Parte 3. Domínios principais

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Parte 3

Dom´ınios principais

R e f e r ê n c i a s Sobre a aritmética dos inteiros: Números-Uma Introdu¸cão à Matemáticade César Polcino Milies e Sônia Pitta Coelho. Editado pela Editora da Universidade de São Paulo (Edusp), 2000.

Para saber mais sobre anéis e o dom´ınio principal dos inteiros: Curso de Álgebra, Volume 1de Abramo Hefez, Cole¸cão Matemática Universitária, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1998.

Sobre anéis, extensões algébricas de corpos e grupos: Introdu¸cão à

´

Algebrade Adilson

Gon¸calves, Projeto Euclides, IMPA, 2000.

Nosso objetivo agora é introduzir os conceitos de ideal em anéis co-mutativos com unidade e dom´ınio principal, mostrando que em um dom´ınio principal vale a fatora¸cão única.

Come¸camos com a divisibilidade em anéis comutativos com unidade e os conceitos de máximo divisor comum e m´ınimo múltiplo comum. Mostraremos a rela¸cão entre ideais e mdc, no contexto dos dom´ınios principais.

Faremos um estudo detalhado das propriedades do dom´ınio dos inteiros, discutindo a fatora¸c˜ao ´unica sob o ponto de vista dos dom´ınios principais.

Abordaremos propriedades aritméticas do dom´ınio dos inteiros, estu-daremos congruências de inteiros, critérios de divisibilidade, analisaremos alguns tipos de equa¸cões diofantinas.

Construiremos os an´eis Zndos inteiros m´odulo n, como anel quociente

de uma rela¸c˜ao de equivalˆencia no dom´ınio Z.

Finalizaremos com o estudo de homomorfismos e isomorfismos de an´eis comutativos com unidade, mostrando que Z, a menos de isomorfismo, ´e o ´

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Divisibilidade

PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 1

Divisibilidade

Daqui por diante, consideramos apenas anéis comutativos com unidade. Defini¸cão 1 (Múltiplo ou divisor)

Sejam a, b ∈ A. Dizemos que b ´e m´ultiplo de a se, e somente se, existe c_{∈ A, tal que b = a · c.}

Quando a _{6= 0 e b = a · c dizemos que a divide b e escrevemos a | b.} Nesse caso, dizemos que a ´e um divisor de b.

Exemplo 1

No anel Z× Z temos que (−2, 6) ´e m´ultiplo de (−1, 2), pois (−2, 6) = (−1, 2)(2, 3).

Proposi¸c˜ao 1 (Propriedades da divisibilidade)

Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Sejam a, b, c, d, b1, . . . , bn∈ A.

Valem as seguintes propriedades: (i) Se a_{6= 0, ent˜ao a | 0 e a | a.}

(ii) Se a_{6= 0, b 6= 0, a | b e b | c, ent˜ao a | c.} (iii) Se a_{6= 0, a | (b + c) e a | b, ent˜ao a | c.}

(iv) se a_{6= 0, a | b}1, . . . , a | bn, ent˜ao a | (b1c1+· · ·+ bncn), para quaisquer

c1, . . . , cn∈ A.

(v) se u ´e invert´ıvel em A, ent˜ao u | a, para todo a_{∈ A.}

Os elementos invert´ıveis dividem todos os elementos de um anel. Para cada elemento de um anel o interessante ´e determinar, caso existam, os seus divisores n˜ao-invert´ıveis.

(vi) Seja A um dom´ınio. Se a_{6= 0, c 6= 0, a | b e c | d, ent˜ao a · c | b · d.} Demonstra¸c˜ao:

(i) 0 = a· 0 e a 6= 0 =⇒ a | 0; a = a_{· 1}A e a6= 0 =⇒ a | a.

(ii) Suponhamos que a | b e b | c. Ent˜ao, existem c1, c2 ∈ A tais que

b = a_{· c}1 e c = b· c2. Logo, c = (a· c1)· c2= a· (c1· c2), com c1· c2 ∈ A.

Ent˜ao, a | c.

(iii) Se a | (b + c) e a | b, ent˜ao existem c1, c2∈ A tais que b + c = a · c1 e

b = a_{· c}2. Logo, c = a· c1− b = a· c1− a· c2 = a· (c1− c2). Portanto,

a | c.

(iv) Se a | b1, . . . , a | bn, ent˜ao existem d1, . . . , dn∈ A tais que bj= a· dj

para j = 1, . . . , n e, para quaisquer c1, . . . , cn∈ A, temos

As igualdades (1) e (2) seguem, respectivamente, das propriedades M1 e AM em A. n X j=1 bj· cj= n X j=1 (a_{· d}j)· cj (1) = n X j=1 a_{· (d}j· cj) (2) = a_· n X j=1 dj· cj ! , mostrando que a | (b1· c1+· · · + bn· cn).

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Divisibilidade

(v) Seja u invert´ıvel em A. Ent˜ao, para todo a_{∈ A temos}

a = 1A· a = (u · u−1)· a = u · (u−1· a), com u−1· a ∈ A.

Logo, u | a.

(vi) Sejam A um dom´ınio e a, c∈ A n˜ao-nulos. Ent˜ao, a·c 6= 0. Suponhamos

Em (1) usamos as propriedades M1 e M2 da multiplica¸c˜ao do dom´ınio A.

que a | b e c | d. Ent˜ao, existem c1, c2∈ A tais que b = a · c1 e d = c· c2.

Logo, b_{· d = (a · c}1)· (c · c2) (1)

= (a_{· c) · (c}1· c2). Portanto, a· c | b · d.

Proposi¸c˜ao 2

Sejam A um dom´ınio, a, b∈ A n˜ao-nulos. Ent˜ao, a | b e b | a se, e somente se, existe um invert´ıvel u∈ A tal que b = u · a.

Demonstra¸c˜ao:

(⇐=:) Se b = u·a com u invert´ıvel em A, ent˜ao ´e claro que a | b e escrevendo a = u−1_{· b, vemos que b | a.}

(=⇒:) Suponhamos que a | b e b | a. Ent˜ao, existem u, v ∈ A tais que b = u_{· a e a = v · b. Logo,}

Em (1) usamos M1, em (2), a Lei do cancelamento num dom´ınio e em (3), a defini¸c˜ao de invert´ıvel. 1A· b = b = u · a = u · (v · b) (1) = (u_{· v) · b} (2) =⇒ 1A= u· v (3) =⇒ u, v s˜ao invert´ıveis em A . ´

E muito importante saber quem são os elementos invert´ıveis num anel com unidade. Em exerc´ıcios anteriores, você já determinou

A∗ = {a _{∈ A ; a ´e invert´ıvel em A}.} Exemplo 2

(a) Se A = Z, ent˜ao Z∗ _{= {1, −1}.}

(b) Se K ´e um corpo, ent˜ao K∗ _{= K\{0}.}

Em particular, Q∗ ₌_{Q\{0}, R}∗ ₌_{R\{0} e C}∗ ₌_C\{0}.

(c) Os invert´ıveis em Z[i] s˜ao 1, −1, i, −i.

(d) Em R[x], o anel dos polinˆomios com coeficientes reais, temos R[x]∗ =R∗_.

Em K[x], o anel de polinˆomios com coeficientes no corpo K, temos que K[x]∗ = K∗ _{= K\{0}.}

Prove, por indu¸c˜ao sobre n≥ 0, a afirma¸c˜ao.

(e) Para qualquer n_{∈ Z, temos que} −1 +√2

n

é invert´ıvel em Z[√2]. A proposi¸cão anterior motiva a seguinte defini¸cão.

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Divisibilidade

Defini¸c˜ao 2 (Associado)

Sejam A um anel comutativo com unidade e a, b ∈ A. Dizemos que a ´e associadoa b se, e somente se, existe um invert´ıvel u em A, tal que b = u_·a.

Vamos ver algumas propriedades interessantes do anel dos inteiros. Corol´ario 1

Se a, b∈ Z são não-nulos, a | b e b | a, então b = a ou b = −a.

Demonstra¸c˜ao: Os invert´ıveis de Z s˜ao 1 e −1, logo b = a ou b = −a.

Proposi¸c˜ao 3

Sejam a, b_{∈ Z com b 6= 0. Se a | b, ent˜ao 1 ≤ | a | ≤ | b |.}

Demonstra¸cão: Como | a | ≥ 0 e a 6= 0, temos que | a | ≥ 1. Além disso, a | b e b6= 0, então existe c 6= 0, tal que b = a · c e também | c | ≥ 1. Pela propriedade OM, temos | a |· | c | ≥ | a | ·1 =| a | ≥ 1. Assim,

| b |=| a_{· c |=| a | · | c | ≥ | a | ≥ 1.}

Defini¸c˜ao 3 (M´aximo Divisor Comum)

Sejam a1, . . . , anelementos de um anel A, comutativo com unidade. Dizemos

que d∈ A ´e um m´aximo divisor comum (mdc) de a1, . . . , anse, e somente

se,

(i) d | a1, . . . , d | an, isto ´e, d ´e um divisor comum de a1, . . . , an;

(ii) para todo c∈ A, tal que c | a1, . . . , c | an, temos que c | d.

Proposi¸c˜ao 4

Seja d _{∈ A um mdc de a}1, . . . , an∈ A. Ent˜ao, d′ ´e um mdc de a1, . . . , an

se, e somente se, d | d′ _{e d}′ _{| d.}

Demonstra¸c˜ao:

(=⇒:) Suponhamos que d′ _{´e um mdc de a}

1, . . . , an. Pela propriedade (ii)

do mdc, todo divisor de a1, . . . , an divide d′. Como d ´e um divisor comum

de a1, . . . , an, então d | d′. De modo análogo, usando que d é um mdc de

a1, . . . , ane d′ ´e um divisor comum de a1, . . . , an, obtemos que d′ | d.

(⇐=:) Suponhamos que d ´e um mdc de a1, . . . , an, d | d′ e d′ | d.

Vamos mostrar as propriedades (i) e (ii) da defini¸c˜ao do mdc para d′_.

Como d′ _{| d} _{e d | a}

1, . . . , d | an, pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao 1, temos

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Divisibilidade

Seja c um divisor de a1, . . . , an. Como d ´e um mdc, pela propriedade

(ii) do mdc, c | d. Ent˜ao c | d, d | d′ _{e, novamente, pelo item (ii) da}

Proposi¸c˜ao 1, conclu´ımos que c | d′_{, mostrando a propriedade (ii).}

Corol´ario 2

Se A é um dom´ınio, então dois máximos divisores comuns de a1, . . . , ansão

associados.

