Nesta se¸c˜ao iremos discutir sobre a existˆencia de uma curva B∗como na defini¸c˜ao de dom´ınio
admiss´ıvel limitado. Curva significa a imagem de uma aplica¸c˜ao do intervalo compacto [0, 1] sobre M (depois nos restringiremos apenas a aplica¸c˜oes cujas suas normas e de suas derivadas s˜ao limitadas em L2). Mais especificamente, sejam Ω um dom´ınio e B∈ ∂Ω um arco de classe
C1 com curvatura κ(B) =−2H com respeito `a Ω, queremos encontrar condi¸c˜oes que assegurem
a existˆencia de uma curva B∗ tal que B∪B∗ limite um dom´ınio ∆
B∗ e κ(B∗) = 2H com respeito
ao dom´ınio Ω∪ ∆B∗.
Nota¸c˜ao. Nesta se¸c˜ao ∆c denotar´a um dom´ınio cujo bordo ´e ∂∆c = B∪ c, onde c ´e uma
curva compacta e B∩ c = ∅. Consideremos o conjunto
C ={∆c; ∆c ´e um dom´ınio que possui bordo compacto ∂∆c = B∪ c onde c ´e uma curva compacta de per´ımetro finito e B∩ c = ∅}, Se o funcional definido no conjunto acima
F(∆c) = l(∂∆c)− 2HA(∆c), (10)
tem um dom´ınio minimizante ∆c, a curva c ´e como desejamos (∂∆c = B∪c, l(c) ´e o comprimento
da curva c e A(∆) ´e a ´area do conjunto ∆), isto ´e, κ(c) = 2H e o vetor curvatura de c aponta para dentro de ∆c. Escolhemos do sinal negativo no funcional F pois queremos que o vetor
curvatura de uma curva minimizante aponte na dire¸c˜ao oposta ao vetor curvatura de B, com rela¸c˜ao `a geod´esica ligando os pontos finais de B. Segundo esta orienta¸c˜ao, mostraremos que a curva minimizante c tem curvatura−2H. Isto ´e uma consequˆencia das f´ormulas de primeira varia¸c˜ao de comprimento e de ´area.
Suponhamos que para algum arco compacto c0, κ(p) > −2H, ∀ p ∈ c0. Existe um ǫ > 0
tal que ct
0 = {p ∈ M; dist(p, c0) = t para algum t com |t| < ǫ} s˜ao curvas suaves folheando
uma vizinhan¸ca U de c0. Seja Y o campo de vetores unit´ario normal `a folhea¸c˜ao ct0, Y tendo a
mesma orienta¸c˜ao que o vetor curvatura de c0. Ent˜ao temos
div(Y ) =−κt,
onde div ´e o divergente em M e κt´e a curvatura de ct0.
Seja ϕ : [0, 1] → M, tal que ϕ([0, 1]) = c0. Seja fδ : [0, 1] → R fun¸c˜ao suave, com
fδ≥ 0, fδ(0) = fδ(1) = 0, fδ(t) = 1, t∈ [δ, 1 − δ], 0 < δ < 1. Fazendo uma varia¸c˜ao segundo o
campo vetorial fδY e denotando por ct a curva formada por retirar a curva c0 e colocar a curva
imagem da varia¸c˜ao pelo campo fδY no instante t, t∈ (−ǫ, ǫ), podemos supor ǫ > 0, pequeno
o suficiente de forma que o dom´ınio ∆ct esteja contido em C . Denotemos por ds o comprimento
de arco de c, e dA o elemento de ´area de M. Aplicando ent˜ao as f´ormulas da primeira varia¸c˜ao de arco e de ´area, d dt|t=0F(∆ct) =− Z c div(fδY )ds− 2H Z c fδdA,
por uma lado,
d
dt|t=0F(∆ct) = 0,
j´a que ∆c ´e um dom´ınio minimizante para F . Por outro lado, podemos diminuir δ de forma
que − Z c div(fδY )ds− 2H Z c fδdA 6= 0,
j´a que κ(p) >−2H, ∀ p ∈ c0. O que nos permite concluir que um tal arco c0 n˜ao existe.
