juancarlostorresespinoza

Texto

(1)Universidade Federal de Juiz de Fora Pós–Graduação em Matemática Mestrado em Matemática. Juan Carlos Torres Espinoza. Uma Equação de Quarta Ordem Relacionada ao Crescimento Epitaxial. Juiz de Fora 2014.

(2) Juan Carlos Torres Espinoza. Uma Equação de Quarta Ordem Relacionada ao Crescimento Epitaxial. Dissertação apresentada ao Programa de Pós–graduação em Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito para obtenção do grau de Mestre, na área de equações diferenciais parciais.. Orientador. : Dr. Olimpio Hiroshi Miyagaki.. Juiz de Fora 2014.

(3) Ficha catalográfica elaborada através do Programa de geração automática da Biblioteca Universitária da UFJF, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a). Torres Espinoza, Juan Carlos. Uma equação de quarta ordem relacionada ao crescimento epitaxial / Juan Carlos Torres Espinoza. -- 2014. 67 f. : il. Orientador: Olimpio Hiroshi Miyagaki Dissertação (mestrado acadêmico) - Universidade Federal de Juiz de Fora, Instituto de Ciências Exatas. Programa de PósGraduação em Matemática, 2014. 1. Crescimento epitaxial. 2. Equações elípticas. 3. Métodos variacionais. 4. Pontos criticos. 5. Soluções radiais. I. Hiroshi Miyagaki, Olimpio , orient. II. Título..

(4) Juan Carlos Torres Espinoza. Uma Equação de Quarta Ordem Relacionada ao Crescimento Epitaxial Dissertação aprovada pela Comissão Examinadora abaixo elencada como requisito para a obtenção do título de Mestre em Matemática pelo Mestrado Acadêmico em Matemática do Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Juiz de Fora. Banca examinadora:. Prof. Dr. Olimpio Hiroshi Miyagaki (Orientador) Mestrado Acadêmico em Matemática Instituto de Ciências Exatas - UFJF.. Prof. Dr. Fábio Rodrígues Pereira Universidade Federal de Juiz de Fora.. Prof. Dr. Ricardo Ruviaro Universidade de Brasilia-UnB.. Juiz de Fora, 28 de Fevereiro de 2014..

(5) A meus pais, Washington e María, a minha irmã Carolina, ao meu tio Segundo..

(6) AGRADECIMENTOS Ao meu orientador, professor Olimpio Hiroshi Miyagaki, por acreditar em mim, pela atenção, paciência, tempo e dedicação com que me orientou. Aos membros da banca pela gentileza de participar da avaliação deste trabalho. Agradeço ao Departamento de Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, aos professores, pessoal administrativo e funcionários que contribuíram na minha formação. Agradeço o apoio financiero da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, CAPES, que me permitiu concluir os estudos de mestrado satisfatoriamente. A meus pais, Washington e María, pelo seus conselhos e apoio nos momentos mais difíceis da vida. Ao meu tio Segundo Vigo Alcántara, que sempre acredita em mim e por me incentivar a continuar meus estudos. Aos meus irmãos, Carolina e Diego, por todas as palavras de incentivo que me brindaram no percurso do mestrado. A todos os meus familiares, primos, tios, sobrinhos. Obrigado a todos eles. A meus colegas brasileiros, obrigado pela sua paciência e ajuda nos estudos, bem como no ensino da lingua portuguesa. Muito obrigado pessoal!. A todos meus amigos peruanos, que com suas brincadeiras e conversas, fazem me esquecer quão longe estamos de nossas familias, tornando estes anos de estudos mais leves..

(7) RESUMO Neste trabalho estudamos a existência de soluções para a seguinte classe de problemas:  ∆2 u = det(D2 u) + λf, em Ω ⊂ R2 condições sobre ∂Ω, a qual é um modelo matemático surgido da teoria de crescimento epitaxial. A procura de soluções depende das condições de fronteira impostas e a classe de domínio Ω a considerar. Palavras–chave: Crescimento epitaxial; Equações elípticas; Métodos variacionais; Pontos críticos; Soluções radiais..

(8) ABSTRACT In this work we will study the existence of solutions for the following class of problems:  ∆2 u = det(D2 u) + λf, in Ω ⊂ R2 conditions on ∂Ω, which is a mathematical model arisen in the theory of epitaxial growth. Finding solutions depends on the imposed boundary conditions and the class of the domain Ω to be considered. Key-words: Epitaxial growth; Elliptic equations; Variational methods; Critical points; Radial solutions..

(9) LISTA DE NOTAÇOES |·|. norma euclidiana em Rn .. Ω. domínio aberto em Rn .. ∂A. fronteira do conjunto A ⊂ Rn .. α. multi-índice, α = (α1 , . . . , αn ), αi ∈ Z, αi ≥ 0, i = 1, . . . , n. Pn i=1 αi , ordem do multi-índice α. ∂ |α| u = ∂xα11 . . . ∂xαnn u. ∂xα1 1 . . . ∂xαnn {Dα u : |α| = k} , onde k é um inteiro não negativo. 1/2 P α 2 . |D u| |α|=k ∂u ∂u ∂u ( , ,..., ). ∂x1 ∂x2 ∂xn n X ∂ 2u . 2 ∂x i i=1. |α| Dα u Dk u |Dk u| ∇u ∆u ∆2 u. ∆(∆u).. C (Ω). espaço das funções u : Ω → R, k−vezes contínuamente diferenciáveis.. C0k (Ω). espaço das funções em C k (Ω) com suporte compacto.. C ∞ (Ω). k ∩∞ k=0 C (Ω).. C0∞ (Ω). espaço das funções em C ∞ (Ω) com suporte compacto.. C0k (Ω). espaço das funções em C0k (Ω) com Dα u uniformemente contínua,. k. para α ≤ k. Lp (Ω). espaço das funções Lebesgue mensuráveis u : Ω → R com norma 1/p R kukp = Ω |u|p dx < ∞.. ess sup u. inf {r ∈ R | ν(u > r) = 0} , onde ν denota a medida usual em Rn .. L∞ (Ω). espaço das funções Lebesgue mensuráveis u : Ω → R com norma kuk∞ = ess sup |u| < ∞.. LPloc (Ω). espaço das funçoes u : Ω → R, tais que u ∈ LP (V ) para cada V ⊂⊂ Ω (V ⊂ V ⊂ Ω).. k∇ukp. k|∇u|kp .. kD2 ukp. k|D2 u|kp .. W k,p (Ω). espaços de Sobolev (veja Apêndice A)..

(10) ◦. W 2,2 ([0, 1], rdr). fecho das funções suaves radialmente simétricas compactamente suportadas na bola unitária do R2 com a norma de W 2,2 ([0, 1], rdr). ◦. ◦. ˆ 2,2 ([0, 1], rdr) W. W 2,2 ([0, 1], rdr)∩ W 1,2 ([0, 1], rdr).. →. convergência forte.. *. convergência fraca.. E∗. espaço dual do espaço E.. H −2 (Ω). espaço dual do espaço H02 (Ω).. A ,→ B. imersão do espaço A no espaço B.. f = o(g), x → x0. notação de o pequeno, veja Apêndice A.. h, i. produto de dualidade.. f ∗g. convolução de f e g.. d(A, B). distância entre os conjuntos A e B..

(11) LISTA DE FIGURAS 1.1. Gráfico da estimativa radial inferior g do funcional Jλ para λ > 0 suficientemente pequeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 1.2. Gráfico da parábola quando a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.3. Gráfico da parábola quando a < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.4. Gráfico da parábola quando c > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 1.5. Gráfico da parábola quando c < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 1.6. Gráfico da função de corte τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 1.7. Gráfico da estimativa radial inferior h do funcional Fλ . . . . . . . . . . . . 24.

