Generalizações do teorema de representação de Riesz

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Generaliza¸

c˜

oes do teorema de

representa¸

c˜

ao de Riesz

Cesar Adriano Batista

D_ISSERTAC_{¸ ˜}_{AO APRESENTADA} AO

I_{NSTITUTO DE}M_{ATEM ´}_{ATICA E}E_STAT´ISTICA DA

U_{NIVERSIDADE DE} S˜_AO P_AULO PARA

OBTENÇ ÃO DO TÍTULO DE

M_{ESTRE EM} C_Iˆ_ENCIAS

Programa: Matem´atica

Orientador: Prof. Dr. Daniel Victor Tausk

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro do CNPq

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Generaliza¸

c˜

oes do teorema de

representa¸

c˜

ao de Riesz

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da disserta¸cão devidamente corrigida e defendida por Cesar Adriano Batista e aprovada pela Comissão Julgadora.

Banca examinadora:

• Prof. Dr. Daniel Victor Tausk IME - USP

• Prof. Dr. Luiz Fichmann IME - USP

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Agradecimentos

Agrade¸co a todos que de algum modo contribu´ıram para a concretiza¸c˜ao deste trabalho, em especial:

Aos meus amigos Bárbara, Carol, Gustavo, Natália, Rodrigo, S´ılvia e Zé, entre tantas coisas, pelo apoio, amizade, inspira¸cão e presen¸ca em momentos felizes e também em outros não tão felizes.

Aos meus colegas do IME Armando, Danilo, Dilene, Flausino, Héctor, Josnei, Lorena, Mariana, Nazar, Núbia, Oscar, Pedro, Priscila, Renato, Ro-drigo Ferraz, RoRo-drigo Freire, Samir, Sandra, Sávio e Tatiane, entre outros, pelo conv´ıvio, pelas intera¸cões acadêmicas, pelas batalhas compartilhadas e pelo respeito constante.

Aos professores Alfredo Aragona, Cesar Polcino, Daniela Mariz, Elói Medina, Iole Druck, Juan Carlos Fernandez, Leila Figueiredo, Lúcia Jun-queira, Luiz Peresi, Marcos Alexandrino, Cristina Barufi, Rosa Maria, Roseli Fernandez, Vera Carrara e Zara Abud, pela coopera¸cão direta ou indireta na realiza¸cão deste projeto.

Pela forma sempre atenciosa com que fui atendido, e por seu fundamental trabalho de “bastidores”, aos funcionários Alessandra, Emerson, Marilucia e Pinho, da secretaria de pós-gradua¸cão, Francisca e Rose, da secretária de gradua¸cão, Carlos, Cláudio, Creusa, Max e Rafael, da gráfica, dona Jovita e dona Dalvina, da Copa, Francisca e Paulo, dos servi¸cos gerais, Gislaine, dona Jeane e Xavier, do CEC, Feijão e Sérgio, da se¸cão de informática, Beth e Célia, da biblioteca.

Ao CNPq pelo financiamento parcial deste trabalho.

Aos professores Luiz Fichmann e Pedro Malagutti por gentilmente acei-tarem compor a banca e pelas valiosas sugest˜oes que ajudaram a melhorar esta disserta¸c˜ao.

Ao meu orientador, professor Daniel Victor Tausk, por sua disponibili-dade e paciência infinitas, pelas inúmeras sugestões sem as quais este tra-balho certamente perderia em qualidade, e principalmente por ter aceitado novamente a tarefa nada fácil de orientar este “filho pródigo”.

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A minha namorada, Ra´ıssa, por seu amor, carinho, amizade, dedica¸cão, compreensão e por estar ao meu lado em todos os momentos, inclusive naque-les mais dif´ıceis e quase insuportáveis.

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Resumo

Dados um espa¸co de medida (X,A, µ) e n´umeros reaisp, q∈]1,+∞[ com

1

p +1q = 1, oTeorema de Representa¸c˜ao de Riesz afirma que L

q₍_X,_A_{, µ}_{) é} o dual topológico de Lp₍_X,_A_{, µ}_{) e que} _L∞₍_X,_A_{, µ}_{) é o dual topológico de} L1₍_X,_A_{, µ}_{) se o espa¸co (}_X,_A_{, µ}_{) for} _σ_{-finito. Observamos que a} _σ_-finitude

de (X,A, µ) é condi¸cão suficiente mas não necessária para queL∞(X,A, µ) seja o dual de L1₍_X,_A_{, µ}_{). Os contra-exemplos tipicamente apresentados}

paraL∞(X,A, µ)=∼L1(X,A, µ)∗ são “triviais”, no sentido de que desapare-cem se “consertarmos” a medidaµ, transformando-a numa medidaperfeita. Neste trabalho apresentamos condi¸cões suficientes mais fracas queσ-finitude a fim de que L∞(X,A, µ) e L1(X,A, µ)∗ possam ser isometricamente iden-tificados. Além disso, introduzimos um invariante cardinal para espa¸cos de medida que chamaremos a dimensão do espa¸co e mostramos que se o espa¸co (X,A, µ) for de medida perfeita e tiver dimensão menor ou igual à cardinalidade docontinuum então uma condi¸cão necessária e suficiente para

L∞(X,A, µ)∼=L1(X,A, µ)∗ ´e que X admita uma decomposi¸c˜ao.

Abstract

Given a measure space (X,A, µ) and real numbers p, q ∈]1,+∞[ with

1

p +

1

q = 1, the Riesz Representation Theorem states that L

q₍_X,_A_{, µ}_{) is} the topological dual space ofLp₍_X,_A_{, µ}_{) and that}_L∞₍_X,_A_{, µ}_{) is the}

topo-logical dual space of L1₍_X,_A_{, µ}_{) if (}_X,_A_{, µ}_{) is} _σ_{-finite. We observe that}

the σ-finiteness of (X,A, µ) is a sufficient but not necessary condition for

L∞(X,A, µ) to be the dual of L1(X,A, µ). The counter-examples that are typically presented forL∞₍_X,_A_{, µ}₎₌_∼_L1₍_X,_A_{, µ}₎∗_{are “trivial”, in the sense}

that they vanish if we fix the measureµ, making it into aperfectmeasure. In this work we present sufficient conditions weaker than σ-finiteness in order that L∞(X,A, µ) and L1(X,A, µ)∗ can be isometrically identified. More-over, we introduce a cardinal invariant for measure spaces which we call the

dimension of the space and we show that if the space (X,A, µ) has perfect measure and dimension less than or equal to the cardinal of thecontinuum

then a necessary and sufficient condition forL∞₍_X,_A_{, µ}₎₌∼_L1₍_X,_A_{, µ}₎∗ _is

(10)

(11)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao xiii

Cap´ıtulo 1. Preliminares 1

1.1. Tópicos de Teoria dos Conjuntos 1 1.2. Um M´ınimo de Álgebra Linear e Espa¸cos Métricos 8 1.3. Tópicos de Análise Funcional 11

1.4. T´opicos de Teoria da Medida 19

Cap´ıtulo 2. Espa¸cos de medida perfeita 55

2.1. Medidas livres de blocos 55

2.2. Medidas cheias 68

2.3. Medidas perfeitas 76

2.4. Um contra-exemplo n˜ao trivial para a bijetividade da Aplica¸c˜ao

de Riesz 81

Cap´ıtulo 3. Somas 87

3.1. Soma externa 87

3.2. Norma e Soma direta de tipoLp ₉₀ Cap´ıtulo 4. Decomposi¸c˜ao de um espa¸co de medida e o Teorema de

Riesz 101

4.1. Decomposi¸cões essenciais e decomposi¸cões 101 4.2. Generalizando o Teorema de Representa¸cão de Riesz 112

Referˆencias Bibliogr´aficas 125

(12)

(13)

Introdu¸

c˜

ao

Os principais resultados e exemplos deste trabalho estão baseados em no-tas não publicadas do Prof. Daniel Victor Tausk, do Instituto de Matemática e Estat´ıstica da USP. Em [10], [19], [20], [22], [23] e [25] podemos encon-trar, em linguagem completamente diferente, resultados similares àqueles obtidos (de modo independente) pelo professor Tausk.

Seja (X,A, µ) um espa¸co de medida, i.e., X ´e um conjunto, A ´e uma

σ-álgebra de subconjuntos de X e µ : A →[0,+∞] é uma medida. Dada uma fun¸cão mensurávelf :X→R_e _p_∈_[1_,₊_∞_{[ definimos:}

kfkp =

Z

X

|f|pdµ

1

p

∈[0,+∞], e

kfk_∞= infc∈[0,+∞] :|f| ≤c, µ-quase sempre ∈[0,+∞].