Ent˜ao precisamos entender em qual subconjunto de C n´os devemos definir este funcional a fim de provarmos a existˆencia de um dom´ınio minimizante. Depois, n´os mostraremos que o interior da curva c = ∂∆c − B ´e de fato suave.
Afirma¸c˜ao 4.8. Suponhamos que existe um dom´ınio ∆S ∈ C tal que, S ´e suave e κ(S) ≥
2H + δ, para algum δ > 0. Ent˜ao, se existe um dom´ınio minimizante ∆c ∈ C de (10) ent˜ao
∆c ⊂ ∆S.
Demonstra¸c˜ao. Seguiremos algumas id´eias de [19] (Se¸c˜ao 3). Seja S0 ⊂ S um arco compacto,
Ent˜ao existe um ǫ > 0 tal que St
0 = {p ∈ M; dist(p, S0) = t para algum t com |t| < ǫ} s˜ao
curvas suaves folheando uma vizinhan¸ca U de S0, dist denota a fun¸c˜ao distˆancia com sinal, isto
´e, dist(p, S0) > 0 significa que p est´a no lado convexo de S0 e dist(p, S0) < 0 significa que p est´a
do outro lado. Seja Y o campo de vetores unit´ario normal `a folhea¸c˜ao St
0, Y tendo a mesma
orienta¸c˜ao que o vetor curvatura de S0. Ent˜ao temos
div(Y ) =−κt,
onde div ´e o divergente em M e κt ´e a curvatura de S0t. Ent˜ao, podemos escolher U (isto ´e, ǫ)
de modo que, div(Y ) =−κt<−2H − δ + δ = −2H, |t| < ǫ. (11) S0 e S0 B η0 e η S
Seja ∆η ∈ C um dom´ınio compacto, tal que, η∩U− = η0 6= ∅, U− =
[
−ǫ<t≤0
St
0. N´os podemos
cada componente conexa do conjunto limitado por η0∪ eS0. Ent˜ao por (11) e pelo Teorema de Stokes, Z ∆η0 divY = Z ∂∆η0 hY, νi = Z e S0 hY, Y i + Z η0
hY, νi < −2HA(∆η0),
=⇒ −l( eS0) + l(η0)− 2HA(∆η0) > 0 (12)
onde ν ´e o vetor conormal apontando para fora de ∂∆η0. Agora podemos aplicar F no
dom´ınio ∆η, escrevemos η = eη∪ η0, com eη e η0 sem interse¸c˜ao de pontos interiores. Ent˜ao,
l(η∪ B) − 2HA(∆η)
= l(eη∪ B) + l(η0)− 2HA(∆η0)− 2HA(∆η ∩ ∆S)
= l(eη∪ B) + l(η0)− l( eS0) + l( eS0)− 2H A(∆η0) +A(∆eη∪ eS0) > l(eη∪ B) + l( eS0)− 2HA(∆η∪ ee S0) = l(eη∪ B ∪ eS0)− 2HA(∆eη∪ eS0),
a desigualdade vem por (12). Portanto, se estamos apenas buscando por dom´ınios minimizantes de F n´os podemos nos restringir `a dom´ınios contidos em ∆S.
Observa¸c˜ao 4.9. Um argumento similar mostra que c∩ S = ∅ se ∆c ´e minimizante para F .
Afirma¸c˜ao 4.10. Seja γ a geod´esica que liga os pontos finais de B. Ent˜ao a curva c do bordo de um dom´ınio minimizante ∆c est´a contida no dom´ınio limitado por γ ∪ S. Para algum S
como na Afirma¸c˜ao 4.8.
Demonstra¸c˜ao. Fixemos S como na Afirma¸c˜ao 4.8. Suponhamos que algum arco ec ⊂ c est´a no dom´ınio limitado por B∪ γ. Ent˜ao para algum arco eγ ⊂ γ, eγ ∪ ec limita um dom´ınio. N´os observamos que a curva c′ = (c−ec)∪eγ (se c ⊂ ∆
γ c′ = γ) satisfaz l(c′) < l(c) eA(∆c′)≥ A(∆c).
