2 Metodologia Data Envelopment Analysis – DEA
2.1 DEA-CRS
A formulação DEA-CRS, também conhecido como DEA-CCR, apareceu pela primeira vez no artigo “Measuring the efficiency of decision making units” de 1978, de autoria de Charnes, Cooper e Rhodes. Foi justamente nesta publicação que surgiu o nome Data Envelopment Analysis.
Este modelo, adequado para a avaliação da eficiência relativa de unidades tomadoras de decisão que operam globalmente sob retornos constantes à escala é processado de acordo com as equações 2.1 e 2.2 explicadas a seguir.
Para o modelo dos multiplicadores orientado à redução dos insumos (inputs) temos:
14 e x𝑖0 são a quantidade de recursos consumidos (x𝑖0) e as quantidades produzidas de produto (y𝑟0), respectivamente, das DMU’s avaliadas. Os elementos y𝑟𝑗 e x𝑖𝑗 são os outputs e inputs, respectivamente das demais DMU’s avaliadas. Este modelo, na forma fracionária, pode ser convertido no modelo linear que segue [7]. Detalhes acerca desta manipulação fogem ao escopo deste trabalho e serão omitidos, no entanto eles podem ser encontrados no artigo
“Measuring the efficiency of decision making units” de Charnes, Cooper e Rhodes [6]. Assim teremos:
O modelo CRS orientado a expansão de produtos é como em 2.2.
15 Data Envelopment Analysis” de 1984, escrito por Banker, Charnes e Cooper [5]. Este modelo DEA operando sob retornos variáveis à escala provê informações sobre ineficiência técnica e de escala das DMU’s avaliadas baseando-se na fronteira de eficiência. Para o processamento do modelo são utilizadas as equações 2.3 e 2.4, orientado a insumo (input) e orientado a
No caso da orientação à produto, o modelo do envelopamento é processado de acordo com a seguinte equação:
16
Neste caso o valor de ∅ é o escore de eficiência.
2.3 Retornos à escala e fronteiras relacionadas
O conceito de retornos de escala tem sido amplamente estudado juntamente com o framework DEA [3]. Nos modelos estudados até agora, veremos que o modelo de DEA-CRS realiza a análise de eficiência utilizando retornos constantes à escala e que o modelo de DEA-VRS avalia e eficiência utilizando retornos variáveis de escala [8].
Uma forma razoável de se ter uma ideia do conceito de retornos de escala seria tomarmos como α uma mudança proporcional em um output sendo resultado de uma mudança β no input das DMU’s. Por exemplo, quando x é aumentado em β ocasionando um acréscimo em y de α pode-se afirmar que: se α=β esta unidade opera sob retornos constantes à escala; se α > β tem-se retornos crescentes a escala e se α < β está-se sob a presença de retornos decrescentes à escala [3].
Como forma de simplificarmos o entendimento deste conceito utilizaremos um exemplo do livro “Data Envelopment Analysis: Modeling Operational Process and Measuring Productivity” de Wade D. Cook e Joe Zhu [3]. Este simples exemplo nos mostrará diferentes casos de retornos de escala. No exemplo, utilizaremos 5 DMU’s denotadas pelas letras A, B, C, D e E conforme o Quadro 1 nos mostra:
Quadro 1 - 5 DMU’s e seus respectivos valores de input e output.
DMU A B C D E
input 1 2 4 6 5
output 0.5 2 4 5 1
17
Fonte: DataEnvelopment Analysis: Modeling Operational Process and Measuring Productivity de Wade D. Cook e Joe Zhu (2008).
Utilizando os dados do Quadro 1, desenharemos um gráfico indicando as fronteiras de DEA correspondente aos dois modelos (DEA-CRS e DEA-VRS) apresentados até agora. A figura 3 ilustra este gráfico:
Figura 3 - Retornos de escala nos modelos CRS e VRS.
