3.5 Propriedades da Transformada
3.5.6 Deriva¸c˜ao
( dnx dtn ) = (j2πf )nF{x}
3.5.7
Integra¸c˜ao
F Z t −∞x(τ )dτ = 1 j2πfF{x(t)} + 1 2X(0)δ(f )3.5.8
Convolu¸c˜ao
F {x1 ∗ x2} = F Z ∞ −∞x1(t − τ)x2(τ )dτ = F{x1(t)}F{x2(t)}3.5.9
Multiplica¸c˜ao
F{x1(t)x2(t)} = Z ∞ −∞X1(f − λ)X2(λ)dλ = X1(f ) ∗ X2(f )Um caso particular muito importante desta propriedade acontece quando x(t) ´e multiplicado por um sinal peri´odico p(t), resultando no que se chama de amostragem generalizada. V´arias considera¸c˜oes sobre estas t´ecnicas ser˜ao vistas no cap´ıtulo ??, mais `a frente. A situa¸c˜ao ainda mais particular em que o sinal peri´odico ´e um cosseno, p(t) = cos 2πf t recebe o nome de modula¸c˜ao de amplitude e tem aplica¸c˜oes pr´aticas vastas e importantes, como recordado a seguir.
3.5.10
Exemplo de Aplica¸c˜ao
Vejamos agora como as id´eias associadas `a transformada de Fourier, ou seja, `a an´alise de sinais no dom´ınio das freq¨uˆencias, desempenha um papel crucial em um conhecido campo da Engenharia, cuja importˆancia dispensa argumentos, como se perceber´a em breve. Antes lembremo-nos da defini¸c˜ao de convolu¸c˜ao de dois sinais no dom´ınio do tempo:
x1(t) ∗ x2(t) =
Z ∞
−∞x1(t − τ)x2(τ )dτ
No cap´ıtulo 2 vimos como pode ser trabalhoso encontrar a convolu¸c˜ao entre dois sinais quaisquer, mas que quando um ou ambos os sinais tem pe- culiaridades camaradas esta tarefa pode se simplificar bastante, existindo at´e
mesmo m´etodos gr´aficos apropriados. ´E de particular interesse a convolu¸c˜ao entre um sinal qualquer e um impulso aplicado fora da origem:
δ(t − λ) ∗ x(t) =
Z ∞
−∞δ(t − λ − τ)x(τ)dτ = x(t − λ) = Qλx(t)
Isto significa que a convolu¸c˜ao com um impulso aplicado em um dado ins- tante desloca o sinal dessa mesma quantidade, atrasando-o ou adiantando-o. As ´ultimas propriedades mostradas acima dizem que a convolu¸c˜ao no dom´ınio do tempo se transforma em multiplica¸c˜ao nas freq¨uˆencias e, por dualidade, a multiplica¸c˜ao no tempo se transforma em convolu¸c˜ao nas freq¨uˆencias.
Sejam por exemplo os sinais x1(t) = e−|t| e x2(t) = sinc t, vistos ante- riormente, cujas transformadas de Fourier s˜ao reais puros. O seu produto x(t) = e−|t|sinc t, tem transformada de Fourier dada por X1(f ) ∗ X2(f ), a convolu¸c˜ao de duas fun¸c˜oes reais de f e que pode ser obtida, neste caso, at´e mesmo por m´etodos gr´aficos. Quando as transformadas das parcelas forem complexas com partes imagin´arias n˜ao nulas deve-se usar m´etodos anal´ıticos para resolver a integral.
Considere o produto x(t) cos(2πfat) entre um sinal qualquer e um cosseno, que representa, como j´a mencionado, uma modula¸c˜ao de amplitude. Como a transformada de Fourier do cosseno consiste de dois impulsos aplicados nas freq¨uˆencias ±fa, cada um deles com amplitude 1/2, vemos que o efeito freq¨uˆencial de multiplicar um sinal por um cosseno ´e o de deslocar para a direita e para a esquerda c´opias com amplitudes reduzidas `a metade do espectro original do sinal. Para ilustrar, seja um sinal x(t) com espectro de amplitude X(f ) dado por
✲ ✻
f X(f )
O gr´afico de X(f − fa) pode ser obtido deslocando esta curva de fa unidades para a direita:
✲ ✻
f X(f − fa)
O espectro do sinal ap´os a modula¸c˜ao de amplitude ´e de f´acil obten¸c˜ao, basta reduzir a amplitude de c´opias deslocadas `a direira e `a esquerda, e vai esbo¸cado abaixo.
✲ ✻
f
−fa fa
Notar que h´a freq¨uˆencias intermedi´arias neste gr´afico que s˜ao afetadas tanto pela c´opia da esquerda como pela da direita.