Denotando por M(X,A) o espa¸co vetorial real das fun¸cões mensuráveis a valores reais sobre X e por M(X,A, µ) o quociente de M(X,A) pelo subespa¸co das aplica¸cões que se anulamµ-quase sempre, Lp(X,A, µ) deno-tará, como é usual, o subespa¸co de M(X,A, µ) consistindo das classes de aplica¸cõesfcomkfkp <+∞. Por abuso de linguagem (muito comum), dire-mos quef está emLp₍_X,_A_{, µ}_{) significando que a classe de aplica¸cões iguais} a f µ-qs está em Lp(X,A, µ). O espa¸co vetorial Lp(X,A, µ) torna-se uma espa¸co de Banach quando munido com a normak · kp. Dadosp, q∈]1,+∞[ com 1_p +1_q = 1 então o bem conhecido Teorema de Representa¸cão de Riesz

afirma que a (q, p)-aplica¸c˜ao de Riesz,

Lq(X,A, µ)∋g7−→αg∈Lp(X,A, µ)∗,

αg(f) =

Z

X

f gdµ, f ∈Lp(X,A, µ),

´e uma isometria linear, em queLp₍_X,_A_{, µ}₎∗_{denota o espa¸co dual topol´ogico}

de Lp₍_X,_A_{, µ}_{). Se} _q _{= 1 e} _p _{= +}_∞ _{então a (}_{q, p}_{)-aplica¸cão de Riesz} é uma imersão isométrica mas não é sobrejetora até mesmo para espa¸cos

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de medida (X,A, µ) razoavelmente simples. Se, por outro lado, q = +∞

e p = 1 então sabemos que a (q, p)-aplica¸cão de Riesz é uma isometria linear se (X,A, µ) éσ-finito, i.e., seXpode ser coberto por uma quantidade enumerável de subconjuntos mensuráveis de medida finita. Neste trabalho estamos preocupados em estudar condi¸cões gerais sobre o espa¸co de medida (X,A, µ) mediante as quais aaplica¸cão de Riesz,

(1) L∞(X,A, µ)∋g7−→αg ∈L1(X,A, µ)∗,

com αg definido como acima, é uma isometria linear. Observe que se X é um conjunto arbitrário, A=P(X) é a σ-álgebra de todos os subconjuntos de X e µ é a medida de contagem (µ(A) = número de elementos de A), então a aplica¸cão de Riesz (1) é uma isometria; entretanto, se X é não enumerável então (X,A, µ) não é σ-finito. Portanto, σ-finitude do espa¸co de medida não é condi¸cão necessária para a aplica¸cão de Riesz ser uma isometria. Em [21] é apresentada uma condi¸cão suficiente mais fraca que

σ-finitude (e satisfeita por medidas de contagem) para a aplica¸cão de Riesz ser uma isometria. A condi¸cão é que o espa¸coX admita uma decomposi¸cão; em [21] um decomposi¸cão para X é uma parti¸cão X = S_i_∈_IXi de X em subconjuntos mensuráveisXi, dois a dois disjuntos, com µ(Xi)<+∞ para todo i∈I, satisfazendo a seguinte propriedade: seA é um subconjunto de

X comA∩Xi ∈ A e µ(A∩Xi) = 0 para todo i∈I entãoAé mensurável e µ(A) = 0. Por exemplo, se A=P(X) e µé a medida de contagem então

X=S_x_∈_X{x}´e uma decomposi¸c˜ao paraX. ´

(15)

INTRODUC¸ ˜AO xv

mostramos que tentar isolar os blocos infinitos não é a melhor estratégia para nos livrarmos deles. Procuramos então consertar a medidaµdo espa¸co (X,A, µ) criando uma versão livre de blocos para ela. Num segundo mo-mento vemos, através do Exemplo 2.2.2, que a σ-álgebra A do espa¸co de medida (X,A, µ) pode não ser suficientemente “grande” para tornar men-suráveis as aplica¸cões necessárias para que a aplica¸cão de Riesz (1) seja sobrejetora; constru´ımos o conceito de medidacheia na tentativa de corrigir essa deficiência. Uma medida perfeita será definida como uma medida que é simultaneamente completa, cheia e livre de blocos. Para espa¸cos de me-dida perfeita são “melhores” as chances da aplica¸cão de Riesz (1) ser uma isometria mas, infelizmente, não necessariamente é esse o caso. Um contra-exemplo não trivial (ou seja, que está livre dos obstáculos “ingênuos” para a bijetividade da aplica¸cão de Riesz) é oferecido para evidenciar esse fato. Diante disso, dado um espa¸co de medida (X,A, µ), nossa aten¸cão e esfor¸co volta-se para oferecer uma no¸cão de decomposi¸cão (ligeiramente diferente daquele apresentada em [21]), de tal modo que para espa¸cos de medida per-feita que admitam uma decomposi¸cão tenhamos que a aplica¸cão de Riesz (1) seja uma isometria.

Veremos no Cap´ıtulo 4 que uma fam´ılia essencialmente disjunta de (X,A, µ) ´e uma fam´ılia (Xi)i∈I de subconjuntos mensur´aveis deX tal que

µ(Xi ∩Xj) = 0 para todo i, j ∈ I com i 6= j. Definimos uma

decom-posi¸cão essencial para (X,A, µ) como uma fam´ılia essencialmente disjunta (Xi)i∈I tal que cada Xi tem medida positiva finita, e se A⊂X é um con-junto mensurável de medida finita e µ(A∩Xi) = 0 para todo i∈I, então

µ(A) = 0. Uma decomposi¸cão para (X,A, µ) será definida como uma de-composi¸cão essencial (Xi)i∈I para X na qual os conjuntos Xi são dois a dois disjuntos. Mostraremos que todo espa¸co de medida (X,A, µ) admite uma decomposi¸cão essencial e que se µlb(X) = +∞ (µlb a versão livre de

(16)

Riesz (1) é uma isometria linear, e por fim mostramos que para espa¸cos de medida perfeita de dimensão menor ou igual à cardinalidade docontinuum, sua aplica¸cão de Riesz (1) é uma isometria linear se e somente se o espa¸co admite uma decomposi¸cão.

No Cap´ıtulo 3 estudamos assomas externas e definimos os conceitos de

norma de tipo-Lp _e_{soma de tipo-}_Lp_{para uma fam´ılia de espa¸cos de Banach.} Mostramos que para uma fam´ılia (Xi,Ai, µi)i∈I de espa¸cos de medida per-feita a sua soma externa também tem medida perper-feita. Evidenciamos e provamos certas isometrias entre somas de tipo-Lp _{e soma externa que serão} essenciais para mostrar a comutatividade do diagrama (4.2.3), fundamen-tal para provar os resultados mencionados no parágrafo anterior sobre a aplica¸cão de Riesz.

No Cap´ıtulo 1 estabelecemos as principais defini¸cões, nota¸cões e resulta-dos sobreteoria dos conjuntos, álgebra linear, espa¸cos métricos, análise fun-cional e teoria da medida que serão utilizados ao longo dos demais cap´ıtulos. Não pretendemos, obviamente, esgotar tais assuntos, mas somente destacar algumas no¸cões diretamente relacionadas ao problema a ser estudado. Desse modo, não necessariamente ocorre uma transi¸cão “suave” de uma no¸cão para outra. Demonstramos boa parte dos resultados, sobretudo na Se¸cão 1.4 (tópicos de teoria da medida); para outra boa parte deles omite-se inten-cionalmente sua demonstra¸cão sem nenhuma referência espec´ıfica, como é o caso dos resultados da Se¸cão 1.1 (tópicos de teoria dos conjuntos); e para o restante dos resultados omitimos sua demonstra¸cão, mas oferece-mos uma referência bibliográfica para ela, como por exemplo oTeorema de Representa¸cão de Riesz da Se¸cão 1.4. Todos os espa¸cos vetoriais que figu-ram neste trabalho são reais, ou seja, R _{é o corpo de escalares. Por esse}

(17)

INTRODUC¸ ˜AO xvii

pode ser deixada para o momento em que a elas for feita referência. Cer-tamente existem outras defini¸cões e resultados que caberiam nesse primeiro cap´ıtulo (como por exemplo outras caracteriza¸cões de conjunto Lebesgue mensurável de R_{), e alguns que ali est˜}_{ao poderiam ser suprimidos; no}

en-tanto, acreditamos que nossa escolha, se não perfeita, ajudará o leitor a compreender melhor o conteúdo dos cap´ıtulos seguintes.

(18)

(19)

“O valor de praticar com rigor, por algum tempo, uma ciência rigorosa não está pro-priamente em seus resultados: pois eles sempre serão uma gota ´ınfima, ante o mar das coisas dignas de saber. Mas isso pro-duz um aumento de energia, de capacidade dedutiva, de tenacidade; aprende-se a al-can¸car um fim de modo pertinente. Neste sentido é valioso, em vista de tudo o que se fará depois, ter sido homem de ciência.”

(20)

(21)

CAP´ıTULO 1

Preliminares

1.1. T´opicos de Teoria dos Conjuntos

Uma compreensão correta sobre números ordinais e números cardinais é o nosso objetivo nesta se¸cão. Todas as defini¸cões e resultados são estabele-cidos sobre a axiomática ZFC (Zermelo-Fraenkel e o axioma da Escolha). Come¸camos com a seguinte:

Definição 1.1.1. SejamAum conjunto eRuma rela¸cão binária emA. A rela¸cãoR é chamada de:

(a) reflexiva em A seaRapara todoa∈A;

(b) sim´etrica em Ase para todo a, b∈A,aRbimplica bRa;

(c) antissim´etrica em A se para todo a, b ∈ A, se aRb e bRa ent˜ao

a=b;

(d) assimétrica emAse para todoa, b∈A, seaRbentão não valebRa, i.e., aRb e bRanão valem simultaneamente;

(e) transitiva em Ase para todo a, b, c∈A, seaRb e bRcentãoaRc; (f) uma rela¸cão de equivalência em A se R é reflexiva, simétrica e

transitiva em A;

(g) uma rela¸cão de ordem (parcial)emAseRé reflexiva, antissimétrica e transitiva em A;

(h) uma rela¸cão de ordem estrita emA seR é assimétrica e transitiva em A.

