A dinˆamica dos retornos e a do volume de neg´ocios ´e governada pela dinˆamica da vari´avel de informa¸c˜ao que caracteriza a quantidade de noticias que chegam ao mercado durante o dia referentes a um particular estoque. A id´eia central para estender o modelo de volatilidade e volume para k estoques ´e que ao mesmo tempo, o fluxo de informa¸c˜ao referente a diferentes estoques podem interagir um
com o outro. Esta intera¸c˜ao pode ser permitida e analisada via o coeficiente de correla¸c˜ao dos erros das vari´aveis de informa¸c˜ao. Logo o modelo de volatilidade e volume para k estoques ´e dado por
yit = exp(hit/2)it, (7.9)
vit ∼ P(mi0+ m i
texp{hit}), i ∈ {1, . . . , p} (7.10)
hi,t = αi+ φihi,t−1+ ui,t, (7.11)
onde yit e vit s˜ao independentes condicional aos hit e ut∼ Np(0, Σu). ´E esperado
que as estimativas das covariˆancias σi,j sejam positivas devido `a a informa¸c˜ao
comum para os estoques. Esta informa¸c˜ao pode ter v´arias fontes. Primeiro, pela informa¸c˜ao comum a todo o mercado, resultado de pol´ıticas econˆomicas ou not´ıcias que tˆem um efeito no mercado de estoques. Este tipo de informa¸c˜ao tˆem efeitos significativos nas decis˜oes dos investidores nos mercados emergentes dos pa´ıses em desenvolvimento, enquanto que a quantidade de tais informa¸c˜oes ´e menor em pa´ıses desenvolvidos devido ao baixo risco de crises pol´ıticas. Segundo, se os estoques pertencem a firmas da mesma ind´ustria, a informa¸c˜ao concernente a ind´ustria pode ter um efeito simultˆaneo nestas firmas, e os investidores podem mudar suas decis˜oes referentes `a ind´ustria em particular. Terceiro, a correla¸c˜ao entre as vari´aveis de informa¸c˜ao que pertencem a estoques aparentemente n˜ao relacionados podem ser grandes em mercados onde os neg´ocios est˜ao concentra- dos a uns poucos ativos com liquidez.
7.4
Aplica¸c˜oes
Nesta se¸c˜ao se apresentam aplica¸c˜oes dos modelos multivariado fatorial de volati- lidade estoc´astica e de volatilidade estoc´astica e volume multivariados apresenta- dos nas se¸c˜oes 7.2 e 7.3.
As s´eries de dados pertencem aos pre¸cos de fechamento corrigidos por stock- splits e o volume de neg´ocios da International Business Machines Corp (IBM) e da Hewlett-Packard Co(HPQ). O per´ıodo considerado foi do 4 de janeiro de 1999 at´e 22 de dezembro de 2000, o que d´a 500 dias de neg´ocios. A partir deles calcula-se os retornos corrigidos pela equa¸c˜ao (4.25) do Cap´ıtulo 4. Estes dados forem obtidos do sitio finance.yahoo.com. A Tabela 7.1 apresenta estat´ısticas resumo para estes dados. Os retornos exibem um excesso de curtose e s˜ao lev- emente assim´etricos. Para fazer a s´erie de volume estacion´aria, os volumes s˜ao ajustados por uma regress˜ao de log vt sob uma constante e o tempo t = 1, . . . , T .
A fun¸c˜ao exponencial dos res´ıduos ´e linearmente transformada tal que os dados sem tendˆencia e os dados originais tenham a mesma m´edia e variˆancia. O volume sem tendˆencia e multiplicado por 10−6. Este mesmo procedimento tem sido usado por Liesenfeld (1998) e Watanabe (2000).
Tabela 7.1: Estat´ısticas resumo para as s´eries de dados da HPQ e IBM
m´edia E.P. Max Min assimetria curtose
Retorno HPQ 0.00 3.99 41.06 -13.69 2.09 24.80 Volume HPQ 7.68 5.33 63.52 0.06 4.21 35.18 Retorno IBM 0.00 2.86 12.36 -16.88 -0.09 8.23 Volume IBM 7.80 0.46 70.62 12.37 6.88 89.04
Numa primeira aplica¸c˜ao considera-se o modelo fatorial bivariado de volatili- dade estoc´astica de um fator. Isto e: p = 2 , K = 1 e vetor de cargas D = (d1, d2)0.
variado de volatilidade estoc´astica de um fator ´e definido por y1,t y2,t = ft d2ft + e1,t e2,t ft = exp(ht/2)εt, ht = α + φht−1+ ηt, t = 1, . . . , T = 500.
