A diagnosticabilidade forte (strong diagnosability) de sistemas sobre o modelo PMC foi primeiramente apresentada por Lai, Tan, Chang e Hsu em [125]. Um sistema ´e fortemente
(2,a) (1,a) (3,a) (1,b) (2,b) (3,b) (3,c) (1,c) (2,c) (1,d) (2,d) (3,d) 1 2 3 G1 a d c b G2 G1´G 2
Figura A.14: Duas redes G1 e G2 e a rede produto correspondente G1× G2. t-diagnostic´avel se ele for (t + 1)-diagnostic´avel e n˜ao existe um nodo tal que todos os seus vizinhos sejam falhos. Em outras palavras: a diagnosticabilidade forte mostra a habilidade de um sistema t-diagnostic´avel em detectar t + 1 nodo falho, assumindo que todos os vizinhos de qualquer nodo n˜ao podem falhar simultaneamente. O valor t tal que o sistema ´e fortemente t-diagnostic´avel tamb´em ´e representado por ts(G), isto ´e, ts(G) = t se o sistema ´e fortemente t-diagnostic´avel.
Sheu, Huang e Chen [171] foram os primeiros a investigar a diagnosticabilidade forte de sistemas sobre o modelo MM*. Seja uma rede t-regular com grau d(u) = t para todo nodo u. Os autores mostram que uma rede t-regular e t-conectada na qual N ≥ 2t + 6 e t ≥ 4 ´e fortemente t-diagnostic´avel se o sistema ´e livre de triˆangulos e a interse¸c˜ao do conjunto de vizinhos de qualquer par de nodos no sistema possui no m´aximo t − 2 nodos. Hsieh e Chen [104] investigam a diagnosticabilidade forte para uma classe de redes produto sobre o modelo MM*. Como definido na Se¸c˜ao A.7, uma rede produto ´e gerada
atrav´es da aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao de produto cartesiano a redes de fator. As redes produto incluem topologias como os hipercubos, mesh-connected ary n-cubes, torus-connected k-ary n-cubes, e redes hyper-Petersen. Redes produto regulares podem ser classificadas em duas subclasses: redes produto homogˆeneas e redes produto heterogˆeneas. Redes produto homogˆeneas s˜ao t-diagnostic´aveis e t-regulares, enquanto as redes produto heterogˆeneas s˜ao compostas de duas diferentes redes de fator, onde uma ´e t-diagnostic´avel e a outra ´e t-conectada.
Para ti > 3, a diagnosticabilidade forte de redes produto homogˆeneas G1× G2× ... × Gk = t1 + t2 + ... + tk, onde Gi = (Vi, Ei) ´e uma rede ti-diagnostic´avel e ti-regular com Ni nodos, e i = 1, 2, ..., k. Considere que Gi = (Vi, Ei) ´e uma rede ti-diagnostic´avel e ti-regular com Ni nodos para i = 1, ..., m e seja Gj = (Vj, Ej) uma rede tj-conectada e tj -regular com Nj ≥ 2tj+1 nodos para j = m+1, ..., k. Para ti > 3, se G = G1×G2×...×Gk, ent˜ao a diagnosticabilidade forte de G ´e t1+ t2+ ... + tk. Para a diagnosticabilidade forte de redes produto n˜ao regulares, considere que G1 = (V1, E1) ´e t1-diagnostic´avel, Lki ´e um array linear ki-nodo, e ki ≥ 2 para 1 ≤ i ≤ l. Os autores provam que, para ti > 3, a rede produto n˜ao regular G = G1 × Lk1 × Lk2 × ... × Lkl ´e fortemente (t1+ l)-diagnostic´avel.
A t-diagnosticabilidade forte de quatro diferentes topologias de redes produto, onde todas s˜ao t-regulares e t-conectadas ´e mostrada em [104]: o hipercubo n-dimensional, o mesh-connected k-ary n-cube, o torus-connected k-ary n-cube, e finalmente a rede hyper-Petersen n-dimensional. Para todas estas redes, N ≥ 2t + 1 nodos, onde t > 2; cada nodo v de G possui grau maior ou igual a t. O primeiro resultado apresentado para a diagnosticabilidade forte foi para o hipercubo n-dimensional, que ´e n para n ≥ 5. As outras trˆes topologias e seus resultados para a diagnosticabilidade forte s˜ao apresentados abaixo.
Um mesh-connected k-ary n-cube [18], denotado por Mn
k, ´e recursivamente definido como segue: seja Lk um array linear de tamanho k, (1) M1
k = Lk, para k ≥ 2, e (2) Mn
k = Mn−1
k × Lk para n ≥ 2. Um Mn
k possui kn nodos. Como exemplo, a Figura A.15 mostra um M2
4. Os autores provam que a diagnosticabilidade forte de Mn
Figura A.15: Exemplo de um M2 4.
