Campos escalares e método da deformação

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu

em Física

Dissertação de Mestrado

Campos Escalares e o Método da Deformação

Emanuel Wallison de Oliveira Costa

João Pessoa

2020

Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu

em Física

Dissertação de Mestrado

Campos Escalares e Método da Deformação

Dissertação realizada sob a orientação do Prof. Dr. Laercio Losano e coorientação do Prof. Dr. Dionisio Bazeia Filho, apre- sentada à Coordenação do Programa de Pós- Graduação Stricto Sensu em Física da Uni- versidade Federal da Paraíba, em comple- mentação aos requisitos para obtenção do Tí- tulo de Mestre em Física na Área de Concen- tração de Física de Partículas e Campos.

Emanuel Wallison de Oliveira Costa

João Pessoa

2020

C838c Costa, Emanuel Wallison de Oliveira.

Campos escalares e o método da deformação / Emanuel Wallison de Oliveira Costa. - João Pessoa, 2020.

123 f. : il.

Orientação: Laercio Losano.

Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1. Campos escalares. 2. Kinks. 3. Estabilidade. 4.

Topologia. I. Losano, Laercio. II. Título.

UFPB/BC CDU 530.14(043) Catalogação na publicação

Seção de Catalogação e Classificação

Elaborado por GRACILENE BARBOSA FIGUEIREDO - CRB-4385

Agradeço primeiramente a Deus, à minha família, à família Patrício e à minha namorada, que estiveram todo este tempo ao meu lado. Quero agradecer ao meu orientador Laercio Lo- sano, por toda a paciência e dedicação durante a orientação, ajudando retificar muitos dos meus erros. Agradeço também ao professor Dionisio Bazeia, que coorientou este trabalho, buscando todo momento, compartilhar o seu enorme conhecimento. Extendo os meus agradecimentos a todos os membros do grupo de Teoria de Campos da UFPB, os professores Roberto Menezes e Matheus Marques e os alunos Igor Andrade, Douglas Ferreira, João Victor, Matheus Paga- nelly, Matheus Bongestab e Matheus Lião, que se tornaram grandes amigos. De forma especial, também quero agradecer a José André, Jordania Balbino, Matheus Wesley e Rodrigo Vieira, amigos importantes antes e durante a minha permanência em João Pessoa.

Agradeço também ao departamento de Física da UFPB e a todos os Docentes e Dicentes que contribuiram na minha formação. Em especial agradeço a Anny Carolina, Messias Cruz, Youshiyuk Miranda, Mauro Parnaiba, Willames Magalhães, Jefferson Luan, Fabiano Oliveira, Jesriel Rocha, Anderson Vinícius, Andréa Santos, Degivan Silva, Raíssa Neves e Adriano Oli- veira, cada um dos quais contribuiu para a minha formação com discussões e ensinamentos.

Meus agradecimentos também se extende aos amigos Weslley Barros, Gerinaldo, Alercio, Fabiano, Gerson, Davi, Severino, Marcus Vinicius e aos professores Jardel Lucena, Thiago Araújo, Gilson Aciole, Celson Augusto e Edvaldo de Oliveira “Mará” (in memoriam), que sempre compartilharam dos seus conhecimentos. Agradeço aos amigos conterrâneos Matheus Lima, Adelmo, Robert, Deise, Edson, Lucas, Allan e Luana Aires, que indiretamente contribui- ram para realização deste trabalho.

Por fim, agradeço a agência FAPESQ-PB pelo suporte financeiro, que possibilitou a reali- zação do mestrado e elaboração desta dissertação.

i

Resumo

Esta dissertação constitui um estudo sobre Teoria Clássica de Campos, com uma abordagem específica para campos escalares. Inicialmente são apresentados as equações de movimentos, energias e condições de estabilidade das soluções, que podem ter características topológicas, denominadas por kinks ou não topológicas, nomeadas por lumps. Em seguida, serão discuti- dos importantes modelos como, por exemplo, os modelosφ⁴,φ⁶, seno-Gordon e seno-Gordon duplo. Será também estudado o fenômeno de quebra espontânea de simetria, o método de Bo- gomol’nyi e a construção de Teoria de Campos a partir de potenciais da mecânica quântica.

Posteriormente é apresentado o método da deformação, que permite construir novos modelos de Teoria de Campos solúveis. Prosseguimos com a aplicação do método, para obter novas fa- mílias de modelos seno-Gordon e de potenciais polinomiais, que permitem explorar interações de longo alcance entre kinks.

Palavras-chave: campos escalares, kinks, estabilidade, topologia, método da deformação.

ii

This dissertation constitutes a study on Classical Field Theory, with a specific approach for scalar fields. Initially, the equations of motion, the energy, and the stability conditions of the solutions are presented. These solutions which present topological features are, called kinks, besides the non-topological ones are, named lumps. Moreover, important models are going to be discussed, for instance, modelsφ⁴,φ⁶, sine-Gordon and double sine-Gordon. The phenomenon of spontaneous symmetry breaking, the Bogomol’nyi method, and the construction of Field Theory based on potentials of quantum mechanics also are going to be addressed. Subsequently, the deformation method is presented, which allows us to build analytic Field Theory models.

Finally, we proceed with the application of the method, to obtain new families of sine-Gordon models, and polynomial potentials, that allow are to explore long-range interactions between kinks.

Keywords: scalar fields, kinks, stability, topology, deformation method.

iii

Sumário

1 Introdução 1

2 Campos escalares 4

2.1 Teoria de campos 4

2.2 Equação de movimento 6

2.3 Simetria 7

2.4 Energia 7

2.5 Teorema de Derrick 9

2.6 Solução da equação de movimento 11

2.7 Estabilidade linear 14

3 Modelos de campos escalares 17

3.1 Modeloφ⁴ 17

3.1.1 Partículas de Goldstone 22

3.1.2 Transição de fase de segunda ordem 25

3.2 Modeloφ⁴invertido 27

3.2.1 Vácuo falso 29

3.3 Estados BPS 30

3.4 Modeloφ⁶ 34

3.4.1 Transição de fase de primeira ordem 36

3.5 Modelo seno-Gordon 37

3.5.1 Parede de domínio 39

3.6 Modelo seno-Gordon duplo 40

3.6.1 Fase canted 43

3.7 Teoria de campos e mecânica quântica 44

3.8 Da mecânica quântica para teorias de campos escalares 46

3.8.1 Um estado ligado 48

3.8.2 Dois estados ligados 49

4 Método da deformação 52

4.1 Função deformação 52

4.2 Deformandoχ⁴→φ⁶ 54

4.3 Deformandoχ⁴→seno-Gordon 55

4.4 Nova conexão entre teorias de campos escalares e mecânica quântica 56

4.4.1 Potenciais simétricos 56

4.4.2 Potenciais assimétricos 58

5 Novas famílias de modelos seno-Gordon 60

5.1 Modelo seno-Gordon duplo a partir do método da deformação 60

5.2 Modelos seno-Gordon triplo e quadruplo 65

iv

5.3 Setores topológicos na família seno-Gordon 71

6 Campos escalares com interações polinomiais 74

6.1 Potenciais polinomiais 74

6.2 Os modelos da famíliasenoparaainteiro 77

6.3 Os modelos da famíliacossenoparaainteiro 79

6.4 Superpotencial e energia 81

6.5 Estabilidade e modo zero 82

6.6 Teoria de campoφ⁸ 83

7 Novos modelos de campos escalares 85

7.1 Novos modelos 85

7.2 Modelos deformados 89

7.2.1 Novos modelos paraainteiro 90

7.2.2 Novos modelos paraasemi-inteiro 94

7.3 Superpotencial e energia 96

7.4 Estabilidade e modo zero 98

7.5 Interações entre kinks 100

8 Conclusões e perspectivas futuras 102

Apêndices 103

A Funções hipergeométricas 104

A.1 Funções de Appel 105

A.2 Demonstrações 105

Referências Bibliográficas 109

C

1

Introdução

Campos são funções que dependem continuamente do espaço e do tempo, que podem ser usados para descrever sistemas contínuos com um número infinito de graus de liberdade [1].

