Derivada de Gateaux

Consideremos um funcional I : U → R, onde U é um subconjunto aberto de um espaço de Banach H.

O funcional I tem uma derivada de Gateaux f ∈ H∗ _{em u ∈ U se, para cada v ∈ H,}

I admite a expansão

I(u + tv) = I(u) + thf, vi + o(t) (A.7) com t ∈ R.

A derivada de Gateaux de I em u é denotada por I0_{(u). Se a derivada de Gateaux}

existe para todo u ∈ U, então I é dito Gateaux diferenciável.

Observação A.4. Se I(u) está definido e se I(u + tv) está definido para todo t > 0 suficientemente pequeno, então

hI0(u), vi = d dtI(u + tv)    t=0 = limt→0 1 tI(u + tv) − I(u). Definição A.11. Dizemos que u ∈ U é um ponto crítico de I, se I0(u) = 0.

Notação A.2. Sejam a, b, c ∈ R, introduzimos as seguintes notações: K = {u ∈ U : I0(u) = 0}, Kc = {u ∈ K : I(u) = c}, Ic _{= {u ∈ U : I(u) ≤ c}, I} c = {u ∈ U : I(u) ≥ c}, Ib a = {u ∈ U : a ≤ I(u) ≤ b}.

Definição A.12. Uma sequência {un}n∈N ⊂ H é dita uma sequência de Palais-Smale

para I no nível c se

i) I(un) → c, quando n → ∞.

ii) I0_(u

n) → 0em H∗.

Definição A.13. Dizemos que I satisfaz a condição local de Palais-Smale no nível c se cada sequência de Palais-Smale no nível c, admite uma subsequência fortemente conver- gente em H.

APÊNDICE B -- RESULTADOS DE

ANÁLISE

Neste apêndice serão apresentados alguns resultados de análise funcional e teoria das EDP’s utilizados neste trabalho.

Definição B.1 (Espaço de Hardy). O espaço de Hardy no Rn é definido como: H1 (Rn) =  f ∈ L1_(Rn) : sup x |f ∗ ht(x)| ∈ L1(Rn)  , onde ht(x) = 1 tnh x t  , tal que h ∈ C₀∞_(Rn), h(x) ≥ 0 e Z Rn hdx = 1. Lema B.2. Seja v ∈ H2_(R2_{). Então, as seguintes expressões}

det(D2v), (vx1vx2x2)x1 − (vx1vx2x1)x2, (vx1vx2)x1x2 − 1 2(v 2 x2)x1x1 − 1 2(v 2 x1)x2x2,

pertencem ao espaço H1_(R2_{) e são iguais nele, onde H}1_(R2_{) é o espaço de Hardy.}

Prova: Veja [5].

Lema B.3. Seja u ∈ H₀2(Ω). Então

det(D2u) = (ux1ux2)x1x2 − 1 2(u 2 x2)x1x1 − 1 2(u 2 x1)x2x2 em L1_{(Ω) ∩ h}1

r(Ω). Aqui h1r(Ω) é a classe de funções restrição de H1(R2) ao Ω.

Prova: Veja [5].

Teorema B.4 (Rellich-Kondrachov). Seja Ω um subconjunto aberto limitado com fron- teira suave do Rn_{. Então as seguintes imersões são compactas:}

i) W1,p_{(Ω) ,→ L}q_{(Ω); 1 ≤ q <} np

n − p, se p < n. ii) W1,p_{(Ω) ,→ L}q_{(Ω); 1 ≤ q < ∞, se p = n.}

iii) W1,p_{(Ω) ,→ C(Ω); se p > n.}

Prova: Veja [3].

Teorema B.5(Desigualdade de Hölder). Assuma f ∈ Lp(Ω)e g ∈ Lq(Ω) com 1 ≤ p, q ≤ ∞, tais que 1 p + 1 q = 1. Então fg ∈ L 1_(Ω) e Z Ω |f g|dx ≤ kf kpkgkq. Prova: Veja [2].

