 2 e n ≥ 2.

(a) Mostre que se a_{≡ b mod n e m | n, ent˜ao a ≡ b mod m.} (b) Seja d = mdc(c, n). Mostre que a· c ≡ b · c mod n se, e somente

se, a≡ b mod n d

Sugest˜ao: Use a Proposi¸c˜ao 16 e o Exerc´ıcio 4 item (a) da Se¸c˜ao 4. 8. Sejam a, b, n1, . . . , nsinteiros, com n1≥ 2, . . . , ns≥ 2.

Mostre que se a _{≡ b mod n}1, . . . , a ≡ b mod ns, ent˜ao

a_{≡ b mod mmc(n}1, . . . , ns).

9. Sejam a, b e n inteiros, com n≥ 2, e p, p1, . . . , ps naturais primos.

(a) Seja n = pα1

1 · . . . · pαss. Mostre que a≡ b mod n se, e somente

se, a_{≡ b mod p}αj, para todo j = 1, . . . , s.

(b) Seja α ≥ 1. Mostre que se a ≡ b mod pα_{, ent˜ao a≡ b mod p.}

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn (a) 7_{≡ 24 mod 5} (b) 33_{≡ 57 mod 6} (c) 529_{≡ −8 mod 3} (d) −12_{≡ −72 mod 8} (e) 25_{≡ −6 mod 4} (f) 15_{≡ −7 mod 11} 11. Determine o resto da divis˜ao de a por n:

(a) n = 7, a = 12845_;

(b) n = 11, a = 13378_;

(c) n = 13, a = 7158_;

(d) n = 3, a = 8556_.

12. Da igualdade 1001 = 7× 11 × 13, deduza os seguintes crit´erios de divisibilidade por 7, por 11 ou por 13:

Dado a = amam−1. . . a1a0, escrito na base 10, ent˜ao a ´e divis´ıvel por

7, por 11 ou por 13 se, e somente se,

a2a1a0− a5a4a3+ a8a7a6− a11a10a9+· · ·

´e divis´ıvel por 7, por 11 ou por 13.

13. Mostre que dado um n´umero qualquer representado na base 10, (a) se subtrairmos do n´umero a soma dos seus algarismos, o resultado

´e divis´ıvel por 9;

(b) se subtrairmos do n´umero outro qualquer formado por uma per- muta¸c˜ao dos seus algarismos, o resultado ´e divis´ıvel por 9.

14. Determine o menor inteiro positivo que deixa restos 5, 4, 3 e 2 quando dividido, respectivamente, por 6, 5, 4 e 3.

15. Determine o menor m´ultiplo positivo de 7 que tem resto 1 quando dividido por 2, 3, 4, 5 e 6.

16. (a) Fa¸ca as tabelas da adi¸c˜ao e da multiplica¸c˜ao de Z6, Z7 e Z8.

(b) Determine todos os dividores de zero em Z6, Z7 e Z8.

(c) Determine os elementos invert´ıveis de Z6, Z7 e Z8.

17. Determine os inversos de: (a) 5 em Z6 (b) 3, 4 e 5 em Z7 (c) 3, 5 e 7 em Z8 (d) 4, 5 e 8 em Z9 (e) 1951 em Z2431 (f) 143 em Z210

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 5

18. Determine Z∗ 12.

19. (a) Determine o n´umero entre 0 e 6 tal que 11_{× 18 × 2322 × 13 × 19} ´e congruente m´odulo 7.

(b) Determine o n´umero entre 0 e 3 tal que a soma 1+2+22_{+· · ·+2}19

´e congruente m´odulo 4.

20. Determine a solu¸c˜ao geral e a menor solu¸c˜ao positiva de cada con- gruˆencia:

(a) x_{≡ 7 mod 3} (b) x≡ −1 mod 6

(c) 3x + 2_{≡ 0 mod 7} (d) 14x + 7≡ 0 mod 21 21. Seja a um inteiro. Mostre que:

(a) a2 _{´e congruente a 0, 1 ou 4 m´odulo 8;}

(b) se a ´e um cubo, ent˜ao a2_{´e congruente a 0, 1, 9 ou 28 m´odulo 36;}

(c) se 2 n˜ao divide a e 3 n˜ao divide a, ent˜ao a2 _{≡ 1 mod 24.}

22. Resolva as congruˆencias: (a) 3x≡ 5 mod 7 (b) 4x_{≡ 2 mod 3} (c) 7x≡ 21 mod 49 (d) 3x_{≡ 1 mod 6} (e) 18x≡ 12 mod 42 (f) 12x_{≡ 9 mod 15} (g) 240x≡ 148 mod 242 (h) 6125x_{≡ 77 mod 189}

