Decomposição Modal

Os deslocamentos nodais que deram origem ao sinal em p1 são decompostos nos modos de vibrar. Para cada freqüência do espectro, esta decomposição tem o objetivo de avaliar a contribuição de cada modo presente e, portanto, determinar os coeficientes das autofunções que descrevem os deslocamentos.

As análises efetuadas consideram 169 modos de vibrar da placa. Sendo as autofunções da parte ímpar da solução da placa, eq. (2-23), são nulas e os modos de vibração (m,n), para m ou n par, também são nulos, o número de modos efetivos para o cálculo da série cai para 49.

Os ensaios realizados com o MAM até o presente momento partiram da aplicação de esforços harmônicos sobre uma placa, que foram decompostos em uma distribuição nodal de deslocamento. No modelo de decomposição modal, os coeficientes da parte par da série de Fourier são determinados através da distribuição nodal de deslocamento.

A Figura 6.42 mostra a distribuição nodal obtida para a distribuição de esforços da Figura 6.39 utilizada no ensaio MAM_DA.

Figura 6.42 – Leitura do Sensor no ponto p1

A decomposição do sinal nos 49 modos de vibrar da placa indica a participação de cada modo de vibrar na formação do deslocamento global, medido no ponto p1.

1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 Frequência (Hz) Am pi tu de ( m ) Vetor aleatório

A Figura 6.43 mostra a decomposição modal do deslocamento em função da freqüência onde cada curva apresentada na figura corresponde a um modo de vibrar da placa. Observa-se que nesta faixa apenas quatro modos principais, nas freqüências de ressonância compõem efetivamente o sinal.

Figura 6.43 – Modos de Vibração da Placa em Função da Freqüência

A decomposição do sinal da Figura 6.42 foi, também, efetuada em relação aos nós excitados da placa, na freqüência 1725Hz. Na Figura 6.44 pode ser observado que, dos 49 modos de vibrar presentes, apenas cinco predominam

Figura 6.44 – Modos de Vibração da Placa em Função dos Nós na Freqüência 1725 Hz 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 frequência (Hz) A m pl it ude ( m )

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A distribuição dos esforços aleatórios aplicados sobre a placa pode ser obtida pela inversão da matriz [V]_(m,n) ω ⊗[X]_(m,n),(i,j), aplicada nos deslocamentos medidos nos pontos de aquisição. A Figura 6.45 mostra que a aplicação desta inversão resulta na mesma distribuição original da figura 6.38.

Figura 6.45 –. Distribuição dos Esforços Aleatórios do Ensaio MAM_DA

Na Figura 6.46 é mostrado desvio padrão para o ensaio da distribuição de esforçoas aleatórios sobre a placa.

Figura 6.46 –. Desvio Padrão da Distribuição do Ensaio MAM_DA

35 40 45 50 55 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 10-3 Pontos D es v io P a dr ão ( N ) 30 35 40 45 50 55 60 65 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Pontos Fo rç a (N ) Força Média Força Aplicada

Através dos resultados obtidos, pode-se concluir que a partir de um ponto excitado na placa é possível determinar a força externa que originou a excitação.

Os ensaios realizados com o MAM até o presente momento partiram da aplicação de esforços harmônicos sobre uma placa, que foram decompostos em uma distribuição nodal de deslocamento. No modelo de decomposição modal, os coeficientes da parte par da série de Fourier são determinados através da distribuição nodal de deslocamento.

6.4.2 Análise dos Resultados

De acordo com os resultados obtidos nos ensaios com o Modelo de Análise Modal, os objetivos propostos foram plenamente atingidos, pois as características geométricas de um objeto impactante foram determinadas para cada um dos experimentos simulados.

Verificou-se também, que o sinal do deslocamento depende da forma da excitação. A analise do sinal pode ser efetuada em qualquer faixa de freqüência e os pontos de mínimos presentes evidenciam as diferenças entre os resultados obtidos para cada um dos objetos simulados. As freqüências de ressonância, sendo uma característica do sistema, não permitem a identificação de qualquer fator externo.

A caracterização da forma do objeto impactante é evidente na vista de planta das figuras de cada ensaio.

O ensaio MAM_DP mostrou a simulação de uma função delta aplicada no centro da malha, indicando que o método pode ser utilizado para a análise de outros tipos de forças externas aplicadas além das distribuições harmônicas.

