finito, do contr´ario admitiria um subconjunto infinito enumer´avel I′ tal que µ(A) ≥ µA ∩ [ i∈I Xi= µ [ i∈I (A ∩ Xi) ≥ µ [ i∈I′ (A ∩ Xi) =X i∈I′ µ(A ∩ Xi) = +∞.
Observe que a pen´ultima igualdade acima ´e garantida pelo Lema 4.1.2, uma vez que (A∩Xi)i∈I′´e uma fam´ılia essencialmente disjunta enumer´avel. Como
J = [
k≥1
i ∈ I : µ(A ∩ Xi) ≥ 1k ,
segue que J ´e enumer´avel. Suponhamos agora que A ´e σ-finito para µ. Ent˜ao existe uma seq¨uˆencia (Ak)k≥1 de subconjuntos mensur´aveis de X,
com µ(Ak) < +∞ para todo k ≥ 1, tal que A =Sk≥1Ak. Assim,
J =ni ∈ I : µ Sk≥1Ak∩ Xi
> 0o=ni ∈ I : µ Sk≥1(Ak∩ Xi)> 0
o . Al´em disso, se j ∈ J ent˜ao µ Sk≥1(Ak∩ Xj)
> 0, e portanto existe ko ≥ 1
tal que µ(Ako ∩ Xj) > 0. Logo,
j ∈i ∈ I : µ(Ako∩ Xi) > 0
⊂ Ldef= Sk≥1i ∈ I : µ(Ak∩ Xi) > 0 ,
ou seja, J ⊂ L. Portanto, como L ´e enumer´avel, J ´e enumer´avel. Corol´ario 4.1.6. Seja (Xi)i∈I uma decomposi¸c˜ao essencial para o es- pa¸co de medida (X, A, µ). Se A ∈ A ´e σ-finito para µ ent˜ao:
(a) podemos escrever A = A1 ∪ A0, com A1, A0 ∈ A, A1 ∩ A0 = ∅,
A1 contido na uni˜ao de uma subfam´ılia enumer´avel de (Xi)i∈I e
µ(A0) = 0;
(b) µ(A) = P
i∈I
µ(A ∩ Xi).
Demonstrac¸˜ao. Seja I′=i ∈ I : µ(A ∩ Xi) > 0
. Sejam A1= [ i∈I′ (A ∩ Xi) e A0= A \ A1.
Claramente temos A = A1∪ A0 e A1∩ A0 = ∅. Pelo Lema 4.1.5 I′ ´e enume-
r´avel, logo A1, A0 ∈ A e (Xi)i∈I′ ´e uma subfam´ılia enumer´avel de (Xi)i∈I
µ(A0) = 0. Afirmamos que µ(A0 ∩ Xi) = 0 para todo i ∈ I. Com efeito,
para i ∈ I′ o conjunto A0∩ Xi ´e vazio, pois
A0 = A \ A1 = A \ [ i∈I′ (A ∩ Xi) = A \ [ i∈I′ Xi ∩ A= A \ [ i∈I′ Xi;
para i ∈ I \ I′ o conjunto A0 ∩ Xi est´a contido em A ∩ Xi, e portanto
tem medida nula. Seja B um subconjunto mensur´avel de A0 de medida
finita. Como µ(B ∩ Xi) ≤ µ(A0 ∩ Xi) = 0 para todo i ∈ I, e (Xi)i∈I ´e
uma decomposi¸c˜ao essencial para (X, A, µ), temos µ(B) = 0. Uma vez que A ´e σ-finito para µ, A0 tamb´em ´e, logo existe uma seq¨uˆencia (Bn)n≥1 de
subconjuntos mensur´aveis de X com µ(Bn) < +∞ tal que A0 = Sn≥1Bn.
Assim, µ(A0) = µ Sn≥1Bn ≤ Pn≥1µ(Bn) = 0, i.e., µ(A0) = 0. Para
provar o item (b), observamos que A ´e a uni˜ao disjunta de A0 e A1, e que
(A ∩ Xi)i∈I′ ´e uma fam´ılia enumer´avel de subconjuntos mensur´aveis de X
essencialmente disjunta. Ent˜ao, pelo Lema 4.1.2, temos: µ(A) = µ(A1) = µ [ i∈I′ (A ∩ Xi) =X i∈I′ µ(A ∩ Xi) = X i∈I µ(A ∩ Xi).