(12) SUMÁRIO. INTRODUÇÃO. 12. 1. SOLUÇÕES NÃO RADIAIS. 14. 1.1. SOLUÇÃO DO PROBLEMA COM CONDIÇÕES DE DIRICHLET . . 14. 1.1.1 Fatos variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.2 Lagrangiano para as condições de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 A geometria do funcional Jλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.4 Condição de Palais-Smale para o funcional Jλ . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.5 O resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2. SOLUÇÃO DO PROBLEMA COM CONDIÇÕES DE NAVIER . . . . 27. 2. SOLUÇÕES RADIAIS ESTACIONÁRIAS. 2.1. CONDIÇÕES DE DIRICHLET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 2.2. CONDIÇÕES DE NAVIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 32. Apêndices. 46. Apêndice A -- PRELIMINARES. 47. A.1. ESPAÇOS DE SOBOLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. A.2. CÁLCULO DAS VARIAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. A.2.1 Primeira variação, equação de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 49 A.2.2 Derivada de Gateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Apêndice B -- RESULTADOS DE ANÁLISE. 53.

(13) Apêndice C -- PROVA DE RESULTADOS USADOS. 57. C.1. CONTINUIDADE DO FUNCIONAL Jλ . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. C.2. CONTINUIDADE FRACA∗ DA DERIVADA DO FUNCIONAL Jλ . . 58. C.3. SEQUÊNCIA DE PALAIS-SMALE PARA Jλ . . . . . . . . . . . . . . 59. C.4. POSITIVIDADE DO VALOR MINIMAX c . . . . . . . . . . . . . . . 63. C.5. SOLUÇÕES FRACAS AOS PROBLEMAS (1.16) e (1.17) . . . . . . . 64. REFERÊNCIAS. 66.

(14) 12. INTRODUÇÃO O termo “epitaxial” é aplicado a uma película crescida no topo do substrato cristalino de forma ordenada tal que o arranjo atômico da película aceita a estrutura cristalográfica do substrato [19]. O crescimento epitaxial é uma das mais importantes técnicas usadas na indústria dos semicondutores [4] os quais são utilizados para fabricar vários dispositivos eletrônicos e ópticos [19]. Os dispositivos modernos requerem estrutura muito sofisticada, que são compostas de finas camadas com diferentes composições. Qualidade, desempenho e vida útil destes dispositivos são determinados pela pureza, perfeição estrutural e homogeneidade das camadas epitaxiais [19]. Um dos modelos surgidos desta técnica é dada por uma equação diferencial parcial (EDP) elíptica de quarta ordem na seguinte forma:  ∆2 u(x) = det D2 u(x) + λf (x), x ∈ Ω ⊂ R2 , condições de fronteira,. (1). onde Ω é um conjunto aberto com fronteira suave, f é uma função com uma hipótese de integrabilidade adequada e λ > 0. Neste trabalho temos por objetivo encontrar soluções para a equação (1) submetida às condições de Dirichlet e Navier, isto é u = 0,. ∂u = 0 sobre ∂Ω (condições de Dirichlet) ∂η. (2). u = 0,. ∆u = 0 sobre ∂Ω (condições de Navier).. (3). e. Dependendo do domínio Ω, vamos considerar dois casos, os quais serão estudados separadamente: • Quando Ω é qualquer subconjunto aberto com fronteira suave do R2 . • Quando Ω = B(0, 1), isto é, a bola aberta unitária em R2 ..

(15) 13. Para atingir o nosso objetivo, usaremos alguns resultados das EDP’s, análise funcional e cálculo das variações. Mais precisamente, o trabalho está organizado da seguinte forma: No Capítulo 1 abordaremos o Problema (1) com condições de Dirichlet e Navier e demostraremos os seguintes teoremas devidos a [12]: Teorema 1.[12]. Seja Ω ⊂ R2 um domínio limitado com fronteira suave. Consideremos f ∈ L1 (Ω) e λ > 0. Então existe um λ0 tal que para 0 < λ < λ0 o Problema (1) com as condições de Dirichlet (2) possui pelo menos duas soluções. Teorema 2.[12]. Com as mesmas hipóteses do Teorema 1, se λ > 0 é suficientemente pequeno, então o Problema (1), com as condições de Navier (3) possui pelo menos uma solução. A prova do Teorema 1 será feita usando o método variacional (teoria de pontos críticos), enquanto o Teorema 2 será demonstrado usando argumentos de ponto fixo (ponto fixo de Banach). No Capítulo 2 voltamos na procura de soluções ao Problema (1) submetido às condições de Dirichlet e Navier, só que agora o domínio será a bola unitária com centro na origem, onde é possível obter um funcional para ambos casos, e provaremos os seguintes teoremas devidos a [11]: Teorema 3.[11]. Seja B(0, 1) ⊂ R2 a bola unitária com centro na origem. Sejam f ∈ L1 ([0, 1], rdr) e λ > 0. Então existe um número real positivo λ0 tal que, para 0 < λ < λ0 , o Problema (1) com condições de Dirichlet possui pelo menos duas soluções. Teorema 4.[11]. Com as mesmas hipóteses do Teorema 3, existe λ0 > 0 tal que, para 0 < λ < λ0 , o problema com condiçoes de Navier para (1) possui pelo menos duas soluções. As provas em ambos Teoremas serão feitas usando el método variacional (teoria de pontos críticos). No Apêndice A apresentamos alguns resultados preliminares, definições e conceitos que foram utilizados no presente trabalho. No Apêndice B enunciamos os principais resultados utilizados durante o nosso estudo. Estes resultados são utilizados em várias áreas tais como em análise funcional e as EDP’s. No Apêndice C mostramos alguns fatos assumidos como verdadeiros, que foram usados na dissertação. Também provamos existência de soluções para alguns problemas auxiliares usados no desenvolvimento do trabalho..

(16) 14. 1. SOLUÇÕES NÃO RADIAIS. 1.1. SOLUÇÃO DO PROBLEMA COM CONDIÇÕES DE DIRICHLET. 1.1.1. Fatos variacionais. Vamos estudar o seguinte problema   ∆2 u = det(D2 u) + λf, x ∈ Ω ⊂ R2 ∂u  u = 0 , =0 sobre ∂Ω, ∂η. (1.1). isto é, condições de fronteira de Dirichlet, onde Ω é um domínio limitado com fronteira suave e f ∈ L1 (Ω). O ambiente natural é o espaço H02 (Ω). Este fato é a chave para ter, neste caso, uma formulação variacional do problema. Usaremos também o fato que a norma do espaço de Hilbert H02 (Ω) é equivalente a norma k∆uk2 (Corolário 9.10, página 235 em[15]). Tentamos encontrar um Lagrangiano L(∇u, D2 u) tal que os pontos críticos do funcional.  2   Jλ : H0 (Ω) → R  . 1 u → Jλ (u) = 2. Z. 2. Z. |∆u| dx − Ω. L(∇u, D2 u)dx. Ω. sejam soluções de (1.1).. 1.1.2. Lagrangiano para as condições de Dirichlet. Vamos tentar obter um Lagrangiano para o qual a primeira variação de Euler-Lagrange é o determinante da matriz Hessiana. Para isso, temos a identidade variacional (ver.

(17) 15. Apêndice B, Lema B.3) 1 1 det(D2 v) = (vx1 vx2 )x1 x2 − (vx22 )x1 x1 − (vx21 )x2 x2 , 2 2 e o fato de que C0∞ (Ω) é denso em H02 (Ω). Considerando φ ∈ C0∞ (Ω), temos que: Z Z 1 2 1 2 2 − (ux2 )x1 x1 − (ux1 )x2 x2 + (ux1 ux2 )x1 x2 φdx det(D u)φdx = 2 2 Ω Ω Z 1 1 2 2 φx (u )x + φx (u )x + ux1 ux2 φx1 x2 dx = 2 1 x2 1 2 2 x1 2 Ω Z ux2 ux1 x2 φx1 + ux1 ux1 x2 φx2 + ux1 ux2 φx1 x2 dx = Ω. 1 = lim t→0 t. Z. (ux1 + tφx1 )(ux2 + tφx2 )(ux1 x2 + tφx1 x2 ) − ux1 ux2 ux1 x2 dx. Ω.

