notas de álgebra linear

(1)

maria joana soares

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1 Sistemas Lineares 1

1.1 Introdu¸c˜ao . . . 1

1.2 Elimina¸c˜ao Gaussiana . . . 4

1.2.1 Matriz simples e matriz ampliada de um sistema . . . 5

1.2.2 Matrizes em escada . . . 8

1.2.3 Caracter´ıstica de uma matriz . . . 11

1.3 Resolu¸c˜ao de sistemas com matriz em escada . . . 12

1.4 M´etodo de Gauss-Jordan . . . 17

1.5 Sistemas homog´eneos . . . 23

1.5.1 Sistemas com matriz quadrada . . . 25

1.6 Exerc´ıcios . . . 26

2 Matrizes 31 2.1 Conceitos b´asicos . . . 31

2.2 Opera¸c˜oes com matrizes . . . 34

2.2.1 Adi¸c˜ao de matrizes . . . 34

2.2.2 Multiplica¸c˜ao escalar . . . 36

(3)

2.2.4 Produto de matrizes . . . 39

2.2.5 Sistemas lineares de novo . . . 46

2.3 Matrizes invert´ıveis . . . 48

3 Determinantes 59 3.1 Conceitos b´asicos . . . 59

3.2 Determinantes de algumas matrizes especiais . . . 66

3.3 Determinantes e opera¸c˜oes elementares . . . 67

3.3.1 Determinante, caracter´ıstica e invertibilidade . . . 67

3.3.2 C´alculo de determinantes usando opera¸c˜oes elementares . . . 69

3.4 Teorema de Laplace . . . 69

3.5 Determinante do produto de matrizes . . . 73

4 Espa¸cos Vectoriais 77 4.1 O espa¸co vectorial Rn . . . 77

4.2 Defini¸c˜ao de espa¸co vectorial . . . 78

4.3 Subespa¸cos vectoriais . . . 83

4.4 Dependˆencia e independˆencia linear . . . 96

4.5 Bases e dimens˜ao . . . 101

4.6 Espa¸cos associados a uma matriz . . . 107

5 Transforma¸c˜oes Lineares 115 5.1 Generalidades . . . 115

5.2 N´ucleo e espa¸co imagem . . . 118

5.3 Representa¸c˜ao matricial de transforma¸c˜oes lineares . . . 119

(4)

6 Valores e Vectores Pr´oprios 127 6.1 Generalidades . . . 127

6.2 Subespa¸cos pr´oprios . . . 129

6.3 Matrizes diagonaliz´aveis . . . 130

7 Solu¸c˜oes dos Exerc´ıcios 135 7.1 Cap´ıtulo 1 . . . 135 7.2 Cap´ıtulo 2 . . . 139 7.3 Cap´ıtulo 3 . . . 143 7.4 Cap´ıtulo 4 . . . 145 7.5 Cap´ıtulo 5 . . . 148 7.6 Cap´ıtulo 6 . . . 150 Bibliografia 153 ´Indice 154

(5)

Sistemas Lineares

1.1 Introdu¸c˜ao

Um problema muito importante em diversas áreas das Ciências e Engenharia é o da resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares, sobre o qual nos debru¸caremos neste primeiro cap´ıtulo.

Comecemos por relembrar que uma equa¸cão linear nas variáveis (ou incógnitas) x1, x2, . . . , xn ´

e uma equa¸c˜ao que pode ser escrita na forma

a1x1+ a2x2+ · · · + anxn= b, (1.1) onde a1, a2, . . . , an e b são números dados.1 As constantes a1, a2, . . . an são os coeficientes das incógnitas e b é o termo independente.

Exemplo 1.1. A equa¸c˜ao

2x1+ x2− x3= 5 ´

e uma equa¸cão linear nas variáveis x1, x2 e x3. As equa¸cões 2x1x2+ 5x3 = 4 e

cos x1+ x2− x3 = 3 n˜ao s˜ao lineares.

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Uma solu¸cão da equa¸cão (1.1) é uma lista ordenada de n números (isto é, aquilo a que chamamos um n-uplo ordenado) (s1, s2, . . . , sn) tais que as substitui¸cões xi = si, i = 1, . . . , n, transformam a equa¸cão numa proposi¸cão verdadeira, isto é, tais que

a1s1+ a2s2+ . . . + ansn= b. Exemplo 1.2. Consideremos a equa¸c˜ao

2x1+ x2 = 5.

Então, (1, 1) não é solu¸cão dessa equa¸cão, uma vez que 2 × 1 + 1 = 3 6= 5, mas (1, 3) é solu¸cão, já que 2 × 1 + 3 = 5. De facto, qualquer que seja k ∈ R, (k, 5 − 2k) é solu¸cão desta equa¸cão. Vemos, assim, que a equa¸cão admite uma infinidade de solu¸cões.

Um sistema de equa¸cões lineares é uma coleçcão finita de equa¸cões lineares (todas nas mesmas incógnitas) consideradas em conjunto:

             a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2 .. . am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn= bm , (1.2)

onde aij e bi são números dados. Os xi’s são as variáveis (ou incógnitas) que pretende-mos determinar, aij é o coeficiente da incógnita xj na i-ésima equa¸cão, sendo bi o termo independente dessa mesma equa¸cão.

Uma solu¸cão do sistema é um n-uplo ordenado de números que é solu¸cão de todas as equa¸cões que constituem o sistema.

Para um sistema de equa¸cões lineares, existem três possibilidades, no que diz respeito às suas solu¸cões:

• o sistema não admite solu¸cão; diz-se, neste caso, que é imposs´ıvel ou inconsistente; • o sistema admite uma e uma só solu¸cão, caso em que se diz poss´ıvel e determinado; • o sistema admite uma infinidade de solu¸cões, dizendo-se, então, poss´ıvel e indeterminado. Pode provar-se que, se um sistema linear tem mais do que uma solu¸cão, então tem um número infinito de solu¸cões, não sendo poss´ıvel que um sistema tenha, por exemplo, exactamente duas solu¸cões distintas.

(7)

Exemplo 1.3. O sistema

( x1+ x2= 2 x1+ x2= 4 ´

e um sistema imposs´ıvel, uma vez que não existem dois números números cuja soma seja, simultaneamente, igual a 2 e a 4, ou seja, a exigência sobre as variáveis imposta por uma das equa¸cões é incompat´ıvel com a da outra equa¸cão. Considere-se agora o sistema

(

x1+ x2 = 2 2x1+ 2x2 = 4 .

Verificamos facilmente que a “informa¸cão”fornecida pela primeira equa¸cão é idêntica à da segunda, uma vez que, quaisquer que sejam os números s1 e s2, se tem

2s1+ 2s2= 4 ⇐⇒ 2(s1+ s2) = 4 ⇐⇒ s1+ s2 = 2,

pelo que qualquer par de números é solu¸cão da primeira equa¸cão se e só se também for solu¸cão da segunda. Na prática, tudo se passa como se dispuséssemos apenas de uma equa¸cão nas duas incógnitas x1 e x2, a equa¸cão x1+ x2= 2, sendo fácil de verificar que será solu¸cão dessa equa¸cão qualquer par da forma (2 − k, k), com k ∈ R. Este sistema é, portanto, poss´ıvel e indeterminado. Finalmente, se considerarmos o sistema

( x1+ x2 = 2 2x2 = 4 ,

vemos que da segunda equa¸cão, 2x2 = 4, resulta que x2 = 2; sendo x2 = 2, ter-se-á, da primeira equa¸cão

x1+ 2 = 2 ⇐⇒ x1 = 0.

Vemos, assim, que (0, 2) é a única solu¸cão deste sistema, o qual é, portanto, poss´ıvel e determinado.

Quando lidamos com sistemas de equa¸cões lineares, estamos geralmente interessados, numa primeira fase, em saber a qual das categorias acima referidas pertence o sistema: é o que chamamos discutir o sistema. Sendo o sistema poss´ıvel, pretendemos geralmente, determinar a sua solu¸cão, caso seja determinado, ou descrever o conjunto de todas as suas solu¸cões, caso ele seja indeterminado: trata-se de resolver o sistema.

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1.2 Elimina¸c˜ao Gaussiana

Defini¸cão 1.1. Dois sistemas de equa¸cões lineares dizem-se equivalentes se e só se tiverem o mesmo conjunto de solu¸cões.

O método de elimina¸cão de Gauss (ou dde elimina¸cão Gaussiana) é um processo sistemático de transformar um dado sistema num sistema equivalente, mas com uma forma que facilite a sua discussão e resolu¸cão.

O método baseia-se no uso das chamadas opera¸cões elementares de um sistema. Existem três tipos de opera¸cões elementares que podem ser efectuadas num sistema:

1. troca da ordem de equa¸c˜oes;

2. multiplica¸cão de uma equa¸cão por um número diferente de zero; 3. adi¸cão a uma equa¸cão de outra equa¸cão multiplicada por um número.

A importância das opera¸cões elementares de um sistema é estabelecida no seguinte teorema (cuja demonstra¸cão omitimos).

Teorema 1.1 (Princ´ıpio de Equivalência de Sistemas). Se, dado um sistema de equa¸cões lineares, efectuarmos sobre ele uma sequência finita de opera¸cões elementares, obtemos um sistema equivalente ao primeiro.

Vejamos um exemplo muito simples de utiliza¸cão de opera¸cões elementares para a redu¸cão de um sistema a uma forma adequada à sua resolu¸cão.

Exemplo 1.4. Consideremos o sistema    2x1 + x2 + x3 = 1 6x1 + 2x2 + x3 = −1 −2x₁ + 2x2 + x3 = 7 .