Proposic¸˜ao 4.1.7. Se (Xi)i∈I ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para o es- pa¸co de medida (X, A, µ), ent˜ao:
(a) µlb(A) =Pi∈Iµ(A ∩ Xi), para todo A ∈ A;
(b) se µ ´e cheia e completa ent˜ao A ⊂ X ´e mensur´avel se e somente se A ∩ Xi ´e mensur´avel para todo i ∈ I.
Demonstrac¸˜ao.
• Prova de (a).
Se A ∈ A ent˜ao, pelo item (a) da Proposi¸c˜ao 2.1.7, A admite um subconjunto E, σ-finito para µ, tal que µlb(A) = µ(E). Portanto, pelo
item (b) do Corol´ario 4.1.6 temos que µlb(A) = µ(E) =Pi∈Iµ(E ∩ Xi).
Se µlb(A) = +∞ ent˜ao X i∈I µ(A ∩ Xi) ≥ X i∈I µ(E ∩ Xi) = +∞,
i.e., µlb(A) =+∞ =Pi∈Iµ(A ∩ Xi). Suponhamos agora µlb(A) < +∞.
De A = E ∪ (A \ E) segue que µlb(A) = µlb(E) + µlb(A \ E). Uma
4.1. DECOMPOSIC¸ ˜OES ESSENCIAIS E DECOMPOSIC¸ ˜OES 105
temos µlb(A \ E) = 0. Observe que, para cada i ∈ I,
µ (A \ E) ∩ Xi
≤ µ(Xi) < +∞,
e conseq¨uentemente (A \ E) ∩ Xi ´e σ-finito para µ; portanto
µ (A \ E) ∩ Xi
= µlb (A \ E) ∩ Xi
≤ µlb(A \ E) = 0,
i.e., µ (A \ E) ∩ Xi= 0. Assim, para cada i ∈ I,
µ(A ∩ Xi) = µ E ∪ (A \ E)∩ Xi = µ(E ∩ Xi) ∪ (A \ E) ∩ Xi = µ(E ∩ Xi) + µ (A \ E) ∩ Xi= µ(E ∩ Xi). E portanto, µlb(A) = X i∈I µ(E ∩ Xi) = X i∈I µ(A ∩ Xi). • Prova de (b).
Se A ⊂ X ´e mensur´avel ent˜ao ´e claro que A ∩ Xi ´e mensur´avel para
todo i ∈ I. Reciprocamente, suponhamos que A ∩ Xi seja mensur´avel
para todo i ∈ I. Uma vez que µ ´e cheia, afim de provar a mensura- bilidade de A ´e suficiente mostrar que A ∩ E ´e mensur´avel para cada E ∈ A com µ(E) < +∞. Se E ∈ A e µ(E) < +∞ ent˜ao E ´e σ-finito para µ e assim, pelo item (a) do Corol´ario 4.1.6, existem E1, E0 ∈ A
com E = E1∪ E0, E1∩ E0 = ∅, E1 ⊂Si∈I′Xi para algum subconjunto
enumer´avel I′ ⊂ I e µ(E
0) = 0. Desse modo, A ∩ E1 = (A ∩ E1) ∩ [ i∈I′ Xi = [ i∈I′ (A ∩ Xi) ∩ E1,
o que mostra que A ∩ E1´e mensur´avel (pois E1 ∈ A e A ∩ Xi∈ A para
todo i ∈ I). Al´em disso, uma vez que µ ´e completa e µ(E0) = 0, o
conjunto A ∩ E0 tamb´em ´e A-mensur´avel. Portanto,
A ∩ E = A ∩ (E1∪ E0) = (A ∩ E1) ∪ (A ∩ E0) ∈ A.
Proposic¸˜ao 4.1.8. Todo espa¸co de medida (X, A, µ) admite uma de- composi¸c˜ao essencial. Al´em disso, qualquer fam´ılia (Xi)i∈I essencialmente disjunta, de subconjuntos mensur´aveis de X de medida positiva e finita pode ser estendida para uma decomposi¸c˜ao essencial para (X, A, µ).
Demonstrac¸˜ao. Denotemos por Ω a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos C de A tais que:
• 0 < µ(A) < +∞, para todo A ∈ C;
• µ(A1∩ A2) = 0, para todo A1, A2 ∈ C com A1 6= A2.
