Revisitando a primeira lei da termodinâmica

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Instituto de Qu´ımica

Matheus Cordioli Agostin

Revisitando a Primeira Lei da Termodinˆ

amica

Campinas

2020

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Revisitando a Primeira Lei da Termodinˆ

amica

Disserta¸cão de mestrado apresentada ao Instituto de Qu´ımica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requi-sitos exigidos para a obten¸cão do titulo de Mestre em Qu´ımica na área de F´ısico-Qu´ımica.

Orientador: Prof. Dr. Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bassi

O arquivo digital corresponde à versão final da Disserta¸cão defendida pelo aluno Matheus Cordioli Agostin e orientada pelo Prof. Dr. Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bassi.

Campinas

2020

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Biblioteca do Instituto de Química Simone Luiz Alves - CRB 8/9094

Agostin, Matheus Cordioli,

1992-Ag75r AgoRevisitando a primeira lei da termodinâmica / Matheus Cordioli Agostin. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.

AgoOrientador: Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bassi.

AgoDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Química.

Ago1. Termodinâmica. 2. Mecânica dos meios contínuos. 3. Primeira lei da termodinâmica. I. Bassi, Adalberto Bono Maurizio Sacchi, 1945-. II.

Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Química. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Revisiting the first law of thermodynamics Palavras-chave em inglês:

Thermodynamics Continuum mechanics First law of thermodynamics

Área de concentração: Físico-Química

Titulação: Mestre em Química na área de Físico-Química Banca examinadora:

Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bassi [Orientador] Leandro Martínez

Marco Lúcio Bittencourt

Data de defesa: 06-05-2020

Programa de Pós-Graduação: Química

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-5606-8157 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/0462367289672387

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Prof. Dr. Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bassi (Orientador)

Prof. Dr. Leandro Mart´ınez (IQ-UNICAMP)

Prof. Marco L´ucio Bittencourt (FEM-UNICAMP)

A Ata da defesa assinada pelos membros da Comiss˜ao Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Disserta¸c˜ao/Tese e na Secretaria do Programa da Unidade.

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da Disserta¸cão de Mestrado defendida pelo aluno MATHEUS CORDIOLI AGOSTIN, aprovada pela Comissão Julgadora em 06 de maio de 2020.

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inofensivo, passa pelas avenidas da Ciˆencia e do Saber; e quem quer que possa remover quaisquer obst´aculos desta via ou abrir uma nova perspectiva, deve ser considerado um benfeitor da humanidade.

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Agrade¸co a meu orientador, Prof. Dr. Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bassi, por introduzir-me à área da Mecânica e Termodinâmica dos Meios Cont´ınuos, pelas reuniões semanais, especialmente no come¸co do projeto e pela paciência e persistência durante o desenvolvimento e corre¸cão do presente texto.

Agrade¸co a todos os meus professores, desde o colégio até à pós-gradua¸cão, que me inspiraram a trilhar o caminho que me trouxe até aqui.

Agrade¸co à minha fam´ılia, meus pais José Carlos, Claudia e minha irmã Isis, bem como a tantos outros familiares pelo apoio, suporte e motiva¸cão, cruciais em todo o processo de pós-gradua¸cão, desde o ingresso até sua conclusão.

Agrade¸co a todos os amigos que me deram tanto suporte durante todo o per´ıodo deste mestrado e a tantos outros projetos. Agrade¸co, especialmente, ao Felipe, à Flávia e Aline - amigos de Campinas; ao João, Gustavo, Iago e Cristiano - amigos de Lorena; Ao Carlos Eduardo (in memoriam), amigo de USP e da vida, que, lamentavelmente, não pôde assistir à conclusão dessa fase.

Agrade¸co à CAPES pelo apoio ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Qu´ımica do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP. O presente trabalho foi realizado com aux´ılio de bolsa de estudos concedida pela Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001 - Processo PROEX/0076040.

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No presente texto, abordamos a Primeira Lei da Termodinâmica dentro do con-texto da Mecânica dos Meios Cont´ınuos (MMC). Especialmente, buscamos fazer uma diferencia¸cão teórica entre a Primeira Lei e a Lei da Conserva¸cão da Energia, uma vez que, muitas vezes, os dois princ´ıpios são tratados como equivalentes.

Os Apêndices A e B trazem no¸cões de Álgebra e Cálculo Vetorial e Tensorial, isto é, o suporte matemático necessário para a Mecânica dos Meios Cont´ınuos.

No segundo cap´ıtulo, apresentamos conceitos de Geometria e Cinem´atica na MMC, tais como o gradiente de deforma¸c˜ao, derivadas materiais e espaciais, campos de velocidade e o gradiente de velocidade. Mostramos que um campo de velocidades qualquer pode ser decomposto em uma parcela r´ıgida e outra deformativa.

No terceiro cap´ıtulo, apresentamos o teorema de Cauchy, que resulta no tensor de tens˜oes de Cauchy. Neste mesmo cap´ıtulo, s˜ao apresentados os conceitos f´ısicos de massa, momento linear, momento angular, for¸ca e torque dentro do contexto da MMC.

No quarto cap´ıtulo, desenvolvemos o teorema do transporte de Reynolds, utili-zado para transformar equa¸cões globais em equa¸cões locais no cap´ıtulo seguinte, que trata das equa¸cões de balan¸co.

No quinto cap´ıtulo, conforme mencionado, é desenvolvida uma teoria geral para equa¸cões de balan¸co e, em seguida, equa¸cões de balan¸co geral e local são definidas para massa, momento linear e momento angular. Também neste cap´ıtulo são introduzidos os conceitos de energia cinética e não-cinética, sendo essas duas complementares na defini¸cão da energia total. São dados os conceitos de calor e trabalho, bem como suas respectivas

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equa¸cões de balan¸co para energia total, bem como para energia cinética e energia-não cinética. Os balan¸cos de energia cinética e não-cinética introduzem um termo matemático que os conecta, a potência de interconversão. Mostramos que a potência de interconversão é a única forma de um corpo em isolamento converter potência cinética em não-cinética e vice-versa.

Por fim, mostramos que a conversão de potência cinética em não-cinética no isolamento só é poss´ıvel para campos de velocidade deformativos, sendo tal conversão imposs´ıvel em campos de velocidade r´ıgidos.

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In this present work, we approach the First Law of Thermodynamics within the Continuum Mechanics point of view. Specifically, we aim to distinguish the First Law of Thermodynamics and the Law of Conservation of Energy theoretically since both laws are commonly treated as equivalent.

Both appendices A and B cover the foundations of Linear and Tensorial Algebra and Calculus, that is, the mathematical tools required for Continuum Mechanics.

In the second chapter, we introduce Geometry and Kinematics concepts from Continuum Mechanics, such as the deformation gradient, material and spatial deriva-tives, velocity fields and the velocity gradient. We show that any velocity field can be decomposed in two parts, one related to rigid motions and the other related to deformative motions.

In the third chapter, we introduce the Cauchy theorem, from which the Cauchy stress tensor comes up. In this same chapter, the physical concepts of mass, linear momen-tum, angular momenmomen-tum, force and torque are introduced within the scope of Continuum Mechanics.

In the fourth chapter, we develop the Reynolds transport theorem, which is used upon converting global equations into local equations in the next chapter, which deals with balance equations.

In the fifth chapter, as already mentioned, we develop a general theory for ba-lance equations and, after that, baba-lance equations are derived for mass, linear momentum and angular momentum. Also in this chapter, the concepts of kinetic energy and

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non-Both heat and work are defined, as well as their time derivatives, respectively, thermal power and non-thermal power. Next, we obtain balance equations for total energy, just as for kinetic energy and non-kinetic energy. From these two last balance equations the inter-conversion power arises, connecting both. We show that the interinter-conversion power is the only possible way so that a body in isolation can convert kinetic energy into non-kinetic energy and vice-versa.

At last, we show that the conversion of kinetic power into non-kinetic power when the body is under isolation is only possible for deformative motions and impossible for rigid motions.

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B Corpo B

B Corpo B na configura¸cão de referência Bt Corpo B na configura¸cão espacial

P Parte de B Pt Parte de Bt X1, X2, X3... Pontos de B. X1, X2, X3... Pontos materiais em B x1, x2, x3... Pontos espaciais em Bt t Tempo χ Fun¸c˜ao deforma¸c˜ao

χ−1 Fun¸cão deforma¸cão inversa F Gradiente de deforma¸cão L Gradiente de velocidade

J Determinante do gradiente de deforma¸cão (·)R Grandeza na configura¸cão de referência

ϕ Grandeza escalar, vetorial ou tensorial integr´avel ˙ ϕ Derivada material de ϕ ϕ0 Derivada espacial de ϕ M Massa ρ Densidade p Momento linear

hxo Momento angular em rela¸c˜ao ao ponto xo

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b For¸ca de corpo

T Tensor de tens˜oes de Cauchy Φ Integral da grandeza ϕ ψ_ϕ Fluxo da grandeza ϕ

σϕ Produ¸c˜ao ou consumo da grandeza ϕ

K Energia cinética v Velocidade (=√˙x · ˙x) Γ Energia não-cinética

γ Energia n˜ao-cin´etica espec´ıfica E Energia total

Q Potência térmica q Fluxo térmico vetorial

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1 Introdu¸c˜ao 16

2 Geometria e Cinem´atica 19

2.1 Configura¸c˜oes de um corpo . . . 19

2.2 Deforma¸c˜oes de infinit´esimos . . . 21

2.2.1 Deforma¸c˜ao de segmento infinitesimal de curva . . . 21

2.2.2 Deforma¸c˜ao de ´area infinitesimal . . . 22

2.2.3 Deforma¸c˜ao de um volume infinitesimal . . . 23

2.3 Derivadas temporais nas configura¸c˜oes material e espacial . . . 24

2.4 Gradiente de velocidade . . . 25

2.5 Movimento R´ıgido e Deforma¸c˜ao Pura . . . 26

3 Tensor de tens˜oes de Cauchy 29 3.1 Massa . . . 30

3.2 Dinˆamica . . . 31

3.2.1 Defini¸c˜oes . . . 31

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3.4 Equa¸c˜ao do Movimento de Cauchy . . . 35