Dada uma rela¸cão de ordem R em um conjuntoA, a rela¸cão bináriaS, definida em A por aSb se e somente se aRb e a 6= b, é uma (rela¸cão de) ordem estrita em A. Por outro lado, dada uma rela¸cão de ordem estrita S

em um conjuntoA, a rela¸cão bináriaR, definida emAporaRbse e somente seaSbou a=b, é uma (rela¸cão de) ordem emA.

(22)

Como é usual, denotaremos por ∼ uma rela¸cão de equivalência. Em geral, uma ordem será denotada por ≤ ou , e uma ordem estrita por

<ou ≺.

Definição 1.1.2. Dado um conjunto A, uma rela¸cão de ordem ≤ (ou ordem estrita <) é chamada de linear ou total se dois elementos quaisquer de A são comparáveis, ou seja, para todo a, b ∈ A temos a ≤ b ou b ≤ a

(a < bou b < a).

Definição 1.1.3. Um conjunto (parcialmente) ordenado é um par (A,≤), no qual A é um conjunto e ≤ é uma ordem em A; se ≤ é uma ordem total em A, dizemos que o par (A,≤) é um conjunto totalmente (ou

linearmente) ordenado.

Dados um conjuntoAe uma ordem estrita <emA, diremos, por abuso de linguagem, que o par (A, <) ´e um conjunto ordenado (totalmente orde-nado, se a ordem < for total); nesse caso fica subentendido que < est´a no lugar de ≤.

Observação1.1.4. EscreveremosA⊂B quandoAfor um subconjunto de B; seA ⊂ B e A =6 B, diremos que A é um subconjunto próprio de B. Dados dois conjuntosA e B,B\A denotará a diferen¸ca entre B e A (i.e., o conjunto dos elementos de B que não estão em A), e num contexto em que estiver subentendido algum “conjunto universo” X, se A ⊂X então a diferen¸caX\Aé chamada decomplementar deA emX e denotada porAc_. Definição 1.1.5. Seja (A,≤) um conjunto ordenado. Um subconjunto

B ⊂Aé umacadeiaemAse quaisquer dois elementos deBsão comparáveis. Definição 1.1.6. Sejam (A,≤) um conjunto ordenado, B um subcon-junto não vazio de A e b um elemento de A. Dizemos que, com respeito à ordem≤:

(a) bé o elemento m´ınimo de B seb∈B e b≤x para todox∈B; (b) bé um elementominimal de B seb∈B e não existex∈B tal que

x6=be x≤b;

(c) bé o elemento máximo deB seb∈B e x≤bpara todox∈B; (d) b é um elemento maximal de B se b ∈ B e não existe x ∈ B tal

(23)

1.1. T ´OPICOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS 3

(e) b´e um limite inferior deB seb≤x para todox∈B;

(f) b é o´ınfimo de B nota¸cão: inf(B) sebé o maior limite inferior de B;

(g) b´e um limite superior de B sex≤b para todox∈B;

(h) b é o supremo de B nota¸cão: sup(B) se b é o menor limite superior de B.

Lema 1.1.7 (de Zorn). Se toda cadeia em um conjunto parcialmente ordenado (A,≤) tem um limite superior, ent˜ao o conjunto A admite um elemento maximal.

Definição 1.1.8. Um isomorfismo entre dois conjuntos ordenados (P, <) e (Q,≺) é uma bije¸cão h : P → Q tal que, para todo a, b ∈ P,

a < b se e somente se h(a)≺h(b). Se existe um isomorfismo entre (P, <) e (Q,≺) n´os dizemos que (P, <) e (Q,≺) s˜aoisomorfos.

Não é dif´ıcil mostrar que se (P, <) e (Q,≺) são conjuntos totalmente ordenados e h : P → Q é uma bije¸cão tal que, para todo a, b ∈ P, a < b

implicah(a)≺h(b), então h é um isomorfismo entre (P, <) e (Q,≺). Definição 1.1.9. Dado um conjuntox, osucessor dexé definido como o conjunto S(x) =x∪ {x}. O sucessor de x também é denotado porx+ 1.

Definição 1.1.10. Um conjunto I é chamado indutivo quando (a) ∅ ∈I;

(b) se n∈I ent˜aoS(n)∈I.

O axioma do infinito da teoria axiomática ZFC garante a existência de um conjunto indutivo. Isso nos permite estabelecer a seguinte defini¸cão:

Definição 1.1.11. O conjunto dosnúmeros naturais, denotado por ω, é por defini¸cão a interseçcão de todos os conjuntos indutivos (ou seja,ω é o menor dos conjuntos indutivos).

(24)

Como ´e usual: 0def= ∅,

1def= S(0) = 0∪ {0}={0},

2def= S(1) = 1∪ {1}={0,1},

3def= S(2) = 2∪ {2}={0,1,2},

.. .

S(n) =n∪ {n}={0,1,2, . . . , n}, para todo n∈ω,

e escrevemos ω ={0,1,2,3, . . .}. A rela¸cão binária ∈ no conjunto ω é uma ordem estrita total e é a ordem usual em ω.

Definição 1.1.12. Uma ordem total <em um conjunto A é chamada uma boa ordem se cada subconjunto não vazio de A tem um elemento m´ınimo. Se < é uma boa ordem em A então o par (A, <) é chamado de conjuntobem ordenado.

´

E poss´ıvel mostrar que a ordem ∈ dos naturais ´e uma boa ordem, e portanto (ω,∈) ´e um conjunto bem ordenado.

Definição 1.1.13. Seja (W, <) um conjunto totalmente ordenado. Um subconjunto S ⊂W é chamado de um segmento inicial de W se é próprio (i.e.,S 6=W) e se para cadaa∈S todo x < aé também elemento deS.

Definição 1.1.14. Dois conjuntosA eB são chamados deequipotentes

se existe uma bije¸c˜ao deA emB.

Definição 1.1.15. Um conjunto A é finito se é equipotente a algum

n∈ω (nesse caso dizemos que A tem nelementos),infinito se não é finito, e enumerável se é finito ou equipotente aω.

Definição 1.1.16. Um conjunto T é chamado de transitivo se cada elemento deT é um subconjunto de T.

Todo n´umero natural ´e um conjunto transitivo. De fato, se n ∈ ω e

p∈m∈nent˜aop∈n, o que mostra quem⊂n.

(25)

Definição 1.1.18. Dados dois números ordinaisα eβ, definimosα < β

se e somente seα∈β. Proposic¸˜ao 1.1.19.

(a) 0 =∅ ´e um n´umero ordinal;

(b) se α é um ordinal eβ ∈α entãoβ é um ordinal;

(c) para quaisquer ordinais α e β, α ⊂ β se somente se α ∈ β ou α =β;

(d) se α eβ s˜ao dois ordinais ent˜ao, α≤β se e somente seα⊂β.

Corol´ario 1.1.20.

(a) Se α,β e γ s˜ao ordinais tais queα < β eβ < γ ent˜ao α < γ;

(b) se α, β são ordinais então α < β e β < α não valem simultanea-mente;

(c) dados ordinais α eβ, ou α < β ou α =β ou β < α;

(d) cada conjunto não vazio de números ordinais tem um elemento m´ınimo com respeito à ordem <;

(e) para cada ordinal α, α={β:β < α};

(f) se C é um conjunto1 não vazio de números ordinais eα=T_β_∈_Cβ, entãoα é um ordinal e α é o elemento m´ınimo de C;

(g) se C é um conjunto não vazio de números ordinais eα=S_β_∈_Cβ, entãoα é um ordinal e α= sup(C);

(h) para cada ordinal α, α+ 1´e um ordinal e α+ 1 = inf{β :α < β};

(i) para cada conjunto de ordinais C existe um ordinal α /∈C.

Dos itens (a) da Proposi¸cão 1.1.19 e (h) do Corolário 1.1.20 conclu´ımos que todo número natural é um número ordinal; na verdade é poss´ıvel mostrar que os naturais são exatamente os ordinais finitos. Assim, pelo item (g) do Corolário 1.1.20, o conjunto ω também é número ordinal; mais do que isso,

ω ´e o primeiro ordinal enumer´avel infinito.

Definição1.1.21. Um número ordinalαé chamado um ordinalsucessor

se α=β+ 1 para algum ordinal β, caso contr´ario α ´e chamado de ordinal

limite.

1_{Na verdade, dada uma propriedade}_ϕ₍_x_{) satisfeita por pelo menos um ordinal, ent˜}_ao

(26)

Seα é um ordinal limite entãoα= sup{β :β < α}=S_β_∈_αβ; o natural 0 será considerado um ordinal limite e 0 = sup(∅).

Teorema 1.1.22. Todo conjunto bem ordenado é isomorfo a um único número ordinal.

Definição 1.1.23. Se (A, <) é um conjunto bem ordenado definimos o

tipo (de ordem) de (A, <), denotado por tipo(A, <), como o ´unico ordinal isomorfo a (A, <).