Exemplos familiares de campos clássicos, são os campos elétricos e magnéticos, presentes na teoria do eletromagnetismo, cuja dinâmica é fornecida pelas equações de Maxwell, permitindo descrever os fenômenos ópticos, onde o fóton é a partícula contida na teoria. Portanto, campos podem ser vistos como quantidades físicas, que presentes em uma dada teoria, podem descrever novos tipos de partículas [2]. Exemplos desta natureza são, o campo de Schrödinger livre, que tem a finalidade de estudar partículas de spin 1/2, e o campo de Klein-Gordon, que na Teoria Quântica de Campos, descreve partículas massívas sem spin, denominadas por mésons escalares [3].

Uma característica dessas Teorias de Campos, é que elas possuem equações lineares, sendo isto um dos requisito para que possam descrever novos tipos de partículas elementares. No entanto, no século XX, uma nova abordagem para teoria quântica de campos foi desenvolvida, onde físicos e matemáticos iniciaram estudos de equações de campos clássicas na sua forma não linear, interpretando algumas das soluções como candidatas a partículas da teoria. Essas partículas não tinham sido estudadas antes e são diferentes das partículas elementares que sur- gem da quantização das excitações tipo onda dos campos. Suas propriedades são largamente determinadas por equações clássicas, embora um tratamento sistemático de correções quânticas seja possível [4].

Contudo, equações não lineares já possuíam aplicações em diversos sistemas físicos [5], como, por exemplo, no estudo de dispersão de ondas acústicas em plasma, onde a equação nesse caso é conhecida como equação de Korteweg-de Vries (KDV) (1895) [6]. A solução da equação KDV é uma onda na forma de pulso, que se propaga com velocidade constante, sendo chamada de onda solitária. Esse tipo de onda foi discutida originalmente por J. Scoot Russel (1844) [7], que relatou seu primeiro contato com o fenômeno, ocorrido em agosto de 1834, quando observou um monte de água arredondado ser formado no canal, movendo sem mudança de forma ou diminuição de velocidade. Portanto, ondas solitárias dessa natureza também são conhecidas como sólitons e estão também presentes em diversas áreas da Física.

Sólitons também podem ser encontrados em teorias da matéria condensada, que possuem natureza quântica e não relativistica. Contudo, o estudo de sólitons foi desenvolvido baseado na Teoria Clássica de Campos, como por exemplo, a teoria da supercondutividade de Ginzburg- Landau [8], onde o campo é assumido estar variando suavemente no espaço e no tempo, repre- sentando uma densidade de férmions. Foi Abrikosov em 1957, quem descobriu que a função energia de Ginzburg-Landau contém sólitons. Sólitons também surgem na óptica, sendo deno- minados de sólitons brilhantes (bright solitons), sólitons escuros (dark solitons), sólitons negros (black solitons) e sólitons cínzas (gray solitons) [9, 10]. A motivação para esses nomes se deve ao fato da variável que fornece a solução, descrever o campo elétrico. No caso de sólitons brilhante, o campo elétrico é mais intenso no centro da solução; no outro caso, para sólitons escuros, o campo elétrico se anula no centro da solução.

1

Um dos objetivos das Teorias de Campos relativísticas, é abordar os sólitons como novas partículas da teoria. Dessa forma, o critério que a teoria seja invariante por transformações de Lorentz, é fundamental. Nesta linha de racíocinio, foram desenvolvidos diversos trabalhos com esse enfoque. Então, é conhecido a existência de sólitons em teorias com(3,1)dimensões do espaço-tempo, denominados por monopolos. Foi Dirac quem propos em 1931, a possibilidade da existência de monopolos magnéticos [11], sendo que a característica das soluções de mo- nopolo magnético se comportarem como sólitons é devido a ’t Hooft [12] e Polyakov [13] em 1974, que propuseram o acoplamento do campo de Yang-Mills com o campo escalar de Higgs, para a existência de sólitons.

Para Teorias de Campos em (2,1)dimensões, há sólitons conhecidos como vórtices, que se comportam de dois tipos: vórtices globais e vórtices locais. Em uma teoria global existe somente o campo escalar complexo, sendo que numa teoria de gauge local, exite o acoplamento com o campo eletromagnético [4]. Neste trabalho, será considerada a existência de sólitons em(1,1) dimensões, conhecidos como kinks, que são soluções de energia finita, conectando valores mínimos do potencial [2].

Uma característica importante dos sólitons em Teorias de Campos relativísticas é sua natu- reza topológica [14]. Dessa forma, diferentemente das partículas elementares da Teoria Quân- tica de Campos, onde essas partículas surgem ao se fazer excitações no vácuo, provocando pequenas deformações no campo, os sólitons, cujas soluções são tipo partículas, não mudam a sua topologia quando o campo sofre excitações quânticas no vácuo [4]. Em muitos casos, a característica topológica do campo é capturada por um número inteiroQ_T, chamado de carga topológica. Isso é usualmente um grau topológico, compreendido como o número de voltas do campo. Então, sólitons com configurações de energia mínima paraQ_T =1, são soluções clas- sicamente estáveis, não permitindo que o campo decaia em um campo topologicamente trivial.

Essas soluções possuem densidade de energia finita, concentrada em alguma região do espaço.

Existe uma simetria de reflexão invertendo o sinal deQ_T, e portanto é chamado de antisólitons comQ_T =−1.

As Teorias de Campos que permitem a existência de sólitons topológicos, possuem uma simetria interna que pode ser discreta ou contínua. Neste caso, a quebra espontânea de simetria, característica de uma transição de fase, provoca o surgimento de um defeito, que pode ser classi- ficado como defeito topológico ou não topológico [15]. Uma definição matemática para defeito seria dizer que ele é uma solução, com energia finita, de uma equação diferencial não linear.

Do ponto de vista físico, um defeito é a região de transição entre fases distintas de um sistema, em suma, é uma região em que o sistema muda suas características e/ou propriedades [16].

Em(1,1) dimensões, kinks são defeitos topológicos estáveis, já os defeitos não topológicos, chamados de lumps, são instáveis. Na matéria condensada, defeitos topológicos estão relacio- nados a uma interface entre regiões distintas, chamadas de paredes de domínio (domain walls), que ocorrem em materiais magnéticos e ferroelétricos [17]. No entanto, os sólitons em fibras ópticas, são defeitos não topológicos.

Essa dissertação é constituída por um estudo sobre campos escalares em (1,1) dimensões. É conhecido que os campos escalares são os mais simples entre os diversos campos em Teoria de Campos, mas que têm sido utilizados de diferentes formas, induzindo mecanismos importantes para o desenvolvimento da Física de Partículas e Campos [18]. Entre as várias possibilidades de utilização de campos escalares, o fenômeno de quebra espontânea de simetria talvez seja o exemplo de maior importância, pois possibilita gerar massas para as partículas elementares, unificar interações e descrever a presença de estruturas topológicas no Universo.

Nos próximos capítulos serão estudados defeitos topológicos e não topológicos em (1,1) dimensões, conhecidos como kinks e lumps, respectivamente. O capítulo 2, apresenta a cons-

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 3 trução de uma Teoria de Campos Escalares relativística e também como encontrar as equações de movimento, soluções e energias da teoria. É abordado a maneira de estudar a estabilidade das soluções, que permite fazer conexões com a mecânica quântica. No capítulo 3, serão descritos alguns modelos da teoria, como por exemplo, os modelosφ⁴,φ⁶e seno-Gordon. O método de Bogomol’nyi será discutido e também a formação de Teorias de Campos, a partir de um sistema quântico.