Comecemos por tentar “eliminar”a incógnita x1 das segunda e terceira equa¸cões, adicionan-do-lhes múltiplos adequados da primeira. Se adicionarmos à segunda equa¸cão a primeira multiplicada por −3 e adicionarmos a primeira equa¸cão à terceira, obtemos o seguinte sistema

   2x1 + x2 + x3 = 1 − x2 − 2x3 = −4 3x2 + 2x3 = 8 .

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O nosso próximo objectivo é eliminar a incógnita x2 da terceira equa¸cão, adicionando-lhe um múltiplo da segunda equa¸cão. Para tal, bastar-nos-á adicionar à terceira equa¸cão a segunda multiplicada por 3, resultando no seguinte sistema:

   2x1 + x2 + x3 = 1 − x2 − 2x3 = −4 − 4x₃ = −4 .

Neste ponto, dizemos que o sistema foi triangularizado ou que tem a forma triangular (su-perior). Um sistema triangular superior resolve-se muito facilmente pelo chamado método de substitui¸cão inversa: da última equa¸cão (que envolve apenas a última incógnita) retira-se o valor da última incógnita; este valor é substitu´ıdo na penúltima equa¸cão, sendo esta resolvida para obter o valor da penúltima incógnita; os valores destas incógnitas substituem-se então na equa¸cão anterior para retirar o valor da próxima incógnita, continuando-se, de forma análoga, até que todos os valores das incógnitas sejam encontrados. No nosso exemplo, da última equa¸cão

−4x3 = −4 resulta x3 = 1. Substituindo na segunda equa¸c˜ao, vem

−x2− 2(1) = −4 ⇐⇒ −x2 = −4 + 2 ⇐⇒ −x2 = −2 ⇐⇒ x2= 2. Finalmente, substituindo os valores x2= 2 e x3 = 1 na primeira equa¸c˜ao, vem

2x1+ 2 + 1 = 1 ⇐⇒ 2x1= −2 ⇐⇒ x1 = −1.

Assim, vemos que o sistema dado é poss´ıvel e determinado, sendo (−1, 2, 1) a sua única solu¸cão.

1.2.1 Matriz simples e matriz ampliada de um sistema

Ao aplicarmos as opera¸cões elementares sobre um sistema verificamos que estas apenas afectam os coeficientes das incógnitas e os termos independentes, não havendo, portanto necessidade de escrever os s´ımbolos “xi”e “=”em cada passo. Por exemplo, se consideramos o seguinte sistema de equa¸cões

3x1 + x2 − x3 = 4

5x1 + 2x3 = 5

, bastar´a apenas considerar o seguinte quadro de n´umeros

3 1 −1 4

5 0 2 5

.

(10)

Um quadro rectangular de m × n números dispostos em m linhas e n colunas chama-se uma matriz de ordem m × n.2 Escreve-se, por vezes Am×n para indicar que A é de ordem m × n. Os números que formam esse quadro são chamados elementos da matriz. Se A é uma dada matriz, é usual usar aij para denotar os respectivos elementos: o primeiro ´ındice indica a que linha pertence o elemento e o segundo refere-se à coluna em que se situa o elemento. No próximo cap´ıtulo, dedicar-nos-emos ao estudo pormenorizado de matrizes; neste cap´ıtulo, apenas nos interessam as matrizes associadas a sistemas. Os elementos da matriz aparecem rodeados, quer por parênteses curvos (como no exemplo acima), quer por parênteses rectos. Assim, uma forma alternativa de representar a matriz acima dada é a seguinte:

3 1 −1 4 5 0 2 5 . Dado um sistema              a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2 .. . am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn= bm , `

a matriz formada pelos coeficientes das inc´ognitas      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... ... ... am1 am2 · · · amn     

chamamos matriz simples do sistema e `a matriz      a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 .. . ... ... ... ... am1 am2 · · · amn bm     

chamamos matriz ampliada do sistema. Se A designar a matriz simples do sistema e b for a matriz m×1 (uma matriz deste tipo é chamada uma matriz coluna) dos termos independentes, designamos a matriz ampliada do sistema por (A b). Ao formar-se a matriz ampliada, é frequente separar-se, por uma linha vertical, a parte correspondente à matriz simples, da

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coluna dos termos independentes, para destacar o papel especial desta última coluna, isto é, a matriz ampliada do sistema é escrita na forma

     a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 .. . ... ... ... ... am1 am2 · · · amn bm      ,

usando-se, ent˜ao, a nota¸c˜ao (A|b) para a designar. `

As opera¸cões elementares de sistemas correspondem, naturalmente, opera¸cões nas linhas da matriz ampliada. Por exemplo, à multiplica¸cão de uma equa¸cão por um número diferente de zero corresponde a multiplica¸cão (de todos os elementos) da linha respectiva por esse número.

Opera¸c˜oes Elementares sobre Linhas

Dada uma matriz, chamam-se opera¸c˜oes elementares sobre as linhas dessa matriz, as seguintes opera¸c˜oes:

Tipo O1 Troca de duas linhas.

Tipo O2 Multiplica¸c˜ao de uma linha por um n´umero diferente de zero.

Tipo O3 Substitui¸c˜ao de uma linha pela sua soma com uma outra linha multiplicada por um n´umero.

Tendo em conta o princ´ıpio de equivalˆencia de sistemas, podemos afirmar que:

“Se (A|b) é a matriz ampliada de um sistema e (E|c) é uma matriz obtida de (A|b) por uma sequência de opera¸cões elementares sobre linhas, então estas matrizes correspondem a sistemas equivalentes.”

Defini¸cão 1.2. Uma matriz A diz-se equivalente por linhas a uma matriz B, se for poss´ıvel converter A em B, usando um número finito de opera¸cões elementares sobre linhas. Note-se que, se A é uma matriz equivalente por linhas a B, também B é equivalente por linhas a A,3 por isso poderemos simplesmente dizer que A e B são equivalentes por linhas. Escreve-se, então, Alinhas∼ B.

3

(12)

1.2.2 Matrizes em escada

A ideia do método de elimina¸cão de Gauss é transformar a matriz ampliada (A|b) de um sistema dado, por equivalência de linhas, numa outra matriz (E|c) que tenha uma forma especialmente adequada à discussão e resolu¸cão do sistema. Mais precisamente, a forma a que pretendemos chegar é a da chamada matriz em escada. Para descrever essa forma, introduzimos primeiramente as seguinte defini¸cão.

Defini¸cão 1.3. Seja A uma matriz. Um elemento aik situado na linha i e na coluna k da matriz é dito um pivô, se é o primeiro (a contar da esquerda) elemento não nulo da sua linha, isto é, se aik 6= 0 e aij = 0, para j < k. Uma linha nula, isto é, formada toda por zeros, não tem pivô.

Matriz em Escada

Diz-se que uma matriz ´e uma matriz em escada ou que tem a forma em escada, se forem satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:

1. se uma linha da matriz for toda formada por zeros, então todas as linhas abaixo dela também são todas formadas por zeros, i.e. as (eventuais) linhas nulas da matriz ocupam a parte inferior da matriz;

2. se o pivô da linha i estiver na coluna k, então todos os elementos abaixo da posi¸cão i nas colunas 1, 2 . . . , k são nulos.

Exemplo 1.5. A matriz A =          4 2 0 1 −1 3 5 1 0 0 2 1 3 −2 0 2 0 0 0 4 1 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0          ´

e uma matriz em escada. Os pivˆos s˜ao os elementos rodeados por um quadrado. A matriz B =          4 2 0 1 −1 3 5 1 0 0 2 1 3 −2 0 2 0 3 0 4 1 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0         

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não é uma matriz em escada, uma vez que o pivô da linha 2 está na coluna 3 e, na coluna 2 o elemento na linha 3 é não nulo. A matriz

C =          4 2 0 1 −1 3 5 1 0 0 2 1 3 −2 0 2 0 0 0 4 1 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0         

também não é uma matriz em escada, já que a linha 4 é nula, mas a linha 5 não.

Antes de descrevermos, de uma forma genérica, o método de elimina¸cão de Gauss para a conversão de uma matriz (em geral, matriz ampliada de um sistema), usando opera¸cões elementares sobre linhas, numa matriz em escada, vejamos alguns exemplos simples.

Exemplo 1.6. Considere-se a seguinte matriz   1 2 1 1 2 4 3 3 3 7 1 5  . (1.3)

A redu¸c˜ao `a forma em escada pode efectuar-se com se indica abaixo   1 2 1 1 2 4 3 3 3 7 1 5  −−−−−→ L2−2L1 L3−3L1   1 2 1 1 0 0 1 1 0 1 −2 2  −−−−→ L2↔L3    1 2 1 1 0 1 −2 2 0 0 1 1   .

Nota: A nota¸cão usada para indicar as opera¸cões executadas é a seguinte: Li+ kLj significa que a

i-´esima linha ´e substitu´ıda pela sua soma com a linha j multiplicada por k e Li ↔ Lj indica a troca

das linhas i e j.

Exemplo 1.7. Consideremos agora a seguinte matriz     1 2 1 3 3 2 4 0 4 4 1 2 3 5 5 4 8 0 8 8     (1.4)

e vejamos como podemos reduzi-la `a forma em escada.     1 2 1 3 3 2 4 0 4 4 1 2 3 5 5 4 8 0 8 8     −−−−−→ L2−2L1 L3−L1 L4−4L1     1 2 1 3 3 0 0 -2 −2 −2 0 0 2 2 2 0 0 −4 −4 −4     −−−−−→ L3+L2 L4−2L2     1 2 1 3 3 0 0 -2 −2 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     .