Através dos resultados obtidos pela distribuição aleatória e considerando as descontinuidades deste tipo de distribuição, é possível presumir que o fenômeno do impacto, por apresentar certa aleatoriedade, pode ser representado através da aplicação do método de análise modal proposto. Este tipo de distribuição, permite por exemplo, a simulação do impacto de partículas sobre uma placa em um instante específico.

Assim, a partir do resultado obtido para essa simulação, pode-se afirmar que qualquer forma de objeto impactante pode ser caracterizada, independente da excitação.

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Segundo o ensaio da decomposição modal, a partir de um ponto excitado na placa é possível determinar a força externa efetiva que originou o sinal.

6.5 CONCL USÕES

A interação entre duas superfícies através do impacto ou do contato se restringe a poucos fenômenos descritos durante as últimas décadas e, apesar dos esforços e do tempo gastos em pesquisas, houve pouca evolução qualitativa neste tipo de estudo.

Segundo uma avaliação nos moldes da pesquisa tradicional, os modelos físicos disponíveis na literatura não parecem adequados para descrever este tipo de interação em vista da complexidade e generalidade que os fenômenos apresentam. O método dos elementos finito (MEF) que é uma das principais ferramentas utilizadas para a análise de impacto necessita do conhecimento prévio de estruturas ensaiadas.

A maioria dos estudos efetuados é baseada na lei de Hertz que considera a interação pontual, impróprio para descrever formas e distribuições de esforços. Em resumo modelo desenvolvido por Hertz prescinde de uma representação física, restringindo sua aplicabilidade ao conhecimento prévio do processo de interação. A dificuldade consiste em estabelecer um procedimento matemático que avalie a interação de múltiplos pontos vinculados.

O enfoque deste trabalho é descrever a interação entre superfícies em contato a partir de parâmetros previamente conhecidos ou determinados. Assim, é elaborado um processo matemático que permite tratar do fenômeno sem perda de generalidade, ou seja, que pode ser aplicado a qualquer tipo de modelo de impacto.

Inicialmente, a metodologia proposta assume algumas hipóteses como a linearidade e independência e, os parâmetros conhecidos do sistema a ser modelado são descritos através de uma análise físico-matemática do sistema. A determinação do contato ou da interação de múltiplos pontos é desenvolvida por procedimentos estatísticos sendo apresentados cinco sistemas físicos genéricos que podem ser caracterizados pelo método matemático.

As condições iniciais da modelagem são consideradas no instante de tempo em que as hipóteses adotadas tornam-se válidas para a solução do problema. Portanto, as

entradas típicas como velocidade e deslocamento não são utilizadas pelo método proposto. A condição final é definida como o instante de tempo em que as hipóteses assumidas deixam de ser válidas.

Os vínculos e contatos da modelagem são tratados dentro de uma estrutura de autofunções.

A elaboração do método, denominado MAM, é estruturada em um formalismo matemático proposital. A falta de conhecimento experimental obriga a utilização de modelos genéricos, obtidos através de uma modelagem basicamente matemática, permitindo aplicações em diversos campos, não se limitando às descrições físicas ou qualitativas do evento.

Na metodologia desenvolvida não é feita qualquer limitação de caráter físico, procurando manter os procedimentos dentro de um enfoque puramente matemático de forma a não se restringir somente a estudos de interação entre corpos.

O modelo físico simulado e o sinal gerado têm essencialmente a mesma matemática envolvida, o que permite avaliar e analisar o tipo de sinal recebido pelos sensores. As hipóteses de ergocidade e invariância temporal assumidas são freqüentemente utilizadas na prática e são usadas para definir o espaço amostral

De forma geral, o MAM desenvolve uma solução matemática para o sistema a ser modelado, descrito através de uma forma estruturada matemática e obtém as características do evento que resultou no sinal medido.

Assim, a descrição qualitativa do impacto é obtida através do desenvolvimento de uma série de funções matemáticas que gera uma base ortogonal. Assumindo que os modos normais de vibração, as freqüências naturais, a forma geométrica e as propriedades físicas da superfície contactada são previamente conhecidas, a análise das vibrações causadas pelo contato com um objeto desconhecido permite determinar a localização ou o posicionamento dos pontos de contato na superfície conhecida e estimar a geometria da superfície do objeto impactante.