Demonstra¸c˜ao: Sejam d e d′ _{m´aximos divisores comuns de a}

1, . . . , an. Pela

Proposi¸c˜ao anterior, d | d′ _{e d}′ _{| d. Pela Proposi¸c˜ao 2, existe um invert´ıvel}

u_{∈ A, tal que d}′ = u_{· d, significando que d e d}′ _{s˜ao associados.}

Observa¸cão: Em Z se d é um mdc, então −d também é um mdc e um deles é positivo. Denotaremos o máximo divisor comum positivo por mdc(a1, . . . , an).

Para entendermos a origem do nome mdc, note que se c | a1, . . . , c | an,

ent˜ao c | mdc(a1, . . . , an). Assim,

c_{≤ | c | ≤ mdc(a}1, . . . , an)

mostrando que no dom´ınio dos inteiros mdc(a1, . . . , an) ´e o maior dos

divi-sores comuns de a1, . . . , an.

Exemplo 3

Algumas propriedades interessantes no dom´ınio bem ordenado dos inteiros: (a) Se a_{6= 0, ent˜ao mdc(0, a) =| a |.}

(b) mdc(0, 0) n˜ao existe.

(c) Se a divide b, então mdc(a, b) =| a |. Defini¸cão 4 (M´ınimo múltiplo comum)

Um elemento m de um anel A, comutativo com unidade, ´e um m´ınimo m´ultiplo comum dos elementos a1, . . . , an em A se, e somente se, valem as

seguintes propriedades:

(i) m ´e m´ultiplo comum de a1, . . . , an.

(ii) Para todo c∈ A que é múltiplo comum de a1, . . . , an, então c é múltiplo

de m.

De modo an´alogo ao mdc, temos o seguinte resultado. Corol´ario 3

Se A é um dom´ınio, então dois m´ınimos múltiplos comuns de a1, . . . , ansão

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Divisibilidade

Observa¸cão: Em Z se m é um mmc, então −m também é um mmc e um deles é não-negativo. Denotaremos o m´ınimo múltiplo comum não-negativo por mmc(a1, . . . , an). Observamos que se para algum j = 1, . . . , n temos aj= 0,

ent˜ao mmc(a1, . . . , an) = 0. Reciprocamente, se mmc(a1, . . . , an) = 0, como

Z ´e um dom´ınio, ent˜ao temos aj= 0, para algum j = 1, . . . , n. Suponhamos

que aj6= 0, para todo j = 1, . . . , n. Nesse caso, m = mmc(a1, . . . , an) > 0 e

se c_{6= 0 é múltiplo comum de a}1, . . . , an, então existe a6= 0 tal que c = a·m.

Como | a |_{≥ 1, pela propriedade OM, temos | c |=| a | · | m | ≥| m |= m,} mostrando que no dom´ınio dos inteiros quando mmc(a1, . . . , an)6= 0, ent˜ao

o mmc ´e o menor inteiro positivo m´ultiplo comum de a1, . . . , an.

c = a1· ... · an ´e m´ultiplo

comum de a1, . . . , an, logo

cé múltiplo de m = mmc; portanto, se m = 0, então a1· ... · an= 0.

Em qualquer anel A, temos 0 = 0· a, para todo a ∈ A. Temos interesse no mmc quando mmc 6= 0.

Exemplo 4

Algumas propriedades interessantes no dom´ınio bem ordenado dos inteiros: (a) Se a∈ Z, ent˜ao mmc(0, a) = 0.

(b) Se a divide b, ent˜ao mmc(a, b) =| b |.

Aprenderemos depois a determinar o máximo divisor comum e o menor múltiplo comum de inteiros não-nulos, a partir da sua fatora¸cão única.

Agora vocˆe deve praticar as propriedades elementares da divisibilidade.

Exerc´ıcios

1. Seja A um anel comutativo com unidade.

(a) Mostre que a seguinte rela¸cão binária é uma rela¸cão de equi-valência em A

a_{´e associado a b ⇐⇒ existe invert´ıvel u ∈ A, tal que b = u · a.} (b) Para cada anel A e elementos a, b∈ A dados, determine a classe

de equivalˆencia de a e de b. i. A = Z, a = 0 e b_{6= 0.} ii. A = Z[i], a = 0 e b6= 0.

iii. A ´e um corpo, a = 0 e b_{6= 0.} iv. A = R[x], a = x e b = 2x − 1. 2. Sejam a, b, c elementos de um dom´ınio com a_{6= 0 e c 6= 0. Mostre que}

a | b se, e somente se, a_{· c | b · c.}

3. Seja n um natural ´ımpar. Mostre que a soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética de números inteiros é divis´ıvel por n. 4. Seja n um natural positivo. Mostre que dados n números naturais

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Divisibilidade

5. Sejam m e n inteiros ´ımpares. Mostre que:

(a) 8 | (m2_{− n}2₎ _{(b) 8 | (m}4_{+ n}4_{− 2)}

6. Mostre que para todo n´umero natural n, 9 divide 10n_{+ 3}_{· 4}n+2_{+ 5.}

7. Seja A um anel comutativo com unidade. Sejam a, b ∈ A e n um natural. Mostre que:

(a) Para todo n≥ 2, temos

an_{− b}n_{= (a − b)(a}n−1_{+ a}n−2_{· b + · · · + a · b}n−2_{+ b}n−1_).

(b) Para todo n = 2m + 1, com m_{≥ 1, temos}

a2m+1_{+ b}2m+1_{= (a + b)(a}2m_{− a}2m−1_{· b + · · · − a · b}2m−1_{+ b}2m_).

(c) Para todo n = 2m, com m _{≥ 1, temos}

a2m_{− b}2m_{= (a + b)(a}2m−1_{− a}2m−2_{· b + · · · + a · b}2m−2_{− b}2m−1_).

8. Mostre que, para todo n´umero inteiro positivo n, temos: (a) 9 | (10n_{− 1)} (b) 3 | (10n_{− 7}n₎ (c) 8 | (32n_{− 1)} (d) 6 | (52n+1_{+ 1)} (e) 6 | (52n_{− 1)} (f) 13 | (92n_{− 4}2n₎ (g) 53 | (74n_{− 2}4n₎ (h) 19 | (32n+1_{+ 4}4n+2₎ (i) 17 | (102n+1_{+ 7}2n+1₎

9. (a) Mostre que a + bi_{∈ Z[i] ´e invert´ıvel se, e somente se, a}2_{+ b}2_{= 1.}

(b) Mostre que 1 + i, 1 − i, 2 − i e 2 + i não são invert´ıveis em Z[i]. (c) Mostre que 1 + i e 1 − i são associados em Z[i].

(d) Mostre que 1 + i e 1 − i dividem 2 em Z[i].

(e) Mostre que 2 + i e 2 − i n˜ao s˜ao associados em Z[i] (f) Mostre que 2 + i e 2 − i dividem 5 em Z[i].

10. Sejam A um dom´ınio e a1, . . . , an∈ A. Mostre que:

(a) Se m e m′ _{s˜ao m´ınimos m´}_{ultiplos comuns de a}

1, . . . , an, ent˜ao m

e m′ _{s˜ao associados.}

(b) Se m é um m´ınimo múltiplo comum de a1, . . . , an e m′ é

associado de m, então m′ _{também é um m´ınimo m´}_{ultiplo comum}

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Ideais e m´aximo divisor comum

Ideais e m´

aximo divisor comum

Veremos agora que o conceito de mdc est´a relacionado com o conceito de ideais de um anel comutativo com unidade. Depois obteremos a fatora¸c˜ao ´

unica em dom´ınios de ideais principais. Defini¸c˜ao 5 (Ideal)

Seja A um anel comutativo com unidade. Um subconjunto n˜ao-vazio I de A ´e chamado de ideal se, e somente se,

(i) se a, b_{∈ I, ent˜ao a + b ∈ I;} (ii) se a_{∈ I e x ∈ A, ent˜ao a · x ∈ I.}

Observa¸c˜ao: Sejam A um anel comutativo com unidade 1Ae I um ideal de A.

(a) Como I _{6= ∅, ent˜ao existe b ∈ I e assim, pela propriedade (ii),} 0A = 0A · b ∈ I. Logo, a condi¸c˜ao de I 6= ∅ pode ser substitu´ıda por

0_{∈ I.} Portanto, I_{⊂ A ´e um ideal de A ⇐⇒}      (i) 0_{∈ I} (ii) a, b∈ I =⇒ a + b ∈ I (iii) a∈ A, b ∈ I =⇒ a · b ∈ I

(b) Se I ´e um ideal de A, da propriedade (iii) acima segue que para todo b_{∈ I temos que −b = (−1}A)· b ∈ I.

(c) Da observa¸c˜ao (b) e da propriedade (ii) acima temos que se a, b ∈ I, ent˜ao a − b = a + (−b)∈ I.

Exemplo 5

Em qualquer anel comutativo com unidade, {0} e A s˜ao ideais de A. Exemplo 6

Seja A um anel comutativo com unidade e fixe a ∈ A. Consideremos o seguinte subconjunto de A

I(a) = {a_{· x ; x ∈ A}.}

Então, I(a) é um ideal de A, chamado de ideal principal gerado por a. De fato, vamos verificar as três propriedades da defini¸cão de ideal. (i) 0 = a_{· 0 ∈ I(a).}

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b + c = a_{· x + a · y = a · (x + y). Como x + y ∈ A, temos que b + c ∈ I(a).} (iii) Seja b _{∈ A e c ∈ I(a). Ent˜ao, c = a · x para algum x ∈ A e b · c =} b_{· (a · x) = a · (b · x) ∈ I(a), pois b · x ∈ A.}

Usamos, na ´ultima igualdade, a associatividade e a comutatividade da multiplica¸c˜ao do anel A.

Agora podemos construir muitos exemplos. Exemplo 7

No dom´ınio dos inteiros temos:

I(2) = {2_{· x ; x ∈ Z} = inteiros pares = 2Z;}

Verifique que I(2) = I(−2).

I(1) = {1_{· x = x ; x ∈ Z} = Z;}

I(−1) = {(−1)_{· x = −x ; x ∈ Z} = Z.} Exemplo 8

Sejam A um anel comutativo com unidade e a, b∈ A fixados. O conjunto I(a, b) = {a_{· x + b · y ; x, y ∈ A}}

é um ideal de A chamado de ideal gerado por a e b. De fato, valem as três propriedades da defini¸cão de ideal: (i) 0 = a_{· 0 + b · 0 ∈ I(a, b).}

(ii) Se c, d_{∈ I(a, b), ent˜ao existem x}1, y1, x2, y2 ∈ A tais que c = a·x1+b·y1

e d = a_{· x}2+ b· y2. Logo,

c + d = (a_{· x}1+ b· y1) + (a· x2+ b· y2)

= (a_{· x}1+ a· x2) + (b· y1+ b· y2)

= a_{· (x}1+ x2) + b· (y1+ y2),

onde x1+ x2, y1+ y2∈ A. Logo, c + d ∈ I(a, b).