23. Determine o menor inteiro y maior do que 1000, tal que y≡ 2 mod 7 e y ≡ 3 mod 13.

24. Determine os inteiros x, tais que x ≡ 3 mod 13, x ≡ 2 mod 7 e 285_{≤ x ≤ 476.}

25. Sejam m, n naturais primos entre si. Para quaisquer inteiros a, b _{∈ Z,} mostre que :

(a) Existe x_{∈ Z solu¸c˜ao do sistema de congruˆencias} 

x_{≡ a mod m} x_{≡ b mod n}

Congruˆencias m´odulo n e os an´eisZn

26. Determine as solu¸c˜oes do sistema de congruˆencias: 

x _{≡ 4 mod 5} x _{≡ −2 mod 8}

Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 6

Homomorfismos de an´eis comutativos com

unidade

Trataremos aqui apenas de homomorfismos em an´eis comutativos com unidade, em virtude de termos introduzido o conceito de ideais apenas em an´eis comutativos com unidade.

Defini¸c˜ao 16 (Homomorfismo)

Sejam A, B an´eis comutativos com unidades, respectivamente, 1Ae 1B. Uma

fun¸c˜ao f : A _{−→ B ´e um homomorfismo de an´eis se, e somente se, para} quaisquer x, y_{∈ A} A adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao `a esquerda da igualdade s˜ao do anel A, enquanto a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao `a direita s˜ao do anel B. (i) f(x + y) = f(x) + f(y), (ii) f(x_{· y) = f(x) · f(y),} (iii) f(1A) = 1B. Exemplo 54

A fun¸c˜ao f : Z_{−→ Z × Z definida por f(x) = (x, x), para todo x ∈ Z ´e um} homomorfismo de an´eis.

De fato, sejam x, y_{∈ Z. Ent˜ao,}

f(x + y) = (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) = f(x) + f(y), f(x_{· y) = (x · y, x · y) = (x, x) · (y, y) = f(x) · f(y) e} f(1) = (1, 1).

Exemplo 55

A fun¸c˜ao g : Z_{× Z −→ Z definida por g(x, y) = x, para todo (x, y) ∈ Z × Z,} ´e um homomorfismo de an´eis.

Esse homomorfismo ´e a proje¸c˜ao na primeira coordenada.

Exemplo 56

Seja A um anel comutativo com unidade 1A.

A fun¸c˜ao identidade I : A_{−→ A definida por I(x) = x, para todo x ∈ A, ´e} um homomorfismo de an´eis.

Exemplo 57 Seja a∈ Z.

A fun¸c˜ao avalia¸c˜ao em a, ϕa : Z[x] −→ Z, definida por ϕa(f(x)) = f(a) ´e

um homomorfismo de an´eis.

Proposi¸c˜ao 20 (Propriedades dos homomorfismos)

Sejam A e B an´eis comutativos com unidades e f : A_{−→ B um homomorfismo} de an´eis. Ent˜ao:

Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade

(i) f(0A) = 0B.

(ii) f(−a) = −f(a), para qualquer a ∈ A. (iii) f(A) ´e um subanel de B.

(iv) Se a ´e invert´ıvel em A, ent˜ao f(a) ´e invert´ıvel em B e f(a)−1_{= f(a}−1_).

Demonstra¸c˜ao:

(i) Como 0A= 0A+ 0A e f ´e homomorfismo de an´eis, ent˜ao

f(0A) = f(0A+ 0A) = f(0A) + f(0A).

Logo, f(0A) = f(0A) + f(0A). Adicionando −f(0A) a ambos os membros da

igualdade acima, obtemos

Na ´ultima igualdade usamos a associatividade da adi¸c˜ao do anel B.

0B= f(0A) − f(0A) = (f(0A) + f(0A)) − f(0A) = f(0A).

(ii) Seja a_{∈ A. Como vale a propriedade do item (i), 0}A = a + (−a) e f ´e

homomorfismo de an´eis temos que

0B= f(0A) = f(a + (−a)) = f(a) + f(−a),

mostrando que f(−a) = −f(a), para qualquer a∈ A.

(iii) Primeiramente, 0B = f(0A) ∈ f(A). Agora, sejam a, a′ ∈ A. Ent˜ao,

a + a′ _{∈ A, a · a}′ _{∈ A e −a ∈ A. Como f ´e homomorfismo de an´eis, temos:}

f(a) + f(a′_{) = f(a + a}′_{)∈ f(A),}

f(a)_{· f(a}′_{) = f(a· a}′_{)∈ f(A) e, pela propriedade (ii),}

−f(a) = f(−a) _{∈ f(A),}

mostrando que f(A) ´e um subanel de B.