3.5 Simetria do tensor de Cauchy . . . 36

4 Teorema do transporte 40 4.1 Teorema do transporte de Reynolds . . . 40

5 Equa¸c˜oes de Balan¸co 44 5.1 Teoria geral das equa¸c˜oes de balan¸co . . . 44

5.2 Balan¸co de massa . . . 45

5.3 Balan¸cos de momentos linear e angular . . . 47

5.4 Balan¸co de Energia . . . 48

6 Discuss˜ao 54 ´ Algebra Vetorial e Tensorial 57 Lista de S´ımbolos Matem´aticos 58 1 Vetores e Espa¸cos Vetoriais . . . 60

2 Transforma¸c˜oes lineares e Tensores . . . 66

3 Opera¸cões com tensores e defini¸cões úteis . . . 69

3.1 Decomposi¸c˜oes aditivas e multiplicativas . . . 72

Elementos de C´alculo Tensorial 75 1 Derivadas de fun¸c˜oes reais . . . 75

(15)

2 Divergente e Rotacional . . . 77

(16)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Embora existam trabalhos anteriores, que possam ser considerados relativos à termodinâmica, costuma-se considerar que esta disciplina inicia-se em 1824, com a pu-blica¸cão do trabalho experimental de Nicolas Léonard Sadi Carnot sobre o seu famoso ciclo. Contribui¸cão significativa foi dada em 1845 por James Prescott Joule, que estudou a expansão de gases e, em 1850, Rudolf Clausius introduziu o conceito de energia interna. Por isto podemos, de alguma forma, considerar que a primeira lei da termodinâmica apa-receu em 1850. Mas, para discutir conceitos referentes à primeira lei, preferimos utilizar enfoque bem diferente dos usuais, apoiado na moderna mecânica dos meios cont´ınuos.

A termodinâmica dos meios cont´ınuos, ciência relativamente moderna, formali-zada ao longo do século XX, que provém da mecânica dos meios cont´ınuos e incorpora as leis da termodinâmica, também apresenta o seu entendimento da primeira lei. Entre-tanto, há uma sens´ıvel diferen¸ca entre o tratamento conceitual dado por esta disciplina à primeira lei, quando comparado à termodinâmica tradicional. Estamos nos referindo não ao tratamento matemático, necessariamente diferente, mas sim às ideias subjacentes que justificam as correspondentes equa¸cões. No que se refere à primeira lei, os conceitos são, inclusive, contraditórios.

De fato, a mecânica dos meios cont´ınuos costuma separar a energia total do corpo em duas parcelas aditivas, a saber, energia cinética e interna. Neste trabalho, esta segunda parcela é chamada energia não-cinética, porque ela difere da interna mencionada

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pela termodinâmica tradicional. Uma sens´ıvel diferen¸ca entre as duas energias internas é que, conforme bem sabido, a da termodinâmica se conserva em corpo isolado, o qual por defini¸cão está impedido de trocar qualquer energia com seu exterior (e também massa), enquanto que a energia interna definida pela mecânica dos meios cont´ınuos, tal como informam todos os textos sobre esta disciplina, não se conserva nas mesmas condi¸cões. Outra diferen¸ca é que a energia interna da mecânica dos meios cont´ınuos apenas pode absorver ou emitir calor para o exterior, enquanto que a energia interna da termodinâmica tradicional pode alterar-se seja por troca de calor, como de trabalho.

Assim, o objetivo do trabalho é, precisamente, esclarecer esta diferen¸ca con-ceitual. Para atingir o objetivo proposto, convém inicialmente apresentar os conceitos básicos de álgebra e cálculo tensorial, porque estes não são amplamente conhecidos entre os estudiosos da ciência qu´ımica, aos quais este texto é dirigido, mas constituem a ferra-menta matemática da mecânica dos meios cont´ınuos. Ao longo do trabalho procurou-se exatidão matemática mas, simultaneamente, clareza e interpreta¸cão f´ısica das expressões apresentadas. Chegaremos à conclusão de que, na verdade, trata-se de dois modos di-ferentes de separar a mesma energia total em duas parcelas aditivas, ambos os modos matemática e fisicamente corretos.

Para o leitor leigo em álgebra e cálculo tensorial, sugere-se iniciar a leitura pelo apêndice, onde encontram-se estas ferramentas matemáticas essenciais e básicas. Como leitura subsequente, estão os conceitos fundamentais de geometria e cinemática, nos quais se enra´ıza a mecânica dos meios cont´ınuos. Aparece depois o tensor de tensões de Cau-chy, elemento central da mencionada disciplina e, em seguida, o teorema do transporte, também um elemento central. O cap´ıtulo sobre equa¸cões de balan¸co encerra o nosso resumo introdutório à mecânica dos meios cont´ınuos.

Portanto, o trabalho inteiro é dedicado à apresenta¸cão de uma resumida in-trodu¸cão à mecânica dos meios cont´ınuos. A termodinâmica somente é citada na discussão final, onde comparamos as diferentes formas de divisão da energia total do corpo em duas parcelas somativas, de acordo com qual das duas disciplinas está sob considera¸cão. A conclusão que obtivemos parece-nos esclarecedora, conceitualmente muito significativa e matematicamente exata, portanto uma real contribui¸cão ao conceito de energia interna.

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Cabe, porém, alertar o leitor para a realidade de que é direcionada a resumida introdu¸cão à mecânica dos meios cont´ınuos apresentada, ou seja, ela ressalta o que é importante para a discussão final. Em vista disto, o leitor interessado numa visão mais global desta interessante disciplina pode procurar a pequena e selecionada bibliografia. O que será apresentado na mencionada introdu¸cão resumida pin¸ca diversos pontos dos diferentes textos presentes na bibliografia e interliga-os de modo coerente, visando um objetivo pré-estabelecido.

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Cap´ıtulo 2

Geometria e Cinem´

atica

2.1 Configura¸

c˜

oes de um corpo

Um corpo B pode ser entendido como um conjunto de pontos cont´ınuo do espa¸co tridimensional, confinado em um lugar geométrico por uma fronteira bem definida e per-tencente ao corpo. Trataremos especificamente de conjuntos de volume finito (não nulo, nem infinito). B pode assumir diversas configura¸cões, isto é, disposi¸cões espaciais dos pontos que o constituem, durante movimentos, inclusive deforma¸cões. Podemos esco-lher uma configura¸cão arbitrária dentre todas as poss´ıveis como configura¸cão referencial (ou material). É em rela¸cão à configura¸cão referencial que analisamos qualquer outra configura¸cão, que chamaremos de configura¸cão corrente (ou espacial).

Sejam X1, X2, X3... pontos do corpo B individualizados por alguma

especifici-dade, mas cujas respectivas posi¸cões dependem da configura¸cão. Tais posi¸cões são iden-tificadas pelos vetores-posi¸cão X1, X2, X3... na configura¸cão referencial, para a qual

uti-lizaremos o s´ımbolo B. Convém atribuir à configura¸cão de referência do corpo o instante de tempo t0 = 0 e um instante t > 0 para uma configura¸cão corrente após um intervalo

de tempo ∆t = t. Na configura¸c˜ao corrente, os mesmos pontos do corpo, X1, X2, X3...,

ocupam posi¸cões dadas pelos vetores-posi¸cão x1, x2, x3..., os quais, por imposi¸cão, são

imagens de fun¸cão dos respectivos vetores-posi¸cão na configura¸cão de referência e do ins-tante t correspondente à configura¸cão corrente considerada. Nesta, denotamos o corpo

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por Bt.

A mencionada fun¸cão imposta, que tem como imagens os pontos espaciais (re-ferentes à configura¸cão espacial) xi e como argumentos os respectivos pontos materiais

(referentes à configura¸cão material) Xi, além do instante t correspondente à configura¸cão

espacial considerada, é chamada fun¸cão deforma¸cão, χ, tal que xi = χ(Xi, t). Note que

a imposi¸cão desta fun¸cão exclui de nossa análise processos como a ruptura de um corpo em partes, uma vez que toda ruptura implicaria em ponto material correspondendo a dois pontos espaciais. De acordo com a defini¸cão matemática de fun¸cão, isto impediria a existência da fun¸cão χ.

Sendo exclu´ıdos fenômenos como a ruptura de um corpo em partes, é esperada a exclusão, também, de fenômenos opostos, como a união de partes de um corpo, o que implicaria em dois pontos materiais correspondendo a um ponto espacial. Embora tal união permita a defini¸cão da fun¸cão χ, ela impede a existência da fun¸cão inversa χ−1, tal que Xi = χ−1(xi, t). Portanto, a exclusão conjunta também de fenômenos opostos permite

a imposi¸cão de que, para cada t fixo, exista a fun¸cão invert´ıvel χ [9]. Uma representa¸cão do mapa χ(X, t) e do mapa inverso χ−1(X, t) é apresentada na figura 2.1.

O gradiente da fun¸cão deforma¸cão é denominado gradiente de deforma¸cão. Como a fun¸cão deforma¸cão é uma fun¸cão vetorial, seu gradiente é um tensor de segunda ordem, F. Assim, define-se

F(X, t) ≡ ∇χ(X, t) = ∇x(X, t), (2.1.1)

onde as derivadas parciais que o operador gradiente envolve são tomadas em rela¸cão a cada coordenada material, mantendo-se constantes as demais coordenadas materiais e o tempo. Em nota¸cão de componentes, aqui omitindo os argumentos (X, t) por simplici-dade, podemos escrever

Fij =

∂xi

∂Xj

. (2.1.2)

O determinante J do gradiente de deforma¸cão é sempre positivo, isto é, J ≡ detF > 0. J não pode ser nulo uma vez que a fun¸cão χ é invert´ıvel e portanto F é não-singular [8] e, como a varia¸cão de J com F é cont´ınua (determinante é uma fun¸cão cont´ınua), J possui sempre o mesmo sinal, para qualquer instante da deforma¸cão. Porém, J não pode ser negativo porque, para o caso trivial onde x = X, F = 1 e J = 1, o sinal

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de J ´e positivo por defini¸c˜ao. Sendo assim, J > 0 para todo F.