No capítulo 4 será abordado o método da deformação, apresentando o procedimento de deformação de modelos de Teorias de Campos, com o intuito de obter novos potenciais que permitam a existência de defeitos. Exemplos serão discutidos e o problema da conexão entre Teorias de Campos Escalares e mecânica quântica, será retornado, mas agora com as contribui- ções do método da deformação. Aplicações do método serão realizadas no capítulo 5, onde será possível obter novas famílias de modelos seno-Gordon, por exemplo, os potencias seno-Gordon triplo e quadruplo.

Os capítulos 6 e 7, apresentam, através do método da deformação, a contrução de diversos potenciais com interações polinomiais, possibilitando obter as soluções, energias e estudar a estabilidade linear. Também será explorado o estudo de interações entre kinks. O capítulo 8 finaliza o trabalho, apresentando as conclusões e perspectivas que podem ser alcançadas no estudo de defeitos topológicos e em aplicações do método da deformação.

Campos escalares

Neste capítulo será abordada a forma de construir uma teoria de campo escalar que possua invariância de Lorentz, demostrando o caminho para obter a equação de movimento do campo.

Também serão discutidas as simetrias interna e contínua, onde a última, de acordo com o teo- rema de Noether, conduz a conservação do tensor energia momento. Serão discutidos o teorema de Derrick, a solução da equação de movimento e o estudo da estabilidade das soluções.

2.1 Teoria de campos

Uma maneira possível de descrever sistemas contínuos que possuem um número infinito de graus de liberdade é através de campos escalares. Assim, para cada ponto no espaço existe uma quantidadeφ(x,t)associada a este ponto, denominada por campo [1]. O formalismo lagrange- ano é conveniente para descrever a dinâmica desse campo e umas das razões é a possibilidade de escrever a teoria de uma forma manifestamente covariante [19].

É conhecido em mecânica, que o formalismo lagrangiano assume como príncipio o fato que as forças de vínculo atuando no sistema, não realizam trabalho. isto é conhecido como princípio de d’Alembert [20]. Quando esses vínculos assumem o caso holônomo, provocando restrições ao sistema, é possível reduzir o número de coodernadasN, parancoordenadas independentes entre si, onde o sistema passa a terngraus de liberdade, correspondendo ao mesmo número de de coordenadas generalizadasq_k contidas nas equações de Euler-Lagrange

d dt

∂L

∂q˙_k − ∂L

∂q_k =0; k=1,· · ·,n (2.1) ondeLé uma função escalar, denominada lagrangiana, obtida a partir de duas funções escalares T (energia cinética) eV (energia potencial).

L=T−V. (2.2)

A lagrangiana (2.2), escrita para um sistema discreto, envolve uma soma sobre todos os graus de liberdade, de modo que a lagrangiana de um sistema contínuo deve ser expressa em termos da integral espacial de uma funçãoL, chamada de densidade lagrangiana.

L= ˆ _x2

x1

dxL, (2.3)

ondeL também é uma função escalar, que contém um termo cinético e um termo potencial.

A intenção neste momento é descrever a dinâmica do campo, admitindo que o mesmo é um campo escalar e relativístico, ou seja, é um campo descrito no espaço de MinkoswskiR^d× R dimensões de espaço-tempo, cujo valor em cada ponto é invariante sob transformações de Lorentz, isto é

4

2.1 TEORIA DE CAMPOS 5

φ⁰(x⁰,t) =φ(x,t), (2.4)

ondex= (x,y,z).

Do mesmo modo que a lagrangiana de um sistema discreto contém um termo cinético e um termo potencial, a densidade lagrangiana também deve conter um termo cinético, ou seja, proporcional a “velocidade”. Assim,L deve depender da derivada do campo.

∂_µφ = ∂ φ

∂x^µ = ∂ φ

∂x⁰, ∂ φ

∂x¹, ∂ φ

∂x²,∂ φ

∂x³

= ∂ φ

∂x⁰,∇φ

, (2.5)

ondex^µ = (x⁰,x¹,x²,x³)comx⁰=ct, x¹=x, x²=y, x³=z. Dessa forma,∂_µφ é um quadri- vetor covariante. De forma análoga é possível definir um quadrivetor contravariante∂^µφ cuja assinatura da métrica utilizada é(1,−1,−1,−1).

∂^µφ = ∂ φ

∂x_µ = ∂ φ

∂x₀,−∂ φ

∂x₁,−∂ φ

∂x₂,−∂ φ

∂x₃

= ∂ φ

∂x₀,−∇φ

. (2.6)

Para manter o requisito queL seja um escalar de Lorentz, é necessário que o termo ciné- tico dependa não apenas da derivada do campo, mais sim do produto∂_µφ ∂^µφ tornando-o um escalar. Portanto, a densidade lagrangiana escrita para um único campo escalar será

L = 1

2∂_µφ ∂^µφ−V(φ), (2.7)

onde o fator 1/2 é inserido por conveniência.

Expressar a densidade lagrangiana no caso relativístico, permite escrever uma teoria na forma covariante, ou seja, válida em todos os referenciais inerciais. Dessa forma, quantidades físicas como a velocidade da luzc, possuem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais.

Portanto, neste trabalho utilizaremos as unidades naturais em quec=1 e ¯h=1.

A luz para cada instante de tempot, percorre uma distância espacialx=ct, comc=1, temos que o espaço e tempo possuem a mesma dimensão. De acordo com a relação de Planck-Einstein, E =hω¯ [21], o tempo terá dimensão de inverso da energia,t = [E]⁻¹ e consequentemente o espaço também possuirá dimensão de inverso da energia,x= [E]⁻¹.

É possível também fazer uma análise para dimensão do campo, observando que a ação S associada a densidade lagrangiana da equação (2.7), no qual de todas as trajetórias percorrida pelo campo entre dois pontos no espaço-tempo, a lagrangiana é a função que extremiza, ou melhor, minimizaS. Assim, a ação é definida como

S= ˆ _t2

t1

ˆ _x2

x1

dt dxL. (2.8)

Observando que a dimensão deS= [E][t] =1, ou seja, a ação é adimensional. Isso nos leva a concluir queL deve possuir a mesma dimensão do elemento de integração cuja dimensão varia com a dimensão do espaço-tempo.

Analisando a equação (2.8), observa-se queL = [E]⁴,L = [E]³eL = [E]², para os casos de(3,1),(2,1)e(1,1)dimensões de espaço-tempo, respectivamente. Portanto, a dimensão do campo é observada a partir da equação (2.7), ondeφ = [E]¹,φ = [E]^1/2eφ = [E]⁰é adimensi- onal, em(3,1),(2,1)e(1,1)dimensões de espaço-tempo, respectivamente.

2.2 Equação de movimento

A equação de movimento que fornece a dinâmica do campo é obtida a partir do princípio de mínima ação. O campoφ(x,t)se estende por todo o espaço, possuindo diversas configurações, que podem evoluir entre dois pontos. De acordo com o princípio de mínima ação, existe um movimento do instantet₁ao instantet₂de tal forma que a ação

S= ˆ

Ω

d⁴xL φ,∂_µφ

(2.9) é mínima (mais geralmente, estacionária). Considerando uma variação no campo que leva a uma nova funçãoφ(x,t)escrita como

φ(x,t) =φ(x,t) +ε η(x,t) (2.10) onde ε é um parâmetro real e η(x,t) é uma função contínua diferenciável. Denotando que δ φ ≡ε η(x,t), obedece o fato de δ φ →0 para|x| →∞e δ φ =0 quandot =t₁ e t=t₂ são pontos fixos, implicando queφ(x,t) =φ(x,t)nesses pontos.