A Figura 3 mostra pelos segmentos de reta as regiões de retorno à escala. O trecho AB indica retornos crescentes à escala (α > β). O trecho BC indica retornos constantes à escala (α=β) e o trecho CD indica retornos decrescentes à escala (α < β). Os pontos ABCD desenham a fronteira de retornos variáveis à escala, DEA-VRS, e os pontos OBC indicam a fronteira de melhores práticas para o DEA-CRS, com retornos constantes à escala. Os pontos M,F,G, e N são DMU’s virtuais, ou seja, resultado da projeção da DMU E nas fronteiras.
Pela Figura 3 observa-se claramente que a DMU E é ineficiente. Sua projeção até a fronteira pode se dar via redução de insumos (região entre A e B, o ponto F) – orientação insumo, ou expansão de produtos (região entre C e D, o ponto G) – orientação produto. As projeções M e N (DMU´s virtuais) são realizadas na fronteira CRS identificando o escore de ineficiência global (técnica e de escala) da empresa E, enquanto que as projeções F e G são realizadas na fronteira VRS, identificando a ineficiência técnica pura da empresa. O Quadro 2 mostra o objetivo para cada modelo e orientação no processamento da DMU E.
Quadro 2 – Valores de acordo com a projeção na fronteira de eficiência..
Modelo DEA escolhido DMU objetivo.
CRS Orientado a insumo M (1,1) VRS Orientado a insumo F (1.33, 1) CRS Orientado a produto N (5,5)
18 VRS Orientado a insumo G (5, 4.5)
Fonte: Data Envelopment Analysis: Modeling Operational Process and Measuring Productivity de Wade D. Cook e Joe Zhu (2008).
A diferença entre as fronteiras diz respeito às ineficiências de uma DMU. No caso do modelo DEA-CRS com retornos constantes de escala, sua fronteira indica a soma da ineficiência técnica e da ineficiência de escala de uma DMU. Já na interpretação de uma fronteira do modelo DEA-VRS sua fronteira indica somente a ineficiência técnica de uma DMU [5].
Figura 4 - Fronteiras DEA-CRS e Fronteiras DEA-VRS.
A Figura 4 ilustra as fronteiras DEA-CRS (0BC) e DEA-VRS (ABCD). A DMU E, ineficiente, no caso de orientação a produto (output,) projeta-se na fronteira DEA-VRS e assim temos a DMU G. Esta distância entre as DMU’s E e G demonstra a ineficiência técnica da DMU E. Já no caso da fronteira DEA-CRS a DMU E é projetada na DMU N que está sob a fronteira. A distância entre a DMU E e N diz respeito a soma da ineficiência técnica da DMU em questão (distância E até G) e da ineficiência de escala (distancia de G até N). No caso de estarmos analisando a DMU E orientada a redução dos insumos (input) a distancia entre a DMU E e sua projeção na fronteira DEA-VRS, a DMU F, indica ineficiência técnica.
Já a distancia entre a DMU E e a DMU M na fronteira DEA-CRS indica a soma entre a ineficiência técnica (distancia E-F) e a ineficiência de escala (distancia E-M).
2.4 Folga dos insumos e produtos
19 Considere os seguintes dados de insumos (inputs) e produtos (output) indicados no Quadro 3. Se aplicarmos o modelo de DEA-VRS orientado a insumo, de retornos variáveis de escala, teremos a fronteira exibida pela Figura 5.
Quadro 3 – Tabela de Inputs e Outputs de DMUs.
DMU input1 input2 output
Fonte: Data Envelopment Analysis: Modeling Operational Process and Measuring Productivity de Wade D. Cook e Joe Zhu (2008).
Figura 5 - Fronteira de DEA-VRS orientado a redução de insumos utilizando-se os dados do quadro 3.