Em resumo, os mesmos pontos de um corpo encontram-se em diferentes posi¸cões, ao longo do tempo. Por isto, considera-se que no instante zero eles se encontrem numa configura¸cão referencial. Se determinados fenômenos, tais como rupturas ou uniões forem exclu´ıdos de nossa análise, existirá a fun¸cão vetorial invert´ıvel chamada deforma¸cão. Esta, fornecerá a posi¸cão de cada ponto no instante t se este for sabido e, além disto, também for conhecida a posi¸cão do mesmo ponto no instante zero. Existindo a fun¸cão vetorial invert´ıvel denominada deforma¸cão, o seu gradiente necessariamente será um tensor de segunda ordem cujo determinante será positivo.

Figura 2.1: Esquema geral de uma deforma¸cão. Um ponto material X na configura¸cão referencial B se associa a um correspondente ponto espacial x na configura¸cão espacial Bt

através da fun¸cão χ(X, t). Já a associa¸cão inversa de x a X é dada pela fun¸cão χ−1(X, t).

2.2 Deforma¸

c˜

oes de infinit´

esimos

2.2.1 Deforma¸

c˜

ao de segmento infinitesimal de curva

Dizemos que uma deforma¸cão é homogênea se a rela¸cão entre um vetor material Y − X e seu correspondente vetor espacial y − x for dada por

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para quaisquer Y e X ∈ B. Deforma¸cões homogêneas são uma classe bastante parti-cular de deforma¸cões, onde o gradiente de deforma¸cão não varia espacialmente, apenas temporalmente. Para deforma¸cões genéricas, vale a rela¸cão

(y − x) = F(X, t)(Y − X) + o(|Y − X|), (2.2.2)

onde a fun¸c˜ao erro o(|Y − X|) tende a 0 mais rapidamente que |Y − X| quando esta distˆancia tender a 0, de modo que exista o limite

lim

|Y−X|→0

o(|Y − X|)

|Y − X| = 0. (2.2.3)

Dividindo a equa¸cão 2.2.2 por |Y − X| e usando a equa¸cão 2.2.3 obtém-se

lim |Y−X|→0 y − x |Y − X| =|Y−X|→0lim F(Y − X) |Y − X| .

Logo, neste limite e somente nele, os numeradores das duas fra¸cões se igualam. Porém, a rela¸cão entre os vetores y − x e Y − X, neste limite e somente nele, é representada substituindo os mesmos respectivamente por dx e dX. Portanto,

dx = F(X, t)dX. (2.2.4)

A equa¸cão 2.2.4 indica que, no limite em que |Y−X| → 0 e somente nele, toda deforma¸cão de vetor material Y − X é homogênea ao redor do ponto X no instante t. Indica, também, como se deformou o vetor tangente a (ou um segmento infinitesimal de) qualquer curva da configura¸cão referencial, num ponto dado, após um tempo t.

2.2.2 Deforma¸

c˜

ao de ´

area infinitesimal

Seja um diferencial de ´area material daR, definido pelos diferenciais dX e dY

e considere também o correspondente diferencial de área espacial da, definido pelos dife-renciais dx e dy. Utilizando o gradiente de deforma¸cão, podemos encontrar uma rela¸cão entre da e daR. De fato, como a área de um paralelogramo definido por dois vetores é o

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unitário normal a esta área. Temos, então,

dan = dx × dy = FdX × FdY

= Fc(dX × dY)

= (detF)F−T(dX × dY)

= (detF)F−TdaRnR = dan.

Aqui, utilizamos a defini¸cão de cofator de um tensor F, representado por Fc= (detF)F−T. O cofator é um tensor que relaciona o produto vetorial de dois vetores u e v com o produto vetorial destes mesmos vetores quando transformados pelo tensor F, isto é, com o produto vetorial entre Fu e Fv. A defini¸cão de cofator pode ser encontrada em [2] (Cap. 2, se¸cão 2.11), podendo ser demonstrada algebricamente a partir da defini¸cão de determinante (Apêndice A, equa¸cão A.34).

Assim, a rela¸cão entre dois elementos de área e suas normais é dada por

(detF)F−TdaRnR= dan. (2.2.5)

2.2.3 Deforma¸

c˜

ao de um volume infinitesimal

O volume do paralelep´ıpedo definido por três vetores linearmente independentes u, v e w ∈ V é dado pelo produto misto entre estes vetores, isto é, vol = (u × v) · w. Se tomarmos uma base ortonormal {e1, e2, e3} na configura¸cão de referência, logo uma base

que define um cubo de lado unit´ario, temos (e1×e2)·e3 = 1. Considere um volume material

definido por um cubo de lado δ e volume ∆vR = δ3(e1× e2) · e3 = δ3. Tal volume, ap´os

uma deforma¸c˜ao dada pelo tensor F, passar´a a ser ∆v = δ3_(Fe

1× Fe2) · Fe3 + o(δ3) =

∆vR(Fe1 × Fe2) · Fe3 + o(δ3), utilizando os mesmos crit´erios dados na subse¸c˜ao 2.2.1.

Temos, ent˜ao,

lim δ→0 ∆v δ3 = lim_δ→0 ∆vR(Fe1× Fe2) · Fe3 δ3 , ou dv = dvR(Fe1× Fe2) · Fe3.

Por sua vez, como (e1 × e2) · e3 = 1, o produto (Fe1 × Fe2) · Fe3 nada mais ´e que o

(24)

Assim, a rela¸c˜ao entre um elemento de volume espacial e o correspondente elemento de volume material ´e dada por

dv = J dvR. (2.2.6)

2.3 Derivadas temporais nas configura¸

c˜

oes material

e espacial

Dado um campo escalar, vetorial ou tensorial ϕ qualquer, podemos escrevê-lo em fun¸cão de coordenadas materiais ou espaciais. Quando o escrevemos em termos de coordenadas materiais, temos ϕ(X, t). Quando o escrevemos em fun¸cão de coordenadas espaciais, temos ϕ(x, t). Costumeiramente, a representa¸cão de campos em coordena-das materiais é denominada representa¸cão lagrangiana, enquanto que a representa¸cão do campo em coordenadas espaciais é denominada representa¸cão euleriana. A representa¸cão mais conveniente dependerá do problema em questão.

Quando trabalhamos com uma representa¸cão lagrangiana, acompanhamos a va-ria¸cão do campo ϕ com o tempo, a partir de cada ponto material X no instante zero. Evidentemente, a medida que o tempo aumenta a partir de zero, a posi¸cão do ponto X do corpo, dada por X na configura¸cão referencial, passa a ser dada por x = χ(X, t). Por isto, na representa¸cão lagrangiana, acompanhamos o ponto X do corpo em sua trajetória ao longo do tempo e a consequente varia¸cão do campo ϕ em X durante o trajeto.

Já, na descri¸cão euleriana, acompanhamos a varia¸cão do campo ϕ com o tempo, para cada ponto espacial x que marca a posi¸cão do ponto X , pertencente ao corpo, em um determinado instante t > 0. Neste caso, mantendo a posi¸cão x, altera¸cões temporais necessariamente modificam o correspondente ponto X do corpo, logo, mudam o correspon-dente ponto material X = χ−1(x, t). Por isto, na representa¸cão euleriana acompanhamos a varia¸cão temporal do campo ϕ em cada ponto x, a qual ocorre junto com a altera¸cão temporal do ponto X do corpo que aparece na posi¸cão x. Devido à frequente percep¸cão do campo como algo aplicado a todos os pontos do espa¸co, convém ressaltar que o campo ϕ se restringe aos pontos do corpo, o qual, por defini¸cão, é delimitado e apresenta volume finito.

(25)

A derivada parcial temporal do campo ϕ receberá diferentes nomes a depender da representa¸cão escolhida. Quando tomamos a derivada na descri¸cão lagrangiana, ela é chamada derivada material ou substantiva. Quando a consideramos na descri¸cão euleri-ana, denominamos derivada espacial. A derivada material da grandeza ϕ é definida pela derivada parcial em rela¸cão ao tempo, mantendo as coordenadas materiais fixas,

∂ϕ(X, t)

∂t = ˙ϕ(X, t) = ˙ϕ(χ

−1

(x, t), t) = ˙ϕ(x, t). (2.3.1)

Já a derivada espacial é a derivada parcial em rela¸cão ao tempo, mantendo as coordenadas espaciais fixas,

∂ϕ(x, t)

∂t = ϕ

0

(x, t) = ϕ0(χ(X, t), t) = ϕ0(X, t), (2.3.2)

de modo que, pela regra da cadeia, obtemos

˙ ϕ(X, t) = ∂ϕ(x, t) ∂x1 ∂x1(X, t) ∂t + ∂ϕ(x, t) ∂x2 ∂x2(X, t) ∂t + ∂ϕ(x, t) ∂x3 ∂x3(X, t) ∂t + ∂ϕ(x, t) ∂t . Reescrevendo a equa¸c˜ao acima, para um ϕ escalar

˙

ϕ(X, t) = ϕ0(x, t) + v · ∇ϕ(x, t), (2.3.3)

onde v = ∂x(X,t)_∂t = ˙x(X, t) = ˙x(χ−1(x, t), t) = ˙x(x, t) é o vetor velocidade para o ponto X do corpo, correspondente a X, no instante t > 0 a que se refere a configura¸cão espacial onde X ocupa a posi¸cão x. A equa¸cão 2.3.3, portanto, indica que a velocidade de altera¸cão do campo ϕ no instante t, seguindo o movimento do ponto X do corpo, presente no ponto x neste momento, ˙ϕ(X, t), é a soma da velocidade de mudan¸ca de ϕ no ponto x naquele instante (mantendo fixo x), ϕ0(x, t), com a velocidade de modifica¸cão de ϕ na dire¸cão em que o ponto de corpo se movimenta, v ·∇ϕ(x, t). Esta conclusão matemática é fisicamente esperada.