Assumindo queL φ,∂_µφ

extremiza a ação, de forma que (2.9) é reescrita como I(ε)≡J φ

= ˆ

Ω

d⁴xL φ,∂_µφ

(2.11) sendo

∂ φ

∂ ε =η(x,t) (2.12)

, e

∂

∂ ε ∂_µφ

=∂_µη(x,t). (2.13)

Dessa forma, a variação da ação fica definida como δS=ε

dI dε

ε=0

= ˆ

Ω

∂L

∂ φ δ φ+ ∂L

∂(∂_µφ)∂_µδ φ

d⁴x=0, (2.14) poisφ(x,t) =φ(x,t)paraε=0. Rescrevendo a equação (2.14) na forma

δS= ˆ

Ω

d⁴x ∂L

∂ φ δ φ+∂_µ

∂L

∂(∂_µφ)δ φ

−∂_µ

∂L

∂(∂_µφ)

δ φ

=0, (2.15) na qual o segundo termo no integrando da equação (2.15) é um termo de superfície, e assumindo que os extremos são fixos, onde a variação do campo deve se anular, o termo de superfície é zero. Deste modo, a equação (2.15) torna-se

δS= ˆ

Ω

d⁴xδ φ ∂L

∂ φ −∂_µ

∂L

∂(∂_µφ)

=0. (2.16)

Comoδ φ é arbitrário, a igualdade é satisfeita se o termo dentro do colchete for nulo, resultando em

∂_µ

∂L

∂(∂_µφ)

−∂L

∂ φ =0, (2.17)

2.3 SIMETRIA 7 que corresponde à equação de movimento. Esta equação é uma generalização das equações de Euler-Lagrange para o caso relativístico.

Uma característica importante é que a equação (2.17) será dita ser uma equação de movi- mento covariante, válida em todos os referenciais inerciais, se o campo e a densidade lagran- giana forem funções escalares, para que ∂L/∂ ∂_µφ

seja um vetor contravariante e o seu produto com o vetor covariante∂µ tenha como resultado um escalar. Dessa forma, a equação (2.17) é invariante sob transformações de Lorentz e isto permite redimensionar as constantes físicas fundamentais da Natureza.

2.3 Simetria

Um novo entendimento sobre a origem das constantes de movimento fundamentais da me- cânica, está no fato de associar as leis de conservação a propriedades geométricas do espaço- tempo [20]. Assim, o papel da simetria na teoria revela características importantes do sistema.

As simetrias são classificadas como discretas ou contínuas. No caso das simetrias discretas, elas podem ser do tipo Paridade, Inversão Temporal e Conjugação da Carga, onde as duas primeiras correspondem a transformações de simetria no espaço e tempo enquanto a última é um exemplo de transformação de simetria interna [19]. além disso, não podemos aplicar transformações infinitesimais nas simetrias discretas.

Por outro lado, simetrias internas contínuas admitem transformações infinitesimais. Por- tanto, uma transformação contínua, por definição, depende de um parâmetro de transformação continuamente. Esse parâmetro pode ser constante, independente do espaço-tempo ou ele pode depender das coordenadas da variável do campo. No primeiro caso, as transformações poderão mudar as variáveis do campo por alguma quantidade em muitos pontos do espaço-tempo. Por outro lado, a mudança na variável do campo, no segundo caso, irá ser diferente em diferentes pontos do espaço-tempo dependendo do valor do parâmetro. Consequentemente, estas transfor- mações são chamadas transformações global e local, respectivamente. As simetrias básicas em teorias de Gauge são simetrias locais, dependente em cada ponto do espaço-tempo [22]. Con- figurações de campo que diferem somente por uma transformação de Gauge são consideradas como fisicamente idênticas [4].

Na dinâmica lagrangiana, a conexão geral entre propriedades de simetria (invariância) e quantidades conservadas é estabelecida por um importante teorema devido a Emmy Noether (1918). Quando a homogeniedade e isotropia do espaço refletem-se na ivariância da lagrangi- ana sob translações e rotações, o momento linear e o momento angular se conservam. Quando também a homegeniedade temporal reflete-se na invariância da lagrangiana frente a uma mu- dança na origem do tempo (lagrangiana sem dependência temporal), a energia se conserva [20].

2.4 Energia

A densidade lagrangianaL também contém propriedades conservadas importantes, como a energia do sistema. A relação entre propriedades de simetria e leis de conservação é estabelecida pelo teorema da Noether [23]. Essa teorema diz que para cada simetria continua global de um sistema, existe uma densidade de corrente que é conservada. Dessa forma, para uma densidade lagrangianaL φ,∂_µφ

, considere as transformações infinitesimais globais.

φ(x)→φ⁰ x⁰

=φ x⁰

+δ_εφ x⁰

, (2.18)

x^µ →x^µ0=x^µ+ε^µ (2.19) ondeε^µ =δ_εx^µ. A condição que essas transformações levam a uma propriedade de invariância é a seguinte

L⁰

φ⁰,∂_µ⁰φ⁰

−L φ,∂_µφ

=∂_µK^µ(φ,∂_λφ) (2.20) no qual conduz a mesma equação de movimento. De acordo com as transformações (2.18) e (2.19), a expressão (2.20) pode ser reescrita na forma

δ_εφ∂L

∂ φ + ∂_µδ_εφ ∂L

∂ ∂_µφ =∂_µK^µ (2.21)

e utilizando a equação de movimento (2.17), temos

∂_µ δ_εφ ∂L

∂ ∂_µφ−K^µ

!

=0 (2.22)

isto mostra que quando existe uma simetria associada com um sistema, é possível definir uma corrente j_ε^µ, chamada de corrente de Noether. Tal corrente possui a forma

j_ε^µ=δ_εφ ∂L

∂ ∂_µφ−K^µ (2.23)

que é conservada, ou seja,∂_µj_ε^µ =0.

Como um exemplo da consequência do Teorema de Noether, considere uma translação infi- nitesimal global no espaço-tempo, como definida em (2.19), isto leva a uma mudança no campo do tipo

δεφ(x) =−ε^µ∂µφ(x) (2.24) Portanto, a equação (2.21) torna-se

−ε^µ∂µφ∂L

∂ φ −ε^µ ∂µ∂νφ ∂L

∂(∂_νφ) =∂_µK^µ (2.25)

−ε^µ∂_µL =∂_µK^µ (2.26)

tornando possível concluir queK^µ=−ε^µL. Dessa forma, a corrente de Noether (2.23) será:

j_ε^µ=−ε^ν(∂_νφ) ∂L

∂ ∂_µφ+ε^µL (2.27)

j_ε^µ=−ε_νT^{µ ν} (2.28)

onde

T^{µ ν}= ∂L

∂ ∂_µφ∂^νφ−η^{µ ν}L (2.29)

é chamado de tensor energia-momento. Neste caso, o tensor métrico no espaço de Minkowski η^{µ ν} possui assinatura(1,−1,−1,−1).

2.5 TEOREMA DE DERRICK 9 O tensor energia-momento também é uma quantidade conservada, ou seja,

∂_µT^{µ ν}=0. (2.30)

A constatação que o tensor energia-momento (2.29) fornece a energia, é observado quando a Teoria de Campos é formulada na forma hamiltoniana, onde a densidade hamiltoniana H, interpretada como densidade de energia, é definida [19] como

H =∂L

∂φ˙

φ˙−L (2.31)

com ˙φ como a derivada do campo com relação ao tempo.