A Figura 5 ilustra 4 DMU’s eficientes que definem a fronteira e a DMU 5 que está sendo projetada de forma radial como forma de reduzir proporcionalmente os insumos. Se avaliarmos a DMU 4, percebemos que seu escore de eficiência (θ)é 1, ou seja indicando que faz parte da fronteira. Porém ao analisarmos com mais cuidado percebemos que como todas as DMU’s tem a mesma quantidade nos outputs, a DMU 4 pode reduzir sua quantidade do insumo input 1 de forma a alcançar a DMU 3. Esta redução individual na quantidade de insumos é chamada de folga [3].
De fato, sempre que um modelo DEA-VRS for processado é capaz de existirem folgas.
A partir disso temos as seguintes definições de eficiência para o modelo de retornos variáveis de escala:
1. DMU eficiente – Uma DMU é 100% eficiente se e somente se:
20 a. θ∗= 1
b. Ambas as folgas 𝑠𝑖− = 𝑠𝑟+=0
2. DMU fracamente eficiente – Uma DMU é dita fracamente eficiente se e somente se:
a. θ∗= 1 cada uma, assim como as metas a serem alcançadas pelas ineficientes e seus benchmarks.
O Exemplo retirado do Livro Data Envelopment Analysis: Modeling Operational Process and Measuring Productivity de Wade D. Cook e Joe Zhu (2008) tem como objetivo mostrar as equações feitas em um modelo de DEA onde as DMU’s utilizam 2 inputs na anualmente (output 3), temos os valores do Quadro 4:
Quadro 4 - Conjunto de dados para exemplo de aplicação de DEA.
Universidade input 1 input 2 output 1 output 2 output 3
A 1 2500 5 50 12
B 0.8 2200 4 40 8
21
C 0.6 1500 3 55 6
D 1 2750 4 40 8
Sendo assim, em um modelo VRS, orientado à redução de insumos, temos o seguinte problema de Programação Linear associado a avaliação da DMU A.
Min 𝜃 Sujeito a : λa,+0.8λb.+0.6,λc, + λd ≤1*θ 2500λa,+2200λb.+1500λc, + 2750λd ≤2500*θ
5λa,+4λb.+3,λc, + 4λd ≥5 50λa,+40λb.+55λc, + 40λd ≥50
12λa,+8λb.+6λc, +8λd ≥12 λa,+λb.+,λc, + λd=1 λa , λb , λc , λd , ≥ θ
Neste modelo, as variáveis de decisão são λa , λb , λc , λd e θ. A função objetivo é o próprio θ.
22 3 Análise de Ferramentas de DEA
Nesta seção realizamos uma análise exploratória e crítica das principais ferramentas de resolução de DEA hoje existentes. A análise que foi realizada abordou os seguintes aspectos:
fluxo principal de execução (do carregamento dos dados do problema até a exibição dos resultados após o processamento), facilidade para tratamento de dados (dados precisam ser importados ou podem ser inseridos no próprio programa), usabilidade (se a ferramenta é adequada ao uso e se há uma facilidade no uso), facilidade de gerir vários modelos, capacidade de análise gráfica, capacidade de exportação dos resultados e quantidade de modelos DEA. No que tange à facilidade de gerir vários modelos, avaliamos avaliar a praticidade da ferramenta no caso de várias simulações com um mesmo conjunto de dados em diferentes formulações DEA (VRS, CRS, etc). Quanto a capacidade de exportação dos dados, foi avaliado a formatação e a facilidade na leitura e interpretação dos dados no arquivo exportado.
3.1 KonSi-DEA for benckmarking*
O software KonSi – Data envelopment Analysis é um software desenvolvido e publicado pela KonSi Ltd. no ano de 2006. O software requer uma licença paga para a plena utilização de todos os seus recursos. Devido a isso, foi realizada uma analise de sua versão de demonstração. O software KonSi DEA utiliza somente formulação DEA-VRS no processamento dos modelos criados.
Os dados que serão processados por esta ferramenta deverão estar contidos em um arquivo “.xls” feito no programa Microsoft Excel. Estes dados deverão ser dispostos da seguinte forma na planilha: a data da analise na primeira linha e primeira coluna, o nome das unidades deverá estar na primeira coluna a partir da segunda linha. Já os nomes dos parâmetros deverão estar na primeira linha a partir da segunda coluna. Um exemplo é ilustrado na Figura A.1-1, no apêndice A.