Teorema B.6. Seja k ≥ 1 um inteiro e seja p com 1 ≤ p < ∞. Temos as seguintes imersões contínuas: i) Wk,p (Rn) ,→ Lq_(Rn), onde 1 q = 1 p − k n, se 1 p − k n > 0. ii) Wk,p_(Rn_{) ,→ L}q_(Rn_{), p ≤ q < ∞ se} 1 p − k n = 0. iii) Wk,p (Rn) ,→ L∞_(Rn), se 1 p − k n < 0. Prova: Veja [2].

Teorema B.7 (Ponto fixo de Banach). Seja (X, d) um espaço métrico completo e seja S : X → X um operador contração, isto é

d(Sv1, Sv2) ≤ kd(v1, v2) ∀ v1, v2 ∈ X com k < 1.

Então S tem um único ponto fixo, u = Su.

Prova: Veja [2].

Definição B.8. Seja o operador L na forma

Lu = aij(x)Dij(u) + bi(x)Di(u) + c(x)u (B.1)

definido num espaço de funções adequado; com aij_{, b}i_{, c funções definidas sob um domínio}

no domínio Ω se:

aij(x)yiyj ≥ λ|y|2, ∀ x ∈ Ω, y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn,

para alguma constante positiva λ.

Teorema B.9. Seja Ω um subconjunto aberto limitado com fronteira suave de Rn e seja o operador L na forma (B.1) estritamente elíptico em Ω com coeficientes aij _{∈ C(Ω)},

bi_{, c ∈ L}∞_{, com i, j = 1, . . . , n e c ≤ 0. Então existe uma constante C tal que}

kukW2,p_(Ω) ≤ CkLuk_Lp_(Ω) para todo u ∈ W1,p

0 (Ω) ∩ W2,p(Ω), 1 < p < ∞.

Prova: Veja [15].

Teorema B.10 (Lax-Milgram). Sejam H um espaço de Hilbert e a : H × H → R uma forma bilinear que satisfaz:

i) existe α > 0, tal que, |a(u, v)| ≤ αkukkvk, ∀ u, v ∈ H (continuidade), ii) existe β > 0, tal que a(u, u) ≥ βkuk2_{, ∀ u ∈ H (coercividade).}

Então, para cada f ∈ H∗_{, existe um único u ∈ H tal que:}

a(u, v) = hf, vi, ∀ v ∈ H.

Prova: Veja [8].

Teorema B.11 (Princípio Variacional de Ekeland-forma fraca). Seja (X, d) um espaço métrico completo e seja Φ : X → R ∪ {+∞} um funcional semicontínuo inferior (ver Apêndice C). Assuma ainda que Φ é limitado inferiormente e seja c = inf

x∈XΦ(x). Então ∀ ε > 0, ∃ uε∈ X tal que c ≤ Φ(uε) ≤ c + ε, (B.2) e Φ(x) − Φ(uε) + εd(x, uε) > 0 ∀ x ∈ X, x 6= uε. (B.3) Prova: Veja [6], [9].

Definição B.12. Um subconjunto fechado F de um espaço de Banach B separa dois pontos u e v em B se u e v pertencem a componentes conexas disjuntas de B\F .

Definição B.13. O funcional diferenciável Φ : B → R satisfaz a condição (P S)G,c em

torno de um conjunto G no nível c se toda sequência {xn}n∈N em B tal que

1. lim n→∞d(xn, G) = 0, 2. lim n→∞Φ(xn) = c, 3. lim n→∞kΦ 0 (xn)k = 0,

possui una subsequência convergente.

Teorema B.14 (Ghoussoub & Preiss). Seja Φ : B → R um funcional Gateaux diferen- ciável tal que Φ0 _{: B → B}∗ _{é contínuo em B, com a topologia da norma, em B}∗ _{com a}

topologia fraca∗_{. Fixe u 6= 0 e defina}

c = inf

γ∈Γt∈[0,1]maxΦ[γ(t)],

onde

Γ =γ ∈ C([0, 1],B) : γ(0) = 0, γ(1) = u .