Portanto, a densidade de energiaρ é igual a componenteT⁰⁰ de (2.29). Observando (2.5), (2.6) e (2.7), a densidade de energia é escrita na forma

ρ= 1 2

∂ φ

∂t 2

+1

2∇φ∇φ+V(φ) (2.32)

na qual cada termo representa contribuições cinéticas, gradiente e potencial do modelo.

ρ_c(x,t) =1 2

∂ φ

∂t 2

, ρ_G(x,t) = 1

2∇φ∇φ, ρ_p(x,t) =V(φ) (2.33) ondeρ=ρ_c+ρ_G+ρ_p. Dessa forma, a energia totalE é obtida integrandoρem todo o espaço, ou seja,

E= ˆ _+∞

−∞

ρdx= ˆ _+∞

−∞

"

1 2

∂ φ

∂t 2

+1

2∇φ∇φ+V(φ)

#

dx (2.34)

Sendo esta a energia total, ou simplismente a energia. Essa relação pode ser integrada separa- damente e escrita comoE=E_c+E_g+E_p, em queE_cé a energia cinética, associada a variação temporal do campo,E_gé chamada de energia gradiente, pois está associada ao termo que possui derivada com relação ao campo eE_pé nomeada energia potencial, que está relacionada somente ao campo.

Observando novamente o tensor energia-momento (2.29), a componenteT^{i j} é chamada de densidade de estresse, e sua forma explicita é

T^{i j} = (∂ φ/∂xⁱ)(∂ φ/∂x^j). (2.35) Sei= j, obtemos

p_i(x,t) = ∂ φ

∂xⁱ 2

+L = 1 2

∂ φ

∂t 2

+ ∂ φ

∂xⁱ 2

−1

2∇φ∇φ−V(φ) (2.36) sendo esta o comportamento da pressão.

2.5 Teorema de Derrick

A energia associada ao campo é uns dos parâmetros importantes do sistema. Em Teoria Clássica de Campos Escalares, um dos objetivos é encontrar soluções estendidas, localizadas no espaço e de energia finita. Como já discutido, essas soluções também podem ser chamadas ondas solitárias ou sólitons [18].

O estudo de campos escalares reais será concentrado em modelos em (1,1) dimensões do espaço-tempo. A justificativa é devido a um importante teorema, desenvolvido por G. H. Der- rick em 1964 [24], onde ele afirma que a existência de soluções topológicas para campos esca- lares ocorre apenas em(1,1)dimensões do espaço-tempo.

O teorema de Derrick é um teorema de não existência e aplica-se em Teoria de Campos em espaço plano. Derrick considerou um reescalonamento espacial no campo estático da seguinte forma

φ^µ(x) =φ(µx) (2.37)

onde 0<µ<∞, e a energia total passa agora a ser escrita como uma função deµ. Substituindo em (2.34), temos

E(φ^µ) =e(µ) = ˆ

d^Dx 1

2∇φ(µx)∇φ(µx) +V(φ(µx))

(2.38) ondeDrepresenta a dimensão do espaço. Observando que∇φ(µx) =µ∇φ(µx)e fazendo uma redefinição da variável x de forma que u= µx e d^Du= µ^Dd^Dx, a equação (2.38) assume a forma

e(µ) = ˆ

d^Du µ²

µ^D 1

2∇φ(u)∇φ(u) + 1

µ^DV(φ(u))

, (2.39)

que pode ser escrita como

e(µ) =µ^2−DE_g+µ^−DE_p, (2.40) onde E_g e E_p são as energias gradiente e potencial, respectivamente. Observe que no caso de D=3 e D=2 (espaço em três e duas dimensões), respectivamente, a energia total e(µ) sofre variação quandoµ varia. O mesmo acontece em dimensões espaciais maiores. Portanto, nessas dimensões, não é possível existir soluções estáticas de energia finita, e isto implica naa existência de soluções topológicas.

Para o caso deD=1, uma dimensão espacial,e(µ)da expressão (2.40), será e(µ) =µE_g+ 1

µ

E_p, (2.41)

que possui valor constante, mesmo quando µ varia. Portanto, a energia total para D=1 é constante, permitindo a existência de soluções topológicas.

Um resultado bastante útil é obtido fazendo a derivada da equação (2.41) com relação a variávelµ, a partir do qual constatamos que

de(µ)

dµ =E_g− 1

µ²E_p=0, (2.42)

obtendoµ =p

E_P/E_g. Assim, quando µ =1 as energias gradiente e potencial são iguais, ou seja,E_g=E_p.

2.6 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO 11

2.6 Solução da equação de movimento

De acordo com a equação de movimento (2.17) e a densidade lagrangiana do modelo usual (2.7), a solução para o campo escalar é encontrado fazendo a substituição da densidade lagran- giana na equação de movimento, resultando em

∂_µ∂^µφ+dV

dφ =0. (2.43)

Admitindo que o campo depende apenas de(1,1) do dimensões espaço-tempo, a equação de movimento assume a forma

φ¨−φ⁰⁰+dV

dφ =0, (2.44)

onde ¨φ e φ⁰⁰ são as derivada de segunda ordem do campo com relação ao tempo e ao espaço, respectivamente. Para o caso de campo estáticoφ =φ(x), a equação de movimento será

φ⁰⁰= dV

dφ, (2.45)

tratando-se de uma equação de segunda ordem e não linear, como será apresentado mais adiante, quando o potencial for especificado. Obter soluções analíticas para estas equações é de grande interesse tanto na Física quanto na matemática.

Para esse caso, a densidade de energia e a pressão são os únicos termos não nulos do tensor energia momento , cujas formas explicitas são dadas por

ρ(x) =1 2

dφ dx

2

+V(φ); (2.46)

p=1 2

dφ dx

2

−V(φ). (2.47)

De acordo com a equação de conservação do tensor energia-momento (2.30), paraν =1, en- contramos que a pressãopé constante para soluções estáticas unidimensionais, pois∂_xT^xx=0.

Esse vínculo permite reescrever a equação de movimento (segunda ordem) em uma equação de primeira ordem, tendo a pressão constante como parâmetro de integração

1 2

dφ dx

2

=V(φ) +p (2.48)

Derivando essa equação chega-se a equação de movimento (2.45). Como o termo do lado es- querdo não é negativo, os valores possíveis da pressão dependem da forma explícita do potencial V(φ), ou seja, as soluções fisicamente aceitáveis irão existir quandoV(φ)≥ −p. Portanto, a solução é obtida por

φ(x) =±p

2(V(φ) +p)(x−x₀) (2.49)

ondex₀ é o ponto onde a solução se anula. Considerando um potencial genérico, cujo com- portamento está ilustrado na Figura 2.1, onde a linha horizontal representa um valor arbitrário constante de−p, com pum dado valor da pressão, que restringe as regiões de movimento do

Figura 2.1 Potencial genérico

campo. Nesse exemplo, as soluções estão localizadas no intervaloABou no lado direito deC.

Esses pontos são, em analogia a mecânica clássica, pontos de retorno.

Uma consequência importante ocorre quando o valor de−pcorresponde ao valor mínimo ou de inflexão do potencial. Assim, quando o campo se apróxima do mínimo do potencial, temos dV/dφ →0, que também implica,dφ/dx→0, que deve ocorrer quandox→∞oux→ −∞.

A densidade de energia (2.46) pode ser escrita comoρ(x) =2V(φ) +p, onde a energia é E =

ˆ _+∞

−∞

(2V(φ) +p)dx (2.50)

Sep6=0, a solução não possui energia finita. Dessa forma, qualquer solução estática unidimen- sional com pressão não nula, não é fisicamente aceitável [25]. Assim, a equação (2.48), para p=0, é escrita como

dφ

dx =±p

2V(φ) (2.51)

Portanto, a necessidade de soluções fisicamente aceitáveis requer que p=0 em (2.50). Isto significa que, quando o potencial assume um valor mínimoV_min =0, a energia é nula. Este ponto, no qual o potencial caracteriza o estado de menor energia do sistema é denominado estado de vácuo. Quando o vácuo é único, a simetria interna não é quebrada no vácuo. Contudo, quando o sistema apresenta valores mínimos de energia degenerados, a simetria neste caso é quebrada espontâneamente. Em outras palavras, isso ocorre quando o sistema vai para a configuração de menor energia, definindo a massa do campo, mas em contrapartida, quebra a simetria do sistema.