(14)

Exemplo 1.8. Considere-se agora a seguinte matriz, bastante idˆentica `a do exemplo anterior:     1 2 1 3 3 2 4 0 4 4 1 2 3 5 5 4 8 0 8 6     . (1.5)

Temos, neste caso:     1 2 1 3 3 2 4 0 4 4 1 2 3 5 5 4 8 0 8 6     −−−−−→ L2−2L1 L3−L1 L4−4L1     1 2 1 3 3 0 0 -2 −2 −2 0 0 2 2 2 0 0 −4 −4 −6     −−−−−→ L3+L2 L4−2L2     1 2 1 3 3 0 0 -2 −2 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 − 2     −−−−→ L3↔L4      1 2 1 3 3 0 0 -2 −2 −2 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0     

Exemplo 1.9. Como ´ultimo exemplo, consideremos a matriz   0 5 1 −8 0 3 −3 6 4 −8 12 0  . (1.6)

Temos, neste caso   0 5 1 −8 0 3 −3 6 4 −8 12 0  −−−−→ L1↔L3   4 −8 12 0 0 3 −3 6 0 5 1 −8  −−−−−→ L3−5₃L2    4 −8 12 0 0 3 −3 6 0 0 6 −18   .

Se estudarmos com cuidado cada um dos exemplos anteriores, não é dif´ıcil de concluir que o método que usámos – Método de Elimina¸cão de Gauss – seguiu os passos descritos no quadro seguinte.

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M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss

(Convers˜ao de uma matriz numa matriz em escada)

Para reduzir uma matriz Am×n `a forma em escada, podemos seguir o seguinte m´etodo: Passo 1

• come¸cando da esquerda para a direita, procuramos a primeira coluna que contenha um elemento n˜ao nulo;

• se não existir tal coluna, A é a matriz nula e está, portanto, já na forma em escada, pelo que não haverá nada a fazer;

• caso contrário, suponhamos que tal coluna é a coluna j; com eventual troca de linhas, colocamos na posi¸cão (1, j) um elemento não nulo;

• adicionando múltiplos convenientes da linha 1 às linhas 2, . . . , m, anulamos todos os elementos da coluna j situados abaixo da posi¸cão 1.

Passo 2

• come¸cando da esquerda para a direita, procuramos a primeira coluna que contenha um elemento n˜ao nulo na posi¸c˜ao 2 ou abaixo dela;

• se tal coluna n˜ao existir, o processo est´a conclu´ıdo;

• caso contrário, sendo p essa coluna, por eventual troca de linhas, colocamos na posi¸cão (2, p) um elemento não nulo;

• adicionando múltiplos convenientes da linha 2 às linhas 3, . . . , m, anulamos todos os elementos da coluna p situados abaixo da posi¸cão 2.

· · ·

O processo repete-se, de modo análogo, até que não haja mais linhas ou colunas.

1.2.3 Caracter´ıstica de uma matriz

Uma vez que há alguma flexibilidade na escolha das opera¸cões elementares por linhas usadas para converter uma dada matriz A numa outra matriz E com a forma em escada (nomeada-mente, na escolha do elemento a colocar na posi¸cão de pivô, quando efectuamos troca de linhas), as entradas de E não estão definidas de forma única, a partir de A. No entanto, pode provar-se que a forma de E é única, no sentido em que as posi¸cões dos pivôs em E estão univocamente determinadas pelas entradas da matriz A. Isto significa, em particular, que o número de pivôs (que é igual ao número de linhas não nulas de E) também é

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univo-camente determinado pela matriz A. Este número é chamado caracter´ıstica da matriz A e, como veremos posteriormente, é um número muito importante associado a uma matriz.

Caracter´ıstica de uma Matriz

Suponhamos que uma dada matriz A de ordem m × n é convertida, por opera¸cões elementares sobre linhas, numa matriz em escada E. A caracter´ıstica de A, que des-ignaremos por car(A), é definida como

car(A) = n´umero de pivˆos de E

= número de linhas não nulas de E = número de colunas básicas de A,

onde as colunas básicas (também referidas como colunas principais) de A são as colunas de A correspondentes às colunas de E que contêm os pivôs.

Retomando os Exemplos 1.6 – 1.9 vemos que: a matriz (1.3) do Exemplo 1.6 tem caracter´ıstica 3, sendo as suas 3 primeiras colunas, colunas principais; a matriz (1.14) do Exemplo 1.7 tem caracter´ıstica 2, sendo as suas colunas 1 e 3 as colunas principais; a matriz (1.5) do Exemplo 1.8 tem caracter´ıstica 3 e as suas colunas principais s˜ao as colunas 1, 3 e 5; finalmente, a matriz (1.6) considerada no Exemplo 1.9 tem caracter´ıstica 3 e as suas colunas principais s˜ao as colunas 1,2 e 3.

1.3 Resolu¸c˜ao de sistemas com matriz em escada

Agora que j´a sabemos como transformar uma matriz dada numa matriz em escada, por meio de opera¸c˜oes elementares sobre as suas linhas, vejamos como usar esse conhecimento para discutir e resolver um sistema.

Exemplo 1.10. Consideremos o sistema        x1+ 2x2+ x3 = 1 2x2+ 4x2+ 3x3 = 3 3x1+ 7x2+ x3 = 5 .

A matriz ampliada deste sistema ´e a matriz

(A|b) =   1 2 1 1 2 4 3 3 3 7 1 5  

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que é precisamente a matriz (1.3) considerada no Exemplo 1.6 na pg. 9. Já vimos que essa matriz é equivalente por linhas à seguinte matriz em escada:

(E|c) =    1 2 1 1 0 1 −2 2 0 0 1 1   ,

a qual corresponde ao seguinte sistema (equivalente ao sistema dado):        x1+ 2x2+ x3 = 1 x2− 2x3 = 2 x3 = 1 . ´

E imediato concluir que, neste caso, vai ser poss´ıvel encontrar uma e uma única solu¸cão para este sistema, por substitui¸cão inversa. A última equa¸cão diz-nos que x3 = 1; substituindo este valor na segunda equa¸cão e resolvendo a equa¸cão resultante, vem x2− 2(1) = 2, de onde se obtém x2 = 4; substituindo os valores de x2 = 4 e x3 = 1 na primeira equa¸cão, resulta x1+ 2(4) + 1 = 1, de onde se retira o valor da variável x1, x1 = −8. Assim, o sistema dado ´

e poss´ıvel e determinado e a sua solu¸c˜ao ´e (−8, 4, 1). Observe-se que, neste caso, se tem:

• car(A) = número de pivôs de E = 3 • car(A|b) = número de pivôs de (E|c) = 3

• número de incógnitas = número de colunas de A = 3.

Exemplo 1.11. Consideremos agora o seguinte sistema, cuja matriz ampliada ´e a matriz do Exemplo 1.8 na pg. 10:            x1+ 2x2+ x3+ 3x4 = 3 2x1+ 4x2+ 4x4 = 4 x1+ 2x2+ 3x3+ 5x5 = 5 4x1+ 8x2+ 8x4 = 6 .

Retomando o Exemplo 1.8, vemos que a matriz ampliada deste sistema pode ser convertida na seguinte matriz em escada:

     1 2 1 3 3 0 0 -2 −2 −2 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 0      .

(18)

A terceira linha desta matriz ampliada corresponde `a equa¸c˜ao 0x1+ 0x2+ 0x3+ 0x4= −2,

a qual é, naturalmente, uma equa¸cão sem solu¸cão; assim, o sistema dado é imposs´ıvel. Note-se que, neste caso se tem:

• car(A) = 2 • car(A|b) = 3.

Exemplo 1.12. Como último exemplo, considere-se o sistema nas variáveis x1, x2, x3 e x4, cuja matriz ampliada é a matriz do Exemplo 1.7 na pg. 9. Neste caso, após a redu¸cão à forma em escada, tem-se a seguinte matriz ampliada:

    1 2 1 3 3 0 0 -2 −2 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     .

Não há agora nenhuma equa¸cão da forma 0x1+ 0x2+ 0x3+ 0x4 = k com k 6= 0, ou seja, não encontramos nenhuma equa¸cão sem solu¸cão; além disso, embora dispuséssemos, inicialmente, de 4 equa¸cões para determinar o valor das 4 variáveis, vemos que, na realidade, há apenas 2 equa¸cões com “informa¸cão relevante”, pois duas delas foram transformadas numa identidade 0 = 0, ou seja, o sistema dado é equivalente ao seguinte sistema reduzido:

( x1+ 2x2+ x3+ 3x3 = 3 −2x3− 2x4 = −2

.

Vemos, então, que não vai ser poss´ıvel determinar univocamente o valor das 4 variáveis: duas delas vão ser livres ou independentes (isto é, vão poder tomar valores arbitrários), e as outras duas, ditas principais ou dependentes, irão tomar valores que dependem dos valores atribu´ıdos `

as variáveis livres; por outras palavras, as variáveis dependentes vão ser fun¸cão das variáveis livres. Note-se, que, neste caso se tem:

• car(A) = 2 • car(A|b) = 2

(19)

• número de variáveis livres= 4 − 2 =número de variáveis− car(A).

Vamos considerar como variáveis principais aquelas que correspondem às colunas principais, ou, dito de outro modo, aquelas que estão associadas aos pivôs;4 _{neste caso, ser˜}_{ao principais} as variáveis x1 e x3, sendo as variáveis x2 e x4 livres; atribuindo valores arbitrários a x2 e x4 isto é, considerando x2 = α e x4 = β, α, β ∈ R, e substituindo esses valores nas duas primeiras equa¸cões, tem-se

           x1+ 2α + x3+ 3β = 3 −2x3− 2β = −2 x2= α x4= β .

Passando para o lado direito das equa¸c˜oes os termos com α e β, vem            x1+ x3= 3 − 2α − 3β −2x3= −2 + 2β x2= α x4= β

e as duas primeiras equa¸cões deste sistema estão prontas a ser resolvidas por substitui¸cão inversa:

−2x3 = −2 + 2β ⇐⇒ x3= − 1

2(−2 + 2β) ⇐⇒ x3= 1 − β; substituindo a expressão de x3 na primeira equa¸cão e resolvendo em ordem a x1 virá:

x1+ (1 − β) = 3 − 2α − 3β ⇐⇒ x1 = 2 − 2α − 2β Vemos, então, que o conjunto de solu¸cões do sistema dado é o conjunto

{(2 − 2α − 2β, α, 1 − β, β) : α, β ∈ R}.