Seja agora um sinal m(t) de banda limitada, ou seja, constitu´ıdo pre- dominantemente por freq¨uˆencias baixas. Isto significa que o seu espectro de magnitude ´e praticamente nulo ou mesmo nulo para valores maiores do que um dado limite: existe fM tal que |M(f)| ≈ 0 para |f| > fM.
✲
f
✻|M(f)|
−fM fM
A
Sinais suaves tem esta caracter´ıstica, como por exemplo sinc (t). Boa parte dos sinais de interesse pr´atico pode ser considerada deste tipo, mesmo que as contribui¸c˜oes das altas freq¨uˆencias n˜ao sejam nulas como acima, mas apenas pequenas. Em sinais de ´audio, por exemplo, as contribui¸c˜oes dos harmˆonicos acima de 16 000 Hz s˜ao praticamente desprez´ıveis, pelo menos para seres humanos. A modula¸c˜ao en amplitude de um sinal de banda li- mitada produz duas c´opias deslocadas e atenuadas do seu espectro, como esperado. Mas h´a um aspecto crucial a se notar: se a freq¨uˆencia fa for su- ficientemente alta, haver´a pontos do intervalo [ −fa fa ] n˜ao afetados por qualquer das c´opias do espectro original.
Para mover informa¸c˜oes de um ponto a outro devemos usar um sistema de transmiss˜ao capaz de aceitar as freq¨uˆencias do sinal que armazena as informa¸c˜oes. Muitas vezes isso pode ser feito transformando o sinal original em uma tens˜ao el´etrica propocional e transmitindo este sinal el´etrico atrav´es de um fio condutor, por exemplo. Desde o come¸co do s´eculo XX se sabe que a elimina¸c˜ao da necessidade de um fio condutor para a transmiss˜ao de sinais pode ser conseguida por meio de ondas de r´adio. Um transmissor deste tipo ´e, basicamente, um sistema capaz de transmitir com fidelidade sinais dentro de uma certa banda de freq¨uˆencias centrada em um valor fc:
✻
✲
f fc
−fc
Sinais dentro das bandas mostradas acima, ou seja, sinais com freq¨uˆencias f tais que |f ±fc| < ∆, onde ∆ ´e a largura da banda, s˜ao integralmente trans- mitidos, ao passo que sinais fora destas faixas s˜ao sumariamente bloqueados.
´
E f´acil ver que quando a freq¨uˆencia b´asica de transmiss˜oes fc ´e elevada com rela¸c˜ao a um sinal m(t) de banda limitada que se deseja transmitir, ou seja, quando fc − ∆ > fM, n˜ao haver´a transmiss˜ao. Como contornar este pro- blema?
Multiplicar m por cos(2πfct) ´e modular sua amplitude, e corresponde a dividir seu espectro em duas r´eplicas, com escalas reduzidas `a metade, cada uma delas centrada em uma das freq¨uˆencias ±fc. Se a freq¨uˆencia do cosseno for a freq¨uˆencia de transmiss˜ao do canal de r´adio o problema est´a resolvido! Este ´e, em breves palavras, o esquema de transmiss˜ao de r´adio AM, sigla que significa amplitude modulada; o cosseno envolvido na multiplica¸c˜ao ´e chamado de portadora. Muito mais se pode falar sobre este assunto, como por exemplo os aspectos da recep¸c˜ao de sinais AM, mas isto, por mais interessante que seja, n˜ao cabe aqui.
3.6
Transformadas de Laplace
Ap´os os desenvolvimentos anteriores, a importˆancia e a aplicabilidade da an´alise de sinais no dom´ınio das freq¨uˆencias j´a devem ter ficado bem eviden- tes. E todo este campo de aplica¸c˜oes ´e baseado na transformada de Fourier. Esta, apesar de seu forte apelo intuitivo, apresenta certos problemas. Com efeito, nem sempre sua existˆencia pode ser assegurada, e isto pode mesmo acontecer em sinais simples e importantes: muitas vezes a aplica¸c˜ao da inte- gral de defini¸c˜ao simplesmente n˜ao converge.
Um exemplo importante destas falhas ´e o do cosseno, x(t) = cos t. Para este caso ´e poss´ıvel contornar o inconveniente e encontrar X(ω) por meio de artif´ıcios, como j´a visto; mas o fato de que a integral n˜ao converge permanece. Seja agora x(t) um sinal peri´odico; seria f´acil verificar que tamb´em aqui h´a problemas de convergˆencia, e isto amea¸ca a existˆencia da transformada de Fourier para esta important´ıssima classe de sinais. Mais uma vez estes transtornos s˜ao evitados com o uso de impulsos. De fato, sempre que a energia de um sinal estiver concentrada em freq¨uˆencias agudas, precisas e bem definidas ser´a poss´ıvel usar impulsos para, com o aux´ılio da s´erie de
Fourier, encontrar a transformada de Fourier. Mas isto ´e, mais uma vez, um truque, e a integral de defini¸c˜ao continua apresentando problemas de convergˆencia.
