Definição do Problema

De uma forma geral, nos problemas envolvendo o deslocamento através de carros alugados o que se deseja é minimizar os custos totais da atividade, dado que os carros atendam às condições estipuladas de conforto e segurança de seus usuários. Como quem aluga um carro usualmente tem em mente utilizá lo para visitar mais de um local, o problema de locação dos carros, via de regra, não deve ser desassociado do problema de minimizar os custos totais do deslocamento dentro de um trajeto pretendido. No caso do aluguel turístico, é bastante comum que o alugador inicie e termine seu trajeto ou tour terrestre em uma mesma cidade, realizando os deslocamentos mais longos através de outros meios de transporte. No deslocamento, além dos custos relativos ao aluguel, somam se, pelo menos, os custos relativos ao combustível e pedágio. Considerando um grafo G=(N, M, W) onde N={1,...,n} representa o conjunto de vértices do grafo, M ={1,...,m} o conjunto de arestas e W={1,...,w} o conjunto das distâncias entre os vértices de G ou o comprimento das arestas do conjunto M. O problema presentemente descrito possui as seguintes características:

1. Estão disponíveis para o aluguel vários tipos de carro, cada qual possuindo características próprias, ou seja, custos de operação específicos. Tais custos englobam o consumo de combustível, eventuais taxas de pedágio e o valor do aluguel. Como as taxas de pedágio

dependem, normalmente, tanto do tipo de carro como da extensão do trecho percorrido, o valor do aluguel pode ser associado ao quilômetro rodado. Sem perda de generalidade pode se considerar que todos os custos são contabilizados em função de cada carro em um valor associado ao peso ou cumprimento das arestas (i,j) do grafo G. O custo total de operação de um dado carro k ao percorrer uma aresta (i,j) é representado pela variável .

2. Um carro alugado em uma dada operadora somente poderá ser devolvido em uma cidade que conta com pelo menos uma agência dessa mesma locadora ou agência conveniada. Consequentemente, não é permitido ao caixeiro alugar um carro de uma dada operadora para cumprir um trecho de sua rota, se esse carro não puder ser devolvido na última cidade do trecho, por exemplo, se nessa cidade não existir uma agência capacitada a executar seu recebimento.

3. Sempre que for possível alugar um carro em uma cidade i e devolve lo em uma cidade j sendo i ≠ j, haverá uma sobretaxa relativa ao retorno do carro à sua cidade de origem. O parâmetro representa a despesa pelo retorno do carro k alugado na cidade i e entregue na cidade j, i ≠ j,

≥ 0, ∀k.

4. O tour é iniciado e concluído na cidade em que o primeiro carro é alugado. Esta cidade é chamada cidade base ou domicílio do caixeiro alugador.

5. O custo de retorno do carro é nulo no caso em que o caixeiro realiza seu tour utilizando apenas um veículo, o qual é devolvido no mesmo lugar onde foi alugado. Este caso corresponde ao clássico PCV considerando se as demais condições de custo associadas apenas ao carro selecionado.

6. Mesmo carros de características iguais e alugados em uma única rede de locação podem ser contratados sob diferentes custos, dependendo da cidade de locação e da negociação de contrato. Portanto, sem perda de generalidade, a designação de aluguel pode ser eficazmente controlada por decisões associadas aos carros, abstraindo se as locadoras. Presentemente o conjunto K = {1,...,k}, |K| = k é o conjunto dos diferentes carros que podem participar da solução.

7. Os custos do retorno do carro alugado podem estar estritamente associados ao caminho entre a cidade de entrega e a de origem ou serem decorrentes de cálculo independente.

O objetivo do problema proposto é encontrar o ciclo hamiltoniano que, partindo de um vértice inicial previamente conhecido, minimize a soma dos custos totais de operação dos carros utilizados no trajeto. Os custos totais do deslocamento são compostos por uma parcela que unifica o aluguel e demais despesas de trajetória de cada carro em um valor associado às arestas,

e por uma parcela relativa à devolução de um veículo fora da sua cidade base, calculada para cada carro e para cada par de cidades de origem e devolução existentes no ciclo.