Solu¸cões particulares do sistema poderão ser encontradas atribuindo valores espec´ıficos a α e a β. Por exemplo, uma solu¸cão poss´ıvel do sistema será (0, 1, 1, 0), a qual corresponde à escolha α = 1, β = 0.

Os exemplos que acab´amos de considerar incluem cada um dos casos que nos podem surgir quando pretendemos discutir e resolver um sistema linear.

4_{Isto n˜}_{ao ´}_{e estritamente necess´}_{ario, mas, neste curso, por uma quest˜}_{ao de simplicidade, seguiremos sempre} esta metodologia.

(20)

Descrevemos, de seguida, o procedimento sistemático que devemos adoptar quando pre-tendermos discutir e, sendo poss´ıvel, resolver, um sistema de equa¸cões lineares, com base no uso do processo de elimina¸cão de Gauss.

Discuss˜ao e Resolu¸c˜ao de um Sistema

(Redu¸cão à forma em escada por elimina¸cão de Gauss + substitui¸cão inversa)

Seja dado um sistema de m equa¸c˜oes lineares em n inc´ognitas e seja (A|b) a respectiva matriz ampliada.

1. Para discutir esse sistema, podemos proceder do seguinte modo:

• convertemos a matriz ampliada do sistema numa matriz em escada (E|c); • se car(A) < car(A|b), conclu´ımos que o sistema ´e imposs´ıvel;

• se car(A) = car(A|b), conclu´ımos que o sistema é poss´ıvel; nesse caso, ele será determinado, se tivermos car(A) = n e indeterminado, se car(A) < n; neste último caso, o seu grau de indetermina¸cão (ou seja, o número de variáveis livres) é dado por n − car(A).

2. Se car(A) = car(A|b) = r e pretendermos resolver o sistema, podemos proceder do seguinte modo:

• se r = n (caso em que o sistema é determinado), usamos o método de substitui¸cão inversa, determinando o valor das incógnitas da última para a primeira;

• se r < n:

– identificamos as r colunas de E com pivôs e consideramos as respectivas variáveis como variáveis principais, sendo as restantes n − r variáveis, variáveis livres;

– supondo que as variáveis principais são as variáveis xp1, . . . , xpr e que x`1, . . . , x`n−r são as variáveis livres, fazemos x`1 = α1, x`2 = α2, . . . , x`n−r = αn−r, com αi ∈ R.

– substitu´ımos as expressões acima nas primeiras r equa¸cões do sistema em escada, passamos esses termos para o lado direito das equa¸cões e resolvemos o sistema correspondente, em ordem às r variáveis principais, por substitui¸cão inversa; os valores das variáveis principais xp1, . . . , xpr virão dados em fun¸cão de α1, . . . , αn−r.

(21)

1.4 M´etodo de Gauss-Jordan

O método de resolver sistemas descrito na seçcão anterior foi baseado na redu¸cão da matriz ampliada do sistema a uma matriz em escada. É poss´ıvel, usando apenas opera¸cões elementares sobre linhas, converter uma matriz numa forma ainda mais simplificada, a chamada forma em escada reduzida.

Matriz em Escada Reduzida

Diz-se que uma matriz ´e uma matriz em escada reduzida ou que tem a forma em escada reduzida, se forem satisfeitas as seguintes condi¸c˜oes:

1. a matriz tem a forma em escada; 2. os pivˆos s˜ao todos iguais a 1;

3. as colunas que contêm um pivô têm todos os elementos, à excep¸cão do pivô, iguais a zero. Exemplo 1.13. A matriz A =          1 2 0 0 1 4 0 0 0 0 1 0 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0         

tem a forma em escada reduzida, mas a matriz B abaixo, sendo embora muito idêntica a A, não é uma matriz em escada reduzida (porquê?).

B =          1 2 0 0 1 4 1 0 0 0 1 0 2 1 3 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0          A matriz C =          1 2 0 0 1 4 0 0 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0         

(22)

também não é uma matriz em escada reduzida.

Vejamos um exemplo da redu¸cão à forma em escada reduzida de uma matriz A, usando opera¸cões elementares sobre linhas.

Exemplo 1.14. Consideremos a matriz j´a usada no Exemplo 1.8 na pg. 10:     1 2 1 3 3 2 4 0 4 4 1 2 3 5 5 2 4 0 4 4     . Tem-se     1 2 1 3 3 2 4 0 4 4 1 2 3 5 5 2 4 0 4 7     −−−−−→ L2−2L1 L3−L1 L4−2L1     1 2 1 3 3 0 0 −2 −2 −2 0 0 2 2 2 0 0 −2 −2 1     −−−→ −1 2L2     1 2 1 3 3 0 0 1 1 1 0 0 2 2 2 0 0 −2 −2 1     −−−−−→ L3−2L2 L4+2L2 L1−L2     1 2 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3     −−−−→ L4↔L3     1 2 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0     −−→ 1 3L3      1 2 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0      −−−−−→ L2−L3 L1−2L3      1 2 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0      .

O processo que seguimos no exemplo anterior para reduzir uma matriz à forma em escada reduzida é chamado método de Gauss-Jordan e pode ser descrito do seguinte modo.

(23)

M´etodo de Gauss-Jordan

(Redu¸c˜ao de uma matriz `a forma em escada reduzida)

Para reduzir uma dada matriz Am×n `a forma em escada reduzida, podemos usar o seguinte processo:

Passo 1

• movendo-nos da esquerda para a direita, procuramos a primeira coluna que con-tenha um elemento n˜ao nulo na posi¸c˜ao 1 ou abaixo dela;

• caso contrário, suponhamos que tal coluna é a coluna j; com eventual troca de linhas, colocamos na posi¸cão (1, j) um elemento não nulo, o qual será o pivô da linha 1;

• multiplicamos a linha 1 pelo inverso do seu pivô, para que o pivô fique igual a 1; este procedimento é desnecessário, naturalmente, se o pivô for já igual a 1; • adicionando a linha 1 multiplicada por números convenientes a todas as outras

linhas, anulamos os elementos da coluna j, situados abaixo da posi¸c˜ao 1; Passo 2

• movendo-nos da esquerda para a direita, procuramos a primeira coluna que con-tenha um elemento n˜ao nulo na posi¸c˜ao 2 ou abaixo dela;

• caso contrário, suponhamos que tal coluna é a coluna p; com eventual troca de linhas, colocamos na posi¸cão (2, p) um elemento não nulo, o qual será o pivô da linha 2;

• multiplicamos a linha 2 pelo inverso do seu pivô, para que o pivô fique igual a 1; este procedimento é desnecessário, naturalmente, se o pivô for já igual a 1; • adicionando a linha 2 multiplicada por números convenientes a todas as outras

linhas, anulamos os elementos da coluna 2, situados quer abaixo quer acima da posi¸c˜ao 2.

· · ·

O processo repete-se, de modo análogo, até que não haja mais linhas ou colunas.

Observa¸cão importante: Pode provar-se que, quando convertemos uma dada matriz A na forma em escada reduzida, usando opera¸cões elementares sobre linhas (mesmo que não sigamos exactamente o algoritmo acima proposto), a matriz a que chegaremos será sempre a

(24)

mesma, isto é, para além de ter sempre a mesma forma (como se passa na simples redu¸cão `

a forma em escada) tem os elementos nas diversas posi¸cões univocamente determinados. Por outras palavras, existe uma única matriz em escada reduzida, produzida a partir de A por opera¸cões elementares sobre linhas, ou seja, equivalente por linhas à matriz A. Neste curso, reservaremos a nota¸cão EApara designar tal matriz.

´

E fácil de ver (justifique!) que, se A for uma matriz em que o número de linhas (m) é gual ao número de colunas (n) – caso em que A se diz quadrada de ordem n – e se essa matriz tiver caracter´ıstica igual a n, a respectiva matriz em escada será a seguinte matriz:

       1 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 .. . ... ... · · · ... 0 0 0 · · · 1        .

Naturalmente, o rec´ıproco é também verdadeiro, isto é, se A for uma matriz cuja respectiva matriz em escada seja a matriz anterior, então car(A) = n.

Uma matriz como a anterior, quadrada de ordem n, em que os elementos situados nas posi¸cões (i, i) são todos iguais a 1 e os restantes elementos são todos zero, chama-se matriz identidade de ordem n e denota-se por In (ou apenas por I, se a ordem se deduzir pelo contexto). Resumindo, tem-se o resultado seguinte.

Sendo A quadrada de ordem n, tem-se

car(A) = n ⇐⇒ EA= In.

Vejamos agora como resolver um sistema de equa¸cões, fazendo uso do método de Gauss-Jordan para reduzir a sua matriz ampliada à forma em escada reduzida.

Exemplo 1.15. Como primeiro exemplo, consideremos o sistema        2x1+ x2+ 2x3 = 0 x1− x2− x3 = 2 3x1− x2− x3 = 4 .

A sua matriz ampliada ´e a seguinte:

(A|b) =   2 1 2 0 1 −1 −1 2 3 −1 −1 4  .

(25)

Convertamos, ent˜ao, esta matriz na forma em escada reduzida:   2 1 2 0 1 −1 −1 2 3 −1 −1 4  −−→ 1 2L1   1 1₂ 1 0 1 −1 −1 2 3 −1 −1 4  −−−−−→ L2−L1 L3−3L1   1 1₂ 1 0 0 −3 2 −2 2 0 −5₂ −4 4   −−−→ −2 3L2   1 1₂ 1 0 0 1 4₃ −4 3 0 −5₂ −4 4  −−−−−→ L3+52L2 L1−12L2   1 0 1₃ 2₃ 0 1 4₃ −4 3 0 0 −2₃ 2₃  −−−→ −3 2L3    1 0 1₃ 2₃ 0 1 4₃ −4 3 0 0 1 −1    −−−−−→ L2−43L3 L1−13L3    1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 −1   = E(A|b).