Seja F um subconjunto fechado tal que F ∩ Φc separa 0 e u. Assuma que Φ satisfaz

a condição (P S)F,c. Então existe u∗ ∈ F tal que Φ(u∗) = ce Φ0(u∗) = 0.

APÊNDICE C -- PROVA DE RESULTADOS

USADOS

C.1

CONTINUIDADE DO FUNCIONAL J

_λ Como Jλ(u) = 1 2 Z Ω |∆u|2 − Z Ω ux1ux2ux1x2dx − λ Z Ω f udx

= J_λ1(u) + J_λ2(u) + J_λ3(u), e J1

λ, Jλ3 são contínuos, assim só devemos provar que

J_λ2(u) = − Z

Ω

ux1ux2ux1x2dx

é continuo.

Com efeito: Sejam {un}n∈N ⊂ H02(Ω) e u ∈ H02(Ω), tais que un → u em H02(Ω). Então

temos a seguinte igualdade

∂x1un∂x2un∂x1x2un− ∂x1u∂x2u∂x1x2u = ∂x1(un− u)∂x2(un− u)∂x1x2(un− u)

+ ∂x1x2u∂x1un∂x2(un− u) + ∂x1x2un∂x2u∂x1(un− u)

+ ∂x2un∂x1u∂x1x2(un− u).

Disto

|∂x1un∂x2un∂x1x2un− ∂x1u∂x2u∂x1x2u| ≤ |∂x1(un− u)∂x2(un− u)∂x1x2(un− u)|

+ |∂x1x2u∂x1un∂x2(un− u)| + |∂x1x2un∂x2u∂x1(un− u)| + |∂x2un∂x1u∂x1x2(un− u)|.

Temos assim

|J_λ2(un) − Jλ2(u)| ≤

Z

Ω

|∂x1(un− u)∂x2(un− u)∂x1x2(un− u)|dx

+ Z Ω |∂x1x2u∂x1un∂x2(un− u)|dx + Z Ω |∂x1x2un∂x2u∂x1(un− u)|dx + Z Ω |∂x2un∂x1u∂x1x2(un− u)|dx.

Agora, os três somandos do lado direito convergem para zero, quando n → 0, devido aos TeoremasB.4,B.5, B.6 (análogo ao que foi feito no Capítulo 1 ).

Por tanto, J2

λ é contínuo, o qual implica a continuidade do funcional Jλ.

C.2

CONTINUIDADE FRACA

∗

DA DERIVADA DO

FUNCIONAL J

_λ

Sejam {un}n∈N⊂ H02(Ω) e u ∈ H02(Ω), tais que un → uem H02(Ω), quando n → ∞.

Seja v ∈ H2 0(Ω) arbitrário. |hJ_λ0(un), vi − hJλ0(u), vi| =     Z Ω (∆un)(∆v) − det(D2un)v − λf vdx − Z Ω

(∆u)(∆v) − det(D2_{u)v − λf vdx}     =     Z Ω (∆un− ∆u)∆vdx − Z Ω

[det(D2un) − det(D2u)]vdx

    ≤ Z Ω |∆(un− u)||∆v|dx + Z Ω | det(D2_u n) − det(D2u)||v|dx

≤ k∆(un− u)k2k∆vk2+ C(k∇unk4+ k∇uk4)k∆(un− u)k2k∆vk2 (C.1)

onde a última desigualdade foi obtida utilizando a desigualdade de Hölder (ver Apêndice

B Teorema B.5) (primeiro somando) e os resultados do Capítulo 1 Seção 1.2 (segundo somando), junto com o fato H2

0(Ω) ⊂ H01(Ω) ∩ H2(Ω).

Como os dois últimos termos da desigualdade (C.1) convergem para zero quando n → ∞, concluímos que a derivada J_λ0 : H2

0(Ω) → H

C.3

SEQUÊNCIA DE PALAIS-SMALE PARA J

_λ

A prova necessitará de alguns fatos da análise convexa, os quais só serão expostos sem demonstração. Para mais detalhes veja [6], [10], [13].

