Gráficos de Curvatura Média Constante com Valores de Bordo ilimitados em M R. Abigail Silva Duarte Folha

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Gr´aficos de Curvatura M´edia Constante com Valores de Bordo ilimitados em M_{× R}

Abigail Silva Duarte Folha

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós gradua¸cão em Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos

requi-sitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor

em Ciˆencias. .

Orientadores: Maria Fernanda Elbert Guimar˜aes Harold Rosenberg

Rio de Janeiro Abril de 2010

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Resumo

Gr´aficos de Curvatura M´edia Constante com Valores de Bordo ilimitados em M_{× R}

Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Ciências.

Nós consideraremos M uma superf´ıcie completa, simplesmente conexa com curvatura seccio-nal não positiva limitada por cima por uma constante−a < 0. Nós tomamos um dom´ınio Ω em M_{. Quando Ω é um dom´ınio limitado, nós obtemos condi¸cões na geometria de Ω que garantem} a existência de um gráfico com curvatura média constante 0 < H <

√ a

2 em M× R ( M × R munido da m´etrica produto) com valores de bordo, possivelmente, ilimitados.

Em um trabalho em parceria com Sofia Melo, foi considerado o caso em que M tem curvatura seccional constante −1, ou seja, M é o plano Hiperbólico H, e Ω é um dom´ınio ilimitado e nós obtivemos novamente condi¸cões que garantem a existência de gráficos com curvatura média constante 0 < H < 1

2 e valores de bordo, possivelmente, ilimitados.

Palavras Chave: Gr´aficos, Curvatura M´edia Constante, Problema de Dirichlet.

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Abstract

Constant Mean Curvature Graphs with boundary values possibly infinite in M_{× R}

Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Ciências.

We consider M a complete simply connected surface having non positive curvature bounded above by a negative constant−a < 0. We take a domain Ω in M. When Ω is a bounded domain we find conditions on the geometry of Ω which assures the existence of a graph having constant mean curvature 0 < H <

√ a

2 in M× R ( M × R with the product metric) with boundary values, possibly, infinite.

In a joint work with Sofia Melo, we consider the case where M has constant curvature −1, that is, M is the Hyperbolic plane H, and Ω is an unbounded domain and we again obtain conditions which assures the existence of graphs having constant mean curvature 0 < H < 1 2 and boundary values, possibly, infinite.

Key words: Graphs, Constant Mean Curvature, Dirichlet Problem.

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Agradecimentos

Iniciarei agradecendo aos professores que me ministraram cursos, que foram importantes na minha forma¸cão. Aos professores de Universidade Federal do Rio de Janeiro, Walcy Santos, Maria Fernanda Elbert, Alexander Arbieto, Bruno Scárdua e Vitor Araujo. Ao professor Ri-cardo Sá Earp, da Pontif´ıcia Universidade Católica do Rio de Janeiro, por sua aten¸cão e por compartilhar comigo um pouco de sua cultura matemática em cursos e seminários realizados na PUC-Rio. Aos professores José Espinar e Harold Rosenberg que generosamente dividiram seus conhecimentos em cursos e seminários no IMPA.

Sou uma pessoa de sorte e tive dois ótimos orientadores. Maria Fernanda Elbert Guimarães, a quem agrade¸co pela orienta¸cão e honestidade em diversas conversas, não apenas matemáticas. E o professor Harold Rosenberg, ao qual sou enormemente grata por sua amigável aten¸cão, e por todo conhecimento compartilhado durante este per´ıodo.

Agrade¸co a todos colegas e funcionários da pós-gradua¸cão, que durante estes anos compar-tilharam seu tempo comigo.

A meu pai, m˜ae e irm˜aos sou grata pelo conv´ıvio e aprendizado eterno.

Agrade¸co ao Carlos por me acompanhar, aconselhar e me tolerar durante estes anos. Existem amigas que mesmo distantes são fundamentais, Cátia, Jaqueline e Verônica obri-gada por sempre estarem ao meu lado.

`

A pós-gradua¸cão em matemática da UFRJ, às agências de fomento CAPES e FAPERJ, agrade¸co por terem tornado viável meus estudos.

Terminarei, demonstrando minha gratidão à Deus, pois entendo que todas as pessoas e institui¸cões acima mencionadas fazem parte da minha história por permissão dele.

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Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Preliminares 3

3 Problema de Dirichlet Cl´assico para

Gr´aficos de Curvatura M´edia Constante 4

3.1 Existência de Supersolu¸cões e Subsolu¸cões . . . 4

3.2 Fórmulas do Fluxo . . . 8 3.3 Princ´ıpios do Máximo . . . 14 3.4 Barreiras . . . 18 3.5 Teorema de Compacidade . . . 22 3.6 Teorema de Existência . . . 22 4 Teorema em M_{× R} 26 4.1 Defini¸cões e Enunciados Principais . . . 26

4.2 A Curva B∗ _{. . . 28}

4.3 Preliminares ao Teorema . . . 36

5 Teorema em H_{× R} 44 5.1 Verifica¸c˜ao das Condi¸c˜oes do Teorema . . . 47

5.2 Linhas de Divergˆencia . . . 53

5.3 Prova dos Teoremas 5.7 e 5.8 . . . 59

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1 Introdu¸

c˜

ao

O objetivo desta tese é mostrar condi¸cões sobre as quais existem gráficos de curvatura média constante H > 0 com valores de bordo, possivelmente, ilimitados sobre uma variedade Riemanniana M completa simplesmente conexa de curvatura negativa limitada por cima por uma constante _{−a < 0.}

Primeiro, precisamos saber quando temos um gráfico de curvatura média H sobre um dom´ınio D assumindo valores de bordo cont´ınuos. Observemos que para cada dom´ınio fixado D_{⊂ M é poss´ıvel encontrar H > 0 grande tal que não existe um gráfico sobre D de curvatura} média H, veja paragrafo após a demonstra¸cão da Proposi¸cão 3.3. Porém mostraremos que para H > 0 suficientemente pequeno, existem subsolu¸cões, supersolu¸cões limitadas e boas barreiras, assim, o Método de Perron nos dará a existência de tais gráficos, veja se¸cões 3.1, 3.4 e 3.6.

Sabendo sobre a existência de solu¸cões em um dom´ınio D com valores de bordo cont´ınuos, precisamos garantir a existência de gráficos com valores de bordo +∞ e −∞. Suponhamos que D é um dom´ınio limitado, e que ∂D é de classe C2,α _{por partes e é composto de três fam´ılias de}

arcos de classe C2,α_,_{A

k}, {Bl}, {Cm}. Prescreveremos os valores de bordo +∞ sobre cada

arco Ak, −∞ sobre cada arco Bl e uma fun¸c˜ao cont´ınua f sobre a fam´ılia{Cm}. Uma primeira

restri¸cão ao bordo de dom´ınio, vem das estimativas de curvatura (Lema 3.13), que nos permite concluir que se uma solu¸cão se estende ao bordo com valor +_{∞ sobre algum arco do bordo} A, então a curvatura de A é κ(A) = 2H. Similarmente, se uma solu¸cão possui o valor −∞ sobre algum arco B do bordo de D, então a curvatura de B é κ(B) =_{−2H. E a curvatura dos} arcos da fam´ılia _{Cm} deve ser ≥ 2H (Teorema 3.31). Além disso, suporemos que dois arcos

das fam´ılias {Ak}, ou da fam´ılia {Bl}, n˜ao podem ter o mesmo ponto final. E finalmente, as

seguintes desigualdades devem ser satisfeitas

2α(_{P) < l(P) + 2HA(Ω}_P), 2β(_{P) < l(P) − 2HA(Ω}_P),

onde P ´e um pol´ıgono limitado admiss´ıvel (veja defini¸c˜ao 4.4), ΩP o dom´ınio limitado por P,

α(_{P) =} X

k

|Ak∩ P|, β(P) =

X

l

|Bl∩ P|, A(Ω) é a área de Ω e l(P) é o per´ımetro de P. Além

disso se a fam´ılia_{Cm} ´e vazia, devemos ter tamb´em

α(∂D) = β(∂D) + 2H_A(D),

Mostraremos que um dom´ınio com as propriedades acima possui uma solu¸cão assumindo os valores de bordo prescritos, se e somente se, as desigualdades anteriores são satisfeitas (Teo-remas 4.6 e 4.7). Esta solu¸cão é encontrada tomando uma sequência de solu¸cões com valores limitados e mostrando que a sequência converge à uma solu¸cão. Neste caso, a convergência será consequência do Princ´ıpio do máximo e do Teorema da Convergência Monótona.

Em um trabalho em conjunto com Sofia Melo, foi considerado M = H, onde H é o espa¸co Hiperbólico, e o dom´ınio D _{⊂ H um dom´ınio admiss´ıvel ideal, veja Defini¸cão 5.1. O mais} natural seria que as condi¸cões de existência fossem similares às do caso compacto. A dificuldade neste caso consiste em encontrar quais condi¸cões devem ser satisfeitas, já que neste caso o comprimento dos arcos do bordo do dom´ınio são ilimitados e a área pode também ser ilimitada.

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Uma formula¸cão foi obtida nos Teoremas 5.7 e 5.8 e com estas condi¸cões mostramos que existe uma solu¸cão assumindo os valores de bordo continuamente. Para a obtermos uma solu¸cão neste caso, não utilizamos um principio do máximo para compararmos a sequência de solu¸cões com valores de bordo limitados. Usamos um método conhecido como de linhas de divergência, se¸cão 5.2. Este método nos permite obter subsequências convergentes sem a ajuda de um princ´ıpio do máximo.

Scherk mostrou a existˆencia de uma superf´ıcie m´ınima definida sobre o quadrado Q = {(x, y) ∈ R2_;_{|x| <} π

2,|y| < π

2}, por Ψ(x, y) = log(cos y) − log(cos x), cujos valores de bordo são _{±∞ em lados alternados do quadrado. Após isso, Jenkins e Serrin provaram sob quais} condi¸cões sobre um dom´ınio em R2_{, existe um gráfico m´ınimo com valores de bordo ilimitados,}

[11]. Teoremas neste sentido ficaram conhecidos como teoremas tipo Jenkins-Serrin e foram generalizado para o caso de S _{× R, S a esfera de curvatura constante, por Harold Rosenberg} em [18]. Barbara Nelli e Harold Rosenberg fizeram o estudo para H _{× R, [16], em dom´ınios} limitados. Para dom´ınios ilimitados em H, temos um artigo de Pascal Collin e Harold Rosen-berg, [4], e sobre dom´ınios ideais mais gerais temos o artigo [15] de Laurent Mazet, Magdalena Rodr´ıguez e Harold Rosenberg , que trata também de casos em variedades Riemannianas. Ana Lucia Pinheiro, trabalhou em dom´ınios limitados, geodesicamente convexos em M× R, M uma variedade Riemanniana completa. [17]. Quando M é uma variedade simplesmente conexa, completa com curvatura negativa limitada por cima uma constante −a < 0, José Gálvez e Harold Rosenberg obtiveram resultados para dom´ınios ideais em [7].