Definição1.1.24. Um número ordinalαé chamado denúmero cardinal

(ou apenas, cardinal) se não existe β < α tal queαé equipotente a β. Todo conjunto infinito pode ser bem ordenado de muitas maneiras di-ferentes, e embora cada conjunto bem ordenado seja isomorfo a um único número ordinal, ele pode ser equipotente a infinitos números ordinais, por exemplo, um conjunto enumerável infinito é equipotente a ω, a ω + 1, a

ω+2, etc. Dada uma propriedadeϕ(x) satisfeita por pelo menos um n´umero ordinal, sabemos que existe o menor ordinal que a satisfaz. Essas observa¸c˜oes possibilitam-nos estabelecer a seguinte:

Definição 1.1.25. Seja (A, <) um conjunto bem ordenado. A cardi-nalidade de A, denotada por |A| (ou card(A)), é o menor número ordinal equipotente aA.

Proposic¸˜ao 1.1.26.

(a) Se κ ´e um cardinal ent˜ao κ= card(κ);

(b) |A|´e um n´umero cardinal para todo conjunto A;

(c) dados dois conjuntos X eY, |X| ≤ |Y|se e somente se existe uma fun¸c˜ao injetoraf :X→Y;

(d) dados dois conjuntos X e Y, X 6= ∅, |X| ≤ |Y| se e somente se existe um fun¸c˜ao sobrejetorag:Y →X.

Observação 1.1.27. Se A e B são dois conjuntos então o conjunto de todas as fun¸cões de A emB será denotado porBA.

Proposic¸˜ao 1.1.28. Dados dois conjuntos A eB, definimos:

(a) |A|+|B|= A× {0}∪ B× {1};

(27)

(c) |A||B|₌_AB_.

Teorema1.1.29 (Cantor). Para todo conjuntoX temos |X|<|P(X)|.

Teorema 1.1.30. |P(X)|= 2|X| _{para todo conjunto}_X_.

Teorema 1.1.31. |R_|=|P(ω)|

Note que todo número natural é um cardinal e ω é o menor número cardinal infinito. Observamos ainda que todo cardinal infinito é um ordinal limite, e os números ordinais infinitos que são cardinais são chamados de

alephs(ℵ). Através da Proposi¸cão 1.1.32 a seguir e do princ´ıpio de recursão transfinita (vide [16]), podemos a cada número ordinal α associar um car-dinal ℵα, obtendo assim uma seqüência (indexada pelos ordinais) de todos osalephs.

Proposic¸˜ao 1.1.32.

(a) Para cada cardinal κ existe um n´umero cardinal maior do que κ;

(b) se X é um conjunto de cardinais então sup(X) é um número car-dinal.

Para cada cardinal κ, o sucessor cardinal de κ, denotado por κ+_{, ´e o}

menor n´umero cardinal maior doκ.

Definição 1.1.33. Sejaα um número ordinal. Definimos:

        

ℵ0 =ω;

ℵα+1 =ℵα+;

ℵα= sup{ℵβ :β < α}=Sβ<αℵβ, se α´e um ordinal limite.

Em que claramenteℵα+1´e um sucessor cardinal, eℵα´e um dito um cardinal

limite seα ´e um ordinal limite.

Teorema 1.1.34. Se α e β são números ordinais e n é um número natural então:

(a) n+ℵα =n· ℵα=ℵα;

(b) ℵα+ℵβ =ℵα· ℵβ = max{ℵα,ℵβ}.

(28)

um único ordinal α tal que κ = ℵα. Se α e β são números ordinais com

α < β então ℵα < ℵβ, i.e., a seqüência de todos os alephs é crescente. Observamos que, conforme defini¸cão anterior, um conjunto enumerável é um conjunto cuja cardinalidade (ou cujo número cardinal) é menor ou igual a ℵ0; além disso ℵ0 é o menor cardinal infinito enumerável e ℵ1 é o menor

cardinal infinito não enumerável. Como conseqüência dos Teoremas 1.1.29 e 1.1.30 temos que κ < 2κ _{para todo n´}_{umero cardinal} _κ_{, e portanto, dos} Teoremas 1.1.30 e 1.1.31 conclu´ımos que |R_| ₌ _|P₍_ω₎_| _{= 2}|ω| _{= 2}ℵ0 _> _ℵ0_.

O n´umero cardinal 2ℵ0 _{´e chamado de a} _{cardinalidade do continuum} _{(ou o}

n´umero cardinal de R_{), e a conhecida} _Hip´_{otese do Continuum} _{afirma que}

2ℵ0 ₌ _ℵ1_{. A conjectura 2}ℵα ₌ _ℵ

α+1, para todo ordinal α, é chamada de Hipótese do Continuum Generalizada (GCH)2, e assim como a Hipótese do Continuum, GCH é independente dos axiomas de ZFC, ou seja, GCH não pode ser provada nem refutada a partir dos axiomas de ZFC.

1.2. Um M´ınimo de ´Algebra Linear e Espa¸cos M´etricos

Dados um espa¸co vetorial V e um subespa¸co W ⊂ V, a rela¸cão ∼ , definida por u ∼ v se u−v ∈ W, para cada u, v ∈ V, é uma rela¸cão de equivalência emV. Para um vetoru∈V, indicamos por [u] a sua classe de equivalência. O conjunto

V /W =V /∼ =[u] :u∈V ,

munido com as opera¸c˜oes:

(i) [u] + [v] = [u+v], para todou, v∈V e (ii) λ[u] = [λu], para todoλ∈R_{, e todo}_u_∈_V_,

´e um espa¸co vetorial sobreR_{, chamado de}_{espa¸co quociente}_{, cujo vetor nulo}

´e o subespa¸coW.

Para espa¸cos vetoriais U e V denotamos por L(U, V) o conjunto de todas as transforma¸cões lineares de U em V. L(U, V) é um subespa¸co do espa¸co vetorial de todas as fun¸cões deU emV. Umfuncional linear é uma transforma¸cão linear f :U → R_{, e o espa¸co vetorial L(}_U,R_{), indicado por}

U∗, ´e chamado de espa¸co dual alg´ebrico deU.

(29)

1.2. UM MÍNIMO DE ÁLGEBRA LINEAR E ESPAÇ OS MÉTRICOS 9

Definic¸˜ao 1.2.1. Sejam U e V espa¸cos vetoriais sobreR _e _T _:_U _→_V

uma transforma¸cão linear. A transforma¸cão linear T∗ : V∗ → U∗ dada por T∗₍_g₎₍_u_{) =} _{g T}₍_u₎_{, para todo} _g _∈ _V∗ _{e todo} _u _∈ _U_{, é chamada de} transposta de T.

Proposic¸˜ao1.2.2. SejamU eV espa¸cos vetoriais sobreR_e_T _:_U _→_V

uma transforma¸c˜ao linear. Se Uo eVo s˜ao subespa¸cos de U eV

respectiva-mente, com T(Uo) ⊂Vo, então a aplica¸cão Φ :U/Uo → V /Vo, definida por Φ [u]=T(u), é linear. Dizemos que Φé a aplica¸cão linear induzidapor T emU/Uo, ou simplesmente queT induz Φ.

Demonstrac¸˜ao.

• Φ est´a bem definida.

Sejam u e v elementos arbitr´arios deU. Se [u] = [v] ent˜ao u−v∈Uo, e portanto T(u−v) ∈ T(Uo) ⊂ Vo, ou seja, T(u)−T(v) ∈ Vo; logo

T(u)=T(v), isto ´e, Φ [u]= Φ [v].

• Φ ´e linear.

Se [u],[v]∈U/Uo e αé um número real, então:

Φ α[u] + [v]= Φ [α u+v] =T(α u+v)=α T(u) +T(v)

=αT(u)+T(v)=αΦ [u]+ Φ [v]. Com esta proposi¸cão finalizamos as idéias a respeito de álgebra linear que quer´ıamos destacar. A partir da próxima defini¸cão, até o fim da se¸cão, colocamos em foco algumas no¸cões sobre espa¸cos métricos.

Definição 1.2.3. Uma métrica em um conjunto M é uma fun¸cão

d : M ×M → R _{tal que para quaisquer} _{x, y, z} _∈ _M _{temos satisfeitas as}

seguintes condi¸c˜oes: (a) d(x, y)≥0 ;

(b) d(x, y) = 0 se e somente sex=y; (c) d(x, y) =d(y, x);

(d) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y).

(30)

Definição 1.2.5. SejaE um espa¸co vetorial real. Uma norma emE é uma aplica¸cão k · k:E →R _{que associa a cada vetor}_x _∈_E _{o n´}_{umero real}

kxk, chamado de a norma de x, de modo que, para quaisquer x, y ∈ E e

λ∈R_{, sejam satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:}

(a) kxk ≥0 ;

(b) kxk= 0 se e somente sex= 0 ; (c) kλ xk=|λ| kxk;

(d) kx+yk ≤ kxk+kyk.

Definição 1.2.6. Umespa¸co vetorial real normado é um par E,k · k, no qual E é um espa¸co vetorial sobreR_e _{k · k}_{é uma norma em} _E_.

Todo espa¸co vetorial normado E,k · k torna-se de modo natural um espa¸co métrico (E, d), fazendo d(x, y) = kx−yk, para todo x, y ∈ E; a aplica¸cão d é uma métrica em E dita proveniente da (ou associada à, ou determinada pela) normak · k. Assim, para um espa¸co normado, entendere-mos sempre que o espa¸co métrico correspondente está munido com a métrica proveniente da norma.