Para saber se a teoria possui ou não soluções do tipo onda solitária estáveis, é necessário resolver a equação de movimento (2.45). No entanto, é possível admitir a existência de sólitons na teoria sem resolver a equação de movimento, olhando apenas para a classe topológica do campo [26]. No caso de uma teoria em (1,1) dimensões, a classe topológica de uma configu- ração de campoφ(x), é portanto, um elementoπ0(ν)×π0(ν), ondeν é a variedade de vácuo da teoria comV_min =0. Supondo que o campo é caracterizado por (v₁,v₂)∈π₀(ν)×π₀(ν).

Sev₁=v₂, neste caso o campo está na classe de vácuov₁. Sev₁6=v₂, então a teoria admite sólitons do tipo kink [4], onde o campo conecta o vácuov₁em (−∞) no vácuov₂em (∞).

2.6 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO 13 Em teorias de campo com sólitons, frequentemente, o aspecto topológico de um sóliton é inteiramente descrito pela teoria de homotopia, mais precisamente pelo grau topológico [14], que nesse caso é mais limitado. O grau topológico é definido por um mapa Ψ entre duas variedades fechadas de mesma dimensão Ψ:X →Y (no caso unidimensional as variedades incluem as retas e circunferências). Definindo

degΨ= ˆ

X

Ψ^∗(Ω) (2.52)

em queΩé um volume normalizado emY eΨ^∗(Ω)levaΩparaX usando o mapaΨ.

O termodegΨé chamado grau topológico do mapaΨ, e é um inteiro, como será visto a se- guir. O grau topológico é um invariante homotópico deΨ, simplesmente porque um inteiro não pode mudar sob uma deformação contínua. No caso da Teoria de Campos, o grau topológico é usualmente chamado de carga topológicaQ_T, representando o número de voltas do campo.

Para o caso unidimensional, a carga topológica é obtida através da equação [4]

Q_T = ˆ _+∞

−∞

dφ

dxdx=φ(x→∞)−φ(x→ −∞) (2.53) Para que a carga topológica seja diferente de zero é necessário que a solução possua compor- tamentos assintóticos diferentes nos limites dex→ ±∞. Dessa forma, as soluções topológicas são configurações que iniciam em algum valor do campo parax→ −∞, e suavemente crescem ou decrescem até chegar a um outro valor de campo emx→∞. Tais soluções são denomina- das kinks. Por outro lado, soluções não topológicas se iniciam em algum valor do campo em x→ −∞, e suavemente crescem (decrescem) e decrescem (crescem) até atingir o mesmo valor de campo emx→∞. Essas soluções possuem carga topológica nula e são denominadas lumps.

Uma consequência importante é a conservação da carga topológica, implicando que sólitons não desaparecem. No entanto, parte da energia cinética dos sólitons pode ser convertida em radiação durante o processo de espalhamento, especialmente em colisões relativísticas de alta energia [4].

Portanto, uma garantia que a carga topológica é conservada, é a possibilidadae de associá-la a uma corrente topológica conservadaJ_T^µ, que pode ser definida como

J_T^µ=ε^{µ ν}∂_νφ, (2.54)

onde ε^{µ ν} é o simbolo de Levi-Civita, que possui a propriedade de ser anti-simétrico. Essa corrente é conservada, isto é,∂_µJ_T^µ=0. Portanto, a carga topológica também se conserva.

Então, a existência de sólitons topológicos depende da multiplicidade de vácuos, de forma queν contenha mais de uma componente. Em outras palavras, π₀(ν) precisa ser não trivial.

Uma configuração de campo, é então, classificada topologicamente pelo elemento (φ−,φ+) de π₀(ν)×π₀(ν), onde φ_± =lim_x→±∞φ(x). Soluções que interpolam entrem vácuos diferentes, ou seja,φ+6=φ₋, são conhecidas genericamente como kinks.

Se φ+ =φ−, então por uma deformação contínua, o campo pode ser transformado numa solução de vácuo constanteφ(x) =φ₊, que tem energia zero. Neste caso, os sólitons são não topológicos. Se, por outro lado,φ+6=φ₋, então, o campo não pode ser continuamente defor- mado para uma solução constante de energia zero, por deformações que mantenham a energia finita, já que para qualquer campo φ(±∞) não pertencente a ν tem energia infinita. Isto é a razão fundamental da estabilidade de uma solução tipo kink, uma vez que, a evolução do tempo é um exemplo de deformação contínua para a qual a energia permanece finita.

A classificação da estabilidade do ponto de vista da teoria topológica, é definida a partir de um ponto de singularidade, onde a configuração de campo deixa de ser contínua [14]. Para soluções com cargas topológicas nulas, a singularidade pode ser removida fazendo uma simples redefinição no parâmetro de ordem. No caso de soluções com cargas topológicas diferentes de zero, a singularidade não pode ser removida sem adulterar o parâmetro de ordem a grandes distâncias arbitrárias do ponto singular. Portanto, para soluções com cargas topológicas nulas, a singularidade é dita removível ou topologicamente instável. Contudo, soluções com cargas topologicas diferente de zero, são chamadas topologicamente estáveis. Deve ser enfatizado que instabilidade topológica não necessariamente implica em instabilidade Física. Entretanto, con- figurações de campos topologicamente estáveis, são também fisicamente estáveis. Na próxima seção será estudada a estabilidade física das soluções.

2.7 Estabilidade linear

O estudo da estabilidade, constitui em realizar uma pequena pertubação na solução estática, que significa acrescentar um termo perturbativo de valor pequeno na solução dependente do tempo.

φ(x,t) =φ(x) +η(x,t). (2.55) Substituindo esse valor na equação de movimento para o caso de(1,1)dimensões espaço-tempo (2.44), obtemos

η¨ −φ⁰⁰−η⁰⁰+ dV

dφ

φ(x)+η(x,t)

=0 (2.56)

Fazendo uma expansão em série de Taylor, da derivada do potencial em torno da solução está- tica, e considerando termos de 1ª ordem emη, temos

dV dφ

φ(x)+η(x,t)

= dV

dφ

φ(x)

+ d²V

dφ²

φ(x)

(φ(x,t)−φ(x)), (2.57) ondeφ(x,t)−φ(x) =η(x,t)e portanto, a equação (2.56) assume a forma

η¨ −φ⁰⁰−η⁰⁰+ dV

dφ

φ(x)

+ d²V

dφ²

φ(x)

η(x,t) =0. (2.58) De acordo com a equação para solução estática (2.45), a equação (2.58) é simplificada e reescrita como

η¨ −η⁰⁰+ d²V

dφ²

φ(x)

η(x,t) =0 (2.59)

Devido a linearidade da equação (2.59), é possível escrever a pequena pertubação η(x,t) = η(x)T(t)e assim poder separar a parte que depende somente do espaço da parte que depende somente do tempo, resultando em

T¨(t)

T(t)−η⁰⁰(x) η(x) +

d²V dφ²

φ(x)

=0 (2.60)

2.7 ESTABILIDADE LINEAR 15 Esta equação será nula, se o termo dependente do tempo for constante e o segundo termo que depende do espaço, for igual a mesma constante, ou seja,

T¨(t)

T(t)=−ω² e −η⁰⁰(x) η(x) +

d²V dφ²

φ(x)