Quando H > 0, Joel Spruck considerou dom´ınios limitados em R2_{, [22]. Em dom´ınios}

limitados em H e S temos o artigo de Laurent Hauswirth, Harold Rosenberg e Joel Spruck [9], o qual tentamos generalizar neste trabalho em duas dire¸cões. A primeira ao considerar M uma variedade de curvatura seccional não constante e a segunda ao encontrar condi¸cões, no caso em que M = H para dom´ınios ideais.

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2 Preliminares

Ao longo desta tese trabalharemos basicamente com dois espa¸cos produto munidos da métrica produto. O primeiro deles é H × R onde H é o Espa¸co Hiperbólico, isto é, uma variedade completa, simplesmente conexa, de dimensão dois e de curvatura seccional constante −1. Existem dois modelos que serão usados ao longo do texto, o do semi espa¸co e o do disco.

O modelo do semi espa¸co ´e definido por

H₌_{{(x, y) ∈ R}2_{; y > 0}_}, munido da m´etrica

ds2 = 1 y2(dx

2 _{+ dy}2_).

O modelo do disco ´e o disco unit´ario aberto

H₌_{{(x, y) ∈ R}2_{; x}2_{+ y}2 _{< 1}_}, com m´etrica dada por

ds2= 4

1_{− (x}2_{+ y}2₎(dx

2_{+ dy}2_).

O outro espa¸co que consideraremos é o espa¸co produto M× R, onde M é uma variedade completa, simplesmente conexa, de dimensão dois e de curvatura negativa limitada por cima por uma constante negativa, digamos, _{−a. A métrica considerada nestes espa¸cos é a métrica} produto.

Seja D um dom´ınio em M, ou seja, um conjunto aberto, conexo e simplesmente conexo. Consideremos uma fun¸c˜ao de classe C∞_{, u : D} _{→ R. Estamos interessados em estudar gr´aficos}

G(u) = {(x, y, u(x, y)); (x, y) ∈ D}

com certas propriedades que serão esclarecidas no decorrer do texto. A primeira propriedade exigida é que o gráfico de u tenha curvatura média constante. Mostra-se que o gráfico G(u) tem curvatura média constante H se a fun¸cão suave u satisfaz a seguinte equa¸cão

M(u) = div ∇u W (u) = 2H, (1)

onde W (u) = p1 +|∇u|2_{, o gradiente, o divergente e a norma são com respeito à M. Além}

disso, o vetor normal ao gráfico é escolhido apontando para cima (Observa¸cão 2.1), esta será a nossa escolha ao longo de toda tese. Uma fun¸cão u que satisfaz essa equa¸cão será chamada solu¸cão em D.

Observa¸cão 2.1. Quando trabalhamos com gráficos existem duas escolhas de vetor normal, o que aponta para cima ou o que aponta para baixo . Eles são dados respectivamente por

N = −p ∇u 1 +|∇u|, 1 p 1 +|∇u| ! e N = p ∇u 1 +|∇u|, −1 p 1 +|∇u| ! . Nossa escolha de normal ser´a o normal unit´ario apontando para cima.

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3 Problema de Dirichlet Cl´

assico para

Gr´

aficos de Curvatura M´

edia Constante

O objetivo central desta se¸cão é mostrar a existência de uma solu¸cão para o Problema de Dirichlet Clássico, veja Teorema 3.34. A fim de obter tal solu¸cão, mostraremos alguns resultados que são importantes por si somente, como por exemplo, o princ´ıpio do máximo. Iniciaremos com a defini¸cão do problema.

Defini¸cão 3.1 (Problema de Dirichlet Clássico). Sejam D um dom´ınio em M com bordo de classe C1 _{por partes e f : ∂D} _{→ R uma fun¸cão cont´ınua. O problema de Dirichlet clássico}

consiste em encontrar uma fun¸c˜ao u : ∂D_{∪ D → R, u ∈ C}2_(D)_{∩ C}0_(D _{∪ ∂D) tal que u ´e}

uma solu¸c˜ao de (1) em D e u|∂D = f .

Apesar se não havermos colocado nenhuma hipótese sobre a curvatura dos arcos do bordo de D ao enunciarmos o problema, ao solucioná-lo deveremos fazer algumas restri¸cões. Tais restri¸cões aparecerão no Teorema 3.31.

Uma defini¸cão que será útil ao resolvermos o Problema de Dirichlet Clássico é a seguinte, Defini¸cão 3.2. Sejam D um dom´ınio em M e h : D → R uma fun¸cão suave.

1. h ´e uma subsolu¸c˜ao de (1) em D se

div _p ∇h 1 +_{| ∇h|}2

!

≥ 2H.

2. h ´e uma supersolu¸c˜ao de (1) em D se

div _p ∇h 1 +_{| ∇h|}2

!

≤ 2H.

Para obtermos uma solu¸cão para o Problema de Dirichlet Clássico come¸caremos construindo sequências “apropriadas” (sequências de subsolu¸cões). Após isso, compararemos os elementos da sequência constru´ıda utilizando o Principio do Máximo. Sabendo comparar os elementos dessa sequência, garantiremos a existência de alguma subsequência que converge à uma solu¸cão pelo Teorema de Compacidade. Finalmente, mostraremos que a solu¸cão tem o valor de bordo prescrito, para isto, construiremos barreiras.

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Tomaremos uma coordenada em M que nos permitirá mostrar a existência de subsolu¸cões de (1) em D ⊂ M. Seja γ(t) uma geodésica completa em M com hγ′_{(t), γ}′_(t)_{i = 1, t ∈ R.}

Ent˜ao

ϕ(s, t) = exp_γ(t)(sJ(γ′_{(t))), (s, t)} _{∈ R}2_,

é uma parametriza¸cão de M, onde J denota a rota¸cão de π

2, tal que {v, Jv}, v ∈ TpM, é uma base positiva de TpM, TpMé o plano tangente à M em p. Observemos que

h∂s, ∂si(s, t) = 1 and h∂s, ∂ti(s, t) = 0,

definiremos G(s, t) :=_h∂t, ∂ti(s, t). Além disso, como γ é uma geodésica e |γ′(t)| = 1, ∀ t ∈ R,

temos

G(0, t) = 1 and Gs(0, t) = 0, (2)

onde Gs ´e a derivada de G com respeito `a s.

Neste caso a m´etrica induzida por ϕ em M, ´e ds2+ G(s, t)dt2.

Para p ∈ M, escreveremos p = (s, t) significando que ϕ((s, t)) = p.

Vamos nos restringir ao caso em que D é limitado. Assim sendo, podemos supor que D_{⊂ {(s, t) ∈ M ; s > 0}. Consideremos fun¸cões h : D → R que não dependem do parâmetro} t, isto é, h(s, t) = h(s). Como h é uma fun¸cão só de s temos que h é uma solu¸cão de (1) se

2H = div p ∇h 1 +|∇h|2 ! = div phs∂s 1 + h2 s ! = p hs 1 + h2 s ! s + Gs 2G hs p 1 + h2 s = hss(1 + h 2 s)− hssh2s (1 + h2 s) 3 2 + Gs 2G hs(1 + h2s) (1 + h2 s) 3 2 = Gshs(1 + h 2 s) + 2Ghss 2G(1 + h2 s) 3 2 ,

onde hs denota a derivada de h com respeito à s. Em particular, h é uma subsolu¸cão em D se

Gshs(1 + h2s) + 2Ghss 2G(1 + h2 s) 3 2 ≥ 2H. (3) Se hs> 0, (3) ´e equivalente `a Gs G ≥ 4H(1 + h2 s) 3 2 − 2h_ss hs(1 + h2s) . (4)

Seguindo algumas ideias de [7](Proposition 3.1), provaremos a existˆencia de subsolu¸c˜oes de (1).

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Proposi¸c˜ao 3.3. Seja D ⊂ {(s, t); s > 0} um dom´ınio limitado. Para H ≤ √

a

2 , existe uma subsolu¸c˜ao em D.

Para demonstrar esta proposi¸c˜ao necessitaremos de um lema.

Lema 3.4. Sejam D _{⊂ {(s, t) ∈ M; s > 0} e h(s, t) = h(s) uma fun¸c˜ao suave definida para} s > 0. Suponha que hs > 0. 1. Se h satisfaz 4H(1 + h2 s) 3 2 − 2h_ss hs(1 + h2s) ≤ 2√a tanh (√as), (5)

então h é uma subsolu¸cão de (1) em D. Demonstra¸cão. Como a métrica de M é dada por

ds2+ G(s, t)dt2, a curvatura Gaussiana de D _{⊂ M ´e dada por}

K(s, t) =₋1 4 Gs G 2 −1₂ Gs G s ≤ 0, (s, t) ∈ Ω. (6)

Sabemos que K(s, t)_{≤ 0 porque a curvatura Gaussiana de M é negativa.} Afirma¸cão 3.5. Se existe uma fun¸cão real positiva eG tal que

Gs G 2 + 2 Gs G s ≥ Ges e G !2 + 2 Ges e G ! s , e Gs e G > 0, s > 0, e Gs e G ! s > 0, s_{≥ 0 e} Gs G(0) = e Gs e G(0) = 0. Ent˜ao Gs G ≥ e Gs e G, ∀ s > 0.

Demonstra¸c˜ao. Para facilitar a nota¸c˜ao escreveremos, f = Gs

G, g = e Gs

e

G. As hip´oteses da afirma¸c˜ao se escrevem como

f2+ 2fs ≥ g2+ 2gs, f (0) = g(0) = 0, g > 0, ∀s > 0, gs> 0.

A equa¸c˜ao acima pode ser escrita como,

(f− g)(f + g) ≥ 2(g − f)s. (7)

Queremos mostrar que f ≥ g. Suponhamos que isso n˜ao ocorre, ou seja, que existe um instante s1 ≥ 0 tal que f(s) ≥ g(s), s ∈ [0, s1], f (s) < g(s), s ∈ (s1, s1 + ǫ), para algum

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portanto (g_{− f)}s > 0, neste intervalo. Por hip´otese g > 0, assim, se f > 0 em (s1, s1 + ǫ),

observando a hipótese (7) obtemos uma contradi¸cão, já que o lado esquerdo seria negativo e o lado direito positivo. Provaremos então que f _{≥ 0 em [s}1, s1+ ǫ], diminuindo ǫ, caso necessário.