Esta ferramenta carrega estes dados e os salva em um projeto. Este projeto possui formato “.mdb”, do Microsoft Access. Uma vez que este projeto esta salvo a ferramenta permite que você realize as outras etapas de execução através de sua interface. São basicamente 3 telas para manipulação e construção do modelo DEA utilizando os dados importados para o sistema. As Figuras A.1-2, A.1-3, descrevem as telas mais básicas para configuração das variáveis e das unidades.
A tela DEA Analysis, mostrada na Figura 6, permite a análise dos valores que foram processados pelo modelo. As áreas contornadas com a cor azul mostram as configurações de data em um campo de texto (“Current date”) que podem ser inseridos pelo usuário, além do tipo de orientação escolhida para o modelo (“Dea Model”) que pode ser definida como orientada a insumo ou produto. A área contornada com a cor verde são os botões que geram gráficos e relatórios do modelo processados. Os relatórios são gerados em “.xls” e as Figuras
* http://www.dea-analysis.com/download/data-envelopment-analysis.html
23 em “.bmp”. Dentro da área contornada da cor vermelha é exibido qual a DMU (ou unidade) que está sendo avaliada além do seu status que pode ser “poor performer” ou “best performer”
de acordo com seu escore calculado. Também é possível configurar se o modelo vai realizar processamento considerando super eficiência (eficiência maior que 100%) ao marcar o botão
“Superefficiency”, ou seja, o modelo que faz o ranking das unidades eficientes. É possível configurar se cada parâmetro é uma entrada (input) ou saída (output). Clicando no botão “Fact target” calcula-se o valor objetivo para cada parâmetro. Dentro da área contornada com a cor alaranjada o usuário insere valores planejados e realiza uma simulação que indica quais são os valores objetivos dados aqueles valores inseridos. Esta última funcionalidade só está
disponível nas versões com licença ativa.
Figura 6 - A tela “Dea Analysis” do Konsi DEA.
Diante desta breve análise, podemos considerar o “KonSi-DEA for Benchmarking”
uma ferramenta com uma gama de funcionalidades que pode ser utilizada tanto para avaliação quanto para planejamento e estratégia. A ferramenta possui uma interface que possibilita ao usuário a edição e tratamento dos dados do problema. Entre suas vantagens está sua capacidade de exportação dos dados para o formato em Microsoft Excel e sua capacidade de análise gráfica, ou seja, o sistema permite a impressão de gráficos em 2D e 3D. As desvantagens observadas segundo os critérios utilizados na análise foram: baixa usabilidade (devido sua interface confusa), dificuldade em gerir os modelos e realizar o processamento utilizando apenas uma formulação DEA (DEA-VRS).
3.2 FRONTIER ANALYST*
A primeira versão da ferramenta Frontier Analyst foi desenvolvida em 1999 por Asia Hussain & Matthew Jones, ambos da Banxia Software Ltd. Trata-se de um sistema que requer licença para uso total. Utilizaremos sua quarta versão, do ano de 2010, com os recursos limitados para demonstração.
* http://www.banxia.com/frontier/
24 Frontier Analyst é uma ferramenta que foi desenvolvida para auxiliar a determinação da eficiência relativa de unidades organizacionais. Dentre os seus recursos mais básicos descritos em seu manual, ela permite:
Realizar estudos comparativos de eficiência;
Visualizar indicadores importantes: escores, pesos, etc.;
Alocar recursos de forma mais eficiente;
Obter informações para planejamento de estratégia.
A entrada dos dados a serem analisados pelo sistema é feita no momento em que se cria um novo projeto, estes dados podem estar contidos em diversas fontes. A Figura 7 nos mostra a tela de entrada destes dados.
Figura 7 - Tela exibida ao criar um novo projeto no software Frontier Analyst 4.0.