onde yt = (y1,t, y2,t)0 ´e o vetor bivariado de retornos da HPQ e IBM, et =
(e1,t, e2,t)0 ∼ N (0, Σe) e Σe = diag(σ12, σ22). Sejam θ = (α, φ, ση2, d2, σ21, σ22) 0 o
vetor de parˆametros do modelo, FT = (f1, . . . , fT)0 e HT = (h0, . . . , hT)0 s˜ao
quantidades latentes. Denote-se YT = (y1, . . . , yT). Assumiram-se as seguintes
distribui¸c˜oes a priori para os parˆametros: α ∼ N (0, 10), d2 ∼ N (0, 10), ση2 ∼
GI(5, 0.25), σ2
i ∼ GI(0.3, 0.3), para i = 1, 2 (i = 1 corresponde `a HPQ e i = 2
`
a IBM). Como em Kim et al. (1998) considera-se que φ = 2φ∗− 1, e adota-se a distribui¸c˜ao a priori φ∗ ∼ B(18, 1).
Tabela 7.2: Modelo Bivariado fatorial de volatilidade estoc´astica: retornos da HPQ e IBM
HPQ-IBM
Parˆametro M´edia E.P. 2.5% 97.5%
α 0.0915 0.0396 0.0253 0.1749 φ 0.8939 0.0538 0.772 0.9740 σ2 η 0.0461 0.03955 0.02647 0.2025 d2 0.2836 0.0311 0.2265 0.3519 σ2 1 0.2739 0.4642 0.0003 1.7340 σ2 2 6.8500 0.4269 6.0410 7.7290
posteriori p(θ, FT, HT | YT) e foi implementado no pacote WinBugs 1.4. Uma
cadeia de 80000 itera¸c˜oes foi rodada. Descartaram-se 20000 como per´ıodo de aquecimento. As restantes 60000 foram usadas para fazer inferˆencias. A m´edia a posteriori, erro padr˜ao, e os percentis 2.5% e 97.5% s˜ao mostrados na Tabela 7.2.
´
E importante observar que a m´edia a posteriori de φ, 0.8939, sugere a persistˆencia na volatilidade do fator comum. As estimativas de σ2
1 e σ22 s˜ao 0.2739 e 6.8500,
indicando uma maior variˆancia dos retornos da IBM.
Agora consideremos a aplica¸c˜ao do modelo de retornos e volume para dois estoques nas s´eries de retornos e volume da HPQ e IBM. O modelo de retornos e volume para dois estoque ´e obtido a partir das equa¸c˜oes (7.9)-(7.9) fazendo p = 2, isto ´e:
yit = exp(hit/2)it,
vit ∼ P(mi0+ m i
texp{hit}), i ∈ {1, 2},
hi,t = αi+ φihi,t−1+ ui,t, t = 1, . . . , T = 500,
onde yit e vits˜ao independentes condicionalmente aos hit(representando o retorno
e o volume de neg´ocios do estoque i), ut ∼ Np(0, Σu) e
Σu = σ2 1 ρσ1σ2 ρσ1σ2 σ22 . Seja θ = (α1, φ1, m0,1, m1,1, α2, φ2, m0,2, m1,2, ρ, σ12, σ22)
0 o vetor de parˆametros
do modelo bivariado de retornos e volume para dos estoques, onde i = 1 in- dica os parˆametros relacionados `a HPQ e i = 2 `a IBM. Denotemos Hi,T =
(hi,0, hi,1, . . . , hi,T)0ao vetor de log-volatilidade do estoque i. Sejam yt= (y1,t, y2,t)0
e vt = (v1,t, v2,t)0. DT = (y1, v1, . . . , yT, vT) representa toda a informa¸c˜ao
dispon´ıvel no instante T . Assumiram-se as seguintes distribui¸c˜oes a priori para os parˆametros: α ∼ N (0, 10), σ2
1 ∼ GI(5, 0.25) e σ22 ∼ GI(5, 0.25), m0,i ∼ G(0.8, 1)
Novamente o algoritmo de Gibbs foi usado para amostrar (θ, H1,T, H2,T) da
densidade a posteriori p(θ, H1,T, H2,T | DT) e foi implementado no pacote Win-
Bugs 1.4. Tamb´em foram considerados o modelo VEN e o modelo VEN-VOL para cada um dos estoques. Com a finalidade de comparar os resultados do modelo de retornos e volume para dois estoques, tamb´em foram considerados os ajustes dos modelos VEN e VEN-VOL para cada um dos estoques. Em todos os casos uma cadeia de 80000 itera¸c˜oes foi rodada. Descartaram-se 20000 como aquecimento. As restantes 60000 foram usadas para fazer inferˆencias. Na Tabela 7.3 apresenta-se os resultados para os modelos VEN e VEN-VOL para a HPQ e IBM respectivamente e a Tabela 7.4 mostra os resultados do modelo de retornos e volume para ambos dos estoques. As duas tabelas fornecem a m´edia, erro padr˜ao e os percentis 2.5% e 97.5% das sa´ıdas do algoritmo de Gibbs para os modelos referidos.