Os sinais x1(t) = t1(t), a rampa unit´aria, e x2(t) = et, a exponencial crescente, tamb´em apresentam problemas de convergˆencia, e estes problemas n˜ao podem ser removidos por meio de impulsos, pois a energia destes sinais n˜ao se concentra em certas freq¨uˆencias nobres e privilegiadas. E estes si- nais s˜ao importantes! Na realidade estes sinais s˜ao importantes de um modo negativo, porque normalmente tentamos evitar comportamentos como estes em situa¸c˜oes da vida real: grandezas que crescem indefinidamente tem sen- tido apenas matem´atico, na pr´atica elas indicariam problemas s´erios como curto-circuitos, explos˜oes, etc.
O sinal x(t) = (1 − e−t)1(t) n˜ao ´e crescente como os anteriores, e n˜ao indica situa¸c˜oes de problemas pr´aticos, mas aqui tamb´em h´a problemas de convergˆencia e a existˆencia da transformada de Fourier fica amea¸cada at´e mesmo para um sinal calmo e bem comportado como este. ´E hora de analisar com mais cuidado as condi¸c˜oes de validade da transformada de Fourier; para isto seja novamente o teorema 3.4.1, aqui reescrito para facilitar.
Teorema 3.6.1 Se um sinal x(t)
1. tem um n´umero finito de m´aximos e m´ınimos em qualquer intervalo finito,
2. tem um n´umero finito de descontinuidades finitas em qualquer intervalo finito,
3. ´e absolutamente integr´avel, ou seja, R∞
−∞|x(t)|dt < ∞,
ent˜ao a transformada de Fourier de x(t) existe e ´e dada por
F{x} =
Z ∞
−∞x(t)e
−jωtdt = X(ω)
As condi¸c˜oes de Dirichlet acima s˜ao apenas suficientes: elas podem ser violadas por um sinal particular e a transformada de Fourier deste sinal ainda pode existir. Seja o sinal x(t) = sen (1/t). Em qualquer intervalo finito envolvendo a origem t = 0 este sinal viola a primeira condi¸c˜ao de Dirichlet. Seja o sinal definido apenas no intervalo [0 1] por
x(t) = 1/2 para 0 ≤ t < 1/2 1/4 para 1/2 ≤ t < 3/4 1/8 para 3/4 ≤ t < 7/8 ... ... ...
Trata-se de uma escada com degraus cada vez menores e mais estreitos; este sinal viola a segunda condi¸c˜ao de Dirichlet. O fato l´ıquido e certo ´e que
as duas primeiras condi¸c˜oes s˜ao facilmente verificadas pela grande maioria dos sinais de algum interesse: elas falham apenas em casos patol´ogicos, como por exemplo estes acima.
Os problemas realmente importantes para a existˆencia da transformada de Fourier residem na terceira condi¸c˜ao de Dirichlet. Se for poss´ıvel, de alguma maneira, assegurar que x(t) ´e absolutamente integr´avel, ent˜ao estamos feitos, pois as duas outras condi¸c˜oes s˜ao quase sempre verificadas. Como ent˜ao fazer com queR∞
−∞|x(t)|dt seja convergente? como mudar o comportamento de x(t) de tal maneira a obrigar esta integral a convergir?
´
E imediato verificar que se x(t) → ∞ quando t → ∞ ent˜ao x(t) n˜ao ´e absolutamente integr´avel. Isto significa que evitar o crescimento ilimitado de um sinal pode ser uma maneira de facilitar a existˆencia de sua transformada de Fourier. Considere por exemplo a rampa unit´aria x(t) = t1(t). A id´eia ´e modificar este sinal de modo a garantir a integrabilidade absoluta. Isto pode ser feito multiplicando-o por uma exponencial decrescente: ˜x(t) = x(t)e−t = te−t1(t); o gr´afico a seguir ilustra essas curvas.
0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x(t) ˜ x(t)
O sinal ˜x(t) satisfaz as condi¸c˜oes de Dirichlet, donde sua transformada de Fourier ˜X(ω) existe. Embora ˜X(ω) n˜ao seja a desejada transformada de Fourier de x(t), ela — de alguma maneira — carrega em si informa¸c˜oes sobre x(t). Pelo menos para este caso, a multiplica¸c˜ao de um sinal por uma exponencial decrescente funcionou: o limite de x(t) quando t → ∞ era problem´atico, mas o limite de x(t)e−t ´e nulo, pois a exponencial decai mais rapidamente do que a rampa cresce. O fato de um sinal tender a 0 quando o tempo tende a infinito ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para que este sinal seja absolutamente integr´avel; ´e na realidade uma condi¸c˜ao “quase” suficiente para garantir isto, se ainda pud´essemos supor que a derivada do sinal tamb´em tende a zero ent˜ao metade do servi¸co estaria pronta, a pior metade dele.
