6.4 O Modelo de volatilidade com mudan¸ca de regime e volume de
6.5.1 Dados Simulados
Para ilustrar os m´etodos descritos na se¸c˜ao 6.2, um conjunto de dados artifi- ciais com 500 observa¸c˜oes usando α = −0.008, φ = 0.98, σ2
η = .02, m0 = 0.82,
m1 = 0.18 foi gerado. Estes valores correspondem a valores t´ıpicos encontrados
em s´eries de retornos di´arias. As figuras 6.1a, 6.1b e 6.1c mostram os gr´aficos da s´erie de retornos, o volume e as log-volatilidades. Assume-se as seguintes distribui¸c˜oes a priori para os parˆametros α ∼ N (0, 1), φ ∼ N(−1,1)(0.95, 1) e
ση2 ∼ GI(2.5, .02), m0 ∼ G(0.8, 1) e m1 ∼ G(0.18, 1).
Neste conjunto de dados o modelo VEN e o modelo VEN-VOL s˜ao imple- mentados usando o amostrador por blocos com 20 n´os para amostrar das log- volatilidades. O algoritmo de Gibbs ´e rodado por 30000 itera¸c˜oes. Descartaram-se 10000 como aquecimento. As restantes 20000 foram usadas para fazer inferˆencias. Todos os parˆametros passaram o crit´erio de convergˆencia de Heidelbelger e Welch (1983). A tabela 6.1 mostra a m´edia a posteriori, o erro padr˜ao, os quantis 2.5 e 97.5. Observe-se que as estimativas dos parˆametros obtidas por ambos modelos est˜ao pr´oximas dos valores gerados. A figura 6.2 mostra o gr´afico das m´edias das log-volatilidades suavizadas obtidas pelos modelos VEN e VEN-VOL e as verdadeiras log-volatilidades.
A seguir um outro exerc´ıcio ´e realizado. O algoritmo APF e o practical filter- ing nas vers˜oes com estima¸c˜ao de parˆametros ser˜ao aplicados aos modelos VEN e VEN-VOL. No algoritmo APF o n´umero de part´ıculas usadas foi de 30000. Os valores G = 250, M = 50 e k = 50 no practical filtering.As figuras 6.3a, 6.3b, 6.3c e 6.3d mostram os percentis 2.5, 50 e 97.5 para os parˆametros e as log- volatilidades estimadas seq¨uencialmente usando o algoritmo APF para o modelo VEN, enquanto que as figuras 6.4a, 6.4b, 6.4c e 6.4d mostram os correspondentes
Figura 6.2: m´edia suavizadas das log-volatilidades (linhas pontilhadas), log- volatilidades verdadeiras (linha cheia),conjunto de dados simulados com α = −0.008, φ = 0.98, ση2= .02, m0= 0.9, m1 = 0.2
percentis para o practical filtering. As diferen¸cas entre ambos m´etodos se da principalmente na estima¸c˜ao do parˆametro σ2η, na amplitude dos limites de con- fian¸ca, embora todos os resultados sejam consistentes com os verdadeiros valores. As figuras 6.5a, 6.5b, 6.5c, 6.6a e 6.6b mostram os resultados da aplica¸c˜ao do algoritmo APF com estima¸c˜ao de parˆametros aplicado ao modelo VEN-VOL. Novamente os resultados obtidos incluem o verdadeiro valor, a exce¸c˜ao de ση2. Isto ´e provavelmente pela degenera¸c˜ao das part´ıculas sendo necess´ario incremen- tar o n´umero delas. O algoritmo practical filtering apresenta resultados similares, coerentes com os valores dos parˆametros usados na gera¸c˜ao dos dados, ver figuras 6.7a,6.7b, 6.7c, 6.8a e 6.8b.
(a) α (b) φ
(c) σ2η (d) ht
Figura 6.3: modelo VEN, dados simulados. Percentis 2.5, 50 and 97.5 da distribui¸c˜ao filtrada baseado na vers˜ao do algoritmo APF com estima¸c˜ao de parˆametros
(a) α (b) φ
(c) σ2η (d) ht
Figura 6.4: modelo VEN, dados simulados. Percentis 2.5, 50 and 97.5 da distribui¸c˜ao filtrada baseado no practical filtering com estima¸c˜ao de parˆametros
(a) α (b) φ
(c) σ2
η (d) ht
Figura 6.5: modelo VEN-VOL, dados simulados. Percentis 2.5, 50 and 97.5 da dis- tribui¸c˜ao filtrada baseado na vers˜ao do algoritmo APF com estima¸c˜ao de parˆametros
(a) m0 (b) m1
Figura 6.6: modelo VEN-VOL, dados simulados. Percentis 2.5, 50 and 97.5 da dis- tribui¸c˜ao filtrada baseado na vers˜ao do algoritmo APF com estima¸c˜ao de parˆametros
Agora faremos um outro exerc´ıcio de simula¸c˜ao. Cosideremos o modelo VE- MR-VOL com dois regimes: alta e baixa volatilidades, isto ´e
yt = exp(ht/2)t, vt ∼ P(0.82 + 0.1 exp(ht)), ht = αst + 0.6ht−1+ √ 0.07ηt ; onde t∼ N (0, 1) e ηtN (0, 1) αst = −1, if st= 1, −1.5, if st= 2
Esta formula¸c˜ao implica que γ1 = −1, γ2 = −0.5. As vari´aveis de estado s0, . . . , sT
s˜ao gerados por um processo Markoviano de primeira ordem com matriz de transi¸c˜ao P = 0.98 0.02 0.02 0.98 .