=ω² (2.61)

onde a equação relacionada com o tempo é do tipo oscilador harmônico, cuja solução pode ser escrita em termos de combinações lineares, ou seja,

T(t) =

∞

∑

n=1

Acos(ω_nt). (2.62)

Já a equação relacionada ao espaço, é uma equação do tipo Schrödinger independente do tempo, como pode ser visto abaixo

−η⁰⁰(x) + d²V

dφ²

φ(x)

η(x) =ω²η(x). (2.63) Para resolver a equação (2.63), algumas condições de contorno podem ser impostas [27]. Su- pondo que procuramos soluções de (2.63), com

ω_n²< lim

|x|→∞V(x), (2.64)

onde a relação de desigualdade é para assegurar|x| →∞, em alguma direção. A condição de contorno apropriada para ser usada neste caso é

η(x)→0 para |x| →∞ (2.65) no qual a equação (2.63), sujeita a essa condição de contorno (2.65), possui soluções não triviais, somente para um conjunto discreto de valoresω_n². Portanto, a equação (2.63) pode ser reescrita na forma

Hη_n(x) =ω_n²η_n(x), (2.66) ondeH é o operador hamiltoniano

H =−d²

dx²+U(x), (2.67)

sendoU(x)denominado potencial de estabilidade U(x) =

d²V dφ²

φ(x)

. (2.68)

Observe queω_n² faz o papel dos autovalores eη_n(x)as autofunções. A autofunção correspon- dente ao autovalor nulo,ω₀²=0, é chamada de modo zero, η₀. De acordo com o teorema da mecânica quântica [28], se o modo zero η₀ é uma função que não cruza o zero, ou seja, não apresenta valores negativos, pode-se afirmar queη₀corresponde ao “menor valor da energia” e todos os valores correspondentes aω_n²serão maiores ou iguais a zero, ou seja,ω_n²≥0. Nesse caso, a pertubação apenas faz a solução oscilar de forma periódica em torno da solução estática.

Portanto, conclui-se, que as soluções são estáveis.

Para o caso em queη₀apresenta valores negativos, ou seja, cruza o zero, o correspondente autovalor nulo,ω₀²=0 não representa o menor valor possível e assim, existem valores deω_n²≤

0, o que provocará uma divergência na expressão (2.62). Neste caso, é possível concluir que a solução é instável.

O cálculo do modo zero η₀ é realizado a partir da equação (2.63), tomando o lado direito igual a zero. Entretanto, a equação é de difícil resolução mesmo conhecendo a forma do poten- cial. Por outro lado, uma alternativa bastante útil consiste em realizar um artifício matemático na equação de movimento para o caso estático e fazer uma comparação da equação que forneça η₀, chegando a conclusão que o modo zero é igual a derivada com relação ao espaço da solução estática, ou seja,

η0(x) =dφ(x)

dx (2.69)

O modo zero sempre estará presente no estudo da estabilidade da solução, pois é uma carac- teristica da invariância translacional do hamiltoniano [27], sendo este fato uma consequência da conservação do momento linear da teoria, implicando que as soluções podem ser transladadas sem mudança de forma. Para verificar essa afirmação, será considerado um operador de simetria translacionalτ(l), onde o hamiltonianoHsatisfaz

τ(l)^†Hτ(l) =H, (2.70)

em queτ(l)é unitário. Preservando as propriedades física da teoria, por exemplo, a normaliza- ção. Dessa forma, temos

[H,τ(l)] =0, (2.71)

logo,τ(l)é não hermitiano, então espera-se que os autovalores podem ser um número complexo de módulo 1. PorqueH comuta com τ(l), deve existir um conjunto completo de autoestados simultâneos deH eτ(l).

Os autoestadosη_n(x)não são autoestados do operadorτ(l), porque quando τ(l)é aplicado emη_n(x), provoca uma mudança nos autoestados, ou seja,

τ(l)η_n(x) =η_n(x+l) =e^iθη_n(x) (2.72) ondeθ é um parâmetro contínuo real com−π≤θ ≤π.

Portanto, considerando os autoestadosψ_n(x), que são autoestados simultâneos deH eτ(l), definidos como

ψ_n(x)≡e^−inθη_n(x) (2.73)

nos quais

Hψ_n(x) =e^−inθHη_n(x) =ω_n²e^−inθη_n(x) =ω_n²ψ_n(x) (2.74) e

τ(l)ψ_n(x) =e^−inθτ(l)η_n(x) =e^iθe^−inθηn(x) =e^iθψn(x) (2.75) Deste modo,ψ_n(x)são autoestados simultâneos deH eτ(l), parametrizados porθ. Entretanto, o autovalorω₀²é independente deθ, ou seja,

Hψ₀(x) =ω₀²e⁰η₀(x) =ω₀²ψ₀(x) (2.76) mostrando, que o modo zero está presente, devido a invariância translacional da teoria.

C

3

Modelos de campos escalares

Neste novo capítulo serão apresentadas diversas teorias (modelos) com campos escalares e suas aplicações, tanto na Física de altas energias, quanto na matéria condensada. Sendo mais específico, será abordado o modeloφ⁴, que se comporta como um protótipo do mecanismo de Higgs, o modeloφ⁴invertido, que contém soluções não topológicas, o método de Bogolmo’lny, o modelo φ⁶ e os potenciais seno-Gordon e seno-Gordon duplo. Também será discutido o estudo de construção de Teoria de Campos a partir de potenciais mecânico quânticos.

3.1 Modelo φ

O modeloφ⁴é uma das largas classes de teorias baseadas na equação de Klein-Gordon [29], proposto por Klein [30] e Gordon [31], com o objetivo de descrever o movimento relativístico do elétron. Na forma moderna, a equação de Klein-Gordon pode ser escrita como uma equação linear relativística em (3,1) dimensões, em termos de um campoφ que representa uma partícula de massam. A densidade lagrangiana para essa teoria é

L = 1

2∂_µφ ∂^µφ−m²

2 φ² (3.1)

e a equação de Klein-Gordon será

+m²

φ =0 (3.2)

ondeé o operador d’Alembertiano, que é uma versão quadridimensional do laplaciano.

Entretanto, essa equação não considera o spin do elétron, que é corretamente descrito pela equação de Dirac. Contudo, para partículas escalares sem spin, a teoria de Klein-Gordon pode ser aplicada e historicamente tem sido usada para descrever o méson pion [29].

Dessa forma, se consideramos na teoria de Klein-Gordon um termo que representa a autoin- teração do campo, teremos o modelo φ⁴, que para o caso de (1,1) dimensões, é descrito pela densidade lagrangiana [29]

L = 1 2

∂ φ

∂t 2

−1 2

∂ φ

∂x 2

−1 2

m⁴

λ +m²φ²−1

2λ φ⁴ (3.3)

onde o potencial é polinomial e escrito como V(φ) = 1

2 m⁴

λ −m²φ²+1

2λ φ⁴ (3.4)

no qualλ emsão constantes reais, comλ representando a constante de acoplamento de autoin- teração do campo real em²está associada a massa do campo. O que pode parecer enganoso é pensar que este é um modelo com massa imaginária, devido o sinal negativo emm². No entanto,

17

a massa é real e isto é observado quando se calcula a segunda derivada do potencial com relação ao campo, no ponto de mínimo do potencial, localizado emφ_c=±m/√

λ.

Outro aspecto importante neste modelo, está associado com a simetria de reflexão (simetria interna), φ → −φ, que o mesmo apresenta. Porém, quando a massa do campo é definida nos pontos em que o potencial é mínimo, a simetria do modelo é quebrado, que pode ser percebido fazendo a mudança no campo, ondeφ⁰=φ−m/√

λ. V(φ⁰) =2m²φ⁰²+2m

√

λ φ⁰³+1

2λ φ⁰⁴. (3.5)

Esse fenômeno é chamado de quebra espontânea de simetria [32]. A palavra espontânea é devido o fato que a identificação dos mínimos do potencial, deixa o modelo com massa bem definida, mas em contrapartida quebra a simetria.