Estas considera¸c˜oes sugerem um procedimento mais geral: sendo x(t) um sinal n˜ao absolutamente integr´avel deve-se procurar um real σ tal que e−σtx(t) seja absolutamente integr´avel e calcular a integral
Z ∞
−∞x(t)e
−σte−jωtdt (3.1)
Esta express˜ao n˜ao representa a transformada de Fourier de x(t), mas espera-se que, de alguma maneira, ela traga em si informa¸c˜oes sobre F{x}. Uma vez garantida sua convergˆencia, a integral de (3.1) depende do sinal x(t) e do parˆametro complexo s = σ + jω, podendo portanto ser designada pelo s´ımbolo X(s): Z ∞ −∞x(t)e −σte−jωtdt =Z ∞ −∞x(t)e −stdt = X(s) (3.2) O sinal x(t) ´e uma fun¸c˜ao real da vari´avel real e cont´ınua t, o tempo, ao passo que X(s) ´e uma fun¸c˜ao complexa da vari´avel complexa s = σ + jω, que cont´em em si informa¸c˜oes sobre x(t) no dom´ınio das freq¨uˆencias, embora n˜ao seja a sua transformada de Fourier.
Recapitulando: a aplicabilidade da transformada de Fourier ´e restrita, para muitos sinais importantes ela pode n˜ao existir, como vimos. Andamos procurando por algo capaz de carregar informa¸c˜oes freq¨uˆenciais sobre um sinal temporal e que tenha uma ampla regi˜ao de validade. A X(s) da equa¸c˜ao (3.2) se apresenta como uma candidata, e ela cumpre todos os requisitos, como nos foi gentilmente demonstrado por Monsieur Laplace no s´eculo XVIII. Defini¸c˜ao 3.6.1 Dizemos que a Transformada de Laplace Bilateral
de um sinal real x(t), designada por Lb{x}, ´e a fun¸c˜ao complexa da vari´avel
complexa s = σ + jω dada por
Lb{x} =
Z ∞
−∞x(t)e
−stdt = X(s)
Intuitivamente percebemos que, por interm´edio da escolha do novo parˆa- metro σ deve ser poss´ıvel resolver os problemas anteriores de convergˆencia. Isto ´e verdade, e seria poss´ıvel mostrar que as condi¸c˜oes de existˆencia da transformada de Laplace s˜ao muito suaves, fazendo com que praticamente todos os sinais de interesse sejam transform´aveis.
Exemplo 3.6.1 Para x(t) = et1(t), uma exponencial crescente definida para
valores positivos de t, a aplica¸c˜ao da f´ormula acima leva a
Lb{x} = Z ∞ −∞e te−st1(t)dt =Z ∞ 0 e (1−s)tdt = " e(1−s)t 1 − s #∞ 0 = 1 1 − s h e(1−σ)te−jωti∞ 0
A condi¸c˜ao para haver convergˆencia ´e 1 − σ < 0 ou, σ > 1; com isto a exponencial e(1−σ)t se anula quando t → ∞, e como e−jωt ´e limitada, temos
Lb{x} = −1 1 − s =
1
s − 1 desde que σ > 1
Seja agora o sinal x(t) = −et1(−t), cujo gr´afico os leitores s˜ao convidados
a tra¸car. Calculando sua transformada encontrar´ıamos
Lb{x} = Z ∞ −∞−e te−st1(−t)dt = −Z 0 −∞e (1−s)tdt = −1 1 − s h e(1−σ)te−jωti0 −∞ = −1 1 − s = 1 s − 1 desde que 1 − σ > 0
ou seja, agora os valores de σ capazes de assegurar a convergˆencia mudaram:
σ < 1.
Estes exemplos mostram aspectos desagrad´aveis da Transformada de La- place Bilateral: dois sinais distintos podem apresentar a mesma transfor- mada, apenas os valores do parˆametro de convergˆencia mudam. O ideal seria encontrar uma ferramenta que associasse a sinais diferentes transformadas diferentes. O pr´oximo conceito acabar´a com essa ambiguidade. Antes dele, ´e preciso recordar o conceito de sinais unilaterais, j´a visto na defini¸c˜ao 2.6.1, aqui repetida.
Defini¸c˜ao 3.6.2 Um sinal x(t) ´e chamado unilateral ou de uma banda
quando x(t) = 0 para t < 0.
Sinais unilaterais, recordemos, s˜ao menos restritivos do que pode parecer `a primeira vista. Eles s˜ao, de fato, mais naturais at´e do que os sinais “eternos”.