• Neste delineamento os tratamentos são agrupados nas re-petições de duas maneiras distintas
• Esta sistematização dos blocos em duas direções (desig-nadas genericamente por "linhas"e "colunas") permite eli-minar os efeitos de duas fontes de variação do erro experi-mental.
• O esquema do delineamento para I tratamentos corres-ponde a um "quadrado"comI linhas eIcolunas, contendo I2parcelas
• Cada tratamento ocorre uma vez em cada linha e em cada coluna
• Aleatorização - Em geral, é satisfatório tomar um quadrado latino qualquer, permutar as linhas e colunas e designar, ao acaso, os tratamentos às letras
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• O uso o DQL é mais freqüente em experimentos onde se comparam de 5 a 8 tratamentos.
• Como o número de repetições deve ser igual ao número de tratamentos, temos que:
• o número de graus de liberdade para o resíduo pode ser muito baixo nos delineamentos QL 4 x 4 ou menores
• o número de repetições pode se tornar muito alto nos expe-rimentos com mais de 8 tratamentos, dificultando a obten-ção de unidades experimentais com semelhança adequada.
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• O modelo estatístico para representar um DQL é dado por
yijk=µ+τi+cj +lk+ijk
• yijé o valor observado na unidade experimental que recebeu o tratamentoi, na colunaje linhak
• µrepresenta a média geral
• τirepresenta o efeito do tratamentoi
• cirepresenta o efeito da colunaj
• lkrepresenta o efeito da linhak
• ij é o erro experimental observado na unidade experimental que recebeu o tratamentoi, na colunaje linhak
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Análise de Variância (ANOVA)
FV GL SQ QM Fc
Coluna I-1 SQColuna QMColiuna QMColunaQMErro Linha I-1 SQLinha QMLinha QMLinhaQMErro Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento
QMErro
Erro (I-1)(I-2) SQErro QMErro Total I2−1 SQTotal
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• As somas de quadrados são obtidas da seguinte forma:
SQTotal = X
SQErro = SQTotal−SQTratamento−SQColuna
−SQLinha
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Formulado-se a hipóteseH0 : τ1 = τ2 = ... ==τi ouH0 : µ1=µ2=...=µi
• O teste da hipótese na ANOVA é dado por
Fc = QMTratamento QMErro
• A partir do calculo deFc pode-se obter:
• o valor-p associado aoFce compara-lo ao nível de significânciaα
• obter o dado na tabela de distribuiçãoFpara(I−1)e (IJ−I)graus de liberdade, respectivamente, de tratamentos e do erro e comparar com oFc
• Rejeita-seH0sevalor−p< αouFc>F
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Geralmente o teste de hipótese com relação aos efeitos de linhas e colunas
• Ao aplicar o teste F numa análise de variância é necessário verificar as pressuposições do modelo.
• Os erros têm distribuição Normal (normalidade).
• Os erros das observações não são correlacionados (independência);
• Os erros têm a mesma variância (homocedasticidade);
• Os efeitos de blocos e tratamentos são aditivos
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
Exemplo
• Um experimento foi instalado para testar o efeito de anes-tésicos sobre o metabolismo animal (Frequência cardíaca e respiratória, pressão sanguínea, tempo efetivo de anes-tesia).
• Deseja-se testar 5 tipos de anestésicos.
• Considerando um experimento com 5 repetições seriam necessários 25 animais.
• Uma forma de reduzir o numero de animais e utilizar o DQL
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
Exemplo
• Assim, para testar 5 tipos de anestésicos, seriam necessá-rios apenas 5 animais
• Cada animal receberia um tipo de anestésico, e isso seria feito em 5 diferentes dias.
• Assim, teríamos um primeiro controle que é o animal e o segundo que é o dia.
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
Exemplo
• Croqui do Experimento
Animal Dias de Execução I II III IV V
1 D B C E A
2 B E A C D
3 A D E B C
4 E C D A B
5 C A B D E
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
Exemplo
• Resultados do Experimento
Animal Dias de Execução
I II III IV V
1 112,90 D 135,60 B 137,30 C 116,21 E 125,87 A 2 117,34 B 136,54 E 115,53 A 118,02 C 136,93 D 3 134,54 A 132,83 D 116,67 E 133,42 B 118,09 C 4 131,06 E 126,23 C 137,92 D 130,99 A 121,07 B 5 136,20 C 119,06 A 129,15 B 134,23 D 137,87 E
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
Exemplo
• ANOVA do experimento
FV GL SQ QM Fc valor-p
Coluna 4 43,39 10,85 0,08 0,9855 Linha 4 144,49 36,12 0,28 0,8837 tratamento 4 86,49 21,62 0,17 0,9500
Erro 12 1534,02 127,84 Total 24 1808,39
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• O problema que aparece quando usamos o DQL é com um número pequeno de tratamentos, pois o resíduo passa a ser estimado com um número pequeno de graus de liber-dade.
• Graus de liberdade do resíduo no DQL para diferentes nú-meros de tratamentos:
Número de Tratamentos g.l.do resíduo
3 2
4 6
5 12
6 20
7 30
8 42
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Uma alternativa para pequenos quadrados latinos é repetí-los para aumentar os graus de liberdade do resíduo.