Isto implica em F (∆c′)≤ F (∆c), o que contraria as hip´oteses.
c eγ ec B S γ
A pr´oxima afirma¸c˜ao nos d´a uma limita¸c˜ao no comprimento da curva c contida no bordo de um dom´ınio minimizante ∆c.
Afirma¸c˜ao 4.11. A fim de encontrar um dom´ınio minimizante ∆c ∈ C , n´os podemos supor
que l(c∪ B) < l(S ∪ B) + 2HA(∆S). Para algum S como na Afirma¸c˜ao 4.8.
Demonstra¸c˜ao. Fixemos S como na Afirma¸c˜ao 4.8. Se l(c∪ B) ≥ l(S ∪ B) + 2HA(∆S) ent˜ao
l(c∪ B) − 2HA(∆c) ≥ l(S ∪ B) + 2HA(∆S)− 2HA(∆c)
> l(S∪ B)
≥ l(S ∪ B) − 2HA(∆S),
a segunda desigualdade ´e uma consequˆencia de que ∆c ⊂ ∆S, pela Afirma¸c˜ao 4.8 e pela
Observa¸c˜ao 4.9. Ent˜ao podemos supor que l(c∪ B) ´e como na Afirma¸c˜ao.
Agora podemos especificar o subconjunto de C onde F ser´a definido para mostrarmos a existˆencia de um conjunto minimizante para F . Fixemos algum S, S como na Afirma¸c˜ao 4.8. Definimos
E ={∆c ∈ C ; ∆c ⊂ ∆S, l(c∪ B) < l(S ∪ B) + 2HA(∆S)}.
A partir de agora, suporemos que F est´a definido no conjunto E . N´os observamos que F ´e limitado por baixo por−2HA(∆S), caso contr´ario, poder´ıamos encontrar um dom´ınio ∆c tal
que
l(c∪ B) − 2HA(∆c) <−2HA(∆S)
⇒ l(c ∪ B) − 2HA(∆c) + 2HA(∆S) < 0,
o que ´e imposs´ıvel, j´a que, −2HA(∆c) + 2HA(∆S)≥ 0. Al´em disso, como l(c ∪ B) e A(∆c) s˜ao
uniformemente limitados para todos ∆c ∈ E um teorema de compacidade, veja [13] (se¸c˜ao 5.5
), assegura que o conjunto E ´e compacto, ent˜ao existe um dom´ınio minimizante para F em E . Agora, n´os devemos mostrar que o interior da curva c contida no bordo do dom´ınio mini- mizante ∆c ´e de fato suave. N´os provaremos algumas desigualdades, com o objetivo de aplicar-
mos um teorema de regularidade encontrado em [2] (Main Theorem). Seguiremos, [13] (se¸c˜ao 3).
Lema 4.12. Seja ∆c um dom´ınio minimizante para F , para qualquer outro ∆c′ ∈ E a mudan¸ca
no comprimento e ´area satisfazem
l(c′)− l(c) ≥ −2H|A(∆c)− A(∆c′)|. (13)
Al´em disso, existem constantes δ, M > 0, tais que para qualquer ∆c′ ∈ E que satisfazem
(∆c′ − (∆c∩ ∆c′))⊂ Br, onde Br ´e uma bola de raio r≤ δ,
l(c∩ Br)≤ (1 + Mr)l(c′ ∩ Br). (14)
Finalmente, seja γ a geod´esica que liga os pontos finais de B. Seja Br uma bola de raio
em Br que tem os mesmos pontos finais que eγ, tal que, a curva γ′ = (γ − eγ) ∪ γ limita um
dom´ınio ∆γ′ ∈ E . Ent˜ao,
(1− λ−1)l(γ)− 2HA(∆
γ)− (1 − λ−1)l(γ′) + 2HA(∆γ′)≤ w(r)l(γ′), (15)
onde w(r) tende `a zero quando r tende `a zero e λ−1 ≤ 1.
Demonstra¸c˜ao. Nesta prova usaremos muitas constantes, por simplicidade, n˜ao trocaremos seus nomes regularmente.
Escolhemos coordenadas locais em torno de p∈ ∆c, com p na origem de R2, tal que
|gij − δij| ≤ Mδij(x),
onde gij ´e a m´etrica de M, δij = 1, i = j e δij = 0, i 6= j. Observamos que M depende de p,
por´em a compacidade de ∆c nos permite escolher M independente de p∈ ∆c.