(iv) Temos 1A= a· a−1e 1B= f(1A) = f(a· a−1) = f(a)· f(a−1), mostrando

que f(a−1_{) ´e o inverso de f(a), isto ´e, f(a}−1_{) = f(a)}−1_.

 Defini¸c˜ao 17 (N´ucleo)

Sejam A, B an´eis comutativos com unidades e f : A−→ B um homomorfismo. O n´ucleo de f ´e o conjunto definido por

N´ucleo(f) = {a_{∈ A ; f(a) = 0}B}.

Exemplo 58

No Exemplo 54 temos

Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 6

Exemplo 59

No Exemplo 55 temos

N´ucleo(g) = {(x, y)_{∈ Z × Z ; g(x, y) = x = 0} = {(0, y) ; y ∈ Z} = 0 × Z.} Antes de vermos mais propriedades do n´ucleo de um homomorfismo de an´eis, vamos introduzir um tipo especial de ideal muito importante, a saber, ideal primo.

Defini¸c˜ao 18 (Ideal primo)

Seja A um anel comutativo com unidade. Um ideal P de A, P 6= A, ´e um ideal primo se, e somente se, se a, b∈ A e a · b ∈ P, ent˜ao a ∈ P ou b ∈ P. Exemplo 60

Seja A um dom´ınio. O ideal I = {0} ´e um ideal primo, pois se a, b ∈ A e a_{· b = 0, ent˜ao a = 0 ou b = 0.}

Exemplo 61

Em Z, o ideal I(15) = 15Z n˜ao ´e um ideal primo, pois 15_{∈ I(15), 15 = 3 · 5,} com 3_{6∈ I(15) e 5 6∈ I(15).}

Exemplo 62

No dom´ınio dos inteiros todo ideal I = pZ, gerado por um natural primo p, ´e um ideal primo.

De fato, pZ ( Z e se a, b ∈ Z com a · b ∈ I = pZ, ent˜ao p divide a · b e, como p ´e primo, temos que p divide a ou p divide b. Logo, a ∈ pZ ou b_{∈ pZ.}

Proposi¸c˜ao 21 (Propriedades do N´ucleo)

Sejam A, B an´eis comutativos com unidades e f : A_{−→ B um homomorfismo.} Ent˜ao,

(i) f ´e um homomorfismo injetor se, e somente se, N´ucleo(f) = {0A}.

(ii) N´ucleo de f ´e um ideal de A.

(iii) Se B ´e um dom´ınio, ent˜ao N´ucleo(f) ´e um ideal primo de A. Demonstra¸c˜ao:

(i) Suponhamos, primeiramente, que f seja um homomorfismo injetor. Se x est´a no N´ucleo(f), ent˜ao f(x) = 0B = f(0A), pelo item (i) da Proposi¸c˜ao

anterior. Como f ´e injetor, temos x = 0A. Logo, N´ucleo(f) = {0A}.

Reciprocamente, suponhamos que N´ucleo(f) = {0A} e sejam a, a′ ∈ A

com f(a) = f(a′_{). Ent˜ao,}

A segunda igualdade segue do item (ii) da Proposi¸c˜ao anterior.

Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade

Logo, a′ _{− a ∈ N´ucleo(f) = {0}

A}, isto ´e, a′ − a = 0A, ent˜ao a′ = a,

mostrando que f ´e injetor.

(ii) Sejam x, y_{∈ N´ucleo(f) e a ∈ A. Ent˜ao,} f(0A) = 0B,

f(x + y) = f(x) + f(y) = 0B+ 0B= 0Be

f(a_{· x) = f(a) · f(x) = f(a) · 0}B= 0B.

Conclu´ımos, respectivamente, que 0A ∈ N´ucleo(f), x + y ∈ N´ucleo(f) e

a_{· x ∈ N´ucleo(f), mostrando que N´ucleo(f) ´e um ideal de A.}

(iii) Pelo item anterior, N´ucleo(f) ´e um ideal de A. Falta mostrar que ´e um ideal primo. Sejam a, a′ _{∈ A tais que a · a}′ _{∈ N´ucleo(f). Ent˜ao,}

0B= f(a· a′) = f(a)· f(a′). Como B ´e um dom´ınio, temos que f(a) = 0Bou

f(a′) = 0B. Logo, a∈ N´ucleo(f) ou a′ ∈ N´ucleo(f). 