2.4 Gradiente de velocidade

O gradiente de velocidade ´e o campo tensorial dado por

L(x, t) = ∇ ˙x(x, t). (2.4.1)

Derivando o tensor gradiente de deforma¸c˜ao em rela¸c˜ao ao tempo, obtemos

˙

F(X, t) = ∂

(26)

A rela¸cão entre o gradiente de um campo vetorial g em coordenadas materiais e seu gradiente em coordenadas espaciais pode ser obtida através da regra da cadeia. Assim, em nota¸cão indicial, temos

∂gi(X, t) ∂Xj = ∂gi(x, t) ∂xk ∂xk ∂Xj , ou ∇g(X, t) = (∇g(x, t))F(X, t). (2.4.3)

Então, de acordo com a equa¸cão 2.4.3, ∇ ˙x(X, t) = ∇ ˙x(x, t)F(X, t), que, substitu´ıdo na equa¸cão 2.4.2, produz

˙

F(X, t) = (∇ ˙x(x, t))F(X, t). (2.4.4)

Assim, dada a defini¸c˜ao do gradiente de velocidade 2.4.1, conclu´ımos que

˙

F(X, t) = L(x, t)F(X, t) e (2.4.5)

L(x, t) = ˙FF−1(X, t). (2.4.6)

Podemos decompor o gradiente de velocidade em uma parcela sim´etrica, D, e uma parcela antissim´etrica, W, de modo que

L = D + W. (2.4.7)

2.5 Movimento R´ıgido e Deforma¸

c˜

ao Pura

Um movimento é dito r´ıgido se a distância entre dois pontos quaisquer não se alterar em qualquer configura¸cão. Matematicamente, comparando a distância entre dois pontos espaciais y e x com aquela entre os correspondentes pontos materiais Y e X, temos que

(y − x)2 = (Y − X)2. (2.5.1)

Um movimento r´ıgido é um caso particular de uma deforma¸cão homogênea. Assim, uti-lizando a equa¸cão 2.2.1, podemos desenvolver a equa¸cão 2.5.1, de modo que

(y − x) · (y − x) = (Y − X) · (Y − X),

F(Y − X) · F(Y − X) = (Y − X) · (Y − X) e

(27)

A terceira equa¸cão acima é válida se, e somente se, para o movimento r´ıgido for válida a rela¸cão

FTF = 1, (2.5.2)

de modo que o gradiente de deforma¸c˜ao para tal tipo de movimento ´e, necessariamente, or-togonal, ou seja, FT _{= F}−1_{. Como a defini¸c˜}_{ao independe dos pontos escolhidos, podemos}

concluir que F, para este caso, independe do ponto em considera¸cão, sendo espacialmente constante, podendo variar apenas com o tempo. Vale notar que como detF > 0 e F é ortogonal, então detF = 1, tratando-se de uma rota¸cão.

Assim conclu´ımos que, para todo movimento r´ıgido, F = Q ∈ Orth+ e podemos relacionar um ponto espacial com seu correspondente ponto material pela equa¸c˜ao

x(X, t) = Q(t)X + c(t), (2.5.3)

onde c(t) corresponde a uma transla¸cão qualquer. Podemos derivar a equa¸cão 2.5.3 em rela¸cão ao tempo para obter uma equa¸cão para o campo de velocidades, obtendo

˙x(X, t) = ˙Q(t)X + ˙c(t). (2.5.4)

Escrevendo a equa¸c˜ao 2.5.3 na descri¸c˜ao euleriana, temos

X(x, t) = QT(t)(x − c(t)). (2.5.5)

Substituindo a 2.5.5 na 2.5.4, obtemos

˙x(x, t) = ˙Q(t)QT(t)(x − c(t)) + ˙c(t) e

˙x(x, t) = ˙Q(t)QT(t)x − ˙Q(t)QT(t)c(t) + ˙c(t),

onde o termo − ˙Q(t)QT_{(t)c(t)+ ˙c(t) pode ser substitu´ıdo por ˙x}

0(t), tamb´em espacialmente

constante.

Logo, o campo de velocidades pode ser escrito como

˙x(x, t) = ˙Q(t)QT(t)x(t) + ˙x0(t).

Finalmente, o tensor ˙QQT é antissimétrico, uma vez que derivando a equa¸cão QQT = 1 em rela¸cão ao tempo, temos ˙QQT _{+ Q ˙}_QT _{= 0 e, portanto, ( ˙}_QQT₎T _{= − ˙}_QQT_{. Fazendo}

W = ˙QQT, temos

(28)

Portanto, para um campo de velocidades r´ıgido, o gradiente de velocidade (veja a defini¸cão de gradiente de campo vetorial no Apêndice e a equa¸cão 2.4.6) é um tensor antissimétrico que depende exclusivamente do tempo,

L(t) = W(t). (2.5.7)

Comparando a equa¸cão 2.5.7 com a 2.4.7, conclu´ımos que a parcela antissimétrica do gradiente de velocidade diz respeito exclusivamente a um poss´ıvel componente aditivo r´ıgido do movimento de um corpo. Em contrapartida, o tensor simétrico D da equa¸cão 2.4.7 é devido exclusivamente a uma poss´ıvel deforma¸cão pura aditiva que o corpo pode sofrer durante o movimento. De um modo geral, o movimento de um corpo é a soma de um movimento r´ıgido com uma deforma¸cão pura, isto se refletindo na soma dos tensores W e D para compor o gradiente de velocidade, L. Neste último caso, o movimento ainda altera a forma do corpo, por isto costuma ser chamado de deforma¸cão, embora não seja uma deforma¸cão pura, porque o gradiente de velocidade é assimétrico (nem simétrico, nem antissimétrico).

Portanto, deforma¸cão pura não é apenas um movimento que altera a forma do corpo, mas sim um movimento que tem este efeito ao manter simétrico o gradiente de velocidade.

(29)

Cap´ıtulo 3

Tensor de tens˜

oes de Cauchy

Lembramos que, na configura¸c˜ao de referˆencia (ou material) representamos o corpo, uma parte dele e seus pontos, respectivamente por B, P e {X1, X2, ...}, enquanto

que na configura¸c˜ao corrente (ou espacial), respectivamente por Bt = χt(B), Pt = χt(P)

e x = χ(X, t). Na presente se¸c˜ao, consideramos uma grandeza f´ısica escalar ou vetorial Φ(P, t), aditiva e cont´ınua, referida a uma configura¸c˜ao corrente, mas podendo referir-se `

a configura¸cão de referência desde que adotemos t = 0. Os axiomas de aditividade e continuidade para essa fun¸cão podem ser expostos como:

Axioma 1: Aditividade: dadas duas regi˜oes P1, P2 ⊂ Bt, tal que P1∩ P2 = ∅,

ent˜ao Φ(P1∪ P2, t) = Φ(P1, t) + Φ(P2, t).

Axioma 2: Continuidade: dada uma regi˜ao Pt ≡ (P, t) e seu volume vol(Pt)

finito, existe uma constante real positiva a, tal que |Φ(P, t)| ≤ a vol(Pt).

Corolário: Fun¸cão densidade: Satisfeitos os axiomas 1 e 2, existe uma fun¸cão densidade ϕ(x, t) que satisfaz

Φ(P, t) = Z Pt ϕ(x, t)dV e (3.0.1) ϕ(x, t) = lim vol(Pt)→0 Φ(Pt) vol(Pt) (x, t). (3.0.2)

(30)

3.1 Massa

A primeira propriedade f´ısica que convém ser analisada é a massa, uma vez que se presume que a todo corpo finito pode-se atribuir uma massa finita e positiva. Denotamos a massa de uma região (todo o corpo ou apenas uma parte finita dele) pela imagem da fun¸cão M tendo como argumento a região considerada. A fun¸cão M é aditiva e cont´ınua em regiões regulares, ou seja, regiões que não incluem superf´ıcies singulares, as quais são interfaces de poss´ıvel descontinuidade. Portanto, em regiões regulares existe a densidade de massa, que se relaciona com a massa pela integral (o ´ındice R ressalta que nos referimos `

a configura¸c˜ao de referˆencia)

M (P) = Z

P

ρ(X) dVR. (3.1.1)

Equivalentemente, podemos escrever a densidade de massa, em um ponto X ∈ P, por meio da derivada ρ(X) = lim vol(P)→0 M (P) vol(P) ≡ dM dVR (X). (3.1.2)

Por defini¸cão, a massa de qualquer região finita de todo corpo no instante t, Pt ⊆ Bt, é a mesma em qualquer outro momento, ou seja, não varia em decorrência

de qualquer movimento. A densidade de qualquer ponto x ∈ Pt pode variar com uma

eventual deforma¸cão, porém a massa de Pt não varia, implicando em varia¸cão do seu

volume, vol(Pt). Matematicamente,

d dtM (Pt) = 0, logo d dt Z Pt ρ(x, t)dV = 0. (3.1.3)

Como a massa se conserva em qualquer configura¸c˜ao, segue que

M (P) = M(Pt), ∀t logo, Z P ρ(X)dVR = Z Pt ρ(x, t)dV.

No entanto, no cap´ıtulo anterior, mostramos que dV = J dVR (equa¸c˜ao 2.2.6), onde J =

J (X, t) = detF(X, t). Assim, podemos relacionar a integral da densidade na configura¸cão de referência com a integral na configura¸cão referencial fazendo

Z Pt ρ(x, t)dV = Z P ρ(χ(X, t), t)J dVR.

(31)

Comparando as duas equa¸cões anteriores, é fácil notar que

ρ(X) = J ρ(χ(X, t), t). (3.1.4)

Considere agora a derivada temporal de uma integral do tipoR_P

tρϕ(x, t)dV , isto

é, quando a densidade aparece no integrando. Para efetuar esta derivada, é conveniente escrever a integral em termos de coordenadas de referência, uma vez que a região Pt

depende do tempo, diferentemente da respectiva regi˜_{ao P a ela associada na configura¸c˜ao} material. Novamente, considerando que dV = J dVR, tem-se

d dt Z Pt ρϕ(x, t)dV = d dt Z P ρϕ(χ(X, t), t)J dVR. (3.1.5)

Como agora a região de integra¸c˜_{ao (P) não depende do tempo, podemos efetuar a derivada} temporal material do integrando no lado direito da equa¸cão acima destacada, obtendo

d dt Z P ρϕ(χ(X, t), t)J dVR = Z P J ρ∂ϕ ∂t(χ(X, t), t) + ϕ ∂(J ρ) ∂t (χ(X, t), t)dVR.