Definição C.1. Seja V um espaço vetorial topológico. Um conjunto C ⊂ V é dito convexo se para todo x, y ∈ C e para todo ξ ∈ [0, 1] tem-se

ξx + (1 − ξ)y ∈ C.

Definição C.2. Dizemos que uma função Φ : V → R ∪ {+∞} é convexa se para todos x, y ∈V e para todo ξ ∈ [0, 1],

Φ(ξx + (1 − ξ)y) ≤ ξΦ(x) + (1 − ξ)Φ(y). Definição C.3. Seja X um espaço topológico de Hausdorff.

Um funcional Φ : X → R ∪ {+∞} é dito semicontínuo inferior se para cada a ∈ R, o conjunto {x ∈ X : Φ(x) > a} é aberto.

Definição C.4. O conjunto

epi Φ = {(x, a) ∈ X × R : Φ(x) ≤ a} , é chamado o epígrafo do funcional Φ : X → R ∪ {+∞}.

Proposição C.5. Um funcional Φ : X → R∪{+∞} é semicontínuo inferior, se e somente se, seu epígrafo é fechado.

Para uma demonstração ver [10], pág. 10.

Definição C.6 (subdiferencial de uma função convexa). Seja B um espaço de Banach e Φ :B → R ∪ {+∞} um funcional convexo semicontínuo inferior, com Φ(x) 6≡ ∞. Vamos denotar o domínio da Φ por domΦ = {x ∈ B : Φ(x) < +∞}. Definimos a subdiferencial de Φ, ∂Φ : B → 2B∗

, por

∂Φ(x) = {µ ∈B∗ : Φ(y) ≥ Φ(x) + hµ, y − xi ∀ y ∈B}. (C.2) Proposição C.7. Seja Φ : B → R convexa e contínua. Então para cada x, y ∈ B tem-se

lim

t→0

Φ(x + ty) − Φ(x)

Para uma demonstração ver [6], pág. 42.

Seja K um espaço métrico compacto e C(K, R) o espaço de Banach das funções contínuas com valores reais, x : K → R, munido com a norma kxk = max{|x(t)| : t ∈ K}. Denotemos B = C(K, R). Pelo teorema da representação de Riesz o dual B∗ _{de B é}

isometricamente isomorfo ao espaço de Banach

M(K, R) = {µ : BK → R : µ é medida regular, contavelmente aditiva},

munido da norma kµk = sup  k X i=1 |µ(Ei)| : k [ i=1 Ei ⊂ E, Ei∩ Ej = ∅, ∀ k = 1, 2, . . .  ,

onde, BK é a σ-álgebra dos conjuntos de Borel em K.

Uma tal medida µ ∈ M(K, R) é dita uma medida de Radon.

Definição C.8. Para uma medida de Radon, temos as seguintes definições:

1. Uma medida de Radon µ é positiva se hµ, xi ≥ 0 ∀ x ∈ B tal que x(t) ≥ 0 ∀ t ∈ K. Denotemos uma tal medida como µ ≥ 0.

2. Dizemos que uma medida de Radon µ tem massa um se hµ, πi = 1, onde π ∈ B é a função definida por π(t) = 1 ∀ t ∈ K.

3. Dizemos que uma medida de Radon µ se anula num conjunto aberto U ⊂ K se hµ, xi = 0 ∀ x ∈ B tal que o suporte de x é um conjunto compacto K0 contido em

U.

4. Usando partição da unidade, pode se provar que se µ se anula numa coleção de abertos Uα, então µ também se anula na união S Uα. Assim existe o maior conjunto

aberto ˜U onde µ se anula. O suporte de uma medida de Radon µ, denotado por supp µ é definido por supp µ = K\ ˜U.

Proposição C.9. Usando a notação acima, considere o funcional Θ : B → R definido Θ(x) = max

t∈K x(t).

Então Θ é contínuo e convexo. Além disso; para cada x ∈ B

Para uma demonstração veja [6], pág. 44.

Agora vamos provar que existe uma sequência de Palais-Smale no nível c para o nosso funcional Jλ.