O ciclo do caixeiro alugador pode também ser entendido como obtido pela união de até t caminhos Hamiltonianos desenvolvidos sobre até t subconjuntos disjuntos de vértices de G. Cada um dos caminhos é realizado com auxílio de um diferente carro ou de um carro diferente daqueles utilizados para percorrer os caminhos vizinhos no ciclo. Cada caminho é iniciado na última cidade do caminho imediatamente anterior, e a cidade comum dos caminhos é a cidade em que o carro, que percorreu o primeiro caminho, é entregue e o novo carro é alugado para percorrer o próximo trecho. Dessa forma as cidades que compõem o ciclo do caixeiro são agrupadas em até t diferentes subconjuntos de vértices de G e que são percorridos por carros pelo menos distintos entre si nos caminhos vizinhos do ciclo. Essa última exigência se impõe por não fazer sentido entregar um carro de um dado tipo em uma cidade e realugar o mesmo tipo de carro nessa mesma cidade pagando adicionalmente a taxa de retorno do primeiro carro. Observe se que, se um mesmo carro puder ser alugado em diferentes cidades sob diferentes custos, as diferentes tarifas levarão a distinção do carro em tipos diferentes – por modelagem.

(a) Custos do Carro 1 (b) Custos do Carro 2 (c) Custos do Carro 3

Figura 3 – Custos de rota associados a cada carro

A Figura 3 exemplifica, em um grafo completo de seis vértices, uma típica instância do CaRS. No exemplo existem três diferentes carros de aluguel, e os carros estão disponíveis para serem alugados e entregues em todas as cidades do grafo. As Figura 3 (a), (b) e (c) exibem a contabilidade dos custos envolvidos no deslocamento de cada tipo de carro. Observa se que, diferentemente do ciclo do caixeiro viajante clássico, a solução do CaRS depende da cidade escolhida para o início do tour, cidade base do caixeiro. Esse fato decorre da taxa de retorno poder estar vinculada tanto à cidade que inicia o ciclo, quanto ao próprio sentido de percurso desse ciclo. No exemplo essa cidade é representada pelo vértice F.

(a) Custos de retorno do carro 1 alugado em F (b) Custos de retorno do carro 2 alugado em B (c) Custos de retorno do carro 3 alugado em C

Figura 4 – Custo de retorno associados a cada carro, dada uma cidade inicial do aluguel

A Figura 4 mostra, para o exemplo da Figura 3, alguns dos custos do retorno dos carros a suas bases. Os custos de entrega aparecem como números sublinhados junto aos vértices. A Figura 4 (a) exibe o grafo de retorno do carro 1 quando alugado no vértice F. A Figura 4 (b) exibe o grafo de retorno do carro 2 quando alugado no vértice B e a Figura 4 (c) o retorno do carro 3 quando alugado no vértice C. No caso geral do problema são conhecidos os custos de retorno de todos os carros quando alugados em qualquer uma das cidades.

(a) Distribuição dos carros na rota (b) Custo da rota

(c) Custos da rota do Carro 1 (d) Custos da rota do Carro 2 (e) Custos da rota do Carro 3

Uma solução d exibida na Figura 5. Essa disponíveis são alugados de percorrer o ciclo, segun ao custo do caminho F A para o carro 2, somado ao 6 unidades. A esse valor d suas bases. No caso do c unidade. Para o caso do c unidades e, para o carro 3 vértice F custa duas unida

A Figura 6 respectivos domicílios.

Figura 6 – Composição das ro

O PCV corres apenas um carro disponí custos operacionais de ro carro disponível e a taxa devolvido na mesma cidad

Figura 7 – Composição da ro

ão do problema exemplificado na Figura 3 Essa solução considera um caso em que tod

ados e não há carros alugados mais de uma segundo o esquema de solução da Figura 3, A B para o carro 1, somado ao custo do ca do ao custo do caminho C D F do carro 3, em alor deve se acrescentar o custo dos retornos

do carro 1, o retorno do vértice B ao vértice o do carro 2, o retorno do vértice C ao vértice arro 3, o retorno ao vértice C quando o carro é unidades. Assim a solução final custa 11 unid

ilustra o retorno dos carros alugado

das rotas dos carros na rota do caixeiro

orresponde a um caso especial do CaRS isponível para locação para todo o tour. Ne de rota correspondem aos custos associados

taxa de retorno é zero, visto que o carro cidade. A Figura 7 ilustra este caso em espec

da rota do caixeiro no caso de apenas um carro dis

3 e Figura 4 é ue todos os carros uma vez. O custo 3, corresponde do caminho B E C 3, em um total de tornos dos carros a értice F, custa uma értice B custa duas arro é entregue no

unidades.

gados aos seus

aRS onde existe ur. Neste caso os iados a este único carro é alugado e especial.