3.7.1 Condições de Existência Propriedades da Transformada Linearidade Translação no tempo...

(1)

Sum´

ario

1 Sistemas e Sinais 1

1.1 Sistemas dinˆamicos, exemplos . . . 2

1.2 Modelos matem´aticos, an´alise e s´ıntese . . . 2

1.3 Sistemas dinˆamicos, classifica¸c˜oes . . . 3

1.4 Sinais . . . 3 1.4.1 Poss´ıveis defini¸cões . . . 3 1.4.2 Conceito intuitivo . . . 3 1.4.3 Exemplos . . . 3 1.4.4 Abrangência . . . 3 1.4.5 Representa¸cões matemáticas . . . 3 1.4.6 Análise e s´ıntese . . . 3 1.4.7 Classifica¸cões . . . 3 1.5 Sistemas e Sinais . . . 3 2 Sinais Cont´ınuos 4 2.1 Introdu¸cão . . . 4 2.2 Conhecimentos poss´ıveis . . . 5 2.3 Opera¸cões Elementares . . . 6

2.4 Energia e potˆencia de sinais . . . 10

2.5 Sinais Singulares . . . 11

2.5.1 Pulsos e Impulsos Unit´arios . . . 13

2.5.2 Propriedades do impulso unit´ario . . . 14

2.6 Sinais eternos, os outros e simetrias . . . 16

2.7 Sinais Peri´odicos . . . 16

2.8 S´erie de Fourier . . . 19

2.8.1 S´erie de Fourier: Forma Trigonom´etrica . . . 20

2.8.2 S´erie de Fourier: Forma Cossenoidal . . . 25

2.8.3 S´erie de Fourier: Forma Exponencial . . . 28

2.9 Energia e potˆencia no caso peri´odico . . . 33

2.10 Sinais suaves e r´ıspidos . . . 34

2.11 Resumo . . . 34

2.12 Aplica¸c˜oes . . . 34

(2)

3 Dom´ınios e transformadas 38

3.1 No tempo e na freq¨uˆencia . . . 38

3.2 Visão freqüêncial de sinais não periódicos . . . 38

3.3 Transformada de Fourier . . . 39

3.4 Condi¸c˜oes de existˆencia . . . 42

3.5 Propriedades da Transformada . . . 43

3.5.1 Linearidade . . . 43

3.5.2 Transla¸c˜ao no tempo . . . 43

3.5.3 Altera¸c˜ao da escala de tempo . . . 44

3.5.4 Dualidade . . . 44

3.5.5 Transla¸cão na freqüência . . . 44

3.5.6 Deriva¸cão . . . 45 3.5.7 Integra¸cão . . . 45 3.5.8 Convolu¸cão . . . 45 3.5.9 Multiplica¸cão . . . 45 3.5.10 Exemplo de Aplica¸cão . . . 45 3.6 Transformadas de Laplace . . . 48

3.7 Transformada de Laplace Unilateral . . . 52

3.7.1 Condi¸c˜oes de Existˆencia . . . 54

3.8 Propriedades da Transformada . . . 57

3.8.1 Linearidade . . . 57

3.8.2 Transla¸c˜ao no tempo . . . 58

3.8.3 Multiplica¸c˜ao por Exponencial Real . . . 59

3.8.4 Altera¸c˜ao da escala de tempo . . . 59

3.8.5 Derivadas . . . 60

3.8.6 Integrais . . . 61

3.8.7 Convolu¸c˜ao . . . 61

3.8.8 Valor inicial . . . 62

3.8.9 Valor final . . . 62

3.9 C´alculos, inversas e tabelas . . . 63

3.9.1 C´alculo . . . 64

3.9.2 Inversas . . . 64

3.10 Aplica¸c˜ao a equa¸c˜oes diferenciais . . . 66

3.11 Exerc´ıcios . . . 68

4 Operadores e Sistemas 70 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 70

4.2 Teoria dos Operadores . . . 70

4.3 Resposta de Operadores Lineares . . . 73

4.3.1 Operador causal . . . 77

4.3.2 Entrada Unilateral . . . 77

4.3.3 Operador Invariante no Tempo . . . 77

4.3.4 Integral de Convolu¸c˜ao . . . 78

(3)

4.4 Outros aspectos . . . 80

4.5 Transmiss˜ao de Propriedades . . . 80

4.6 Resposta em Freq¨uˆencia . . . 83

4.6.1 Entradas exponenciais e senoidais . . . 83

4.6.2 Entradas quaisquer . . . 85

4.6.3 Obtendo a fun¸c˜ao de transferˆencia . . . 86

4.7 Operadores b´asicos . . . 87

4.9 Operadores e Sistemas . . . 89

5 Sistemas Dinˆamicos 91 5.1 Exemplos e Classifica¸c˜oes . . . 92

5.2 An´alise, S´ıntese e Modelos Matem´aticos . . . 93

5.2.1 Sistemas Cont´ınuos a Parˆametros Concentrados . . . . 93

5.2.2 Sistemas Lineares . . . 94

5.3 Obten¸c˜ao de Modelos Matem´aticos . . . 94

5.3.1 Elementos mecˆanicos ideais . . . 95

5.3.2 Elementos el´etricos ideais . . . 96

5.3.3 Pˆendulo Simples . . . 97

5.3.4 Lineariza¸c˜ao de fun¸c˜oes e de EDOs . . . 98

5.3.5 M´etodos de Identifica¸c˜ao . . . 99

5.4 Busca de solu¸c˜oes . . . 99

5.5 Teorema Geral dos SLITS . . . 101

5.5.1 Sistemas Relaxados . . . 102

5.7 Uso de Vari´aveis Auxiliares . . . 107

6 Estado e Equa¸cões Dinâmicas 114 6.1 Introdu¸cão . . . 114

6.2 Equa¸c˜oes Dinˆamicas e Espa¸co de Estados . . . 116

6.3 Vari´aveis de Estado e Energia . . . 117

6.4 Casos Geral e Linear . . . 119

6.5 Resolu¸cão de Equa¸cões Dinâmicas . . . 121

6.5.1 REN para Sistemas Lineares . . . 122

6.5.2 REZ para Sistemas Lineares . . . 126

6.5.3 Resposta Geral de Sistemas Lineares . . . 127

6.6 Caso Linear e Invariante no Tempo . . . 129

6.6.1 Laplace nas EDLITs . . . 129

6.6.2 No dom´ınio do tempo . . . 130

6.7 Exponencial matricial . . . 131

6.8 Equa¸c˜oes Dinˆamicas Equivalentes . . . 134

6.9 Equa¸c˜oes Dinˆamicas e Sistemas F´ısicos . . . 141

(4)

6.10.1 Forma de Jordan . . . 145

6.10.2 Equa¸c˜oes Homogˆeneas Lineares . . . 147

6.10.3 Aspectos freq¨uenciais . . . 153

6.11 Exerc´ıcios . . . 153

6.12 Caso linear fixo: RENs no IR2 _{. . . 158}

6.12.1 Autovalores reais e distintos . . . 160

6.12.2 λ1 e λ2 negativos e distintos . . . 160

6.12.3 λ1 e λ2 positivos e distintos . . . 161

6.12.4 λ1 e λ2 com sinais opostos . . . 162

6.12.5 Autovalores reais e iguais . . . 163

6.12.6 Autovalores complexos conjugados . . . 165

6.13 Equa¸c˜oes Dinˆamicas Gerais . . . 166

6.13.1 REN para o caso geral escalar . . . 166

6.13.2 Existˆencia, unicidade e continua¸c˜ao . . . 168

6.13.3 REN para o caso geral . . . 171

6.13.4 Caso autˆonomo em IR — generalidades . . . 173

6.13.5 Caso autˆonomo em IR2 _{— generalidades . . . 175}

6.13.6 Análise por aproxima¸cões numéricas . . . 180

6.13.7 Referˆencias . . . 180

7 Mundo Discreto 181 7.1 Introdu¸c˜ao . . . 181

7.2 Transformada em z de uma Seq¨uˆencia . . . 183

7.3 Propriedades da transformada z . . . 186

7.4 Transformada Inversa . . . 189

7.4.1 M´etodo aberto . . . 190

7.4.2 M´etodo fechado . . . 191

7.5 Operadores e Sistemas Discretos . . . 192

7.5.1 Resposta ao impulso . . . 193

7.5.2 Solu¸c˜ao por transformada Z . . . 196

7.5.3 Fun¸c˜ao de Transferˆencia Discreta . . . 197

7.5.4 Comportamento temporal . . . 197

7.5.5 Estabilidade . . . 199

7.5.6 Pequena pausa. . . 200

7.6 Sistemas Discretos . . . 201

7.6.1 Um sistema discreto real . . . 201

7.6.2 Equa¸c˜oes de diferen¸cas . . . 202

7.6.3 Equa¸c˜oes Dinˆamicas Discretas . . . 206

7.7 Realiza¸c˜oes . . . 210

(5)

8 Conex˜oes com o mundo cont´ınuo 222

8.1 Desperd´ıcio e economia . . . 222

8.2 Amostragem Pulsada e Geral . . . 224

8.3 Amostragem Pulsada, Impulsiva e Instantˆanea . . . 228

8.4 Aspectos Importantes da Amostragem . . . 233

8.5 Sinais quantizados e digitais . . . 235

8.6 Convers˜ao de sinais . . . 238

8.7 Uso de Sistemas Discretos . . . 242

8.7.1 Substitutos Discretos . . . 244

8.7.2 Integra¸c˜ao num´erica . . . 245

8.7.3 Subtitutos discretos aproximados . . . 247

9 Horizonte de tempo finito 249 9.1 Introdu¸c˜ao . . . 249

9.2 S´eries temporais . . . 249

9.3 Primeiras opera¸c˜oes . . . 250

9.4 Transformada de Fourier Discreta . . . 254

9.4.1 Uma Aplica¸cão . . . 258 9.5 Propriedades da TFD . . . 259 9.5.1 Linearidade . . . 259 9.5.2 Convolu¸cão circular . . . 259 9.5.3 Multiplica¸cão . . . 259 9.5.4 Teorema de Parseval . . . 259 9.6 Aspectos computacionais . . . 260 9.7 Interpreta¸cão e uso . . . 261