A Figura 7 nos mostra que o Frontier Analyst nos dá 7 opções para importação dos dados a serem analisados. Estas opções são: importar da área de transferência, usar dados do Microsoft Excel, dados interligados a um banco de dados, importar de um arquivo de texto (por ex. “.txt”), inserir os dados no editor (de forma manual) e importar de um arquivo “.xml”.
A configuração básica dos parâmetros é feita durante a criação dos projetos. Durante esta fase é possível configurar se um parâmetro é do tipo Controlled input (input controlável), Uncontrolled input (entrada não controlada), output (saída), Cost (custo), Text (texto) ou Date (data).
25 Após serem devidamente importados ao sistema, os dados podem ser visualizados e configurados na tela “Data Viewer”, assim como mostra a Figura 8.A área contornada de vermelho é o recurso que possibilita a configuração de cada parâmetro. Na área contornada de verde é possível inserir novos valores para os dados da variável. A estruturação do projeto é feita acessando o recurso “DEA Options” no canto esquerdo da tela do projeto. Uma nova janela com o título de “Analysis Options” é aberta e nela há várias opções de configuração para o processamento dos dados importados. Este software permite que os dados sejam processados segundos os modelos DEA-VRS e DEA-CRS, ambos orientados a insumo (input) ou orientado a produto (output).
Figura 8 – Tela de exibição do conjunto de dados – Frontier Analyst
Outros recursos como substituição de valores iguais a zero, controle dos pesos, gerenciamento dos dados, configuração de variáveis e outras configurações referentes ao modelo de DEA escolhido estarão a disposição do usuário nesta mesma tela, conforme mostrado na Figura A.2-1, no apêndice de telas do Frontier Analyst.
Os demais recursos deste software são facilmente acessíveis através de um menu localizado a esquerda. Através dele você consegue realizar as configurações necessárias ao seu modelo, visualizar os escores de eficiência, obter detalhes individuais sobre cada DMU, visualizar diagramas relativos aos parâmetros do projeto, visualizar gráficos referentes ao processamento do modelo, visualizar a fronteira de eficiência, visualizar dados de forma a melhorar a produtividade, gerar relatórios e exportar os dados.
Todos estes recursos podem ser acessados pela barra de ferramentas do sistema, porém é uma vantagem que todos eles estejam acessíveis através de um menu de atalho a esquerda.
Toda vez que algum destes recursos é acessado, o software verifica se os dados do modelo foram alterados manualmente. Caso tenham sido alterados, o software pergunta ao usuário se
26 ele deseja realizar um novo processamento DEA para visualizar os resultados de acordo com as alterações que foram realizadas. A Figura 9 nos dá uma visão de onde estão localizados estes recursos. O menu a esquerda (área contornada de cor laranja) permite que diversos recursos sejam facilmente acessados. A área contornada de vermelho nos mostra a tela que é exibida caso os valores dos parâmetros sejam alterados.
Figura 9 - Tela de recursos e atualização de processamento do Frontier Analyst.
Através desta análise percebemos que o software Frontier Analyst 4.0 é um software que procura facilitar o acesso aos seus recursos para que os usuários possam visualizar de forma rápida aquilo que necessitam, também possibilita a edição dos dados para realizar um novo processamento. Além disso, Frontier Analyst é um software bem completo que possibilita diversas análises e resultados extremamente úteis em uma tomada de decisão, resultados que não são exibidos em outras ferramentas, tais como estatística descritiva. Entre as desvantagens observadas, podemos destacar que apesar de dispor de uma grande quantidade de gráficos, alguns deles podem ser um tanto complicados de interpretar, além de ser uma ferramenta que necessita de licença paga para o funcionamento pleno de todos os seus recursos. A gestão de vários modelos simultaneamente não é feita de forma trivial e não existe praticidade na exibição destas simulações.