Vemos, ent˜ao, que o sistema dado ´e equivalente ao sistema        x1 = 1 x2 = 0 x3 = −1 ,

o qual ´e, obviamente, poss´ıvel e determinado, com solu¸c˜ao (1, 0, −1). Exemplo 1.16. Seja agora dado o sistema

       x1− x2− x3= 1 2x1+ x2− 5x3= 2 −x₁+ x2= −1 ,

ao qual corresponde a seguinte matriz ampliada

(A|b) =   1 −1 −1 1 2 1 −5 2 −1 2 0 −1  . Tem-se, ent˜ao   1 −1 −1 1 2 1 −5 2 −1 2 0 −1  −−−−−→ L2−2L1 L3+L1   1 −1 −1 1 0 3 −3 0 0 1 −1 0  −−→ 1 3L2   1 −1 −1 1 0 1 −1 0 0 1 −1 0   −−−−→ L3−L2 L1+L2   1 0 −2 1 0 1 −1 0 0 0 0 0  = E_(A|b).

(26)

Neste caso, obt´em-se o seguinte sistema, equivalente ao dado: ( x1− 2x3 = 1

x2− x3 = 0 .

A análise da matriz E_(A|b) mostra-nos que o sistema é poss´ıvel, e simplesmente indeterminado (isto é, com grau de indetermina¸cão igual a 1); as variáveis principais são x1 e x2, sendo x3 variável livre. Fazendo x3 = α (α ∈ R), substituindo nas equa¸cões do sistema reduzido e passando os termos com α para o lado direito do sistema, vem

       x1 = 1 + 2α x2 = α x3 = α .

Conclu´ımos ent˜ao que

{(1 + 2α, α, α) : α ∈ R} ´

e o conjunto de todas as solu¸c˜oes do sistema.

Se efectuarmos uma contagem no número de opera¸cões envolvidas na resolu¸cão de um sistema por redu¸cão à forma em escada, usando elimina¸cão de Gauss, seguida de substitui¸cão inversa, e o compararmos com o número de opera¸cões envolvidas na aplica¸cão do método de Gauss-Jordan, baseado na redu¸cão à forma em escada reduzia, poderemos concluir que o primeiro método é (em geral) mais eficiente. No entanto, se pretendermos resolver vários sistemas que tenham em comum a mesma matriz simples (isto é, que difiram apenas nos termos independentes), o método de Gauss-Jordan poderá ser competitivo, se resolvermos os vários sistemas em simultâneo. Vejamos um exemplo da aplica¸cão do método de Gauss-Jordan `

a resolu¸cão simultânea de vários sistemas com a mesma matriz simples.

Exemplo 1.17. Considerem-se os seguintes trˆes sistemas, com a mesma matriz de coeficientes:

S1 ≡        4x − 8y + 5z = 1 4x − 7y + 4z = 0 3x − 4y + 2z = 0 , S2 ≡        4x − 8y + 5z = 0 4x − 7y + 4z = 1 3x − 4y + 2z = 0 , S3 ≡        4x − 8y + 5z = 0 4x − 7y + 4z = 0 3x − 4y + 2z = 1 .

Em vez de consideramos um sistema de cada vez, formemos uma matriz ampliada da forma (A|b1|b2|b3)

(27)

onde b1, b2e b3s˜ao as colunas com os lados direitos dos sistemas S1, S2e S3respectivamente e usemos o processo de Gauss-Jordan aplicado a essa matriz:

  4 −8 5 1 0 0 4 −7 4 0 1 0 3 −4 2 0 0 1  −−→ 1 4L1   1 −2 5 4 1 4 0 0 4 −7 4 0 1 0 3 −4 2 0 0 1  −−−−−→ L2−4L1 L3−3L1   1 −2 5₄ 1₄ 0 0 0 1 −1 −1 1 0 0 2 −7₄ −3₄ 0 1   −−−−−→ L3−2L2 L1+2L2   1 0 −3₄ −7₄ 2 0 0 1 −1 −1 1 0 0 0 1₄ 5₄ −2 1  −−→ 4L3    1 0 −3 4 − 7 4 2 0 0 1 −1 −1 1 0 0 0 1 5 −8 4    −−−−−→ L2+L3 L1+34L3    1 0 0 2 −4 3 0 1 0 4 −7 4 0 0 1 5 −8 4   .

As solu¸cões dos três sistemas lêem-se, de imediato, da matriz obtida: elas são (2, 4, 5) para o sistema S1, (−4, −7, −8) para o sistema S2 e (3, 4, 4) para o sistema S3.

1.5 Sistemas homog´eneos

Um sistema linear diz-se homog´eneo se for da forma              a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= 0 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= 0 .. . am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn= 0 , (1.7)

isto é, se os termos independentes de todas as equa¸cões forem iguais a zero. É imediato concluir que x1= 0, x2 = 0, . . . , xn= 0, satisfazem todas as equa¸cões do sistema homogéneo (1.7) ou seja, que ele é sempre poss´ıvel, admitindo (pelo menos) a solu¸cão (0, 0, . . . , 0), dita solu¸cão nula ou trivial. Uma outra forma de vermos que o sistema é sempre poss´ıvel é a seguinte. Sendo (A|0) a matriz ampliada do sistema (onde usamos a nota¸cão 0 para designar uma coluna toda formada por zeros) e analisando em que consistem as opera¸cões elementares sobre linhas de uma matriz, é imediato concluir que, ao convertermos a matriz (A|0) numa matriz em escada, a última coluna nula manter-se-á sempre nula ao longo de todo o processo, pelo que, no final, teremos uma matriz da forma (E|0). Isto significa que o número de pivôs de E é igual ao número de pivôs de (E|0), ou dito de outro modo, que a caracter´ıstica da

(28)

matriz simples coincide com a caracter´ıstica da matriz ampliada, condi¸c˜ao que, como sabemos, nos garante que o sistema ´e poss´ıvel.

Para sabermos se o sistema é determinado ou indeterminado, teremos, como para qual-quer outro sistema, de comparar a caracter´ıstica da matriz A com o número de incógnitas. Se car(A) = n, o sistema será determinado, sendo a sua única solu¸cão o n-uplo (0, 0, . . . , 0). Se car(A) < n, o sistema será indeterminado, podendo resolver-se como habitualmente (identifi-cando as variáveis principais e as variáveis livres e resolvendo o sistema em ordem às variáveis principais, em fun¸cão dos valores das variáveis livres).

Em resumo, tem-se o resultado contido no quadro seguinte.

Um sistema homogéneo com matriz simples Am×né sempre poss´ıvel, sendo determinado se e só se car(A) = n.

Nota: Uma vez que a coluna dos termos independentes de um sistema homogéneo se mantém sempre nula ao longo de todo o processo de elimina¸cão Gaussiana, quando resolvemos um sistema deste tipo é usual fazer a elimina¸cão apenas da matriz simples do sistema, omitindo a coluna dos termos independentes.

Exemplo 1.18. Considere-se o seguinte sistema homog´eneo        x1+ 2x2− 2x3 = 0 4x1+ 8x2− 5x3 = 0 3x1+ x2− 6x3 = 0 .

A matriz simples deste sistema ´e

A =   1 2 −2 4 8 −5 3 1 −6  .

Usando elimina¸c˜ao de Gauss, convertamos A na forma em escada:   1 2 −2 4 8 −5 3 1 −6  −−−−−→ L2−4L1 L3−3L1   1 2 −2 0 0 3 0 −5 0  −−−−→ L2↔L3    1 2 −2 0 -5 0 0 0 3   .

Vemos, então, que car(A) = 3 =número de incógnitas, pelo que o sistema dado é determinado com única solu¸cão (0, 0, 0).

(29)

Exemplo 1.19. Consideremos o sistema ( x1− x2+ 2x3 = 0 3x1+ x2− 2x3 = 0 . Temos A = 1 −1 2 3 1 −2 −−−−−→ L2−3L1 1 −1 2 0 4 −8 ! .

Como car(A) = 2 e temos três incógnitas, o sistema é simplesmente indeterminado. As variáveis principais são x1 e x2 e a variável livre é x3. Fazendo x3= α (α ∈ R) e substituindo nas equa¸cões do sistema correspondente à última matriz obtida acima, vem

       x1− x2+ 2α = 0 4x2− 8α = 0 x3= α . Tem-se, então 4x2− 8α = 0 ⇐⇒ 4x2 = 8α ⇐⇒ x2 = 2α. Substituindo na primeira equa¸cão e resolvendo-a em ordem a x1, virá

x1− 2α + 2α = 0 ⇐⇒ x1 = 0. Assim, o sistema dado tem o seguinte conjunto de solu¸c˜oes

{(0, 2α, α) : α ∈ R}. 1.5.1 Sistemas com matriz quadrada

Pela sua especial importância, salientamos, no quadro seguinte, alguns resultados para o caso particular de sistemas em que o número de equa¸cões é igual ao número de incógnitas (ou seja, em que a matriz do sistema é uma matriz quadrada). Deixamos ao cuidado do aluno justificar cada uma das afirma¸cões, que são simples aplica¸cão de resultados já estudados.

(30)

Sistemas com Matrizes Quadradas

Considere-se um sistema de n equa¸cões lineares em n incógnitas com matriz simples A e coluna dos termos independentes b. Então, o sistema é poss´ıvel e determinado se e só se se verificar qualquer uma das condi¸cões seguintes (equivalentes):

• car(A) = n; • EA= In;

• o sistema homogéneo correspondente (isto é, o sistema homogéneo com A com matriz simples) tiver apenas a solu¸cão nula.