(18) d

(19) = G(u + tφ)

(20) , dt t=0 onde,. Z G(u) =. ux1 ux2 ux1 x2 dx. Ω. Notemos que, pela densidade, podemos tomar φ ∈ H02 (Ω) e por uma aplicação do Lema B.2 (ver Apêndice B), descobrimos que a primeira variação de G(u) sobre H02 (Ω) é ∂G(u) = det(D2 u). ∂u Então vamos considerar o seguinte funcional de energia para o Problema (1.1) Z Z Z 1 2 Jλ (u) = |∆u| dx − ux1 ux2 ux1 x2 dx − λ f udx, (1.2) 2 Ω. Ω. Ω. definido em H02 (Ω).. Observação 1.1. Note que este Lagrangiano não é útil para outras condições de fronteira. . Com efeito, consideremos φ ∈ X = φ ∈ C0∞ (Ω) : φ(x) = 0 sobre ∂Ω e u uma função.

(21) 16. regular, então Z

(22) d

(23) G(u + tφ)

(24) = [ux1 ux2 φx1 x2 + ux1 φx2 ux1 x2 + φx1 ux2 ux1 x2 ] dx dt t=0 Ω Z Z 1 2 = det(D u)φdx − ux1 ux2 (φx1 η2 + φx2 η1 )dS, 2 Ω. ∂Ω. e assim, para φ ∈ X, o termo na fronteira não se cancela. Esta observação justifica a dependência do problema das condições de fronteira.. 1.1.3. A geometria do funcional Jλ. Como. 1 Jλ (u) = 2. Z. 2. |∆u| dx − Ω. temos para Jλ1 (u) =. Z. Z. Z ux1 ux2 ux1 x2 dx − λ. Ω. f udx Ω. ux1 ux2 ux1 x2 dx a seguinte estimativa (ver Apêndice B, Teoremas. Ω. B.4 e B.5):.  Jλ1 (u) ≤ . Z. 1/2  1/4  1/4 Z Z |ux1 x2 |2 dx  |ux1 |4 dx  |ux2 |4 dx .. Ω. Ω. Ω. Agora, pela equivalência das normas em H02 (Ω), temos a seguinte desigualdade: 1/2.  Z . |ux1 x2 |2 dx. = kux1 x2 k2 ≤ kukH02 (Ω) ≤ m1 k∆uk2 ,. (1.3). Ω. para alguma constante m1 > 0. Por outro lado, notemos que u2x1 ∈ W 1,1 (Ω), e assim pelo Teorema B.6 (ver Apêndice B), temos que u2x1 ∈ L2 (Ω) e existe a > 0 tal que ku2x1 k2 ≤ aku2x1 kW 1,1 (Ω) ..

(25) 17. Disto, obtemos: .  ku2x1 k2 ≤ a . Z. |u2x1 |dx + 2. ≤a. Z |ux1 ux1 x1 |dx + 2. Ω. Ω. kux1 k22. Z. |ux1 ux1 x2 |dx Ω. + 2kux1 k2 kux1 x1 k2 + 2kux1 k2 kux1 x2 k2. . ≤ 2akux1 k2 (kux1 k2 + kux1 x1 k2 + kux1 x2 k2 ) ≤ 2akux1 k2 kukH02 (Ω) (1.4). ≤ m2 kux1 k4 k∆uk2 ,. onde m2 = 2aC > 0. Na última linha usamos o fato de ser a norma em H02 (Ω) equivalente à k∆uk2 . Além disto, como 1/2.  ku2x1 k2 = . Z. |ux1 |4 dx. = kux1 k24 ,. Ω. então (1.4) fica kux1 k4 ≤ m2 k∆uk2 , isto é,  1/4 1/2  Z Z  |ux1 |4 dx ≤ m2  |∆u|2 dx . Ω. (1.5). Ω. Analogamente, obtemos para u2x2  1/4  1/2 Z Z  |ux2 |4 dx ≤ m3  |∆u|2 dx . Ω. (1.6). Ω. Portanto, das desigualdades (1.3), (1.5) e (1.6) obtemos: Jλ1 (u) ≤ c1 k∆uk32 ,. (1.7). onde, c1 = m1 .m2 .m3 . R Para Jλ2 (u) = λ f udx, pelo Teorema B.6 (ver Apêndice B), temos a seguinte desiΩ.

(26) 18. gualdade: Jλ2 (u) ≤ λkf k1 kuk∞ ≤ λc2 kf k1 k∆uk2 ,. c2 > 0.. (1.8). Finalmente, das expressões (1.7) e (1.8) obtemos a seguinte estimativa para o funcional Jλ , Jλ (u) ≥. 1 2. Z.  3/2  1/2 Z Z |∆u|2 dx − c1  |∆u|2 dx − λc2 kf k1  |∆u|2 dx. Ω. Ω. Ω. = g (k∆uk2 ) , onde, g(s) = 21 s2 − c1 s3 − λc2 kf k1 s, com c1 , c2 > 0. Afirmamos que para 0 < λ < λ0 suficientemente pequeno, a estimativa radial inferior, dada por g, tem um mínimo local negativo e um máximo local positivo. Com efeito: Se 0 < k < 1, onde k = 12c1 c2 λkf k1 , então os pontos críticos de g são: √ √ 1+ 1−k 1− 1−k s1 = e s2 = . 6c1 6c1 Notemos que s1 , s2 > 0 e s2 < s1 . Pelo critério da segunda derivada √ √ 1+ 1−k 00 g (s1 ) = 1 − 6c1 =− 1−k <0 6c1 √ √ 1− 1−k 00 g (s2 ) = 1 − 6c1 = 1 − k > 0, 6c1 e assim, s1 é um máximo local e s2 é mínimo local. Ainda mais, temos g(s1 ) > 0 e g(s2 ) < 0, e assim a afirmação é válida se λ <. 1 . 12c1 c2 kf k1.

(27) 19. Figura 1.1: Gráfico da estimativa radial inferior g do funcional Jλ para λ > 0 suficientemente pequeno. Também, podemos verificar que: 1. Existe uma função φ ∈ H02 (Ω) tal que Z f φdx > 0. Ω. 2. Existe uma função ψ ∈ H02 (Ω) tal que Z ψx1 ψx2 ψx1 x2 dx > 0. Ω. De fato, para a função φ poderíamos considerar um regularizador local de f . Para a ψ temos a seguinte posibilidade ψ(x) = [(1 − |x|2 )+ ]4 , onde |x| =. p. x21 + x22 e (·)+ = max{, 0}.. De acordo com a observação acima, para t ≥ 0, obtemos Jλ (tφ) = −t(at2 − bt + c) = −tF (t), onde. Z a=. 1 φx1 φx2 φx1 x2 dx, b = 2. Ω. Z Ω. Chamando ∆ = b2 − 4ac, temos dois casos: • Se a > 0, obtemos os seguintes gráficos. |∆φ| dx e c = λ 2. Z f φdx. Ω.

(28) 20. Figura 1.2: Gráfico da parábola quando a > 0. • Se a < 0, e tomando em conta que neste caso ∆ é positivo, obtemos o seguinte gráfico. Figura 1.3: Gráfico da parábola quando a < 0. Em ambos casos, existe um tr > 0, suficientemente pequeno, tal que F (t) > 0, t ∈ (0, tr ). Similarmente ao acima, para t ≥ 0, obtemos Jλ (tψ) = −t(at2 − bt + c) = −tG(t), onde. Z a=. 1 ψx1 ψx2 ψx1 x2 dx, b = 2. Ω. também existem dois casos: • Se c > 0, obtemos os gráficos. Z Ω. |∆ψ| dx e c = λ 2. Z f ψdx, Ω.

