Defini¸c˜oes e Nota¸c˜oes Usadas Pelo Algoritmo

A seguir s˜ao apresentadas importantes defini¸c˜oes e nota¸c˜oes que s˜ao usadas pelo algoritmo de diagn´ostico proposto para sistemas de topologia arbitr´aria.

Defini¸c˜ao 1: Um caminho (ou path) em G, P [v0, vz] = hv0, vi, . . . , vzi onde {v0, vi, . . . , vz} ⊆ V , ´e uma sequˆencia de v´ertices distintos tal que qualquer par de v´ertices consecutivos s˜ao adjacentes; v0 e vz s˜ao respectivamente os v´ertices inicial e final do ca-minho.

Defini¸c˜ao 2: G^′ = (V^′, E^′) ´e um subgrafo de G = (V, E) induzido por V^′, denotado por G[V′] , se E′ = {(u, v) ∈ E | u, v ∈ V′}.

Defini¸c˜ao 3: Seja um componente conexo m´aximo (ou maximal connected component) de um grafo n˜ao direcionado G = (V, E), um subgrafo Gx = (Vx, Ex) onde Vx ⊆ V , Ex = {(j, k) ∈ E | j, k ∈ Vx} tal que qualquer par de v´ertices v_a, vb ∈ V_x s˜ao conectados um ao outro por pelo menos um caminho P [va, vb] e n˜ao existe nenhum par de v´ertices v_x, v_y tal que v_x ∈ V_x, v_y ∈ V − V_x e existe a aresta (v_x, v_y) ∈ E.

Neste trabalho um componente conexo m´aximo de um grafo G ´e chamado simples-mente de um componente de G.

Defini¸c˜ao 4: Considerando o grafo G = (V, E), seja GZ = (V − Z, EZ) o subgrafo resultante da remo¸c˜ao de um conjunto de v´ertices Z de V , Z ⊂ V e EZ = {(j, k) ∈ E | j, k ∈ V − Z}. G_Z pode conter mais de um componente conexo.

Defini¸c˜ao 5: ξ(G) e |ξ(G)| representam respectivamente o conjunto e o n´umero de componentes maximais do grafo G. Al´em disso, ξm(G) representa um dos componentes maximais de G, e 1 ≤ m ≤ |ξ(G)|.

Defini¸c˜ao 6: Seja o conjunto F Fi (Fault-Free set as seen by unit i, ou conjunto das uni-dades sem-falha pela vis˜ao da unidade i), 1 ≤ i ≤ N, definido como segue: se r((j, k)i) = 0 ent˜ao j, k ∈ F Fi.

Por esta defini¸c˜ao, F Fi ´e o conjunto das unidades onde pelo menos uma das com-para¸c˜oes realizadas pela unidade testadora i resultaram em igualdade. Se a unidade i for sem-falha, o conjunto F F_i cont´em as unidades sem-falha que s˜ao vizinhas de i.

Defini¸c˜ao 7: Seja o conjunto F_i (Falty set as seen by unit i, ou conjunto das unidades falhas pela vis˜ao da unidade i), 1 ≤ i ≤ N, definido como segue: se r((j, k)i) = 1 e k ∈ F Fi ent˜ao j ∈ Fi.

Por esta defini¸c˜ao, Fi ´e o conjunto de unidades j tal que pelo menos uma das com-para¸c˜oes executadas pela unidade i sobre j e qualquer outra unidade k ∈ F Fi resultaram em diferen¸ca. Se a unidade i est´a sem falha e |F Fi| > 0, ent˜ao o conjunto F_i cont´em as unidades falhas que s˜ao vizinhas de i.

Note que se a unidade comparadora i est´a sem falha, ent˜ao F Fi∩F_i = ∅, caso contr´ario, se a comparadora i ´e uma unidade falha, suas compara¸c˜oes podem ser inconsistentes e uma situa¸c˜ao onde F Fi∩ Fi 6= ∅ pode ocorrer.

Defini¸c˜ao 8: O conjunto F F⋄

i, 1 ≤ i ≤ N, ´e definido como segue: se i ∈ F Fv ent˜ao v ∈ F F⋄

i .

Defini¸c˜ao 9: O conjunto F⋄

i , 1 ≤ i ≤ N, ´e definido como segue: se i ∈ Fv ent˜ao v ∈ F⋄ i.

A partir das duas defini¸c˜oes acima, os conjuntos F⋄

i e F F⋄

i representam as unidades comparadoras que consideram a unidade i como sendo falha e sem-falha, respectivamente. Defini¸c˜ao 10: CompF Fi,j ´e um conjunto com trˆes unidades {i, j, k} tal que ∃r((j, k)_i) = 0.

Defini¸c˜ao 11: CompFi,j ´e um conjunto com trˆes unidades {i, j, k} tal que ∃r((j, k)i) = 1 e k ∈ F F_i.

Em outras palavras, dada qualquer uma das compara¸c˜oes realizadas pela unidade i tal que r((j, k)i) = 0, CompF Fi,j ´e o conjunto das trˆes unidades desta compara¸c˜ao, isto ´e, CompF Fi,j = {i, j, k}.