• Existem três maneiras de repetir o quadrado latino
• Usar os mesmos tratamentos (em linhas e colunas) em cada repetição;
• Usar os mesmos tratamentos nas linhas, mas diferentes nas colunas em cada repetição (ou, de forma equivalente, usar os mesmos níveis nas colunas e diferentes nas linhas);
• Usar tratamentos diferentes em linhas e colunas.
• A análise de variância depende do método de repetição.
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Análise de Variância (ANOVA) para os mesmos tratamen-tos (em linhas e colunas) em cada repetição (tipo I)
FV GL SQ QM Fc
Quad. Latino R-1 SQQuad. Latino QMQuad. Latino QMQuad.Latino QMErro Coluna I-1 SQColuna QMColiuna QMColunaQMErro
Linha I-1 SQLinha QMLinha QMLinhaQMErro
Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento QMErro Erro (I-1)(R(I+1)-3) SQErro QMErro
Total RI2−1 SQTotal
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Sejayijkl a observação do i-ésimo tratamento linha, j-ésima linha, k-ésima coluna e l-ésima repetição, as somas de qua-drados são obtidas da seguinte forma:
SQTotal = X
SQErro = SQTotal−SQQuad.Latino−SQTratamento−SQColuna−SQLinha
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Análise de Variância (ANOVA) para os mesmos tratamen-tos nas linhas, mas diferentes nas colunas em cada repeti-ção (tipo II)
FV GL SQ QM Fc
Quad. Latino R-1 SQQuad. Latino QMQuad. Latino QMQuad.Latino QMErro Coluna R(I-1) SQColuna QMColiuna QMColunaQMErro
Linha (I-1) SQLinha QMLinha QMLinhaQMErro Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento
QMErro
Erro (I-1)(RI-2) SQErro QMErro
Total RI2−1 SQTotal
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Sejayijkl a observação do i-ésimo tratamento linha, j-ésima linha, k-ésima coluna e l-ésima repetição, as somas de qua-drados são obtidas da seguinte forma:
SQTotal = X
SQErro = SQTotal−SQQuad.Latino−SQTratamento−SQColuna−SQLinha
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Análise de Variância (ANOVA) para os mesmos tratamen-tos nas colunas, mas diferentes nas linhas em cada repeti-ção (tipo III)
FV GL SQ QM Fc
Quad. Latino R-1 SQQuad. Latino QMQuad. Latino QMQuad.Latino QMErro Coluna I-1 SQColuna QMColiuna QMColunaQMErro
Linha R(I-1) SQLinha QMLinha QMLinhaQMErro Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento
QMErro
Erro (I-1)(RI-2) SQErro QMErro
Total RI2−1 SQTotal
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Sejayijkl a observação do i-ésimo tratamento linha, j-ésima linha, k-ésima coluna e l-ésima repetição, as somas de qua-drados são obtidas da seguinte forma:
SQTotal = X
SQErro = SQTotal−SQQuad.Latino−SQTratamento−SQColuna−SQLinha
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Análise de Variância (ANOVA) para diferentes tratamentos nas colunas e nas linhas em cada repetição (tipo IV)
FV GL SQ QM Fc
Quad. Latino R-1 SQQuad. Latino QMQuad. Latino QMQuad.Latino QMErro Coluna R(I-1) SQColuna QMColiuna QMColunaQMErro
Linha R(I-1) SQLinha QMLinha QMLinhaQMErro Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento
QMErro
Erro (I-1)(RI-2) SQErro QMErro
Total RI2−1 SQTotal
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
• Sejayijkl a observação do i-ésimo tratamento linha, j-ésima linha, k-ésima coluna e l-ésima repetição, as somas de qua-drados são obtidas da seguinte forma:
SQTotal = X
SQErro = SQTotal−SQQuad.Latino−SQTratamento−SQColuna−SQLinha
DELINEAMENTO QUADRADO LATINO
Exemplo
• No experimento do anestésico para repetir o Quadrado La-tino, pode-se trabalhar com os mesmo animais, mas não é possível repetir os mesmos tempos, desta forma deve-se avaliar realizar a ANOVA do tipo II.
Animal Dias de Execução
VI VII VIII IX X
1 114,32 D 136,56 B 138,68 C 116,99 E 127,06 A 2 117,85 B 136,76 E 116,14 A 134,46 C 137,15 D 3 134,84 A 134,11 D 117,78 E 118,70 B 119,61 C 4 132,20 E 127,74 C 138,64 D 131,45 A 122,72 B 5 137,52 C 120,16 A 130,70 B 134,60 D 138,88 E
Delineamento Quadrado Latino (DQL)
• ANOVA do Quadrado Latino Repetido
FV GL SQ QM Fc valor-p
Quadrado 1 23,04 23,04 0,26 0,6143
Coluna 8 54,71 6,84 0,08 0,9996
Linha 4 337,62 84,41 0,95 0,4488 Tratamento 4 1021,73 255,43 2,87 0,0386
Erro 32 2846,91 88,97 Total 49 4284,01