Para o caso em que é considerado o espaço em(1,1) dimensões, a densidade lagrangiana tem dimensão de energia ao quadrado e o campo é adimensional. Portanto, da mesma forma que a parte cinética tem dimensão de energia ao quadrado, a parte do potencial também possuirá a mesma dimensão. Isso nos leva a concluir que a dimensão das constantesmeλ são de energia e energia ao quadrado, respectivamente.

Os parâmetros m e λ são importantes para uma descrição da teoria quântica de campos.

Porém, como o estudo nessa dissertação é realizado ao nível clássico, é possível fazer um rees- calonamento e redefinir esses parâmetros, de modo a simplificar a compreensão do problema.

Fazendo a mudançaφ →α φ ex^µ →βx^µ, comα eβ contendo a dimensão do campo e do espaço, respectivamente, a densidade lagrangiana fica escrita como

L = α² β²

1

2∂_µφ ∂^µφ−1 2

β² α²

m⁴

λ +β²m²φ²−1

2α²β²λ φ⁴

, (3.6)

que pode ser reescrita da seguinte forma

L = α²

β²L⁰, (3.7)

ondeL⁰ é uma densidade lagrangiana adimensional. Por conveniência L⁰ será denotada por L, e assim obtemos

L =1 2

∂ φ

∂t 2

−1 2

∂ φ

∂x 2

−1

2(1−φ²)² (3.8)

na qual o potencial do modeloφ⁴é agora reescrito como V(φ) =1

2(1−φ²)², (3.9)

com seu comportamento ilustrado na Figura 3.1. A equação de movimento para o caso do campo estáticoφ(x)é

d²φ

dx² =2φ(φ²−1), (3.10)

que pode ser reescrita de acordo com a equação (2.51) como dφ

dx =±(1−φ²). (3.11)

3.1 MODELOφ⁴ 19

Figura 3.1 Potencial (3.9) do modeloφ⁴, que apresenta dois valores de mínimos degenerados em±1.

Figura 3.2 Solução (3.12) do modeloφ⁴, com o kink (linha contínua) e o antikink (linha tra- cejada).

Essa equação possui duas soluções triviais, independentes da posição espacial. Essas soluções sãoφ_±=±1 e apresentam energia nula, identificando os vácuos clássicos do modelo. Há outras soluções estáticas, dadas por

φ_±(x) =±tanh(x). (3.12)

A solução com sinal positivo é denominada kink, e a outra, com sinal negativo é chamada antikink, como está apresentado na Figura 3.2. Ambas foram escolhidas com centro na origem, x=0. Na verdade, como o modelo apresenta invariância translacional, o centro da solução é arbitrário.

O kink da Figura 3.2 apresenta amplitude e largura unitária. Se o potencial tivesse a forma de (3.4), o kink seria(m/√

λ)tanh(mx)e teria amplitudem/√

λ e largura inversamente propor- cional am.

A energia das soluções estáticas é dada pela expressão E=

ˆ +∞

−∞

−Ldx= ˆ +∞

−∞

"

1 2

dφ dx

2

+V

#

dx (3.13)

onde o integrando é a densidade de energia para o campo estático. De acordo com o teorema de Derrick, as energias gradiente e potencial são iguais, isto permite escrever a densidade de energia como

ρ(x) = dφ

dx 2

. (3.14)

Para o kink (3.12), a densidade de energia éρ(x) = sech⁴(x)(Figura 3.3). A energia obtida é E=4/3.

A solução dependente do tempo pode ser encontrada observando a invariância relativística da teoria, que sugere fazer a substituiçãox→u=γ(x−vt), com γ = (1−v²)^−1/2, obtendo assim, uma solução de onda viajante com velocidade constantevpara o campo.

Figura 3.3 Densidade de energiaρ(x)do mo- deloφ⁴.

Figura 3.4 Potencial de estabilidade (3.28) e modo zero do modeloφ⁴.

φ(x,t) =tanh

x−vt

√ 1−v²

(3.15) Para constatar a veracidade desta solução, observe a equação de movimento (2.44), cuja forma é

∂²φ

∂t² −∂²φ

∂x² +dV

dφ =0 (3.16)

além disso, considerando que

∂²φ

∂t² = d²φ

du²(vγ)² e ∂²φ

∂x² = d²φ

du²γ², (3.17)

a equação de movimento (3.16) torna-se:

d²φ du² =dV

dφ. (3.18)

Para o potencial (3.9) a solução é exatamente (3.15). É possível observar também que a solução se propaga sem mudar de forma, utilizando a relação

∂²φ

∂t² =v²∂²φ

∂x². (3.19)

Esta equação é justamente a equação da onda livre. Reescrevendo a equação (3.18) na forma

∂²φ

∂x² =γ²dV

dφ (3.20)

e utilizando (3.16), (3.19) e (3.20), obtemos (1−v²)γ²dV

dφ −dV

dφ =0. (3.21)

3.1 MODELOφ⁴ 21 Isto comprova que a solução dependente do tempo (3.15), é uma onda solitária, isto é, uma solução viajante para o campo que translada com velocidade constante sem mudar de forma [25].

A densidade de energia para a solução dependente do tempo é obtida utilizando a equação (2.32), ou seja,

ρ(x) = 1 2

∂ φ

∂t 2

−1 2

∂ φ

∂x 2

+V(φ) (3.22)

e de acordo com a solução (3.15) é possível escrever esta última relação como

ρ(x) =1

2(v²+1) ∂ φ

∂x 2

+1

2(1−φ²)² (3.23)

ρ(x) = 1

1−v²sech⁴

x−vt

√ 1−v²

. (3.24)

Portanto, a energia será

E = 1

√ 1−v²

ˆ _+∞

−∞

sech⁴(u)du= E₀

√

1−v², (3.25)

ondeE₀=4/3, é a energia obtida do campo estático. Este resultado mostra que o kink (onda solitária), se comporta como uma partícula relativística.

Os estudos de colisões entre kinks do modelo φ⁴, mostram que eles não preservam a sua forma após se chocarem [29]. Portanto, essas soluções não constituem sólitons verdadeiros, pois estes sempre se recompõem após colidirem entre si.

É importante destacar que a solução (3.12) possui um característica topológica, cuja corrente topológica é definida de acordo com a equação (2.54), ou seja,

J_T^µ= 1

2ε^{µ ν}∂_νφ. (3.26)

Essa corrente é conservada, isto é,∂_µJ_T^µ =0. No caso de soluções estáticas, a carga topológica conservada dada pela equação (2.53), como vemos em

Q_T =1

2φ(x→∞)−1

2φ(x→ −∞). (3.27) Para o kink da equação (3.12) a carga topológicaQ_T =1.

O estudo da estabilidade da solução é realizado a partir do cálculo do modo zeroη0(x) = φ⁰(x). Assim, neste caso encontra-os queη₀(x) = sech²(x), como pode ser visto na Figura 3.4.

Observa-se que o modo zero não cruza o zero, assim, não existem autovalores negativos, e isto classifica o modelo como estável.

O potencial de estabilidade é calculado a partir da equação (2.68) e possui a forma

U(x) =4−6 sech²(x), (3.28)

seu comportamento está apresentado na Figura 3.4. Esse potencial é do tipo Poschl-Teller modificado [33] e já foi resolvido na literatura [34, 35]. Os seus possíveis autovalores são

ω_n²=−(2−5n+2n²)²+4, (3.29)