Definição 1.2.7. Sejam (M, dM) e (N, dN) dois espa¸cos métricos. Uma aplica¸cão f :M →N chama-se uma imersão isométrica quando

dN f(x), f(y)

=dM(x, y)

para quaisquer x, y ∈ M. Neste caso, dizemos tamb´em que f preserva distˆancia.

Observamos que uma imersão isométricaf :M →N é sempre injetora, uma vez que, para quaisquer x, y ∈ M satisfazendo f(x) = f(y), temos

dM(x, y) =dN f(x), f(y)

= 0, e conseq¨uentementex=y.

Definição 1.2.8. Sejam (M, dM) e (N, dN) espa¸cos métricos. Uma imersão isométricaf :M →N sobrejetora é chamada de uma isometria.

Note que toda imersão isométricaf :M →N define uma isometria de M sobre o subespa¸co métricof(M)⊂N. Observe ainda que para dois espa¸cos vetoriais normados E,k · k_E e F,k · k_F, uma aplica¸cão linearT :E→F

é uma imersão isométrica se kT(x)k_F = kxk_E para todo x ∈E; neste caso

(31)

1.3. T ´OPICOS DE AN ´ALISE FUNCIONAL 11

Definição 1.2.9. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Um subconjunto

Y ⊂ M ´e chamado delimitado se existe k∈R_,_k_≥_{0, tal que}_d₍_{x, y}₎ _≤ _k

para todo x, y∈Y. Uma fun¸cão f :X → M,X um conjunto arbitrário, é dita limitada quando a imagem de f é um subconjunto limitado deM.

Para finalizar esta se¸cão, lembramos que uma seqüência de Cauchy em um espa¸co métrico (M, d) é uma seqüência (xn)n≥1 de elementos deM tal

que, dado ε > 0 existe um número natural n0 tal que d(xm, xn) < ε para todo m, n > n0. Lembramos ainda que toda seqüência emM convergente

é uma seqüência de Cauchy, mas não necessariamente uma seqüência de Cauchy em M é convergente emM. Quando em um espa¸co métrico (M, d) toda seqüência de Cauchy é convergente, dizemos que (M, d) é um espa¸co métricocompleto. Em particular, um espa¸co normado E,k · ké completo se o espa¸co métrico correspondente (E, d) é completo.

1.3. T´opicos de An´alise Funcional

Diante do que foi dito no final da se¸cão anterior, come¸camos esta nova se¸cão com a seguinte defini¸cão:

Definição 1.3.1. Um espa¸co vetorial real normado E,k · ké chamado de espa¸co de Banach se E,k · ké completo.

Se E,k · k é um espa¸co normado então todo subespa¸co V ⊂ E pode ser encarado como um espa¸co normado cuja norma é a restri¸cão da norma deE. Além disso, seE é um espa¸co de Banach, sabemos que um subespa¸co

V deE será um espa¸co de Banach se e somente seV for fechado em E. A seguir definimos quando uma aplica¸cão linear entre espa¸cos veto-riais normados é dita limitada. Segundo a defini¸cão 1.2.9, uma fun¸cão

(32)

Proposição 1.3.2. Sejam E,k · k_E e F,k · k_F espa¸cos vetoriais reais normados e T : E → F uma aplica¸cão linear. Então são equivalentes as seguintes afirma¸cões:

(a) T ´e cont´ınua;

(b) T ´e cont´ınua na origem;

(c) T ´e limitada em alguma vizinhan¸ca da origem, i.e., existem c≥0

e uma vizinhan¸ca V da origem tais que kT(x)k_F ≤ c para todo x∈V;

(d) T ´e limitada na bola unit´aria de E, i.e., existe c ≥ 0 tal que kT(x)k_F ≤c para todo x∈E, com kxk_E ≤1;

(e) T ´e limitada na esfera unit´aria de E, i.e., existe c ≥ 0 tal que kT(x)k_F ≤c para todo x∈E, com kxk_E = 1;

(f) existe c≥0 tal que kT(x)k_F ≤ckxk_E para todo x∈E;

(g) T ´e Lipschitziana.

Demonstrac¸˜ao.

• (a)⇒(b). Imediato.

• (b) ⇒ (c). Se T ´e cont´ınua na origem ent˜ao existe δ > 0 tal que

kT(x)−T(0)k_F = kT(x)k_F < 1, para todo x ∈ E com kxk_E < δ, ou seja, T ´e limitada na bola aberta de centro na origem e raioδ.

• (c) ⇒ (d). Se T ´e limitada em alguma vizinhan¸ca da origem ent˜ao existem r > 0 e c ≥ 0 tais que kT(x)k_F ≤ c para todo x ∈ E com

kxk_E ≤ r. Seja x ∈ E com kxk_E ≤ 1. Ent˜ao krxk_E ≤ r, e portanto

kT(x)k_F = 1_rkT(rx)k_F ≤ _rc, para todox∈E com kxk_E ≤1.

• (d)⇒(e). Imediato.

• (e) ⇒ (f). Seja c ≥ 0 tal que kT(x)k_F ≤ c para todo x ∈ E, com

kxk_E = 1. Afirmamos que kT(x)k_F ≤ ckxk_E para todo x ∈ E. Com efeito, se x= 0 ent˜ao a desigualdade vale trivialmente. Por outro lado, sex6= 0 ent˜ao o vetor x

kxk_E tem norma unit´aria, logo kT(x)kF

kxkE

=T(x)

kxkE

F =

T x

kxkE

(33)

• (f) ⇒ (g). Seja c ≥ 0 tal que kT(x)k_F ≤ ckxk_E para todo x ∈ E. Para todo x, y∈E temos kT(x)−T(y)k_F =kT(x−y)k_F ≤ckx−yk_E, e portantoc´e uma constante de Lipschitz para T.

• (g)⇒(a). Imediato.

Definição 1.3.3. Sejam E,k · k_E e F,k · k_F espa¸cos vetoriais reais normados. Uma aplica¸cão linear T :E →F é ditalimitada se satisfaz uma das (e portanto todas) condi¸cões que aparecem no enunciado da Proposi-¸cão 1.3.2.

Observamos que se T : E → F é uma aplica¸cão linear não nula então sua imagem nunca é um conjunto limitado. De fato, se T é não nula então existex∈EcomT(x)6= 0. ComokT(α x)k=|α| kT(x)kpara todoα∈ R_,

temos quekT(α x)k −→+∞ quando |α| −→+∞, e portanto a imagem de

T não é limitada. Assim, quando associado a uma aplica¸cão linear, o termo “limitada” só pode ser entendido no sentido da defini¸cão 1.3.3.

Se E,k · k_E e F,k · k_F s˜ao espa¸cos vetoriais normados sobre R_,

de-notamos por Lin(E, F) o conjunto de todas as aplica¸c˜oes lineares limitadas

T :E →F. Não é dif´ıcil mostrar que Lin(E, F) é um subespa¸co vetorial de L(E, F), o espa¸co vetorial de todas as aplica¸cões lineares deE emF.

Definic¸˜ao 1.3.4. Sejam E,k · k_E e F,k · k_F espa¸cos vetoriais reais normados eT ∈Lin(E, F). Definimos a norma deT por

kTk= supkT(x)k_F :x∈E e kxk_E ≤1 ,

ou sinteticamente,

kTk= sup

kxk_E≤1

kT(x)k_F.

A aplica¸c˜ao k · k: Lin(E, F)→ R_{definida acima ´e de fato uma norma,}

e ´e poss´ıvel mostrar que:

kTk= supkT(x)k_F :x∈E ekxk_E = 1

= infc≥0 :kT(x)k_F ≤ckxk_E, para todox∈E .

(34)

Proposic¸˜ao 1.3.6. Sejam E,k · k_E e F,k · k_F espa¸cos vetoriais nor-mados sobreR_{. Se} _F,_{k · k}

F

é um espa¸co de Banach entãoLin(E, F), com a norma definida como em (1.3.4), também é um espa¸co de Banach.

Demonstração. Vide [17]. SeEé um espa¸co vetorial sobreR_{, vimos que}_E∗_{= L(}_E,R_{), o conjunto}

de todos os funcionais lineares f : E → R_{, ´e chamado de espa¸co dual}

algébrico de E. Dado um espa¸co vetorial real normado E,k · k_E, um funcional linearf :E→R_{é dito} _limitado _se_f _∈_Lin(_E,R_{), ou seja, se}_f _é

uma aplica¸c˜ao linear limitada. O espa¸co normado Lin(E,R_{) ´e chamado de}

dual topol´ogico de E. Note que Lin(E, F) ´e subespa¸co vetorial deE∗_{. Como}

neste texto (e em geral) nos preocupamos apenas com os funcionais lineares limitados, chamaremos o dual topol´ogico de E (simplesmente) de dual de

E, e por abuso de nota¸c˜ao, a partir de agora, usaremos E∗ para indicar o dual deE. Assim, dado um espa¸co vetorial real normado E,k · k,

E∗ =α:E→R_:_α_{´e funcional linear limitado} _{= Lin(}_E,R_{) e}

kαk= sup|α(x)|:x∈E e kxk_E ≤1 , para todoα∈E∗.

Uma vez queR_{é completo temos, pela Proposi¸cão 1.3.6, que}_E∗_{é um espa¸co}

de Banach sobreR_{, para todo espa¸co vetorial real normado} _E,_{k · k}_.

A seguir, dados um espa¸co normado real X,k·ke um subespa¸co fechado

Y ⊂X, definimos uma norma no espa¸co quocienteX/Y.