No entanto, de acordo com a equa¸cão 3.1.4, J ρ(χ(X, t), t) = ρ(X) não é uma fun¸cão do tempo e, portanto, a derivada temporal deste termo se anula. Assim,

d dt Z P ρϕ(χ(X, t), t)J dVR = Z P J ρ∂ϕ ∂t(χ(X, t), t)dVR.

Finalmente, retomando a integral em coordenadas espaciais, tendo em mente a defini¸cão da derivada material (equa¸cão 2.3.1) e comparando a equa¸cão destacada acima com a equa¸cão 3.1.5, conclui-se que

d dt Z Pt ρϕ(x, t)dV = Z Pt ρ ˙ϕ(x, t)dV. (3.1.6)

3.2 Dinˆ

amica

3.2.1 Defini¸

c˜

oes

Defini¸cão: Momento linear O momento linear p(P, t) de uma região P em um instante de tempo t é definido por

p(P, t) = Z

Pt

(32)

Defini¸c˜ao: Momento angular O momento angular hxo(Pt) de uma regi˜ao P em um

instante de tempo t em rela¸c˜ao a um ponto espacial xo ´e definido por

hxo(Pt) =

Z

Pt

ρ(x − xo) × ˙x(x, t)dV. (3.2.2)

Al´em disto,

1. A for¸ca total em uma região Pt é definida pela taxa de varia¸cão temporal do

momento linear dessa regi˜ao.

2. O torque total em uma região Pt rela¸cão a um ponto xo é definido pela taxa

de varia¸c˜ao temporal do momento angular dessa regi˜ao.

Assim, a for¸ca f e o torque τ s˜ao definidos matematicamente pelas leis de Euler da dinˆamica,

f (P, t) = d

dtp(P, t) e (3.2.3)

τ (P, t) = d

dthxo(P, t). (3.2.4)

3.2.2 For¸

cas de corpo e for¸

cas de tra¸

c˜

ao

A for¸ca f e o torque τ resultantes em um corpo podem ser tomados pelo total dos efeitos causados por for¸cas de corpo e de tra¸cão. O primeiro tipo de for¸ca é resultante de for¸cas externas, como é o caso das for¸cas da gravidade, elétrica, magnética, etc. de modo que for¸cas deste tipo dependem da posi¸cão de um ponto espec´ıfico, mas não dependem de nenhum ponto do corpo em suas vizinhan¸cas. O segundo tipo é resultante de for¸cas de contato que agem sobre superf´ıcies, podendo estas últimas ser f´ısicas ou imaginárias. Sejam fb a for¸ca de corpo resultante, ft a for¸ca de tra¸cão resultante, τb o torque causado

por for¸cas de corpo e τt o torque causado por for¸cas de tra¸c˜ao. Assim, for¸ca e torque

resultantes em um corpo podem ser decompostos em duas parcelas, fazendo valer

f = fb+ ft e (3.2.5)

(33)

onde definimos cada termo pelas seguintes integrais fb(P, t) = Z Pt ρb(x, t)dV, (3.2.7) ft(P, t) = I ∂Pt t(x, t, ∂Pt)dS, (3.2.8) τb(P, t) = Z Pt ρ(x, t)(x − xo) × b(x, t)dV e (3.2.9) τt(P, t) = I ∂Pt (x − xo) × t(x, t, ∂Pt)dS. (3.2.10)

Nas últimas quatro equa¸cões, o conjunto (b, t) representa o efeito, sobre o corpo, das for¸cas produzidas em seu exterior mas que atuam no corpo. O vetor b depende do ponto espacial de aplica¸cão x, necessariamente localizado no interior do corpo, em deter-minado instante t, sendo sua unidade for¸ca por massa. Já o vetor t, além de também depender do ponto espacial de aplica¸cão x, neste caso necessariamente localizado na su-perf´ıcie do corpo, ele ainda depende de caracter´ısticas da área Ptnas vizinhan¸cas

infinite-simais da superf´ıcie em torno do ponto x, em determinado instante t, sendo sua unidade for¸ca por ´area.

Substituindo as equa¸cões 3.2.7 e 3.2.8 na equa¸cão 3.2.5, em seguida esta última na 3.2.3 e usando a 3.2.1, obtemos d dt Z Pt ρ ˙x(x, t)dV = Z Pt ρb(x, t)dV + I ∂Pt t(x, t, ∂Pt)dS. (3.2.11)

Analogamente, substituindo as equa¸c˜oes 3.2.9 e 3.2.10 na equa¸c˜ao 3.2.6, em seguida esta ´

ultima na 3.2.4 e usando a 3.2.2, obtemos d dt Z Pt ρ(x, t)(x − xo) × ˙x(x, t)dV = Z Pt ρ(x, t)(x − xo) × b(x, t)dV + I ∂Pt (x − xo) × t(x, t, ∂Pt)dS. (3.2.12)

Por meio do uso da equa¸c˜ao 3.1.6, as equa¸c˜oes 3.2.11 e 3.2.12 podem ser respectivamente escritas Z Pt ρ¨x(x, t)dV = Z Pt ρb(x, t)dV + I ∂Pt t(x, t, ∂Pt)dS e (3.2.13) Z Pt ρ(x, t)(x − xo) × ¨x(x, t)dV = Z Pt ρ(x, t)(x − xo) × b(x, t)dV + I ∂Pt (x − xo) × t(x, t, ∂Pt)dS, (3.2.14)

(34)

3.3 Teorema de Cauchy

No instante t, seja n um vetor unit´ario normal `a superf´ıcie ∂Pt no ponto x,

dirigido para fora do corpo. O postulado de Cauchy informa que, se x ∈ ∂Pt∩∂ ¯Pt, isto ´e, se

x for um ponto comum a duas superf´ıcies ∂Pte ∂ ¯Pt, por hip´otese distintas (que apresentem

caracter´ısticas diferentes) de um corpo e se n = ¯n, ent˜ao t(x, t, ∂Pt) = t(x, t, ∂ ¯Pt). Em

outras palavras, dado um ponto comum às duas superf´ıcies, se as duas normais coincidirem neste ponto o mesmo ocorrerá com os respectivos vetores tra¸cão, independentemente do fato das superf´ıcies serem distintas. Portanto, impondo que as duas normais coincidam, pode-se substituir t(x, t, ∂Pt) por t(x, t, n). Fazendo esta substitui¸cão na equa¸cão 3.2.13,

tem-se Z Pt ρ¨x(x, t)dV = Z Pt ρb(x, t)dV + I ∂Pt t(x, t, n)dS. (3.3.1)

Note que, se v = |v|n, exige-se que t(x, t, v) = t(x, t, |v|n) = |v|t(x, t, n), ou seja, exige-se que a dependência de t, em rela¸cão a v, seja tal que qualquer altera¸cão no módulo de v, mantendo sua dire¸cão e sentido, altere na mesma propor¸cão o módulo de t, novamente mantendo sua dire¸cão e sentido, geralmente diferentes daqueles de v. Esta exigência garante que o vetor t seja sempre dado por t(x, t, n) = t(x,t,v)_|v| , qualquer que seja o módulo não nulo do vetor v = |v|n. De fato, não teria sentido f´ısico a possibilidade de que o arbitrário módulo de um vetor cuja finalidade é unicamente fornecer a orienta¸cão geométrica da área nas vizinhan¸cas do ponto superficial x considerado, influenciasse o efeito das for¸cas que agem na superf´ıcie do corpo. Para o caso |v| = 0, de interesse matemático, impõe-se |t| = 0.

Como |v| ≥ 0, pode-se então escrever t(x, t, αn) = αt(x, t, n), para α ≥ 0. Resta responder o que ocorreria se tivéssemos α < 0, ou seja, se fosse invertido o sentido do vetor v. Para isto, considere um arbitrário cilindro reto de altura , representado por P⊂ Bt(lembre que Bté a representa¸cão da configura¸cão espacial de um corpo qualquer).

Aplicando a equa¸c˜ao 3.3.1 nesse cilindro, temos

Z P ρ¨x(x, t)dV = Z P ρb(x, t)dV + I ∂P t(x, t, n)dS. (3.3.2)

Se fizermos → 0, o volume do cilindro tenderá a zero. Logo, impondo que as fun¸cões ρ, ¨x e b sejam finitas e bem definidas em qualquer ponto do cilindro, as integrais volumétricas

(35)

tender˜ao a zero quando → 0. Assim, lim →0 I ∂P t(x, t, n)dS = 0.

Efetuando a integral, cuja região de integra¸cão se reduz às duas faces opostas do cilindro que se encontram em uma superf´ıcie intermediária S neste limite, temos que

Z

S

t(x, t, n) + t(x, t, −n)dS = 0,

resultando em t(x, tn) = −t(x, t, −n), uma vez que o integrando deve ser nulo para que a integral seja nula. Tem-se, então, t(x, t, αn) = αt(x, t, n) para qualquer real α ou, como o mesmo será evidentemente válido para qualquer vetor v (não precisa ser paralelo a n),

t(x, t, αv) = αt(x, t, v), para _{α ∈ R, v ∈ V.} (3.3.3) Convém lembrar que a equa¸cão 3.3.3, junto com a equa¸cão

t(v1+ v2) = t(v1) + t(v2), para v1, v2 ∈ V, (3.3.4)

constituem a condi¸cão necessária e suficiente para que a transforma¸cão do vetor v no vetor t seja linear, ou seja, para provar a existência do campo tensorial de segunda ordem T(x, t) (ver Apêndice). Para provar a equa¸cão 3.3.4 consideramos, além dos dois vetores linearmente independentes v1 e v2, também um terceiro vetor v3, combina¸cão linear

dos primeiros dois, de modo que v3 = −(v1 + v2) ∈ V. Ent˜ao, utilizando novamente a

equa¸cão 3.3.1, agora não mais para um cilindro mas sim para outra constru¸cão geométrica adequada a esta nova demonstra¸cão, bem como a equa¸cão 3.3.3, confirma-se a equa¸cão 3.3.4 [4][9]. Demonstra-se, assim, o teorema de Cauchy,

t(x, t, n) = T(x, t)n. (3.3.5)

3.4 Equa¸

c˜

ao do Movimento de Cauchy

Considere uma arbitrária região tridimensional Pt ⊆ Bt, onde Bt é a

repre-senta¸cão da configura¸cão espacial de um corpo qualquer. Utilizando o teorema de Cauchy, equa¸cão 3.3.5, no segundo termo do lado direito da equa¸cão 3.3.1, obtemos

Z Pt ρ¨x(x, t)dV = Z Pt ρb(x, t)dV + I ∂Pt T(x, t)ndS.