Observe-se que na an´alise individual para ambos estoques a estimativa do parˆametro de persistˆencia, φi, no modelo VEN ´e maior que a respectiva para o
modelo VEN-VOL. O contrario acontece com as estimativas de σ2
i. Os resultados
s˜ao consistentes com os obtidos no Cap´ıtulo 6. Al´em disso, no modelo VEN- VOL, as estimativas para m0,i s˜ao iguais a 2.4590 e 3.9650 para a HPQ e a IBM
respectivamente, entanto que as estimativas para m1,i s˜ao 0.3692 e 0.4283 para
a HPQ e a IBM. Estes valores grandes de m0,i em rela¸c˜ao a m1,i indicam uma
forte presen¸ca de investidores com liquidez. Se comparamos os resultados dos modelos VEN-VOL para cada estoque como o modelo de retorno e volume para os dois estoques, temos que as estimativas dos parˆametros comuns s˜ao similares. Entanto, o coeficiente de correla¸c˜ao, ρ, tem uma m´edia a posteriori de 0.4057, e o intervalo confidencial de 95%, [0.2382,0.5652], ´e estritamente positivo e indicaria que as mudan¸cas da volatilidade da HPQ afetam positivamente `a volatilidade da IBM.
(a) Dados HPQ
(b) Dados IBM
Figura 7.1: M´edias Suavizadas de ht para os modelos VEN-VOL e o modelo Bivariado
A figura 7.1a mostra as estimativas das log-volatilidades da HPQ obtidas pelo modelo para ambos estoques e do modelo VEN-VOL, entretanto a figura 7.1b faz o mesmo para as log-volatilidades da IBM.
Tabela 7.3: Modelo VEN e VEN-VOL dados HPQ
Modelo VEN: HPQ
Parˆametro M´edia E.P. 2.5% 97.5% α1 -0.0068 0.0092 -0.0271 0.0096
φ1 0.9829 0.0108 0.9558 00.9977
σ2
1 0.0298 0.01446 0.0147 0.0695
Modelo VEN-VOL:HPQ Parˆametro M´edia E.P. 2.5% 97.5% α1 0.5529 0.0960 0.3769 0.7491 φ1 0.7705 0.0393 0.6889 0.8434 σ2 1 0.1951 0.0396 0.1301 0.2861 m0,1 2.4590 0.4411 1.5100 3.2720 m1,1 0.3692 0.0496 0.2842 0.4782 Modelo VEN:IBM
Parˆametro M´edia E.P. 2.5% 97.5% α2 0.0468 0.0194 0.0165 0.0926
φ2 0.9661 0.0132 0.9345 0.9863
σ2
2 0.0535 0.0191 0.0275 0.1004
Modelo VEN-VOL:IBM Parˆametro M´edia E.P. 2.5% 97.5% α2 0.3971 0.0754 0.2533 0.5519
φ2 0.7748 0.0416 0.6904 0.8543
σ22 0.2340 0.0516 0.1460 0.3495 m0,2 3.9650 0.3138 3.3020 3.9850
Tabela 7.4: Modelo Bivariado de Volatilidade e Volume, conjunto de dados da HPQ e IBM
Modelo Bivariado i = 1 HPQ, i = 2 IBM
Parameter Mean S.E. 2.5% 97.5%
α1 0.5902 0.0931 0.4132 0.7802 φ1 0.7534 0.0380 0.6756 0.8241 σ2 1 0.2124 .03922 0.1477 0.3027 m0,1 2.5150 0.4063 1.7080 3.2870 m1,1 0.3673 0.04631 0.2830 0.4613 ρ 0.4057 0.08295 0.2382 0.5652 α2 0.4041 0.0713 0.2735 0.5529 φ2 0.7674 0.03917 0.6844 0.8392 σ2 2 0.2548 0.05363 0.1651 0.3776 m0,2 4.032 0.2951 3.434 4.581 m1,1 0.4252 0.05633 0.3265 0.5435
Conclus˜oes e Futuros Desenvolvimen-
tos
Neste trabalho de tese uma revis˜ao dos recentes m´etodos para a a estima¸c˜ao Bayesiana dos modelos de volatilidade estoc´astica desde a perpectiva dos mode- los dinˆamicos n˜ao lineares/n˜ao gaussianos, foi feita. Os m´etodos, embora com- putacionalmente intensivos, permitem estimar simultaneamente parˆametros e as log-volatilidades, e isto ´e realmente importante em aplica¸c˜ao com op¸c˜oes e deriva- tivos nos quais a volatilidade ´e um input. Um ponto importante de mencionar s˜ao os modelos dinˆamicos de primeira ordem que s˜ao simples e computacionalmente baratos, proporcionando boas estimativas para as volatilidades. Esta classe de modelos merece ainda pesquisa e pode-se estender a modelos multivariados.