Proposição1.3.7. SejaY um subespa¸co fechado de um espa¸co normado X,k · k. A aplica¸cão k · k_o :X/Y →R_{, definida por}

[x]_o = infkzk:z∈[x] , para todo x∈X, ´e uma norma no espa¸co quociente X/Y.

Demonstrac¸˜ao.

• A aplica¸c˜ao est´a bem definida.

Sejam [x],[y]∈X/Y com [x] = [y]. Ent˜ao

(35)

• [x]_o≥0 para todo x∈X.

Se [x]∈X/Y ent˜ao 0≤ kzk, para todoz∈[x], e portanto

[x]_o = infkzk:z∈[x] ≥0. • Se [x]_o= 0 ent˜ao [x] = [0].

Se [x] ∈ X/Y com [x]_o = 0, então infkzk : z ∈ [x] = 0; logo existe uma seqüência (xn)n≥1, com xn ∈ [x] para todo n ≥ 1, tal que

kxnk −→ 0. Para cada n ≥ 1, existe yn ∈ Y tal que xn = x+yn; portantokx+ynk −→0, o que implicax+yn−→0, i.e.,yn−→0−x. Como (yn)n≥1é uma seqüência de elementos deY, eY é um subespa¸co

fechado de X, segue que 0−x∈Y, ou seja, [x] = [0].

• kλ xk_o =|λ|[x]_o para todoλ∈R_e _x_∈_X_.

Sejam [x]∈X/Y e λ∈R_{. Se} _λ_{= 0 ent˜ao a igualdade vale}

trivial-mente para todo x ∈ X. Suponhamos λ 6= 0 e seja x ∈ X arbitr´ario. Ent˜aoλ[x]_o =[λ x]_o = infkzk:z∈[λ x] . Fazendo z=λ x+y,

y∈Y, temoskzk=|λ| kkk, em que k=x+_λ1y. Da´ı,

λ[x]_o= inf|λ| kkk:k∈[x] =|λ|infkkk:k∈[x] =|λ|[x]_o. • [x] + [y]_o ≤[x]_o+[y]_o.

Sejam [x],[y]∈X/Y. Dadoε >0, existemα∈[x] eβ ∈[y] tais que

kαk ≤[x]_o+ ε₂ e kβk ≤ [y]_o+₂ε. Como α ∈ [x] e β ∈[y], temos

α+β ∈[x+y]. Assim,

[x] + [y]_o=[x+y]_o≤ kα+βk ≤ kαk+kβk ≤[x]_o+[y]_o+ε,

ou seja, [x] + [y]_o ≤[x]_o+[y]_o+ε, para todoε >0. Portanto,

[x] + [y]_o ≤[x]_o+[y]_o. ´

E poss´ıvel mostrar que se X,k · k é um espa¸co de Banach e Y é um subespa¸co fechado deXentão X/Y,k·k_otambém é um espa¸co de Banach. Definição 1.3.8. Sejam E,k·k_Ee F,k·k_Fespa¸cos de Banach. Uma aplica¸cão linear limitadaq:E →F é chamada de uma aplica¸cão quociente

se ela ´e sobrejetora e, para todox∈E,

(36)

Isso equivale a dizer queqinduz uma isometria linear do espa¸co quociente de Banach E/Ker(q) sobre F. Mais especificamente, a aplica¸cão linear limitada q:E →F é uma aplica¸cão quociente se a aplica¸cão

E/Ker(q)∋[x]7−→q(x)∈F

´e uma isometria linear.

Definição 1.3.9. Seja X,k · k um espa¸co vetorial normado. Uma fam´ılia (xi)i∈I de vetores deX é ditasomável quando existeα∈Xtal que, para todoε >0, existe um subconjunto finitoFε ⊂I tal que

α−X

i∈F

xi

< ε,

para todo subconjunto finito F ⊂I com F ⊃ Fε. O vetor α ∈X, quando existe, é único e é chamado de asoma da fam´ılia (xi)i∈I; escrevemos

(1.3.1) α=X

i∈I

xi.

Proposição1.3.10. Sejam X,k·k_Xe Y,k·k_Yespa¸cos vetoriais reais normados. Se T : X → Y é uma aplica¸cão linear limitada e se (xi)i∈I é

uma fam´ılia som´avel em X ent˜ao

T X

i∈I

xi

=X i∈I

T(xi).

Demonstração. Seja ε > 0. Se (xi)i∈I é uma fam´ılia somável em X então existem α=P_i_∈_Ixi ∈X e Fε⊂I finito tais que

α−X

i∈F

xi

_X < ε kTk,

para todo subconjunto finito F ⊂ I, com F ⊃Fε. Uma vez que T é uma aplica¸cão linear limitada e F é finito, temos:

T(α)−X

i∈F

T(xi) Y =

Tα−X

i∈F

xi

Y ≤ kTk

α−X

i∈F

xi

X <kTk

ε kTk =ε,

para todoF finito comFε⊂F ⊂I. Portanto a fam´ılia T(xi)_i_∈_I´e som´avel e T(α) =P_i_∈_IT(xi), i.e.,

T X

i∈I

xi

=X i∈I

(37)

Lembramos queR₌R_{∪ {−∞}_,₊_∞}_{´e chamado de sistema de n´}_umeros

reais estendido, ou simplesmente de reta estendida. Uma descri¸cão das opera¸cões algébricas emR_{e suas propriedades podem ser encontradas, entre}

outros, em [22] ou [3].

Definição 1.3.11. Seja (xi)i∈I uma fam´ılia de números reais não nega-tivos. Definimos a soma de (xi)i∈I por

(1.3.2) X

i∈I

xi= sup

n X

i∈F

xi :F ⊂I,F finito

o

∈R_.

Observação 1.3.12. Se (xi)i∈I é uma fam´ılia de números reais não negativos e φ:J →I é uma bije¸cão então

(1.3.3) X

i∈I

xi =

X

j∈J

xφ(j).

De fato, para cadaE⊂J finito, comoφ|E :E→φ(E) ´e uma bije¸c˜ao, temos

(1.3.4) X

j∈E

xφ(j) =

X

φ(j)∈φ(E) xφ(j) =

X

i∈φ(E) xi.

Assim, tomando os supremos das somas finitas em (1.3.4), obtemos (1.3.3). Lema 1.3.13. Se (xij)(i,j)∈I×J é uma fam´ılia de números reais não

ne-gativos ent˜ao

X

i∈I

X

j∈J

xij =

X

(i,j)∈I×J

xij.

Demonstração. SejaH⊂I×J finito. Então existemF ⊂I e G⊂J

finitos tais que H⊂F ×G, e assim

X

(i,j)∈H

xij ≤

X

(i,j)∈F×G

xij =

X

i∈F

X

j∈G

xij ≤

X

i∈F

X

j∈J

xij ≤

X

i∈I

X

j∈J

xij.

Portanto,

X

(i,j)∈I×J

xij = sup H⊂I×J H finito

X

(i,j)∈H

xij ≤

X

i∈I

X

j∈J

xij.

Suponhamos que existai∈I tal queP_j_∈_Jxij = +∞. Ent˜ao

X

(i,j)∈I×J

xij ≥

X

j∈J

xij = +∞,

o que implica

X

i∈I

X

j∈J

xij ≤

X

(i,j)∈I×J

(38)

Por outro lado, se P_j_∈_Jxij <+∞ para todoi∈I ent˜ao, dado ε >0, para cada i ∈ I existe Gi ⊂ J finito tal que P_j_∈_Gixij > P_j_∈_Jxij −ε. Assim, para todoF ⊂I finito temos:

X

(i,j)∈I×J

xij ≥

X

(i,j)∈F×Gi

xij =

X

i∈F

X

j∈Gi

xij >

X

i∈F

X

j∈J

xij −ε|F|,

i.e., X i∈F

X

j∈J

xij <

X

(i,j)∈I×J

xij + ε|F|, para todoε >0.

Logo, P_i_∈_FP_j_∈_Jxij ≤P₍i,j)∈I×Jxij para todoF ⊂I finito, e portanto

X

i∈I

X

j∈J

xij = sup F⊂I F finito

X

i∈F

X

j∈J

xij

≤ X

(i,j)∈I×J

xij.

Corolário1.3.14. Se(xij)(i,j)∈I×J é uma fam´ılia de números reais não

negativos ent˜ao

X

i∈I

X

j∈J

xij =

X

j∈J

X

I∈I

xij.

Demonstração. Segue imediatamente da Observa¸cão 1.3.12 e do Lema 1.3.13; basta tomar a bije¸cãoφ:J×I ∋(j, i)7−→(i, j)∈I×J. Observação 1.3.15. Se (xi)i∈I é uma fam´ılia de números reais não ne-gativos tal que P_i_∈_Ixi <+∞, então o conjunto J = {i ∈ I : xi 6= 0} é enumerável. Com efeito, para cada número natural n ≥ 1, o conjunto

Jn=

i∈I :xi ≥ 1_n ´e finito, sen˜ao ter´ıamos

X

i∈I

xi ≥

X

i∈Jn

xi≥

X

i∈Jn

1

n = +∞. ComoJ =S_n_≥₁Jn, segue que J ´e enumer´avel.

Proposição1.3.16. Uma fam´ılia(xi)i∈I de números reais não negativos

é somável se e somente se (1.3.2)é finito, e nesse caso (1.3.1) e (1.3.2) são iguais.