Para s = s1, como f (s1) = g(s1)≥ 0, a desigualdade da hip´otese implica que

fs(s1)≥ gs(s1),

como gs(s) > 0, ∀s, para ǫ > 0 pequeno, fs(s) > 0, s∈ [s1, s1+ ǫ], al´em disso como f (s1)≥ 0,

temos que para algum ǫ > 0, f (s) > 0, s_{∈ (s}1, s1+ ǫ). Isto conclui a prova da afirma¸c˜ao.

Comparamos a curvatura Gaussiana de M com a do espa¸co Hiperbólico com curvatura constante _{−a, lembremos que estamos assumindo que a curvatura seccional de M é limitada} por cima por_{−a < 0. A métrica para tal espa¸co é dada por ds}2_{+ e}_Gdt2_{, e}_{G(s) = cosh}2₍√_{as). E}

portanto, Gs G ≥ e Gs e G = 2 √

a tanh(√as), ∀ s > 0. Portanto se 4H(1 + h2 s) 3 2 − 2h_ss hs(1 + h2s) ≤ 2√a tanh (√as), h ´e uma subsolu¸c˜ao em D de (1).

Observa¸cão 3.6. Observemos que para o plano Hiperbólico com métrica ds2_{+ cosh}2₍√_as)dt2_,

as superf´ıcies da forma h(s, t) = h(s) são superf´ıcies invariantes por transla¸cões hiperbólicas. O Lema 3.4 nos diz que solu¸cões de (1) para H = H0 invariantes por transla¸cões hiperbólicas,

no espa¸co Hiperbólico de curvatura _{−a, são subsolu¸cões de (1) em M para H ≤ H}0.

Este lema nos permite exibir uma subsolu¸c˜ao de (1) em D.

Demonstra¸cão. Proposi¸cão 3.3. Existe uma fun¸cão suave em D, h(s, t) = h(s) que é uma solu¸cão de (1) no espa¸co Hiperbólico de curvatura _{−a. Para e}G(s) = cosh2(√as),

e Gshs(1 + h2s) + 2 eGhss 2 eG(1 + h2 s) 3 2 = 2H ⇔ 1 cosh(√as) hscosh(√as) (1 + h2 s) 1 2 ! s = 2H ⇔ hscosh( √ as) (1 + h2 s) 1 2 = 2H√ a senh( √ as) + A, portanto tomando A = hs(0) = 0, H = √ a 2 temos que h = 1 √ acosh( √

as), ´e uma solu¸c˜ao para H =

√ a

2 essas equa¸c˜oes, ou equivalentemente, de (1). Ent˜ao pelo Lema 3.4, h = 1 √

acosh( √

as) ´e uma subsolu¸c˜ao de (1), para H _≤

√ a

(13)

Dado um dom´ınio D é poss´ıvel encontrar H > 0 de forma que não exista gráfico de curvatura média constante H. Com efeito, suponha que tal gráfico existe, para qualquer valor H > 0. Fixemos um H, tal que para algum p_{∈ D existe uma esfera geodésica S}p em M× R, de forma

que

• Sp∩ (∂D × R) = ∅,

• Sp∩ ((M − D) × R) = ∅, isto é, a proje¸cão se Sp sobre M está contida em D,

• a curvatura m´edia HSp de Sp ´e menor que H para todo q ∈ Sp.

Transladando verticalmente Sp para cima de modo que Sp esteja acima do gr´afico de

cur-vatura m´edia H e depois transladando Sp para baixo at´e o primeiro ponto de contato p′ ( p′

está no interior do gráfico, pela escolha de Sp). Temos que HSp(p′) < H(p′) = H e que Sp está

acima do gráfico, o que nos dá uma contradi¸cão (H > 0, significa que o vetor curvatura média aponta para cima). Por exemplo para M = H, não existem gráficos completos sobre dom´ınios D com curvatura H > 1

2. Para condi¸cões mais refinadas sobre a existência de tais gráficos, veja [5].

3.2 F´

ormulas do Fluxo

Seja u _{∈ C}2_(D)_{∩ C}1_(D _{∪ ∂D) uma solu¸c˜ao de (1) em um dom´ınio limitado D ⊂ M, com}

∂D de classe C2 _{por partes. Ao integrarmos (1) sobre D obtemos,}

2HA(D) = Z D div p ∇u 1 +_|∇|2 ! = Z ∂D * ∇u p 1 +_|∇u|2 , ν + , (8)

onde A(D) é a área de D e ν é o conormal exterior ao bordo de D. A integral à direita é chamada de fluxo de u ao longo do bordo ∂D .

Seja Γ um arco do ∂D, se u não é diferenciável em Γ podemos definir o fluxo de u ao longo de Γ da seguinte maneira.

Defini¸c˜ao 3.7. Escolhemos Υ uma curva mergulhada e suave contida em D tal que Γ_{∪Υ limita} um dom´ınio simplesmente conexo ∆Υ. Assim definimos o fluxo de u ao longo de Γ sendo:

Fu(Γ) = 2HA(∆Υ)−

Z

Υh

∇u W , νids,

onde ν ´e o vetor conormal apontando para fora do dom´ınio limitado por Γ_{∪ Υ.}

Observemos que a última integral é bem definida e que Fu(Γ) não depende da escolha de

Υ, [9] (Defini¸c˜ao 5.1).

Estabeleceremos alguns lemas, os quais chamaremos de Fórmulas do fluxo. Para isto, usare-mos diversas vezes uma estimativa de curvatura dada em [20], por este motivo, estabelecereusare-mos aqui este teorema e então voltaremos para as fórmulas do fluxo.

(14)

•

Estimativas de Curvatura

Nosso objetivo ´e enunciar uma estimativa de curvatura para superf´ıcies de curvatura m´edia constante, sobre variedades com curvatura seccional limitadas.

Consideremos (M, g) uma variedade Riemanniana, S uma superf´ıcie imersa em M com fibrado normal trivial. Denotemos por A a segunda forma fundamental de S em M, H a curvatura m´edia de S e N um vetor unit´ario normal globalmente definido em S.

Diremos S é estável se para qualquer fun¸cão suave u com suporte compacto definida em S, Z S|∇u| 2_dS ≥ Z S (_|A|2+ Ric(N))u2dS,

onde dS é o elemento de área de S, _{∇ é o gradiente em S e Ric é a curvatura de Ricci de M.} Schoen, [21], mostrou uma estimativa para a segunda forma fundamental de superf´ıcies m´ınimas estáveis. Este trabalho foi estendido para superf´ıcies estáveis com curvatura média constante e fibrado normal trivial em formas espaciais por Berrard e Hauswirth, [1]. Zhang, [24], considerou variedades tri-dimensionais gerais e provou uma estimativa para a segunda forma fundamental de uma superf´ıcie imersa estável com curvatura média constante e fibrado normal trivial. Tais estimativas para uma superf´ıcie S dependem da distância (relativa à S) dS(p, ∂S),

da curvatura média H, de uma limita¸cão por cima e por baixo da curvatura seccional de M e da derivada do tensor curvatura de M. A estimativa que apresentaremos aqui, dependerá apenas de dS(p, ∂S) e da limita¸cão (por cima e por baixo) da limita¸cão da curvatura seccional

de M.

Teorema 3.8 ([20], Theorem 2.5). Seja (M, g) uma variedade Riemanniana tri-dimensional, n˜ao necessariamente completa, com curvatura seccional K limitada por _{|K| ≤ Λ < +∞. Seja} Σ um conjunto aberto de M tal que existe δ > 0 de forma que Σ(δ) = _{{p ∈ M; d}g(x, Σ) < δ}

é relativamente compacto em M, onde dg é a distância associada à métrica g. Então existe

constante C = C(δ2_{Λ) > 0 dependendo apenas de δ}2_{Λ, independente de M e de Σ, satisfazendo:}

• para qualquer superf´ıcie est´avel S imersa em Σ, com fibrado normal trivial, e para qualquer p_{∈ S,}

|A(p)| < C

min_{{d(p, ∂S), δ,} π 2√Λ}

.

Uma consequência (veja [3], Lemma 2.2) de tais estimativas é que nas condi¸cões do Teorema acima, para cada p _{∈ S, existe ǫ = ǫ(p, Γ) (ǫ depende da distância em S, d}S(p, ∂S) e de Λ),

tal que uma vizinhan¸ca U de p em S pode ser escrita como um gráfico de uma fun¸cão suave f definida sobre a bola contida no espa¸co tangente à S em p de centro na origem e raio ǫ. Além disso, f tem altura e _{|∇f| limitados por uma constante que depende apenas da distância em} S, dS(p, ∂S) e de Λ.

Voltaremos às fórmulas do fluxo. Seguimos algumas idéias de [16] (Lemma 1 e 2, páginas 17 e 19). Estes lemas são conhecidos, porém, darei algumas demonstra¸cões.

(15)

Lema 3.9 ([9], Lemma 5.2). Sejam u uma solu¸c˜ao de (1) em um dom´ınio limitado D _{⊂ M e} Γ uma curva de classe C1 _{contida em D}_{∪ ∂D. Ent˜ao}

2H_{A(D) = F}u(∂D),

e

|Fu(Γ)| ≤ |Γ|.

Demonstra¸cão. Orientamos o bordo de D pelo vetor conormal ν apontando para fora de D. Sejam di, i = 1, ..., n os vértices de ∂D orientados, isto é, segundo a orienta¸cão de ∂D, di vem

depois de di−1 e antes de di+1 para i = 2, ..., n− 1, d1 vem antes de d2 e depois de dn e dn vem

antes de d1 e depois de dn−1. Sejam Υi, i = 1, ..., n− 1 arcos suaves contidos em D ligando di

a di+1 e Υn um arco suave contido em D ligando dn a d1, de modo que Υi e um arco suave do

bordo de D forme um dom´ınio ∆Υi. Podemos escolher Υi de modo que∪iΥi limite um dom´ınio

em D. Pela Defini¸c˜ao 3.7, o fluxo de u ao longo do bordo de D ´e dado por

Fu(∂D) = n X i=1 2HA(∆Υi)− n X i=1 Z Υi h∇u W , νids = n X i=1 2HA(∆Υi)− (−2HA(D) + n X i=1 2HA(∆Υi)) = 2H_A(D),

a segunda igualdade segue ao observarmos que ν ´e o conormal apontando para fora do dom´ınio ∆Υi, e portanto −ν ´e o conormal apontando para fora do dom´ınio limitado por ∪iΥi contido

em D, como u ´e uma solu¸c˜ao de classe C2 _{nos arcos Υ}

i o resultado segue por (8). O que prova

a primeira afirma¸c˜ao do lema.

