Na seção 3.7, observamos que dado um problema mecânico quântico, ou seja, conhecendo U(x) é possível obterw(x) (3.148) e assim, encontrar um potencial de teoria de campoV(φ) (3.144). Uma questão importante neste caso é a seguinte: Existe apenas uma Teoria de Campos associada a cada potencial de estabilidade? A resposta para essa questão pode ser encontrada em [69] e será discutida neste momento.
Uma importante observação a ser feita, está na equação (3.146), que fornece a solução do modelo da Teoria de Campos. A constante de integração c, pode ser absorvida por uma sim-ples redefinição do campoφ, correspondendo a um modelo de Teoria de Campos equivalente.
Contudo, deve-se levar em conta a possibilidade do modelo reconstruido possuir mais de um setor topológico, onde a constantecpode ter mais de um valor, conduzindo a outras possíveis soluções estáticas. Isso impede a eliminação decdo problema, por executar uma redefinição ex-clusiva deφ, no qual, dependendo de cada caso, pode implicar em Teorias de Campos Escalares diferentes.
Considerando agora a reconstrução do potencial de estabilidadeU(x), onde o espectro dos autovalores são positivos, devido ao modelo da teoria de campos possuir potencial não nega-tivo, implicando que todas as soluções tipo kink são estados BPS, que resolvem a equação de primeira ordem.
Supondo queU(x)possuiNestados ligados,ω1>ω2>· · ·>ωN=0, ondeωNcorresponde ao modo zero. De acordo com a mecânica quântica supersimétrica [68], o potencialU(x)possui o seu parceiro supersimétrico U1(x), com o hamiltoniano H1 = SS† (observar a ordem dos operadores, que difere de (3.138)).
U1(x) =K2(x) +K0(x) (3.155) ondeK(x)é obtido pela equação (3.143). Uma forma de obter os autovalores (estados ligados) é atuando os operadoresH eH1.
3.8 DA MECÂNICA QUÂNTICA PARA TEORIAS DE CAMPOS ESCALARES 47
Hψn=S†Sψn=ωnψn (3.156)
H1(Sψn) =SS†Sψn=ωn(Sψn) (3.157) H1(Sψn+1) =SS†Sψn+1=ωn+1(Sψn+1) (3.158) H1ψn1=SS†ψn1=ωn1ψn1 (3.159) H(S†ψn1) =S†SS†ψn1=ωn1(S†ψn1) (3.160) Dessa forma, os autovalores deHeH1estão relacionados porωn1=ωn+1, ondeω0=ωN=0 e assim,ω01=ω1. O modo zero de H1corresponde ao primeiro estado excitado deH. Portanto, H1contém o mesmo espectro de estados ligados deH, exceto paraωN =0. O hamiltonianoH pode ser escrito como
H=S†S+ωN (3.161)
comU(x) =k2(x)−k0(x) +ωN. Então,H1será
H1=SS†+ωN =S1†S1+ω1 (3.162) ondeω01=ω1. O hamiltonianoH1 possui também um parceiro supersimétricoH2, que terá o mesmo espectro, exceto para o modo zero deH1.
Dessa forma, uma sequência de fatorização de hamiltonianos parceiros supersimétricos, resultará emHn=Sn†Sn+ωn, com os estados ligadosω1>ω2>· · ·>ωn, comn6=N. Assim, o potencial de estabilidade torna-se
Un−ωn=k2n(x)−k0n(x) (3.163) ondekn(x)é dado pela equação (3.143), comnfornecendo o modo zero deUn.
kn(x) =w0n(x)
wn(x). (3.164)
O potencialUnpossui o seu parceiro supersimétrico, que neste caso, não contém o estado ligado ωn. Logo, o espectro éω1>ω2>· · ·>ωn−1e o potencial de estabilidade é escrito na forma
Un−1−ωn=k2n(x) +k0n(x) (3.165) ouUn−1=k2n−1(x)−k0n−1(x) +ωn−1.
