DELINEAMENTO EXPERIMENTAL

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DELINEAMENTO EXPERIMENTAL

AULA 5

Anderson Castro Soares de Oliveira

Departamento de Estatística/ICET/UFMT

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Delineamentos Experimentais

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DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS

• Delineamento experimental ou desenhos experimentais é o plano utilizado para realizar o experimento.

• Um delineamento experimental consiste em :

• Definir as unidades experimentais

• Definir como os tratamentos serão aplicados as unidades experimentais

• Definir como os dados do experimento poderão ser analisa- dos

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DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS

• Os principais delineamentos são:

• Delineamento Inteiramente ao Acaso (DIC)

• Delineamento em Blocos Casualizados (DBC)

• Delineamento Quadrado Latino (DQL)

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Delineamento Inteiramente

Casualizado

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

• O Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) é o tipo mais simples,

• No DIC leva-se em conta os princípios da repetição e casu- alização.

• Este delineamento deve ser utilizado quando a variabili- dade entre as parcelas experimentais for muito pequena.

• Deve ser utilizado em locais em que as condições experimentais possam ser bem controladas (laboratórios, casa de vegetação, terrenos com pouca heterogeneidade, etc).

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

• Aleatorização - Os tratamentos são designados aleatoriamente às parcelas experimentais.

• Este tipo de sorteio implica em que todo tratamento tem a mesma chance de ser aplicado à qualquer parcela na área experimental

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

• O modelo estatístico para representar um DIC é dado por

yij=µ+τ_i+_ij

• y_ij é o valor observado na unidade experimental que recebeu o tratamento i (i = 1,2, ...,I) na repetição j (j = 1,2, ...,J)

• µrepresenta a média geral

• τ_irepresenta o efeito do tratamentoi

• ijé o erro experimental observado na unidade experimental que recebeu o tratamentoina repetiçãoj.

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

• Análise de Variância (ANOVA)

FV GL SQ QM Fc

Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento QMErro

Erro I(J-1) SQErro QMErro

Total IJ-1 SQTotal

• No planejamento de experimento em DIC comItratamen- tos deve-se obter oJ repetições considerando:

• No mínimo 20 parcelas, ou sejaIJ≥20

• Grau de liberdade (GL) do erro experimental seja superior a 10, ou seja,I(J−1)≥10

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

Exemplo

• Um pesquisador deseja realizar um experimento em DIC com 3 tratamentos, qual o numero mínimo de repetições a ser utilizadas?

• Neste caso temosI=3 tratamentos, desta forma:

• IJ≥20⇒3J≥20⇒J≥6.67⇒J=7

• I(J−1)≥10⇒3(J−1)≥10⇒3J≥13⇒J≥4,33⇒ J=5

• Assim, para que as duas condições sejam atendidas o numero minimo de repetições deve serJ =7

• Desta forma o resumo da ANOVA deste experimento

FV GL

Tratamento 2

Erro 18

Total 20

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

Exemplo

FV GL

Tratamento 2

Erro 18

Total 20

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

• As somas de quadrados são obtidas da seguinte forma:

SQTotal =

I

X

i=1 J

X

j=1

(yij)²−C C=

I

P

i=1 J

P

j=1

!2

IJ

SQTrat =

I

P

i=1

(y_i.)² J −C SQErro = SQTotal−SQTrat

• Ao aplicar o teste F na ANOVA é necessário verificar as pressuposições do modelo.

• Os erros têm distribuição Normal (normalidade).

• Os erros das observações não são correlacionados (independência);

• Os erros têm a mesma variância (homocedasticidade);

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

Exemplo

• Um pesquisador deseja avaliar o efeito de 5 antifungicos emMalassezia pachydermatis

• Foram utilizadas 10 placas de Petri estéreis, em que foram aplicados 1ml da suspensão de cada cepa

• Após solidificação, colocou-se os discos contendo os anti- fúngicos a serem testados, de maneira equidistantes

• Para controle da viabilidade das cepas foi utilizado um meio isento de antifúngico