(36)

Agora, aplicando o teorema da divergˆencia B.16 na integral de superf´ıcie acima, segue que Z Pt ρ¨x(x, t)dV = Z Pt ρb(x, t)dV + Z Pt divT(x, t)dV, Z Pt ρb(x, t) + divT(x, t) − ρ¨x(x, t)= 0.

Uma vez que consideramos que a região P possui volume finito, a igualdade acima é válida se e somente se o integrando for nulo. Feita tal considera¸cão, obtemos a equa¸cão de movimento de Cauchy

ρb(x, t) + divT(x, t) = ρ¨x(x, t). (3.4.1)

3.5 Simetria do tensor de Cauchy

Sejam b∗(x, t) = ρ(b − ¨x)(x, t), (3.5.1) f∗(P, t) = I ∂Pt t(x, t, n)dS + Z Pt b∗(x, t)dV e (3.5.2) τ∗(P, t) = I ∂Pt x × t(x, t, n)dS + Z Pt x × b∗(x, t)dV. (3.5.3)

Comparando as equa¸cões 3.5.2 e 3.5.3 respectivamente com as equa¸cões 3.2.13 e 3.2.14, obtém-se

f∗(P, t) = 0 e (3.5.4)

τ∗(P, t) = 0 (3.5.5)

(note que a equa¸cão 3.2.14 é válida para qualquer vetor xo, portanto é obedecida para

xo = 0). De acordo com a equa¸c˜ao 2.5.6, para o campo de velocidades r´ıgido w(x, t)

tem-se

w(x, t) = w0(t) + W(t)x,

onde W(t) ´e antissim´etrico, portanto admite um vetor axial ω(t) tal que W(t)x = ω(t) × x, logo

w(x, t) = w0(t) + ω(t) × x.

Tem-se, ent˜ao,

(37)

w(x, t) · b∗(x, t) = w0(t) · b∗(x, t) + b∗(x, t) · ω(t) × x.

Pela propriedade do produto misto dada pela equa¸c˜ao A.18, podemos escrever

t(x, t, n) · ω(t) × x = ω(t) · x × t(x, t, n) e

b∗(x, t) · ω(t) × x = ω(t) · x × b∗(x, t),

portanto

t(x, t, n) · w(x, t) = w0(t) · t(x, t, n) + ω(t) · x × t(x, t, n) e (3.5.6)

b∗(x, t) · w(x, t) = w0(t) · b∗(x, t) + ω(t) · x × b∗(x, t). (3.5.7)

Teorema dos trabalhos virtuais 1 _{Para a fun¸c˜}_ao

W (P, t) = I ∂Pt t(x, t, n) · w(x, t)dS + Z Pt b∗(x, t) · w(x, t)dV (3.5.8) tem-se W (P, t) = 0. (3.5.9)

Demonstra¸c˜ao: Substituindo as equa¸c˜oes 3.5.6 e 3.5.7 na 3.5.8, obtem-se

W (P, t) = I ∂Pt (w0(t) · t(x, t, n) + ω(t) · x × t(x, t, n))dS + Z Pt (w0(t) · b∗(x, t) + ω(t) · x × b∗(x, t))dV

ou, como w0(t) e ω(t) s˜ao espacialmente constantes,

W (P, t) = w0(t) · I ∂Pt (t(x, t, n)dS + Z Pt b∗(x, t)dV + ω(t) · I ∂Pt x × t(x, t, n))dS + Z Pt x × b∗(x, t))dV .

Considerando as equa¸cões 3.5.2, 3.5.3, 3.5.4 e 3.5.5, a equa¸cão anterior mostra que a equa¸cão 3.5.9 é obedecida.

Tensor de tens˜oes de Cauchy De acordo com o teorema dos trabalhos virtuais,

I ∂Pt t(x, t, n) · w(x, t)dS + Z Pt b∗(x, t) · w(x, t)dV = 0.

(38)

Mas, considerando as equa¸c˜oes 3.4.1 e 3.5.1, tem-se

b∗(x, t) + divT(x, t) = 0,

que substitu´ıdo na equa¸c˜ao anterior produz

I ∂Pt t(x, t, n) · w(x, t)dS = Z Pt divT(x, t) · w(x, t)dV. (3.5.10)

Logo, a equa¸cão 3.5.10 é válida para campo r´ıgido de velocidades, w(x, t), agindo em todos os ponto da superf´ıcie ∂Pt. Mas, para um campo de velocidades qualquer, v(x, t),

agindo em todos os ponto da superf´ıcie ∂Pt, o teorema de Cauchy mostra que

I ∂Pt t(x, t, n) · v(x, t)dS = I ∂Pt T(x, t)n · v(x, t)dS e,

de acordo com o teorema da divergˆencia2_,

I ∂Pt T(x, t)n · v(x, t)dS = Z Pt divT(x, t) · v(x, t)dV + Z Pt T : ∇v(x, t)dV. (3.5.11)

Ao se comparar as equa¸c˜oes 3.5.10 e 3.5.11 percebe-se que, para campo r´ıgido de velocidades, w(x, t), agindo em todos os ponto da superf´ıcie ∂Pt, tem-se

Z

Pt

T : ∇w(x, t)dV = 0. (3.5.12)

Como ∇w(x, t) = W(x, t) ∈ Skw, porque o gradiente de todo campo r´ıgido de velocidade ´

e antissimétrico (equa¸cão 2.5.7), a condi¸cão T : W(x, t) = 0, proveniente da equa¸cão 3.5.12, exige que

T(x, t) = TT(x, t) (3.5.13)

para qualquer campo r´ıgido de velocidade. Portanto, apenas para deforma¸cão pura a equa¸cão 3.5.13 não está demonstrada, sendo válida para movimentos em geral.

2_{A integral do lado esquerdo da equa¸}_c˜_{ao pode ser escrita como}H

∂PtT T_{v(x, t) · ndS. Pelo teorema da} divergˆencia, H ∂PtT T_{v(x, t) · ndS =}R Ptdiv(T

T_{v(x, t))dV . No entanto, pela defini¸}_c˜_{ao do divergente em}

nota¸c˜ao indicial, tem-se que

div(TTv) =∂(T T_v) i ∂xi = ∂(Tjivj) ∂xi = vj ∂Tji xi + Tji ∂vj ∂xi = v · divT + T : ∇v.

(39)

Em resumo, existe um tensor T, chamado tensor de tens˜oes de Cauchy, tal que as seguintes condi¸c˜oes sejam sempre obedecidas:

(a) Para todo vetor n unit´ario e normal `a superf´ıcie do corpo, dirigido para fora dele, vale t(x, t, n) = T(x, t)n;

(b) TT _{= T;}

(c) é satisfeita a equa¸cão divT(x, t) + ρb(x, t) = ρ¨x(x, t), chamada equa¸cão do movimento de Cauchy.

(40)

Cap´ıtulo 4

Teorema do transporte

4.1 Teorema do transporte de Reynolds

O teorema do transporte de Reynolds1 é uma ferramenta para diferenciar uma integral volumétrica em fun¸cão de um parâmetro (frequentemente o tempo). Trata-se de uma generaliza¸cão tridimensional do teorema de Leibniz para derivadas de integrais. Relembrando o teorema de Leibniz, temos que, se Φ(t) = Rb(t)

a(t) f (z, t)dz, a derivada da fun¸c˜ao Φ(t) ´e dΦ(t) dt = Z b(t) a(t) ∂f (z, t) ∂t dz + f (b(t), t) db(t) dt − f (a(t), t) da(t) dt . (4.1.1)

A demonstra¸cão da equa¸cão 4.1.1 pode ser encontrada em vasta literatura matemática, como em [7] e [1].

Ent˜ao, considerando uma regi˜ao espacial Pt, fechada, com uma fronteira ∂Pt e

uma fun¸c˜ao ψ(x, t) (escalar, vetorial ou tensorial de ordem segunda ou superior) definida nessa regi˜ao, o teorema do transporte estabelece que

d dt Z Pt ψ(x, t)dV = Z Pt ∂ψ(x, t) ∂t dV + I ∂Pt ψ(x, t)un(x, t, n)dS, (4.1.2)

onde un(x, t, n) = ˙x(x, t) · n ´e a componente normal da velocidade dos pontos x da

fronteira ∂Pt, sendo o vetor unit´ario n dirigido para fora do corpo.

1_{A demonstra¸c˜}_{ao do teorema do transporte de Reynolds dada neste cap´ıtulo segue as linhas gerais de}

(41)

Demonstra¸c˜ao:

Pela defini¸c˜ao de derivada,

d dt Z Pt ψ(x, t)dV = lim h→0 1 h ( Z Pt+h ψ(x, t + h)dV − Z Pt ψ(x, t)dV ) = lim h→0 1 h ( Z Pt+h ψ(x, t + h)dV − Z Pt ψ(x, t + h)dV ) + lim h→0 1 h ( Z Pt ψ(x, t + h)dV − Z Pt ψ(x, t)dV ) = lim h→0 1 h Z Pt+h−Pt ψ(x, t + h)dV + Z Pt ∂ψ ∂t(x, t)dV

O segundo termo da etapa final da equa¸cão independe de h. Para entender melhor o pri-meiro termo, observe a imagem abaixo, onde a linha sólida delimita a região Pt, enquanto

Figura 4.1: A região Pt+h− Pt. A velocidade un é a proje¸cão de ˙x na dire¸cão de n. A

distância percorrida pela área ∆a → dS é δ = unh. Esse elemento de volume, portanto,

´e igual a hundS.

a pontilhada delimita a região Pt+h, isto é, a mesma região após uma transforma¸cão

ocorrida dentro de um intervalo temporal h. O primeiro termo da última etapa de nossa demonstra¸cão é uma integral tomada na região Pt+h− Pt, a zona cinza da figura.