Nesta tese a distribui¸c˜ao conjunta dos retornos di´arios e volume de neg´ocios foi estudada. A rela¸c˜ao entre estas duas vari´aveis ´e derivada da micro-estrutura do mercado na qual a presen¸ca de investidores com liquidez e investidores com informa¸c˜ao assim´etrica s˜ao as principais caracter´ısticas. A especifica¸c˜ao resul- tante ´e consistente com a MDH. N´os propusemos modificar a especifica¸c˜ao da log-volatilidade usada em Mahieu e Bauer (1998) usando a especifica¸c˜ao com
mudan¸cas de regime proposta por So et al. (1998). Esta especifica¸c˜ao permite diferentes regimes na volatilidade.
As contribui¸c˜oes `a discuss˜ao come¸cada por Andersen (1996), Mahieu e Bauer (1998) e Watanabe (2000) s˜ao as seguintes. M´etodos seq¨uenciais s˜ao aplicados ao MMM para obter a distribui¸c˜ao dos parˆametros e as log-volatilidades a cada instante do tempo. Uma modifica¸c˜ao da especifica¸c˜ao da log-volatilidade per- mitindo diferentes regimes foi incluida na modelagem. M´etodos MCMC basea- dos no amostrador por blocos de Watanabe e Omori (2004) foram propostos. Estes m´etodos usados tem claramente uma vantagem de fornecer a distribui¸c˜ao das vari´aveis latentes e de qualquer fun¸c˜ao destas. Estas estimativas podem ser usadas nas diferentes ´areas das finan¸cas modernas. Uma extens˜ao multivariada para o MMM foi proposta e a implementa¸c˜ao Bayesiana implementada para um par de ativos.
A discuss˜ao dos modelos de retornos e volume de neg´ocios ´e uma importante ´
area para futuras pesquisas, pois os resultados claramente indicam que o volume de neg´ocios pode ser uma importante vari´avel para entender a volatilidade.
Existem algumas extens˜oes imediatas ao presente trabalho. A primeira delas ´
e a implementa¸c˜ao de um modelo completamente Bayesiano que evite o processo de retirar a tendˆencia da s´erie do volume de neg´ocios. Isto poderia ser feito
permitindo a modelagem dinˆamica nos parˆametros do volume da seguinte forma yt = exp(ht/2)t, vt ∼ P(λt), g(λt) = log(m0,t+ m1,texp(ht)) + µt, ht = α + φht−1+ σ2ηηt, ηt∼ N (0, 1), µt = µt−1+ w1,t, m0,t = m0,t−1+ w2,t, m1,t = m1,t−1+ w3,t,
Uma segunda extens˜ao poderia ser feita incluindo outras distribui¸c˜oes para os retornos como foi feito com os modelos de volatilidade no Cap´ıtulo 5.
Finalmente como foi mencionado no Cap´ıtulo 7, existem justificativas econˆo- micas e econom´etricas pelas quais os modelos de volatilidade multivariados s˜ao importantes. O conhecimento da estrutura de correla¸c˜ao ´e vital em muitas aplica¸c˜oes financeiras, tais como gerenciamento e aloca¸c˜ao de uma carteira de valores. Assim, uma outra alternativa usando modelos fatoriais para modelar a volatilidade (ver Lopes et al., 2000; Lopes e Migon, 2002; e Lopes e West, 2003) poderia ser modelar ht usando um modelo fatorial, isto ´e
yit = exp(hit/2)it
vit ∼ P(mi0+ mitexp(hit)
ht = βft+ ηt ηt ∼ N (0, Ση)
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