Demonstração do Teorema 3

Seja δ > 0 tal que Mδ ⊂ Λ. Em vista do Teorema 3.3 e do Lema 3.23 podemos escolher δ > 0 tal que, para qualquer  ∈ (0, δ), o problema (Sb_,a) tem pelo menos catMδ(M )soluções e

m < a

2. (3.76)

Denote por (u, v) uma dessas soluções. Então, de acordo com a Proposição 3.3, para cada  ∈ (0, δ),

|u(x)|, |v(x)| → 0 quando x → +∞. (3.77) Suponha por contradição que existe z ∈ RN\Λ tal que u(z) ≥

a

2. Em virtude de (3.76) segue que z ∈ ∂Λ/ . Considerando R > 0 suficientemente grande de modo que z ∈ BR(0), desde que Λ é aberto, BR(0) ∩ RN\Λ é compacto e z ∈ BR(0) ∩ RN\Λ. Por (3.77) e pela continuidade de u segue que u tem um ponto de máximo local γ ∈ BR(0) ∩ RN\Λ, o que implica que u(z) ≥

a

2. Desde que as derivadas parciais de u se anulam em γ, a equação diferencial para u(γ) implica que

W (γ)u(γ) = Hu(γ, u, v),

de onde segue que

α0 a 2 ≤ α0u(z) ≤ αu(γ) = Hu(γ, u, v), ou ainda α0 2 ≤ Hu(γ, u, v) a que é uma contradição com (3.6). Portanto,

u(x) ≤ a

2 ∀x ∈ R N_\Λ

. (3.78)

De modo inteiramente análogo, concluímos que v(x) ≤ a 2 ∀x ∈ R N_\Λ . (3.79) De (3.78) e (3.79) segue que

|(u(x), v(x))| ≤ a para cada x ∈ RN\Λ.

Consequentemente, segue do Lema 3.4 que (u, v) é uma solução para o sistema (S). Na sequência, vamos mostrar que u, v > 0. Com efeito, suponha por contradição que existe x1 ∈ RN tal que u(x1) = 0 ou v(x1) = 0. Sem perda de generalidade, suponha

que u(x1) = 0. Para cada n ∈ N defina Ωn = Bn(x1). Da não-negatividade de u segue que x1 é um ponto de mínimo não positivo no interior de Ωnpara todo n ∈ N. Desde que (u, v)é solução de (Sb_,a), u_ ∈ C2(Ω_n) e

−∆u+ W (x)u = Hu(x, u, v) em Ωn.

Definindo o operador Lw = −∆w + W (x)w,em Ωn∪ Λ a positividade segue exatamente como na prova da Proposição 2.3. Agora, se x ∈ Ωn∪ RN\Λ, como

Hu(x, u, v) =

η0(|(u, v)|)uQ(u, v) (u2

 + v2)

1 2

+ η(|(u, v)|)Qu(u, v) −

η0(|(u, v)|)uA(u2 + v2) (u2

 + v2)

1 2

+(1 − η(|(u, v)|))2Au

e A é suficientemente pequeno, podemos considerar que Hu(x, u, v) > 0, o que nos permite concluir a positividade de u com os mesmos argumentos da prova da Proposição 2.3.De maneira inteiramente análoga, concluímos que vé positiva, mostrando o Teorema.

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