(29) 21. Figura 1.4: Gráfico da parábola quando c > 0. • Se c < 0, e notando que ∆ sempre é positivo, obtemos o gráfico. Figura 1.5: Gráfico da parábola quando c < 0. Em ambos casos, existe tr > 0, suficientemente grande, tal que G(t) > 0, t ∈ (tr , ∞). Do exposto acima, podemos concluir que Jλ (tφ) < 0 para t suficientemente pequeno e Jλ (tψ) < 0 para t suficientemente grande.. (1.9). Portanto, provamos a seguinte proposição. Proposição 1.1. O funcional contínuo Jλ (ver Apêndice C Seção C.1) definido em (1.2) tem as seguintes propriedades. 1. ∃ ρ, α > 0 tais que Jλ (u) ≥ α > 0, com k∆uk2 = ρ. 2. ∃ e ∈ H02 (Ω) tal que k∆ek2 > ρ, Jλ (e) < 0. A proposição acima diz que o funcional Jλ possui geometria do passo da montanha..

(30) 22. 1.1.4. Condição de Palais-Smale para o funcional Jλ. Lema 1.2. Assuma-se uma condição limitada de Palais-Smale para Jλ , isto é, para {un }n∈N ⊂ H02 (Ω) limitada que verifica (1) Jλ (un ) → c quando n → ∞, (2) Jλ0 (un ) → 0 em H −2 (Ω), quando n → ∞. Então existe uma subsequência de {un }n∈N que converge em H02 (Ω). Demonstração: Já que {un }n∈N ⊂ H02 (Ω) é limitada, passando a uma subsequência se necessário, temos que existe um u ∈ H02 (Ω) tal que: i) un * u fracamente em H02 (Ω), quando n → ∞, 2 ii) ∇un → ∇u fortemente em Lp (Ω) , ∀ p < ∞, quando n → ∞, iii) un → u uniformemente em Ω, quando n → ∞. Podemos escrever a condição Jλ0 (un ) → 0 em H02 (Ω), quando n → ∞, como ∆2 un = det(D2 un ) + λf + yn , un ∈ H02 (Ω),. (1.10). onde os yn são tais que yn → 0 em H −2 (Ω), quando n → ∞.. (1.11). Notemos que multiplicando (1.10) por (un − u), para todo n fixo, temos Z Z Z 2 ∆un ∆(un − u)dx = (un − u) det(D un )dx + λ f (un − u)dx + hyn , un − ui. (1.12) Ω. Ω. Ω. Somando em ambos termos de (1.12) a seguinte expressão Z − ∆u∆(un − u)dx = o(1), n → ∞, Ω. obtemos. Z. 2. Z. |∆(un −u)| dx = Ω. 2. Z. (un −u) det(D un )dx+λ Ω. Z f (un −u)dx+hyn , un −ui−. Ω. ∆u∆(un −u)dx. Ω.

(31) 23. Os quatro termos no lado direito vão para zero, quando n → ∞, pelas propriedades de convergência i) ( terceiro e quarto somando) e iii) (primeiro e segundo somandos). Em consequência Z. |∆(un − u)|2 dx → 0, quando n → ∞.. Ω. Isto é, Jλ satisfaz a condição de Palais-Smale no nível c.. 1.1.5. O resultado principal. Agora podemos provar a existência e multiplicidade de soluções para o Problema (1.1). Teorema 1.3. Seja Ω ⊂ R2 um domínio limitado com fronteira suave. Considere f ∈ L1 (Ω) e λ > 0. Então existe λ0 tal que, para 0 < λ < λ0 , o Problema (1.1) possui pelo menos duas soluções. Demonstração:. Das seções anteriores, o funcional Jλ está bem definido em H02 (Ω),. é contínuo (ver Apêndice C Seção C.1) e Gateaux derivável, e a sua derivada é fraca∗ contínua (ver Apêndice C Seção C.2). Nosso objetivo é provar a existência de uma solução que corresponde a um mínimo local negativo de Jλ e uma segunda solução que corresponde a um nível do passo da montanha positivo de Jλ . Passo 1: Jλ tem um mínimo local u0 , tal que Jλ (u0 ) < 0. De fato, considere λ0 > 0 tal que, se 0 < λ < λ0 , g atinge seu máximo positivo em rmax > 0. Tome r0 o menor zero positivo de g (i.e, g(r0 ) = 0) e r0 < r1 < rmax tal que g(r1 ) > 0. Agora considere a função de “corte” τ : R+ → [0, 1], tal que τ é não crescente, τ ∈ C ∞ e verifica  τ (s) = 1, se s ≤ r0 , τ (s) = 0, se s ≥ r . 1.

(32) 24. Figura 1.6: Gráfico da função de corte τ . Seja Θ(u) = τ (k∆uk2 ). Consideremos o funcional truncado Z Z Z 1 2 Fλ (u) = |∆u| dx − ux1 ux2 ux1 x2 Θ(u)dx − λ f udx. 2 Ω. Ω. Ω. Como foi feito para o funcional Jλ , vemos que Fλ (u) ≥ h(k∆uk2 ), onde, 1 h(s) = s2 − c1 τ (s)s3 − λkf k1 c2 s, com c1 , c2 > 0. 2. Figura 1.7: Gráfico da estimativa radial inferior h do funcional Fλ . As principais propriedades do funcional Fλ estão listadas abaixo.. (1.13).

(33) 25. Lema 1.4. O funcional Fλ definido em (1.13) possui as seguintes propriedades: (1) Fλ tem a mesma regularidade do funcional Jλ . (2) Se Fλ (u) < 0, então k∆uk2 < r0 , e Fλ = Jλ se k∆uk2 < r0 . (3) Seja m definido por m =. inf. v∈H02 (Ω). Fλ (v).. Então Fλ verifica uma condição local de Palais-Smale no nível m. Demonstração: (1) é imediato. Para provar (2) notemos que para s > r0 , este funcional é positivo, e assim a propriedade (2) é válida. Para provar (3), observemos que, por (1.9), m < 0 e que todas as sequências minimizantes de Palais-Smale {un } de Fλ cumprem Fλ (un ) → m, quando n → ∞, logo existe n0 ∈ N tal que Fλ (un ) < 0, ∀ n > n0 . Assim, pelo item (2), k∆un k2 < r0 , ∀ n > n0 . Portanto, se para n ≤ n0 , consideramos M = max k∆un k2 , a sequência {un } é limitada em H02 e 1≤n≤n0. pelo Lema 1.2 concluímos o desejado.. Na prova do Lema 1.4 mostramos que o funcional Fλ é inferiormente limitado e positivo para s > s0 . Logo temos que m é um valor crítico negativo de Fλ , e assim de Jλ e existe u0 mínimo local para Jλ . Passo 2: Se λ é suficientemente pequeno, Jλ tem um ponto crítico obtido via passo da montanha, u∗ , tal que Jλ (u∗ ) > 0. Consideremos u0 o mínimo local tal que Jλ (u0 ) < 0 e consideremos v ∈ H02 (Ω) com k∆vk2 > rmax e tal que Jλ (v) < Jλ (u0 ). Definimos . Γ = γ ∈ C([0, 1], H02 (Ω)) : γ(0) = u0 , γ(1) = v , e o valor minimax c = inf max Jλ [γ(t)]. γ∈Γ t∈[0,1]. Aplicando o princípio variacional de Ekeland (ver Apêndices B Teorema B.11, C Seção C.3), existe uma sequência de Palais-Smale no nível c, isto é, existe un n∈N ⊂ H02 (Ω) tal que (1) Jλ (un ) → c quando n → ∞, (2) Jλ0 (un ) → 0 em H −2 (Ω), quando n → ∞..