Lema 3.10 ([9], Lemma 5.3). Sejam D _{⊂ M um dom´ınio e Γ ⊂ ∂D um arco compacto de} classe C2 _{por partes tal que κ(p)}_{≥ 2H, ∀p ∈ Γ. Seja u uma solu¸c˜ao de (1) em D cont´ınua em}

Γ. Ent˜ao

|Fu(Γ)| < |Γ|.

O Lema 3.13 abaixo, essencialmente diz que, quando um gráfico definido em D de uma solu¸cão tende à ±∞ sobre um arco do bordo de um dom´ınio D, então o vetor normal à este gráfico tende à um vetor horizontal neste arco. E que além disso, este vetor normal limite, aponta na mesma dire¸cão do vetor curvatura do arco em questão. Outra interpreta¸cão do Lema 3.13, é que quando o gráfico definido em D de uma solu¸cão tende à±∞ sobre algum arco Γ do bordo de D, então este gráfico é assintótico ao cilindro Γ_{× R. Antes de estabelecermos o} lema, necessitamos de duas defini¸cões.

Defini¸c˜ao 3.11 (Defini¸c˜ao da curvatura de uma curva). Seja γ uma curva C2 _{em M. Assuma}

(16)

A defini¸c˜ao acima nos diz que ao falarmos da curvatura de uma curva onde _{γ′_,_∇ γ′γ′} ´e

uma base do espa¸co tangente `a M em todo ponto de γ, n˜ao nos importa se {γ′_,_∇

γ′γ′} ´e base

positiva ou negativa. Queremos apenas saber do valor algébrico da curvatura. A Defini¸cão 3.11, contrasta com a Defini¸cão 3.12 abaixo, no sentido que, ao falarmos de uma curva do bordo de um dom´ınio, é importante dar um sinal positivo àquelas cujo vetor curvatura aponta para o dom´ınio, ou negativo, caso contrário.

Defini¸c˜ao 3.12 (Defini¸c˜ao da curvatura de um arco do bordo de um dom´ınio). Seja D um dom´ınio em M. Dada uma curva γ _{⊂ ∂D de classe C}2_{, dizemos que a curvatura κ(γ) > 0 se,}

o vetor curvatura de γ aponta para dentro do dom´ınio D. Dizemos que κ(γ) < 0 se, o vetor curvatura de γ aponta para fora do dom´ınio D.

Vamos ao lema,

Lema 3.13 ([9], Lemma 5.4). Sejam D ⊂ M um dom´ınio e Γ ⊂ ∂D um arco compacto e de classe C2 _{por partes, e seja u uma solu¸c˜ao de (1) em D. Ent˜ao}

(i) se u tende `a +_{∞ sobre Γ, temos κ(Γ) = 2H e} Fu(Γ) =|Γ|,

(ii) se u tende `a _{−∞ sobre Γ, temos κ(Γ) = −2H e} Fu(Γ) =−|Γ|.

Demonstra¸cão. Provaremos (i), o outro caso é similar. Aplicaremos as estimativas de curvatura dadas em [20] ( Teorema 2.5), veja também o Apêndice A. Sejam p _{∈ Γ e p}n → p uma

sequência de pontos em D. Já que u tende à +∞ sobre Γ, as estimativas de curvatura nos dão um δ > 0 (independente de n) tal que uma vizinhan¸ca de cada ponto (pn, u(pn)) no gráfico

de u, é um gráfico (em coordenadas geodésicas) sobre um disco de raio δ centrado na origem de T(pn,u(pn))G(u), onde T(pn,u(pn))G(u) é o plano tangente à G(u) em (pn, u(pn)) e G(u) é o

gráfico de u. Transladamos esse gráfico ao ponto (pn, 0) e denotamos tais gráficos transladados

por Gpn(δ). Seja N((pn, u(pn))) o vetor unit´ario normal `a G(u) em (pn, u(pn)), a menos de

subsequˆencia, temos que N((pn, u(pn))) → N∞. Seja Π o plano ortogonal `a N∞ cuja origem

é p. Cada Gpn(δ) é um gráfico de uma fun¸cão com altura e varia¸cão uniformemente limitada.

Assim, para n suficientemente grande, uma vizinhan¸ca de (pn, 0) em Gpn(δ) ´e um gr´afico sobre

um disco em Π de raio δ′ _{centrado em p (a origem de Π), 0 < δ}′ _{≤ δ. Como esses gr´aficos tˆem}

altura e varia¸cão uniformemente limitadas, eles convergem à um gráfico Gp(δ′) definido sobre

um disco de raio δ′ _{centrado na origem de Π.}

N´os queremos mostrar que N∞ ´e um vetor horizontal e que κ(Γ) = 2H.

Suponhamos que N∞não é um vetor horizontal. Isso nos diz que Π não é um plano vertical, e

portanto a proje¸c˜ao de Gp(δ′) teria pontos em D∪ ∂D e no seu complementar. Isso contradiria

o fato de Gp(δ′) ser o limite de gr´aficos verticais sobre D. Isso mostra que N∞ ´e um vetor

horizontal, e pela escolha do vetor normal unit´ario apontando para cima, temos a igualdade Fu(Γ) =|Γ|.

(17)

Agora mostraremos que κ(Γ) = 2H. Seja L uma curva completa tangente `a Γ em p com κ(L) = 2H, e com vetor curvatura apontando na mesma dire¸c˜ao que N∞. Notemos que a

superf´ıcie L_{× R tem curvatura H e é tangente em p ao gráfico G}p(δ′), o qual também tem

curvatura H. Al´em disso, pela escolha de L, os vetores curvatura m´edia de L_{× R e de G}p(δ′)

apontam na mesma dire¸cão. Precisamos mostrar que Gp(δ′) ⊂ (L × R). Já que Gp(δ′) é

tangente `a L_{× R em p, se G}p(δ′) estiver de um lado de L× R o Principio do M´aximo garante

que Gp(δ′)⊂ (L × R). Se esse n˜ao for o caso, Gp(δ′)∩(L × R) ´e composto de k curvas passando

por p, k ≥ 2, encontrando-se transversalmente em p. Ent˜ao, em uma vizinhan¸ca de p essas curvas separam Gp(δ′) em 2k componentes e componentes adjacentes ficam em lados alternados

de L_{×R. Além disso, o vetor curvatura alterna apontando para cima e para baixo quando vamos} de uma componente à outra. Portanto para n suficientemente grande, isso implica que o vetor curvatura média à Gpn(δ) aponta para cima e para baixo. Consequentemente o vetor normal à

Gpn(δ) aponta para cima e para baixo, o que nos d´a uma contradi¸c˜ao. Pela arbitrariedade da

sequˆencia {pn} e do p ∈ γ temos que Γ ⊂ L e que κ(p) = 2H, ∀p ∈ Γ.

Lema 3.14 ([9], Lemma 5.5). Sejam D ∈ M um dom´ınio e Γ ⊂ ∂Ω um arco compacto de classe C2 _{por partes. Seja}_{u

n} uma sequˆencia de solu¸c˜oes de (1) em D com cada un cont´ınua

em Γ. Ent˜ao

1. se a sequˆencia tende `a +_{∞ uniformemente em subconjuntos compactos de Γ enquanto} permanece uniformemente limitada em subconjuntos de D, temos

lim

n→∞Fu(Γ) =|Γ|

2. se a sequˆencia tende `a _{−∞ uniformemente em subconjuntos compactos de Γ enquanto} permanece uniformemente limitada em subconjuntos compactos de D, temos

lim

n→∞Fu(Γ) =−|Γ|.

Demonstra¸cão. Sejam p ∈ Γ e {pn} uma sequência em D, com pn → p. Após passar à

uma subsequência podemos escolher δ > 0 independente de n, tal que uma vizinhan¸ca de (pn, un(pn)) no gráfico de un é um gráfico ( em coordenadas geodésicas) sobre um disco de

raio δ centrado na origem de T(pn,un(pn))G(un), onde T(pn,un(pn))G(un) denota o plano tangente

à G(un) em (pn, un(pn)) e G(un) denota o gráfico de un. Como no Lema 3.13, a conclusão é

que a menos de passar à uma subsequência, Nn(pn) → N∞ e N∞é um vetor horizontal, onde

Nn(q) ´e o vetor normal ao gr´afico de un no ponto q.

Um argumento an´alogo mostra que

Lema 3.15 ([9], Lemma 5.6). Sejam D ∈ M um dom´ınio e Γ ⊂ ∂D um arco compacto de classe C2 _{por partes com κ(Γ) =}_{±2H e seja {u}

n} uma sequˆencia de solu¸c˜oes de (1) em D com

(18)

1. se a sequˆencia diverge `a _{−∞ uniformemente em subconjuntos compactos de D enquanto} permanece uniformemente limitada em subconjuntos compactos de Γ temos

lim

n→∞Fu(Γ) =|Γ|.

2. se a sequˆencia diverge `a +_{∞ uniformemente em subconjuntos compactos de D enquanto} permanece uniformemente limitada em subconjuntos compactos de Γ temos

lim

n→∞Fu(Γ) =−|Γ|.

O pr´oximo lema nos d´a quase uma reciproca dos lemas anteriores, e foi estabelecido em [15](Lemma 3.6) para o caso m´ınimo.