9.8 Fourier: caso cont´ınuo e discreto . . . 262

9.9 Transformadas de Haar . . . 268

9.9.1 Sinais de escala – n´ıvel 1 . . . 268

9.9.2 Produto Escalar . . . 268

9.9.3 Matriz de tendˆencia – n´ıvel 1 . . . 268

9.9.4 Subsinal de tendˆencia – n´ıvel 1 . . . 269

9.9.5 Sinais de wavelet – n´ıvel 1 . . . 269

9.9.7 Matriz de flutua¸c˜ao – n´ıvel 1 . . . 270

9.9.8 Subsinal de flutua¸c˜ao – n´ıvel 1 . . . 270

9.9.9 Matriz de Haar – n´ıvel 1 . . . 271

9.9.10 Transformada de Haar – n´ıvel 1 . . . 271

9.9.11 Propriedades da H . . . 272

9.9.15 Sinais de wavelet – n´ıvel 2 . . . 273

(6)

9.9.19 Haar – n´ıveis superiores . . . 274

9.9.20 Haar inversa – n´ıvel 1 . . . 275

9.9.21 B´asico e detalhes – n´ıvel 1 . . . 275

9.9.22 Sinais b´asico e de detalhes . . . 276

9.9.23 N´ıveis superiores . . . 276

9.9.24 Compress˜ao de sinais . . . 276

9.9.25 Compress˜ao por Wavelets . . . 277

9.9.26 Remo¸c˜ao de ru´ıdos . . . 278

9.9.27 Conclus˜oes . . . 278

9.9.28 Transformadas de Daubechies . . . 278

9.9.30 Tendˆencias em Daub4 . . . 279

9.9.31 Sinais de wavelets – n´ıvel 1 . . . 279

9.9.32 Flutua¸c˜oes em Daub4 . . . 279

9.9.33 Tansformada de Daub4 . . . 280

(7)

Cap´ıtulo 1

Sistemas e Sinais

Dentre as várias defini¸cões poss´ıveis para Sistemas adotaremos uma muito intuitiva, que usa conceitos básicos e pré-existentes em todos nós: um sistema é uma parte do meio ambiente na qual concentramos a aten¸cão. Pronto, eis a´ı, é simples assim, usaremos a idéia interna, que já vem com cada pessoa. Um sistema é uma parte do universo na qual concentramos a aten¸cão. Isto é bastante vasto, engloba praticamente qualquer coisa . . .

Sistemas estáticos, onde “nada acontece” terão pouco interesse. Estu-daremos os casos dinâmicos, onde há trocas, cont´ınuas ou discretas, de in-forma¸cões e/ou energias entre o sistema e o resto do universo. Os fluxos que, vindos do meio ambiente, “entram” no sistema são chamados de a¸cões, excita¸cões ou, simplesmente . . . entradas, claro. E os que dele saem, para o resto do universo, são as rea¸cões, respostas ou apenas sa´ıdas. A figura 1.1 ilustra a situa¸cão. Notar a presen¸ca impl´ıcita do princ´ıpio de causa e efeito na no¸cão de sistema dinâmico.

✶

entradas

✸

sa´ıdas

Figura 1.1: Visualiza¸c˜ao do conceito de Sistema

O conceito de Sinais é algo tão geral que dificulta a conceitua¸cão precisa. Como acima, usaremos a idéia interna que já vem com cada pessoa. Quando sistemas recebem ou fornecem informa¸cões e/ou energias, eles usam uma linguagem especial, os Sinais. Qualquer grandeza que varia no tempo é um sinal. As entradas e sa´ıdas de sistemas são sinais.

(8)

1.1 Sistemas dinˆ

amicos, exemplos

Como mencionado acima o conceito pode se aplicar a praticamente qualquer coisa. Neste curso e nestas notas haver´a um foco em sistemas do mundo f´ısico, aqueles que interessam aos engenheiros.

Funcionamento de autom´ovel e de uma caldeira como sistemas dinˆamicos. Praticamente tudo pode servir como exemplo.

1.2 Modelos matem´

aticos, an´

alise e s´ıntese

Qualquer ferramenta que permita quantificar o conhecimento de um sistema é chamada de Modelo Matemático. Conhecido um modelo matemático pode-se resolver o

Problema de An´alise:

dados a entrada u e o sistema S deseja-se encontrar a sa´ıda y. O problema correlato admite duas vis˜oes distintas

Problema de S´ıntese I:

dados o sistema S e uma sa´ıda desejada y deseja-se encontrar a entrada u que faz o servi¸co. Tamb´em chamado de problema de Controle.

Problema de S´ıntese II:

dadas uma entrada u e uma sa´ıda desejada y deseja-se encontrar um sistema S que transforme uma na outra. Tamb´em chamado de projeto de sistema.

Boa parte dos esfor¸cos deste texto se voltam a esses problemas, princi-palmente ao da An´alise.

(9)

1.3 Sistemas dinˆ

amicos, classifica¸c˜

oes

1.4 Sinais

1.4.1 Poss´ıveis defini¸c˜

oes

1.4.2 Conceito intuitivo

1.4.3 Exemplos

1.4.4 Abrangˆ

encia

1.4.5 Representa¸c˜

oes matem´

aticas

1.4.6 An´

alise e s´ıntese

1.4.7 Classifica¸c˜

oes

1.5 Sistemas e Sinais

(10)

Cap´ıtulo 2

Sinais Cont´ınuos

2.1 Introdu¸c˜

ao

De acordo com o cap´ıtulo anterior, um sinal é uma medida ou observa¸cão que contém informa¸cões sobre um certo fenômeno em que estamos interessados. Este cap´ıtulo tratará apenas dos sinais cont´ınuos e determin´ısticos, e assim a palavra sinais, isoladamente, será usada para designá-los. Também já vimos que fun¸cões reais da variável real e cont´ınua t, o tempo, são os instrumentos matemáticos adequados para representar esses sinais. Diremos assim que um sinal x pode ser representado pela nota¸cão matemática clássica para fun¸cões:

x : IR → IR t 7→ x(t)

A esta simbologia sempre se deve associar uma representa¸cão gráfica do sinal, ou seja, o gráfico da fun¸cão, como na figura 2.1 abaixo.

✲ ✻x

t Figura 2.1: Representa¸c˜ao gr´afica de um sinal cont´ınuo

Muitas vezes representamos um sinal pela nota¸cão simplificada x(·) ou apenas pelo s´ımbolo x. Deve ficar bem claro que qualquer destas nota¸cões equivalentes representa o sinal como um todo, ou seja, uma fun¸cão definida para qualquer valor real do tempo t, e à qual sempre se associa um gráfico, como acima. Durante muitos anos usou-se, e ainda se usa, o s´ımbolo x(t) para denotar uma fun¸cão; sempre que poss´ıvel evitaremos esse procedimento,

(11)

pois ele pode se revelar confuso em algumas situa¸cões. O s´ımbolo x(1), por exemplo, designa o valor da fun¸cão no instante t = 1, ou seja, é um número real; o s´ımbolo x(t0) designa o valor da fun¸cão quando t = t0, logo x(t0_{) ∈ IR} e assim por diante. Deste modo, o s´ımbolo x(t) representa um número real, o valor assumido pela fun¸cão x no instante t, e não a fun¸cão x.

´

E bom lembrar que os sinais cont´ınuos podem ser descritos por fun¸cões descont´ınuas, como acima; a terminologia sinais cont´ınuos vem de que a variável independente, o tempo t, deve ser uma variável real e cont´ınua.

2.2 Conhecimentos poss´ıveis

Algumas vezes o conhecimento que temos do sinal é totalmente gráfico, quando instrumentos continuamente emitem registros das grandezas medi-das. Exemplos clássicos são, para citar uns poucos, o sismógrafo, o eletrocar-diograma e o eletroencefalograma; sinais de áudio (sons) podem ser captados por microfones e as tensões (ou correntes) que os medem podem ser plotadas. Em outras situa¸cões há medidas esporádicas da grandeza e devemos cons-truir tabelas relacionando os valores registrados e os respectivos instantes. O gráfico do sinal cont´ınuo pode ser obtido por um processo qualquer de interpola¸cão. A temperatura de um paciente que é tomada de tempos em tempos ilustra este caso.

Em alguns outros casos, em geral casos simples, existe uma expressão anal´ıtica, ou fórmula, para a fun¸cão x: quando, por exemplo, sabemos que x(t) = t2_{− 1 ∀t ou então x(t) = t + 1 ∀t < 0 e x(t) = t − 1 ∀t ≥ 0. Vemos} assim que um sinais pode ser descrito por meio de

1. Uma expressão anal´ıtica. 2. Um registro gráfico cont´ınuo. 3. Um registro gráfico discreto.

A primeira op¸cão é, com certeza, a melhor maneira de se conhecer um sinal. Quando existe uma fórmula para a fun¸cão x pode-se usar todo o enorme arsenal da Matemática como por exemplo derivar, integrar, achar máximos e m´ınimos, avaliar o custo da gera¸cão e do armazenamento, etc. Dada a expressão anal´ıtica de um sinal, seria muito simples tra¸car o gráfico correspondente; a opera¸cão inversa, contudo, é extremamente complicada no caso geral. Em suma, a análise do sinal é enormemente facilitada quando se tem em mãos uma expressão anal´ıtica para ele.

Um dos objetivos mais nobres da teoria de sinais ´e o de analisar e conhecer um sinal mesmo sem o conhecimento de sua express˜ao anal´ıtica. Uma das maneiras de conseguir isto se resume em decompor um sinal qualquer em sinais elementares mais simples.

(12)

Na realidade este é um objetivo bem mais amplo e geral, é algo perse-guido persistentemente por toda a Ciência: para se analisar e entender uma realidade complexa, procura-se dividi-la em partes mais simples e já conhe-cidas. Para se resolver um dado problema, um bom método é considerá-lo como a união, ou soma, de subproblemas com solu¸cões conhecidas. Assim, pdemos formular o

Problema Geral da Teoria de Sinais

Dado um sinal qualquer, descrevˆe-lo em termos de sinais mais simples, chamados de sinais elementares.