(iii) Se c∈ I(a, b) e d ∈ A, ent˜ao existem x, y ∈ A tais que c = a · x + b · y e c· d = (a · x + b · y) · d = a · (x · d) + b · (y · d) ∈ I(a, b).

Exemplo 9

Sejam A um anel comutativo com unidade e a1, . . . , as ∈ A fixados. O

conjunto

I(a1, . . . , as) = {a1· x1+· · · + as· xs; x1, . . . , xs∈ A}

´e um ideal de A chamado de ideal gerado por a1, . . . , as.

De fato, valem as trˆes propriedades da defini¸c˜ao de ideal: (i) 0 = a1· 0 + · · · + as· 0 ∈ I(a1, . . . , as).

(ii) Se c, d_{∈ I(a}1, . . . , as), ent˜ao existem x1, . . . , xs, y1, . . . , ys∈ A tais que

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Ideais e máximo divisor comum PARTE 3 - SEÇ ÃO 2 c + d = (a1· x1+· · · + as· xs) + (a1· y1+· · · + as· ys) (1) = (a1· x1+ a1· y1) +· · · + (as· xs+ as· ys) (2) = a_{· (x}1+ y1) +· · · + as· (xs+ ys),

onde x1+ y1, . . . , xs+ ys∈ A. Logo, c + d ∈ I(a1, . . . , as).

Em (1) usamos a comutatividade e associatividade da adi¸c˜ao. Em (2) usamos a

distributividade da adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.

(iii) Se c_{∈ I(a}1, . . . , as) e d∈ A, ent˜ao existem x1, . . . , xs∈ A tais que

c = a1· x1+· · · + as· xs e

c_{·d = (a}1·x1+· · ·+as·xs)·d = a1·(x1·d)+· · ·+as·(xs·d) ∈ I(a1, . . . , as),

pois xj· d ∈ A, para todo j = 1, . . . , s.

Defini¸c˜ao 6 (Ideal principal)

Seja I ideal de um anel comutativo com unidade. Dizemos que I ´e principal se, e somente se, existe a_{∈ A tal que I = I(a).}

Exemplo 10

Dados 2, 3 _{∈ Z, consideremos o ideal de Z gerado por 2 e 3 definido no} Exemplo 8, a saber,

I(2, 3) = {2x + 3y ; x, y_{∈ Z}.}

Com x = 1 e y = 0 vemos que 2 = 2_{· 1 + 3 · 0 ∈ I(2, 3). Analogamente, com} x = 0e y = 1, temos 3 _{∈ I(2, 3).}

Portanto, 1 = 3 − 2 = 2· (−1) + 3 · 1 ∈ I(2, 3). Pela propriedade (iii) de um ideal, para todo a∈ Z, temos a = a · 1 ∈ I(2, 3). Logo, Z ⊂ I(2, 3). Como I(2, 3)_{⊂ Z, obtemos que I(2, 3) = Z = I(1) ´e um ideal principal.}

Na verdade, todo ideal de Z é principal, conforme veremos no próximo Teorema. No entanto, há anéis que têm ideais que não são principais. Exemplo 11

Seja A = Z[x] o dom´ınio dos polinˆomios com coeficientes inteiros. Z[x] = {a0+ a1x +· · · + anxn; aj∈ Z, j = 0, . . . , n, e n ∈ N}.

Seja I = I(2, x), o ideal gerado por 2 e x. Afirmamos que I n˜ao ´e principal.

2 = 2· 1 + x · 0 e x = 2· 0 + x · 1, com 0, 1∈ Z ⊂ Z[x].

Com efeito, suponhamos, por absurdo, que I seja principal. Tomamos f(x) _{∈ Z[x] um gerador de I.} Pela defini¸c˜ao de I(2, x), temos que 2 _{∈ I e x ∈ I. Como I(2, x) = I(f(x)), ent˜ao existem g(x), h(x) ∈ Z[x]} tais que 2 = f(x)_{· g(x) e x = f(x) · h(x). Pela propriedade do grau,} te-mos: na primeira igualdade grau(f(x)) = grau(g(x)) = 0 e na segunda, grau(h(x)) = 1. Portanto, f(x) =_{±1, g(x) = ±2 e h(x) = ±x. Em qualquer} dos casos, I = I(f(x)) = Z[x], mas isto contradiz o fato de que 16∈ I = I(2, x).

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Teorema 1

Todo ideal I de Z é principal. Mais ainda, se I é um ideal não-nulo de Z, então I = I(d), onde d = min{x∈ I ; x > 0}.

Demonstra¸cão: Se I = {0}, é claro que é principal.

Seja I _{6= {0} um ideal de Z. Consideremos S = {x ∈ I ; x > 0}.} Afirmamos que S_{6= ∅.}

De fato, existe a ∈ I tal que a 6= 0. Como a e −a estão em I, então um deles é positivo e está em S⊂ N. Logo, S 6= ∅.

Pelo princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao, S tem menor elemento, digamos min S = d_{6= 0.}

Lembre que . . . Se B, C s˜ao conjuntos, ent˜ao B = C ⇐⇒ B ⊂ C e C ⊂ B.

Afirmamos que I = I(d).

Com efeito, d_{∈ S ⊂ I, logo temos que I(d) = {d · x ; x ∈ Z} ⊂ I. Falta} mostrar que I_{⊂ I(d). Seja a ∈ I. Pela divis˜ao euclidiana de a por d, existem} q, r_{∈ Z, tais que a = q · d + r, com 0 ≤ r < d. Portanto, r = a − q · d ∈ I.} Pela escolha de d, temos que r = 0, assim a = q_{· d ∈ I(d).}

Defini¸c˜ao 7 (Dom´ınio Principal)

Um dom´ınio ´e chamado dom´ınio principal se, e somente se, todo ideal ´e principal.

Corol´ario 4

Z ´e um dom´ınio principal. Exemplo 12

Outros exemplos de dom´ınios principais s˜ao: K[x], o anel de polinˆomios com coeficientes no corpo K, e Z[i], o anel dos inteiros de Gauss.

Exemplo 13

Não são dom´ınios principais: Z[x], o anel de polinômios com coeficientes inteiros e K[x, y], o anel de polinômios em duas variáveis com coeficientes no corpo K.

O nosso objetivo agora é mostrar a rela¸cão entre ideais e o máximo divisor comum em um dom´ınio principal.

Vamos, primeiramente, aprender mais algumas propriedades de ideais. Proposi¸c˜ao 5

Sejam a, b elementos n˜ao-nulos de um anel A comutativo com unidade. Ent˜ao,

(13)

Demonstra¸c˜ao: Sejam a, b_{∈ A n˜ao-nulos.} (=⇒:) Suponhamos que I(a) = I(b).

Como a_{∈ I(a) = I(b) e b ∈ I(b) = I(a), ent˜ao existem u, v ∈ A, tais} que a = u· b e b = v · a, mostrando que b | a e a | b.

Lembre que . . .

I(a), I(b)s˜ao conjuntos. Logo,

I(a) = I(b) ⇐⇒ I(a) ⊂ I(b) e I(b) ⊂ I(a).

(⇐=:) Suponhamos que a | b e b | a. Precisamos mostrar a igualdade dos ideais I(a) e I(b). Seja x_{∈ I(a). Ent˜ao, x = y · a, para algum y ∈ A. Como} b | a, existe u _{∈ A tal que a = u · b, assim x = y · (u · b) = (y · u) · b,} mostrando que x _{∈ I(b) e logo, I(a) ⊂ I(b). Tomando agora x ∈ I(b),} usando que a | b e procedendo de maneira an´aloga, mostramos que x_{∈ I(a)} e conclu´ımos que I(b)_{⊂ I(a).}

Corol´ario 5

Sejam a, b elementos não-nulos de um dom´ınio A. Então, I(a) = I(b) se, e somente se, a e b são associados. Em particular, em Z temos I(a) = I(b) se,

e somente se, a =_±b. Segue da Proposi¸c˜ao 2 da

Se¸c˜ao 1.

Proposi¸c˜ao 6

Sejam A um dom´ınio principal e a1, . . . , as ∈ A nem todos nulos. Ent˜ao,

existe d ∈ A um m´aximo divisor comum de a1, . . . , as ∈ A. Mais ainda,

d = x1· a1+· · · + xs· as, para elementos x1, . . . , xs∈ A.

Demonstra¸c˜ao: Consideremos o ideal de A gerado por a1, . . . , as. Como A

´e um dom´ınio principal, existe d _{∈ A tal que I(a}1, . . . , as) = I(d).

Primei-ramente, observamos que d _{6= 0, pois a}j ∈ I(a1, . . . , as) = I(d), para todo

j = 1, . . . , s, e um deles é não-nulo, logo I(d)_{6= {0} e d 6= 0.} Vamos mostrar que d é um mdc de a1, . . . , as.

Obtivemos ao lado que existem x1, . . . , xs∈ A tais que d = s X j=1 xj· aj.

Como aj∈ I(a1, . . . , as) = I(d), ent˜ao existe λj∈ A tal que aj= λj· d.

Assim, d | aj, para j = 1, . . . , s. Seja agora c ∈ A tal que c | a1, . . . ,

c | as. Ent˜ao, para cada j = 1, . . . , s existe yj∈ A tal que aj= yj· c. Como

d_{∈ I(a}1, . . . , as), existem x1, . . . , xs∈ A tais que d = x1· a1+· · · + xs· as.

Logo, d = s X j=1 xj· aj= s X j=1 xj· (yj· c) = s X j=1 (xj· yj)· c = s X j=1 xj· yj ! · c, mostrando que c | d. Portanto, d ´e um mdc de a1, . . . , as.

Corol´ario 6

(14)

Exerc´ıcios

1. Seja A um anel comutativo com unidade. Sejam I e J ideais de A. (a) Mostre que I_{∩ J ´e um ideal de A.}

(b) Mostre que I + J ´e um ideal de A, onde

I + J = {x + y ; x_{∈ I e y ∈ J}.} (c) Mostre que I + J = I se, e somente se, J_{⊂ I.} (d) Mostre que I· J ´e um ideal de A, onde

Na express˜ao ao lado, n varia, podendo ter os valores

1, 2, 3, . . . I· J = {x1· y1+· · · + xn· yn; xj∈ I, yj∈ J, j = 1, . . . , n, e n ≥ 1}. 2. Sejam 24, 30, 20_{∈ Z. Determine:} (a) I(24, 30) (b) I(24)_{∩ I(30)} (c) I(24)· I(30) (d) I(20, 30) (e) I(20)_{∩ I(30)} (f) I(20)· I(30)

(g) I(20) + I(24) (h) I(20)_{∩ I(24)} (i) I(20)· I(24) 3. Vamos generalizar o exerc´ıcio anterior. Sejam a, b _{∈ Z n˜ao-nulos.}

Mostre que:

(a) I(a, b) = I(d), onde d = mdc(a, b). (b) I(a, b) = I(a) + I(b).