• As placas foram incubadas por 7 dias

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

Exemplo

• Foram obtidos os tamanhos dos halos de inibição em mm

repetição

Antifúngicos

A B C D E

1 45,3 11,3 10,2 22,3 12,3 2 47,8 4,3 5,2 22,4 12,4 3 41,1 4,4 0,5 15,3 5,3

4 46,6 5,6 6 19,4 4,4

5 46,2 18 2,5 22,2 12,2

6 40,5 11,3 6 19,3 9,3

7 45,5 14,2 8,2 22,6 12,6 8 47,8 13,6 5,4 22,3 12,3 9 42,3 8,7 3,3 18,1 8,1

10 44 15,3 12 23,8 13,8

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DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO

Exemplo

• Análise de Variância

FV GL SQ QM $F_c$ valor-p

Tratamento 4 9791,6 2447,9 203,68 $<0,0001$

Erro 45 540,8 12,02 Total 49 10332,4

CV=18,77%

• Verificando as pressuposições:

• Teste de Kolmogorov-Smirnov:valor−p=0,3998

• Teste de Levene:valor−p=0,4392

• Teste de Durbin-Watson:valor−p=0,4320

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Delineamento Blocos

Casualizados

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DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

• Delineamento Blocos Casualizados (DBC) é utilizado para unidades experimentais heterogêneas

• Neste delineamento o material experimental é dividido em grupos homogêneos denominados bloco.

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DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

• Cada bloco representa uma repetição e recebe uma vez cada tratamento.

• O número de Unidades Experimentais por bloco é igual ao numero de tratamentos.

• O principal objetivo é manter o erro, dentro de cada bloco, tão pequeno quanto seja possível.

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DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

• Em experimentos com animais, os blocos são construídos por características que podem traduzir diferenças na res- posta aos tratamentos utilizados, tais como: peso inicial, sexo, idade, ninhada, etc.

(21)

DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

• Aleatorização - os tratamentos são sorteados às unidades dentro de cada bloco.

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DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

• O modelo estatístico para representar um DBC é dado por

y_ij=µ+τ_i+b_j+_ij

• y_ij é o valor observado na unidade experimental que recebeu o tratamento i (i = 1,2, ...,I) na repetição j (j = 1,2, ...,J)

• b_i representa o efeito do blocoj

• _ijé o erro experimental observado na unidade experimental que recebeu o tratamentoino blocoj.

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DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

FV GL SQ QM Fc

Blocos J-1 SQBlocos QMBlocos ^QMBlocos_QMErro Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento

QMErro

Erro (I-1)(J-1) SQErro QMErro

Total IJ-1 SQTotal

• No planejamento de experimento em DBC comItratamen- tos deve-se obter oJ blocos considerando:

• No mínimo 20 parcelas, ou sejaIJ≥20

• Grau de liberdade (GL) do erro experimental seja superior a 10, ou seja,(I−1)(J−1)≥10

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DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

Exemplo

• Um pesquisador deseja realizar um experimento em DBC com 3 tratamentos, qual o numero mínimo de blocos a ser utilizados?

• Neste caso temosI=3 tratamentos, desta forma:

• IJ≥20⇒3J≥20⇒J≥6.67⇒J=7

• (I−1)(J−1)≥10⇒(3−1)(J−1)≥10⇒2J≥12⇒ J≥6⇒J=6

• Assim, para que as duas condições sejam atendidas o numero mínimo de blocos deve serJ =7

(25)

DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

Exemplo

FV GL

Bloco 6

Tratamento 2

Erro 12

Total 20

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DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

SQTotal = X

i

X

j

(yij)²−C

SQBlocos = X

i

(y.j)²

I −C C=



 X

i

X

j

y_ij





2

IJ

SQTratamento = X

i

(yi.)²

J −C

SQErro = SQTotal−SQTratamento−SQBloco

(27)

DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

• Formulado-se a hipóteseH0 : τ₁ = τ₂ = ... ==τ_i ouH0 : µ₁=µ₂=...=µ_i

• O teste da hipótese na ANOVA é dado por

Fc = QMTratamento QMErro

• A partir do calculo deFc pode-se obter:

• o valor-p associado aoF_c e compara-lo ao nível de signifi- cânciaα

• obter o dado na tabela de distribuiçãoFpara(I−1)e(IJ−I) graus de liberdade, respectivamente, de tratamentos e do erro e comparar com oF_c

• Rejeita-seH0sevalor−p< αouFc>F

(28)

DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

• Geralmente o teste de hipótese com relação aos efeitos de blocos não é feito por dois motivos:

• O interesse principal é testar os efeitos de tratamento, o pro- pósito usual dos blocos é eliminar fontes estranhas de vari- ação.