Há várias fam´ılias de sinais elementares que fornecem decomposi¸cões úteis para sinais genéricos. A grande ênfase deste cap´ıtulo é o estudo de duas des-tas fam´ılias e as respectivas decomposi¸cões. Sempre que necessárias, outras defini¸cões e idéias serão apresentadas.

2.3 Opera¸

c˜

oes Elementares

Uma opera¸cão unária é aquela que associa a cada sinal um único outro sinal. Assim, a um dado sinal representado pela fun¸cão real de variável real

x : IR → IR t 7→ x(t) corresponder´a um outro sinal

g : IR → IR t 7→ g(t)

Uma opera¸cão unária é também chamada de modifica¸cão, altera¸cão ou transforma¸cão. Derivar ou integrar sinais são exemplos triviais de opera¸cões unárias. Vejamos outros casos.

Defini¸c˜ao 2.3.1 O sinal g resulta de uma altera¸c˜ao na escala de tempo de x quando ´e definido por

g : IR → IR

t 7→ g(t) = x(αt) ∀t

onde α ´e um real.

Exemplo 2.3.1 Seja um sinal x representado graficamente; os sinais g e h

dados por g(t) = x(2t) e h(t) = x(t/2) tem seus gr´aficos esquematizados na figura 2.2 abaixo.

(13)

✲ ✻ -2 -1 1 2 3 4 5 x : IR → IR t 7→ x(t) ✲ ✻ -2 -1 1 2 3 4 5 g : IR → IR t 7→ g(t) = x(2t) ✲ ✻ -2 -1 1 2 3 4 5 h : IR → IR t 7→ h(t) = x(t/2)

Figura 2.2: Altera¸c˜ao da escala de tempo de um sinal

Quando se deseja comparar em um mesmo gráfico sinais com escalas de tempo muito diferentes deve-se mudá-las. Para fenômenos lentos usa-se α > 1, o que comprime o gráfico e corresponde portanto a uma “acelera¸cão” do tempo; para sinais rápidos o parâmetro α deve ser menor que a unidade, pois isto dilata o gráfico e “reduz” a escala de tempo.

Defini¸c˜ao 2.3.2 O sinal g resulta de um deslocamento na escala de

tempo de x quando a sua lei de associa¸c˜ao ´e dada por

g : IR → IR

t 7→ g(t) = x(t − ∆) = Q∆x(t) ∀t

onde ∆ ´e um real.

Esta opera¸cão elementar é responsável pela transla¸cão linear dos gráficos: quando ∆ > 0 o sinal se move ∆ unidades para a direita, quando ∆ < 0 o deslocamento é para a esquerda, e medido pelo módulo de ∆. Em ambos os casos as formas e dimensões angulares dos gráficos são preservadas.

Exemplo 2.3.2 Seja o mesmo sinal x do exemplo anterior; os sinais g e h dados respectivamente por g(t) = Q2_{x(t) = x(t − 2) e h(t) = Q−2}x(t) = x(t + 2) tem seus gr´aficos esquematizados abaixo, na figura 2.3.

(14)

✲ ✻ -2 -1 1 2 3 4 5 h : IR → IR h(t) = x(t + 2) ✲ ✻ -2 -1 1 2 3 4 5 g : IR → IR g(t) = x(t − 2) ✲ ✻ -2 -1 1 2 3 4 5 t 7→ x(t) x : IR → IR

Figura 2.3: Transla¸c˜ao linear da escala de tempo de um sinal

Quando um sinal é deslocado para a direita (∆ > 0) diz-se que ele foi atrasado; em caso de deslocamentos para a esquerda, ocasionados por ∆ < 0, diz-se que o sinal foi adiantado. Sinais deslocados apresentam exatamente o mesmo formato, a diferen¸ca entre eles residindo apenas no in´ıcio da escala de tempo. Eles podem representar fenômenos idênticos que se iniciam em instantes diferentes.

Defini¸c˜ao 2.3.3 O sinal g resulta de uma inversão na escala de tempo de x quando a sua lei de associa¸cão é dada por

g : IR → IR

t 7→ g(t) = x(−t) ∀t

Esta opera¸cão elementar é responsável pela rota¸cão do gráfico em torno do eixo vertical. O sinal cuja escala de tempo foi invertida e o sinal ori-ginal apresentam gráficos simétricos com rela¸cão ao eixo vertical. Algumas situa¸cões do mundo real podem ser representadas por esta opera¸cão elemen-tar: invertendo a velocidade de opera¸cão de um aparelho reprodutor de sinais gravados de áudio (fitas magnéticas ou discos) obteremos um sinal cuja escala de tempo foi invertida.

(15)

✲ ✻ -2 -1 1 2 3 4 5 g : IR → IR t 7→ g(t) = x(−t) ✲ ✻ -2 -1 1 2 3 4 5 x : IR → IR t 7→ x(t)

Figura 2.4: Invers˜ao da escala de tempo de um sinal

Exemplo 2.3.3 Seja o mesmo sinal x do exemplo anterior; o sinal g dado

por g(t) = x(−t) tem seu gr´afico esquematizado na figura 2.4.

Opera¸cões matemáticas tradicionais, como por exemplo a soma e a mul-tiplica¸cão, quando aplicadas a sinais tem o efeito, previs´ıvel, de produzir outros sinais. Elas exemplos simples de opera¸cões binárias. A cada par de sinais x1 e x2 se associará um único sinal resultante g. De particular interesse no estudo de sinais e sistemas é a opera¸cão binária da convolu¸cão.

Defini¸c˜ao 2.3.4 A convolu¸c˜ao entre os sinais x1 e x2, denotada por g = x1∗ x2 ´e dada por

g(t) = x1_{(t) ∗ x}2(t) =

Z ∞

−∞x1(t − τ)x2(τ )dτ

A partir da defini¸cão acima seria simples demonstrar, por substitui¸cão de variáveis, que a convolu¸cão é comutativa, ou seja

g(t) = x_{1(t) ∗ x2}(t) =

Z ∞

−∞x1(τ )x2(t − τ)dτ = x2(t) ∗ x1(t)

O uso da defini¸cão acima, em qualquer de seus formatos, para o cálculo da convolu¸cão de dois sinais, salvo em casos particular´ıssimos, é trabalho pesado e dif´ıcil. Como a convolu¸cão é muito importante no estudo de sistemas, sempre se procurará caminhos para contornar estas dificuldades de cálculo.

(16)

2.4 Energia e potˆ

encia de sinais

A potência instantânea dissipada em um resistor através do qual flui uma corrente i é dada por Ri2_{(t); a energia dissipada nesse instante é Ri}2_(t)dt. Integrando esta última expressão entre t1 e t2 > t1 encontramos a energia dissipada no intervalo [t1 t2]; dividindo este valor por t2 _{− t}1 encontramos a potência média dissipada no intervalo. Estas rela¸cões são bem conhecidas da F´ısica, e se estivéssemos estudando energia e potência em outras formas, como por exemplo energia cinética de massas em movimento, as expressões se-riam semelhantes, sempre envolvendo a integra¸cão no tempo de uma variável ao quadrado. Isto conduz a algumas generaliza¸cões.

Defini¸c˜ao 2.4.1 A energia de um sinal x(t), no intervalo [a b], ´e dada por E[a b] =

Z b

a |x(t)| 2_dt

Defini¸c˜ao 2.4.2 A potência média de um sinal x(t), no intervalo [a b], é dada por

P[a b]= 1 b − a Z b a |x(t)| 2_dt

O módulo | · | nas expressões acima é desnecessário, para sinais reais, pois a grandeza x(t) será elevada ao quadrado; a sua presen¸ca é justificada porque estas defini¸cões servem também para sinais x(t) complexos, onde ele fará toda a diferen¸ca.

A energia e a potência podem se referir aos sinais como um todo, e não apenas a determinados intervalos. Para isto basta fazer os intervalos simétricos com rela¸cão à origem — [a b] = [−T T ] — e aumentar indefini-damente suas larguras.

Defini¸c˜ao 2.4.3 A energia contida em um sinal x(t) ´e dada por E = lim

T →∞

Z T

−T |x(t)| 2_dt

Defini¸c˜ao 2.4.4 A potência média de um sinal x(t) é dada por P = lim T →∞ 1 2T Z T −T |x(t)| 2_dt

Quando a energia de um sinal é finita, 0 < E < ∞, diremos que se trata de um sinal de energia. É claro que a potência destes sinais é nula. Quando a potência de um sinal é finita, 0 < P < ∞, diremos que se trata de um sinal de potˆ_{encia. Neste caso a energia é não limitada: E → ∞.} Se E → ∞ e P → ∞ temos sinais que são OK na matemática, mas que não podem existir no mundo real, pois algo satura, queima ou explode.

(17)

2.5 Sinais Singulares

As fun¸cões singulares definidas abaixo, além de desempenharem um desta-cado papel teórico, como se verá, podem representar bastante bem situa¸cões práticas importantes.

Defini¸c˜ao 2.5.1 Um Degrau unit´ario ´e definido como

1(t) = u(t) = u₋₁(t) =

(

0 para t < 0

1 _{para t ≥ 0}

Um gráfico para este sinal pode ser visto na figura 2.5. Um degrau não unitário é obtido pela multiplica¸cão por uma constante real: A 1(t). Degraus, unitários ou não, podem aproximar bastante bem o que acontece quando instantaneamente ligamos um aparelho ou fechamos um contacto.

✲ ✻ 1 degrau unit´ario t • ✲ ✻ t rampa

Figura 2.5: Sinais singulares: degrau e rampa

Defini¸c˜ao 2.5.2 Uma Rampa unit´aria´e definida como

t.1(t) = r(t) = u₋₂(t) =

(

0 para t < 0

t _{para t ≥ 0}

Rampas, unitárias ou não, podem ser empregadas para traduzir grandezas crescentes (ou decrescentes) com o tempo. É lógico que, na prática, um sinal pode crescer, ou cair, apenas durante uma janela de tempo de largura limitada, sob pena de perda de componentes. A figura 2.5 também mostra uma rampa.