3.3 EMS* - Efficiency Measurement System
O EMS, ou Efficiency Measurement System, é um software de DEA desenvolvido por Holger Scheel com o apoio de Csaba Mészáros. Trata-se de uma ferramenta de uso gratuito
* http://www.holger-scheel.de/ems/
27 para uso acadêmico, destinada aos usuários dos sistemas operacionais Microsoft Windows 9x/NT. Para o processamento dos dados, esta ferramenta utiliza a biblioteca LP Solver DLL BPMPD 2.11 desenvolvido por Csaba Mészáros. A análise foi feita com sua versão 1.3, lançada no ano 2000.
Para a entrada dos dados a serem analisados o EMS aceita o formato “.txt” ou arquivos do Microsoft Excel 97, ou anterior, com a extensão “.xls”. Os dados que serão importados de um arquivo Microsoft Excel 97 deverão ter uma formatação específica. A Figura 10 nos mostra esta formatação.
Figura 10 - Formato dos dados de entrada para o EMS.
O arquivo deve ser formatado de forma que a primeira coluna seja o nome das DMU’s e as demais colunas deverão vir na seguinte ordem: entradas (inputs) e depois as saídas (outputs). Logo após o nome de cada parâmetro deverá existir os caracteres “{I}”, no caso de ser entrada, e “{O}”, no caso de ser saídas. A planilha contendo o conjunto de dados deverá chamar-se Data. Em alguns casos um determinado parâmetro pode conter os caracteres
“{IN}” ou “{ON}”, isso indica que estamos tratando de uma variável não controlada, ou seja, seu valor não é controlado pela DMU.
De forma análoga, os arquivos de entrada com formado de texto (*.txt) também deverão ser formatados. Uma demonstração desta formatação é exibida na Figura 11.
Figura 11 - Dados formatados em um arquivo “.txt” no EMS.
Caso o modelo de DEA proposto faça uso da restrição aos pesos, o sistema permite que estas restrições sejam configuradas no próprio arquivo de entrada. No caso do Microsoft Excel, basta criar uma planilha com o nome “weights” e inserir os valores dos pesos de forma análoga a formatação em que foram inseridos os valores dos parâmetros. A Figura 12 nos mostra este tipo de formatação para o caso dos pesos.
28 Figura 12 – Formato de entrada dos pesos na ferramenta EMS.
O mesmo procedimento poderá ser feito em um arquivo com extensão “.txt”, porém o arquivo contendo as informações dos pesos deverá ser criado e salvo com o nome “weights”.
Após a realização destes procedimentos com os arquivos de entrada. Eles deverão ser carregados para dentro do EMS. A Figura 13 nos mostra a tela que realiza estas ações. Em
“Load Data” na área contornada de vermelho, escolhemos o arquivo (“.xls” ou “.txt”) que será carregado. No caso de arquivos de texto (“.txt”) em que o modelo apresente restrição aos pesos, o arquivo contendo o valor dos pesos deverá ser carregado (em “Load Weight Restr”).
Figura 13 - Menu da barra de ferramentas do EMS responsável pelo carregamento dos dados.
No menu “DEA” da barra de ferramentas teremos as opções de realizar formatação ou o processamento do modelo (Figura 14). No caso da opção de formatação, tem se as opções de escolha de numero de casas decimais ou a forma como serão mostrados os pesos (Figura 15).
29 Figura 14 - Menu de formatação ou processamento do modelo no software EMS.
Figura 15 - Tela de formatação da exibição dos resultados após o processamento do modelo, no software EMS.
Na tela de processamento realizam-se as configurações necessárias ao tipo de resultado que se deseja obter do modelo (Figura 16).
30 Figura 16 - Tela de configuração das opções de processamento do modelo no software EMS.
Após esta etapa, clicando no botão “Start” na janela “Run model” tem se o resultado do processamento (Figura 17).
Figura 17 - Resultado do processamento de um modelo DEA.
31 Note que é exibido o escore de eficiência e a DMU que serve como Benchmark para
31 Note que é exibido o escore de eficiência e a DMU que serve como Benchmark para