Demonstrac¸˜ao. Suponhamos que

α= supn X i∈F

xi :F ⊂I,F finito

o

<+∞.

Dadoε >0, existeF′ ⊂I finito tal que

α−ε < X

i∈F′

(39)

1.4. T ´OPICOS DE TEORIA DA MEDIDA 19

SejaF ⊂I finito tal queF ⊃F′. Ent˜ao

α−ε < X

i∈F′ xi ≤

X

i∈F

xi≤ sup F⊂I F finito

X

i∈F

xi=α≤α+ε,

ou seja,α−P_i_∈_Fxi

< ε. Logo (xi)i∈I é somável eα=Pi∈Ixi. Recipro-camente, suponhamos que (xi)i∈I seja uma fam´ılia somável. Então existe

s∈R_{tal que, dado}_{ε >}_{0, existe}_F_ε_⊂_I_{finito tal que}_s₋_{ε <}P_i

∈Fxi< s+ε, para todoF ⊂I finito comF ⊃Fε. SejaF′ ⊂I finito arbitr´ario. Ent˜ao

X

i∈F′ xi ≤

X

i∈F′_∪_Fε

xi < s+ε, e portanto

supn X i∈F

xi :F ⊂I,F finito

o

≤s+ε.

Por outro lado,s−ε <P_i_∈_Fxi, para todoF ⊂I finito comF ⊃Fε; logo

s−ε≤supn X i∈F

xi:F ⊂I,F finito,F ⊃Fε

o

≤supn X i∈F

xi:F ⊂I,F finito

o

.

Assim, para todoε >0 temos

s−ε≤supn X i∈F

xi:F ⊂I,F finito

o

≤s+ε,

ou seja,

s−supn X

i∈F

xi:F ⊂I,F finitoo≤ε,

para todoε >0; portanto supnX i∈F

xi :F ⊂I,F finito

o

=s <+∞

1.4. T´opicos de Teoria da Medida

(40)

Observac¸˜ao1.4.1. SejamI um intervalo da reta ea, b∈R_{, com}_a_≤_b_.

Ocomprimento l(I) do intervaloI ´e igual ab−aseI for do tipo [a, b], [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[, e ´e igual a +∞ se I for do tipo ]−∞, a], ]−∞, a[, ]a,+∞[, [a,+∞[ ou ]−∞,+∞[.

Definic¸˜ao 1.4.2. A medida exterior de Lebesgue em R_{, denotada por}

m∗, ´e definida como a aplica¸c˜ao:

m∗ :P(R₎_−→_[0_,₊_∞_]

A7−→m∗(A) = infIA,

IA=n P n≥1

l(In) : (In)n≥1 seq¨uˆencia de intervalos abertos com A⊂ S

n≥1 In

o

Definição 1.4.3. Um conjuntoE⊂R_{é chamado}_{Lebesgue mensur´}_avel

(oum∗-mensur´avel) se para todoA⊂R_temos

m∗(A) =m∗(A∩E) +m∗(A∩Ec).

Denotamos por L a cole¸c˜ao dos conjuntos Lebesgue mensur´aveis de R_.

Definição 1.4.4. A aplica¸cão m = m∗|L : L → [0,+∞], restri¸cão da

medida exterior de Lebesgue aos conjuntos Lebesgue mensur´aveis de R_{, ´e}

chamada medida de Lebesgue na reta.

Definição 1.4.5. SejaX um conjunto. Uma σ-álgebra de partes deX

é um subconjunto não vazioA ⊂ P(X) satisfazendo as seguintes condi¸cões: (a) se A∈ Aentão Ac _{∈ A}_;

(b) se (An)n≥1é uma seqüência de elementos deAentãoSn≥1An∈ A. Em outras palavras, uma σ-álgebra de partes de X é uma cole¸cão não vazia de subconjuntos de X fechada para complementa¸cão e união enu-merável (infinita). Observamos que para todaσ-álgebraA de partes deX, se A, B ∈ A, então A∪B ∈ A basta tomar a seqüência (An)n≥1 na qual A1 = A e An = B para todo n ≥ 2

, e portanto uma σ-álgebra também é fechada para união finita. Como A 6= ∅, existe um elemento A ∈ A, e portanto X = A∪Ac _{∈ A} _e _∅ ₌ _Xc _{∈ A}_{. Observamos por fim que uma}

σ-álgebra também é fechada para diferen¸ca e interseçcão enumerável. Exemplo 1.4.6. A cole¸cãoL dos conjuntos Lebesgue mensuráveis deR

(41)

Observação 1.4.7. Se (Ai)∈I é uma fam´ılia não vazia de σ-álgebras de partes de um conjunto X então T_i_∈_IAi também é uma σ-álgebra de subconjuntos deX. Com efeito, T_i_∈_IAi =6 ∅, pois ∅ ∈ Ai para todo i∈I. Se A ∈ T_i_∈_IAi então A ∈ Ai (e portanto Ac ∈ Ai) para cada i ∈ I, logo Ac _∈ T

i∈IAi. Por fim, se (An)n≥1 é uma seqüência de elementos de

T

i∈IAi então (An)n≥1 é uma seqüência em Ai, para cada i ∈I; portanto

S

n≥1An∈Ai para todoi∈I, ou seja,S_n_≥₁An∈T_i_∈_IAi.

Exemplo 1.4.8. Se X é um conjunto não enumerável, então a cole¸cão

A=A⊂X:Aé enumerável ou Ac é enumerável

é uma σ-álgebra de partes de X. Com efeito, temos que A 6= ∅, pois o conjunto vazio ∅ é enumerável; se A ∈ A então A é enumerável ou Ac _é enumerável, ou seja, (Ac₎c _{é enumer´}_{avel ou} _Ac _{é enumer´}_{avel, o que implica} que Ac _{∈ A}_{. Além disso, se (}_A_n)n

≥1 é uma seqüência de elementos de A,

entãoS_n_≥₁An é enumerável seAn é enumerável para todo n≥1. Se, por outro lado, existir k ≥1 tal que (Ak)c seja enumerável, então Sn≥1Anc é enumerável, uma vez que S_n_≥₁An

c

⊂(Ak)c. Portanto S_n_≥₁An∈ A, o que finaliza a justificativa de queAé umaσ-álgebra de subconjuntos de X. Proposição1.4.9. Sejaf :X→Y uma fun¸cão. SeAé umaσ-álgebra em Y então a cole¸cão f∗A = {f−1(A) : A ∈ A} é uma σ-álgebra em X (chamada de σ-álgebra induzida por f (e A) em X).

Demonstrac¸˜ao. Como X = f−1₍_Y_{) e} _Y _{∈ A} _temos _X _∈ _f∗_A_{, e}

portanto f∗A 6= ∅. Se A ∈ f∗A ent˜ao existe B ∈ A tal que A = f−1(B); logoAc₌ _f−1₍_B₎c ₌_f−1₍_Bc_{) e}_Bc _{∈ A}_{, ou seja,}_Ac_∈_f∗_A_{. Se (}_A_n)n

≥1 ´e

uma seqüência de elementos def∗A então, para cada n≥1, existeBn∈ A tal queAn=f−1(Bn). Assim,

[

n≥1 An=

[

n≥1

f−1(Bn) =f−1 [

n≥1 Bn

e [ n≥1

Bn∈ A,

isto é,S_n_≥₁An∈f∗A. Portanto f∗Aé umaσ-álgebra de partes deX.

(42)

Demonstrac¸˜ao. Uma vez que f−1(Y) = X ∈ A, temos Y ∈ f∗A, e

portantof∗A 6=∅. SeA∈f∗Aent˜aof−1(A)∈ A, o que implica f−1(Ac) = f−1(A)c ∈ A,

i.e., Ac _∈_f

∗A. Se (An)n≥1 é uma seqüência de elementos de f∗A temos f−1 [

n≥1 An

= [ n≥1

f−1(An) ∈ A,

poisf−1(An)∈ A para cada n≥1, e assimS_n_≥₁An∈f∗A. Portanto f∗A

´e umaσ-´algebra de partes de Y.

Proposição 1.4.11. Seja (fi :Xi →Y)i∈I uma fam´ılia de fun¸cões. Se

Ai é uma σ-álgebra em Xi, para cada i∈I, então a cole¸cão

A=A⊂Y :f_i−1(A)∈ Ai, para todo i∈I

é uma σ-álgebra de partes de Y (chamada de σ-álgebra co-induzida em Y pela fam´ılia de fun¸cões(fi)i∈I (e pela fam´ılia deσ-álgebras (Ai)i∈I).

Demonstração. Decorre imediatamente da Observa¸cão 1.4.7 e da Pro-posi¸cão 1.4.10, uma vez que A=T_i_∈_Ifi∗Ai. Proposição 1.4.12. Sejam X um conjunto,A umaσ-álgebra de partes deX e(An)n≥1uma seqüência de elementos deA. Seja(Bn)n≥1 a seqüência dada por B1 =A1 e, para todo n≥2,

Bn=An\ n_[−1

k=1 Ak.

Ent˜aoBn∈ Apara todon≥1, os conjuntos Bn s˜ao dois a dois disjuntos e

[

n≥1 Bn=

[

n≥1 An.