Se Ω ´e parcialmente ordenado pela rela¸c˜ao de inclus˜ao ent˜ao claramente toda cadeia em Ω tem um limite superior (se B ∈ Ω ´e uma cadeia ent˜aoSB∈BB ´e um limite superior para B e pertence a Ω). Portanto, pelo Lema de Zorn, Ω admite um elemento maximal C. Observe que se A ∈ A, µ(A) < +∞ e µ(A ∩ A′) = 0 para todo A′ ∈ C ent˜ao µ(A) = 0, do contr´ario C ∪ {A} seria um elemento de Ω contendo propriamente C, contradizendo a maxi- malidade de C. Segue que os elementos de C constituem uma decomposi¸c˜ao essencial para (X, A, µ). Para finalizar, observamos que se (Xi)i∈I ´e uma
fam´ılia essencialmente disjunta de subconjuntos mensur´aveis de X de me- dida positiva finita, ent˜ao o conjunto C0 =Xi : i ∈ I est´a em Ω. Logo,
considerando a cole¸c˜ao de todos os elementos de Ω que contˆem C0, e usando
novamente o Lema de Zorn, podemos obter um elemento maximal C de Ω
que cont´em o conjunto C0.
Lema 4.1.9. Um espa¸co medida (X, A, µ) admite uma decomposi¸c˜ao essencial (Xi)i∈I finita (i.e., I ´e finito) se e somente se µlb(X) < +∞.
Demonstrac¸˜ao. Se (Xi)i∈I ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para o es-
pa¸co (X, A, µ) com I finito ent˜ao, pelo item (a) do Lema 4.1.7, temos µlb(X) = X i∈I µ(X ∩ Xi) = X i∈I µ(Xi) < +∞,
pois µ(Xi) < +∞ para cada i ∈ I. Reciprocamente, se µlb(X) < +∞ ent˜ao
X ´e σ-finito para µlb, e pelo item (d) da Proposi¸c˜ao 2.1.7, podemos escrever
X = X0 ∪ X∞, com X0, X∞ ∈ A, X0 ∩ X∞ = ∅, X0 σ-finito para µ e
µlb(X∞) = 0. Observe que µ(X0) = µlb(X0) = µlb(X) − µlb(X∞) = µlb(X).
Se µlb(X) = 0 ent˜ao µ(X) = 0 ou X ´e um bloco infinito para µ; logo,
cada subconjunto mensur´avel de X de medida µ finita tem medida nula, e portanto a fam´ılia vazia ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para (X, A, µ). Por outro lado, se µlb(X) > 0 ent˜ao a fam´ılia unit´aria consistindo apenas do
conjunto X0 ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para o espa¸co (X, A, µ). Com
efeito, seja A ∈ A com µ(A) < +∞ e µ(A ∩ X0) = 0; como µlb(X∞) = 0
temos que µ(X∞) = 0 ou X∞ ´e um bloco infinito para µ. Se µ(X∞) = 0
4.1. DECOMPOSIC¸ ˜OES ESSENCIAIS E DECOMPOSIC¸ ˜OES 107
ent˜ao tamb´em temos µ(A ∩ X∞) = 0, pois µ(A ∩ X∞) ≤ µ(A) < +∞.
Assim, uma vez que A = (A ∩ X0) ∪ (A ∩ X∞) e X0∩ X∞ = ∅, segue que
µ(A) = µ(A ∩ X0) + µ(A ∩ X∞) = 0.
Proposic¸˜ao 4.1.10. Se µlb(X) = +∞ ent˜ao, para quaisquer duas de- composi¸c˜oes essenciais (Xi)i∈I e (Yj)j∈J para o espa¸co de medida (X, A, µ), temos |I| = |J| (i.e., os conjuntos I e J tˆem a mesma cardinalidade).
Demonstrac¸˜ao. Observe que, pelo Lema 4.1.9, os conjuntos I e J s˜ao ambos infinitos. Para cada j ∈ J seja Ij o conjunto
Ij =i ∈ I : µ(Yj ∩ Xi) > 0 .