Como ∆c ´e um dom´ınio minimizante, temos
l(c)− 2HA(∆c)≤ l(c′)− 2HA(∆c′), ent˜ao, l(c)− l(c′)≤ 2HA(∆ c)− 2HA(∆c′), portanto, l(c′)− l(c) ≥ −2H|A(∆ c)− A(∆c′)|.
Vamos provar a segunda desigualdade. Em uma pequena vizinhan¸ca de cada ponto de ∆c,
como fixada no in´ıcio da prova, existe uma constante M, tal que l(c′ ∩ B
r)− l(c ∩ Br)≥ −2H|A(∆c)− A(∆c′)| ≥ −MA(Br)≥ −Mr2. (16)
N´os observamos que a compacidade de c nos permite escolher M independente de p (talvez tenhamos que reduzir δ).
Em R2 n´os temos a desigualdade isoperim´etrica
e
A(∆) ≤ M(el(∂∆))2,
onde ∆ ´e algum dom´ınio com bordo compacto, eA ´e a area Euclidiana e el ´e o comprimento Euclidiano. Como n´os estamos lidando com pequenas bolas de raio r ≤ δ centradas em pontos p∈ c, existe uma constante M1 > 0, tal que
A(∆) ≤ (1 + M1r)2A(∆)e
≤ M(1 + M1r)2el2(∂∆)
≤ M(1 + M1r)3l2(∂∆)
N´os estamos tratando de dom´ınios contidos em ∆S, S como na Afirma¸c˜ao 4.8. Assim, n´os
podemos considerar o conjunto compacto ∆S∪S ∪B e encontrarmos um δ > 0 e uma constante
f
M independente de p∈ ∆S∪ S ∪ B tal que a condi¸c˜ao
A(∆) ≤ fM l2(∂∆) ´e v´alida para todo ∆⊂ Br, r < δ.
Usando esta desigualdade na bola Br onde a mudan¸ca foi feita, temos
l(c∩ Br)− l(c′∩ Br) ≤ 2H|A(∆c∩ Br)− A(∆c′ ∩ Br)|
= 2H|A(∆c)− A(∆c′)|
≤ 2HA(∆c′ ∪ ∆c − (∆c′∩ ∆c))
≤ M(l(c′∩ B
r) + l(c∩ Br))2.
Ent˜ao, a ´ultima desigualdade e (16) nos d˜ao
l(c∩ Br)− l(c′∩ Br)≤ M2r(l(c′ ∩ Br) + l(c∩ Br)), ent˜ao l(c∩ Br) ≤ (1 + M2r) 1− M2r l(c′∩ B r) = 1 + 2M2r 1− M2r l(c′∩ B r) ≤ 1 + 2M2r 1− M2δ l(c′∩ Br) ≤ (1 + M3r)l(c′∩ Br), aqui M3 = 2M2 1− M2δ
e, se necess´ario, n´os mudamos δ de modo que 1− M2δ > 0.
Vamos mostrar a desigualdade (15). Temos que l(γ)≤ l(γ′),
j´a que γ ´e uma geod´esica. Ent˜ao, a desigualdade (15) estar´a provada se 2H(A(∆γ′)− A(∆γ))≤ w(r)l(γ′).
Observamos que o mesmo argumento feito para provar a segunda desigualdade deste lema pode ser aplicado aqui para obtermos a desigualdade desejada.
A pr´oxima proposi¸c˜ao mostra a existˆencia de cones minimizantes sobre cada ponto do interior de c.
Proposi¸c˜ao 4.13. Sejam ∆c um dom´ınio minimizante e p ∈ c. Ent˜ao a densidade de c em
p existe e ´e ao menos 1. Em cada ponto p, c tem um cone tangente C no espa¸co tangente `a M em p. Al´em disso, o cone C ´e minimizante para comprimento. Existe uma constante M tal que se el(c∩ Br) denota o comprimento Euclidiano de de c∩ Br, ent˜ao
r−1el(c ∩ B r)eM r
´e monotonicamente n˜ao decrescente.