(34) 26. Afirmação: Se un n∈N ⊂ H02 (Ω) é uma sequência de Palis-Smale para Jλ no nível c, então existe C > 0 tal que k∆un k2 < C. De fato, se u ∈ H02 (Ω), integrando por partes, achamos que Z Z Z 2 u det(D u)dx = u (ux1 ux2 x2 )x1 − (ux1 ux2 x1 )x2 dx − (ux1 )2 ux2 x2 dx Ω. Ω. Ω. Z +. ux1 ux2 x1 ux2 dx Ω Z. Z ux1 ux2 x1 ux2 dx. ux1 ux1 x2 ux2 dx +. =2. Ω. Ω Z. ux1 ux1 x2 ux2 dx.. =3 Ω. Então se un . n∈N. ⊂ H02 (Ω) é uma sequência de Palais-Smale para Jλ no nível c e cha-. mando hyn , un i = hJλ0 (un ), un i, temos: 1 1 c + o(1) = Jλ (un ) − hJλ0 (un ), un i + hyn , un i 3 3 Z Z 1/2 1 1 2 2 ≥ |∆un | dx − kyn kH −2 |∆un | dx 6 3 Ω Ω Z 1/2 2 − λCs kf kL1 |∆un |2 dx 3 Ω. onde Cs é uma constante de Sobolev adequada. Esta desigualdade implica que a sequência é limitada. Usando o Lema 1.2, Jλ satisfaz as condições de Palais-Smale no nível c. Portanto, pelo Teorema B.14 (ver Apêndice B): (1) Jλ (u∗ ) = lim Jλ (un ) = c n→∞. (2) Jλ0 (u∗ ) = 0, assim ∆2 u∗ = det(D2 u∗ ) + λf, ou seja, u∗ é uma solução do tipo passo da montanha do Problema (1.1).. Observação 1.2. Notemos que c > 0 (ver Apêndice C, Seção C.4) e u0 6= u∗ , pois Jλ (u0 ) < 0 < Jλ (u∗ )..

(35) 27. 1.2. SOLUÇÃO DO PROBLEMA COM CONDIÇÕES DE NAVIER. Vamos mostrar a existência de uma solução para o nosso problema com condições de contorno de Navier.  ∆2 u = det(D2 u) + λf, x ∈ Ω ⊂ R2 u = 0 , ∆u = 0 sobre ∂Ω.. (1.14). Nesta seção vamos provar a existência de pelo menos uma solução ao Problema (1.14) usando métodos de ponto fixo. Lema 1.5. Para quaisquer funções v1 , v2 ∈ H 1 (Ω) e v3 ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) a seguinte igualdade é satisfeita: Z. Z det(∇v1 , ∇v2 )v3 dx =. Ω. v1 ∇v2 .∇⊥ v3 dx,. (1.15). Ω. onde ∇⊥ v3 = (∂x2 v3 , −∂x1 v3 ). Demonstração: Pelas desigualdades de Sobolev sabemos que v3 é limitada em L∞ (Ω) (ver Teorema B.6 Apêndice B) e em consequência o lado esquerdo de (1.15) está bem definido. Manipulando esta expressão: Z Z det(∇v1 , ∇v2 )v3 dx = ∇.(v1 ∂x2 v2 , −v1 ∂x1 v2 )v3 dx Ω. Ω. Z =−. (v1 ∂x2 v2 , −v1 ∂x1 v2 ).∇v3 Ω. Z v1 det(∇v2 , ∇v3 )dx. = Ω Z. =. v1 ∇v2 .∇⊥ v3 dx.. Ω. A primeira igualdade e obviamente correta para funções suaves, e a sua validade pode ser estendido por aproximação a funções v1 , v2 ∈ H 1 (Ω) e v3 ∈ C01 (Ω) considerando a divergência no lado direito no sentido das distribuições. A segunda igualdade é uma consequência da definição de derivada fraca e o fato que v3 é uma função de traço zero. Neste momento podemos concluir que as duas igualdades são válidas para v3 ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) porque C01 (Ω) é denso em H01 (Ω). As igualdades terceira e quarta vêm de simples manipulação dos integrandos. As imersões de Sobolev garantem que os últimos três termos.

(36) 28. nesta cadeia de igualdades estão bem definidos.. Observação 1.3. Por uma aplicação direta do Teorema B.9, podemos considerar em H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) a seguinte norma equivalente k∆uk2 . Agora provaremos o resultado principal desta seção. Teorema 1.6. Se λ > 0 é suficientemente pequeno, então existe u ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) solução do Problema (1.14). Demonstração: Consideremos os problemas lineares  ∆2 u1 = det(D2 ϕ1 ) + λf, x ∈ Ω ⊂ R2 u = 0 , ∆u = 0 sobre ∂Ω 1. e. (1.16). 1.  ∆2 u2 = det(D2 ϕ2 ) + λf, x ∈ Ω ⊂ R2 u = 0 , ∆u = 0 sobre ∂Ω, 2 2. (1.17). onde ϕ1 , ϕ2 ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω). Resultados clássicos garamtem a existência de soluções fracas para ambos dos problemas em H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) para ϕ1 , ϕ2 dados (ver Apêndice C Seção C.5). Subtraindo as duas equações, encontramos  ∆2 (u1 − u2 ) = det(D2 ϕ1 ) − det(D2 ϕ2 ), x ∈ Ω ⊂ R2 u − u = 0 , ∆(u − u ) = 0 sobre ∂Ω. 1 2 1 2 Como det{∇(ϕ1 )x1 , ∇[(ϕ1 )x2 − (ϕ2 )x2 ]} = det{(∂x1 x1 ϕ1 , ∂x1 x2 ϕ1 ), (∂x2 x1 ϕ1 − ∂x2 x1 ϕ2 , ∂x2 x2 ϕ1 − ∂x2 x2 ϕ2 )} = ∂x1 x1 ϕ1 (∂x2 x2 ϕ1 − ∂x2 x2 ϕ2 ) − ∂x1 x2 ϕ1 (∂x2 x1 ϕ1 − ∂x2 x1 ϕ2 ). e det{∇[(ϕ1 )x1 − (ϕ2 )x1 ], ∇(ϕ2 )x2 } = det{(∂x1 x1 ϕ1 − ∂x1 x1 ϕ2 , ∂x1 x2 ϕ1 − ∂x1 x2 ϕ2 ), (∂x2 x1 ϕ2 , ∂x2 x2 ϕ2 )} = ∂x2 x2 ϕ2 (∂x1 x1 ϕ1 − ∂x1 x1 ϕ2 ) − ∂x2 x1 ϕ2 (∂x1 x2 ϕ1 − ∂x1 x2 ϕ2 ),. (1.18).