Lema 3.16. Seja u uma solu¸c˜ao em um dom´ınio D _{∈ H. Seja e}η _{⊂ ∂D um arco satisfazendo} κ(eη) = 2H tal que Fu(η) =|η|, para todo arco compacto η ⊂ eη. Ent˜ao u possui valor de bordo

+∞ em eη. Analogamente, se κ(eη) = −2H e Fu(η) = − |η| para todo arco compacto η ⊂ eη

temos que u tem valor de bordo _{−∞ em e}η.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que κ(eη) = 2H. Seja η um arco compacto como no lema, escol-hemos η pequeno o suficiente de modo que o dom´ınio ∆ limitado por η e η∗ _(η∗ _{´e a imagem}

da reflexão geodésica de η) esteja contido em D. Consideramos a solu¸cão v que toma valor que toma valor +_{∞ em η e v = u em η}∗_{, tal solu¸cão existe pelo Teorema 7.11 do artigo}

[9]. Queremos mostrar que u = v. Se esse n˜ao ´e o caso, o conjunto O = _{{u − v < ǫ} 6= ∅,} ǫ > 0 um valor regular de u− v. Seja D′ _{a componente conexa do complemento de O em}

∆ que cont´em ∂∆_{− η em seu bordo. Seja O}′ _{o complemento de D}′ _{em ∆. Ent˜ao O} _{⊂ O}′

e ∂O′ _{⊂ ∂O. Seja q o ponto pertencente ao ∂O}′ _{− η. Para µ > 0, seja O}′_{(µ) o conjunto}

definido por O′_{(µ) =} _{{p ∈ O}′_{; dist}

H(p, η) > µ}. Sejam q1, q2 os pontos finais de componente

conexa do ∂O′ _{∩ ∂O}′_{(µ) que cont´em q. Seja p}

i a proje¸c˜ao de qi em η. Seja eO(µ) o dom´ınio

limitado pelos segmentos [p1, q1], [p2, q2], o arco [p1, p2]⊂ η e o bordo da componente de O′(µ)

entre q1, q2, que ser´a denotado por Γ(µ). Em Γ(µ) o vetor Xu− Xv aponta para fora de eO(µ),

Xu = p ∇u

1 +_|∇u|2. Calculando o fluxo de u− v ao longo do ∂O ′ 0 = Fu(∂O′)− Fv(∂O′) = Z Γ(µ)hX u− Xv, νi + Z [p1,q1]∪[p2,q2] hXu− Xv, νi + Z [p1,p2] hXu− Xv, νi .

Portanto, aplicando as f´ormulas do fluxo, temos

0 < Z Γ(µ) hXu− Xv, νi = ₋ Z [p1,q1]∪[p2,q2] hXu− Xv, νi − Z [p1,p2] hXu− Xv, νi ≤ 4µ,

(19)

já que o último termo da primeira linha anula-se pela hipótese sobre u e pelo Lema 3.13 aplicado à v. Notemos que a integral em Γ(µ) cresce quando µ→ 0. E portanto esta desigualdade não pode ocorrer.

Caso κ(eη) = _{−2H, consideramos o dom´ınio ∆ limitado por η e pelo arco η}′ _{de curvatura}

maior que 2H (com respeito ao dom´ınio ∆) contido em D que possui os mesmos pontos finais que η. Então consideramos v a solu¸cão em ∆ que toma valores de bordo _{−∞ sobre η e v = u} sobre η′_{, tal solu¸cão existe pelo Teorema 7.11 encontrado em [9]. A partir de agora o mesmo}

argumento feito no caso anterior pode ser aplicado neste caso.

3.3 Princ´ıpios do M´

aximo

Observemos que a equa¸cão da curvatura média é uma equa¸cão el´ıptica e portanto possui um principio do máximo o qual chamaremos clássico. Este resultado pode ser encontrado em [8] (Theorem 10.7).

Teorema 3.17 (Principio do M´aximo Cl´assico). Sejam u1 _{: D} _{→ R e u}2 _{: D} _{→ R duas}

fun¸cões de classe C2(D) em um dom´ınio D ⊂ M. Suponhamos que D é um dom´ınio limitado e que ∂D é suave. Se M(u1₎ _{≥ M(u}2_{) e u}2 _{− u}1 _{≥ 0 no ∂D. Então u}2 _{≥ u}1 _{em D, com}

desigualdade estrita, a menos que, u2 _{≡ u}1_.

O Lema abaixo ser´a uma ferramenta na demonstra¸c˜ao do Teorema 3.19.

Lema 3.18 ([9], Lemma 2.1). Sejam u1 _{e u}2 _{fun¸c˜oes em C}2_{(D), D} _{⊂ M. Ent˜ao para qualquer}

ponto regular de u1_{− u}2 _vale:

∇(u1_{− u}2₎ |∇(u1_{− u}2₎_|, ∇u1 W1 − ∇u2 W2 ≥ 0, onde Wi = p 1 +_|∇ui_|2_{; i = 1, 2.}

Se além disso, u1_{, u}2 _{são solu¸cões de (1) em D vale a igualdade em um ponto se, e somente}

se ∇u1 ₌_∇u2_.

Demonstra¸cão. Identificando o espa¸co tangente de M_{× R em (p, t) com o produto dos espa¸cos} tangentes à M em p e à R em t, isto é T(p,t)(M× R) ≈ TpM× TtR, podemos escrever o vetor

normal apontando para cima de um gr´afico gerado por uma fun¸c˜ao u como

N = _p −∇u 1 +_|∇u|2, 1 p 1 +_|∇u|2 ! .

(20)

respectivamente, temos ∇(u1_{− u}2₎ |∇(u1_{− u}2₎_|, ∇u1 W1 − ∇u2 W2 = 1 |∇(u1_{− u}2₎_| −N1W1+ N2W2,−N1+ N2+ 0, 0, 1 W1 − 1 W2 = (W1 + W2) |∇(u1_{− u}2₎_|(1− hN1, N2i) = (W1 + W2) |∇(u1_{− u}2₎_| |N1− N2|2 2 . Observemos que, |∇(u1_{− u}2₎_| (W1+ W2) ≤ |∇u1_| W1+ W2 + |∇u 2_| W1+ W2 ≤ |∇u1_| W1 + |∇u 2_| W2 ≤ 2, e portanto, ∇(u1_{− u}2₎ |∇(u1_{− u}2₎_|, ∇u1 W1 − ∇u2 W2 ≥ |N1− N2| 2 4 ≥ 0.

Além disso, se u1 _{e u}2 _{são solu¸cões em D e} _∇u1 ₌ _∇u2 _{em algum ponto p, isto significa}

que, a menos de uma transla¸c˜ao, u1_{(p) = u}2_{(p) e} _∇u1_{(p) =}_∇u2_{(p) e pelo princ´ıpio do m´aximo}

no bordo u1 _{≡ u}2_.

Esse próximo teorema nos dá um principio do máximo para dom´ınios com bordo suave por partes, seguimos idéias de [9] (Theorem 2.2).

Teorema 3.19 (Principio do M´aximo 1). Sejam u1 e u2 satisfazendo Mu1 ≥ 2H ≥ Mu2

em um dom´ınio limitado D _{⊂ M, com bordo ∂D de classe C}2 _{por partes. Suponhamos que}

lim inf(u2− u1)≥ 0 qualquer sequˆencia de pontos convergindo para o ∂D, exceto possivelmente

em um n´umero finito de pontos E contidos no ∂D. Ent˜ao u2 ≥ u1 com desigualdade estrita, a

menos que, u2 ≡ u1.

Demonstra¸c˜ao. Sejam M, ǫ constantes positivas, sendo M grande e ǫ pequeno. N´os definimos ϕ =    M _{− ǫ,} if u1− u2 ≥ M u1− u2− ǫ, if ǫ < u1− u2 < M 0, if u1− u2 ≤ ǫ

Temos que 0_{≤ ϕ ≤ M, ϕ ´e Lipschitz, ∇ϕ = ∇u}1− ∇u2 no conjunto onde ǫ < u1− u2 < M

e ∇ϕ = 0 em quase todo ponto no complementar deste conjunto. Seja E = [

1≤i≤n

Pi. Para cada i seja Bi(ǫ) a bola geod´esica de M centrada em Pi de raio

ǫ > 0. Para cada ǫ, seja Dǫ = D− (∪iBi(ǫ)), i = 1, . . . , n. Denotamos ∂Dǫ = Γǫ ∪ Λǫ, onde

(21)

Temos, div ϕ ∇u1 W1 − ∇u2 W2 = ∇ϕ,∇u1 W1 − ∇u2 W2 + +ϕ div ∇u1 W1 − div ∇u2 W2 , onde Wj = p

1 +|∇uj|2, j = 1, 2. Aplicando o Teorema da Divergência à esta equa¸cão, e

lembrando que por hip´otese ϕ_{≡ 0 em Γ}ǫ, obtemos

Z Dǫ ∇ϕ,∇u1 W1 − ∇u2 W2 dV + Z Dǫ ϕ div ∇u1 W1 − div ∇u2 W2 dV = Z Dǫ div ϕ ∇u1 W1 − ∇u2 W2 dV = Z ∂Dǫ ϕ ∇u1 W1 − ∇u2 W2 , ν dV = Z Λǫ ϕ ∇u1 W1 − ∇u2 W2 , ν dV + Z Γǫ ϕ ∇u1 W1 − ∇u2 W2 , ν dV = Z Λǫ ϕ ∇u1 W1 − ∇u2 W2 , ν dV, onde ν ´e o conormal exterior ao ∂Dǫ.

Nós temos que o termo que aparece na última igualdade é limitado por cima por 2M

n

X

i=1

l(∂Bi(ǫ)),

onde l(∂B) é o comprimento em M de ∂B. O segundo termo da primeira linha é não negativo por hipótese. Observemos que o primeiro termo da primeira linha não se anula apenas no caso de _{∇ϕ = ∇u}1− ∇u2, e o lema anterior então diz que este termo é não negativo. Destas

observa¸c˜oes, conclu´ımos que 0_≤ Z Dǫ ∇ϕ,∇u_W1 1 − ∇u2 W2 dV _{≤ 2M} n X i=1 l(∂Bi(ǫ))

Quando ǫ tende `a zero, Dǫ tende `a D e 2M n

X

i=1

l(∂Bi(ǫ)) tende `a zero, independentemente

do M fixado. Portanto a conclus˜ao, novamente pelo lema anterior, ´e que ∇u1 = ∇u2. Isso

implica que u1 = u2+ a, a > 0 em cada componente do conjunto onde {u1 > u2}. Se existisse

(22)

interior de tal componente implicaria que u1 = u2+ a, a > 0 em D, o que contradiria a hip´otese

lim inf(u2− u1)≥ 0.

O próximo teorema é um principio do máximo para certos dom´ınios ilimitados, provado para H = 0, em [4] (Theorem 2). Vamos definir então dom´ınios ideais.

Defini¸cão 3.20 (Dom´ınios Ideais). Um dom´ınio ideal em M é um dom´ınio não limitado. Seja D um dom´ınio ideal em M. Denotaremos por ∂_∞D o bordo assintótico de D.