(c) I(a)_{∩ I(b) = I(m), onde m = mmc(a, b).} (d) I(a_{· b) = I(a) · I(b).}

4. Sejam a1, . . . , as∈ Z. Mostre que I(a1, . . . , as) = I(a1) +· · · + I(as).

5. Sejam A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A.

Mostre que I = A se, e somente se, existe invert´ıvel u _{∈ A tal que} u_{∈ I.}

6. Seja A um anel comutativo com unidade.

Mostre que A é um corpo se, e somente se, seus únicos ideais são {0} e A.

7. Seja A um anel comutativo com unidade e sejam a1, . . . , as∈ A nem

todos nulos, tais que I(a1, . . . , as) = I(d). Mostre que d ´e um mdc de

(15)

8. Sejam A um anel comutativo com unidade e a1, . . . , as∈ A.

(a) Dado J ideal de A, mostre que:

I(a1, . . . , as)⊂ J se, e somente se, a1, . . . , as∈ J.

(b) Sejam u1, . . . , usinvert´ıveis de A. Mostre que

I(a1, . . . , as) = I(u1· a1, . . . , us· as).

(c) Seja t∈ A. Mostre que

(16)

(17)

Dom´ınios Principais e a fatora¸c˜ao ´unica

Dom´ınios Principais e a fatora¸

c˜

ao ´

unica

Nosso objetivo é demonstrar o Teorema Fundamental da Aritmética, nosso velho conhecido, que diz que todo número inteiro a > 1 se escreve de modo único, a menos da ordem dos fatores, como

a = p1n1· p2n2· . . . · psns,

onde p1, . . . , pss˜ao n´umeros naturais primos e n1 ≥ 1, . . . , ns≥ 1.

Para atingir nosso objetivo, vamos aprofundar os nossos conhecimen-tos dos dom´ınios principais introduzindo, em an´eis comutativos com uni-dade, os conceitos de: elementos irredut´ıveis, elementos primos e fatora¸c˜ao ´

unica. Mostraremos que os dom´ınios principais têm a propriedade da fa-tora¸cão única, portanto valendo para Z.

Em um anel comutativo com unidade, os elementos invert´ıveis são divisores de quaisquer elementos do anel. Dado um elemento não-nulo e invert´ıvel, o interessante é determinar quais são os seus divisores não-invert´ıveis. Não devemos esquecer que, encontrado um divisor a de b então, para todo invert´ıvel u, u_{· a também é um divisor de b, isto é, todo associado} de um divisor também é divisor.

Para refletir sobre as observa¸c˜oes ao lado, fa¸ca o Exerc´ıcio 1.

Defini¸c˜ao 8 (Elementos irredut´ıveis ou redut´ıveis)

Seja A um anel comutativo com unidade e seja a _{∈ A, nulo e} não-invert´ıvel. O elemento a é dito irredut´ıvel se, e somente se, os seus divisores são invert´ıveis ou seus associados. Caso contrário, a é dito redut´ıvel, nesse caso, a tem algum divisor que não é invert´ıvel e não é associado de a. Observa¸cão: Seja a_{6= 0 e a ∈ A\A}∗_{. A defini¸cão anterior é equivalente a:}

Esse ou ´e excludente, apenas um dos fatores ´e invert´ıvel.

a´e irredut´ıvel _⇐⇒ se b | a, ent˜ao b_{∈ A}∗ _{ou b = u}_{· a, com u ∈ A}∗

⇐⇒ se a = b· c, ent˜ao b ou c ´e invert´ıvel.

a´e redut´ıvel _⇐⇒ existem b e c n˜ao-invert´ıveis tais que a = b_{· c.} Exemplo 14

Consideremos o dom´ınio Z. Temos Z∗ _{= {−1, 1}.}

(a) 3 ´e irredut´ıvel.

De fato, os associados de 3 são −3 e 3. Os divisores de 3 são −1, 1, −3 e 3. Portanto, os divisores de 3 são invert´ıveis ou associados de 3. Escrevendo 3 = b_{· c, temos b = 1 e c = 3 ou b = −1 e c = −3.}

(18)

(b) −24 ´e redut´ıvel.

De fato, −24 = 4· (−6), onde 4 e −6 s˜ao n˜ao-invert´ıveis em Z.

A fatora¸cão dos elementos de K[x] em produto de irredut´ıveis será estudada em Álgebra II, nos corpos

Q, R ou C.

Exemplo 15

(a) Seja K um corpo e K[x] o anel de polinômios com coeficientes em K. Todo polinômio de grau 1 é irredut´ıvel em K[x].

De fato, se f(x) = ax + b, onde a, b _{∈ K e a 6= 0, e f(x) = g(x) · h(x)} então grau(g(x)) + grau(h(x)) = grau(f(x)) = 1 assim, grau(g(x)) = 1 e grau(h(x)) = 0 ou grau(g(x)) = 0 e grau(h(x)) = 1. Portanto, grau(g(x)) ou grau(h(x)) é 0. Logo, g(x) = u _{∈ K\{0} ou h(x) = u ∈ K\{0}. Assim,} g(x)ou h(x) é um invert´ıvel de K[x].

Lembre que . . . K[x]∗_{= K}∗_{= K\{0}.}

(b) Seja Z[x] o anel de polinˆomios com coeficientes em Z.

Há polinômios de grau 1 é redut´ıveis em Z[x], por exemplo, 2x+4 = 2_·(x+2), com 2 e x + 2 não-invert´ıveis em Z[x].

Lembre que . . . Z[x]∗_{= Z}∗_{= {−1,1}.}

Veremos que em um dom´ınio principal todo elemento nulo e n˜ao-invert´ıvel tem um divisor irredut´ıvel. Para isto, precisamos do seguinte re-sultado.

Lema 1

Seja A um dom´ınio principal. Toda cadeia crescente de ideais I1⊂ I2⊂ · · · ⊂ In⊂ · · ·

é estacionária, isto é, existe m tal que

Im= Im+1=· · · .

Demonstra¸c˜ao: Seja I = [

j≥1

Ij. Primeiramente, vamos mostrar que I ´e um

ideal de A.

Com efeito, como 0 _{∈ I}j, para todo j≥ 1, ent˜ao 0 ∈ I. Sejam a, b ∈ I.

Ent˜ao existem j1, j2 ∈ Z, tais que a ∈ Ij1 e b ∈ Ij2. Temos 1 ≤ j1 ≤ j2 ou

1_{≤ j}2 ≤ j1, digamos que j1 ≤ j2. Logo, Ij1 ⊂ Ij2 e a, b∈ Ij2. Sendo Ij2 um

ideal temos a + b _{∈ I}j2 ⊂ I. Tomando a ∈ A e b ∈ I, existe j1 ∈ Z tal que

b_{∈ I}j1. Como Ij1 ´e um ideal, a· b ∈ Ij1 ⊂ I, mostrando que I ´e um ideal de

A.

Como A ´e um dom´ınio principal, existe d∈ A tal que I = I(d). Logo, d_{∈ I =} [

j≥1

Ij. Portanto, existe m≥ 1 tal que d ∈ Im. Como Im⊂ Ij, para

(19)

Dom´ınios Principais e a fatora¸cão única PARTE 3 - SEÇ ÃO 3 I(d)_{⊂ I}m⊂ Im+1⊂ · · · ⊂ I = [ j≥1 Ij= I(d).

Se d ∈ J e J ´e ideal, ent˜ao I(d)⊂ J.

Portanto, I(d) = Im= Im+1=· · · .

Proposi¸c˜ao 7

Todo elemento n˜ao-nulo e n˜ao-invert´ıvel de um dom´ınio principal tem pelo menos um divisor irredut´ıvel.

Como a1| a, temos que

a∈ I(a1), logo I(a) ⊂ I(a1).

Al´em disso, I(a) 6= I(a1),

pois a1n˜ao ´e associado de a.

J´a resolveu o Exerc´ıcio 5 da Se¸c˜ao 2?

Usamos esse resultado na segunda inclusão, isto é: a1não é invert´ıvel

⇐⇒ I(a1) ( A.

Demonstra¸cão: Sejam A um dom´ınio principal, a ∈ A, a 6= 0 e a não-invert´ıvel. Se a é irredut´ıvel, nada temos a demonstrar, pois a | a. Supo-nhamos que a é redut´ıvel. Pela defini¸cão 8, a tem um divisor a1, tal que a1

não é invert´ıvel e não é associado de a. Assim, I(a)( I(a1)( A,

onde a primeira inclusão é conseqüência da Proposi¸cão 5.

Se a1 é irredut´ıvel, terminamos, pois a1 | a. Se a1 não é irredut´ıvel,

então a1 tem divisor a2 em A, com a2 não-invert´ıvel e não-associado de a1.

Logo,

I(a)( I(a1)( I(a2)( A.

Assim, sucessivamente, at´e que para algum n temos anirredut´ıvel e portanto,

ané um divisor de a irredut´ıvel ou, caso contrário, ter´ıamos uma seqüência

an, com n ≥ 1, an+1 divisor de an, an+1 n˜ao-invert´ıvel e n˜ao-associado de

ane obter´ıamos uma cadeia infinita crescente de ideais

I(a)( I(a1)( I(a2)(· · · ( I(an)(· · · ( A,

que é imposs´ıvel pelo Lema anterior. Defini¸cão 9 (Dom´ınio de fatora¸cão única)

Um dom´ınio A é dito de fatora¸cão única se, e somente se, todo elemento não-nulo e não-invert´ıvel se fatora como um produto finito de elementos irredut´ıveis. Mais ainda, se p1, . . . , pm e q1, . . . , qnsão irredut´ıveis em A e

p1· p2· . . . · pm= q1· q2· . . . · qn,

então n = m e, após uma reordena¸cão, pj e qj são associados, para todo

j = 1, . . . , n. Dizemos que a fatora¸cão é única, a menos da ordem dos fatores e de elementos associados.

(20)

Exemplo 16

(a) Todo corpo é um dom´ınio de fatora¸cão única, pois todo elemento não-nulo é invert´ıvel.

(b) Z é um dom´ınio de fatora¸cão única (vamos demonstrar, como conseqüência de todo dom´ınio principal ser um dom´ınio de fatora¸cão única).

(c) K[x], onde K ´e um corpo.

(d) Em geral, se A é um dom´ınio de fatora¸cão única, então A[x] é um dom´ınio de fatora¸cão única. Portanto, Z[x], Q[x], R[x] e C[x] são exemplos de dom´ınios de fatora¸cão única, além de Z[x, y], Q[x, y], R[x, y] e C[x, y].

Os dom´ınios de fatora¸c˜ao ´

unica dos itens (c) e (d) s˜ao estudados em ´Algebra II.