(37) 29. então obtemos: det{∇(ϕ1 )x1 , ∇[(ϕ1 )x2 − (ϕ2 )x2 ]} + det{∇[(ϕ1 )x1 − (ϕ2 )x1 ], ∇(ϕ2 )x2 } = ∂x1 x1 ϕ1 ∂x2 x2 ϕ1 − ∂x1 x1 ϕ1 ∂x2 x2 ϕ2 − ∂x1 x2 ϕ1 ∂x2 x1 ϕ1 + ∂x1 x2 ϕ1 ∂x2 x1 ϕ2 +∂x2 x2 ϕ2 ∂x1 x1 ϕ1 − ∂x2 x2 ϕ2 ∂x1 x1 ϕ2 − ∂x2 x1 ϕ2 ∂x1 x2 ϕ1 + ∂x2 x1 ϕ2 ∂x1 x2 ϕ2. (1.19). = ∂x1 x1 ϕ1 ∂x2 x2 ϕ1 − ∂x1 x2 ϕ1 ∂x2 x1 ϕ1 − ∂x1 x1 ϕ2 ∂x2 x2 ϕ2 + ∂x1 x2 ϕ2 ∂x2 x1 ϕ2 = det(D2 ϕ1 ) − det(D2 ϕ2 ) Agora, para qualquer w ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) temos hdet(D2 ϕ1 ), wi − hdet(D2 ϕ2 ), wi Z = [det(D2 ϕ1 ) − det(D2 ϕ2 )]wdx Ω Z. Z det{∇(ϕ1 )x1 , ∇[(ϕ1 )x2 − (ϕ2 )x2 ]}wdx +. = Ω Z. = Ω Z. =. det{∇[(ϕ1 )x1 − (ϕ2 )x1 ], ∇(ϕ2 )x2 }wdx Ω. [∂x1 ϕ1 ∇(∂x2 ϕ1 − ∂x2 ϕ2 ).∇⊥ w]dx −. Z. [∂x2 ϕ2 ∇(∂x1 ϕ1 − ∂x1 ϕ2 ).∇⊥ w]dx. Ω. [∂x1 ϕ1 ∇(∂x2 ϕ1 − ∂x2 ϕ2 ) − ∂x2 ϕ2 ∇(∂x1 ϕ1 − ∂x1 ϕ2 )].∇⊥ wdx,. (1.20). Ω. onde usamos a igualdade (1.19), junto com o lema 1.5. Destas igualdades seguem as seguintes cadeias de desigualdades: |hdet(D2 ϕ1 ), wi − hdet(D2 ϕ2 ), wi| Z ≤ |∂x1 ϕ1 ∇(∂x2 ϕ1 − ∂x2 ϕ2 ) − ∂x2 ϕ2 ∇(∂x1 ϕ1 − ∂x1 ϕ2 )||∇⊥ w|dx ≤. Ω Z h. i |∂x1 ϕ1 ∇(∂x2 ϕ1 − ∂x2 ϕ2 )| + |∂x2 ϕ2 ∇(∂x1 ϕ1 − ∂x1 ϕ2 )| |∇w|dx. Ω Z h i ≤ |∂x1 ϕ1 ||D2 (ϕ1 − ϕ2 )| + |∂x2 ϕ2 ||D2 (ϕ1 − ϕ2 )| |∇w|dx Ω Z. = Ω Z. ≤. |∂x1 ϕ1 | + |∂x2 ϕ2 | |D2 (ϕ1 − ϕ2 )||∇w|dx |∇ϕ1 | + |∇ϕ2 | |D2 (ϕ1 − ϕ2 )||∇w|dx. Ω. ≤ k∇ϕ1 k4 + k∇ϕ2 k4 kD2 (ϕ1 − ϕ2 )k2 k∇wk4. (1.21).

(38) 30. Seja u ∈ H01 (Ω) ∩ H 2 (Ω) Z Z 2 (∆ u)udx = (ux1 x1 x1 x1 + ux1 x1 x2 x2 + ux2 x2 x1 x1 + ux2 x2 x2 x2 )udx Ω. Ω. Z =−. ux1 x1 x1 ux1 + ux1 x1 x2 ux2 + ux2 x2 x1 ux1 + ux2 x2 x2 ux2 dx Ω. Z ux1 x1 ux1 x1 + ux1 x1 ux2 x2 + ux2 x2 ux1 x1 + ux2 x2 ux2 x2 dx. = Ω Z. =. (1.22). |∆u|2 dx = k∆uk22 .. Ω. Agora, se integrarmos em Ω a equação (1.18) multiplicada por u1 − u2 , segue da igualdade (1.22) que: Z |∆(u1 − u2 )|2 dx = |hdet(D2 ϕ1 ) − det(D2 ϕ2 ), u1 − u2 i| Ω. ≤ k∇ϕ1 k4 + k∇ϕ2 k4 kD2 (ϕ1 − ϕ2 )k2 k∇(u1 − u2 )k4 ≤ C k∇ϕ1 k4 + k∇ϕ2 k4 k∆(ϕ1 − ϕ2 )k2 k∆(u1 − u2 )k2. (1.23). onde usamos a igualdade (1.21) na segunda desigualdade e os Teoremas B.4 e B.6 (ver Apêndice B) na última. Simplificando a última cadeia de desigualdades, chegamos ao k∆(u1 − u2 )k2 ≤ C(k∇ϕ1 k4 + k∇ϕ2 k4 )k∆(ϕ1 − ϕ2 )k2 . Agora, usando a imersão k∇ϕi k4 ≤ Ck∆ϕi k2 para i=1,2 (aplicação dos Teoremas B.4 e B.6 Apêndice B), temos k∆(u1 − u2 )k2 ≤ C(k∆ϕ1 k2 + k∆ϕ2 k2 )k∆(ϕ1 − ϕ2 )k2 . Consideremos v solução do problema ( ∆2 v = λf. , x ∈ Ω ⊂ R2. v = 0, ∆v = 0 , sobre ∂Ω. Notemos que k∆vk2 ≤ λkf k1 , e então a primeira norma é pequena quando λ é pequeno.. (1.24). (1.25).

(39) 31. Se ϕi ∈ B(v, ρ) = {ϕ ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω)| k∆(v − ϕ)k2 ≤ ρ}, então (1.24) torna-se k∆(u1 − u2 )k2 ≤ 2C(ρ + k∆vk2 )k∆(ϕ1 − ϕ2 )k2 ≤ 2C(ρ + λkf k1 )k∆(ϕ1 − ϕ2 )k2 1 ≤ k∆(ϕ1 − ϕ2 )k2 , 2 se ρ + λkf k1 ≤. 1 . 4C. (1.26). Além disso, se ϕi ∈ B(v, ρ) e ui é a correspondente solução a qualquer. dos Problemas (1.16) ou (1.17), descobrimos que Z Z 2 2 k∆(ui − v)k2 ≤ | det(D ϕi )||ui − v|dx ≤ S | det(D2 ϕi )|dxk∆(ui − v)k2 , Ω. Ω. isto é,. Z k∆(ui − v)k2 ≤ S. | det(D2 ϕi )|dx ≤ Ck∆ϕi k22 .. Ω. Mas podemos calcular que k∆ϕi k22 ≤ 2(k∆(ϕi − v)k22 + k∆vk22 ) ≤ 2(ρ2 + λ2 kf k21 ) ≤. ρ C. para ρ e λ suficientemente pequenos. Assim, k∆(ui − v)k ≤ ρ.. (1.27). Para ϕ ∈ B(v, ρ), definimos o operador não linear T : B(v, ρ) → B(v, ρ) ϕ → T (ϕ) = u, onde u é a única solução do problema  ∆2 u = det(D2 ϕ) + λf, x ∈ Ω ⊂ R2 u = 0 , ∆u = 0 sobre ∂Ω. Utilizando as estimativas (1.26) e (1.27), e o teorema do ponto fixo de Banach (ver Apêndice B, Teorema B.7), temos que existe um único ponto fixo u = T (u), a qual é uma solução do Problema (1.14)..

(40) 32. 2. SOLUÇÕES RADIAIS ESTACIONÁRIAS. 2.1. CONDIÇÕES DE DIRICHLET. Começamos provando a existência de soluções radiais simétricas para o problema   ∆2 u = det(D2 u) + λf, x ∈ B(0, 1) ⊂ R2 (2.1) ∂u  u = 0 , =0 sobre ∂B(0, 1), ∂η onde, f = f (r), r é a coordenada radial. Estabelecemos o problema no disco unitário, isto é, procuramos soluções da forma u=u e(r), onde: r=. q x21 + x22 .. Sabemos que ∆2 u = ∆(∆u), assim, se u = u e(r) e denotando u xi = u e0. 0. = d/dr, então. xi x2 1 x2 e u xi xi = u e00 2i + u e0 − 3i . r r r r. 0 0 u e u e Assim ∆u = u e00 + ; logo ∆2 u = ∆(∆u) = ∆ u e00 + . r r Calculando: u e0 xi 1 00 xi xi 00 u e + =u e000 + u e −u e0 3 r xi r r r r xi xi xi =u e000 + u e00 2 − u e0 3 r r r. (2.2).