1.6 Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 1.1. Identifique quais das seguintes matrizes s˜ao matrizes em escada. Para as que o forem, indique quais os pivˆos.

(a)   1 0 0 0 5 0 0 3 0 4 0 0 0 2 0  ; (b)   0 1 0 0 4 0 0 1 0 −4 0 0 2 −2 3  ; (c)     2 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0     ; (d)     0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0     ; (e)     0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 −2 3 0 0 0 0 5     ; (f)     1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 1 1     .

Exerc´ıcio 1.2. Converta cada uma das matrizes dadas na forma em escada, usando o método de elimina¸cão de Gauss. Indique, então, qual a caracter´ıstica de cada uma das matrizes e quais são as suas colunas principais.

(a)   0 5 0 0 0 3 0 2 1 6 4 2  ; (b)   1 2 2 1 2 5 7 2 3 6 6 0  ; (c)       1 2 1 3 1 2 4 −1 3 8 1 2 3 5 7 2 4 2 6 2 3 6 1 7 −3       ;

(31)

(d)   0 5 10 25 2 6 4 0 0 3 4 0  ; (e)   −3 0 −6 6 4 24 −15 −12 −66  ; (f)       1 2 3 2 6 8 2 6 0 1 2 5 3 8 6       .

Exerc´ıcio 1.3. ([Mey00, p.46]) Seja (E|c) for a matriz ampliada de um sistema.

(a) Se E tiver a forma em escada, poderemos concluir que (E|c) tamb´em tem essa forma?

(b) Se (E|c) tiver a forma em escada, podemos concluir que E tamb´em tem essa forma?

Exerc´ıcio 1.4. ([Mey00, p.46]) Considere uma matriz A de ordem m × n. Justifique as seguintes afirma¸c˜oes:

(a) car(A) ≤ min{m, n}.

(b) Se uma das linhas de A ´e nula, ent˜ao car(A) < m.

(c) Se uma das linhas de A é um múltiplo de outra linha, então car(A) < m. (d) Se uma das colunas de A é formada toda por zeros, então car(A) < n.

Exerc´ıcio 1.5. Para cada um dos sistemas seguintes, forme a respectiva matriz ampliada e reduza-a `a forma em escada; indique qual a caracter´ıstica da matriz simples e qual a caracter´ıstica da matriz ampliada do sistema e, tendo em conta essa informa¸c˜ao, classifique o sistema (poss´ıvel/imposs´ıvel; sendo poss´ıvel, determinado/indeterminado); se o sistema for poss´ıvel, resolva-o.

(a)        x1− x2− 2x3= −6 3x1+ x2− 2x3= −6 −2x1− 2x2+ x3= 2 ; (b)        x1− x2− 2x3 = −1 −2x₁+ x2+ x3 = 2 3x1+ 2x2+ 9x3 = 4 ; (c)        x1+ 2x3 = 1 2x1+ x2+ 3x3 = 1 2x1− x2+ 5x3 = 3 ; (d)        x − 2y = −1 4x + y = 14 3x − 4y = 1 ; (e)        x − y + 3z = 4 2x − 2y + z = 3 −x + y + z = 0 ; (f)        x1+ 2x2+ x3+ 2x4= 3 2x1+ 4x2+ x3+ 3x4= 4 3x1+ 6x2+ x3+ 4x3= 5 ; (g)            x − y + z = 1 x − y − z = 2 x + y − z = 3 x + y + z = 4 ; (h)            x − y + z = 1 x − y − z = 2 x + y − z = 3 x + y + z = 2 .

(32)

Exerc´ıcio 1.6. Discuta, em fun¸c˜ao dos valores da constante k ∈ R, os seguintes sistemas de equa¸c˜oes e resolva-os para os valores de k que os tornam poss´ıveis:

(a) ( x + y = k 3x − ky = 2; (b)        x + y + z = k kx + y + 2z = 2 x + ky + z = 4 ; (c)        x1− 2x2+ 3x3 = 1 2x1+ kx2+ 6x3 = 6 −x1+ 3x2+ (k − 3)x3 = 0 .

Exerc´ıcio 1.7. Discuta, em fun¸cão dos valores dos parâmetros a e b, o seguinte sistema de equa¸cões lineares e resolva-o para o caso a = 4, b = 6.

       x − 2y + 3z = 4 2x − 3y + az = 5 3x − 4y + 5z = b .

Exerc´ıcio 1.8. Diga quais das seguintes matrizes são matrizes em escada reduzida e, para as que não forem, reduza-as a essa forma, usando o método de Gauss-Jordan.

(a)     1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0     ; (b) 0 1 3 1 2 4 ; (c)   1 1 1 1 1 0 1 0 0  ; (d)     0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0     ; (e)   2 0 0 0 0 0 −6 0 0  .

Exerc´ıcio 1.9. Determine α ∈ R de modo que a caracter´ıstica da seguinte matriz seja igual a 2: A =   1 1 1 α α α − 1 α + 1 1 1 1 1 1  .

Exerc´ıcio 1.10. Use o método de Gauss-Jordan para resolver, em simultâneo, três sistemas de equa¸cões S1,S2 e S3 cuja matriz simples seja

A =   1 2 3 0 1 4 −1 −2 0  

e cujos lados direitos, sejam, respectivamente

b1 =   1 0 0  , b2 =   0 3 1   e b3=   −1 1 2  

(33)

Exerc´ıcio 1.11. Resolva os seguintes sistemas homog´eneos: (a)        −3x + y + z + w = 0 x + y − 3z + w = 0 x + y + z − 3w = 0 ; (b)        2x + y − 3z = 0 3x − y + 5z = 0 4x + y + 3z = 0 .

Exerc´ıcio 1.12. ([Mey00, p.12]) Determine ˆangulos α, β e γ, com 0 ≤ α < 2π, 0 ≤ β < 2π e 0 ≤ γ < π tais que       

2 sen α − cos β + 3 tan γ = 3 4 sen α + 2 cos β − 2 tan γ = 2 6 sen α − 3 cos β + tan γ = 9 .

(34)

(35)

Matrizes

2.1 Conceitos b´asicos

No cap´ıtulo anterior j´a fal´amos de matrizes, mas apenas vendo estas como uma ferramenta ´

util para a discussão e resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares. No presente cap´ıtulo, vamos estudar esses objectos matemáticos com um pouco mais de profundidade. Para que este cap´ıtulo fique mais auto-contido, repetiremos algumas das defini¸cões já introduzidas no Cap´ıtulo 1.

Defini¸cão 2.1. Uma matriz de ordem (ou tipo) m × n é simplesmente um quadro rectangular de m × n números dispostos em m linhas e n colunas. Esses números, ditos elementos ou entradas da matriz, são representados ou entre parênteses curvos (sendo esta a nota¸cão que adoptaremos neste curso) ou entre parênteses rectos.

Nota: A não ser que algo seja dito em contrário, assumimos que os números que constituem a matriz são números reais, isto é, trabalharemos, essencialmente, com as chamadas matrizes reais; por vezes, no entanto, consideraremos matrizes complexas, ou seja, formadas por números complexos.1

O conjunto das matrizes de ordem m × n de elementos reais ser´a denotado por Rm×ne o conjunto das matrizes, da mesma ordem, de elementos complexos ser´a designado por Cm×n.

´

E prática comum usar letras latinas maiúsculas, tais como A, B, M, N, . . . para denotar matrizes e usar a letra minúscula correspondente, com dois ´ındices, para denotar os respectivos 1_{E poss´ıvel definir matrizes com n´}_´ _{umeros pertencentes a outro tipo de conjuntos, mas tal est´}_{a fora do ˆ}_ambito deste curso.

(36)

elementos: o primeiro ´ındice indica a que linha pertence o elemento e o segundo refere-se `a coluna em que se situa o elemento. Por exemplo,

A =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn      .

Também se escreve, em nota¸cão abreviada, A = (aij)m×n ou apenas A = (aij) se o tipo da matriz se deduzir pelo contexto. Se quisermos apenas indicar que A é uma matriz do tipo m × n, escrevemos Am×n. Por vezes, é útil usar a nota¸cão (A)ij para designar o elemento situado na linha i e na coluna j da matriz A. Tal elemento é referido como o elemento de A na posi¸cão (i, j), ou apenas por elemento (i, j) de A.

Uma submatriz de uma dada matriz A ´e uma matriz obtida de A eliminando alguma(s) das suas linhas e/ou colunas. Por exemplo, se

A =   1 3 5 1 4 2 3 0 −1 3 7 1  , ent˜ao B = 4 3 0 −1 7 1 ´

e a submatriz de A obtida eliminado a sua primeira linha e a sua segunda coluna. Defini¸c˜ao 2.2. Seja A uma matriz de ordem m × n.

• Se m = n, A diz-se uma matriz quadrada, dizendo-se rectangular se m 6= n. Quando A ´

e uma matriz quadrada de ordem n × n, ´e usual dizermos apenas que A ´e quadrada de ordem n.

• Se m = 1, A diz-se uma matriz linha ou vector linha, e se n = 1, A diz-se uma matriz coluna ou vector coluna. Estas matrizes são, geralmente, denotadas por letras minúsculas e em negrito, por exemplo, b, u, v, . . . Também é usual, no caso de matrizes linha ou coluna, identificar os seus elementos apenas com um ´ındice, por exemplo:

b =      b1 b2 .. . bm      , u = (u1 u2 . . . un) .

(37)

Dada uma matriz quadrada A = (aij) de ordem n, dizemos que os elementos a11, a22, . . . , ann constituem a diagonal principal de A, por vezes referida apenas como diagonal de A:

     a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... an1 an2 · · · ann     

Os elementos a1n, a2,n−1, . . . , an1 formam a chamada diagonal secund´aria de A.

