Porque a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao escalar consideradas satisfazem todas as propriedades listadas acima, dizemos que Rn constitui um espa¸co vectorial real (ou um espa¸co vectorial sobre R) para essas opera¸c˜oes.
Mais precisamente, tem-se a seguinte defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 4.1 (Espa¸co vectorial real). Seja V um conjunto n˜ao vazio. Suponhamos definidas duas opera¸c˜oes:
• uma, que chamamos adi¸c˜ao, que associa a cada par (u, v) de elementos de V , um e um s´o elemento de V , representado por u + v;
• outra, que chamamos multiplica¸c˜ao escalar, que associa a cada n´umero α ∈ R e a cada elemento v em V , um e um s´o elemento de V , denotado por αv.
Dizemos que V , com estas duas opera¸c˜oes, ´e um espa¸co vectorial real ou um espa¸co vectorial sobre R, se as opera¸c˜oes satisfizerem as seguintes propriedades:
A1 A adi¸c˜ao ´e comutativa: ∀u, v ∈ V, u + v = v + u.
A2 A adi¸c˜ao ´e associativa: ∀u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w).
A3 Existe elemento neutro para a adi¸c˜ao em V : ∃z ∈ V ∀v ∈ V, z + v = v + z = v. A4 Todo o elemento de V tem sim´etrico (ou oposto) para a adi¸c˜ao: ∀v ∈ V ∃v0 ∈ V :
v + v0= v0+ v = z.
M1 A multiplica¸c˜ao escalar ´e distributiva relativamente `a adi¸c˜ao em R: ∀α, β ∈ R, ∀v ∈ V, (α + β)v = αv + βv.
M2 A multiplica¸c˜ao escalar ´e distributiva em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao em V : ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V, α(u + v) = αu + αv.
M3 A multiplica¸c˜ao escalar satisfaz a associatividade mista: ∀α, β ∈ R, ∀v ∈ V α(βv) = (αβ)v.
M4 ∀v ∈ V, 1v = v.
Se, na defini¸c˜ao anterior, consideramos os escalares α, β como pertencendo a C, obtemos a defini¸c˜ao de espa¸co vectorial complexo ou espa¸co vectorial sobre C.
Neste curso, estamos especialmente interessados em trabalhar com espa¸cos vectoriais reais. Assim, se nada for dito em contr´ario, os espa¸cos vectoriais considerados ser˜ao sempre espa¸cos vectoriais reais. Por essa raz˜ao, quando falarmos em espa¸co vectorial, devemos entender um espa¸co vectorial real. As adapta¸c˜oes para o caso de um espa¸co vectorial complexo s˜ao triviais. Os elementos de um espa¸co vectorial V s˜ao vulgarmente designados por vectores e os elementos de R (ou C), tal como j´a temos feito, designados por escalares.
Proposi¸c˜ao 4.1 (Unicidade do neutro e do sim´etrico). Seja V um espa¸co vectorial. Ent˜ao: 1. o elemento neutro para a adi¸c˜ao ´e ´unico;
Dem:
1. Suponhamos que existem z e z0 em V tais que, para todo o v ∈ V , se tem z + v = v + z = v
e
z0+ v = v + z0 = v.
Considerando v = z0 na primeira equa¸c˜ao, vem z + z0 = z0. Por outro lado, considerando v = z na segunda equa¸c˜ao, tem-se z+z0 = z. Segue-se, portanto, que z = z0, como quer´ıamos provar.
2. Suponhamos que v ∈ E tem dois sim´etricos v0 e v00, ou seja, que v + v0 = v0+ v = z
e
v + v00= v00+ v0= z, onde z ´e o neutro para a adi¸c˜ao. Ent˜ao,
v0 = v0+ z = v0+ (v + v00) = (v0+ v) + v00= z + v00= v00,
o que estabelece o resultado.
Usaremos a nota¸c˜ao 0V (ou simplesmente 0, se o espa¸co V estiver impl´ıcito) para o elemento neutro da adi¸c˜ao em V e design´a-lo-emos por zero ou vector nulo de V .
Dado v em V , o seu (´unico) sim´etrico ser´a denotado por −v.
Usaremos tamb´em a nota¸c˜ao u − v para designar u + (−v) e falaremos, nesse caso, na diferen¸ca entre u e v.
Seguem-se alguns exemplos de espa¸cos vectoriais sobre R.
Exemplo 4.1. Para m e n dados, o conjunto Rm×ndas matrizes reais de ordem m × n ´e um espa¸co vectorial real para as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de matrizes e de multiplica¸c˜ao de um n´umero por uma matriz, introduzidas no Cap´ıtulo 2 (reveja as propriedades da adi¸c˜ao de matrizes e de multiplica¸c˜ao de um escalar por uma matriz estudadas nesse cap´ıtulo, para confirmar esta afirma¸c˜ao).