Paran=1, temos queU0é um potencial que não possui estado ligado. Assim, uma possi-bilidade é queU0 tenha um espectro contínuo positivo não nulo. Contudo, esta possibilidade é descartada ao considerar que o potencialU(x)é simétrico e sem reflexão. Isto implica queU0 deve ser uma constante positiva [65,66]. Substituindo a expressão (3.164) em (3.165), encontra-se uma equação diferencial de encontra-segunda ordem
−d2wn(x) dx2 +
Un−1(x)−ωn2
w2n(x) =0. (3.166) A solução wn(x) deve ser sempre ilimitada no limite x→ ±∞. Isso porque (3.166) é uma equação tipo Schrödinger para o estado de energia zero, que deve ser ausente no espectro de Un−1−ωn2.
A equação (3.166) contém duas soluções linearmente independentes. Se for exigido queUn possua paridadeUn(−x) = +Un(x), então é necessáriokn(−x) =−kn(+x)ewn(−x) =wn(+x).
Essas condições eliminam uma das soluções linearmente independentes. Em seguida, a recons-trução da teoria de campo a partir de um potencial simétrico sem reflexão será realizada para um e dois estados ligados.
3.8.1 Um estado ligado
A situação com um estado ligado tem somente o autovalorω12=0. Potenciais simétricos sem reflexão demandamU0ser um potencial constante positivo. Então,U0=α2>0, paraα real. Dessa forma, a equação (3.166) será
−d2w1(x)
dx2 +α2w21(x) =0. (3.167) Uma das soluções é
w1(x) =cosh(αx). (3.168)
A outra solução é sinh(αx), mas esta é antisimétrica e não será considerada. Uma adequada constante de normalização não é necessária, desde que não aparece em (3.164), nem no poten-cialU(x). Aplicando (3.168) em (3.164) e (3.163), obtemos
k1(x) =αtanh(α), (3.169)
e
U1(x) =α2
1−2 sech2(αx)
. (3.170)
Fazendo a mudança de variável αx→x na equação de Schrödinger associada ao estudo da estabilidade (3.138), podemos reescrever o potencialU1(x)como
U(x) =1−2 sech2(x) (3.171) ondeU1(x)pode ser identificado porU(x). A soluçãoφ(x)é obtida de (3.146) e torna-se
φ(x) =±2 arctanh
tanhx 2
i−c (3.172)
Invertendo esta equação para obterx(φ)e substituir em (3.144), encontra-mos V(φ) =1
2cos2(φ+c) (3.173)
Note queV(φ)tem mínimos quandoφ+c= (2m+1)π/2 paraminteiro. O conjunto completo de soluções será dado por
φm(x) =±2 arctanh
tanhx 2
i
+mπ. (3.174)
Alguma outra escolha decem (3.173) irá reproduzir Teorias de Campos equivalentes, com os mesmos número de setores topológicos. Portanto, o potencial pode ser escrito
V(φ) = 1
2cos2(φ) (3.175)
o qual é o modelo seno-Gordon. Até o momento, nenhuma novidade surge devido a constante c, exceto que esses valores descrevem diferentes setores topológicos da mesma teoria.
3.8 DA MECÂNICA QUÂNTICA PARA TEORIAS DE CAMPOS ESCALARES 49
3.8.2 Dois estados ligados
Considerando a situação em que o potencialUn(x)admite dois estados ligados, onde os dois autovalores obedecemω12>ω22=0, a equação (3.166), passa a considerarU0−ω12=β2>0.
Isto nos permite obter
w1(x) =cosh(βx) (3.176)
e assim encontrarmos
k1(x) =βtanh(βx) (3.177)
Dessa forma, o potencial de estabilidade será U1(x) =β2
1−2 sech2(βx)
+ω12 (3.178)
ParaU2(x), é necessário resolver a equação (3.166) e assim obtermosw2(x).
−d2w2(x) dx2 +
β2+ω12−2β2sech2(βx)
w22(x) =0 (3.179) realizando a mudança de variávely=tanh(βx), para encontrar a equação diferencial associada de Legendre paral=1 [70]
d dy
(1−y2) d dyw2
+
2− m2 1−y2
w2=0 (3.180)
onde
m2≡1+ω12
β2, (3.181)
comow2(x) é uma função simétrica não limitada. As soluções covenientes de (3.180) são os polinômios associados de Legendre de segunda espécieQml (y)[71, 72].