Pelo Lema 4.1.5 o conjunto Ij ´e enumer´avel. Sendo (Xi)i∈I uma decom-
posi¸c˜ao essencial para (X, A, µ), para cada i ∈ I temos 0 < µ(Xi) < +∞, e
portanto Xi ´e σ-finito para µ. Da´ı, pelo item (b) do Corol´ario 4.1.6, temos
que 0 < µ(Xi) =Pj∈Jµ(Xi∩ Yj) para cada i ∈ I; isso significa que para
todo i ∈ I existe j ∈ J com µ(Yj ∩ Xi) > 0, i.e., i ∈ Ij. Assim, temos
I = Sj∈JIj, o que implica |I| ≤ |J| · ℵ0 = |J|. Analogamente conclu´ımos
que |J| ≤ |I|, e conseq¨uentemente |I| = |J|.
Definic¸˜ao 4.1.11. Sejam (X, A, µ) um espa¸co de medida e (Xi)i∈I uma
decomposi¸c˜ao essencial arbitr´aria para (X, A, µ). A dimens˜ao dim(X, A, µ) do espa¸co (X, A, µ) ´e definida por:
dim(X, A, µ) = 0 se µlb(X) = 0 1 se 0 < µlb(X) < +∞ |I| se µlb(X) = +∞.
Lema 4.1.12. Para qualquer espa¸co de medida (X, A, µ), temos que dim(X, A, µ) ≤ ℵ0 se e somente se X ´e σ-finito para µlb.
Demonstrac¸˜ao. Suponhamos que dim(X, A, µ) ≤ ℵ0. Se dim(X, A, µ)
´e menor do que ℵ0 ent˜ao µlb(X) < +∞, e portanto X ´e σ-finito para µlb.
Se dim(X, A, µ) = ℵ0 ent˜ao existe uma decomposi¸c˜ao essencial (Xi)i∈I para
o espa¸co (X, A, µ) com I infinito e enumer´avel. Para cada i ∈ I temos µlb(Xi) = µ(Xi) < +∞, e pelo item (a) da Proposi¸c˜ao 4.1.7 n´os obtemos
µlb X \Si∈IXi
= 0. De fato, sendo I enumer´avel temos X \ S
i∈I Xi ∈ A e µlb X\[ i∈I Xi =X j∈I µX\[ i∈I Xi ∩Xj =X j∈I µXj\ [ i∈I Xi =X j∈I µ(∅) = 0. Assim, como X = Si∈IXi∪ X \Si∈IXi, segue que X ´e σ-finito para µlb.
Reciprocamente, suponhamos que X seja σ-finito para µlb. Se µlb < +∞
ent˜ao a dimens˜ao de (X, A, µ) ´e finita. Suponhamos que µlb = +∞. Sendo
X σ-finito para µlb, pelo item (d) da Proposi¸c˜ao 2.1.7, existem X0, X∞∈ A
disjuntos, com X0 σ-finito para µ, µlb(X∞) = 0 e X = X0∪ X∞. Uma vez
que X0 ´e σ-finito para µ e µ(X0) = µlb(X0) = µlb(X) − µlb(X∞) = +∞,
podemos escrever X0 =Si∈IXi, em que (Xi)i∈I ´e uma fam´ılia enumer´avel
de subconjuntos mensur´aveis de medida positiva finita, dois a dois disjuntos. Afirmamos que (Xi)i∈I ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para (X, A, µ). Com
efeito, seja A ∈ A com µ(A) < +∞ e µ(A ∩ Xi) = 0 para todo i ∈ I. Como
µ(A ∩ X∞) ≤ µ(A) < +∞, o conjunto A ∩ X∞ ´e σ-finito para µ, e ent˜ao
µ(A ∩ X∞) = µlb(A ∩ X∞) ≤ µlb(X∞) = 0, i.e., µ(A ∩ X∞) = 0. Assim,
µ(A) = µ A ∩ (X0∪ X∞)= µ(A ∩ X0) + µ(A ∩ X∞)
= µA ∩ [ i∈I Xi = µ [ i∈I (A ∩ Xi) =X i∈I µ(A ∩ Xi) = 0. Portanto dim(X, A, µ) = ℵ0.
Definic¸˜ao 4.1.13. Seja (Xi)i∈I uma decomposi¸c˜ao essencial para o
espa¸co de medida (X, A, µ). Uma fam´ılia (Xi′)i∈I de subconjuntos men-
sur´aveis de X, com Xi′ ⊂ Xi e µ(Xi\ Xi′) = 0 para todo i ∈ I, ´e chamada
de um refinamento da decomposi¸c˜ao essencial (Xi)i∈I.