(42)

Tome um ponto x da fronteira ∂Pt da regi˜ao Pt, cuja velocidade ´e ˙x(x, t) e

uma área superficial infinitesimal do corpo ao redor deste ponto, ∆a → dS. Ora, sendo un(x, t, n) = ˙x(x, t)·n a proje¸cão da velocidade na dire¸cão normal à área dS, então, dentro

do intervalo de tempo h tendente a zero, esta ´area percorreu uma distˆancia hun(x, t, n),

de volume dV = hun(x, t, n)dS. O primeiro termo na etapa final da equa¸c˜ao, portanto,

pode ser escrito

lim h→0 1 h Z Pt+h−Pt ψ(x, t + h)hun(x, t, n)dS = lim h→0 Z Pt+h−Pt ψ(x, t + h)un(x, t, n)dS.

Admitindo que, no limite de h tendendo a 0, a casca Pt+h− Pt tenda `a fronteira ∂Pt, o

limite torna-se

I

∂Pt

ψ(x, t)un(x, t, n)dS,

o que completa a demonstra¸c˜ao da equa¸c˜_{ao 4.1.2.}

Podemos usar o teorema da divergência para colocar ambas as integrais do lado direito da equa¸cão 4.1.2 sob o mesmo sinal de integra¸cão. Assim,

d dt Z Pt ψ(x, t)dV = Z Pt ∂ψ(x, t) ∂t + div(ψ(x, t) ⊗ ˙x(x, t)) dV. (4.1.3)

Na equa¸cão 4.1.3, o significado de ⊗ será entendido de acordo com a ordem tensorial da grandeza ψ(x, t). Se ψ(x, t) for um campo escalar, ⊗ será substitu´ıdo por uma multi-plica¸cão escalar simples, ϕ ˙x(x, t) e teremos o divergente de um vetor (equa¸cão B.15), o qual é um escalar que será somado ao escalar ∂ψ(x,t)_∂t . Se ψ(x, t) for um campo vetorial, ⊗ será o habitual produto tensorial, conforme definido por A.21 e teremos o divergente de um tensor (equa¸cão B.16), o qual é um vetor que será somado ao vetor ∂ψ(x,t)_∂t . Se ϕ(x, t) for um campo tensorial de ordem segunda ou superior, ⊗ terá sua interpreta¸cão readequada de acordo com essa ordem, mas para o presente trabalho não é necessário aprofundar este terceiro caso. Entretanto, note que a alternativa equa¸cão 4.1.2 é de fácil interpreta¸cão, em qualquer caso.

Um movimento ´e denominado isoc´orico se _dtdvol(Pt) = 0. A derivada do volume

pode ser tomada, de acordo com o teorema do transporte. Fazendo ψ = 1 na equa¸c˜ao 4.1.3, temos d dt Z Pt dV = d dtvol(Pt) = Z Pt div( ˙x(x, t))dV. (4.1.4)

(43)

Para um movimento isoc´orico, portanto,R_P

(44)

Cap´ıtulo 5

Equa¸

c˜

oes de Balan¸

co

5.1 Teoria geral das equa¸

c˜

oes de balan¸

co

As equa¸cões de balan¸co são frequentes na Mecânica e Termodinâmica dos Meios Cont´ınuos e satisfazem à equa¸cão

d

dtΦ(P, t) = Ψ∂P(P, t) + ΨP(P, t). (5.1.1)

O lado esquerdo da equa¸cão define a varia¸cão temporal da grandeza Φ na região P no instante t. Os termos do lado direito definem, respectivamente, o fluxo Ψ∂P da grandeza

Φ através da fronteira ∂P da região P e a produ¸cão (ou consumo) ΨP da grandeza Φ no

interior da regi˜ao P no instante t.

Os termos de fluxo e produ¸c˜ao podem ser respectivamente escritos como integrais de superf´ıcie e volume, de acordo com

Ψ∂P(P, t) = I ∂Pt ψϕ(x, t, n)dS e (5.1.2) ΨP(P, t) = Z Pt σϕ(x, t)dV, (5.1.3)

onde ψϕ(x, t, n) ´e o fluxo de ϕ normal `a superf´ıcie no ponto x da fronteira ∂Pt de Pt,

no instante t e σϕ(x, t) corresponde `a produ¸c˜ao (ou consumo) de ϕ no ponto x interior

de Pt, no mesmo instante. O fluxo escalar ou vetorial ψϕ(x, t, n), por sua vez, pode ser

(45)

ψ_ϕ(x, t), na dire¸cão normal à área infinitesimal da superf´ıcie ∂Pt localizada em torno do

ponto x, isto é, ψϕ(x, t, n) = ψϕ(x, t) · n, onde n é unitário, ortogonal à mencionada área

superficial e dirigido para fora do corpo.

Colocando a equa¸c˜ao 5.1.1 em sua forma expandida temos, ent˜ao, d dt Z Pt ϕ(x, t)dV = I ∂Pt ψ_ϕ(x, t) · n dS + Z Pt σϕ(x, t)dV (5.1.4)

e, usando o teorema do transporte de Reynolds 4.1.2 no lado esquerdo da equa¸c˜ao 5.1.4, obtemos Z Pt ∂ϕ(x, t) ∂t dV + I ∂Pt ϕ(x, t)( ˙x(x, t)·n) dS = I ∂Pt ψ_ϕ(x, t)·n dS + Z Pt σϕ(x, t)dV. (5.1.5)

A equa¸cão 5.1.5 possui integrais volumétricas e de superf´ıcie. Podemos utilizar o teorema da divergência nas integrais de superf´ıcie para colocar todos os termos sob o mesmo sinal de integra¸cão na mesma região. Assim, lembrando o significado do s´ımbolo ⊗ na equa¸cão 4.1.3, temos Z Pt ∂ϕ(x, t) ∂t dV + Z Pt div(ϕ(x, t) ⊗ ˙x(x, t))dV = Z Pt div(ψ_ϕ(x, t))dV + Z Pt σϕ(x, t)dV. (5.1.6) Colocando todos os termos ao lado esquerdo da equa¸cão sob o mesmo sinal de integra¸cão, obtemos Z Pt ∂ϕ(x, t) ∂t + div(ϕ ⊗ ˙x(x, t) − ψϕ(x, t)) − σϕ(x, t) dV = 0. (5.1.7)

Sendo a integral da equa¸cão 5.1.7 definida na região Pt, seu integrando é, necessariamente,

nulo. Ent˜ao, obtemos a forma local das equa¸c˜oes de balan¸co, ∂ϕ(x, t)

∂t + div(ϕ ⊗ ˙x(x, t) − ψϕ(x, t)) − σϕ(x, t) = 0. (5.1.8) Vale ressaltar que, sendo a grandeza ψ_ϕ definida como um fluxo, podemos entender a grandeza ϕ ⊗ ˙x como um fluxo tamb´em, denominado fluxo convectivo da grandeza ϕ.

5.2 Balan¸

co de massa

A equa¸c˜ao 3.1.3, abaixo repetida, d

dt Z

Pt

(46)

´

e a forma integral do balan¸co de massa. Comparando a equa¸c˜ao 3.1.3 com a forma integral da equa¸c˜ao de balan¸co geral 5.1.4, temos

ϕ(x, t) = ρ(x, t),

ψ_ϕ(x, t) = 0 e

σϕ(x, t) = 0.

Portanto, para a massa a forma local da equa¸c˜ao de balan¸co geral, 5.1.8, ´e dada por ∂ρ(x, t)

∂t + div(ρ ˙x(x, t)) = 0. (5.2.1)

A equa¸cão 5.2.1 costuma ser chamada equa¸cão da continuidade. Como ρ(x, t) é um campo escalar, tem-se que div(ρ ˙x(x, t)) = ˙x(x, t) · ∇ρ(x, t) + ρ(x, t)div ˙x(x, t)1_{, logo a equa¸c˜}_ao

5.2.1 pode ser re-escrita ∂ρ(x, t)

∂t + ˙x(x, t) · ∇ρ(x, t) + ρ(x, t)div ˙x(x, t) = 0.

Mas, fazendo ϕ(x, t) = ρ(x, t) na equa¸cão 2.3.3, temos ˙ρ(x, t) = ∂ρ(x,t)_∂t + ˙x(x, t) · ∇ρ(x, t). Então, a equa¸cão da continuidade pode, alternativamente, ser escrita

˙

ρ(x, t) + ρ(x, t)div ˙x(x, t) = 0. (5.2.2)

No último parágrafo do cap´ıtulo 4, teorema do transporte, foi mostrado que, para um movimento isocórico, tem-se div ˙x(x, t) = 0. Logo, a equa¸cão 5.2.2 mostra que a densidade em cada ponto material do corpo não se altera em movimento isocórico. Fazendo ψ = ρ na equa¸cão 4.1.3, d dt Z Pt ρ(x, t)dV = Z Pt ∂ρ(x, t) ∂t + div(ρ ˙x(x, t)) dV,

portanto o teorema do transporte confirma que a imposi¸cão da equa¸cão 3.1.3 (conserva¸cão da massa) implica nas equa¸cões de continuidade 5.2.1 e 5.2.2, bem como vice-versa. Esta confirma¸cão indica a coerência interna da teoria apresentada. Além disto, mostra que quaisquer duas entre as três seguintes afirma¸cões implicam na terceira: (a) conserva¸cão do volume; (b) conserva¸cão da massa; (c) conserva¸cão da densidade em todos os pontos materiais do corpo. Obviamente, isto é fisicamente coerente.

1_{Para um campo escalar α e um campo vetorial v, temos (conferir Apˆ}_{endice B, equa¸}_c˜_{oes B.7 e B.9)}

div(αv) = ∂(αv)i ∂xi = ∂(αvi) ∂xi = vi ∂α ∂xi + α∂vi ∂xi = v · ∇α + αdiv(v).