Demonstra¸c˜ao. Escolhemos coordenadas locais em torno de p, com p na origem de R2, tal que
|gij − δij| ≤ M|x|,
onde gij ´e a m´etrica de M, δij = 1, i = j e δij = 0, i 6= j. Observamos que M depende de p,
por´em a compacidade de c nos permite escolher M independente de p∈ c. Seja eC o cone Euclidiano sobre o bordo de Br∩ c. Pelo lema anterior,
l(c∩ Br)≤ (1 + Mr)l( eC).
N´os denotamos el(η) o comprimento Euclidiano da curva η. ´E poss´ıvel mostrar que ([13], p´agina 90)
el( eC)≤ rdel(c) dr ,
assim, observando a rela¸c˜ao entre a m´etrica Euclidiana e a m´etrica de M, obtemos el(c ∩ Br) ≤ (1 + Mr)l(c ∩ Br) ≤ (1 + Mr)2l( eC) ≤ (1 + Mr)3el( eC) ≤ (1 + Mr)3rdel(c∩ Br) dr ≤ (1 + 4Mr)rdel(c∩ Br) dr ,
o ´ultimo passo ´e poss´ıvel, j´a que, r ´e pequeno. Usando 1 ≥ 1−(4Mr)2, esta ´ultima desigualdade
implica em
rdel(c∩ Br)
dr ≥ el(c ∩ Br)(1− 4Mr). Tomando fM = 4M, n´os conclu´ımos que
´e monotonicamente n˜ao decrescente.
Pela monotonicidade acima, a densidade Euclidiana dada por lim
r→0
el(c ∩ Br)
2r existe. Pela rela¸c˜ao entre a m´etrica Euclidiana e a m´etrica de M, a densidade com respeito `a m´etrica de M tamb´em existe. Al´em disso para quase todos pontos em c esta densidade existe e ´e ao menos 1, portanto conclu´ımos que esta densidade existe em p e ´e ao menos 1 em todos pontos de c.
Para cada r, pequeno, n´os fazemos expans˜oes homot´eticas de c∩Br, (Br uma bola em torno
da origem de R2) pelo fator r−1, n´os denotaremos estas expans˜oes por µ
r−1. Notemos que o
comprimento da imagem por estas expans˜oes homot´eticas satisfazem, pela monotonicidade, el(µr−1(c∩ Br)) = el(c∩ Br)r−1 = el(c∩ Br)r−1 eM r eM r ≤ el(c ∩ Br0)r −1 0 eM r0 eM r0 = el(c∩ Br0)r −1 0 ,
para r < r0. Ent˜ao largas expans˜oes de c∩ Br tˆem comprimento limitado. Isto implica, por
um teorema de compacidade (veja [13], se¸c˜ao 5.5), que existe um limite C destas expans˜oes homot´eticas. Al´em disso, como a curvatura tende `a zero sobre estas expans˜oes homot´eticas e c ´e o bordo de um conjunto minimizante, temos que a curva C ´e minimizante para comprimento. Tamb´em observamos que,
µr−1C = C,
o que nos diz que C ´e um cone em p.
A existˆencia destes cones em cada ponto p∈ c implica em um teorema de regularidade para c. N´os observamos que, como C ´e um uni-dimensional cone minimizante para o comprimento, ent˜ao C ´e na realidade uma linha, see [13] (Theorem 10.1).
Proposi¸c˜ao 4.14. Seja ∆c um dom´ınio minimizante para F . Se existe uma linha tangente `a
c em p, ent˜ao c ´e suave em uma vizinhan¸ca de p∈ c.
Demonstra¸c˜ao. Esta prova segue de [2] (Main Theorem). N´os podemos aplicar o teorema de regularidade em [2] j´a que n´os temos que ∆c ´e minimizante (portanto, “almost minimal”). E
a desigualdade (15) diz que ∆c ´e λ el´ıptico, para λ−1 ≤ 1. O teorema de regularidade em [2]
(Remark, p´agina 129)assegura que, se:
(i) a densidade em c tem um m´ınimo local, e
(ii) algum cone orientado tangente `a c em p ´e uma linha, ent˜ao c ´e suave em uma vizinhan¸ca de p.