Lembremos que u0 é mínimo local de Jλ tal que Jλ(u0) < 0e v ∈ H02(Ω)com k∆vk2 >

rmax > 0 tal que Jλ(v) < Jλ(u0).

Γ =γ ∈ C([0, 1], H₀2(Ω))|γ(0) = u0, γ(1) = v e c = inf γ∈Γt∈[0,1]max Jλ[γ(t)].

Seja B(uo, σ) =u ∈ H02(Ω)/k∆(u − u0)k ≤ σ

, para algum σ > 0. Como u0 é mínimo local, existe σ, suficientemente pequeno, tal que

inf

u∈B(uo,σ)

Jλ(u) > Jλ(u0) = max{Jλ(u0), Jλ(v)}.

Seja (Γ, d) o espaço métrico completo, com d(γ, θ) = max

t∈[0,1]k∆(γ(t) − θ(t))k.

Definamos o funcional ψ : Γ → R como sendo ψ(γ) = max

t∈[0,1]Jλ[γ(t)].

• ψ é semicontínuo inferior. Com efeito :

Seja (γ, a) ∈ epi ψ, logo existe uma sequência {(γn, an)}n∈N⊂epi ψ, tal que

(γn, an) → (γ, a), quando n → ∞.

Assim temos ψ(γn) ≤ an, ∀ n ∈ N.

Disto

max

t∈[0,1]Jλγn(t) ≤ an, ∀ n ∈ N =⇒ Jλγn(t) ≤ an, ∀ n ∈ N,

e assim, pela continuidade do funcional Jλ (ver Seção C.1), obtemos

Jλγ(t) ≤ a, ∀ t ∈ [0, 1] =⇒ max

t∈[0,1]Jλγ(t) ≤ a.

Isto último prova que (γ, a) ∈ epi ψ, e pela Proposição C.5, concluímos que o funcional ψ é semicontínuo inferior.

• ψ é limitado inferiormente. Com efeito:

c = inf

Aplicando o princípio variacional de Ekeland (ver Teorema B.11 no Apêndice B), temos que ∀ ε > 0, ∃ γε ∈ Γ tal que

c ≤ ψ(γε) ≤ c + ε (C.4)

e

ψ(γ) ≥ ψ(γε) − εd(γ, γε), ∀ γ ∈ Γ. (C.5)

Se δ ∈ C([0, 1], H2

0(Ω))tal que δ(0) = δ(1) = 0, então, pela equação (C.5), temos para

h ∈ R, h 6= 0 ψ(γε+ hδ) ≥ ψ(γε) − εd(γε+ hδ, γε), isto é, 1 |h| h ψ(γε+ hδ) − ψ(γε) i ≥ −ε max t∈[0,1]k∆γ(t)k2. (C.6)

Por outro lado,

ψ(γε+ hδ) − ψ(γε) = max t∈[0,1]Jλ[γε(t) + hδ(t)] − maxt∈[0,1]Jλ[γε(t)] = max t∈[0,1] h Jλ(γε) + hhJλ0(γε(t)), δ(t)i + o(h) i − max t∈[0,1]Jλ[γε(t)].

Sejam Jλ[γε(t)] = p(t)e hJλ0[γε(t)], γ(t)i = q(t), vemos que p e q pertencem ao C([0, 1]).

Introduzimos o funcional Φ : C([0, 1]) → R definido como

Φ(ϕ) = max

t∈[0,1]ϕ(t),

para ϕ ∈ C([0, 1]). Pela Proposição C.9 o funcional Φ é convexo e a subdiferencial ∂Φ é dada por

∂Φ(ϕ) =µ ∈ C([0, 1])∗ : Φ(θ) ≥ Φ(ϕ) + hµ, θ − ϕi, ∀θ ∈ C([0, 1]) =µ : µ ≥ 0, hµ, πi = 1, supp µ ⊂ M(ϕ) ,

Pela equação (C.6), obtemos −ε max t∈[0,1]k∆δ(t)k2 ≤ limh→0 1 |h|ψ(γε+ hδ) − ψ(γε)  = lim h→0 1 |h|Φ(p + hq) − Φ(p) = max