Teorema 3.21 (Principio do M´aximo 2). Seja D⊂ M um dom´ınio ideal cujo bordo ∂∞D n˜ao

possui arcos no bordo assint´otico de M. Sejam u1_{, u}2 _{∈ C}0_(∂D_{∪ D) duas solu¸c˜oes de (1) em}

D satisfazendo u1 _{≤ u}2 _{no ∂D. Suponhamos que para cada ponto p no v´ertice do bordo de D,}

lim inf distM(Γ1, Γ2) → 0 quando tendemos à p, onde Γ1, Γ2 são as curvas do ∂D que têm p

como v´ertice. Ent˜ao u1 _{≤ u}2 _{em D.}

Demonstra¸cão. Se isso não fosse verdade, então (após uma poss´ıvel transla¸cão vertical), pode-mos supor que O = {p ∈ D; u2_(p)_{− u}1_{(p) < 0}_{} é não vazio e ∂O é suave. Observemos que}

pelo princ´ıpio do máximo clássico _{O é ilimitado e pela hipótese u}1 _{≤ u}2 _{no ∂D obtemos que}

seus vértices vão para os vértices de D. Assim, formamos um ciclo compacto com curvas σ1, σ2

perto dos v´ertices de O, e arcos τ1, τ2 do bordo de O. Chamamos o dom´ınio limitado por este

ciclo de W .

Pela f´ormula do Fluxo,

0 = 2HA(W ) − 2HA(W ) = F∂W(u2)− F∂W(u1) = Z σ1∪σ2 * ∇(u2₎ p 1 +_|∇(u2₎_|2 − ∇(u1₎ p 1 +_|∇(u1₎_|2 , ν + + Z τ1∪τ2 * ∇(u2₎ p 1 +_|∇(u2₎_|2 − ∇(u1₎ p 1 +_|∇(u1₎_|2 , ν + = Z σ1∪σ2 * ∇(u2₎ p 1 +_|∇(u2₎_|2 − ∇(u1₎ p 1 +_|∇(u1₎_|2 , ν + + Z τ1∪τ2 * ∇(u2₎ p 1 +|∇(u2₎_|2 − ∇(u1₎ p 1 +|∇(u1₎_|2 , ∇(u2_{− u}1₎ |∇/(u2_{− u}1₎_| + ,

onde a terceira igualdade segue por observarmos que ∇(u

2_{− u}1₎

|∇/(u2_{− u}1₎_| ´e um vetor unit´ario, normal

ao bordo de W ao longo de τ1∪ τ2 e aponta para fora de W ao longo de τ1 ∪ τ2, ou seja, este

´e o vetor conormal `a W ao longo de τ1∪ τ2. Pelo Lema 3.18, ou ∇u2 =∇u1 em algum ponto

do ∂_{O e consequentemente u}1 _{≡ u}2_{, ou a ´}_{ultima integral ´e positiva. Como a ´}_{ultima integral}

não decresce quando fazemos σ1 e σ2 tender aos vértices de O, podemos escolher σ1 e σ2 tão

próximos do vértices deO, que a última soma será positiva; esta escolha é poss´ıvel pela hipótese na distância de pontos do vértice de D. Isto nos dá uma contradi¸cão.

(23)

A última versão de principio do máximo que apresentaremos, nos permite, em dom´ınios limitados D ⊂ M cujo bordo possui apenas duas curvas, comparar duas fun¸cões se soubermos o valor delas em uma curva do bordo de D e o comportamento do vetor normal ao gráfico na outra curva. Mais especificamente, temos

Lema 3.22 ([9], Lemma 4.6). Seja D ⊂ M um dom´ınio cujo bordo ∂D = Γ1 ∪ Γ2, Γ1, Γ2 ´e

conjunto compacto e Γ2 ∈ C1. Sejam u1 e u2 fun¸c˜oes definidas em D que satisfazem M(u1)≥

M(u2) em D, com u1 ∈ C2(D)∩ C1(D ∪ Γ2) e u2 ∈ C2(D)∩ C0(D∪ ∂D). Suponhamos que

∂u2

∂ν = +∞ em Γ2, onde ν é o conormal exterior à D em Γ2. Então se lim inf(u2− u1)≥ 0 em Γ1, então u2 ≥ u1 em Ω.

Demonstra¸cão. Se lim inf(u2− u1)≥ 0 em Γ2 então a conclusão segue do Principio do Máximo

1. Se este n˜ao ´e o caso, consideramos v2 = u2 + M, de modo que v2 > u1 em D ∪ ∂D.

Transladamos verticalmente para baixo v2 at´e o primeiro ponto de contato com u1, o que deve

ocorrer sobre um ponto de Γ2. Portanto,

∂u1

∂ν ≥ ∂u2

∂ν = +∞. Isso nos d´a uma contradi¸c˜ao.

3.4 Barreiras

Nesta se¸cão procuraremos por barreiras que nos permitam concluir que uma solu¸cão do problema de Dirichlet atinge continuamente o valor de bordo prescrito. Para isso, assim como no caso de dom´ınios contidos em R2_{, usaremos a fun¸cão distância. As referências seguidas ao}

longo desta se¸cão foram [23] (páginas 12) e [9] (página 11, Lemmas 4.4 e 4.9).

Seja D _{⊂ M um dom´ınio limitado com o bordo ∂D orientado. Seja d a fun¸cão distância ao} bordo ∂D. Consideraremos d com sinal, isto é, d(p) > 0 significa que p _{∈ D, caso contrário} d(p) < 0.

Fixemos uma curva γ _{⊂ ∂D, seja D}γ ´e o maior conjunto aberto em D tal que se p ∈ Dγ

então existe um único q _{∈ γ tal que d(p, q) = d(p), onde d(p, q) denota a distância de p à q em} M_{. Em [12] (Theorem 1) os autores provaram que se γ} _{∈ C}k,α _{então a fun¸cão distância está} em Ck−1,α_(D

γ∪ ∂Dγ), para k≥ 2, 0 < α < 1.

Seja w = h(d) : Dγ → R, onde h : R → R ´e uma fun¸c˜ao suave, temos que

div p ∇h(d) 1 +_|∇h(d)|2 ! = div h ′ p 1 + (h′₎2∇d ! = * ∇ p h′ 1 + (h′₎2 ! ,_∇d + +_p h′ 1 + (h′₎2∆d = * h′′ (1 + (h′₎2₎32∇d, ∇d + + h ′ p 1 + (h′₎2∆d,

(24)

assim, div _p ∇h(d) 1 +_|∇h(d)|2 ! = h′′ (1 + (h′₎2₎32 − h′ p 1 + (h′₎2H(x), (9)

onde H(x) ´e a curvatura da curva de n´ıvel de d que passa por x ∈ D0.

Agora estamos aptos a exibir algumas barreiras. Neste próximo lema usamos uma fun¸cão que aparece em [23] (página 12) como uma barreira, porém sobre hipóteses mais fortes do que as que assumiremos.

Lema 3.23. Seja Γ∈ C2,α _{um arco no ∂D, com κ(Γ)}_{≥ 2H, ∀p ∈ Γ e seja q ∈ Γ. Existe uma}

vizinhan¸ca ∆⊂ D de q, com ∂∆ = Γ′_{∪ η (onde Γ}′ _{⊂ Γ e η ´e um arco contido em D), tal que}

existe uma subsolu¸c˜ao w de (1) em ∆ com w(q) = 0, w < 0 em (∆_{∪ ∂∆) − q e w|}η = −M,

para M > 0 suficientemente grande.

Demonstra¸c˜ao. Seja γ uma curva C2,α _{de curvatura κ(γ)} _{≥ 2H − ǫ, ǫ > 0 pequeno, tal que γ}

é tangente à Γ em q e γ _{⊂ (M − D). Seja d a fun¸cão distância à γ. Suponhamos que d é de} classe C1,α _{no conjunto} _{{p ∈ M; 0 ≤ d(p) < δ}

1}. Já que a fun¸cão curvatura é suave, podemos

supor que p ∈ {x′_{; 0} _{≤ d(x}′_{) < δ}

2 ≤ δ1} ent˜ao H(p) ≥ 2H − 2ǫ, desde que δ2 seja pequeno o

suficiente. Consideremos a fun¸c˜ao h(r) = e

AC 2C (e −2Cr_{− 1), r ∈ [0, δ] e δ < δ} 2, C > 1 A, A > δ 2 ser˜ao escolhidos depois. Pela equa¸c˜ao (9), para w = h(d) temos,

div _p ∇w 1 +|∇w|2 ! = 2Ce AC−2Cd (1 + e2(AC−2Cd)₎32 + e AC−2Cd (1 + e2(AC−2Cd)₎12H(x) = eAC−2Cd (1 + e2(AC−2Cd)₎32 2C +_{H(x)(1 + e}2(AC−2Cd)) usando √a + b_≤√a +√b div _p ∇w 1 +_|∇w|2 ! ≥ eAC−2Cd (1 + e(AC−2Cd)₎3 2C +H(x)(1 + e 2(AC−2Cd)₎

como e(AC−2Cd) _{≥ e}(AC−2Cδ) _{and e}(AC−2Cd) _{≤ e}AC

div _p ∇w 1 +|∇w|2 ! ≥ e AC−2Cδ (1 + eAC₎3 2C +H(x)(1 + e 2(AC−2Cδ)₎ j´a que 1 + eAC _{≤ 2e}AC div p ∇w 1 +|∇w|2 ! ≥ eAC−2Cδ 8e3AC 2C +H(x)(1 + e2(AC−2Cδ)) ≥ e AC−2Cδ 8e3AC 2C + (2H − 2ǫ)(1 + e 2(AC−2Cδ)₎_.

(25)

N´os observamos que a fun¸c˜ao F (A, δ) = eAC−2Cδ

8e3AC 2C + (2H − 2ǫ)(1 + e

2(AC−2Cδ)₎_,

para C > 6H + 6ǫ, satisfaz F (0, 0) = 1

8(2C + (2H− 2ǫ)2) > 2H. Ent˜ao, para (A, δ) suficiente-mente pequenos (satisfazendo as condi¸c˜oes do enunciado do lema) F (A, δ)_{≥ 2H. Portanto,}

div _p ∇w 1 +|∇w|2

!

≥ 2H.