Observac¸˜ao 4.1.14. Um refinamento (X′
i)i∈I de uma decomposi¸c˜ao
essencial (Xi)i∈I para um espa¸co de medida (X, A, µ) tamb´em ´e uma de-
composi¸c˜ao essencial para (X, A, µ). Al´em disso, se (Xi′′)i∈I ´e um refina-
mento de (X′
i)i∈I ent˜ao ´e um refinamento de (Xi)i∈I. De fato, se i, j ∈ I
com i 6= j, ent˜ao µ(Xi′ ∩ X′
j) ≤ µ(Xi ∩ Xj) = 0, i.e., µ(Xi′ ∩ Xj′) = 0.
Note que, para cada i ∈ I, Xi ´e a uni˜ao disjunta de Xi′ e Xi \ Xi′, logo
µ(Xi) = µ(Xi′) + µ(Xi \ Xi′) = µ(Xi′). Portanto 0 < µ(Xi′) < +∞ para
cada i ∈ I. Agora, seja A ∈ A com µ(A) < +∞ e µ(A ∩ X′ i) = 0
para todo i ∈ I. Como µ(A ∩ Xi) = µ(A ∩ Xi′) + µ A ∩ (Xi \ Xi′)
e
4.1. DECOMPOSIC¸ ˜OES ESSENCIAIS E DECOMPOSIC¸ ˜OES 109
µ A ∩ (Xi \ Xi′)
≤ µ(Xi \ Xi′) = 0, segue que µ(A ∩ Xi) = µ(A ∩ Xi′)
para cada i ∈ I. Assim, uma vez que (Xi)i∈I ´e uma decomposi¸c˜ao essencial
para (X, A, µ), temos µ(A) = 0, o que mostra que (X′
i)i∈I tamb´em ´e uma
decomposi¸c˜ao essencial para (X, A, µ). Por fim, para cada i ∈ I, temos Xi′′ ⊂ X′
i ⊂ Xi e µ(Xi\ Xi′′) = µ(Xi\ Xi′) + µ(Xi′ \ Xi′′) = 0; portanto
(Xi′′)i∈I ´e um refinamento de (Xi)i∈I.
Lema 4.1.15. Se um espa¸co de medida (X, A, µ) admite uma decom- posi¸c˜ao (Xi)i∈I ent˜ao toda decomposi¸c˜ao essencial (Yj)j∈J para (X, A, µ) pode ser refinada para uma decomposi¸c˜ao para (X, A, µ).
Demonstrac¸˜ao. Para cada j ∈ J, seja Ij o conjunto
Ij =i ∈ I : µ(Yj∩ Xi) > 0 ,
e para cada i ∈ I, seja Ji o conjunto
Ji =
j ∈ J : µ(Yj ∩ Xi) > 0
.
Pelo Lema 4.1.5 os conjuntos Ij e Ji s˜ao enumer´aveis para todo j ∈ J e todo
i ∈ I. Fixemos j ∈ J e consideremos o conjunto: Yj1= [
i∈Ij
(Yj∩ Xi) ⊂ Yj;
Argumentando como na demonstra¸c˜ao do Corol´ario 4.1.6, conclu´ımos que µ(Yj\ Yj1) = 0 (com as nota¸c˜oes do Corol´ario 4.1.6, para A = Yj, A1= Yj1 e
A0 = Yj\Yj1temos µ(A0) = 0). Portanto a fam´ılia (Yj1)j∈J ´e um refinamento
de (Yj)j∈J. Nosso objetivo agora ´e, a partir de (Yj1)j∈J, obter um novo
refinamento que seja uma decomposi¸c˜ao para o espa¸co (X, A, µ). Afirmamos que, para cada j ∈ J, temos
Ωj def= k ∈ J : Yk1∩ Yj1 6= ∅
⊂ [
i∈Ij
Ji.