Defini¸c˜ao 10 (Elemento primo)

Seja A um anel comutativo com unidade. Um elemento a _{∈ A, não-nulo e} não-invert´ıvel é dito primo se, e somente se,

se a | b_{· c, ent˜ao a | b ou a | c.} Exemplo 17

(a) 2 ´e primo em Z.

Lembre que . . . P =⇒ Q ou R ´ e equivalente a ∼Q e ∼ R =⇒∼ P, onde ∼Q ´e a nega¸c˜ao de Q e ∼ (Q ou R) =∼ Q e ∼ R.

De fato, suponhamos que b, c _{∈ Z e 2 não divide b nem c. Pela divisão} euclidiana, temos b = 2m + 1 e c = 2n + 1, com m, n _{∈ Z. Logo, b · c =} (2m + 1)_{· (2n + 1) = 4m · n + 2m + 2n + 1 = 2 · (2m · n + m + n) + 1 e 2} não divide b_{· c.}

(b) 3 ´e primo em Z.

Sejam b, c_{∈ Z, tais que 3 | b · c.}

Pela divisa˜ao euclidiana, escrevemos b = 3m + r e c = 3n + s, com m, n∈ Z e 0 ≤ r, s ≤ 2. Assim, b · c = 9m · n + 3m · s + 3n · r + rs. Como 3 | b · c temos que 3 | r· s, com r · s ∈ {0, 1, 2, 4}. Portanto, r · s = 0. Como Z ´e um dom´ınio, r = 0 ou s = 0, significando que 3 | b ou 3 | c.

(c) 4 n˜ao ´e primo em Z, pois 4 | 2_{· 6 mas 4 ∤ 2 e 4 ∤ 6.}

Há uma rela¸cão entre primos e irredut´ıveis quando o anel é especial, conforme veremos nas duas seguintes proposi¸cões.

Proposi¸c˜ao 8

Seja A um dom´ınio. Se p é primo, então p é irredut´ıvel.

Nesse caso, a = λ−1_{· p ´e}

associado de p.

Demonstra¸cão: Seja p_{∈ A um elemento primo. Escreva p = λ · a, com λ e a} em A. Como p | λ_{· a e p é primo, então p | λ ou p | a. Digamos que p | a.} Logo, a = λ′_{· p e p = λ · a = λ · (λ}′_{· p) = (λ · λ}′₎_{· p. Pela lei do cancelamento}

no dom´ınio A, temos que 1A = λ · λ′. Portanto, λ ´e um invert´ıvel de A,

(21)

Há exemplos de dom´ınios com elementos irredut´ıveis que não são pri-mos.

Exemplo 18

Seja A = {a + b√5i ; a, b_{∈ Z}. A ´e um subanel de C. Temos que} 2_{· 3 = (1 +}√5i)(1 −√5i),

onde 2, 3, 1 +√5i e 1 −√5i s˜ao irredut´ıveis em A, 2 | (1 +√5i)_{· (1 −}√5i), mas 2 ∤ (1 +√5i) e 2 ∤ (1 −√5i).

Para verificar as afirma¸cões acima você precisa saber quem são os elementos invert´ıveis de A, isto é, quem ´

e A∗_.

´

E facil verificar que A∗ _{= {−1, 1}, pois o inverso de a + b}√_5i_{6= 0 em C ´e}

(a + b√5i)−1₌ 1 a+b√5i =

a−b√5i

(a+b√5i)·(a−b√5i) =

a−b√5i a2_+5b2.

Logo, (a + b√5i)−1_{∈ A se, e somente se, (a}2_{+ 5b}2_{) | a}_{e (a}2_{+ 5b}2_{) | −b.}

Se b _{6= 0, ent˜ao | b |≥ 1 e a}2_{+ 5b}2 _{≥ 5b}2 _{> b}2 _{=| b |}2_{≥| b |, contradizendo}

a Proposi¸c˜ao 3 da Se¸c˜ao 1. Portanto, b = 0, a _{6= 0, a}2 _{| a, seguindo que}

a =_±1. Proposi¸c˜ao 9

Seja A um dom´ınio principal. Seja p_{∈ A um elemento irredut´ıvel. Ent˜ao, p} ´e primo.

Demonstra¸c˜ao: Seja A um dom´ınio principal e seja p _{∈ A um elemento} irredut´ıvel. Suponhamos que b, c_{∈ A, p | b · c e p ∤ b. Vamos mostrar que} p | c.

Seja I = I(b, p). Temos que p ∈ I, logo I 6= {0}. Como A é principal, então existe d ∈ A, d 6= 0, tal que I = I(d). Temos que d | b e d | p, pois b, p_{∈ I. Como p é irredut´ıvel, os divisores de p são invert´ıveis ou associados} de p, logo d é invert´ıvel em A ou d = u· p, para algum invert´ıvel u em A. Se d = u_{· p, então b ∈ I = I(d) = I(u · p) e assim b = λ · (u · p), contradizendo} a hipótese que p ∤ b. Portanto, d é um invert´ıvel de A, pelo Exerc´ıcio 5 da Se¸cão anterior, temos A = I(d) = I(b, p), logo 1A ∈ I(b, p). Portanto,

existem x, y∈ A, tais que 1A= x· b + y · p. Multiplicando por c, temos

c = 1A· c = (x · b + y · p) · c = x · b · c + y · p · c.

Como p | b· c, então p divide a primeira parcela acima à direita. É claro que pdivide a segunda parcela. Portanto, p divide a soma dessas parcelas, isto é, p | c.

(22)

Corol´ario 7

No dom´ınio Z um elemento ´e primo se, e somente se, ´e irredut´ıvel.

Agora estamos a um passo de obter a fatora¸cão única dos inteiros não-nulos e não-invert´ıveis, isto é, diferentes de 0, 1 e −1, em produto de números inteiros primos, a partir da propriedade mais geral dos dom´ınios principais. Para isto, precisamos de algumas propriedades relevantes dos elementos pri-mos em um dom´ınio.

Proposi¸c˜ao 10

Sejam p, p1, . . . , pnelementos primos do dom´ınio A. Se p | p1· . . . · pn, ent˜ao

p´e associado de pj, para algum j.

Demonstra¸cão: A demonstra¸cão é por indu¸cão sobre n. Seja n = 1 e supo-nhamos que p, p1são primos e p | p1. Então, p1= λ· p, com p não-invert´ıvel

e p1 irredut´ıvel, implica que λ ´e invert´ıvel. Logo p ´e associado de p1.

Sejam n _{≥ 1, p, p}1, . . . , pn, pn+1 elementos primos do dom´ınio A e

suponhamos que se p | p1· . . . · pn, ent˜ao p ´e associado de pj, para algum

j = 1, . . . , n. Digamos que p | p1· . . . · pn· pn+1 = (p1· . . . · pn)· pn+1.

Da defini¸c˜ao de elemento primo, temos que p | p1· . . . · pn ou p | pn+1.

No primeiro caso, por hipótese de indu¸cão, p é associado de pj, para algum

j = 1, . . . , n. No segundo caso, p ´e associado de pn+1. Logo, p ´e associado

de pj, para algum j = 1, . . . , n + 1.

Teorema 2 (Fatora¸c˜ao ´unica em dom´ınios principais)

Todo dom´ınio principal é um dom´ınio de fatora¸cão única.

Demonstra¸cão: Seja A um dom´ınio principal e seja a _{∈ A um elemento} não-nulo e não-invert´ıvel. Pela Proposi¸cão 7, a tem pelo menos um divisor irredut´ıvel, digamos p1∈ A. Logo, existe a1∈ A, tal que

a = a1· p1.

Como a16= 0, se a1não é invert´ıvel, novamente, pela Proposi¸cão 7, a1

tem um divisor irredut´ıvel p2, logo a1= a2· p2 e

a = a2· p2· p1.

Assim, sucessivamente, determinamos uma seq¨uˆencia de pares (aj, pj)

com pj irredut´ıvel e tais que

(23)

Vamos mostrar que esse processo tem que parar após um número finito de passos, isto é, existe n_{≥ 1 tal que a}né invert´ıvel.

De fato, se a1, . . . , an, . . . fossem n˜ao-invert´ıveis, como aj+1 | aj, por

(⋆), aj e aj+1 não seriam associados. Pela Proposi¸cão 5 da Se¸cão anterior,

ter´ıamos que

Nesse caso, I(aj) ( I(aj+1).

I(a)( I(a1)( I(a2)(· · · ( I(an)(· · · ( A,

seria uma cadeia crescente infinita de ideais, contradizendo o Lema 1. Portanto, para algum n≥ 1, an= u´e invert´ıvel e

a = (upn)· pn−1· . . . · p1,

com upn, pn−1, . . . , p1 irredut´ıveis, logo, pela Proposi¸c˜ao 9, primos. Falta

Fa¸ca o Exerc´ıcio 1 (e), que mostra que se u é invert´ıvel e p é irredut´ıvel, então u · p ´

e irredut´ıvel.

provar a unicidade, que faremos por indu¸c˜ao sobre n.

Suponhamos que n = 1 e p1= q1· . . . · qm, com p1, q1, . . . , qm

irredu-dut´ıveis, logo primos.

Como p1 | q1· . . . · qm, pela Proposi¸c˜ao anterior, p1 ´e associado de qj

para algum j = 1, . . . , m. Ap´os uma reordena¸c˜ao dos qj′s, podemos supor

que j = 1, p1 | q1 e p1 = wq1, com w invert´ıvel. Se m > 1, ent˜ao Veja o Exerc´ıcio 1 (b) que mostra que os divisores de um invert´ıvel s˜ao invert´ıveis.

w_{· q}1 = q1 · . . . · qm, cancelando q1, ter´ıamos w = q2 · . . . · qm, que ´e

imposs´ıvel. Portanto, m = 1 e p1= w· q1 ´e associado de q1.

Seja n _{≥ 2 e suponhamos a unicidade da fatora¸c˜ao v´alida para n − 1} e p1 · . . . · pn = q1 · . . . · qm, com p1, . . . , pn, q1, . . . , qm irredut´ıveis (logo

primos). Segue que pn | q1· . . . · qm e, novamente, para algum j temos pn

associado de qj. Ap´os uma reordena¸c˜ao dos qi′s, podemos supor que j = m

e pné associado de qm, isto é, pn= w· qm, com w invert´ıvel. Então,

A equivalˆencia segue da Lei do Cancelamento.

p1·. . .·pn−1·(w·qm) = q1·. . .·qm−1·qm⇐⇒ (w·p1)·. . .·pn−1 = q1·. . .·qm−1.

Pela hipótese de indu¸cão, n−1 = m−1, logo n = m. Após uma reordena¸cão dos qj′s, podemos supor que pjé associado de qj, para cada j = 1, . . . , n − 1.

Como j´a mostramos que pn´e associado de qn, obtemos o resultado.