De forma an´aloga, CompFi,j representa as trˆes unidades em qualquer uma das com-para¸c˜oes realizadas por i onde r((j, k)_i) = 1 e k ∈ F F_i.

Defini¸c˜ao 12: O conjunto Pi (Pending set as seen by unit i, ou conjunto das unidades pendentes pela vis˜ao da unidade i), 1 ≤ i ≤ N, ´e definido como segue: se ∄r((j, k)i) = 0 onde j, k ∈ N(i) ent˜ao Pi = N(i), caso contr´ario Pi = ∅.

Esta defini¸c˜ao indica que Pi cont´em todos os vizinhos da unidade comparadora i somente quando todas as compara¸c˜oes realizadas por i resultaram em diferen¸ca. Em outras palavras, n˜ao ´e poss´ıvel concluir qualquer coisa sobre o estado das unidades vizinhas de i usando apenas estas compara¸c˜oes realizadas por i. Esta situa¸c˜ao ocorre quando F Fi = ∅ (e consequentemente tamb´em Fi = ∅). Se ao menos uma das compara¸c˜oes executadas por i resultar em igualdade, ent˜ao ´e poss´ıvel notar que todos os vizinhos de i s˜ao inseridos em um dos conjuntos F Fi ou Fi, isto ´e, F Fi∪ Fi = N(i). Neste caso Pi = ∅. Defini¸c˜ao 13: O conjunto F F′

i ´e definido como segue: i est´a sempre em F F′

i; j ∈ F F′ i se existe pelo menos um caminho P [i, j] da unidade i para a unidade j tal que para todo par de v´ertices distintos e consecutivos (v1, v2) em P [i, j], v2 ∈ F Fv1.

Em outras palavras, se a unidade i est´a sem-falha, F F′

i cont´em i e tamb´em toda unidade sem-falha j para as quais existe um caminho P [i, j], caminho este que consiste apenas de unidades sem-falha. Al´em disso se i est´a sem-falha ent˜ao |F F′

i| > 1 se e somente se pelo menos duas unidades vizinhas de i est˜ao sem-falha, ou seja, existe ao menos uma compara¸c˜ao realizada por i que resultou em igualdade.

Defini¸c˜ao 14: O conjunto F_i^′ ´e definido como segue: ∀u ∈ F F_i^′, F_i^′ ← F′ i ∪ F_u.

Se i ´e uma unidade sem-falha, a Defini¸c˜ao 14 implica que o conjunto F_i^′ cont´em todas as unidades falhas que s˜ao vizinhas de qualquer unidade em F F′

caminho em G partindo de qualquer unidade sem-falha em F F′

i para qualquer unidade falha u ∈ F′

i, que consiste apenas de unidades sem-falha com exce¸c˜ao do v´ertice final u. ´

E importante destacar que para qualquer unidade sem-falha i ∈ V , se |F F′

i| > 1 e existe pelo menos uma unidade falha no sistema, ent˜ao |F_i^′| > 0. Al´em disso, se i est´a sem-falha e todas as unidades falhas s˜ao vizinhas de ao menos uma unidade de F F′

i, ent˜ao F′

i ´e o conjunto real de unidades falhas F do sistema. Neste caso ´e f´acil de visualizar que F F′

i ´e um AFS.

Defini¸c˜ao 15: Um conjunto F_i^′ ´e definido como m´aximo se i est´a sem-falha e ∀j ∈ V , j 6= i, |F′

j| ≤ |F′ i|.

Atrav´es desta defini¸c˜ao, se i est´a sem-falha e F_i^′ ´e m´aximo, existe um caminho – que consiste apenas de unidades sem-falha com exce¸c˜ao do v´ertice final – da unidade i para o maior conjunto de unidades falhas.

Defini¸c˜ao 16: Seja S (Suspect set, ou conjunto de unidades suspeitas) um conjunto que consiste das trˆes unidades {s1, s2, s3} envolvidas em uma compara¸c˜ao (s₂, s3)s1 ∈ C, tal que uma das seguintes duas condi¸c˜oes n˜ao s˜ao satisfeitas quando se verifica se um conjunto U ´e um AFS:

— se s1 ∈ V − U e s₂, s3 ∈ V − U ent˜ao r((s₂, s3)s1) = 0; — se s1 ∈ V − U e {s₂, s3} ∩ U 6= ∅ ent˜ao r((s₂, s3)s1) = 1.

Note que as duas condi¸c˜oes acima s˜ao exatamente as condi¸c˜oes originais usadas para verificar se um dado conjunto U ´e um AFS. Em outras palavras, por esta defini¸c˜ao, o conjunto suspeito S = {s1, s2, s3} cont´em as trˆes unidades envolvidas em qualquer compara¸c˜ao (s2, s3)s1 ∈ C que n˜ao satisfaz uma das condi¸c˜oes de verifica¸c˜ao do AFS.

3.2 O Algoritmo de Diagn´ostico para Sistemas de Topologia