µ∈∂Φ(p){hµ, qi} (pela Proposição C.7)

= maxn Z hJ_λ0(γε(t)), δ(t)idµ : µ ∈ ∂Φ(p) o . (C.7) Tomando δ ∈ C([0, 1], H2

0(Ω)), tal que kδk ≤ 1, δ(0) = δ(1) = 0 e por (C.6) temos

−ε ≤ inf δ maxµ          µ ∈ Φ(p) Z hJ_λ0(γε(t)), δ(t)idµ : kδk ≤ 1 δ(0) = δ(1) = 0          e então −ε ≤ max µ infδ          µ ∈ Φ(p) Z hJ_λ0(γε(t)), δ(t)idµ : kδk ≤ 1 δ(0) = δ(1) = 0          = max µ  − Z kJ_λ0(γε)kdµ : µ ∈ ∂Φ(p)  = − min n kJ_λ0(γε)k : t ∈ M (Jλ◦ γε) o .

Assim, existe tε tal que

Jλ[γε(tε)] = max

t∈[0,1]Jλ[γε(t)]

e

kJ_λ0[γε(tε)]k ≤ ε.

Se tomarmos ε = 1

n e γn(tn) = un obtemos a sequência de Palais-Smale desejada.

C.4

POSITIVIDADE DO VALOR MINIMAX c

Da estimativa radial sabemos que

Se k∆uk2 = r1, temos que: Jλ(u) ≥ g(k∆uk2) = g(r1) > 0, isto é Jλ   ∂B(0,r1) > 0. (C.8) Seja h : [0, 1] → R dada por

h(t) = k∆γ(t)k2.

Como

h(0) = k∆γ(0)k2 = k∆u0k2 < r0 < r1,

h(1) = k∆γ(1)k2 = k∆vk2 > rmax > r1,

logo, pelo teorema do valor intermediário, existe t1 ∈ [0, 1]tal que

h(t1) = r1,

isto é k∆γ(t1)k2 = r1, e assim, por (C.8), temos:

max

t∈[0,1]Jλ[γ(t)] ≥ Jλ[γ(t1)] > 0.

Consequentemente, c > 0.

C.5

SOLUÇÕES FRACAS AOS PROBLEMAS (1.16) e

(1.17)

Seja ϕ ∈ H1

0(Ω) ∩ H2(Ω) dado e seja o problema linear

   ∆2u = det(D2ϕ) + λf, _{x ∈ Ω ⊂ R}2 u = 0 , ∆u = 0 sobre ∂Ω. (C.9) Proposição C.10. Se ϕ ∈ H1

0(Ω) ∩ H2(Ω), λ > 0, então o Problema (C.9) possui uma

solução fraca em H1

0(Ω) ∩ H2(Ω).

Demonstração: Multiplicando a equação (C.9) por um v ∈ H1

por partes e usando as condições de fronteira, obtemos Z Ω ∆u∆vdx = Z Ω [det(D2ϕ) + λf ]vdx. Sejam a(u, v) = Z Ω ∆u∆vdx e hF, vi = Z Ω [det(D2ϕ) + λf ]vdx. Temos que |a(u, v)| =     Z Ω ∆u∆vdx     ≤ k∆uk2k∆vk2 e a(v, v) = Z Ω |∆v|2_{dx = k∆vk}2_.

Assim, a é uma forma bilinear, contínua e coerciva. Além disso, pelo fato det(D2_{ϕ) ∈}

L1_{(Ω), temos que F é um funcional linear contínuo.}

Agora, usando o Lema de Lax-Milgram (veja Teorema B.10Apêndice B), existe u ∈ H₀1(Ω) ∩ H2(Ω) tal que Z Ω ∆u∆vdx = Z Ω [det(D2ϕ) + λf ]vdx, ∀ v ∈ H1 0(Ω) ∩ H2(Ω).

Portanto, u é solução fraca de (C.9).

Observação C.1. Os fatos provados para o funcional no caso não radial, continuam sendo válidos no caso radial, as demonstrações são semelhantes e foram omitidas.

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