Em particular, s˜ao espa¸cos vectoriais reais, para as opera¸c˜oes referidas, os conjuntos R1×n= { x1 x2 . . . xn : xi ∈ R} e Rn×1= x1 x2 .. . xn : xi∈ R
das matrizes linha com n elementos e das matrizes coluna com n elementos, respectivamente. Se examinarmos com aten¸c˜ao a forma como foi definida a adi¸c˜ao de duas matrizes de Rn×1, u + v = u1 u2 .. . un + v1 v2 .. . vn = u1+ v1 u2+ v2 .. . un+ vn
ou a adi¸c˜ao de duas matrizes de R1×n,
u + v = u1 u2 · · · un + v1 u2 · · · vn = u1+ v1 u2+ v2 · · · un+ vn , ou ainda a forma como adicionamos n-uplos de Rn,
u + v = (u1, u2, · · · , un) + (v1, v2, · · · , vn) = (u1+ v1, u2+ v2, · · · , un+ vn) , verificamos que as trˆes opera¸c˜oes s˜ao totalmente idˆenticas: em todos os casos h´a apenas que somar os elementos nas posi¸c˜oes correspondentes. O mesmo se passa relativamente `a multiplica¸c˜ao escalar. Podemos, assim, dizer que:
Os espa¸cos R1×n, Rn×1 e Rn s˜ao todos “o mesmo”, apenas diferindo na forma como apre- sentamos os seus elementos.
Por esse motivo, usaremos indistintamente qualquer das nota¸c˜oes - linha, coluna ou n-uplo - conforme seja mais conveniente, e falaremos sempre em Rn, quando nos referirmos a qualquer dos trˆes espa¸cos acima considerados.
Naturalmente, quando estivermos a trabalhar com outro tipo de opera¸c˜oes onde isso seja relevante, nomeadamente quando efectuarmos produto de matrizes, teremos o cuidado de considerar vectores de Rn com a “forma adequada”; por exemplo, se A for uma matriz do tipo m × n e falarmos no produto de A por um vector v ∈ Rn, estaremos a considerar v como um vector coluna n × 1, isto ´e, como um elemento do espa¸co Rn×1.
Exemplo 4.2. Dado n ∈ N (fixo), o conjunto Pn(x) de todos os polin´omios na vari´avel x, com coeficientes reais, de grau inferior ou igual a n, isto ´e:
´
e um espa¸co vectorial real para a adi¸c˜ao usual de polin´omios e multiplica¸c˜ao de um polin´omio por um n´umero real. Note-se, no entanto, que o conjunto de todos os polin´omios de grau exactamente igual a n, isto ´e, o conjunto
{anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 : ai∈ R, an6= 0} n˜ao ´e um espa¸co vectorial (porquˆe?).
Se representarmos por P(x) o conjunto de todos os polin´omios na vari´avel x e coeficientes reais sem restri¸c˜ao de grau, podemos tamb´em afirmar que P(x) ´e um espa¸co vectorial real para as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao de polin´omios e de multiplica¸c˜ao de um n´umero real por um polin´omio.
Exemplo 4.3. Seja S um subconjunto n˜ao vazio de R e consideremos o conjunto de todas as fun¸c˜oes de S em R, com a adi¸c˜ao de fun¸c˜oes e de multiplica¸c˜ao de um escalar por uma fun¸c˜ao definidas por:
(f + g)(x) = f (x) + g(x) e (αf )(x) = αf (x), x ∈ S, α ∈ R.
Ent˜ao, este conjunto, usualmente denotado por RS, ´e um espa¸co vectorial real para as opera¸c˜oes indicadas.
Exemplo 4.4. O conjunto C[a, b] de todas as fun¸c˜oes reais cont´ınuas definidas num determi- nado intervalo [a, b] de R ´e um espa¸co vectorial real, para as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de fun¸c˜oes e de multiplica¸c˜ao de um escalar por uma fun¸c˜ao introduzidas no exemplo anterior.
Proposi¸c˜ao 4.2. Sendo u,v e w vectores arbitr´arios de um espa¸co vectorial V e sendo α, β n´umeros reais quaisquer, tem-se:
1. u + v = u + w ⇒ v = w (Lei do corte `a esquerda)
2. v + u = w + u ⇒ v = w (Lei do corte `a direita)
3. α0 = 0 4. 0u = 0
5. (−α)u = α(−u) = −(αu) 6. αu = 0 ⇒ α = 0 ou u = 0 7. (αu = αv e α 6= 0) ⇒ u = v 8. (αu = βu e u 6= 0) ⇒ α = β