• As unidades experimentais sejam distribuídas aleatoriamente aos tratamentos, mas os blocos são obtidos de uma maneira não aleatória.

(29)

DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

• Ao aplicar o teste F numa análise de variância é necessário verificar as pressuposições do modelo.

• Os efeitos de blocos e tratamentos são aditivos

(30)

DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

• Vantagens da sua utilização

• Permite o controle da influência de uma fonte de variação além do efeito de tratamentos, pelo agrupamento hábil das parcelas (controle local)

• Com o agrupamento das parcelas, geralmente se obtém resultados mais precisos que aqueles obtidos num DIC.

• Desvantagens da sua utilização

• Quando há perda de parcela(s) em algum tratamento.

• Apesar de existir um método apropriado de estimação des- ses valores, há a perda de eficiência na comparação de mé- dias envolvendo esses tratamentos.

(31)

DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

Exemplo

• Um experimentador está interessado em testar o % de motilidade em sêmen de jumento. Para isto ele dispunha de 5 animais.

• O interesse é testar 4 diferentes diluentes e seu efeito sobre a motilidade.

• Para cada animal foi testado 4 alíquotas.

• As alíquotas iguais de uma mesma coleta de cada animal são sorteadas para cada tratamento e nesse caso cada animal é considerado um bloco.

(32)

DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

Exemplo

• Resultados do Experimento

Jumento Diluentes

gema leite coco citrato

1 80 76 77 65

2 72 65 60 50

3 63 55 53 48

4 83 75 73 64

5 76 70 69 57

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DELINEAMENTO BLOCOS CASUALIZADOS

Exemplo

• Análise de Variância

FV GL SQ QM Fc valor-p

Blocos 4 1117,7 279,425 73,052 <0,0001 Diluente 3 829,35 276,45 72,275 <0,0001

Erros 12 45,90 3,825 Total 19 1992,95

• Verificando as pressuposições:

• Teste de Durbin-Watson -valor−p=0,6216

• Teste de Shapiro-Wilk -valor−p=0,8612

• Teste de Bartlett -valor−p=0,9700

• Aditividade -valor−p=0,9139

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Delineamento Quadrado Latino

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DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• Neste delineamento os tratamentos são agrupados nas re- petições de duas maneiras distintas

• Esta sistematização dos blocos em duas direções (desig- nadas genericamente por "linhas"e "colunas") permite eliminar os efeitos de duas fontes de variação do erro experimental.

• O esquema do delineamento para I tratamentos corres- ponde a um "quadrado"comI linhas eIcolunas, contendo I²parcelas

• Cada tratamento ocorre uma vez em cada linha e em cada coluna

• Aleatorização - Em geral, é satisfatório tomar um quadrado latino qualquer, permutar as linhas e colunas e designar, ao acaso, os tratamentos às letras

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DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• O uso o DQL é mais freqüente em experimentos onde se comparam de 5 a 8 tratamentos.

• Como o número de repetições deve ser igual ao número de tratamentos, temos que:

• o número de graus de liberdade para o resíduo pode ser muito baixo nos delineamentos QL 4 x 4 ou menores

• o número de repetições pode se tornar muito alto nos experimentos com mais de 8 tratamentos, dificultando a obten- ção de unidades experimentais com semelhança adequada.

(37)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• O modelo estatístico para representar um DQL é dado por

y_ijk=µ+τ_i+c_j +l_k+_ijk

• y_ijé o valor observado na unidade experimental que recebeu o tratamentoi, na colunaje linhak

• c_irepresenta o efeito da colunaj

• l_krepresenta o efeito da linhak

• _ij é o erro experimental observado na unidade experimental que recebeu o tratamentoi, na colunaje linhak

(38)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

FV GL SQ QM Fc

Coluna I-1 SQColuna QMColiuna ^QMColuna_QMErro Linha I-1 SQLinha QMLinha ^QMLinha_QMErro Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento

QMErro

Erro (I-1)(I-2) SQErro QMErro Total I²−1 SQTotal

(39)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

SQTotal = X

i

X

j

(yij)²−C C= X

i

X

j

(y_ij)² IJ

SQColuna = X

i

(y.j)² I −C

SQLinha = X

i

(y.k)²

I −C

SQTratamento = X

i

(yi.)² I −C

SQErro = SQTotal−SQTratamento−SQColuna

−SQLinha

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DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• Formulado-se a hipóteseH0 : τ₁ = τ₂ = ... ==τ_i ouH0 : µ₁=µ₂=...=µ_i

• O teste da hipótese na ANOVA é dado por

Fc = QMTratamento QMErro

• A partir do calculo deFc pode-se obter:

• o valor-p associado aoF_ce compara-lo ao nível de significânciaα

• obter o dado na tabela de distribuiçãoFpara(I−1)e (IJ−I)graus de liberdade, respectivamente, de tratamentos e do erro e comparar com oF_c

• Rejeita-seH0sevalor−p< αouFc>F

(41)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• Geralmente o teste de hipótese com relação aos efeitos de linhas e colunas

• Ao aplicar o teste F numa análise de variância é necessário verificar as pressuposições do modelo.

• Os efeitos de blocos e tratamentos são aditivos

(42)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

Exemplo

• Um experimento foi instalado para testar o efeito de anes- tésicos sobre o metabolismo animal (Frequência cardíaca e respiratória, pressão sanguínea, tempo efetivo de anes- tesia).

• Deseja-se testar 5 tipos de anestésicos.

• Considerando um experimento com 5 repetições seriam necessários 25 animais.

• Uma forma de reduzir o numero de animais e utilizar o DQL

(43)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

Exemplo

• Assim, para testar 5 tipos de anestésicos, seriam necessá- rios apenas 5 animais

• Cada animal receberia um tipo de anestésico, e isso seria feito em 5 diferentes dias.

• Assim, teríamos um primeiro controle que é o animal e o segundo que é o dia.

(44)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

Exemplo

• Croqui do Experimento

Animal Dias de Execução I II III IV V

1 D B C E A

2 B E A C D

3 A D E B C

4 E C D A B

5 C A B D E

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DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

Exemplo

• Resultados do Experimento

Animal Dias de Execução

I II III IV V

1 112,90 D 135,60 B 137,30 C 116,21 E 125,87 A 2 117,34 B 136,54 E 115,53 A 118,02 C 136,93 D 3 134,54 A 132,83 D 116,67 E 133,42 B 118,09 C 4 131,06 E 126,23 C 137,92 D 130,99 A 121,07 B 5 136,20 C 119,06 A 129,15 B 134,23 D 137,87 E

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DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

Exemplo

• ANOVA do experimento

Coluna 4 43,39 10,85 0,08 0,9855 Linha 4 144,49 36,12 0,28 0,8837 tratamento 4 86,49 21,62 0,17 0,9500

Erro 12 1534,02 127,84 Total 24 1808,39

(47)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• O problema que aparece quando usamos o DQL é com um número pequeno de tratamentos, pois o resíduo passa a ser estimado com um número pequeno de graus de liberdade.

• Graus de liberdade do resíduo no DQL para diferentes nú- meros de tratamentos:

Número de Tratamentos g.l.do resíduo

3 2

4 6

5 12

6 20

7 30

8 42

(48)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• Uma alternativa para pequenos quadrados latinos é repetí- los para aumentar os graus de liberdade do resíduo.

• Existem três maneiras de repetir o quadrado latino

• Usar os mesmos tratamentos (em linhas e colunas) em cada repetição;

• Usar os mesmos tratamentos nas linhas, mas diferentes nas colunas em cada repetição (ou, de forma equivalente, usar os mesmos níveis nas colunas e diferentes nas linhas);

• Usar tratamentos diferentes em linhas e colunas.

• A análise de variância depende do método de repetição.

