Definição das Variáveis Nebulosas e seus Valores Lingüísticos (Fuzzificação)

Funções de Pertinência do Índice de Similaridade (si → saltoi )

Os índices de similaridade_s1 e_s2 serão representados pelas variáveis lingüística_S1 e_S2 e serão mapeados nos valores de pertinência _salto

1 e salto2 , respectivamente. As funções de pertinência que farão o mapeamento _si → saltoi , i = 1, 2, devem ser escolhidas cuidadosamente a fim de manter o

significado da expressão alta similaridade. Várias funções para normalização do índice de similari- dade dos sistemas biométricos vem sido propostas na literatura (Bigun et al., 2003), (Snelick et al., 2005), (Jain et al., 2005) e podem ser usadas como funções de pertinência. Algumas funções de normalização são: • Função sigmoidal: saltoi = 1 1 + exp(−csi) (3.2) onde_{c é um parâmetro de regularização.}

• Min-Max:

saltoi =

si− min(Si)

max(Si)− min(Si)

ondeSi representa o domínio da variávelsi; min(Si) e max(Si) representam o valor mínimo e

máximo deste domínio, respectivamente. • Tanh: saltoi = 1 2[tanh(0.01 (si− med(Si) std(Si) + 1] (3.4)

onde med(_Si) e std(Si) representam a média aritmética e o desvio padrão da variável si, re-

spectivamente.

Na verdade qualquer função monotonicamente crescente com contra-domínio entre zero e um pode ser usada aqui como função de pertinência, desde que represente de forma conveniente a ex- pressão alta similaridade. Desta forma, uma nova função de normalização, que visa representar a expressão lingüística da melhor forma, será proposta neste trabalho:

saltoi = min[1, max(0,

si− si.ZeroF RR

si.ZeroF AR− si.ZeroF RR

)] (3.5)

onde_si.ZeroF RResi.ZeroF ARsão os pontos onde as taxas de falsa rejeição e falsa aceitação, respecti-

vamente, são zero.

A figura 3.4 ilustra a função dada pela equação 3.5 em relação ao gráfico de FAR e FRR. Observe que a transição ocorre onde existe a sobreposição entre a FAR e FRR, mapeando desta forma a incerteza existente neste intervalo.

Conforme definido anteriormente, a expressão baixa similaridade é representada pelo comple- mento da expressão alta similaridade. Desta forma temos:

sbaixoi = 1− s alto

i (3.6)

Funções de Pertinência do Índice de Confiabilidade (_ri → rialto)

Conforme descrito anteriormente, o parâmetro _ri pode ser interpretado como a certeza de que o

valor _si seja uma medida correta. Neste caso, o mapeamentori → rialto, i = 1, 2 também pode ser

feito por qualquer função de pertinência monotonicamente crescente com contra-domínio entre zero e um.

A escolha da função de pertinência apropriada depende da forma como o módulo que faz o cálculo derié implementado, que é diferente para cada tipo de sistema biométrico. No entanto, a função de

pertinência deve ser definida de forma que mantenha o significado da expressão alta confiabilidade, sendo que a escolha mais simples e genérica para este caso é a função Min-Max:

3.3 Módulo de Fusão 39 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Threshold Taxa de erro FRR FAR 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Índice de similaridade Alta similaridade ZeroFAR ZeroFRR

Fig. 3.4: Função de pertinência da expressão lingüística alta similaridade.

raltoi =

ri− min(Ri)

max(Ri)− min(Ri)

(3.7) onde _Ri representa o domínio da variável ri; min(Ri) e max(Ri) representam o valor mínimo e

máximo deste domínio, respectivamente.

Conforme definição, temos que_rbaixo_i = 1− r_ialto.

Funções de Pertinência do Nível de Segurança (_ci → caltoi )

Como definido anteriormente, o nível de segurança de cada sistema unimodal é especificado di- retamente pelo administrador do sistema. Restringindo-se este valor entre o intervalo [0,1], onde zero significa o menor nível de segurança e um o maior, o mapeamento da expressão alta segurança (_ci → caltoi , i = 1, 2) pode ser feita diretamente através da equação caltoi = ci. Analogamente, temos

cbaixo

Funções de Pertinência da Saída

A variável de saída _sF também será representada através de uma variável lingüística e terá três

possíveis valores lingüísticos: baixo, médio e alto. Como o sistema de inferência que está sendo usado é do tipo Takagi-Sugeno-Kang (Sugeno and Kang, 1991) de primeira ordem, estes valores lingüísticos terão valores constantes, definidos da seguinte forma:_sbaixo_{F = 0, s}medio_{F = 0.5, s}alto_F = 1, respectivamente. Quanto maior seu valor numérico, maior é a certeza de que o usuário deve ser autenticado.

3.3.2

Definição das regras nebulosas

As regras nebulosas implementadas para o sistema proposto são: 1. Ses1é alto es2é alto, entãosF é alto

2. Se_s1é baixo e_s2é baixo, então_sF é baixo

3. Se_c1 é alto e_r1é baixo e_r2 é baixo e_s1 é alto e_s2é baixo, então_sF é médio

4. Sec1 é alto er1é baixo er2 é alto es1 é alto es2é baixo, entãosF é baixo

5. Se_c1 é alto e_r1é alto e_r2 é baixo e_s1 é alto e_s2é baixo, então_sF é alto

6. Se_c1 é alto e_r1é alto e_r2 é alto e_s1é alto e_s2é baixo, então_sF é médio

7. Sec1 é baixo es1 é alto es2 é baixo, entãosF é baixo

8. Se_c2 é alto e_r1é baixo e_r2 é baixo e_s1 é baixo e_s2é alto, então_sF é médio

9. Se_c2 é alto e_r1é alto e_r2 é baixo e_s1 é baixo e_s2é alto, então_sF é baixo

10. Sec2 é alto er1é baixo er2 é alto es1 é baixo es2é alto, entãosF é alto

11. Se_c2 é alto e_r1é alto e_r2 é alto e_s1é baixo e_s2é alto, então_sF é médio

12. Se_c2 é baixo e_s1 é baixo e_s2 é alto, então_sF é baixo

O conector "e"utilizado nas regras nebulosas é implementado através da multiplicação do valor de pertinência de cada proposição nebulosa.

3.3 Módulo de Fusão 41 • Uma amostra biométrica com baixo índice de confiabilidade (baixo ri) fornece pouca infor-

mação sobre a identidade do usuário. Desta forma, há uma tendência de que amostras com baixa confiabilidade interfiram negativamente na autenticação e levem a uma falsa rejeição. Portanto, amostras com baixa confiabilidade devem possuir um peso menor na decisão final; • A informação fornecida por um sistema biométrico com baixa segurança só pode ser usada

para fazer a autenticação de uma pessoa caso outro sistema biométrico mais seguro também indique que a pessoa é autêntica. Desta forma, caso um fraudador falsifique somente o sistema unimodal menos seguro, ele ainda não conseguirá enganar o sistema multimodal.

As regras nebulosas são mutuamente exclusivas e estão ilustradas na tabela da figura 3.5 para uma melhor visualização. Observe que a saída é sempre alta quandos1 es2 são ambos alto, independen- temente das outras variáveis. Quando_s1e_s2 são baixos a saída é baixa. No entanto, quando um dos índices de similaridade é alto e o outro é baixo, o valor de _sF dependerá também do parâmetro de

segurança e confiabilidade.

Fig. 3.5: Regras do sistema de inferência nebuloso.