Seja ∆ o dom´ınio simplesmente conexo (decrescemos δ caso seja necessário) cujo bordo é composto de um subarco de Γ que contém q e um subarco da curva de n´ıvel_{{x ∈ D; d(x) = δ}.} Seja C0 = max 1 A, 6H + 6ǫ , então para M > ₋e AC0 2C0 (e−2C0δ − 1), podemos escolher um C _{≥ C}0, tal que h(δ) = eAC 2C (e −2Cδ_{− 1) = −M}

Notemos que o Lema 3.23 diz apenas sobre a existência de subsolu¸cões de (1), já que a existência de supersolu¸cões segue da existência de gráficos m´ınimos, veja [15] (Theorem 3.3) e [17] (Theorem 1.2). Assim, sejam D _{⊂ M um dom´ınio limitado e Γ ⊂ ∂D um arco de classe} C2,α _{com κ(Γ)} _{≥ 2H. Fixemos um ponto q ∈ Γ, e escolhamos um pequeno arco compacto}

Γ′ _{⊂ Γ contendo q e um arco γ de um c´ırculo geod´esico ligando os pontos finais de Γ}′_{, de}

modo que o dom´ınio ∆ limitado por γ_{∪ Γ}′ _{⊂ D. Seja f : ∂∆ → R ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua}

com f (q) = 0 e f > 0 sobre Γ′ _{− {q} e f = M sobre o arco γ. Ent˜ao existe uma fun¸c˜ao}

u_{∈ C}2_(∆)_{∩ C}0_(∆_{∪ ∂∆), com div} _p ∇u

1 +_|∇u|2

!

= 0 < 2H e u_|∂∆= f .

Este próximo lema nos permitirá controlar solu¸cões limitadas em uma vizinhan¸ca de arcos que tenham curvatura “grande”.

Lema 3.24. Seja D⊂ M um dom´ınio limitado.

1. Suponha que Γ_{∈ C}2,α _{´e um arco do ∂D, com κ(p)}_{≤ 2α < 2H, ∀p ∈ Γ, com respeito `a D.}

Ent˜ao existe uma pequena vizinhan¸ca N de qualquer ponto interior de Γ tal que, existe uma supersolu¸c˜ao w+ _{de (1) em} _{N com} ∂w

∂ν = +∞ em Γ ∩ ∂N . Onde ν ´e o conormal exterior `a _{N .}

2. Suponha que Γ∈ C2,α _{´e um arco do ∂D, com κ(p)} _{≤ −2α < −2H, ∀p ∈ Γ, com respeito}

à D. Então existe uma pequena vizinhan¸ca N de qualquer ponto interior de Γ tal que, existe uma subsolu¸cão w− _{de (1) em} _{N com} ∂w

∂ν =−∞ em Γ ∩ ∂N , onde ν ´e o conormal exterior `a _{N .}

Demonstra¸c˜ao. Consideremos h(r) = − r

2r

ǫ . Seja d a fun¸cão distância à Γ, como a fun¸cão distância é continua, podemos concluir que para d(x) < δ, δ > 0 pequeno, que

(26)

1. Para w+_{= h(d), pela equa¸c˜ao (9),} div _p ∇w 1 +_|∇w|2 ! = ǫ (2ǫd + 1)32 + H(x) (2ǫd + 1)21 ≤ 1 (2ǫd + 1)12 ǫ (2ǫd + 1) + 2α + ǫ ≤ 1 (2ǫd + 1)12 (2α + 2ǫ) < 2H, para ǫ, δ pequenos o suficiente; o que prova 1.

2. Para w−₌_{−h(d), pela equa¸c˜ao (9), temos}

div p ∇w 1 +_|∇w|2 ! = − ǫ (2ǫd + 1)32 − H(x) (2ǫd + 1)12 ≥ 1 (2ǫd + 1)12 −_{(2ǫd + 1)}ǫ + 2α_{− ǫ} ≥ 1 (2ǫd + 1)12 (2α_{− 2ǫ) > 2H,} para ǫ > 0, δ > 0 pequenos o suficiente, o que prova 2.

Lema 3.25 ([9], Lemma 4.9). Seja u uma solu¸c˜ao de (1) em um dom´ınio limitado D _{⊂ M} e seja Γ ⊂ ∂D um arco compacto. Suponhamos que m < u < M em Γ. Ent˜ao existe uma constante c que depende apenas do D tal que, para qualquer subarco compacto Γ′ _{⊂ Γ de classe}

C2,α_{, vale}

(i) se κ(Γ′₎ _{≥ 2H com desigualdade estrita, exceto para pontos isolados, existe uma}

vizi-nhan¸ca ∆ de Γ′ _{em D tal que u}_{≥ m − c em ∆,}

(ii) se κ(Γ′_{) >}_{−2H, existe uma vizinhan¸ca ∆ de Γ}′ _{em D tal que u}_{≤ M + c em ∆,}

Demonstra¸c˜ao. (i) N´os tomamos um ponto p onde κ(p) > 2H. Seja Γ′ _{⊂ Γ um subarco que}

cont´em p. Para Γ′ _{pequeno o suficiente, existe uma curva γ ligando os pontos finais de Γ}′

tal que κ(γ) < _{−2H com respeito ao dom´ınio ∆ limitado por Γ}′ _{e γ. N´os podemos supor ∆}

suficientemente pequeno de tal maneira que existe uma subsolu¸c˜ao w− _{dado pelo Lema 3.24}

tal que ∂w

−

∂ν = +∞ em γ. O Lema 3.22 garante que u ≥ m − sup∆

w− em ∆.

(ii) Tomamos p _{∈ Γ e Γ}′ _{um arco compacto contendo p e contido em Γ. Novamente}

(27)

contida em D e κ(γ) > 2H com respeito ao dom´ınio ∆ limitado por γ_{∪ Γ}′_{. Podemos assumir}

que existe uma supersolu¸c˜ao w+ _{dada pelo Lema 3.24, de modo que} ∂w+

∂ν =−∞. Novamente pelo Lema 3.22, obtemos que u < m + sup

∆

w+ _{em ∆.}

3.5 Teorema de Compacidade

Teorema 3.26 (Teorema de Compacidade). Seja {un} uma sequˆencia de solu¸c˜oes de (1)

uni-formemente limitada em D _{⊂ M, D limitado. Então existe uma subsequência que converge} uniformemente em subconjuntos compactos (na topologia Ck_{, para qualquer k) à uma solu¸cão}

de (1) em D.

A demonstra¸c˜ao deste teorema segue da estimativa do gradiente para solu¸c˜oes em D dada por [23] (Theorem 1.1) e da prova do Teorema de Compacidade em [9] (Theorem 3.1).

Teorema 3.27 (Teorema da Convergência Monótona). Seja_{un} uma sequência crescente ou

decrescente de solu¸cões de (1) em um dom´ınio D _{∈ M. Se a sequência é limitada em um} ponto p ∈ D, existe uma vizinhan¸ca de p, U ⊂ D tal que {un} converge à uma solu¸cão em

U. A convergência é uniforme em subconjuntos compactos de U e a divergência é uniforme em subconjuntos compactos de V = D_{− U. Se V é não-vazio, ∂V consiste de arcos de curvatura} ±2H e arcos do ∂D. Esses arcos são convexos para U se a sequência é crescente e côncavo caso contrário.

Uma demonstra¸c˜ao do Teorema 3.27 pode ser encontrada em [9] (Theorem 6.2).

Defini¸cão 3.28. U será chamado de conjunto de convergência e V de conjunto de divergência.

O próximo lema nos dá uma restri¸cão aos arcos do bordo de um conjunto de divergência. Sua demonstra¸cão pode ser encontrada em [9] (Lemma 6.3).

Lema 3.29. Sejam D ⊂ M e C ⊂ ∂D com κ(C) ≥ 2H. Seja {un} uma sequˆencia crescente

ou decrescente de solu¸c˜oes de (1) em D tal que cada un ´e cont´ınua em D∪ C. Suponha que

existe um arco L contido no bordo do conjunto de divergência. Então L não pode terminar em um ponto interior de C.

3.6 Teorema de Existˆ

encia

Nesta se¸cão mostraremos o teorema de existência para o problema de Dirichlet para dom´ınios limitados. Uma das condi¸cões para a existência envolve a curvatura dos arcos do bordo do dom´ınio. Um primeiro teorema nesta dire¸cão é

(28)

Teorema 3.30([23]- Theorem 1.2). Seja D_{⊂ M um dom´ınio limitado com bordo de classe C}2

satisfazendo κ(∂D)≥ 2H+ǫ, para algum ǫ > 0. Então dada uma fun¸cão cont´ınua f : ∂D → R, existe uma única solu¸cão de (1) u_{∈ (C}2_(D)_{∩ (C}0_(D_{∪ ∂D))) em D tal que u|}

∂D = f .

Gostar´ıamos que a condi¸cão sobre a curvatura do bordo fosse κ(∂D) ≥ 2H. Para isso usaremos o método de Perron. Necessitaremos de uma defini¸cão.

Sejam D _{⊂ M um dom´ınio e f : ∂D → R uma fun¸cão cont´ınua, consideremos o conjunto} Sf ={v ∈ C2(D)∩ C0(D∪ ∂D); v é uma subsolu¸cão de (1) em D e v|∂D≤ f}.

Seja B _{⊂ D um subdom´ınio compacto com bordo suave contido em D, tal que κ(∂B) > 2H.} Já que ∂B é compacto, κ(∂B) > 2H equivale à κ(∂B) > 2H + ǫ para algum ǫ > 0. Para cada v ∈ Sf nós definimos o levantamento de v em B como

V (p) =

v(p), if p_{∈ B}

v(p), if p∈ D − B ,

onde v ´e a solu¸c˜ao de (1) em B dado pelo Teorema 3.30 com valor de bordo v_|∂B = v|∂B.

Teorema 3.31. Seja D ∈ M um dom´ınio limitado com bordo de classe C2,α _{e satisfazendo}

κ(∂D) _{≥ 2H. Suponha que existe uma subsolu¸cão limitada em D. Então dada uma fun¸cão} cont´ınua f : ∂D → R, existe uma única solu¸cão de (1) u ∈ (C2_(D)_{∩ (C}0_(D_{∪ ∂D))) em D}

com u|∂D = f .

Demonstra¸cão. Nós observamos que existe um gráfico m´ınimo sobre D que se estende continua-mente com valor de bordo f , veja [17](Theorem 1.2). Observemos que esta superf´ıcie minima é uma supersolu¸cão de (1) em D.

Usando o método de Perron nós mostraremos que existe uma solu¸cão em D e usando as barreiras do Lema 3.23 mostraremos que essa solu¸cão possui o valor de bordo prescrito.

Definimos,

u = sup

Sf

v.