(49)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• Análise de Variância (ANOVA) para os mesmos tratamentos (em linhas e colunas) em cada repetição (tipo I)

FV GL SQ QM Fc

Quad. Latino R-1 SQQuad. Latino QMQuad. Latino QMQuad.Latino QMErro Coluna I-1 SQColuna QMColiuna ^QMColuna_QMErro

Linha I-1 SQLinha QMLinha ^QMLinha_QMErro

Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento QMErro Erro (I-1)(R(I+1)-3) SQErro QMErro

Total RI²−1 SQTotal

(50)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• Sejay_ijkl a observação do i-ésimo tratamento linha, j-ésima linha, k-ésima coluna e l-ésima repetição, as somas de quadrados são obtidas da seguinte forma:

SQTotal = X i

X

j

(yijkl)²−C C= X

i X

j (yijkl)² RI²

SQQuad.Latino = X

i (y...l)²

I² −C

SQTratamento = X

i (yi...)²

rI −C

SQLinha= X

i (y..k.)²

rI −C

SQColuna = X

i (y.j..)²

rI −C

SQErro = SQTotal−SQQuad.Latino−SQTratamento−SQColuna−SQLinha

(51)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• Análise de Variância (ANOVA) para os mesmos tratamentos nas linhas, mas diferentes nas colunas em cada repeti- ção (tipo II)

FV GL SQ QM Fc

Quad. Latino R-1 SQQuad. Latino QMQuad. Latino QMQuad.Latino QMErro Coluna R(I-1) SQColuna QMColiuna ^QMColuna_QMErro

Linha (I-1) SQLinha QMLinha ^QMLinha_QMErro Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento

QMErro

Erro (I-1)(RI-2) SQErro QMErro

(52)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

SQTotal = X i

X

j

(yijkl)²−C C= X

i X

j (yijkl)² RI²

SQQuad.Latino = X

i (y...l)²

I² −C

SQTratamento = X

i (yi...)²

rI −C

SQLinha= X

i (y..k.)²

rI −C

SQColuna = X

i (y.j..)²

I −C

(53)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• Análise de Variância (ANOVA) para os mesmos tratamentos nas colunas, mas diferentes nas linhas em cada repeti- ção (tipo III)

FV GL SQ QM Fc

Quad. Latino R-1 SQQuad. Latino QMQuad. Latino QMQuad.Latino QMErro Coluna I-1 SQColuna QMColiuna ^QMColuna_QMErro

Linha R(I-1) SQLinha QMLinha ^QMLinha_QMErro Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento

QMErro

(54)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

SQTotal = X i

X

j

(yijkl)²−C C= X

i X

j (yijkl)² RI²

SQQuad.Latino = X

i (y...l)²

I² −C

SQTratamento = X

i (yi...)²

rI −C

SQLinha= X

i (y..k.)²

I −C

SQColuna = X

i (y.j..)²

rI −C

(55)

DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

• Análise de Variância (ANOVA) para diferentes tratamentos nas colunas e nas linhas em cada repetição (tipo IV)

FV GL SQ QM Fc

Quad. Latino R-1 SQQuad. Latino QMQuad. Latino QMQuad.Latino QMErro Coluna R(I-1) SQColuna QMColiuna ^QMColuna_QMErro

Linha R(I-1) SQLinha QMLinha ^QMLinha_QMErro Tratamento I-1 SQTratamento QMTratamento QMTratamento

QMErro

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DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

SQTotal = X i

X

j

(yijkl)²−C C= X

i X

j (yijkl)² RI²

SQQuad.Latino = X

i (y...l)²

I² −C

SQTratamento = X

i (yi...)²

rI −C

SQLinha= X

i (y..k.)²

I −C

SQColuna = X

i (y.j..)²

I −C

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DELINEAMENTO QUADRADO LATINO

Exemplo

• No experimento do anestésico para repetir o Quadrado La- tino, pode-se trabalhar com os mesmo animais, mas não é possível repetir os mesmos tempos, desta forma deve-se avaliar realizar a ANOVA do tipo II.

Animal Dias de Execução

VI VII VIII IX X

1 114,32 D 136,56 B 138,68 C 116,99 E 127,06 A 2 117,85 B 136,76 E 116,14 A 134,46 C 137,15 D 3 134,84 A 134,11 D 117,78 E 118,70 B 119,61 C 4 132,20 E 127,74 C 138,64 D 131,45 A 122,72 B 5 137,52 C 120,16 A 130,70 B 134,60 D 138,88 E

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Delineamento Quadrado Latino (DQL)

• ANOVA do Quadrado Latino Repetido

Quadrado 1 23,04 23,04 0,26 0,6143

Coluna 8 54,71 6,84 0,08 0,9996

Linha 4 337,62 84,41 0,95 0,4488 Tratamento 4 1021,73 255,43 2,87 0,0386

Erro 32 2846,91 88,97 Total 49 4284,01