Qml (y) =eimπ2lΓ(l+m+1)Γ(l+1)
Γ(2l+2) (y+1)−l+m2−1(y−1)−m2 ×
2F1
l+1,l−m+1; 2l+2; 2 1+y
(3.182) onde|2/(1+y)|<1. É preciso conhecer a diferença entreU0eω12, para obter o valor dem, que tem como valorm=2 [69]. Neste caso, segue queω12=3β2 eQ21(y) =cosh2(βx). Portanto, temos
w2(x) =cosh(βx) (3.183)
k2(x) =βtanh(βx) (3.184)
e
U2(x) =β2
4−6 sech2(βx)
(3.185) Fazendo uma redefiniçãoβx→xem (3.138), podemos reescreverU2(x)≡U(x)na forma
U(x) =4−6 sech2(x) (3.186) e eliminar tambémβ em (3.183) e (3.184). A solução correspondente é dado por
φ(x) =±tanh(x)−c (3.187)
deste modo, ao invertermosφ(x)para aplicarx(φ)no potencial (3.144) e ficarmos com V(φ) = 1
2sech4(x) = 1 2
1−φ2−2cφ−c22
(3.188) Este resultado requer uma rigorosa investigação, para estudar as diferentes Teorias de Campos que podem surgir devido as escolhas distintas dec. Vejamos alguns casos:
• c=0
A escolha dec=0, reproduz os resultados da teoria bem conhecidaφ4, caracterizado pelo potencial (3.188), ou seja
V(φ) = 1
2 1−φ22
(3.189) Essa escolha parac, implica no problema com um único setor topológico, uma vez que o po-tencialV(φ)tem somente dois mínimos (φ±=±1). O setor topológico descrito pelas soluções kink e antikink (3.65) é
φ(x) =±tanh(x). (3.190)
Essa reconstrução é unívoca, no sentido que uma simples redefinição do campoφ em (3.189) não irá configurar um novo modelo, porque não modifica o número de mínimos nem a estrutura topológico do potencialφ4. Como discutido anteriormente, isso também é válido para o modelo seno-Gordon.
• c=±1
A escolha c=±1 é diferente. Ele descreve dois setores topológicos distintos da mesma Teoria de Campos. Considerando as soluções
φ(x) =±tanh(x)∓1 (3.191)
onde os sinais±distinguem entre as duas soluções BPS. Dessa forma,φ =−|φ|parac=1 e φ =|φ|parac=−1. O potencial (3.188) então será para ambas escolhas decdado por
V(φ) =1
2φ2(2c+φ)2=1
2φ2(2− |φ|)2 (3.192) É possível definirφ →2φ exµ →xµ/2, na densidade lagrangiana da Teoria de Campos, para reescrever o potencial do modelo como
V(φ) =1
2φ2(1− |φ|)2 (3.193)
que possui três mínimos (φ0 =0 e φ± = ±1) e dois setores topológicos. Neste caso, uma redefinição do campo não irá levar ao modeloφ4e assim, temos potenciais distintos, que cor-respondem à Teorias de Campos distintas.
3.8 DA MECÂNICA QUÂNTICA PARA TEORIAS DE CAMPOS ESCALARES 51 É importante observar que o potencial (3.193) não descreve o modelo φ6 que possui po-tencial de estabilidade assimétrico, como discutido na seção 3.4. Portanto, a reconstrução de uma Teoria de Campos a partir de um potencial de estabilidade, nem sempre tem correspondên-cia unívoca, ou seja, um único potencorrespondên-cial de estabilidade pode levar a duas Teorias de Campos distintas. A reconstrução para o caso de três ou mais estados ligados, torna-se difícil de ser resolvida analiticamente.
Método da deformação
Neste capítulo será apresentado o método da deformação. Dessa forma, será descrito o procedimento de construir modelos de Teorias de Campos Escalares, a partir de um modelo já conhecido. A relação entre as soluções, densidade de energia e o modo zero, dos dois modelos, serão apresentadas. Alguns exemplos são abordados para mostrar a eficácia do método. Será também retomado o procedimento que permite obter Teorias de Campos Escalares a partir de um potencial mecânico quântico, mas agora com as contribuições do método da deformação.