Defini¸c˜ao 2.3 (Matrizes triangulares; matriz diagonal). Uma matriz quadrada A = (aij) diz-se:

• triangular inferior, se os elementos situados acima da diagonal principal s˜ao todos nulos, i.e. se aij = 0 quando i < j;

• triangular superior, se os elementos situados abaixo da diagonal principal s˜ao todos nulos, i.e. se aij = 0 quando i > j;

• diagonal, se os elementos situados fora da diagonal principal s˜ao todos nulos, i.e. se aij = 0 quando i 6= j.

Um caso especialmente importante de uma matriz diagonal ´e o da matriz identidade de ordem n, In, j´a introduzida no Cap´ıtulo 1. Trata-se, como vimos, de uma matriz quadrada de ordem n, diagonal, com todos os elementos diagonais iguais a 1.

Defini¸cão 2.4 (Matriz nula). A matriz de ordem m × n cujos elementos são todos iguais a zero é chamada matriz nula e designada pelo s´ımbolo 0m×n ou, por vezes, simplesmente por 0, se a ordem for deduzida pelo contexto.

Exemplo 2.1. Considerem-se as matrizes

A =     1 2 0 5 0 2 3 1 0 0 0 4 0 0 0 7     , B =     1 0 0 0 3 −2 0 0 1 0 −1 0 2 1 3 4     , C =   1 0 0 0 3 0 0 0 0  , D =   1 0 0 0 1 0 0 0 1  , E =   0 0 0 0 0 0 0 0 0  . Ent˜ao:

(38)

• A ´e triangular superior. • B ´e triangular inferior.

• C ´e, simultaneamente, triangular superior, triangular inferior e diagonal, o mesmo acon-tecendo a D e a E.

• D ´e a matriz identidade de ordem 3. • E ´e a matriz nula de ordem 3.

Defini¸cão 2.5 (Igualdade de matrizes). Duas matrizes A = (aij) e B = (bij) são iguais se e só se forem da mesma ordem e os elementos nas posi¸cões correspondentes forem iguais, isto ´

e, aij = bij para cada escolha de i e j. Se A e B s˜ao iguais, escrevemos, como habitualmente A = B, escrevendo A 6= B se elas n˜ao forem iguais.

Note-se que, de acordo com a defini¸c˜ao anterior, se tem, por exemplo,

1 2 3 0 6=     1 2 3 0     ,

embora os elementos que formam esses dois vectores sejam os mesmos.

2.2 Opera¸c˜oes com matrizes

Agora que já conhecemos os principais conceitos básicos de matrizes, vamos aprender a “op-erar”com elas, isto é, vamos introduzir opera¸cões entre matrizes e estudar as suas propriedades.

2.2.1 Adi¸c˜ao de matrizes

Defini¸cão 2.6 (Adi¸cão de matrizes). Se A = (aij) e B = (bij) são duas matrizes da mesma ordem, a soma de A e B é uma matriz da mesma ordem, que denotaremos por A + B, obtida adicionando as entradas correspondentes. Isto é

(39)

Exemplo 2.2. Por exemplo, tem-se: −2 3 1 1 5 −4 +2 −1 1 3 −2 6 =0 2 2 4 3 2 .

Defini¸cão 2.7 (Simétrica de uma matriz). Dada uma matriz A = (aij), define-se matriz simétrica de A, e denota-se por −A, como sendo a matriz obtida considerando os simétricos de cada um dos elementos de A, isto é:

(−A)ij = −aij, para cada i e cada j. (2.1) Usaremos a nota¸c˜ao, A − B para designar a matriz A + (−B).

Exemplo 2.3. Se A =   1 2 3 −1 −1 −1 2 0 4   e B =   1 2 3 3 3 3 −1 0 1  , ent˜ao −A =   −1 −2 −3 1 1 1 −2 0 −4   e A − B =   0 0 0 −4 −4 −4 3 0 3  .

Propriedades da Adi¸c˜ao de Matrizes

Para quaisquer matrizes A, B, C da mesma ordem, tem-se: Comutatividade: A + B = B + A

Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A

Elemento Sim´etrico : A + (−A) = (−A) + A = 0.

As propriedades anteriores são uma consequência imediata das defini¸cões da adi¸cão de matrizes, simétrica de uma matriz, matriz nula e das propriedades usuais da adi¸cão de números reais; a t´ıtulo de exemplo, demonstramos a comutatividade, ficando as restantes demonstra¸cões ao cuidado dos alunos.

Comecemos por notar que, se A = (aij) e B = (bij) são duas matrizes m × n, então, de acordo com a defini¸cão de soma de matrizes, ambas as matrizes A + B e B + A são também dessa mesma ordem. Além disso, tem-se:

(A + B)ij =

(40)

A justifica¸c˜ao de cada uma das passagens¬ −_®´e a seguinte:

¬ Defini¸c˜ao de A + B.

Comutatividade da adi¸cão de números reais. ® Defini¸cão de B + A.

Podemos, portanto concluir, tendo em conta a defini¸c˜ao de igualdade de matrizes, que

A + B = B + A, como pretend´ıamos demonstrar.

Nota: A associatividade da adi¸c˜ao permite-nos escrever A + B + C, sem qualquer ambiguidade.

2.2.2 Multiplica¸c˜ao escalar

Defini¸cão 2.8 (Multiplica¸cão Escalar). Sejam A = (aij) uma matriz e α um número (usual-mente designado por escalar). A multiplica¸cão do escalar α pela matriz A é uma matriz da mesma ordem que A, designada por αA, e obtida multiplicando todos os elementos de A por α, isto é,

(αA)ij = αaij, para cada i e cada j.

A opera¸cão de multiplica¸cão de uma matriz por um escalar é designada simplesmente por multiplica¸cão escalar. Exemplo 2.4. 3   1 2 −1 3 4 1 −1 0 0  =   3 6 −3 9 12 3 −3 0 0  .

Propriedades da Multiplica¸c˜ao Escalar

Para quaisquer matrizes A = (aij) e B = (bij) da mesma ordem e quaisquer escalares α, β, tem-se:

Distributividade (em rela¸cão à adi¸cão de matrizes): α(A + B) = αA + αB Distributividade (em rela¸cão à adi¸cão de escalares): (α + β)A = αA + βA Associatividade Mista: (αβ) A = α (βA)

Elemento Identidade : 1A = A Elmemento Absorvente : 0A = 0

(41)

Demonstraremos a primeira das propriedades, ficando as restantes como exerc´ıcio. Tendo em conta a defini¸cão de adi¸cão de matrizes e de multiplica¸cão de uma matriz por um escalar, é imediato concluir que α(A + B) e αA + αB são matrizes da mesma ordem. Além disso, temos

(α(A + B))_ij =

¬α(A + B)ij =α (aij+ bij) =®αaij+ αbij =¯(αA)ij+ (αB)ij =°(αA + αB)ij ¬ Defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar.

Defini¸c˜ao de adi¸c˜ao de matrizes.

® Distributividade da multiplica¸cão em rela¸cão à adi¸cão (em R ou C). ¯ Defini¸cão de multiplica¸cão de uma matriz por um escalar.

° Defini¸c˜ao de adi¸c˜ao de matrizes.

Conclu´ımos, portanto, que α(A + B) = αA + αB.

2.2.3 Transposi¸c˜ao e transconjuga¸c˜ao

Defini¸c˜ao 2.9 (Transposta de uma Matriz). Seja A uma matriz de ordem m × n. Define-se transposta de A, e designa-se por AT, como sendo a matriz de ordem n × m obtida de A trocando as suas linhas com as colunas. Por outras palavras, se A = (aij), ent˜ao

(AT)ij = aji. Exemplo 2.5. Sendo A =     1 3 4 2 −1 2 0 5 −3 0 0 1     tem-se AT=   1 2 0 0 3 −1 5 0 4 2 −3 1  .

(42)

alunos.

Propriedades da Transposi¸c˜ao

Para quaisquer matrizes A = (aij) e B = (bij) da mesma ordem e qualquer escalar α, tem-se: • (AT₎T_{= A}

• (A + B)T_{= A}T_{+ B}T • (αA)T_{= αA}T

Defini¸cão 2.10 (Matriz simétrica; matriz anti-simétrica). Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então:

• A diz-se sim´etrica, se A = AT_{, isto ´}_{e, se a}

ij = aji. • A diz-se anti-sim´etrica se AT_{= −A, isto ´}_{e, se a}

ij = −aji.

Numa matriz simétrica, os elementos situados simetricamente em rela¸cão à diagonal prin-cipal são iguais (e numa matriz anti-simétrica, são simétricos, sendo os da diagonal nulos). Exemplo 2.6. A matriz A =     1 2 −1 4 2 0 3 1 −1 3 5 7 4 1 7 9     ´

e uma matriz sim´etrica e a matriz

B =     0 2 −1 6 −2 0 3 1 1 −3 0 −7 −6 −1 7 0     ´ e anti-sim´etrica.

As no¸c˜oes que daremos a seguir aplicam-se a matrizes complexas.2

Defini¸c˜ao 2.11 (Conjugada e transconjugada de uma matriz). Seja A = (aij) ∈ Cm×n. • A matriz conjugada de A, denotada por A, ´e a matriz obtida de A substituindo cada

um dos seus elementos pelo seu conjugado.3 _{Tem-se, ent˜}_{ao (A)}

ij = aij.

2

Como R ⊂ C, uma matriz A ∈ Cm×n _{pode, eventualmente, ser formada apenas por n´}_{umeros reais.} 3

(43)

• A transconjugada de A, denotada por A∗, ´e a matriz transposta da conjugada de A, isto ´e, A∗ = (A)T. Tem-se, portanto (A∗)ij = aji.

Defini¸c˜ao 2.12 (Matriz hermiteana e matriz anti-hermiteana). Seja A uma matriz quadrada de ordem n com elementos em C. Ent˜ao:

• A diz-se hermiteana ou herm´ıtica, se A = A∗_{, isto ´}_{e, se a}

ij = aji.