Com efeito, fixando j ∈ J, seja k ∈ Ωj. Ent˜ao Yk1∩ Yj1 6= ∅. Uma vez que
Yk1 ⊂Si∈IkXi, Yj1 ⊂
S
i∈IjXi e os conjuntos Xi s˜ao dois a dois disjuntos,
existe i ∈ Ij ∩ Ik. Portanto i ∈ Ij e k ∈ Ji, ou seja, k ∈ Si∈IjJi, e
Ωj ´e enumer´avel. Se Zj ⊂ Yj1 ´e o conjunto Zj = [ k∈J k6=j (Yk1∩ Yj1) ,
ent˜ao, para todo j ∈ J, temos: µ(Zj) = µ [ k∈J k6=j (Yk1∩ Yj1) = µ [ k∈Ωj k6=j (Yk1∩ Yj1) = X k∈Ωj k6=j µ(Yk1∩ Yj1) = 0,
uma vez que µ(Yk1∩ Yj1) ≤ µ(Yk∩ Yj) = 0 para todo k ∈ Ωj\ {j}. Fazendo
Y′
j = Yj1\ Zj temos Yj′ ⊂ Yj1 e µ(Yj1\ Yj′) = µ(Zj) = 0, para cada j ∈ J.
Assim, (Yj′)j∈J ´e um refinamento de (Yj1)j∈J, e portanto um refinamento
de (Yj)j∈J. Como (Yj)j∈J ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para (X, A, µ),
(Yj′)j∈J tamb´em ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para (X, A, µ). Observe que
se k, p ∈ J com k 6= p, ent˜ao Y1
k ∩ Yp1 ⊂ Zp; logo
Yp′ = Yp1\ Zp ⊂ Yp1\ (Yk1∩ Yp1) = Yp1\ Yk1.
Como Yk′ ⊂ Yk1 temos Yk′∩ Yp′ = ∅, ou seja, os conjuntos Yj′ s˜ao dois a dois
disjuntos. Portanto a fam´ılia (Y′
j)j∈J ´e uma decomposi¸c˜ao para (X, A, µ)
que refina a decomposi¸c˜ao essencial (Yj)j∈J.
Proposic¸˜ao 4.1.16. Se (X, A, µ) ´e um espa¸co de medida tal que dim(X, A, µ) ≤ ℵ1 ent˜ao (X, A, µ) admite uma decomposi¸c˜ao .
Demonstrac¸˜ao. Seja (Xi)i∈I uma decomposi¸c˜ao essencial para o es-
pa¸co (X, A, µ). Uma vez que |I| ≤ ℵ1, podemos bem ordenar o conjunto de
´ındices I de modo que, para todo i ∈ I, o segmento inicial j ∈ I : j < i seja enumer´avel. Para cada i ∈ I, seja
Yi = Xi\
[
j<i
(Xi∩ Xj).
ComoSj<i(Xi∩ Xj) ⊂ Xi, segue que
µ(Xi\ Yi) = µ [ j<i (Xi∩ Xj) ≤X j<i µ(Xi∩ Xj) = 0.
Portanto (Yi)i∈I ´e um refinamento de (Xi)i∈I. Observe que os conjuntos Yi
s˜ao dois a dois disjuntos. Com efeito, se i, j s˜ao elementos de I com i 6= j, digamos i < j, temos Yi = Xi\ S
k<i
4.1. DECOMPOSIC¸ ˜OES ESSENCIAIS E DECOMPOSIC¸ ˜OES 111
Yj = Xj\
[
k<j
(Xj∩ Xk) ⊂ Xj \ (Xj ∩ Xi) = Xj\ Xi,
o que mostra que Yi ∩ Yj = ∅. Assim, pela Observa¸c˜ao 4.1.14, a fam´ılia
(Yi)i∈I ´e uma decomposi¸c˜ao para o espa¸co (X, A, µ).
Exemplo 4.1.17. Seja (X, A, µ) o espa¸co de medida perfeita contru´ıdo no Exemplo 2.4.1. Seja F a fam´ılia formada por todas as linhas e todas as colunas de X, ou seja,
F : {x} × C2x∈C1, C1× {y}y∈C2.
Observe que duas linhas distintas de X s˜ao disjuntas e duas colunas distintas de X tamb´em s˜ao disjuntas; al´em disso, para cada x ∈ C1 e y ∈ C2 temos
{x} × C2∩ C1× {y}=(x, y) def= B.