(47)

5.3 Balan¸

cos de momentos linear e angular

As equa¸c˜oes 3.2.11 e 3.2.12, abaixo repetidas, respectivamente s˜ao as formas integrais dos balan¸cos de momentos linear e angular,

d dt Z Pt ρ ˙x(x, t)dV = Z Pt ρb(x, t)dV + I ∂Pt t(x, t, ∂Pt)dS e d dt Z Pt ρ(x, t)(x − xo) × ˙x(x, t)dV = Z Pt ρ(x, t)(x − xo) × b(x, t)dV + I ∂Pt (x − xo) × t(x, t, ∂Pt)dS.

Usando o postulado de Cauchy, t(x, t, ∂Pt) pode ser substitu´ıdo por t(x, t, n) e, por meio

do teorema de Cauchy, dado pela equa¸c˜ao 3.3.5, as equa¸c˜oes 3.2.11 e 3.2.12 podem ser respectivamente reescritas d dt Z Pt ρ ˙x(x, t)dV = Z Pt ρb(x, t)dV + I ∂Pt T(x, t)ndS e (5.3.1) d dt Z Pt ρ(x, t)(x − xo) × ˙x(x, t)dV = Z Pt ρ(x, t)(x − xo) × b(x, t)dV + I ∂Pt (x − xo) × T(x, t)ndS. (5.3.2)

Comparando a equa¸c˜ao 5.3.1 com a forma integral da equa¸c˜ao de balan¸co geral, 5.1.4, tem-se

ϕ(x, t) = ρ ˙x(x, t),

ψ_ϕ(x, t) = T(x, t) e

σϕ(x, t) = ρb(x, t).

Portanto, para o momento linear, a forma local da equa¸c˜ao de balan¸co geral, 5.1.8, ´e dada por

∂ρ ˙x(x, t)

∂t + div(ρ ˙x(x, t) ⊗ ˙x(x, t) − T(x, t)) − ρb(x, t) = 0 (5.3.3) e, de modo an´alogo, pode-se obter a forma local do balan¸co de momento angular.

Aplicando o teorema do transporte, sob a forma da equa¸cão 4.1.3, à equa¸cão 3.1.6, a qual é coerente com o balan¸co de massa, demonstra-se imediatamente que, se ϕ(x, t) for a imagem de qualquer fun¸cão (escalar, vetorial ou tensorial) do argumento (x, t), então

ρ ˙ϕ(x, t) = ∂(ρϕ(x, t))

(48)

Fazendo ϕ(x, t) = ˙x(x, t) na equa¸c˜ao 5.3.4, obtemos ρ¨x(x, t) = ∂(ρ ˙x(x,t))_∂t + div(ρ ˙x(x, t) ⊗ ˙x(x, t)), que substitu´ıdo na equa¸c˜ao 5.3.3 produz

ρ¨x(x, t) − divT(x, t) − ρb(x, t) = 0.

Esta é a equa¸cão 3.4.1, chamada equa¸cão de movimento de Cauchy. Em outras pala-vras, a equa¸cão de movimento de Cauchy é a forma local da equa¸cão de balan¸co geral, especificamente para o momento linear, mas obedecendo também ao balan¸co de massa.

As formas locais dos balan¸cos de massa e momento linear, este último incluindo obediência ao balan¸co de massa, respectivamente chamadas equa¸cão da continuidade e equa¸cão de movimento de Cauchy, são independentes entre si. Ambos os dois balan¸cos devem ser independentemente impostos a qualquer corpo, para que ele esteja sujeito `

as leis da f´ısica. Entretanto, para movimento r´ıgido o balan¸co de momento angular é consequência da aplica¸cão destes dois balan¸cos, ou seja, não é um balan¸co independente.

De fato, as mesmas for¸cas provenientes do exterior são responsáveis tanto pelo momento linear, quanto angular do corpo, o qual está submetido ao postulado de que sua massa não se altera. Mas, para mostrar que a forma local do balan¸co de momento angular, obtida a partir da equa¸cão 5.3.2, é obedecida, faz-se necessário que o tensor de tensões de Cauchy seja simétrico ([4], Cap. 2, se¸cão 2.3.3). Por isto, a simetria do tensor de tensões de Cauchy pode ser considerada uma expressão alternativa da forma local do balan¸co de momento angular. Porém, como tal simetria é deduzida para movimento r´ıgido, neste caso o balan¸co de momento angular não é independente. Reciprocamente, a imposi¸cão dos balan¸cos de massa e momentos, linear e angular, garante que o tensor de tensões de Cauchy é simétrico mesmo para deforma¸cões puras.

5.4 Balan¸

co de Energia

A energia cinética de uma part´ıcula de massa m que, no instante t, move-se a uma velocidade de módulo v em rela¸cão a um referencial, é dada por 1₂mv2_{. Para um}

meio cont´ınuo, a forma mais genérica da energia cinética, K(Pt) é dada por

K(Pt) = 1 2 Z Pt ρ ˙x(x, t) · ˙x(x, t)dV. (5.4.1)

(49)

Admite-se que a energia cinética, fornecida pela equa¸cão 5.4.1, não fornece toda a energia da região Pt, de modo que, para se obter o total da energia nessa região, definimos

tautologicamente a energia não-cinética Γ(Pt). Alguns textos de mecânica dos meios

cont´ınuos, como [4], [2] e [9], denominam esta segunda parcela como energia interna. A fim de distinguirmos a energia interna já estabelecida nos textos de termodinâmica e f´ısico-qu´ımica daquela estabelecida nos textos de mecânica dos meios cont´ınuos, utilizaremos o termo energia não-cinética aprioristicamente.

Postulamos que a energia não-cinética obede¸ca às condi¸cões de continuidade e aditividade, sendo poss´ıvel definir uma energia não-cinética espec´ıfica (razão entre energia e massa), γ(x, t) (nos mencionados textos, u(x, t)), tal que

Γ(Pt) =

Z

Pt

ργ(x, t)dV. (5.4.2)

Escrevendo v2 _{= ˙x · ˙x, definimos a energia total E(P}

t) como a soma da energia cin´etica

com a energia n˜ao-cin´etica, logo

E(Pt) = K(Pt) + Γ(Pt) = Z Pt ρ(1 2v 2_{+ γ)(x, t)dV.} _(5.4.3)

No balan¸co de massa, foi postulado que a massa do corpo jamais se altera, portanto sempre se conserva. Já nos balan¸cos de momento linear e angular não foi apresentado postulado análogo, portanto estes momentos podem variar, por influência do exterior. Entretanto, se as for¸cas e torques que o exterior exercer sobre o sistema forem nulos, respectivamente o momento linear e angular se conservarão. Isto pode ser facilmente notado anulando t e b nas equa¸cões 3.2.11 e 3.2.12.

O balan¸co de energia é análogo aos balan¸cos de momentos linear e angular, ou seja, a energia não precisa se conservar mas, para que ela varie, é exigido que haja trocas energéticas com o exterior, caso contrário ela se conserva. Em termodinâmica, consideram-se dois tipos de trocas energética, os quais diferem fisicamente no que se refere ao movimento das part´ıculas, quando sujeitas a tais trocas. São elas calor e trabalho ou, utilizando as respectivas taxas temporais de transferência, a potência térmica, Q(Pt) e a

potˆencia at´ermica, P (Pt). Assim, escrevemos o balan¸co de energia

dE(Pt) dt = dK(Pt) dt + dΓ(Pt) dt = Q(Pt) + P (Pt). (5.4.4) Mas note que, como a mecânica dos meios cont´ınuos não lida com part´ıculas (entende-se aqui part´ıcula por uma por¸cão discreta de matéria, tais como átomos e moléculas, por

(50)

exemplo), analogamente ao que ocorre com a energia não-cinética também a potência térmica é apenas uma desconhecida parcela aditiva, cuja existência é admitida como poss´ıvel. Note que dK(Pt)

dt 6= P (Pt) e dΓ(Pt)

dt 6= Q(Pt).

A potência atérmica é a taxa temporal de trabalho realizado no corpo ou pelo corpo. Este trabalho resulta da a¸cão, sobre o corpo, das for¸cas de corpo e de tra¸cão em um determinado instante, sendo a potência realizada pelas for¸cas de tra¸cão transmitida nas fronteiras do corpo e a efetuada pelas for¸cas de corpo produzida nos pontos interiores do mesmo. Assim, P (Pt) = I ∂Pt ˙x(x, t) · t(x, t, n)dS + Z Pt ρ ˙x(x, t) · b(x, t)dV. (5.4.5)

Foi postulado que a energia não-cinética seja tratada à semelhan¸ca da energia cinética. Analogamente, a potência térmica será tratada à semelhan¸ca da atérmica. Por isto, a potência térmica pode ser decomposta em dois termos aditivos, sendo um deles a razão, h(x, t, n), entre a potência térmica que atravessa uma área superficial e esta área, para uma vizinhan¸ca infinitesimal do ponto x localizado na superf´ıcie ∂Ptda representa¸cão espacial

do corpo. Note que foi imposto postulado análogo ao de Cauchy, mas ao contrário do que ocorre com o vetor t, tem-se que h é um escalar, sendo sua unidade energia por tempo e ´

area.

Mantendo analogia com tratamento dado ao vetor t, ocorre que h(x, t, n) = −q(x, t) · n, logo h(x, t, n) é a proje¸cão do vetor fluxo de calor, q(x, t), na dire¸cão do vetor unitário n, o qual é normal à superf´ıcie no ponto x. O sinal negativo é devido à conven¸cão de que toda energia que ingresse no corpo, independentemente das caracter´ısticas f´ısicas de tal energia, seja positiva, enquanto que n é orientado positivamente para o exterior do corpo.

O outro termo proveniente da decomposi¸cão é a razão r entre a potência térmica absorvida ou emitida (por exemplo, via radia¸cão, rea¸cões qu´ımicas, etc.) e a massa, em um ponto interior da região Pt. A unidade de r é energia por tempo e massa. Portanto,

Q(Pt) = − I ∂Pt q(x, t) · n dS + Z Pt ρr(x, t)dV. (5.4.6)

Então, substituindo as equa¸cões 5.4.3, 5.4.5 e 5.4.6 na equa¸cão 5.4.4, obtemos d dt Z Pt ρ(1 2v 2 + γ)(x, t)dV =