Veremos agora uma propriedade interessante dos homomorfismos bije- tores de an´eis.

Proposi¸c˜ao 22

Sejam A, B an´eis comutativos com unidades e f : A_{−→ B um homomorfismo} bijetor. Ent˜ao, a fun¸c˜ao f−1_{: B}

−→ A ´e um homomorfismo bijetor.

Demonstra¸c˜ao: Para cada b ∈ B, existe um ´unico a ∈ A tal que f(a) = b, seguindo a existˆencia do fato de f ser sobrejetor e a unicidade do fato de f ser injetor. Assim, a fun¸c˜ao f−1_{´e definida por}

f−1(b) = a se, e somente se, f(a) = b.

Sejam b, b′ _{∈ B, com f}−1_{(b) = a e f}−1_(b′_{) = a}′_{. Ent˜ao, f(a) = b,}

f(a′_{) = b}′ _e f−1_{(b + b}′_{) = f}−1_{(f(a) + f(a}′₎₎ (1) = f−1_{(f(a + a}′₎₎ (2) = (f−1 ◦ f)(a + a′₎ (3) = a + a′ (4) = f−1(b) + f−1(b′₎ Em (1) usamos que f ´e um homomorfismo; em (2), a defini¸c˜ao da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes; em (3), f−1_{◦ f = I} A; e em (4), a defini¸c˜ao de f−1_. f−1(b_{· b}′_{) = f}−1_(f(a) · f(a′₎₎ (1) = f−1_{(f(a· a}′₎₎ (2) = (f−1_{◦ f)(a · a}′₎ (3) = a_{· a}′ (4) = f−1_(b) · f−1_(b′). Em (1) usamos que f ´e um homomorfismo; em (2), a defini¸c˜ao da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes; em (3), f−1_{◦ f = I} A; e em (4), a defini¸c˜ao de f−1_.

Homomorfismos de an´eis comutativos com unidade

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 6

Como f−1₍₁

B) = 1A, mostramos que f−1´e um homomorfismo.

Para cada a∈ A, tome b = f(a) ∈ B. Ent˜ao, a = (f−1_{◦ f)(a) = f}−1(f(a)) = f−1_(b),

mostrando que f−1_{´e sobrejetor.}

Se f−1_{(b) = f}−1_(b′_{), ent˜ao b = f(f}−1_{(b)) = f(f}−1_(b′_{)) = b}′_{, mostrando}

que f−1_{´e injetor.}



Veja na Se¸c˜ao 2 da Parte 1: f−1_{◦ f = I} A=⇒ f−1 sobrejetor, f◦ f−1_{= I} B=⇒ f−1injetor. Defini¸c˜ao 19 (Isomorfismo)

Sejam A, B an´eis comutativos com unidades. Dizemos que A e B s˜ao an´eis isomorfosse, e somente se, existe um homomorfismo bijetor f : A−→ B.

Desempenham um papel importante a n´ıvel elementar, entre os an´eis comutativos com unidade, os dom´ınios.

Seja D um dom´ınio. Para d∈ D, n ∈ Z definimos

nd =              d +_{· · · + d} | {z } nparcelas , se n > 0 0D , se n = 0 (−d) +_{· · · + (−d)} | {z } −n parcelas , se n < 0

Existe um ´unico homomorfismo de an´eis ρ : Z _{−→ D, tal que ρ(1) = 1}D,

a saber, ρ(n) = n1D, para qualquer n∈ Z.

De fato, suponhamos que ρ seja um homomorfismo do anel Z no dom´ınio D, tal que ρ(1) = 1D.

Ent˜ao, ρ(2) = ρ(1 + 1) = ρ(1) + ρ(1) = 1D+ 1D= 21D. Por indu¸c˜ao,

sobre n_{≥ 1, mostramos que ρ(n) = n1}D, para todo n≥ 1. Se n < 0, ent˜ao

−n > 0e, pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao 20,

ρ(n) = −ρ(−n) = −(−n1D) = −(1D+· · · + 1D | {z } −n parcelas ) = (−1D) +· · · + (−1D) | {z } −n parcelas

= n1D. A ´ultima igualdade segue da defini¸c˜ao de n1D.

Como ρ tem a propriedade (i) da Proposi¸c˜ao 20, temos que ρ(n) = n1D,

para todo n_{∈ Z, mostrando a unicidade. Basta agora apenas verificar (fa¸ca} vocˆe mesmo), que a express˜ao acima define um homomorfismo.

No documento Parte 3. Domínios principais (páginas 37-63)