Defini¸c˜ao 2.5.3 Uma Parábola unitária é definida como

p(t) = u₋₃(t) =

(

0 para t < 0

t2_/2 _{para t ≥ 0}

Os conceitos de rampas e parábolas não unitárias são evidentes. Os gráficos para estes sinais seriam plotados de maneira direta. É fácil perceber que a parábola é a integral da rampa que é a integral do degrau.

u₋₂(t) =

Z t

(18)

Em sentido inverso, derivando um sinal singular obtemos o anterior: ... u₋₂(t) = d dtu−3(t) u₋₁(t) = d dtu−2(t)

Combinando sinais singulares obteremos uma classe mais rica de sinais. Por outro lado, sinais pertencentes a uma certa classe, a dos sinais singula-res por partes, podem ser descritos como uma combina¸c˜ao exata de sinais singulares.

Exemplo 2.5.1 Seja o sinal singular por partes ilustrado pela figura 2.6

abaixo. É poss´ıvel descrevê-lo matematicamente usando expressões apropri-adas para cada um dos intervalos envolvidos. Assim, x(t) = 0 para t < 0,

x(t) = 1 para 0 ≤ t < 1, x(t) = 2 − t para 1 ≤ t < 2 e x(t) = 0 para t ≥ 2.

✲ ✻

−1 1 2 3 t

x(t) 1

Figura 2.6: Sinal singular por partes

Mas é muito mais elegante encontrar uma expressão anal´ıtica baseada em sinais singulares. O trecho constante e com amplitude unitária entre 0 e 1, por exemplo, pode ser descrito por 1(t)−Q11(t) = 1(t)−1(t−1). Racioc´ınios

similares levariam `a express˜ao anal´ıtica final:

x(t) = 1(t) − 1(t − 1) + (2 − t)1(t − 1) + (t − 2)1(t − 2)

Confiram, leitores!

Assim se vê que sinais pertencentes a esta classe dos singulares por partes podem ser exatamente decompostos em um soma de sinais singulares. Mas outros sinais, não necessariamente deste tipo, podem ser aproximados por uma soma de sinais singulares. Quanto maior o número de sinais singulares usado, melhor a aproxima¸cão.

(19)

2.5.1 Pulsos e Impulsos Unit´

arios

Os impulsos unitários permitirão decompor exatamente sinais de qualquer natureza, proporcionando um refinamento dos desenvolvimentos anteriores. Para iniciar precisaremos do conceito de pulso unitário.

Defini¸c˜ao 2.5.4 Um pulso unit´ario de largura ∆ aplicado em τ ,

de-signado por δ_{∆(t−τ) ou p∆(t−τ) ´e definido como (1/∆)[1(t−τ)−1(t−τ −∆)]} ou, alternativamente, como

δ∆_{(t − τ) = p}∆(t − τ) =      0 para t < τ 1/∆ para τ ≤ t < τ + ∆ 0 _{para τ + ∆ ≤ t}

Notemos que o pulso tem área unitária (da´ı o nome), é aplicado a partir do instante τ , e tem a dura¸cão ∆, de acordo com o gráfico visto na figura 2.7. Notemos ainda que o sinal δ∆(t) está encostado no eixo vertical, é um pulso que come¸ca em t = 0 e termina em t = ∆.

• τ τ + ∆ t ✻ 1 ∆ • δ∆(t − τ) ✲

Figura 2.7: Pulso unit´ario de largura ∆

Passamos agora a indicar, sem demonstra¸cões muito formais, que toda fun¸cão cont´ınua por partes pode ser aproximada por uma soma de pulsos. Considere a figura 2.8 abaixo, que ilustra o gráfico de um sinal x(t), e onde o eixo do tempo foi dividido em faixas de largura ∆.

✲

ti t

✻

x

•

Figura 2.8: Aproxima¸c˜ao de um sinal por soma de pulsos

O pulso, de largura ∆ mas n˜ao unit´ario, que se inicia no instante ti pode ser representado por

(20)

x(ti)δ∆_{(t − t}i)∆

A soma de todos estes pulsos constitui o que se chama de aproxima¸c˜ao constante por partes, ou tipo escada, para o sinal x e podemos escrever

x ≈X

i

x(ti)δ∆_{(t − t}i)∆

A figura 2.8 acima ilustra bem o fato de uma fun¸cão x cont´ınua por partes poder ser aproximada por uma série de pulsos não necessariamente unitários. Quanto mais próximos forem os instantes de amostragem ti ou, equivalentemente, quanto menor for ∆, melhor será a aproxima¸cão. Assim, para melhorar esta aproxima¸cão devemos usar o limite dela quando ∆ → 0. O que acontece com o pulso unitário nesta situa¸cão?

Defini¸c˜ao 2.5.5 O Impulso Unitário ou “fun¸cão” Delta de Dirac, simbolizada por δ(t − τ) é um sinal que satisfaz

δ(t − τ) =

(

0 para _{t 6= τ}

∞ para t = τ

com a restri¸cão adicional de ter área unitária:

Z ∞

−∞δ(t)dt = 1

Evidentemente a idéia exposta acima não pode ser traduzida pelo con-ceito matemático de fun¸cão. Podemos estabelecer rigorosamente sua validade apenas usando o conceito de distribui¸cão, o que não será visto aqui. Pro-cederemos, para todos os efeitos, como Dirac (circa 1932) ao considerar o impulso como o limite de um pulso:

δ(t − τ) = lim

∆→0δ∆(t − τ)

Baseados nesta “defini¸cão” podemos considerar o impulso como uma a¸cão extremamente intensa e de dura¸cão extremamente curta. Os impulsos são muito importantes por causa de suas propriedades teóricas e, embora sejam irreprodut´ıveis no mundo f´ısico, podem ser bastante bem aproximados por pulsos unitários rápidos.

2.5.2 Propriedades do impulso unit´

ario

Para uma demonstra¸cão formal e rigorosa destes resultados seria necessário usar a teoria das distribui¸cões, o que não será feito aqui. Um entendimento razoável pode ser obtido ao se considerar o impulso unitário como o limite do pulso quando ∆ → 0; os leitores são instados a verificar isso.

(21)

1. Sendo x um sinal cont´ınuo em t = 0:

Z ∞

−∞x(t)δ(t)dt = x(0) 2. Sendo x um sinal cont´ınuo em t = t0:

Z ∞

−∞x(t)δ(t − t0)dt = x(t0) 3. Sendo x um sinal cont´ınuo em t = t0:

Z t2 t1 x(t)δ(t − t0)dt = ( x(t0) se t1 < t0 < t2 0 se t0 _{6∈ (t}1, t2) 4. δ(at) = 1 |a|δ(t) 5. δ(−t) = δ(t) 6. x(t)δ(t − t0) = x(t0_{)δ(t − t}0) 7. _dtd1(t) = δ(t)

8. Sendo x um sinal cont´ınuo em t = t0:

Z t2 t1 x(t)δ (m) (t − t0)dt = ( (−1)mx(m)(t0) se t1 < t0 < t2 0 se t0 _{6∈ (t}1, t2)

9. Decomposi¸cão em Impulsos. A aproxima¸cão de um sinal, por uma soma de pulsos, também chamada de decomposi¸cão em escada do sinal já foi vista anteriormente e pode ser sintetizada pela figura 2.8 e pela expressão que a segue, aqui repetida:

x ≈X

i

x(ti)δ∆_{(t − t}i)∆

Para melhorar a aproxima¸c˜ao faremos ∆ → 0. Com isto, ti → τ, ∆ → dτ, δ∆(t − ti) → δ(t − τ) e P→R o que nos permite escrever

x(t) =

Z ∞

(22)

2.6 Sinais eternos, os outros e simetrias

Do ponto de vista matemático uma fun¸cão real de variável real é definida para valores de t variando de −∞ a ∞ e pode assumir valores não nulos em qualquer ponto desse intervalo. Um sinal representado por uma dessas fun¸cões recebe o nome de eterno ou bilateral ou ainda de duas bandas. Sinais assim existem no mundo real?

Defini¸c˜ao 2.6.1 Um sinal x(t) ´e chamado unilateral ou de uma banda

quando x(t) = 0 para t < 0.

Sinais unilaterais são menos restritivos do que pode parecer à primeira vista. Eles são, de fato, mais naturais até do que os sinais eternos, porque no mundo real tudo come¸ca, tudo tem in´ıcio em um certo instante do tempo, ou então, mesmo que algum fenômeno já esteja ocorrendo, come¸camos a observá-lo a partir de um certo instante. É sempre poss´ıvel associar t = 0 a este instante inicial e desconsiderar o passado, e é exatamente aqui que entram os sinais unilaterais. É fácil perceber que um sinal x qualquer multiplicado por um degrau unitário, x(t)1(t), é unilateral.

Na maioria das situa¸cões práticas os sinais, além de um come¸co bem deterninado, também terminam em instantes precisos e conhecidos. Temos agora os sinais com horizonte de tempo finito, que se anulam fora do intervalo [t0 tf] onde são definidos.

Alguma caracter´ısticas muito facilmente verificáveis de sinais podem gerar simplifica¸cões significativas em um grande número de situa¸cões.

Defini¸c˜_{ao 2.6.2 Um sinal x ser´a chamado de par quando x(−t) = x(t) ∀t ∈} IR. Quando x(−t) = −x(t) ∀t ∈ IR ele ser´a chamado de ´ımpar.

Sinais pares são aqueles cujos gráficos são simétricos com rela¸cão ao eixo vertical, como por exemplo |t|, cos(ωt), etc. Nos sinais ´ımpares o gráfico da curva para valores negativos é obtido rebatendo a curva para valores positivos em torno do eixo vertical, em primeiro lugar, e depois em torno do eixo horizontal; a origem do plano é um foco de simetria. Como exemplos temos t, sen (ωt), etc. Estes tipos de simetria claramente não se aplicam a sinais unilaterais.

2.7 Sinais Peri´

odicos

A defini¸cão é clássica e, certamente, conhecida de todos.