Corol´ario 8

(24)

Corol´ario 9 (Teorema Fundamental da Aritm´etica)

Todo n´umero inteiro a diferente de 0, 1, −1 pode ser escrito como

Na rela¸cão de associa¸cão, cada classe de equivalência de p ∈ Z, p irredut´ıvel (primo), tem um elemento positivo e um elemento negativo. Escolhemos um representante positivo em cada classe. Trabalhamos com os naturais primos na fatora¸cão, que é única a menos da ordem dos fatores.

a =_±pα1

1 · . . . · p αn

n ,

onde p1, . . . , pn s˜ao n´umeros primos positivos distintos, p1 < · · · < pn e

α1> 0, . . . , αn> 0.

Exerc´ıcios

1. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que: (a) Se a | 1, ent˜ao a ´e invert´ıvel.

(b) Se a | u, com u invert´ıvel, então a é invert´ıvel. (c) Se a é invert´ıvel, então a | b, para todo b∈ A. (d) Se a | b, então u· a | b, para todo invert´ıvel u ∈ A.

(e) Se p é irredut´ıvel, então u· p é irredut´ıvel, para todo invert´ıvel u_{∈ A.}

2. Seja A = Z.

(a) Mostre que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 s˜ao irredut´ıveis em Z. (b) Mostre que 4, 6, 8, 9, 10, 12 s˜ao redut´ıveis.

3. Mostre que:

(a) x2_{+ 1}_{´e irredut´ıvel em R[x].}

(b) x2_{+ 3x + 2}_{´e redut´ıvel em R[x].}

(c) 3x + 1 ´e irredut´ıvel em Z[x]. (d) 3x + 6 ´e redut´ıvel em Z[x]. 4. Seja p um natural primo. Mostre que:

(a) Se j_{∈ N é tal que 1 ≤ j < p, então p divide} p_j; (b) Se a, b_{∈ Z, então p divide (a + b)}p_{− (a}p_{+ b}p_);

(c) (Pequeno Teorema de Fermat) p divide ap_{− a, para todo a}_{∈ Z.}

(25)

Propriedades do Dom´ınio PrincipalZ

Propriedades do Dom´ınio Principal

Z

A partir da fatora¸cão única de inteiros em produto de potências de primos positivos, podemos determinar o máximo divisor comum e o m´ınimo múltiplo comum de dois inteiros não-nulos.

Observa¸c˜ao: Sejam a, b inteiros n˜ao-nulos. Sejam p1 <· · · < pn os primos

positivos distintos que ocorrem na fatora¸c˜ao de a ou de b. Ent˜ao, podemos escrever a =_±pα1 1 · . . . · pαnn e b =±p β1 1 · . . . · pβnn, com αj≥ 0, βj≥ 0, para j = 1, . . . , n. mdc(a, b) = pγ1 1 · . . . · p γn

n , onde γj=min{αj, βj}, para cada j = 1, . . . , n;

mmc(a, b) = pδ1

1 · . . . · pδnn, onde δj=max{αj, βj}, para cada j = 1, . . . , n.

Exemplo 19

75 = 3_{· 5 · 5 = 3 · 5}2 _{e 70 = 2}_{· 5 · 7.}

Portanto, os naturais primos que ocorrem na fatora¸c˜ao de 75 ou 70 s˜ao 2, 3, 5, 7. Escrevendo 75 = 20_{· 3}1_{· 5}2_{· 7}0 _e 70 = 21_{· 3}0_{· 5}1_{· 7}1, obtemos mdc(75, 70) = 20_{· 3}0_{· 5}1_{· 7}0 _{= 5}_e mmc(75, 70) = 21_{· 3}1_{· 5}2_{· 7}1_{= 1050.}

Defini¸c˜ao 11 (Primos entre si)

Seja A um dom´ınio principal. Os elementos a, b _{∈ A, não ambos iguais a} zero, são chamados primos entre si se, e somente se, têm um máximo divisor comum invert´ıvel. Em particular, os inteiros a, b, não ambos iguais a zero, são ditos primos entre si se, e somente se, mdc(a, b) = 1.

Exemplo 20

Os inteiros 75 = 3· 52_{e 539 = 7}2_{· 11 s˜ao primos entre si. Observe que como}

mdc(75, 539) = 1, ent˜ao mmc(75, 539) = 3· 52_{· 7}2_{· 11 = 75 · 539.} Veja o Exerc´ıcio 1, dessa Se¸c˜ao.

Teorema 3 (Euclides)

H´a uma infinidade de n´umeros naturais primos.

(26)

n´umeros naturais primos. Sejam 2 = p1 < p2<· · · < pnos n´umeros primos

positivos. Consideremos a = p1 · p2· . . . · pn+ 1 > 1. Ent˜ao, a 6= 0, 1

tem um divisor primo positivo q e q _{∈ {p}1, . . . , pn}. Por propriedade da

divisibilidade, q divide a − p1· p2· . . . · pn= 1, contradizendo o fato de que

q n˜ao ´e invert´ıvel.

Para determinar números primos positivos, isto é, números inteiros po-sitivos irredut´ıveis, usamos o antigo método chamado Crivo de Eratóstenes. Precisamos do seguinte resultado.

Lema 2

Se n > 1 é um inteiro que não é primo, então n tem um divisor natural primo p tal que p2_{≤ n.}

Demonstra¸cão: Suponhamos que n > 1 não seja primo (irredut´ıvel). Então, n tem um divisor positivo irredut´ıvel (primo). Pelo Princ´ıpio da Boa Or-dena¸cão, há o menor divisor primo positivo, digamos q. Portanto, n = q· m com q_{≤ m. Assim, q}2_{= q}

· q ≤ q · m = n.

Temos que m > 1, pois n não é primo, e todo divisor primo d de m, também divide n, logo q ≤ d ≤ m.

Para ilustrar com um exemplo, vamos determinar os números natu-rais primos menores ou iguais a 150, isto é, os números inteiros positivos irredut´ıveis menores ou iguais a 150, seguimos o seguinte roteiro:

Seja n > 1. Se p não divide n, para todo natural primo p, tal que p2_{≤ n, então n é}

primo.

1. Fa¸ca uma Tabela dos n´umeros inteiros de 2 at´e 150.

2. 2 é primo. Risque na Tabela todos os múltiplos de 2 maiores do que 2, pois não são primos.

3. Todos os n´umeros n˜ao riscados menores do que 4 = 22_{, pelo Lema 2,}

s˜ao primos, isto ´e, 2 e 3.

4. 3 é primo. Risque na Tabela todos os múltiplos de 3 maiores do que 3, pois não são primos.

5. Todos os números não riscados menores do que 9 = 32 _{são primos, isto}

´e, 2, 3, 5, 7.

6. 5 e 7 são primos. Risque na Tabela todos os múltiplos de 5 maiores do que 5, assim como todos os múltiplos de 7 maiores do que 7.

7. Todos os números não riscados menores do que 49 = 72 _{são primos,}

(27)

8. 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 são os novos primos obtidos. Su-cessivamente, risque na tabela todos os múltiplos de 11 maiores do que 11, todos os múltiplos de 13 maiores do que 13, . . . , todos os múltiplos de 47 maiores do que 47.

9. Como 150 < 2209 = 472_{, todos os n´}_{umeros n˜ao riscados na Tabela s˜ao}

primos.

Os inteiros positivos primos menores que 150 s˜ao 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149. 2 3 _{6 4} 5 _{6 6} 7 _{6 8} _{6 9} _{6 10} 11 _{6 12} 13 _{6 14} _{6 15} _{6 16} 17 _{6 18} 19 _{6 20} 6 21 6 22 23 _{6 24} _{6 25} _{6 26} _{6 27} _{6 28} 29 _{6 30} 31 _{6 32} _{6 33} _{6 34} _{6 35} _{6 36} 37 _{6 38} _{6 39} _{6 40} 41 _{6 42} 43 _{6 44} _{6 45} _{6 46} 47 _{6 48} _{6 49} _{6 50} 6 51 6 52 53 _{6 54} _{6 55} _{6 56} _{6 57} _{6 58} 59 _{6 60} 61 _{6 62} _{6 63} _{6 64} _{6 65} _{6 66} 67 _{6 68} _{6 69} _{6 70} 71 _{6 72} 73 _{6 74} _{6 75} _{6 76} _{6 77} _{6 78} 79 _{6 80} 6 81 6 82 83 _{6 84} _{6 85} _{6 86} _{6 87} _{6 88} 89 _{6 90} 6 91 6 92 6 93 6 94 6 95 6 96 97 _{6 98} _{6 99 6 100} 101 _{6 102 103 6 104 6 105 6 106 107 6 108 109 6 110} 6 111 6 112 113 6 114 6 115 6 116 6 117 6 118 6 119 6 120 6 121 6 122 6 123 6 124 6 125 6 126 127 6 128 129 6 130 131 _{6 132 6 133 6 134 6 135 6 136 137 6 138 139 6 140} 6 141 6 142 6 143 6 144 6 145 6 146 6 147 6 148 149 6 150

Tabela dos primos positivos menores que 150

Vamos agora aprender o Algoritmo de Euclides, que permite determi-nar o m´aximo divisor comum de dois inteiros, sem conhecer os seus fatores primos.

Lembramos alguns resultados j´a vistos no seguinte Lema. Lema 3

Sejam a, b, t inteiros. Ent˜ao, (i) mdc(a, 0) =| a |, se a_{6= 0.}

(ii) mdc(a, b) = mdc(b, a) = mdc(| a |, | b |) = mdc(a − tb, b), se a, b não são ambos iguais a zero e t é qualquer inteiro.

(28)

(ii) I(a, b) = I(b, a) = I(| a |, | b |) = I(d), com d > 0 se a _{6= 0 ou b 6= 0.} Pela Proposi¸c˜ao 6 na Se¸c˜ao 2, temos

d = mdc(a, b) = mdc(b, a) = mdc(| a |, | b |).

Veja Exerc´ıcio 8 item (c) na Se¸c˜ao 2.

A ´ultima igualdade do enunciado segue do fato que, para qualquer t _{∈ Z, I(a, b) = I(a − tb, b). Com efeito, a − tb, b ∈ I(a, b) implica} que para quaisquer x, y ∈ Z temos (a − tb) · x + b · y ∈ I(a, b). Logo, I(a − bt, b)_{⊂ I(a, b). Por outro lado, a − bt, b ∈ I(a − bt, b) implica que} a = (a − bt) + bt_{∈ I(a − bt, b) e a · x + b · y ∈ I(a − bt, b), para quaisquer} x, y_{∈ Z, mostrando que I(a, b) ⊂ I(a − bt, b).}

Sejam a, b inteiros n˜ao ambos iguais a zero. Pelo Lema anterior, para determinar o mdc(a, b), podemos supor a≥ 0, b ≥ 0 e a ≥ b

Caso (I) - (Um deles ´e zero) a > 0 e b = 0: mdc(a, 0) = a. Caso (II) - (Ambos n˜ao-nulos)

(II.1) a = b > 0

mdc(a, b) = mdc(a, a) = a. (II.2) a > b > 0

Pela divis˜ao euclidiana de a por b, temos

a = b_{· q}1+ r2, com 0≤ r2< b e

mdc(a, b) = mdc(a − b_{· q}1, b) =mdc(r2, b) =mdc(b, r2).