O conjunto Sf é não vazio por hipótese, a existência de uma supersolu¸cão e o Princ´ıpio do

Máximo garantem que u está bem definida. Mostraremos agora que u é de fato uma solu¸cão em D. Sejam p _{∈ D e B = B}p(ǫ) uma bola geodésica de M centrada em p com raio ǫ, nós

escolhemos ǫ pequeno o suficiente de modo que B∪ ∂B esteja contido em D e κ(∂B) > 2H (e por compacidade, κ(∂B) > 2H + ǫ′_{). Seja}_{v

n} uma sequˆencia em Sf tal que lim

n→∞vn(p) = u(p),

esta sequˆencia existe pela defini¸c˜ao de u. Para cada n, seja Vn o levantamento de vn em B.

Observamos que {Vn} ⊂ Sf, Vn(p) → u(p). Al´em disso, como {Vn} ≤ u em B, temos pelo

teorema de compacidade que alguma subsequˆencia de _{Vn}, ainda chamada {Vn}, converge `a

uma solu¸cão eu de (1) em B uniformemente em subconjuntos compactos de B. Pela defini¸cão de u, e de {vn} nós temos que eu ≤ u e eu(p) = u(p).

Nós afirmamos que u = eu em B. Se não fosse este o caso, existiria um ponto q _{∈ B, tal que} u(q) > eu(q). Isto significa que existe uma fun¸cão ev ∈ Sf, com eu(q) < ev(q). Definimos então

outra sequˆencia {wn} ⊂ Sf como wn = max{ev, vn}, e consideramos Wn seu levantamento em

B. Como antes nós obter´ıamos uma subsequência de _{Wn} que converge à uma solu¸cão w em

(29)

e eu(p) = w(p) = u(p). Então aplicando o Princ´ıpio do Máximo, nós conclu´ımos que eu = w in B. Isto contradiz a defini¸cão de ev e mostra que eu = u em B. Como p é um ponto arbitrário nós temos que u é uma solu¸cão de (1) em D.

Agora mostraremos que u_|∂D = f . Como existe uma supersolu¸c˜ao de (1) em D com valor

de bordo f , pelo Princ´ıpio do M´aximo, temos que u|∂D ≤ f.

O próximo passo é mostrar que essa solu¸cão u possui o valor de bordo f . Para vermos isso, observamos que a constante C do Lema 3.23 pode ser escolhida tão grande quanto necessário, a fim de termos, para um ponto fixo p∈ ∂D,

(i) w(p) + f (p) = f (p);

(ii) w + f (p) < u, in (D∩ ∂∆) − {p};

(iii) w + f (p)) < f, in (∂D_{∩ (∆ ∪ ∂∆)) − {p},}

w definido como no Lema 3.23. Esta barreira nos permite concluir que a solu¸c˜ao u tem o valor de bordo prescrito.

A unicidade segue do Princ´ıpio do M´aximo.

Com este teorema construiremos um exemplo como em [9] (Corollary 3.6) e estenderemos o resultado acima para dom´ınios que tˆem arcos de classe C2,α _{por partes.}

Exemplo 3.32. Sejam Γ ⊂ ∂D um arco de classe C2,α _{com κ(Γ) = 2H e p} _{∈ Γ um ponto}

interior `a Γ. Seja ∆_{⊂ (B}p(δ)∩D) um dom´ınio convexo obtido por suavizar o bordo do dom´ınio

convexo limitado por Γ e ∂Bp(δ), onde Bp(δ) ´e a bola geod´esica centrada em p com raio δ > 0.

Nós consideramos uma fun¸cão suave f ≤ 0 definida no ∂∆ com f ≡ 0 em uma vizinhan¸ca de p e f _{≡ −M em uma vizinhan¸ca de ∂B}p(δ). Se existe alguma subsolu¸cão em ∆, pelo Teorema

3.31, existe uma solu¸c˜ao suave w− _{de (1) em ∆ com valor de bordo f .}

Necessitaremos de uma defini¸c˜ao

Defini¸c˜ao 3.33. Para p _{∈ ∂D, D ⊂ M um dom´ınio limitado, n´os definimos a curvatura} exterior ˆκ(p) como sendo o supremo de todas as curvaturas normais (com respeito ao interior de D) de curvas de classe C2 _{que passam por p e que localmente suportam D. Se uma tal curva}

n˜ao existe, definimos ˆκ(p) sendo _{−∞. Notemos que ˆκ(p) = κ(p) em todos os pontos regulares} do ∂D.

Usando o Exemplo 3.32, e os obtemos um teorema similar ao Teorema 3.2 de [9].

Teorema 3.34 (Teorema de Existˆencia). Seja D _{⊂ M um dom´ınio limitado cujo bordo ´e de} classe C1 _{por partes. Suponhamos que ˆ}_κ(p)_{≥ 2H, ∀p ∈ ∂D, exceto para um conjunto finito E}

de pontos do vértice do ∂D. Prescrevemos o valor de bordo f , f cont´ınua. Se E = _{∅, existe} uma única solu¸cão de (1) em D, que se estende continuamente ao bordo com o valor prescrito ∂D. Caso E 6= ∅, existe uma única solu¸cão de (1) em D assumindo continuamente o valor de bordo em ∂D_{− E.}

(30)

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos inicialmente que E = _{∅. N´os aproximamos D por dom´ınios} con-vexos com bordo suave Dn ⊂ D que satisfazem κ(∂Dn)≥ 2H. Estendemos o dado de bordo f

como a solu¸cão minima em D. Seja fn a restri¸cão dessa extensão ao ∂Dn, observemos que{fn}

converge uniformemente à f . Então, o Teorema 3.31 nos dá uma única solu¸cão suave un em

Dn com un = fn no bordo ∂Dn e cada un ´e uniformemente limitada independente do n (isso

ocorre porque a solu¸cão m´ınima é uma supersolu¸cão para (1)). Pelo Teorema de Compacidade e por um processo diagonal, extra´ımos uma subsequência de_{un} que converge uniformemente

em subconjuntos compactos de D `a uma solu¸c˜ao u de (1) em Ω.

Falta mostrarmos que u = f no bordo ∂D. Fixemos p _{∈ ∂D; q ∈ ∂D}n com dist(p, q) < δ.

Dado ǫ > 0 escolhemos δ > 0 tal que_|fn(x)−fn(q)| < ǫ e |fn(q)−f(p)| < ǫ se dist(x; q) < δ e n

´e grande. Seja um arco de curvatura constante 2H que suporta ∂Dn em q e sejam−w(x) = w+

e w(x) = w−_{barreiras por cima e por baixo em ∆ dadas pelo Exemplo 3.32 com M} _{≥ 2 sup |u} n|.

Ent˜ao pelo Principio do M´aximo

w(x)− 3ǫ ≤ un(x)− f(p) ≤ −w(x) + 3ǫ.

Isto nos permite concluir que u ´e cont´ınua em D_{∪ ∂D e que u = f em ∂D.}

Caso E _{6= ∅, utilizamos o método de Perron. Observemos que não temos barreiras para} utilizar nos pontos de E, e por este motivo não podemos prescrever valores de bordo sobre E.

(31)

4 Teorema em M

_{× R}

4.1 Defini¸

c˜

oes e Enunciados Principais

O objetivo desta se¸cão é enunciar dois teoremas. Necessitaremos de algumas defini¸cões. Nós consideraremos dom´ınios Ω de classe C2,α _{por partes, a primeira defini¸cão faz uma distin¸cão}

entre v´ertices de Ω.

Defini¸c˜ao 4.1. Sejam Ω de classe C2,α _{por partes, d um v´ertice de Ω, e Γ}

1 e Γ2 dois arcos

distintos do bordo de Ω que possuem d como ponto final. Se existe uma sequência de pontos pin, i = 1, 2 contidos em Γi com {pin} convergindo à d, tal que os segmentos de geodésica

ligando p1n a p2n estão contidos em Ω, então d é chamado de vértice convexo. Caso contrário

d é chamado de vértice côncavo.

Defini¸cão 4.2 (Dom´ınio Admiss´ıvel Limitado). Um dom´ınio limitado Ω _{∈ M é chamado de} dom´ınio admiss´ıvel se é simplesmente conexo e possui bordo de classe C2 _{por partes. O bordo}

∂Ω consiste de trˆes conjuntos de arcos abertos de classe C2_, _{A

k}, {Bl} and {Cm} e dos pontos

finais de tais arcos. A curvatura destas fam´ılias de arcos satisfazem, κ(Ak) = 2H; κ(Bl) =−2H

e κ(Cm)≥ 2H, (com respeito ao interior de Ω). Além disso, um vértice convexo não pode ser

o ponto final de dois arcos Ak ou de dois arcos Bl. No caso da fam´ılia {Bl} ser n˜ao vazia,

assumimos que existe um dom´ınio simplesmente conexo Ω∗ _{contendo Ω, cujo bordo ´e formado}

por substituir cada arco Bl por um arco Bl∗, onde Bl∗ ´e um arco de classe C2 ligando os pontos

finais de Bl com curvatura κ(Bl∗) = 2H, com respeito `a Ω∗ e tal que (Ω∗− Ω) ∩ (Ω ∪ ∂Ω) = ∅.

Al´em disso, assumimos que o dom´ınio Ω ou Ω∗_{, caso a familia} _{B

l} seja n˜ao vazia, admite

uma subsolu¸c˜ao limitada para o Problema de Dirichlet Cl´assico.

Notemos que o Exemplo 3.3 diz que se H é suficientemente pequeno, então existe uma subsolu¸cão em qualquer dom´ınio Ω⊂ M.

A exigência na curvatura dos arcos de Ω, vem das fórmulas do fluxo e do problema de Dirichlet Clássico. O que não parece tão natural, é a exigência de que um vértice convexo não pode ser o ponto final de dois dos arcos Ak ou dois arcos Bl. Mas isso também é uma

consequência das fórmulas do fluxo. Suponha que temos dois arcos A1, A2 pertencentes à

fam´ılia _{Ak}, com mesmo v´ertice convexo como ponto final e uma solu¸c˜ao u em D com valor

de bordo +∞ sobre A1∪ A2. Escolhamos pontos p1n ∈ A1 e p2n ∈ A2 pr´oximos ao ponto final

comum P de A1, A2. Sejam P p1n o arco em A1 ligando P a p1n, P p2n o arco em A2 ligando P

a p2n, p1np2n a geodésica ligando p1n à p2n e T o triângulo formado por P p1n, P p2n e p1np2n.

Como p1np2n ⊂ Ω, aplicando a f´ormula do fluxo temos

2H_A(∆T) = Fu(P p1n) + Fu(P p2n) + Fu(p1np2n)

≥ |P p1n| + |P p2n| − |p1np2n|,