(41) 33. e . u e0 u e + r 00. xi xi. x2 u e0000 2i r. x2 1 x2i = − 3 +u e000 3i +u e r r r 2 2 1 1 2xi 3x2i 00 00 xi 0 −u e e 4 −u − 4 −u e − 5 . r2 r r r3 r 000. . Disto: u e0 00 ∆ u e + r u e000 2 u e00 2 1 2 3 0000 000 2 00 0 =u e +u e + − 2 −u − +u e − e − r r r r2 r2 r r3 r3 u e0 u e000 u e00 =u e0000 + 2 − 2 + 3 r 0 r 00 r 1 u e u e 000 0000 = − + 2e u + re u r r2 r 0 1 u e u e00 2e u00 2e u0 2e u00 2e u00 2e u00 000 000 000 000 0000 = − 2− + +u e + 2 + − −u e − −u e + 3e u + re u r r r r r r r r 1n 1 0 1 2 0 1 − 2 (e = u + re u00 ) + (2e u00 + re u000 ) + 2 (e u + re u00 ) − (2e u00 + re u000 ) r r r r r o 1 − (2e u00 + re u000 ) + (3e u000 + re u0000 ) r io0 1 0 1n h 1 r − 2 (e u + re u00 ) + (2e u00 + re u000 ) = r r r i0 o0 1n h1 0 r (e u + re u00 ) = r r i0 o0 1n h1 r (re u0 )0 = r r. Como det(D2 u) = ux1 x1 ux2 x2 − ux1 x2 ux2 x1 , calculando as derivadas mistas: x1 x2 x2 x1 −u e0 3 r r r 00 x1 x2 0 x1 x2 =u e 2 −u e 3 . r r. ux1 x2 = ux2 x1 = u e00. (2.3).

(42) 34. Assim, por (2.3), 2. det(D u) =. . 2 00 x1 u e 2 r. +. 2 2 00 x2 0 x2 e 2 u e 3 u r r. +. 2 0 x1 u e 3 r. −. . x1 x 2 u e00 2 r. −. x1 x2 u e0 3 r. 2. 4 4 2 2 2 2 x21 x22 00 0 x1 00 0 x2 0 2 x1 x 2 00 2 x1 x2 + u e u e + u e u e + (e u ) − (e u ) r4 r5 r5 r6 r4 2 2 2 2 2 2 xx xx xx +u e00 u e0 1 5 2 + u e00 u e0 1 5 2 − (e u0 )2 1 6 2 r r r 00 0 00 0 u eu e u eu e u e00 u e0 u e00 u e0 . = 5 (x41 + x42 + 2x21 x22 ) = 5 (x21 + x22 )2 = 5 r4 = r r r r. = (e u00 )2. Do feito acima, a equação (2.1) na sua forma radial torna-se: i0 o0 u 1n h1 e00 u e0 0 0 r (re u) = + λf (r), r r r. (2.4). com as condições u e0 (0) = 0, u e(1) = 0, u e0 (1) = 0, e limr→0 re u000 (r) = 0. A primeira condição impõe a existência de um extremo na origem, a segunda e terceira condições são as condições de fronteira. A quarta condição de fronteira é técnica e impõe maior regularidade na origem. Se esta condição for removida, isso abrirá a possibilidade de construir funções u(r) cuja segunda derivada tenha um pico na origem. Isto, por sua, vez implicará a presença de uma medida na origem quando se calcula a quarta derivada de tal u(r), de modo que, este tipo de função não pode ser considerada como uma solução aceitável de (2.4) sempre que f (r) seja uma função. Nesta seção assumiremos f ∈ L1 ([0, 1], rdr), isto é, f é uma função absolutamente integrável na medida rdr no intervalo unitário, e omitimos a “tiu” na função u e, a fim de simplificar a notação. Agora vamos prosseguir para demonstrar a existência de pelo menos duas soluções para este problema de valor na fronteira. A partir de agora, vamos utilizar o espaço funci◦. onal W 2,2 ([0, 1], rdr), o qual é o fecho do espaço das funções suaves radialmente siméticas compactamente suportadas dentro da bola unitária de R2 com a norma de W 2,2 ([0, 1], rdr). Procuramos soluções para o nosso problema dentro deste espaço funcional. Lema 2.1. A equação diferencial (2.4) submetido às condições de fronteira de Dirichlet ◦. é a equação de Euler-Lagrange do funcional Jλ :W 2,2 ([0, 1], rdr) → R, definido por : Z Z Z 1 (u0 )2 1 1 0 3 1 1 00 2 (u ) + 2 rdr + (u ) dr − λ f urdr. (2.5) Jλ (u) = 2 0 r 6 0 0 ◦. Demonstração: Seja φ ∈W 2,2 ([0, 1], rdr) arbitrário. Consideremos a primeira variação.

(43) 35. de Euler-Lagrange do funcional (2.5): Z 1 Z 1 Z

(44) d u0 φ0 1 1 0 2 0

(45) 00 00 u φ + 2 rdr + f φrdr. Jλ (u + tφ)

(46) = (u ) φ dr −λ dt r 2 0 t=0 0 0 {z } | {z } | B. A. 1. Z. Z. 00 00. 1. u φ rdr +. A= 0. 0. u0 φ0 dr = A1 + A2 . r. Assim, calculando A1 e A2 , obtemos,

(47) 1 Z 1

(48) φ0 (u000 r + u00 )dr A1 = u φ r

(49) − 0 0 Z 1 Z 1 000 0 u φ rdr − u00 φ0 dr =− 0 0

(50) 1 Z 1

(51) 1 Z 1

(52) 000 0000 000 00

(53) 000 u φdr φ(u r + u )dr − u φ

(54) − = − u φr

(55) − 0 0 0 0 Z 1 Z 1 0000 u000 φdr u φrdr + 2 = 00 0. 0. 0. e Z 1 00 u0 φ

(56)

(57) 1 ru − u0 A2 = φ dr

(58) − r 0 r2 0 Z 1 0 Z 1 00 uφ u φ dr + dr. =− r r2 0 0 Então, 1. u00 φ u0 φ A= u φr + 2u φ − + 2 dr r r 0 Z 1 000 00 0 2u u u − 2 + 3 φrdr = u0000 + r r r 0 Z 1 0 1 1 = {r (ru0 )0 }0 φrdr. r r 0 Z. . 0000. 000. Por outro lado, Z 1 Z 1 Z 1 0 00

(59) 1 1 uu 0 2

(60) 0 00 0 00 B= (u ) φ

(61) − 2 u u φdr = − u u φdr = − φrdr. 2 r 0 0 0 0.