Um torus-connected k-ary n-cube [18], denotado por Tn
k, ´e recursivamente definido como segue: seja Rk um anel (um ciclo) de tamanho k, onde k ≥ 3. Ent˜ao, (1) T1
k = Rk, e (2) Tn
k = Tkn−n× Rk para n ≥ 2. Um Tn
k tamb´em possui knnodos. A Figura A.16 mostra um exemplo de T2
4. A diagnosticabilidade forte de um torus-connected k-ary n-cube ´e 2n para k ≥ 3 e n ≥ 4.
Figura A.16: Exemplo de um T2 4.
Uma rede hyper-Petersen n-dimensional [48], denotada por HPnpara n ≥ 3, ´e definida como HPn= P ×Qn−3, onde P ´e um grafo Petersen. Um HPn´e n-conectado e n-regular e possui 10 ∗ 2n−3nodos. A Figura A.17 mostra um exemplo de HP4. A diagnosticabilidade forte de HPn= n para n ≥ 5.
Posteriormente, Hsieh e Chen apresentaram em [105] a diagnosticabilidade forte para uma s´erie de topologias, que s˜ao abrangidas pela classe das matching composition networks (MCN), sobre o modelo MM*. Eles avaliaram a diagnosticabilidade forte de cubos
cru-Figura A.17: Exemplo de um HP4.
zados n-dimensional, M¨obius cubes, twisted cubes e locally twisted cubes. Um cubo cru-zado n-dimensional CQn ´e fortemente n-diagnostic´avel para n ≥ 5. Um M¨obius cube n-dimensional MQn ´e fortemente diagnostic´avel para n ≥ 5. Um twisted cube n-dimensional T Qn´e fortemente n-diagnostic´avel para um inteiro impar n ≥ 5. Finalmente, um locally twisted cube n-dimensional LT Qn ´e fortemente n-diagnostic´avel para n ≥ 4.
Mais recentemente, em [102] Hong e Hsieh tamb´em consideram o modelo MM* para determinar a diagnosticabilidade forte sobre os cubos aumentados n-dimensionais (n-dimensional augmented cubes), ou AQn. Uma introdu¸c˜ao, incluindo a defini¸c˜ao de cons-tru¸c˜ao dos cubos aumentados j´a foi apresentada na Se¸c˜ao A.6 deste anexo. Hong e Hsieh provam ent˜ao que nos AQn, a diagnosticabilidade forte ´e (2n − 1) para n ≥ 5.
J´a em [107] os autores apresentam, tamb´em para o modelo MM*, as condi¸c˜oes sufi-cientes para determinar se um sistema com at´e t nodos falhos possui diagnosticabilidade forte. Algumas defini¸c˜oes usadas para analisar as condi¸c˜oes de diagnosticabilidade s˜ao descritas a seguir.
Considerando um sistema com N nodos representado por um grafo G = (V, E), um subconjunto I ∈ V ´e um conjunto independente de G se nenhum par de v´ertices de I s˜ao adjacentes em G. O n´umero de independˆencia (independence number) de G, denotado por α(G), ´e o tamanho do maior conjunto independente de v´ertices de G. Al´em disso, δ ´e o grau da unidade de menor grau do sistema e κ(G) = min{|V′| tal que V′ ⊆ V e G − V′ n˜ao ´e conectado}, ou seja, κ(G) ´e o tamanho do menor conjunto de v´ertices tal que quando removidos de G, o grafo resultante n˜ao ´e conexo.
Os autores ent˜ao provam que um sistema ´e fortemente t-diagnostic´avel sobre o modelo MM* se as trˆes seguintes condi¸c˜oes forem satisfeitas:
(i) N − 2t − 3 ≥ α(G); (ii) κ(G) = δ = t;
(iii) para qualquer conjunto X ⊂ V onde |X| = t, se o grafo resultante da remo¸c˜ao dos v´ertices X de G n˜ao ´e conectado, ent˜ao deve existir um nodo u ∈ V tal que N(u) ⊆ X.
Tamb´em em [107] os autores consideram novamente o modelo MM* para determinar o valor t para a diagnosticabilidade forte sobre os folded hypercubes F Qn. A defini¸c˜ao dos folded hypercubes j´a foi apresentada na Se¸c˜ao A.6. Os autores provam que a diagnostica-bilidade forte dos F Qn sobre o modelo MM* ´e n + 1 para n ≥ 5.