Decomposi¸c˜oes aditivas
Um tensor T pode ser convenientemente decomposto em partes aditivas, cada qual com um significado distinto e diferentes aplica¸c˜oes. Uma opera¸c˜ao comum ´e decompor um tensor em uma parte sim´etrica e outra antissim´etrica.
Defini¸c˜ao Um tensor S ´e sim´etrico se ST = S, em nota¸c˜ao indicial, Sij = Sji.
Defini¸c˜ao Um tensor W ´e antissim´etrico se WT = −W, em nota¸c˜ao indicial, Wij = −Wji.
uma componente antissim´etrica, skwT. Assim, T = symT + skwT, (A.37) symT = 1 2(T + T T) e (A.38) skwT = 1 2(T − T T). (A.39)
Corol´ario 1 Se S ´e sim´etrico e W ´e antissim´etrico, ent˜ao S : W = 0. De fato, como S = ST e W = −WT, ent˜ao
S : W = tr(STW) = −tr(SWT) = −S : W e
S : W = 0.
Outra decomposi¸c˜ao aditiva poss´ıvel ´e a decomposi¸c˜ao de um tensor T em uma parcela esf´erica e noutra desviante.
Defini¸c˜ao Um tensor S ´e desviante se possui tra¸co nulo, isto ´e, se trS = 0.
Dado um tensor qualquer T, definimos sua parte desviante T0 = devT ≡ T − 1
3(trT)1. O termo 1
3(trT)1 ´e a parte esf´erica de T. Assim, sendo t = 1
3(trT), esta
decomposi¸c˜ao ´e dada por
T = T0+ t1, (A.40)
Corol´ario Se S ´e desviante, ent˜ao para todo tensor T,vale
S : T = S : T0. (A.41)
De fato, como T = t1 + T0, ent˜ao,
S : T = tr(STT),
tr(ST(t1 + T0)) = ttr(S) + tr(STT0) e
S : T = S : T0.
Decomposi¸c˜ao polar (multiplicativa)
Um tensor tamb´em pode ser decomposto em parcelas multiplicativas atrav´es do teorema da decomposi¸c˜ao polar. Este teorema diz que um tensor F qualquer pode ser escrito como a composi¸c˜ao de um tensor de rota¸c˜ao R com um tensor sim´etrico positivo- definido, podendo R estar `a direita ou `a esquerda na composi¸c˜ao, embora esta composi¸c˜ao
n˜ao seja em geral, comutativa. Assim, duas decomposi¸c˜oes polares s˜ao poss´ıveis para um tensor F,
F = RU (A.42)
F = VR. (A.43)
Em outras palavras, sendo F um tensor, este tensor pode ser ser representado pela aplica¸c˜ao subsequente de um tensor positivo-definido U e um tensor rota¸c˜ao R, ou ent˜ao, a aplica¸c˜ao de um tensor rota¸c˜ao R seguido de um tensor positivo-definido V, onde U 6= V.
Apˆendice
Elementos de C´alculo Tensorial
Os conceitos do C´alculo Diferencial e Integral podem ser expandidos para abarcar fun¸c˜oes vetoriais e tensoriais, definindo assim o C´alculo Vetorial e o C´alculo Tensorial. Nesta se¸c˜ao, revisaremos alguns dos principais conceitos necess´arios de C´alculo Vetorial e Tensorial utilizados no presente texto.
1
Derivadas de fun¸c˜oes reais
´
E sabido do C´alculo que a derivada de uma fun¸c˜ao f (t) : R → R, se f for cont´ınua no ponto t ´e dada por
df (t)
dt ≡ ˙f (t) = limh→0
f (t + h) − f (t)
h , (B.1)
se o limite existir. Analogamente, para uma fun¸c˜ao vetorial cont´ınua v(t) : R → V, a derivada no ponto t ´e dada por
dv(t)
dt ≡ ˙v(t) = limh→0
v(t + h) − v(t)
h , (B.2)
se o limite existir.
De forma geral, a derivada de uma fun¸c˜ao vetorial ou tensorial de uma ´unica vari´avel ´e definida pelo vetor ou tensor cujas componentes s˜ao derivadas das componentes do vetor ou tensor original. Assim, dada uma base {ei} fixa, para uma fun¸c˜ao vetorial
v(t) e uma fun¸c˜ao tensorial T(t) temos
˙v(t) = ˙vi(t)ei e (B.3)
˙
T(t) = ˙Tij(t)ei⊗ ej. (B.4)
As conhecidas propriedades de derivadas, como a regra do produto, por exemplo, s˜ao tomadas a partir das componentes. Como definimos o produto escalar u · v = uivi, a
derivada do produto escalar ´eu · v = ˙u˙ ivi+ ui˙vi = ˙u · v + u · ˙v. Assim se segue para as
demais opera¸c˜oes envolvendo derivadas de vetores e tensores.