(1) Se r2= 0, ent˜ao mdc(a, b) = mdc(b, 0) = b.

(2) Se r26= 0, ent˜ao fazemos a divis˜ao euclidiana de b por r2, obtendo

b = r2· q2+ r3, com 0≤ r3< r2 e

mdc(a, b) = mdc(b, r2) = mdc(b − r2· q2, r2) =mdc(r3, r2).

(1) Se r3= 0, ent˜ao mdc(a, b) = mdc(0, r2) = r2.

(2) Se r3 6= 0, ent˜ao fazemos a divis˜ao euclidiana de r2 por r3, obtendo

(29)

mdc(a, b) = mdc(r3, r2) = mdc(r2, r3) =mdc(r2− r3· q3, r3) =mdc(r4, r3),

e assim sucessivamente.

Tomamos r1 = b. Segue que existe n ≥ 1, tal que rn+1 = 0 e rn 6= 0

pois, caso contrário, ter´ıamos uma seqüência infinita de números naturais r1> r2>· · · > rn>· · · > 0,

contradizendo o Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao. Portanto,

mdc(a, b) = mdc(r1, r2) =· · · = mdc(rn, rn+1) = mdc(rn, 0) = rn.

O procedimento acima ´e chamado de Algoritmo de Euclides. Podemos organizar o racioc´ınio acima no seguinte dispositivo pr´atico:

q1 q2 q3 · · · qn−2 qn−1 qn

a b r2 r3 · · · rn−2 rn−1 rn

r2 r3 r4 r5 · · · rn 0

Exemplo 21

(a) Vamos calcular mdc(350, 240)

1 2 5 2 350 240 110 20 10 110 20 10 0 Logo, mdc(350, 240) = 10. (b) Vamos calcular mdc(143, 315) 2 4 1 13 2 315 143 29 27 2 1 29 27 2 1 0 Logo, mdc(315, 143) = 1.

Usando o Algoritmo de Euclides detr´as para frente, podemos determi-nar inteiros m0 e n0, tais que mdc(a, b) = m0· a + n0· b.

Vejamos, usando os exemplos anteriores. Exemplo 22

(30)

1 2 5 2

350 240 110 20 10

110 20 10 0

(1) (2) (3)

Escrevemos, na ordem em que foram feitos, os cálculos realizados na divisão euclidiana no dispositivo prático:

(1) 350 = 1· 240 + 110_|{z} (2) 240 = 2· 110 + 20_|{z} (3) 110 = 5· 20 + 10_|{z}

mdc

Em cada passo faremos a substitui¸c˜ao apenas de um dos restos assinalados acima, usando a equa¸c˜ao mencionada, come¸cando com o mdc.

mdc(350, 240) = 10 (3)= 110 − 5_{· 20} (2) = 110 − 5_{· (240 − 2 · 110)} = 11_{· 110 − 5 · 240} (1) = 11_{· (350 − 1 · 240) − 5 · 240} = 11_{· 350 − 16 · 240} Logo, m0= 11 e n0 = −16.

(b) Determine m0, n0∈ Z, tais que 1 = mdc(315, 143) = m0· 315 + n0· 143.

2 4 1 13 2 315 143 29 27 2 1 29 27 2 1 0 (1) (2) (3) (4) (1) 315 = 2_{· 143 + 29}_|{z} (2) 143 = 4_{· 29 + 27}_|{z} (3) 29 = 1_{· 27 + 2}_|{z} (4) 27 = 13_{· 2 + 1}_|{z} mdc

Em cada passo faremos a substitui¸c˜ao apenas de um dos restos assinalados acima, usando a equa¸c˜ao mencionada, come¸cando com o mdc.

(31)

Propriedades do Dom´ınio PrincipalZ PARTE 3 - SEC¸ ˜AO 4 mdc(315, 143) = 1 (4)= 27 − 13_{· 2} (3) = 27 − 13_{· (29 − 1 · 27)} = 14_{· 27 − 13 · 29} (2) = 14_{· (143 − 4 · 29) − 13 · 29} = 14_{· 143 − 69 · 29} (1) = 14_{· 143 − 69 · (315 − 2 · 143)} = 152_{· 143 − 69 · 315} Logo, m0= −69 e n0= 152.

Vamos resolver alguns tipos de equa¸c˜oes diofantinas. Consideraremos, primeiramente, a equa¸c˜ao diofantina

a_{· x + b · y = n,} onde s˜ao dados a, b, n_{∈ Z.}

Quais as condi¸cões para a equa¸cão ter solu¸cões inteiras? Quando admite solu¸cões inteiras, como determiná-las? Proposi¸cão 11

A equa¸c˜ao a_{·x+b·y = n admite solu¸c˜ao em Z se, e somente se, d = mdc(a, b)} divide n.

Demonstra¸c˜ao:

(=⇒:) Sejam x0, y0 ∈ Z tais que a · x0+ b· y0 = n e seja d = mdc(a, b).

Como d | a e d | b, ent˜ao d | (a_{· x}0+ b· y0) = n.

(⇐=:) Seja d = mdc(a, b) e suponhamos que d | n. Ent˜ao, existe t ∈ Z tal que n = d_{·t. Como existem m}0, n0∈ Z, tais que d = a·m0+ b·n0, obtemos

n = d_{· t = (a · m}0+ b· n0)· t = a · (m0· t) + b · (n0· t).

Logo, x0 = m0· t e y0 = n0· t são solu¸cões inteiras da equa¸cão.

Teorema 4

Seja x0, y0 uma solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ao a· x + b · y = n e seja d =

mdc(a, b). Então, x, y é uma solu¸cão da equa¸cão a_{· x + b · y = n se, e} somente se, x = x0+ b_d· t e y = y0− a_d· t, para algum t ∈ Z.

Demonstra¸c˜ao:

(⇐=:) Seja t ∈ Z. Substituindo x = x0+ b_d· t e y = y0− a_d· t na equa¸c˜ao

(32)

a_{· x + b · y = a · x}0+b_d· t + b · y0− a_d· t

= a_{· x}0+ b· y0+ a_d·b· t − a_d·b· t

= a_{· x}0+ b· y0= n,

mostrando que x, y s˜ao solu¸c˜oes.

(=⇒:) Se a ou b é zero, digamos a = 0 com b 6= 0, então a equa¸cão é 0_{· x + b · y = n. Nesse caso, x é qualquer inteiro e y está determinado por} y = n_b _{∈ Z, pois | b |= mdc(0, b) | n. O outro caso é análogo.}

Suponhamos agora que a 6= 0, b 6= 0 e x, y seja uma solu¸c˜ao. Ent˜ao,

Em (⋆) usamos que mdc“a d, b d ” = 1e que se c | r· s, com mdc(c,r) = 1 , ent˜ao c | s. Veja os Exerc´ıcios: 1, item (b), e 4, item (a). n = a_{· x + b · y = a · x}0+ b· y0 =⇒ a(x − x0) (1) = b(y0− y) =⇒ a d(x − x0) = b d(y0− y) (⋆) =⇒ a d|(y0− y)e b d|(x − x0).

Logo, x − x0= b_d· s e y0− y = a_d· t, para algum s ∈ Z e para algum t ∈ Z.

Substituindo na igualdade (1), obtemos a_·b

d· s = b · a

d· t. Logo, s = t,

x = x0+ b_d· t e y = y0− a_d· t, para algum t ∈ Z.

Exemplo 23

A equa¸cão 5x + 35y = 7 não tem solu¸cão em Z, pois mdc(5, 35) = 5 e 5 ∤ 7. Exemplo 24

Consideremos a equa¸c˜ao 350x − 240y = −20.

No Exemplo 21 item (a) vimos que 10 = mdc(350, 240) = mdc(350, −240). Como 10 | −20, a equa¸c˜ao 350x−240y = 350x+(−240)y = −20 tem solu¸c˜ao. No Exemplo 22 item (a) obtivemos que 10 = 11_{· 350 + (−16) · 240. Logo,} −20 = (−22)_{· 350 + 32 · 240 = (−22) · 350 + (−32) · (−240).}

Portanto, x0 = −22e y0= −32 são solu¸cões particulares da equa¸cão dada e

sua solu¸c˜ao geral ´e x = −22+−240

10 t = −22−24te y = −32− 350

10t = −32−35t,

para t_{∈ Z.}

Exerc´ıcios

1. Sejam a, b inteiros n˜ao-nulos. Mostre que:

(a) a e b s˜ao primos entre si se, e somente se, existem x, y ∈ Z tais que a· x + b · y = 1. (b) mdc a mdc(a,b), b mdc(a,b) = 1.

(33)

(c) mmc(a, b)_{· mdc(a, b) =| a · b |.}

(d) Se a > 0 e b > 0, ent˜ao mmc(a, b)_{· mdc(a, b) = a · b.}

2. Mostre que todo número racional não-nulo x se escreve de modo único como x = a

b, onde a, b s˜ao inteiros primos entre si e b > 0.

Para o item (c), use as nota¸cões da primeira Observa¸cão dessa Se¸cão.

3. Seja p um primo positivo. Mostre que todo número racional não-nulo x se escreve de uma única maneira na forma

x = pn_· a_b, onde a, b, n∈ Z, b > 0, mdc(a, b) = 1, p ∤ a e p ∤ b. 4. Sejam a, b, c inteiros com mdc(a, b) = 1. Mostre que:

(a) Se a | b_{· c, ent˜ao a | c.}

(b) Se a | c e b | c, ent˜ao a· b | c.

5. Sejam a, b, c, m, n com m≥ 1 e n ≥ 1. Mostre que: (a) Se mdc(a, c) = 1, ent˜ao mdc(a· b, c) = mdc(b, c). (b) Se mdc(a, b) = 1, ent˜ao mdc(am_{, b}n_{) = 1.}

6. Para cada par de inteiros a, b dados determine mdc(a, b), mmc(a, b) e inteiros m0, n0 tais que mdc(a, b) = m0· a + n0· b:

(a) 637, 3887 (b) 648, −1218 (c) −551, −874 (d) 7325, 8485 (e) 330, 240 (f) 484, 1521 7. Mostre que:

(a) mdc(n, 2n + 1) = 1, para todo n∈ Z. (b) mdc(2n + 1, 3n + 1) = 1, para todo n_{∈ Z.} (c) mdc(n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1, para todo n > 1. 8. Resolva as equa¸c˜oes em Z: (a) 7x − 19y = 1 (b) 4x − 3y = 2 (c) 6x + 4y = 6 (d) 6x + 4y = 3 (e) 12x − 18y = 360 (f) 144x + 125y = 329 (g) 36x − 21y = 31 (h) 350x − 91y = 731

(34)

9. Seja n_{≥ 1. Mostre que:}

(a) 17 divide 198n_{− 1, para todo n.}

(b) 45 divide 133n_{+ 17}3n_{, para todo n ´ımpar.}

10. Usando o Lema 2, mostre que: (a) 151, 179 e 241 s˜ao primos;

(35)

Congruências módulo n e os anéisZn

Congruˆ

encias m´

odulo

n e os an´

eis

Z

n

O conceito de congruência de inteiros foi introduzido e estudado por Gauss e é utilizado para enfatizar o resto da divisão euclidiana.