Demonstração. B1 obviamente está em A, e para n ≥ 2 também

temos Bn ∈ A, já que A é fechada para união finita e diferen¸ca. Sejam

i, j≥1 com i6=j, digamosi < j. Ent˜ao

Bi∩Bj =

Ai\ i_[−1

k=1 Ak

∩Aj \ j_[−1

k=1 Ak

(43)

Resta mostrar que S_n_≥₁Bn=Sn≥1An. Para isso, mostraremos antes, por

indu¸c˜ao sobre n, que Sn_k₌₁Bk = Sn_k₌₁Ak para todo n ≥ 1. Com efeito,

B1 =A1 e admitindo a igualdade v´alida para todop < n, temos:

n

[

k=1 Bk=

n_[−1

k=1 Bk

∪Bn

= n_[−1

k=1 Ak

∪An\ n_[−1

k=1 Ak

= n_[−1

k=1 Ak

∪An= n

[

k=1 Ak.

Portanto Sn_k₌₁Bk =Snk=1Ak, para todo n≥1. ComoBn⊂An para todo

n≥1, segue que

[

n≥1 Bn⊂

[

n≥1 An.

Por outro lado, se x∈S_n_≥₁An ent˜aox∈Ano para algumno ≥1; logo

x∈

no

[

k=1 Ak=

no

[

k=1 Bk ⊂

[

n≥1

Bn, ou seja,

[

n≥1 An⊂

[

n≥1 Bn.

Dado um subconjunto C ⊂ P(X), a σ-álgebra obtida pela interseçcão de todas as σ-álgebras que contêm C é chamada de σ-álgebra gerada por

C, e é denotada por [C] ou σ[C]; dizemos também queC é umconjunto de geradores para [C] . Observe que [C] é a menor σ-álgebra de partes de X

contendo C, ou seja, seA´e uma σ-´algebra de subconjuntos deX e C⊂ A

ent˜ao [C]⊂ A.

Aσ-´algebra de partes deR_{gerada pela cole¸c˜ao de todos os subconjuntos}

abertos deR_{´e chamada de}_σ_-´_{algebra de Borel} _deR_{. Denotamos por}_B₍R_{) a}

σ-´algebra de Borel, e seus elementos s˜ao chamados de conjuntos boreleanos

de R_{. Como todo subconjunto aberto de} R _{´e Lebesgue mensur´}_{avel temos}

B(R₎ _{⊂ L}_{. ´}_{E poss´ıvel mostrar que} _[_a,₊_∞_[: _a _∈ R _, _]_a,₊_∞_[: _a _∈ R _,

]−∞, a] :a∈R _e_]_−∞_{, a}_[:_a_∈R _{s˜ao conjuntos de geradores para}_B₍R_).

Lembramos ainda, que a cole¸c˜ao B(R_{) dos}_{boreleanos da reta estendida} _{´e a}

σ-´algebra gerada pelo conjunto [a,+∞] :a∈R _{, ou equivalentemente, os}

boreleanos deR _{s˜ao os subconjuntos}_A_⊂R _{tais que}_A_∩R_{∈ B}₍R_).

Definição 1.4.13. Um espa¸co mensurável é um par (X,A), no qual

(44)

A são chamados de conjuntos mensuráveis (ou A-mensuráveis, ou ainda, mensuráveis com respeito a A) deX.

Definição 1.4.14. Seja (X,A) um espa¸co mensurável. Uma medida

em (X,A) (ou em A, ou emX) é uma fun¸cão µ:A →[0,+∞], tal que as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

(i) µ(∅) = 0;

(ii) (σ-aditividade) se (An)n≥1é uma seqüência de elementos deA, dois

a dois disjuntos, ent˜ao

µ [

n≥1 An

=X n≥1

µ(An).

Proposição 1.4.15. Seja µ:A →[0,+∞]uma medida em um espa¸co mensurável(X,A). Então:

(a) Se A, B∈ A eA∩B=∅ ent˜aoµ(A∪B) =µ(A) +µ(B).

(b) Se A e B são elementos de A com A ⊂ B então µ(A) ≤ µ(B); além disso, se µ(A)<+∞ entãoµ(B\A) =µ(B)−µ(A).

(c) Se (An)n≥1 é uma seqüência de conjuntosA-mensur´aveis então

µ [

n≥1 An

≤X

n≥1

µ(An).

Demonstrac¸˜ao.

• Prova de (a).

Decorre imediatamente da Defini¸cão 1.4.14 ; basta tomar a seqüência (An)n≥1 na qualA1 =A,A2 =B eAn=∅para todon >2.

• Prova de (b).

Se A⊂B ent˜ao B=A∪(B\A) e A∩(B\A) =∅, e portanto (∗) µ(B) =µ(A) +µ(B\A).

Como µ(B \A) ≥ 0, temos µ(A) ≤ µ(B); al´em disso, se µ(A) < +∞

ent˜ao podemos subtrair µ(A) de ambos os lados da igualdade (∗), e assim obtemosµ(B\A) =µ(B)−µ(A).

(45)

Se (An)n≥1é uma seqüência de conjuntosA-mensuráveis então, pela

Proposi¸cão 1.4.12, existe uma seqüência (Bn)n≥1 de conjuntos

men-sur´aveis, dois a dois disjuntos, tais que An ⊂ Bn para todo n ≥ 1 e

S

n≥1Bn=Sn≥1An. Assim,

µ [

n≥1 An

=µ [

n≥1 Bn

=X n≥1

µ(Bn)≤X

n≥1

µ(An),

uma vez queµ(An)≤µ(Bn) para cadan≥1. Observação 1.4.16. Se µ(X) < +∞, dizemos que µ é uma medida

finita, eµé chamada deσ-finita se existe uma seqüência de conjuntos men-suráveis (En)n≥1 com µ(En)<+∞para todo n≥1 e X=Sn≥1En.

Definição1.4.17. Um espa¸co de medida é uma terna (X,A, µ), na qual (X,A) é um espa¸co mensurável e µé uma medida em A.

Observação 1.4.18. Um espa¸co de medida (X,A, µ) é chamado de

σ-finito se µ é uma medida σ-finita. Um subconjunto A ⊂ X é σ-finito para µ (ou apenasσ-finito) se existe uma seqüência de elementos de A de medidaµ finita, tal queA=S_n_≥₁An.

Exemplo 1.4.19. O par (R,L) é um espa¸co mensurável e a medida de Lebesguemé uma medida emL. Assim, (R_,_L_,_m_{) é um espa¸co de medida; na}

verdade (R_,_L_,_m_{) ´e um espa¸co de medida} _σ_{-finito, pois}R₌S

n≥1[−n,+n]

e m [−n,+n]= 2n, para todon≥1.

Proposição1.4.20. Sejam Xum conjunto eAumaσ-álgebra de partes de X. Se µi : A → [0,+∞]_i_∈_I é uma fam´ılia de medidas em A então

µ=P_i_∈_Iµi ´e uma medida em A.

Demonstrac¸˜ao. Para cada A ∈ A, µi(A) ≥ 0 para todoi∈ I. Logo

µ(A) = P_i_∈_Iµi(A) ∈ [0,+∞] para todo A ∈ A, o que mostra que µ está bem definida. Claramente temos µ(∅) = 0. Seja (An)n≥1 uma seqüência de

elementos de A, dois a dois disjuntos. Ent˜ao, pelo Corol´ario 1.3.14,

µ [

n≥1 An

=X i∈I

µi S_n_≥₁An

=X i∈I

X

n≥1

µi(An) =

X

n≥1

X

i∈I

µi(An) =

X

n≥1

µ(An),

(46)

Corolário 1.4.21. Seja (X,A) é um espa¸co mensurável. Se µ1 e µ2 são duas medidas em A entãoµ1+µ2 é uma medida em A.

Demonstração. Segue imediatamente da Proposi¸cão1.4.20; basta con-siderar a fam´ılia de medidas µi :A →[0,+∞]

i∈I, em que I ={1,2}. Exemplo 1.4.22 (medida de Dirac). Sejam X um conjunto e x ∈ X

fixado. A aplica¸c˜ao δx:P(X)→[0,+∞], definida por

δx(E) =

  

1 sex∈E

0 sex /∈E,

é uma medida em X,P(X). Com efeito, δx(∅) = 0, pois x /∈ ∅. Seja (An)n≥1 uma seqüência de subconjuntos de X, dois a dois disjuntos. Se x∈S_n_≥₁An entãoδx S_n_≥₁An= 1 e x∈Ak para algumk≥1. Como os conjuntos An são dois a dois disjuntos temos quex /∈An para todo n6=k, e assim

X

n≥1

δx(An) =δx(Ak) +

X

n≥1

n6=k

δx(An) = 1 + 0 = 1.

Se x /∈ S_n_≥₁An ent˜ao δx Sn≥1An

= 0 e x /∈An para todo n ≥1, o que implicaP_n_≥₁δx(An) = 0. Em qualquer caso temos

δx

[

n≥1 An

=X n≥1

δx(An).

Exemplo 1.4.23 (medida de contagem). Sejam X um conjunto. A aplica¸c˜ao µ:P(X)→[0,+∞], dada por

µ(E) =

  

|E| seE ´e finito +∞ seE ´e infinito,

´e uma medida no espa¸co mensur´avel X,P(X). De fato, para cada sub-conjuntoE ⊂X temos

µ(E) =X x∈E

δx(E) = X x∈X

δx(E), ou seja, µ= X x∈X

δx.