1.1
Derivadas de fun¸c˜oes de campos vetoriais
Considere agora uma fun¸c˜ao escalar ϕ : V → R e uma fun¸c˜ao vetorial v : V → V que associam, respectivamente, a cada vetor-posi¸c˜ao x do espa¸co tridimensional um escalar ϕ(x) ou um vetor v(x). Dizemos que ϕ e v s˜ao diferenci´aveis se existe um vetor g e um tensor G, tal que
ϕ(x + h) − ϕ(x) = g · h + o(|h|) quando |h| → 0 e (B.5)
v(x + h) − v(x) = Gh + o(|h|) quando |h| → 0, (B.6)
onde as quantidades g · h e Gh s˜ao aproxima¸c˜oes das diferen¸cas ϕ(x + h) − ϕ(x) e v(x + h) − v(x), respectivamente. ´E importante ressaltar que o erro o(|h|), obtido nesta aproxima¸c˜ao tende a 0 mais rapidamente do que |h| quando |h| tende a 0, isto ´e,
lim
|h|→0
o(|h|) |h| = 0.
O vetor g e o tensor G s˜ao denominados gradientes da fun¸c˜ao escalar ϕ e da fun¸c˜ao veto- rial v, respectivamente. Denotaremos o gradiente de maneira gen´erica pelo operador ∇. Quando ∇ for aplicado a um campo escalar, fornecer´a um campo vetorial. Quando apli- cado a um campo vetorial, fornecer´a um tensor. Em nota¸c˜ao de componentes, podemos escrever [∇ϕ]i = ∂ϕ ∂xi e (B.7) [∇v]ij = ∂vi ∂xj . (B.8)
2
Divergente e Rotacional
O divergente, div ≡ ∇· e o rotacional, rot ≡ ∇×, s˜ao definidos pelas igualdades em nota¸c˜ao indicial divv = ∂vi ∂xi , (B.9) (rotv)i = ijk ∂vk ∂xj , (B.10) (divT)i = ∂Tij ∂xj e (B.11) (rotT)ij = ipq ∂Tjq ∂xp . (B.12)
Uma identidade ´util para nosso estudo ´e que, como o divergente de um vetor v nada mais ´e que a soma dos termos da diagonal principal do tensor ∇v, ent˜ao podemos escrever
tr(∇v) = divv. (B.13)
3
Teorema da divergˆencia
O teorema de Gauss ou teorema da divergˆencia pode ser generalizado para abran- ger campos escalares, vetoriais ou tensoriais. A demonstra¸c˜ao completa de cada caso pode ser encontrada em [2] (Cap. 4, Se¸c˜ao 4.1.). Seja uma regi˜ao espacial tridimensional R fechada por uma fronteira ∂R. Ent˜ao, o teorema da divergˆencia para os campos escalar ϕ, vetorial v e tensorial T ´e, respectivamente
I ∂R ϕndS = Z R ∇ϕdV, (B.14) I ∂R v · ndS = Z R divvdV e (B.15) I ∂R TndS = Z R divTdV. (B.16)
onde n ´e um vetor de m´odulo unit´ario, perpendicular `a superf´ıcie em cada um dos seus pontos e dirigido para fora da regi˜ao R.
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Flanders, Harley. Calculus. W. H. Freeman & Co, 1984
[2] Gurtin, M. E., et al. The Mechanics and Thermodynamics of Continua. Cambridge University Press, 2010.
[3] Itskov, Mikhail. Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers With Applications to Continuum Mechanics. Springer, 2007.
[4] Liu, I-Shih. Continuum Mechanics. Springer, 2011.
[5] Pradas, M. M. Analysis of a trivial example and critical considerations following from it regarding the historiography of energy conservation. Thermodynamics: History And Philosophy-Facts, Trends, Debates, p.81, 1991.
[6] ˘Silhav´y, M. The Mechanics and Thermodynamics of Continouos Media. Springer, 1996.
[7] Spivak, Michael. Calculus. 4th ed., Publish or Perish, 2008.
[8] Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 4th ed., Cengage Learning, 2006.
[9] Wilmanski, K. Continuum Thermodynamics. Part I: Foundations. World Scientific, 2008.