Defini¸cão 12 (Congruência módulo n)

Seja n ≥ 2 um inteiro. Sejam a, b ∈ Z. Dizemos que a ´e congruente a b m´odulo n se, e somente se, n | (a − b).

Quando a é congruente a b módulo n escrevemos a_{≡ b mod n. Caso} contrário, escrevemos a6≡ b mod n.

A expressão a ≡ b mod n lê-se como a é congruente a bmódulo n. Exemplo 25 25_{≡ 37 mod 6, pois 25 − 37 = −12 e 6 | −12.} 210_{≡ 70 mod 35, pois 210 − 70 = 140 e 35 | 140} 20_{6≡ 33 mod 12, pois 20 − 33 = −13 e 12 ∤ −13} 13_{6≡ 22 mod 5, pois 13 − 22 = −9 e 5 ∤ −9.}

A seguir veremos uma propriedade muito interessante da congruˆencia m´odulo n.

Proposi¸c˜ao 12

A congruência módulo n é uma rela¸cão de equivalência em Z.

Demonstra¸cão: Vamos mostrar que a congruência módulo n é reflexiva, simé-trica e transitiva. Temos que n | 0 = a − a, logo a _{≡ a mod n, para} todo a _{∈ Z. Suponhamos que a ≡ b mod n. Então n | (a − b), seguindo} que n | (b − a) = −(a − b), que é equivalente a b _{≡ a mod n. Agora,} suponhamos que a_{≡ b mod n e b ≡ c mod n. Por defini¸cão, n | (a − b)} e n | (b − c), seguindo que n divide (a − b) + (b − c) = a − c, isto é, a_{≡ c}

mod n.

Veremos agora que o conceito de congruência de inteiros módulo n pode ser utilizado para enfatizar o resto da divisão euclidiana por n.

Proposi¸c˜ao 13

Seja n_{≥ 2. Temos a ≡ b mod n se, e somente se, a e b tˆem o mesmo resto} na divis˜ao euclidiana por n.

Demonstra¸cão: Suponhamos que a _{≡ b mod n. Pela defini¸cão de} con-gruência, temos que n | (a − b). Pela divisão euclidiana, podemos escrever a = q_{· n + r e b = q}′ _{· n + r}′, com 0 _{≤ r < n e 0 ≤ r}′ _{< n. Logo,}

(36)

hip´otese, n | (a − b), e, claramente, n divide −(q − q′₎_{· n, ent˜ao n divide}

r − r′. Al´em disso, −n < −r′ _{≤ r − r}′ _{≤ r < n. Logo, r − r}′ _{= 0}_{e r = r}′_.

Reciprocamente, suponhamos que a e b têm mesmo resto r na divisão euclidiana por n. Então, a = q· n + r e b = q′ _{· n + r, com 0 ≤ r < n.}

Ent˜ao, a − b = (q − q′₎_{· n. Portanto, n | (a − b) e a ≡ b mod n.}

Exemplo 26

25 e 37 deixam resto 1 na divis˜ao por 6, logo 25≡ 37 mod 6. 210 e 35 deixam resto 0 na divis˜ao por 35, logo 210_{≡ 35 mod 35.}

Na divisão por 12, 20 deixa resto 8 e 33 deixa resto 9, logo 206≡ 33 mod 12. As seguintes propriedades adicionais das congruências são muito úteis nas aplica¸cões do conceito de congruência.

Proposi¸c˜ao 14 (Propriedades das congruˆencias) Sejam a, b, c, d∈ Z e seja n ≥ 2.

(i) Se a_{≡ b mod n e c ≡ d mod n, então a + c ≡ b + d mod n.} (ii) Se a≡ b mod n e c ≡ d mod n, então a · c ≡ b · d mod n. (iii) Se a_{≡ b mod n, então a}m_{≡ b}m _{mod n, para todo m}_{≥ 1.}

Demonstra¸c˜ao: Faremos, primeiramente, a prova de (i) e (ii). Sejam a ≡ b mod n e c≡ d mod n. Ent˜ao, existem λ, λ′ _{em Z, tais que a − b = λ}_{· n e}

c − d = λ′_{· n. Logo,}

a + c − (b + d) = (a − b) + (c − d) = λ_{· n + λ}′_{· n = (λ + λ}′₎_{· n,}

mostrando que a + c≡ b + d mod n. Tamb´em,

a_{· c − b · d = a · c + (a · d − a · d) − b · d = a · (c − d) + (a − b) · d} = a_{· (λ}′_{· n) + (λ · n) · d = (a · λ}′_{+ λ}_{· d) · n,}

mostrando que a_{· c ≡ b · d mod n.}

A demonstra¸cão da propriedade (iii) será feita por indu¸cão sobre m. Sejam a, b ∈ Z tais que a ≡ b mod n. Então, a1 _{= a} _{≡ b = b}1 _{mod n}

e a afirma¸cão é válida para m = 1. Seja m ≥ 1 tal que am _{≡ b}m _{mod n.}

Ent˜ao, am+1 (1)_{= a}m

· a(2)≡ bm

· b(3)= bm+1 _{mod n.}

Em (1) e (3) usamos a defini¸cão da potência m + 1 e em (2), a hipótese de indu¸cão e a propriedade (ii) da Proposi¸cão anterior.

Exemplo 27

Qual o resto da divis˜ao de 325 _{por 15?} Em (1) usamos a

transitividade da

(37)

Congruências módulo n e os anéisZn PARTE 3 - SEÇ ÃO 5 Portanto, 325_{= 3}_{· 3}3·8_{= 3}_{· (3}3₎8(2)_{≡ 3 · (−3)}8_{= 3}_{· (−3)}3_{· (−3)}3_{· (−3)}2(3)_{≡ 3 · 3 · 3 · 3}2₌ 33_{· 3}2(4)_{≡ (−3) · 3}2_{= −3}3 (5)_{≡ 3 mod 15.} Usamos de (2) a (5), a congruência obtida em (1) e a propriedade (ii) da Proposi¸cão anterior.

O resto ´e 3. Exemplo 28

Qual o resto da divis˜ao de 747 _{por 9?}

Temos 72_{= 49}_{≡ 4 mod 9, ent˜ao 7}3_{= 7}2_{· 7 ≡ 4 · 7 = 28 ≡ 1 mod 9.}

Portanto, 747_{= 7}3·15+2_{= (7}3₎15_{· 7}2_{≡ 1}15_{· 4 = 4 mod 9.}

O resto ´e 4.

Crit´erios de Divisibilidade

Seja a um n´umero inteiro positivo. Escrevendo a na base 10, temos a = amam−1. . . a1a0= am10m+ am−110m−1+· · · + a110 + a0, (⋆)

onde 0_{≤ a}m, . . . , a0≤ 9 e am6= 0.

Veremos como as potências de 10 se comportam módulo n, para n = 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11 e obteremos, respectivamente, critérios de divisi-bilidade por 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11.

Exemplo 29

Seja n = 2. Temos que 10≡ 0 mod 2. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), temos que 10j_{≡ 0}j _{= 0} _{mod 2, para todo j}_{≥ 1. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i)}

e (ii), obtemos:

a = amam−1. . . a1a0 = am10m+ am−110m−1+· · · + a110 + a0

≡ am· 0 + am−1· 0 + · · · + a1· 0 + a0 mod 2

= a0 mod 2.

Logo, a _{≡ a}0 mod 2 e o resto da divis˜ao de a por 2 ´e o mesmo resto da

divis˜ao de a0 por 2.

Exemplo 30

Seja n = 3. Temos que 10_{≡ 1 mod 3. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), temos} que 10j_{≡ 1}j _{= 1} _{mod 3, para todo j}_{≥ 1. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i)}

e (ii), obtemos:

≡ am· 1 + am−1· 1 + · · · + a1· 1 + a0 mod 3

(38)

Logo, a_{≡ a}m+ am−1+· · · + a1+ a0 mod 3 e o resto da divis˜ao de a por 3

´e o mesmo resto da divis˜ao de am+ am−1+· · · + a1+ a0 por 3.

Exemplo 31

Seja n = 4. Temos que 10 ≡ 2 mod 4, logo 102 _{≡ 2}2 _{= 4} _{≡ 0 mod 4.}

Assim, da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), para todo j≥ 3, temos 10j_{= 10}2_·10j−2_≡

0_{· 10}j−2_{= 0} _{mod 4. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i) e (ii), obtemos:}

≡ am· 0 + am−1· 0 + · · · + a1· 10 + a0 mod 4

= a1a0≡ 2a1+ a0 mod 4.

Logo, a≡ a1a0≡ 2a1+ a0 mod 4 e o resto da divis˜ao de a por 4 ´e o mesmo

resto da divisão de a1a0 por 4, equivalentemente, é o mesmo resto da divisão

de 2a1+ a0 por 4.

Por exemplo, 2379_{≡ 79 ≡ 2 · 7 + 9 = 23 ≡ 3 mod 4.} Exemplo 32

Seja n = 5. Temos que 10≡ 0 mod 5. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), temos que 10j_{≡ 0}j_{= 0} _{mod 5, para todo j}_{≥ 1. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i)}

e (ii), obtemos:

≡ am· 0 + am−1· 0 + · · · + a1· 0 + a0 mod 5

= a0 mod 5.

Logo, a ≡ a0 mod 5 e o resto da divis˜ao de a por 5 ´e o mesmo resto da

divis˜ao de a0 por 5.

Exemplo 33

Seja n = 9. Temos que 10_{≡ 1 mod 9. Da Proposi¸c˜ao 14 item (iii), temos} que 10j_{≡ 1}j_{= 1} _{mod 9, para todo j}_{≥ 1. Pela mesma Proposi¸c˜ao itens (i)}

e (ii), obtemos:

≡ am· 1 + am−1· 1 + · · · + a1· 1 + a0 mod 9

= am+ am−1+· · · + a1+ a0 mod 9.

Logo, a_{≡ a}m+ am−1+· · · + a1+ a0 mod 9 e o resto da divis˜ao de a por 9