Defini¸c˜ao 2.7.1 Um sinal x(t) ´e peri´odico _{se e somente se existe T ∈ IR} tal que x(t + T ) = x(t) ∀t ∈ IR.

(23)

O menor valor de T que satisfaz a defini¸cão é chamado de per´ıodo fun-damental, ou simplesmente per´ıodo, e recebe o s´ımbolo T0. O conceito de freqüência é também conhecido.

f0 = 1/T0 → freqüência linear fundamental ω0 = 2π/T0 _→ freqüência angular fundamental

Os sinais harmônicos ou trigonométricos são representantes t´ıpicos e no-bres dos sinais periódicos. Um sinal senoidal, recordemos, é descrito por

x(t) = A sen (ω0t) = A sen (2πf0t) = A sen (2πt/T0) cujo gráfico é bastante conhecido: oscila¸cões com amplitude A.

✲

t

✻

• •

T0 = 2π/ω0

A expressão anal´ıtica para uma senóide deslocada é x(t) = A sen (ω0t + θ) onde θ recebe o nome de fase ou defasagem, e cujo gráfico é

✲

t

✻

Esta curva é idêntica à anterior e, supondo a defasagem positiva, foi deslocada θ/ω0 unidades de tempo para a esquerda. Uma senóide deslocada de π/2 radianos representará um sinal cossenoidal

x(t) = A sen (ω0t ± π/2) = ±A cos(ω0t) onde o aspecto continua idˆentico, apenas a fase difere.

✲

t

(24)

O que acontece quando somamos duas sen´oides? H´a sempre uma certa expectativa de que ao se juntar duas ou mais coisas de um certo tipo o resultado final seja uma coisa deste mesmo tipo. Assim, ao se somar senos (ou cossenos) se obteria outros senos (ou cossenos). Sejam dois sinais senoidais gerais expressos como abaixo

x1(t) = A1sen (ω1t + θ1) e x2(t) = A2sen (ω2t + θ2)

A obten¸cão da sua soma x(t) = x1(t) + x2(t) pode ser razoavelmente complicada. Nem mesmo a periodicidade deste sinal pode ser assegurada no caso geral. É poss´ıvel mostrar que a soma de sinais senoidais como estes será um sinal periódico quando a razão entre seus per´ıodos for racional:

T1 T2 = f2 f1 = ω2 ω1 ´e racional

Isto pode ser generalizado para uma soma com v´arias parcelas.

Fato 2.7.1 O sinal a1cos(ω1t) + a2cos(ω2_{t) + · · · + a}kcos(ωkt) ´e peri´odico

se existir um ω0 ∈ IR tal que

ω1 = n1ω0 ω2 = n2ω0

...

ωk = nkω0

onde os n1, n2, . . . , nk s˜ao inteiros

Vemos assim que uma soma de senóides será um sinal periódico quando suas freqüências forem múltiplas inteiras de uma freqüência básica ω0. Fre-qüências com esta propriedade são chamadas de harmônicas, e assim dir´ıamos que a soma de senóides com freqüências harmônicas é um sinal periódico. Exemplo 2.7.1 Seguem abaixo os gráficos de x1(t) = sen t, x2(t) = sen t + (1/3) sen (3t) e x3(t) = sen t + (1/3) sen (3t) + (1/5) sen (5t).

✲

t

(25)

✲

t

✻x2(t) = sen (t) + sen (3t)/3

✲

t

✻x2(t) = sen (t) + sen (3t)/3 + sen (5t)/5

Verificamos que os sinais s˜ao peri´odicos.

Conjectura

Um dos objetivos básicos da teoria de sinais é o de decompor um sinal qualquer em uma soma de sinais mais simples. Isto já foi visto para os sinais singulares, e agora estamos em um ponto parecido: a soma de senóides harmônicas gera sinais periódicos. E se partirmos de um sinal periódico qualquer, que se pode dizer? Será poss´ıvel decompô-lo em senóides básicas? Já no século XVIII alguns matemáticos davam respostas positivas a esta conjectura, mas problemas que apareciam quando se aplicava as idéias a sinais descont´ınuos eram considerados graves e desencorajavam o estudo deste campo. No final desse século Jean Baptiste Joseph Fourier voltou a defender essa decomposi¸cão, além de outras coisas. A aceita¸cão completa viria meio século depois, com os trabalhos de Dirichlet que apresentavam com rigor as condi¸cões sob as quais a decomposi¸cão é válida. Mas para efeitos históricos o nome de Fourier ficou associado a essa idéia de expressar um sinal periódico qualquer como uma soma de senóides.

2.8 S´

erie de Fourier

Apresentaremos as três formas básicas dessa série, come¸cando pela mais in-tuitiva, a trigonométrica e terminando com a exponencial, mais útil. Mas antes virão os resultados que garantem a existência da Série de Fourier. É interessante comentar que estas condi¸cões não são devidas a Fourier, elas vieram décadas depois.

(26)

Teorema 2.8.1 Se um sinal peri´odico x(t) satisfaz as condi¸c˜oes seguintes

pode-se encontrar a sua decomposi¸c˜ao em S´erie de Fourier:

1. O sinal x(t) apresenta um n´umero finito de m´aximos e m´ınimos rela-tivos em um per´ıodo qualquer.

2. O sinal x(t) apresenta um n´umero finito de descontinuidades finitas em um per´ıodo qualquer.

3. O sinal x(t) ´e absolutamente integr´avel em intervalos finitos:

Z t0+T

t0 |x(t)|dt < ∞ ∀t0, ∀T

Estas são conhecidas como as Condi¸cões de Dirichlet. De uma maneira ge-ral elas são bastante suaves, isto é, valem para a maioria dos sinais periódicos de interesse. Elas fornecem condi¸cões apenas suficiente para a existência da série de Fourier, ou seja, mesmo que elas falhem para um determinado sinal, não se pode garantir a inexistência da série para ele. No restante do texto, mesmo que não haja men¸cão expl´ıcita, se suporá que os sinais satisfazem Dirichlet.

2.8.1 S´

erie de Fourier: Forma Trigonom´

etrica

Sendo x(t) um sinal periódico que satisfaz Dirichlet é poss´ıvel decompô-lo em uma soma de senóides harmônicas

x(t) = a0 +a1cos(ω0t) + a2cos(2ω0_{t) + · · ·} +b1sen (ω0t) + b2sen (2ω0_{t) + · · ·} = a0+ ∞ X k=1 akcos(kω0t) + ∞ X k=1 bksen (kω0t) onde ω0 é a freqüência angular fundamental de x(t).

Muito provavelmente este foi o ponto de partida de Fourier, o importante e genial avan¸co sobre o que se conhecia até a época. Além desta idéia básica ele forneceu também métodos para se calcular os coeficientes; para o cálculo dos a0, ake bka regra é integrar ao longo de um per´ıodo. Como as integrais de senos e cossenos se anulam teremos informa¸cões sobre os coeficientes. Sendo T0 = 2π/ω0 o per´ıodo fundamental é fácil ver que

Z T0 0 x(t)dt = Z T0 0 a0dt + 0 + · · · 0 + · · · = a0 Z T0 0 dt = a0T0

(27)

a0 = 1 T0

Z T0

0 x(t)dt

Este coeficiente a0 é também conhecido como o termo DC da série. Multi-plicando x(t) por cos(ω0t) e integrando ao longo de um per´ıodo verificar´ıamos que todos os termos se anulam, exceto aquele associado ao coeficiente a1. Se-guindo este racioc´ınio podemos estabelecer as seguintes fórmulas:

a0 = 1 T0 Z T0 0 x(t)dt ak = 2 T0 Z T0 0 x(t) cos(kω0t)dt ∀k > 0 bk = 2 T0 Z T0 0 x(t) sen (kω0t)dt ∀k > 0

Aplicando estas expressões podemos expandir sinais periódicos dados em suas séries de Fourier. Dependendo do sinal podemos ter um número finito de termos ou infinito. Se o sinal analisado apresentar algum tipo de simetria haverá simplifica¸cões no cálculo de seus coeficientes. Às propriedades de simetria de sinais vistas anteriormente pode-se adicionar mais uma.

Defini¸c˜ao 2.8.1 Um sinal peri´odico x(t) apresenta simetria ´ımpar de

meia-onda _{quando x(t ± T}_{0/2) = −x(t) ∀t ∈ IR.}

A demonstra¸cão de como estas propriedades de simetria simplificam o cálculo dos coeficientes não é dif´ıcil, e será omitida. Os leitores interessados facilmente verificarão a validade do Fato abaixo.

Fato 2.8.1 Se x(t) é um sinal periódico par então bk _{= 0 ∀k, ou seja, a sua}

s´erie de Fourier ´e composta apenas de cossenos.

Se x(t) é um sinal periódico ´ımpar então ak= 0 ∀k, ou seja, a sua série

de Fourier ´e composta apenas de senos.

Se x(t) é um sinal periódico com simetria ´ımpar de meia-onda então

ak _{6= 0 ⇔ k = (2m + 1), e b}k 6= 0 ⇔ k = (2m + 1), ou seja, a sua s´erie de

Fourier ´e composta apenas dos termos ´ımpares a1, b1, a3, b3, . . .