• A diz-se anti-hermiteana ou anti-herm´ıtica, se A = −A∗, isto ´e, se aij = −aji.

Exemplo 2.7. A matriz   3 2 + 3i 1 − i 2 − 3i −5 4 1 + i 4 1   ´ e herm´ıtica. A matriz   0 2 + 3i −i −2 + 3i 0 4 −i −4 0   ´ e anti-herm´ıtica.

A transconjuga¸cão goza das seguintes propriedades, análogas à da transposi¸cão.

Propriedades da Transconjuga¸c˜ao

Para quaisquer matrizes A = (aij), B = (bij) ∈ Cm×n e qualquer escalar α ∈ C, tem-se: • (A∗₎∗_{= A}

• (A + B)∗_{= A}∗_{+ B}∗ • (αA)∗ = αA∗

2.2.4 Produto de matrizes

As opera¸cões de adi¸cão de matrizes e de multiplica¸cão de uma matriz por um escalar são, de certa forma, muito naturais, isto é, “são aquilo que seria de esperar”. O mesmo não se passa, contudo, com o produto de matrizes, sobre o qual nos debru¸caremos nesta seçcão.4.

Come¸camos por introduzir a seguinte defini¸c˜ao. 4

(44)

Defini¸cão 2.13 (Matrizes encadeadas). Duas matrizes A e B (dadas por esta ordem) dizem-se encadeadas, se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Assim, Am×n e Bp×q são encadeadas se e só se n = p.

Defini¸cão 2.14 (Produto de matrizes). Sejam Am×pe Bp×nduas matrizes encadeadas. Então o produto da matriz A pela matriz B (por esta ordem) é uma matriz de ordem m×n, denotada por AB, e cujo elemento na posi¸cão (i, j) (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) é definido pela fórmula (AB)ij = ai1b1j+ ai2b2j+ · · · + aipbpj. (2.2) Note que para formar o elemento da linha i, coluna j, da matriz produto AB, se utilizam os elementos da linha i da matriz A e os elementos da coluna j da matriz B; os elementos “correspondentes”são multiplicados e somam-se os produtos resultantes.

Exemplo 2.8. Sejam A =1 2 3 1 1 −1 e B =   1 1 2 1 2 1 3 0 −1 1 4 2  .

Como A é uma matriz 2 × 3 e B é uma matriz 3 × 4, é poss´ıvel formar a matriz produto C = AB, a qual vai ser uma matriz de ordem 2 × 4. Para encontrar, por exemplo, o elemento situado na linha 2 e na coluna 3 de C = AB, seleccionamos a linha 2 de A,

1 1 −1 e a coluna 3 de B:   2 3 4  .

Se multiplicarmos os elementos correspondentes (primeiro com primeiro, segundo com segundo e terceiro com terceiro) e somarmos os produtos obtidos, vem

c23= 1 × 2 + 1 × 3 + (−1) × 4 = 2 + 3 − 4 = 1. Determine os restantes elementos da matriz AB e confira o seu resultado:

AB =2 6 20 7

4 1 1 −1

.

(45)

Exemplo 2.9.   1 2 3   1 0 −1 =   1 0 −1 2 0 −2 3 0 −3  .

O produto de um vector coluna m × 1 por um vector linha 1 × n resulta numa matriz m × n. Em particular, o produto de um vector n × 1 por um vector 1 × n resulta numa matriz quadrada de ordem n. Exemplo 2.10.     1 2 3 4     3 =     3 6 9 12     = 3     1 2 3 4     .

O produto de um vector coluna u por uma matriz 1 × 1 com elemento k resulta num vector coluna igual ao produto do escalar k por u. De modo an´alogo se vˆe que o produto de uma matriz 1 × 1 com elemento k por um vector linha v resulta num vector linha igual ao produto do escalar k pelo vector v.

Exemplo 2.11. 1 0 −1   1 2 3  = −2 .

O produto de um vector linha 1 × n por um vector coluna n × 1 origina uma matriz 1 × 1, a qual é, usualmente, identificada com o número que a constitui, isto é, é usual escrevermos

1 0 −1   1 2 3  = −2. Exemplo 2.12. 5 6 7 8 1 2 3 4 =23 34 31 46 e 1 2 3 4 5 6 7 8 =19 22 43 50 .

O produto de matrizes não é comutativo. Mesmo que AB e BA estejam definidas e sejam matrizes da mesma ordem, não se tem, necessariamente, AB = BA.

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Exemplo 2.13. 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 =0 0 0 0 .

Se AB = 0, n˜ao podemos concluir que A = 0 ou B = 0. Exemplo 2.14. Sejam A =1 1 1 1 , B =2 2 2 2 e C =3 1 1 3 . Ent˜ao, tem-se

AB =4 4 4 4

= AC, mas B 6= C.

Se A, B e C s˜ao matrizes dadas, tais que AB = AC, n˜ao podemos concluir que B = C (mesmo que tenhamos A 6= 0).

Acabámos de constatar, através de exemplos, que algumas das propriedades usuais do produto de números, por exemplo, a comutatividade, a lei do anulamento do produto e a chamada lei do corte, não se “estendem”para o produto de matrizes. No entanto, são válidas algumas propriedades, que listamos de seguida.

Propriedades do Produto de Matrizes

Dadas matrizes A, B e C e um escalar α, tˆem-se as sguintes igualdades, desde que as opera¸c˜oes envolvidas estejam definidas:

Associatividade: (AB)C = A(BC)

Distributividade `a Esquerda: (A + B)C = AC + BC Distributividade `a Direita: A(B + C) = AB + AC Elemento Identidade : AI = I e IA = A.

Elemento Absorvente: A0 = 0 e 0A = 0.

Ordem Inversa da Transposta do Produto: (AB)T= BTAT Ordem Inversa da Transconjugada do Produto: (AB)∗ = B∗A∗. Associatividade Mista: α(AB) = (αA)B = A(αB)

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As demonstra¸cões destas propriedades seguem o esquema usual já usado para demonstrar outras propriedades de opera¸cões com matrizes. Uma vez que se pretende estabelecer uma igualdade entre matrizes, teremos, primeiramente de mostrar que as matrizes em causa são da mesma ordem, provando, depois, que os elementos correspondentes são iguais. A t´ıtulo de exemplo, provemos que, sendo A uma matriz de tipo m × p e B uma matriz de tipo p × n (para que fa¸ca sentido efectuar o produto AB), se tem

(AB)T= BTAT.

Sendo A de tipo m × p e B de tipo p × n, a matriz AB será uma matriz do tipo m × n e, portanto, (AB)T será do tipo n × m. Mas, sendo A de tipo m × p, AT será do tipo p × m; do mesmo modo, uma vez que B é do tipo p × n, BT será do tipo n × p. Então, a matriz BTAT será, tal como (AB)T, uma matriz do tipo n × m. Vejamos agora que os elementos destas matrizes situados em posi¸cões correspondentes, são iguais. Tem-se

((AB)T)ij = (AB)ji = p X k=1 ajkbki= p X k=1 bkiajk = p X k=1 (BT)ik(AT)kj = (BTAT)ij,

o que conclui a demonstra¸c˜ao. (Justifique as diversas passagens!) Nota: Tal como no caso da adi¸c˜ao, a associatividade do produto de matrizes permite-nos escrever ABC sem ambiguidade.

Produto de matrizes fraccionadas em blocos

Para efectuar o produto de duas matrizes, pode ser muito útil, em certos casos, utilizar um método que consiste em considerar uma ou ambas as matrizes “fraccionadas”em sub-matrizes – que, neste contexto, são vulgarmente designadas por blocos – tal como se descreve a seguir.

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Produto de Matrizes Fraccionadas

Suponhamos que duas matrizes A e B est˜ao fraccionadas em blocos como se indica abaixo:a

A =      A11 A12 · · · A1r A21 A22 . . . A2r .. . ... . .. ... As1 As2 · · · Asr      , B =      B11 B12 · · · B1t B21 B22 . . . B2t .. . ... . .. ... Br1 Br2 · · · Brt      .

Note-se que o número de “colunas de blocos”de A é igual ao “número de linhas de blocos”de B, que os blocos que formam cada linha de blocos têm todos o mesmo número de linhas e que os blocos que formam cada coluna de blocos têm todos o mesmo número de colunas; suponhamos, além disso, que o número de linhas de cada bolco Aik é igual ao número de colunas de cada bloco Bkj. Então, o produto AB pode formar-se combinando os blocos exactamente da mesma forma como combinamos os escalares no produto usual. Isto é, o bloco na posi¸cão (i, j) de AB pode ser obtido usando a seguinte fórmula

Ai1B1j+ Ai2B2j+ · · · + AirBrj.

a_{As linhas horizontais e verticais da matriz s˜}_{ao linhas “imagin´}_{arias”que nos ajudam a ver o fraccionamneto} da matriz.

O resultado anterior decorre facilmente da forma como se efectua o produto de matrizes. Exemplo 2.15. Considerem-se as seguintes matrizes fraccionadas

A =     1 3 1 0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0     = C I I 0 , B =     1 0 0 0 0 1 0 0 1 3 1 3 2 1 2 1     = I 0 C C , onde C = 1 3 2 1

, I é a matriz identidade de ordem 2 e 0 a matriz nula de ordem 2. Então, usando a multiplica¸cão por blocos, o produto pode calcular-se muito facilmente:

AB = C I I 0 I 0 C C = 2C C I 0 =     2 6 1 3 4 2 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0     ,

uma vez que

CI +IC = C +C = 2C, C0+IC = 0+C = C, I I +0C = I +0 = I, I0+0C = 0+0 = 0. O produto com matrizes fraccionadas em blocos é também usado, com frequência, para estabelecer certos resultados.