Com a medição dos sinais de deslocamentos de pontos quaisquer de uma chapa plana, são obtidos os coeficientes da série matemática que descreve o espaço amostral. A série de Fourier foi convenientemente escolhida, pois gera uma gama muito grande de funções e seus coeficientes podem ser considerados como uma distribuição, podendo descrever funções descontínuas no tempo e no espaço.

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O modelo simulado neste estudo é basicamente composto por uma placa plana simplesmente apoiada excitada por diferentes objetos impactantes.

No MAM, assume-se o sistema vibra de forma a valorizar determinados modos de vibração e freqüências que são característicos da forma geométrica do objeto impactante. O contato entre corpos é analisado através de uma descrição de ondas (pulsos) geradas pelas tensões e deformações superficiais e é considerado como uma soma das funções pares da série de Fourier devido à simetria do sistema e modos.

Os modelos de referência simulados com o código ANSYS-LS DYNA e adotados para validar os resultados obtidos pelo MAM foram desenvolvidos utilizando procedimentos numéricos e uma série de autofunções características do sistema.

Em síntese, os dois métodos analisam os deslocamentos obtidos em uma placa plana sujeita ao esforço harmônico, que excita diversos modos de vibração nas freqüências de interesse. O espectro de freqüências obtido através da aplicação da série de Fourier no sinal sugere que um forte correlacionamento nas freqüências de ressonância.

Assim, são efetuados diversos estudos utilizando o código ANSYS para verificar a possibilidade de considerar os resultados válidos para comporem um conjunto de referência. O código levou aproximadamente cinco horas para simular cada experimento e foram medidos os deslocamentos de três pontos de aquisição dispostos sobre a placa.

Cada sistema modelado é caracterizado pelas freqüências de ressonância da placa, pois amplitudes máximas ocorrem em freqüências específicas havendo uma grande similaridade do sinal em diferentes intervalos de tempo. Com distanciamento das freqüências, os sinais ficam menos correlacionados, o que pode ser observado pelo aumento das discrepâncias das curvas.

A influência do refinamento da malha na resposta do sistema foi verificada com a nodalização de duas malhas retangulares formadas pelo elemento SHELL 163, com (60x90) e (120x180) elementos respectivamente. De acordo com a Figura 6.19, os resultados obtidos pelo código se aproximam dos calculados pela teoria conforme aumenta o refinamento da malha.

No caso do MAM, o refinamento da malha não interfere na resposta do sistema, pois o método é estruturado pelos modos de vibrar. A nodalização está vinculada às

características da fonte de excitação O desenvolvimento da equação característica da placa resulta em uma malha determinada pela equação matricial [V]_(m,n)ω ⊗ [X]_(m,n),(i,j).

Os ensaios efetuados com o código para verificar se a forma e as dimensões do objeto têm influência na resposta do sistema, foram denominados ANSYS_OQ1/2/3, ANSYS_OC2/3 e ANSYS_OE3. Não são observadas alterações nas freqüências de ressonância dos ensaios, independentemente da forma ou do tamanho dos objetos. Porém, a dispersão do sinal resultante do impacto pode ser causada pela mudança de forma do objeto; o ensaio ANSYS_OE2 excitou menos freqüências de ressonância que os outros experimentos.

O procedimento padrão para o estudo do impacto não leva em consideração as características geométricas do objeto impactante, mas a quantidade de movimento e as condições da placa. Para uma análise do objeto, seria necessário utilizar sensores altamente precisos, avaliar o espectro de freqüências em uma faixa muito extensa e controlar o ensaio como um todo.

Pode-se concluir que os resultados obtidos nos ensaios com o código ANSYS, apresentados no tópico 6.2, são inadequados para a análise proposta. É possível caracterizar as vibrações naturais da placa quando as amplitudes dos sinais tendem ao infinito e os sistemas simulados não atingiram as condições de regime permanente. A precisão dos resultados obtidos depende, então, da faixa de freqüência analisada e o sinal perde a precisão para altas freqüências, necessitando de um refinamento melhor da malha e, portanto, em um custo computacional maior.

O desenvolvimento do MAM contornou os principais problemas encontrados no procedimento padrão de análise do impacto, pois decompõe o sinal de saída em função de cada ponto e freqüências da malha da placa, determinando a distribuição de deslocamento em função da freqüência, utilizando para isso, excitações harmônicas distribuídas para excitar os 49 primeiros modos de vibração não nulos.