Exemplo 2.8.1 Uma sen´oide parcialmente retificada ´e obtida ao se reter

apenas as partes positivas de uma senóide. Na metade de um per´ıodo qualquer ter´ıamos x(t) = A sen (ω0t) e na outra metade x(t) = 0. O gráfico é

✻

✲

(28)

O termo DC ser´a dado por a0 = 1 T0 Z T0 0 x(t)dt = A T0 Z T0/2 0 sen (ω0t)dt = A π

As propriedades de simetria n˜ao se aplicam, ent˜ao

ak = 2 T0 Z T0 0 x(t) cos(kω0t)dt = 2A T0 Z T0/2 0 sen (ω0t) cos(kω0t)dt = 2A T0 " − cos((k + 1)π) 2ω0(k + 1) + cos((k − 1)π) 2ω0_{(k − 1)} + −1 ω0_{(k + 1)(k − 1)} # = A π(k2_{− 1)} " −k − 1₂ cos((k + 1)π) + k + 1 2 cos((k − 1)π) − 1 #

Quando k = 1 devemos integrar sen (ω0t) cos(ω0t) = sen (2ω0t)/2, cujo

per´ıodo ´e T0/2 ao longo de meio per´ıodo: o resultado ´e zero. Excluindo

esse valor podemos analisar a express˜ao acima de modo geral. Para valores ´ımpares de k os cossenos se tornam unit´arios e temos

ak= A π(k2_{− 1)} " −k − 1₂ +k + 1 2 − 1 # = 0

Para valores pares de k os coeficientes ser˜ao n˜ao nulos

ak = A π(k2_{− 1)} " k − 1 2 − k + 1 2 − 1 # = −2A π(k2_{− 1)}

Para os coeficientes dos senos

bk = 2 T0 Z T0 0 x(t) sen (kω0t)dt = 2A T0 Z T0/2 0 sen (ω0t) sen (kω0t)dt = 2A T0 (k + 1) sen ((k − 1)π) − (k − 1) sen ((k + 1)π) 2ω0_{(k + 1)(k − 1)} = A 2π(k2_{− 1)}[(k + 1) sen ((k − 1)π) − (k − 1) sen ((k + 1)π)]

Em valores pares de k os senos da express˜ao acima se anulam levando a

bk_{= 0. Para valores ´ımpares o mesmo racioc´ınio se aplica, desde que k 6= 1.}

Neste caso devemos resolver

b1 = 2A T0 Z T0/2 0 sen 2_{(ω0t)dt =} 2A T0 π 2ω0 = A 2 Em resumo: a0 = A π ak =      0 k ´ımpar −2A _{k par} bk=      A 2 k = 1 0 k > 1

(29)

e a expans˜ao ´e dada por x(t) = A π + A 2 sen (ω0t) − 2A 3π cos(2ω0t) − 2A 15πcos(4ω0t) − · · ·

Plotando estes termos ter´ıamos

✲ ✻

t

Exemplo 2.8.2 Onda triangular para a qual um dos per´ıodos ´e dado por

x(t) =      4A T0t + A − T0 2 ≤ t ≤ 0 −4AT0t + A 0 ≤ t ≤ T0 2

O gr´afico para este sinal ´e:

✲

t

✻

• •

T0 = 2π/ω0

O termo DC ´e nulo, como seria f´acil verificar; sendo o sinal par teremos

bk= 0 e haver´a apenas termos cossenoidais. ak = 2 T0 " Z 0 −T0/2 4A T0 t + A cos(kω0t)dt + Z T0/2 0 A − 4A T0 t cos(kω0t)dt # = 8A T2 0 " Z 0 −T0/2t cos(kω0t)dt − Z T0/2 0 t cos(kω0t)dt # = 4A k2_π2 [1 − cos(kπ)] = 8A

k2_π2 quando k ´e ´ımpar, e 0 quando k ´e par.

A expans˜ao ´e dada por

x(t) = 8A π2 cos(ω0t) + 8A 9π2 cos(3ω0t) + 8A 25π2 cos(5ω0t) + · · ·

(30)

✲

t

✻

Exemplo 2.8.3 Onda quadrada para a qual um dos per´ıodos ´e dado por

x(t) =      A 0 < t < T0/2 −A T0/2 < t < T0

O gr´afico para este sinal ´e:

✲

t

✻

• •

T0 = 2π/ω0

O termo DC é nulo, como seria fácil verificar; como o sinal é ´ımpar teremos ak= 0 e haverá apenas termos senoidais.

bk = 2 T0 Z T0x(t) sen (kω0t)dt = 2A T0 " Z T0/2 0 sen (kω0t)dt − Z T0 T0/2 sen (kω0t)dt # = 2A kπ [1 − cos(kπ)] = 4A

kπ quando k ´e ´ımpar, e 0 quando k ´e par.

A expans˜ao ´e dada por:

x(t) = 4A π sen (ω0t) + 4A 3π sen (3ω0t) + 4A 5π sen (5ω0t) + · · ·

Plotando estes termos ter´ıamos algo j´a visto anteriormente, procurem a´ı atr´as.

Este último exemplo foi o primeiro a apresentar descontinuidades. Em um ponto qualquer, por exemplo t = T0/4 ter´ıamos x(t) = A, pela defini¸cão do sinal; pela expansão em série ter´ıamos

x(T0/4) = 4A π senπ 2 + 1 3sen 3π 2 + 1 5sen 5π 2 + · · · = 4A π 1 −1₃ +1 5 − 1 7+ 1 9− · · · = 4A π π 4 = A

(31)

como seria de se esperar. Supondo que no sinal dado houvesse uma descon-tinuidade isolada em t = T0/4, ou seja, o valor do sinal nesse ponto passaria a ser um valor finito A′ _{6= A. Os procedimentos para a obten¸cão da série} permaneceriam inalterados e ela continuaria a mesma. Isto significa que um número finito de descontinuidades pontuais finitas não altera a série de Fou-rier. Por outro lado, se usarmos a série acima para calcular o valor do sinal em t = 0 obteremos x(0) = 0. Mas o nosso sinal não é definido neste ponto. Em geral, quando x(t) tem descontinuidades do tipo salto, a série de Fourier converge para o ponto médio.

2.8.2 S´

erie de Fourier: Forma Cossenoidal

Sabemos da trigonometria que

a cos α + b sen α = A cos(α + θ) onde

(

A =√a2_{+ b}2 tan θ = −b/a

A expansão de um sinal periódico x(t) na forma trigonométrica da série de Fourier é, pela se¸cão anterior

x(t) = a0 +a1cos(ω0t) + a2cos(2ω0_{t) + · · ·} +b1sen (ω0t) + b2sen (2ω0_{t) + · · ·}

Usando a identidade acima podemos reescrever esta série em uma forma mais compacta x(t) = A0+ ∞ X k=1 Akcos(kω0t + θk) onde        A0 = a0 Ak =qa2 k+ b2k k ≥ 1 tan θk_{= −b}k/ak _{k ≥ 1} A idéia básica permanece a mesma, decompomos um dado sinal em uma soma de sinais elementares. Este novo formato é considerado mais simples porque envolve apenas cossenos; em compensa¸cão cada um destes cossenos apresenta uma fase. Para cada harmônico, a amplitude Ak e a fase θkpodem ser calculados com o aux´ılio dos ak e bk obtidos na forma trigonométrica.

´

E costume apresentar os Ak e θkem forma gráfica, plotados em fun¸cão da freqüência ω. Como estamos interessados apenas nas freqüências harmônicas ωk, múltiplas inteiras da freqüência fundamental ω0, estes gráficos serão dis-cretos, ou seja, representarão grandezas definidas apenas para valores discre-tos das freqüências.

(32)

-2 0 2 2ω0 4ω0 6ω0 8ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ -2 0 2 2ω0 4ω0 6ω0 8ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Estes gráficos são chamados de espectros discretos de uma banda. Note-se que para k = 0 a amplitude A0 é o ganho DC a0, e este pode ser um número real positivo, negativo ou nulo. Se for positivo teremos A0 = a0, como diz a fórmula acima, mas a fase θ0 não fica bem explicitada. Como cos 0 = 1 podemos relacionar o ganho DC a um cosseno da forma a0cos(0ω0t + 0), e assim se atribui uma fase θ0 = 0 ao ganho DC. Se a0 < 0 a fórmula acima diria que A0 < 0 e isto causa algum embara¸co, pois Ak _{≥ 0 para todos os} valores positivos de k. Corrigir´ıamos este fato fazendo, para esta situa¸cão de ganho DC negativo, A0 _{= |a}0| e θ0 = π.

Se, para um particular inteiro k o harmônico correspondente não existir, basta colocar Ak = 0; mas e a fase θk, como defini-la? A rigor, o gráfico das fases não deveria conter tais pontos, mas, como qualquer valor θk serviria, muitas vezes a escolha fica liberada. Deve-se sempre ter em mente que as fases de harmônicos para os quais Ak = 0 não tem qualquer significado f´ısico, podendo estar presentes em alguns gráficos por pura conveniência estética. Exemplo 2.8.4 Para a onda quadrada do exerc´ıcio 2.8.3 a série de Fourier

trigonométrica era composta apenas de senos e é simples verificar que A0 = a0 = 0, Ak = bk e θk = −π/2. O resultado é x(t) = 4A π cos(ω0t − π/2) + 4A 3π cos(3ω0t − π/2) + 4A 5π cos(5ω0t − π/2) + · · · e os espectros são -2 0 2 2ω0 4ω0 6ω0 8ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ -2 0 2 2ω0 4ω0 6ω0 8ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ´

E imediato perceber que se x(t) é um sinal ´ımpar a sua série trigo-nométrica é composta apenas por senos e, como no exemplo acima, deve-remos deslocá-los de π/2: Ak = bk e θk = −π/2. Se o sinal x(t) é par, ele

(33)

já é composto apenas por cossenos, e teremos Ak = ak e θk = 0, quando ak > 0. Se Ak < 0, devemos atrasar o sinal de π radianos para conseguir o efeito de subtrair o termo: θk _{= −π. Para ambos os casos, amplitudes} Ak = 0 indicam, como vimos, a inexistência do harmônico associado a k, e nestes casos, ou se omite a fase θk ou se pode escolhê-la de acordo com con-veniências gráficas. No caso acima, por exemplo, estas fases problemáticas foram escolhidas com o mesmo valor das outras, −π/2, para manter uma aparência suave das curvas. Apenas θ0 foi escolhida nula.

Exemplo 2.8.5 Para a onda triangular do exerc´ıcio 2.8.2 a s´erie

trigono-m´etrica era composta apenas de cossenos, donde θk = 0 ∀k e Ak= ak = _k16A2_π2

quando k é ´ımpar e 0 quando k é par. Os espectros são

-2 0 2 2ω0 4ω0 6ω0 8ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ -2 0 2 2ω0 4ω0 6ω0 8ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Percebemos uma predominância muito grande do primeiro harmônico. As fases problemáticas, associadas aos harmônicos pares, e ao termo DC, foram escolhidas iguais a 0, por efeitos estéticos.