Como a x-´esima coluna de B igual a {y}, a y-´esima linha de B ´e igual a {x}, e as demais linhas e colunas de B s˜ao vazias, segue que µ(B) = 0, e portanto F ´e uma fam´ılia essencialmente disjunta de X. Afirmamos que F ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para X. De fato, para cada x ∈ C1 temos
{x} × C2x′ = C2 se x′ = x ∅ se x′ 6= x,
e portanto µ {x} × C2 = 1. Analogamente temos µ C1× {y} = 1 para
cada y ∈ C2. Assim, 0 < µ(A) < +∞ para todo A ∈ F. Seja agora E ∈ A,
µ(E) < +∞, tal que µ(E ∩ A) = 0 para todo A ∈ F. Fixemos x ∈ C1. Se
µ E ∩ {x} × C2= 0 ent˜ao µx E ∩ {x} × C2= 0; logo a x-´esima coluna
de E ∩ {x} × C2´e enumer´avel. Como a x-´esima coluna de E ∩ {x} × C2
e a x-´esima coluna de E s˜ao iguais, segue que Ex ´e enumer´avel, e portanto
µx(E) = 0. De modo an´alogo temos µy(E) = 0 para cada y ∈ C2. Assim,
µ(E) = X x∈C1 µx(E) + X y∈C2 µy(E) = 0,
o que mostra que F ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para (X, A, µ). Desse modo, conclu´ımos que dim(X, A, µ) = |C1| + |C2| = max|C1|, |C2| . Supo-
nhamos que |C1| = |C2| = ℵ1. Ent˜ao dim(X, A, µ) = ℵ1, e portanto, pela
Proposi¸c˜ao 4.1.16, o espa¸co (X, A, µ) admite uma decomposi¸c˜ao. Vamos exi- bir uma tal decomposi¸c˜ao. Se |C1| = |C2| = ℵ1 ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 2.4.4,
existe um subconjunto R ⊂ X tal que C2 \ Rx e Ry s˜ao enumer´aveis para
todo x ∈ C1 e todo y ∈ C2. Afirmamos que a fam´ılia
G : {x} × Rxx∈C 1, C1\ Ry× {y} y∈C2
´e uma decomposi¸c˜ao para X. Observe que para cada x ∈ C1 e y ∈ C2 temos
{x} × Rx⊂ {x} × C2 e C1\ Ry× {y} ⊂ C1× {y}. Al´em disso, µ {x} × C2\ {x} × Rx = µ {x} × (C2\ Rx) = 0, pois {x} × (C2 \ Rx) ´e enumer´avel, e conseq¨uentemente s˜ao enumer´aveis todas
as suas linhas e colunas. Do mesmo modo C1× {y}\
C1\ Ry× {y}
tem medida nula, e isso mostra que G ´e um refinamento de F. Assim, pela Observa¸c˜ao 4.1.14, G ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para X. Por fim, se (x, y) ∈ {x} × Rx ent˜ao y ∈ Rx, o que implica x ∈ Ry; logo (x, y)
n˜ao est´a em C1 \ Ry × {y}, mostrando que os elementos de G s˜ao dois
a dois disjuntos. Portanto G ´e, de fato, uma decomposi¸c˜ao para (X, A, µ). Veremos na pr´oxima se¸c˜ao resultados (Teorema 4.2.7 e Corol´ario 4.2.8) que nos permitir˜ao concluir que a aplica¸c˜ao de Riesz (1.4.4) de (X, A, µ) ´e uma isometria linear.
4.2. Generalizando o Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz
Proposic¸˜ao4.2.1. Sejam (Xi, Ai, µi)i∈I uma fam´ılia de espa¸cos de me- dida completa tal que 0 < µi(Xi) < +∞ para todo i ∈ I, e (X′, A′, µ′) a sua soma externa Pi∈I(Xi, Ai, µi). Seja ∼ uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em
X′ =P
i∈IXi satisfazendo a seguinte propriedade:
(∗) o conjunto x ∈ Xi : x ∼ y, para algum y ∈ Xj tem medida nula para todo i, j ∈ I com i 6= j; e para todo i ∈ I e todo x, y ∈ Xi temos que x ∼ y se e somente se x = y.
Seja X = Pi∈IXi
/∼ e sejam A e µ respectivamente a σ-´algebra e a medida co-induzidas em X pela aplica¸c˜ao canˆonica q :Pi∈IXi → X. Ent˜ao
(X, A, µ) ´e um espa¸co de medida perfeita, q(Xi)i∈I ´e uma decomposi¸c˜ao essencial para X e q|Xi : Xi → q(Xi) ´e um isomorfismo para todo i ∈ I.
Al´em disso, para p < +∞, a aplica¸c˜ao
Φ : Lp(X, A, µ) ∋ f 7−→ f ◦ q ∈ Lp Pi∈I(Xi, Ai, µi)
, induzida por q em Lp, ´e uma isometria linear.