(a) α (b) φ
(c) σ2
η (d) ht
Figura 6.7: modelo VEN-VOL, dados simulados. Percentis 2.5, 50 and 97.5 da distribui¸c˜ao filtrada baseado no practical filtering com estima¸c˜ao de parˆametros
(a) m0 (b) m1
Figura 6.8: modelo VEN-VOL, dados simulados. Percentis 2.5, 50 and 97.5 da dis- tribui¸c˜ao filtrada baseado na vers˜ao do practical filtering com estima¸c˜ao de parˆametros
Os valores da diagonal da matriz de transi¸c˜ao implicam uma alta persistˆencia em cada regime. A medida de persistˆencia φ ´e 0.6, m0 = 0.82 e m1 = 0.1. Estes
valores s˜ao comuns em s´eries reais.
Um conjunto de 1000 observa¸c˜oes foi gerado. Para os resultados reporta- dos na tabela 6.2, as distribui¸c˜oes a priori foram escolhidas da seguinte forma φ ∼ N T(−1,1)(0.6, 1), (γ1, γ2)0 ∼ N2(γ2<0)(γ0, B0), γ0 = −1 −.5 , B0 = 1 0 0 1 , σ2 η ∼ GI(7.5, 0.45), m0 ∼ G(4, 5), m1 ∼ G(2, 20) and p11 ∼ B(3, 1), p22 ∼ B(1, 5).
Uma cadeia de 30000 itera¸c˜oes foi rodada. Descartaram-se 10000 como per´ıodo de aquecimento. As restantes 20000 constituem uma amostra das distribui¸c˜ao posterior conjunta de parˆametros e vari´aveis latentes, st’s and ht’s. O n´umero de
n´os usados para amostrar das log-volatilidades foi 30. Os resultados s˜ao apresen- tados na Tabela 6.2, onde a m´edia a posteriori, erro padr˜ao, e os percentis 2.5 e 97.5 s˜ao dados. Como estimadores pontuais todas as m´edias a posteriori est˜ao pr´oximas dos correspondentes valores. E os intervalos de confian¸ca a posteriori
Figura 6.9: modelo VE-MR-VOL, conjunto de dados simulados, verdadeiras log- volatilidades (linha pontilhada preta) e as correspondente estimativas das m´edias suavizadas (linha rouxa)
de 95% cont´em o verdadeiro parˆametro, a exce¸c˜ao de ση2. A figura 6.9 mostra a m´edia suavizada de ht (linha rouxa) e as compara com os valores verdadeiros. As
Figuras 6.10 e 6.11 mostram as sa´ıdas do MCMC, os histogramas e as fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜ao de todos os parˆameros do modelo. Nos histogramas a linha verde indica o verdadeiro valor e a linha vermelha o m´edia a posteriori obtida das sa´ıdas do algoritmo MCMC. Todos os parˆametros passaram o crit´erio de convergˆencia de Heidelbelger e Welch (1983).
Tabela 6.2: modelo VE-MR-VOL. Parˆametros estimados para o conjunto dados simu- lados
Modelo VE-MR-VOL
Parˆametro V.V. m´edia E.P. 2.5% 97.5% φ 0.6 0.5644 0.0473 0.4695 0.6546] σ2η 0.07 0.0411 0.0085 0.0273 0.0606] γ1 -1 -1.0324 0.1143 -1.2619 -0.8129 γ2 -0.5 -0.6137 0.0773 -0.7752 -0.4729 p11 0.98 0.9785 0.0107 0.9509 0.9929 p22 0.98 0.9817 0.0084 0.9603 0.9936 m0 0.82 0.8187 0.0288 0.7625 0.8757 m1 0.1 0.0424 0.0394 0.0011 0.1453
(a) φ
(b) σ2η
(c) γ1
(d) γ2
Figura 6.10: Modelo VE-MR-VOL, dados simulados: sa´ıda do MCMC (esquerda), his- tograma da sa´ıda do MCMC (meio) e func˜oes de autocorrela¸c˜ao (direita).
(a) m0
(b) m1
(c) p11
(d) p22
Figura 6.11: Modelo VE-MR-VOL, dados simulados: sa´ıda do MCMC (esquerda), his- tograma da sa´ıda do MCMC (meio) e func˜oes de autocorrela¸c˜ao (direita).