Exemplo 2.8.6 Para a sen´oide semi-retificada do exerc´ıcio 2.8.1 a s´erie de

Fourier trigonom´etrica era composta por senos e cossenos

x(t) = A π + A 2 sen (ω0t) − 2A 3π cos(2ω0t) − 2A 15πcos(4ω0t) − · · ·

Temos ent˜ao A0 = a0 = A/π, A1 = b1 = A/2 e, para k ≥ 2, Ak = 0 para k ´ımpar, e Ak = −2A π(k2_{− 1)} para k par.

Os ak s˜ao negativos para alguns termos, e isto se traduz em θk = −π.

Para os harmônicos ´ımpares ≥ 3 a fase é problemática, e, neste caso, foi considerada nula. Os espectros ficam

-1 0 1 2ω0 4ω0 6ω0 8ω0 ⋆ ⋆ _⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ -4 -2 0 2 2ω0 4ω0 6ω0 8ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

(34)

Continuamos a perceber uma predominˆancia muito grande dos primeiros harmˆonicos.

2.8.3 S´

erie de Fourier: Forma Exponencial

Podemos usar a identidade de Euler — ejα _{= cos α + j sen α — duas vezes} para obter uma express˜ao para cos α em termos de exponenciais complexas

ejα _{= cos α + j sen α} e−jα _{= cos α − j sen α} ) =⇒ cos α = 1₂ejα+1 2e −jα

Aplicando para a express˜ao de um cosseno geral, com amplitude e fase, e efetuando opera¸c˜oes elementares nas exponenciais temos

Akcos(kω0t + θk) = Ak 2 e j(kω0t+θk)₊Ak 2 e −j(kω0t+θk) = Ak 2 e jθk_ejkω0t₊Ak 2 e −jθk_e−jkω0t

Lembrando a expressão da série de Fourier cossenoidal para um sinal x(t): x(t) = A0+ ∞ X k=1 Akcos(kω0t + θk) = A0+ ∞ X k=1 A k 2 e −jθk e−jkω0t₊Ak 2 e jθk_ejkω0t = · · · + A₂2e−jθ2_e−j2ω0t₊ A1 2 e −jθ1_e−jω0t_{+ A0}₊A1 2 e jθ1_ejω0t +A2 2 e jθ2_ej2ω0t + · · · = · · · + X−2e−j2ω0t+ X₋₁e−jω0t+ X0+ X1ejω0t+ X2ej2ω0t_{+ · · ·} Trata-se de uma série de exponenciais complexas, cada uma acompa-nhada de um coeficiente também complexo; as exponenciais são associadas às freq¨_{uências 0, ±ω}0, ±2ω0, ±3ω0, etc, e os coeficientes são da forma M ejφ onde M se relaciona com as amplitudes e φ com as fases da expansão cosse-noidal. Em resumo, a série de Fourier para x(t) pode ser apresentada como

x(t) = ∞

X

k=−∞

Xkejkω0t

onde Xk _{∈ C ´e tal que}

           |Xk| = Ak₂ e 6 Xk= θk para k > 0 |X0| = A0 e 6 X0 = 0 para A0 > 0 |X0| = −A0 e 6 X0 = π para A0 < 0 |Xk| = A−k₂ e 6 Xk= −θ−k para k < 0

(35)

Esta forma exponencial ou complexa é mais uma maneira de expressar a idéia de sempre; ela é, talvez, a forma mais compacta, elegante e eficiente de fazer isso. As freqüências de cada harmônico aparecem nos expoentes dos termos, ao passo que os coeficientes carregam em si informa¸cões duplas, sobre as amplitudes e sobre as fases. O pre¸co a se pagar por essa elegância e sim-plicidade é o fato de termos de usar números complexos, pois aparentemente se perde a liga¸cão com o mundo real e com as interessantes interpreta¸cões da série de Fourier em termos de “componentes freqüenciais” de sinais. Estes receios se revelam infundados, pois logo sob a superf´ıcie das exponenciais e coeficientes complexos estão os familiares senos e cossenos.

As fórmulas acima indicam uma poss´ıvel maneira de cálculo para os co-eficientes Xk, através dos parâmetros Ak e θk da forma cossenoidal. E estes podem ser calculados com o aux´ılio dos ak e bk da forma trigonométrica. Isto parece incômodo e trabalhoso, mas há outros caminhos mais diretos. Fixemos um inteiro k e calculemos ao longo de um per´ıodo a integral

Z T0 0 x(t)e −jkω0t_{dt =} Z T0 0 ∞ X n=−∞ Xnejnω0t ! e−jkω0tdt = ∞ X n=−∞ Xn Z T0 0 e j(n−k)ω0t_{dt = Xk}Z T0 0 dt

pois a integral se anula para valores não nulos do expoente, como se veria aplicando a fórmula de Euler à exponencial. Temos assim:

Xk = 1 T0

Z T0

0 x(t)e

−jkω0t_dt

e esta ´e uma maneira incisiva e direta de calcular os coeficientes, sem precisar recorrer a formas anteriores da s´erie.

Uma vez conhecidos os coeficientes Xk é costume plotar os gráficos do módulo ou magnitude |Xk| e da fase 6 Xk em fun¸cão da freqüência. Conti-nuamos interessados apenas nas freqüências harmônicas, ou seja, múltiplas inteiras da freqüência fundamental ω0, e estes gráficos serão discretos, como antes. A diferen¸ca é que agora há valores associados a inteiros k positivos e negativos. Por esta razão eles são chamados de espectros discretos de duas bandas. É fácil concluir que o espectro das magnitudes é par, porque |Xk| = |X−k| = Ak/2, e o espectro das fases é ´ımpar porque 6 Xk = −6 X−k

-4 -2 0 2 4 −5ω−3ω0 0−ω0 ω0 3ω0 5ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ -4 -2 0 2 4 −5ω−3ω0 0−ω0 ω0 3ω0 5ω0 ⋆ ⋆ ⋆ _⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ _{⋆ ⋆}

(36)

As amplitudes verticais do espectro de |Xk| são a metade das amplitudes correspondentes no espectro de Ak. Devemos notar que os problemas com as fases continuam, pois, se Xk = 0 para um dado k, é razoável dizer que |Xk| = 0, mas que valor atribuir para 6 Xk ? Muitas vezes a análise caso a caso fornece resposta satisfatórias para estas complica¸cões.

Exemplo 2.8.7 A s´erie de Fourier para a onda quadrada do exerc´ıcio 2.8.3

já foi apresentada em suas formas trigonométrica e cossenoidal. Sabemos que X0 = A0 = a0 = 0 e a fórmula acima leva a uma expressão geral para os

coeficientes complexos Xk = 1 T0 Z T0/2 0 Ae −jkω0t dt − Z T0 T0/2Ae −jkω0t_dt ! = A jkω0T0 [−e−jkω0t_]T0/2 0 + [e−jkω0t]T0T0/2 = A jk2π2(1 − e jkπ_{) = j} A kπ(cos(kπ) − 1)

Como o espectro das magnitudes ´e par e o das fases ´e ´ımpar basta analisar o coeficiente Xk para valores positivos de k. Assim, o termo cos(kπ) − 1 se

anula para valores pares de k, e vale −2 para valores ´ımpares, donde Xk ´e

um imaginário puro com parte imaginária negativa ou nula. Para valores ´ımpares de k a fase vale claramente −π/2. Para valores pares (e positivos, lembremos) de k o módulo se anula, mas podemos supor que Xk tende à

origem do plano complexo sobre o eixo imaginário negativo, donde é razoável considerar as fases iguais também a −π/2. Em resumo:

k > 0 : |Xk| = _kπA(1 − cos(kπ)) 6 Xk = −π₂ k < 0 : |Xk| = _kπA(cos(kπ) − 1) 6 Xk = π₂ e os espectros ficam -1 -0.5 0 0.5 1 −5ω−3ω0 0−ω0 ω0 3ω0 5ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ -2 -1 0 1 2 −5ω−3ω0 0−ω0 ω0 3ω0 5ω0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Notar que a fase para k = 0 foi escolhida nula porque o espectro das fases ´e ´ımpar.

Exemplo 2.8.8 Para a onda triangular do exerc´ıcio 2.8.2 a express˜ao para Xk forneceria, ap´os os algebrismos

(37)

Este coeficiente ´e sempre um n´umero real. Para valores ´ımpares e positi-vos de k temos Xk = 4A/(k2π2); para valores pares Xk se anula. O espectro

das magnitudes seria tra¸cado sem problemas, e no espectro das fases podemos associar aos harmˆonicos pares uma fase nula, justificando isto pelo fato de

Xk ser sempre um real positivo ou nulo.

Exemplo 2.8.9 Para o seno semi-retificado do exerc´ıcio 2.8.1 obter´ıamos a

seguinte express˜ao geral

Xk = A

2π(1 − k2₎(1 + cos kπ)

Para contornar a indetermina¸cão existente quando k = 1 pode-se usar a fórmula diretamente para este caso, resultando X1 = (−jA)/4. É de se notar

que, tanto neste exemplo como nos imediatamente anteriores, o esfor¸co para o manuseio de fórmulas e algebrismos em geral é sensivelmente menor do que no caso da forma trigonométrica.

Antes do próximo exemplo, consideremos a fun¸cão sen (t)/t. Ela se anula para m´_{ultiplos inteiros de π, tem limites nulos quando t → ±∞ e limite} unitário quando t → 0, como seria fácil verificar. É portanto uma fun¸cão limitada que oscila com amplitudes decrescentes. Como sen (−t) = − sen (t) ela é par. Usaremos uma versão chamada de fun¸cão “sinc”

sinc (α) = sen (πα) πα que se anula nos inteiros

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Exemplo 2.8.10 Considere um trem de pulsos quadrados de amplitude A,

largura ∆ e per´ıodo T0. ✲t ✻ • • T0 = 2π/ω0 A • • ∆

(38)

Aplicando a f´ormula geral para os coeficientes vem Xk = 1 T0 Z T0 0 x(t)e −jkω0t_{dt =} 1 T0 Z ∆ 0 Ae −jkω0t_dt = −A jkω0T0 h e−jkω0ti∆ 0 = −A jk2π e−jkω0∆_{− 1} = A 2kπ ( sen (kω0∆) − j(1 − cos(kω0∆))

Neste ponto se aplicam as conhecidas identidades trigonom´etricas para

sen (2α) e cos(2α).