O reconhecimento das características geométricas dos objetos é efetuado aplicando o método proposto nas regiões de menor amplitude do autoespectro e investigando os pontos de mínimo dos sinais resultantes do impacto, que são facilmente identificados nas curvas apresentadas. Pode-se concluir que as variações observadas nos valores das freqüências destes pontos dependem de fatores externos, pois não são verificadas interferências das vibrações da placa.

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Os esforços aplicados sobre a placa são distribuídos de modo a simular as formas e dimensões dos objetos utilizados nos ensaios ANSYS_O, prisma e cilindro, e distribuições pontual e aleatória.

A análise é efetuada considerando condições iniciais adotadas após o impacto para não descaracterização da forma do objeto. A determinação da forma e do tamanho do objeto impactante é feita através da soma dos modos de vibração.

A validade do método é garantida através da comparação dos ensaios com distribuições de esforços pré-estabelecidas sobre a placa, simulados com o código ANSYS e com o MAM. A análise harmônica, já implementada no código ANSYS, permite uma análise do espectro em qualquer banda de freqüência. Neste caso, as condições iniciais são nulas e as oscilações da placa estão em regime permanente, que é uma condição imposta na análise.

Para os dois métodos é observado que os sistemas apresentam resultados similares nas faixas de freqüências analisadas e, segundo a teoria das equações diferenciais, são similares em qualquer faixa de freqüência e para qualquer entrada considerada.

De modo geral, o ANSYS realiza uma análise computacional do sistema como um todo e o MAM pode selecionar e analisar uma ou mais áreas de interesse, independente da simetria. Outra vantagem do método proposto é que o tempo gasto em cada análise é aproximadamente, 50 vezes menor que o gasto pelo ANSYS.

Os ensaios realizados com o MAM, denominados MAM_DQ1/2/3, MAM_DC2, MAM_DP e MAM_DA, são apresentados no tópico 6.4.1. De acordo com os gráficos da representação em 3D e da vista de planta dos deslocamentos do ponto de aquisição para cada ensaio, a caracterização do tamanho e da forma do objeto impactante é evidente, independentemente da freqüência do espectro analisada, excetuando as freqüências de ressonância. Quanto maior a dimensão da superfície do objeto impactante, maior o número de nós excitados.

A forma da curva obtida independe da intensidade da força aplicada e, pela linearidade assumida, pode-se aplicar a sobreposição de efeito, conforme a Figura 6.21.

A distribuição pontual da força F=1N no ponto p1, decomposto em função dos nós e das freqüências da placa, Figura 6.36 do ensaio MAM_DP, simula uma função

delta aplicada no centro da malha. Logo, além dos esforços harmônicos, o método pode ser utilizado para a análise de outros tipos de forças externas.

A distribuição aleatória, Figura 6.39 do ensaio MAM_DA, mostra que o sistema pode ser determinado mesmo se submetido a forças de excitação variáveis ou a impactos disformes e descontínuos. Portanto, qualquer forma de objeto impactante pode ser caracterizada, independente da excitação.

Com a decomposição nos modos de vibrar dos deslocamentos nodais que dão origem ao sinal, são determinados os coeficientes da série que formam estes deslocamentos e, a contribuição de cada modo, em cada freqüência do espectro pode ser avaliada. Segundo este ensaio, a partir de um ponto excitado na placa é possível determinar a força externa efetiva que originou o sinal através da decomposição modal, conforme é observado na Figura 6.44.

Em resumo, pode-se concluir que, nos ensaios efetuados com o MAM, os objetivos propostos foram plenamente atingidos, pois foram determinadas as características geométricas de cada objeto impactante simulado. O sinal do deslocamento independe da faixa de freqüência analisada e da intensidade da força aplicada.

Os pontos de mínimos presentes em cada no sinal evidenciam as diferenças entre os resultados de cada simulação. As freqüências de ressonância, sendo uma característica do sistema, não permitem a identificação de qualquer fator externo.

De acordo com os resultados obtidos pela distribuição aleatória e considerando as descontinuidades deste tipo de distribuição, é possível presumir que o fenômeno do impacto, por ser aleatório, pode ser representado através da aplicação do MAM.

Nenhuma restrição de caráter físico foi efetuada, procurando-se manter os procedimentos dentro de um enfoque matemático. Aplicação desta metodologia proposta não se restringe a interação entre corpos.

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