Xk = A

kπsen (kω0∆/2) [cos(kω0∆/2) − j sen (kω0∆/2)]

= A

kπsen (kω0∆/2)e −jkω0∆2

Usando a freq¨uˆencia linear f0 = 1/T0 = ω0/(2π) chegar´ıamos a Xk = Af0∆ sen (kπf0∆)

kπf0∆

e−jkπf0∆= Af0∆ sinc (kf0∆)e−jkπf0∆

de onde tiramos, diretamente, |Xk| = Af0∆ | sinc (kf0∆)| e 6 _Xk ₌

(

−kπf0∆ para sinc (kf0∆) > 0 −kπf0∆ ± π para sinc (kf0∆) < 0

Plotamos a seguir os espectros para f0 = 1, A = 4 e ∆ = 1/4

-0.4 0 0.4 0.8 1.2 -8 -4 0 4 8 ⋆⋆_⋆⋆⋆⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆⋆⋆ ⋆ ⋆ ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆ -3 -2 -1 0 1 2 3 -8 -4 0 4 8 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Verifica-se que as magnitudes se anulam nos múltiplos de 4. Seja agora um pulso de mesma freqüência mas mais estreito, com f0 = 1, A = 8 e ∆ = 1/8; os espectros são -0.4 0 0.4 0.8 1.2 -8 -4 0 4 8 ⋆⋆_⋆⋆⋆ ⋆⋆ ⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆⋆⋆ -3 -2 -1 0 1 2 3 -8 -4 0 4 8 ⋆ ⋆⋆ ⋆⋆ ⋆⋆ ⋆⋆ ⋆⋆_⋆ ⋆⋆ ⋆⋆ ⋆⋆ ⋆⋆ ⋆

(39)

As magnitudes se anulam nos múltiplos de 8, e isto quer dizer que o espectro fica mais largo e a contribui¸cão de harmônicos superiores cresce. Como a freqüência fundamental permanece a mesma a densidade das linhas espectrais não muda, ou seja, a distância, em Hz, entre dois harmônicos consecutivos se mantém. Diminuindo indefinidamente a largura do pulso ter´ıamos ∆ → 0; se a amplitude aumentar de modo a manter unitárias as áreas (A = 1/∆) o trem de pulsos se transforma em um trem de impulsos. Os leitores são gentilmente convidados a desenvolver as expressões anal´ıticas e a tra¸car os espectros para este caso.

Seja agora um pulso de mesma freq¨uˆencia mas mais largo: f0 = 1, A = 2

e ∆ = 1/2. Os leitores s˜ao mais uma vez convidados a tra¸car os espectros. E tamb´em a analisar o que acontece quando ∆ → T0; ter´ıamos, claramente,

uma fun¸cão periódica muito particular, a fun¸cão constante. Qual seria a sua expansão em série de Fourier? quais são seus espectros?

Agora a largura e a amplitude dos pulsos permanecem constantes, mas aumentamos o espa¸camento entre eles, ou seja, o per´ıodo T0. Para fixar as

id´eias, A = 4, ∆ = 1/4 e T0 = 2. Seria f´acil verificar que as magnitudes

se anulam no múltiplos de 8, como no gráfico imediatamente acima. A dife-ren¸ca é que agora o espa¸camento, em Hz, entre dois harmônico consecutivos diminuiu, acompanhando f0: o espectro ficou mais apertado, a densidade das

linhas espectrais aumentou. Leitores, fizeram as curvas?

2.9 Energia e potˆ

encia no caso peri´

odico

Conforme já visto anteriormente, a energia e a potência de um sinal são dadas, respectivamente, por

E = lim T →∞ Z T −T|x(t)| 2_dt _e _{P = lim} T →∞ 1 2T Z T −T |x(t)| 2_dt

Para sinais periódicos a energia é sempre infinita, e a potência pode ser calculada analisando apenas um per´ıodo:

P = 1 T0

Z T0

0 |x(t)| 2_dt

Aplicando a um sinal senoidal vem P = A2_{/2, uma conhecida rela¸cão.} Para encontrar a potência de um sinal periódico qualquer em termos de suas componentes harmônicas basta perceber que |x(t)|2 _{= x(t)x(t).}

P = 1 T0 Z T0 0 x(t)x(t)dt = 1 T0 Z T0 0 x(t) ∞ X −∞ Xkejkω0t ! dt = ∞ X −∞ Xk 1 T0 Z T0 0 x(t)e jkω0t_dt

(40)

Seja a mudan¸ca de variáveis discreta dada por k = −n; a expressão para a potência fica P = −∞ X n=∞ X_−n 1 T0 Z T0 0 x(t)e −jnω0t_dt = −∞X n=∞ X_−nXn= ∞ X k=−∞ XkX−k = X∞ k=−∞ |Xk|2

Este é o teorema de Parseval e ensina a calcular a potência de um sinal, a partir da distribui¸cão freqüencial de suas amplitudes. No espectro de potência de um sinal, muitas vezes usado em lugar do espectro de ampli-tudes, as grandezas |Xk|2 _{são plotadas em fun¸cão dos harmônicos k. Estes} espectros facilitam o cálculo da potência total de um sinal, ou então da potência em determinadas faixas de freqüências.

2.10 Sinais suaves e r´ıspidos

Sinais suaves são caracterizados por predom´ınio das baixas freqüências, ao passo que sinais r´ıspidos ou abruptos tem uma contribui¸cão maior das altas freqüências.

2.11 Resumo

Dado um sinal periódico sujeito a restri¸cões suaves podemos decompô-lo em um soma de senóides. A análise das amplitudes e fases destas senóides per-mite um conhecimento do sinal análogo ao conhecimento que se teria anali-sando a expressão anal´ıtica x(t) dele.

Dizemos que é poss´ıvel analisar um sinal periódico no dom´ınio do tempo, através de sua expressão anal´ıtica x(t), ou no dom´ınio das freqüências, atra-vés dos coeficientes Xk ou dos espectros. São maneiras distintas porém equi-valentes de se entender sinais periódicos. Para passar de um dom´ınio ao outro usamos as fórmulas desenvolvidas:

x(t) = ∞ X k=−∞ Xkejkω0t Xk = 1 T0 Z T0x(t)e −jkω0t_dt

2.12 Aplica¸c˜

oes

(41)

2.13 Exerc´ıcios

1. Considere o primeiro gráfico da figura 2.2. Supondo que a escala do eixo vertical é a mesma da do horizontal, e que o sinal é singular por partes, encontre para ele uma expressão anal´ıtica com sinais singulares 2. Dentre os sinais abaixo, identificar os de energia e os de potência; tra¸car

os gr´aficos para cada um deles. (a) 1(t) + 5.1(t − 1) − 2.1(t − 2) (b) 1(t) + 5.1(t − 1) − 6.1(t − 2) (c) e−5t_1(t) (d) t.1(t) sen (2πt) 3. Calcule as integrais Z 10 0 e −2t_{δ(t − 1)dt} _e Z +∞ −∞ cos(πt) ˙δ(t)dt

4. Encontrar os per´ıodos fundamentais e tra¸car os gr´aficos para os sinais: (a) sen (150πt) (b) cos(40πt + π/3) + sen (35πt) (c) cos(40πt + π/3) sen (35πt) (d) cos(40πt + π/3) sen (200πt) (e) | sen (200πt)| (f) | cos(40πt + π/3) sen (200πt)|

5. Plote a soma dos trˆes primeiros termos da s´erie f (t) = 2

π(cos ω0t − (1/3) cos 3ω0t + (1/5) cos 5ω0t − · · ·)

6. Seja x(t) a senóide parcialmente retificada vista nas notas. Deslocando-a 1/4 de per´ıodo pDeslocando-arDeslocando-a Deslocando-a esquerdDeslocando-a obtemos o sinDeslocando-al f (t) = x(t + T0/4). A partir da série de Fourier obtida para x(t) encontre a série para f e explique os resultados.

7. Obtenha a s´erie de Fourier trigonom´etrica para os sinais a seguir: (a) Seno retificado: x(t) = |A sen (ω0t)|

(42)

(b) Seno “parabólico”. É uma fun¸cão com per´ıodo T0 definida, em um de seus per´ıodos por

x(t) =        −16AT2 0 t 2₊ 8A T0t para 0 ≤ t ≤ T0 2 16A T2 0 t 2₋ 24A T0 t + 8A para T0 2 ≤ t ≤ T0 (c) Onda quadrada definida, em um de seus per´ıodos, por:

x(t) =      A para −T0 4 < t ≤ T0 4 −A para −T0 2 < t ≤ −T 0 4 e T0 4 < t ≤ T0 2 (d) Onda triangular definida, em um de seus per´ıodos, por:

x(t) =      4A T0t para 0 ≤ t ≤ T0 2 −4AT0t + 2A para T0 2 ≤ t ≤ T0 (e) Onda escada definida, em um de seus per´ıodos, por:

x(t) =      A para 0 ≤ t ≤ T0 2 2A para T0₂ _{≤ t ≤ T}0

(f) Onda dente de serra definida, em um de seus per´ıodos, por: x(t) = A

T0t para 0 ≤ t < T0 (g) x(t) = sen (10πt) + sen (12πt)

(h) x(t) = cos(10πt) + sen (12πt) (i) x(t) = sen (πt) cos(πt)

(j) x(t) = sen (πt) cos(2πt) (k) x(t) = sen (πt) cos(5πt)

(l) x(t) = sen (πt) cos(100πt)

8. Plote o gr´afico dos primeiros harmˆonicos para cada um dos sinais do exerc´ıcio anterior.

9. Para os sinais do exerc´ıcio anterior obtenha a s´erie de Fourier na sua forma cossenoidal. Apresente os espectros de Ak e θk.

10. Para os sinais do exerc´ıcio anterior obtenha a s´erie de Fourier na sua forma complexa. Apresente os espectros.