(62) 36. Assim Z 1 0 00 Z 1

(63) 1 Z 1 1 1 uu d

(64) 0 0 0 0 f φrdr Jλ (u + tφ)

(65) = {r (ru ) } φrdr − φrdr − λ dt r r r 0 0 0 0 Z 1 1 1 1 0 00 0 0 0 0 = {r (ru ) } − u u − λf φrdr. r r r 0. A existência e multiplicidade das soluções para o nosso problema de valor na fronteira serão obtidas procurando pontos críticos do funcional (2.5). Começamos provando um resultado sobre a geometria deste funcional. Lema 2.2. O funcional (2.5) admite o seguinte limite radial inferior: Jλ (u) ≥ g(ku00 kL2 (µ) ),. 1 onde g(x) = x2 − c1 x3 − c2 λkf kL1 (µ) x. 2. Aqui c1 , c2 são constantes positivas e µ representa a medida radial bidimensional rdr. Demonstração: Temos as seguintes cadeias de desigualdades: Z Z Z 1 1 0 2 1 1 0 3 1 1 00 2 (u ) rdr + (u ) dr + (u ) dr − λkf kL1 (µ) kukL∞ (µ) Jλ (u) ≥ 2 0 2 0 6 0 1/2 Z 1 Z Z Z 1 1 00 2 1 1 0 2 1 1 0 3 0 2 (u ) dr ≥ (u ) rdr + (u ) dr + (u ) dr − cλkf kL1 (µ) 2 0 2 0 6 0 0 3/2 1/2 Z 1 Z 1 Z 1 1 00 2 00 2 00 2 ≥ (u ) rdr − c2 λkf kL1 (µ) (u ) rdr (u ) rdr − c1 2 0 0 0 1 = ku00 k2L2 (µ) − c1 ku00 k3L2 (µ) − c2 λkf kL1 (µ) ku00 kL2 (µ) . 2. Agora provaremos o seguinte resultado de compacidade para Jλ : Proposição 2.3. Toda sequência limitada de Palais-Smale para Jλ no nível c admite uma ◦. subsequência convergente em W 2,2 ([0, 1], rdr). ◦. Demonstração: Já que {un } ⊂W 2,2 ([0, 1], rdr) é limitada, descobrimos que, passando ◦. para uma subsequência se necessário, para uma u ∈W 2,2 ([0, 1], rdr) as seguintes propriedades são cumpridas ◦. I. un * u fracamente em W 2,2 ([0, 1], rdr), quando n → ∞, II. u0n → u0 fortemente em Lp ([0, 1], rdr), quando n → ∞, para todo 1 ≤ p < ∞,.

(66) 37. III. un → u uniformemente em [0, 1], quando n → ∞. ◦. Escrevemos a condição Jλ0 (un ) → 0 em {W 2,2 ([0, 1], rdr)}∗ , quando n → ∞, como a seguir 0 1 1 1 {r (ru0n )0 }0 = u0n u00n + λf + wn , r r r ◦. ◦. wn → 0 em {W 2,2 ([0, 1], rdr)}∗ , quando n → ∞,. un ∈W 2,2 ([0, 1], rdr),. onde os wn são os termos de erro. Agora multiplicamos esta equação por un − u e integramos sobre o intervalo unitário com a medida conveniente para obter Z 1 u0n (u0n − u0 ) 00 00 00 un (un − u ) + rdr = r2 Z 0 Z 1 1 u0n u00n (un − u)dr + λ f (un − u)rdr + hwn , un − ui, = 0. (2.6). 0. após integração por partes na primeira linha. Os três termos convergem para zero pelas condições I (o terceiro somando) e III (primeiro e segundo somandos) dadas acima. Por outro lado para 1. Z F (v) =. h. u00 v 00 +. 0. ◦ u0 v 0 i 2,2 ([0, 1], rdr)}∗ , rdr ∈ { W r2. temos F (un ) → F (u), quando n → ∞, devido à propriedade I. Como:. Z. 1. u0n u00 dr. 0. e. Z. 1. =.

(67) 1.

(68) u0n u0

(69). Z −. 0.

(70) 1 1

(71) = (u0n )2

(72) = 0, 2 0 0 devido às condições de fronteira, então u00n u0n dr. 1. u00n u0 dr. 0. Z =−. 1. u00n u0 dr. 0. Z 0. 1.

(73) 1 1

(74) u00 u0 dr = (u0 )2

(75) = 0 2 0.

(76) 38. u0 u0 − u0n u0n rdr u00 u00 − u00 u00n + r2 0 Z 1 00 0 un un u0n u00 u00 u0 u0 u00 = − − u00n u00 − n + u00 u00 + r r r r 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 00 0 00 u u u u uu uu u u u u − n − n2 + rdr + 2 + n n− n r r r r r r Z 1 0 u0 u0 00 00 00 un 00 00 00 = (un − u ) +u u + − un u + r r r 0 00 0 0 0 0 un u u u 00 00 0 0 un − u + + u + + (un − u ) rdr r r r r r Z 1 0 0 00 0 (u0n−u0 ) 00 00 un 00 u 0 0 un 00 00 00 u = (un−u ) −(un − u ) u + − u+ +(un−u ) rdr. r r r r r 0 Z. 1. F (u) − F (un ) =. Assim 1. Z. (u00n. 0. 00 u0n u0 (u0n − u0 ) u0 00 00 00 00 0 0 un − u ) − (un − u ) u + − u + + (un − u ) rdr → 0, (2.7) r r r r r 00. quando n → ∞. Agora, se somarmos a expresão (2.7) à primeira linha de (2.6), obtemos Z 1 u0n (u0n − u0 ) 00 00 00 rdr+ un (un − u ) + r2 Z0 1 0 00 u0 (u0n − u0 ) u0 00 00 00 un 00 00 00 0 0 un (un − u ) − (un − u ) u + − u + + (un − u ) rdr r r r r r 0Z 1 u0 (u0n − u0 ) u0n u0 u0n 00 00 00 00 00 00 −u − + − u − + un rdr = (un − u ) un + r r r r r Z0 1 0 0 0 0 (u − u ) (u − u ) = (u00n − u00 ) + n (u00n − u00 ) + n rdr r r 0 Z 1 = |∆(un − u)|2 rdr, 0. onde ∆ = ∂rr +. ∂r é o Laplaciano radial, resultando assim: r Z 1 |∆(un − u)|2 rdr → 0, quando n → ∞, 0. a qual é a conclusão desejada. Seja a função “corte” γ : R → [0, 1], a qual assumimos não crescente, suave e dada por  γ(t) = 1, se t ≤ l γ(t) = 0, se t ≥ l∗.

(77) 39. para dois números reais l∗ > l > 0 dados. Lema 2.4. O funcional definido por Z 1 Z Z 1 1 (u0 )2 1 1 0 3 0 00 2 Jλ (u) = (u ) + 2 rdr + (u ) γ(k∆uk2 )dr − λ f urdr 2 0 r 6 0 0. (2.8). satisfaz as seguintes propriedades para valores adequados de l, l∗ e λ: (i) Se k∆uk2 < l então Jλ0 = Jλ . (ii) Se Jλ0 (u) < 0 então k∆uk2 < l. (iii) Se m =. ◦. u∈W. inf 2,2. nível m.. Demonstração:. Jλ0 (u) então Jλ0 verifica uma condição local de Palais-Smale no. ([0,1],rdr). A propriedade (i) é obvia. Para λc > 0 suficientemente pequena, o. limite radial inferior g de Jλ atinge um máximo num nível positivo de “energia” para 0 < λ < λc . Denotamos como x0 a menor raíz de g(x) e como xm a posição do máximo. Agora escolhemos l = x0 e l∗ = xm . O funcional Jλ0 admite o seguinte limite radial inferior: Jλ0 (u) ≥ h(ku00 kL2 (µ) ),. 1 onde h(x) = x2 − c1 x3 γ(x) − c2 λkf kL1 (µ) x, 2. onde c1 e c2 são as mesmas constantes do Lema 2.2. Assim, este funcional é limitado inferiormente e positivo para x > x0 . Por conseguinte, a propriedade (ii) é cumprida. A propriedade (iii) decorre do fato que todas as sequências de Palais-Smale de minimizadores deste funcional são limitadas desde que m < 0, juntamente com uma aplicação da Proposição 2.3. Agora provaremos o resultado principal desta seção. Teorema 2.5. Existe um número real positivo λc tal que, para 0 < λ < λc , o problema de Dirichlet (2.4) possui pelo menos duas soluções. Demonstração:. Pelos teoremas de imersão de sobolev já usados na demostração do ◦. Lema 2.2, o funcional Jλ está bem definido em W 2,2 ([0, 1], rdr), é contínuo e Gateaux diferenciável, e a sua derivada é fraca∗ contínua. Provaremos a existência de duas soluções para o nosso problema de valor na fronteira encontrando dois pontos críticos para o funcional Jλ , um deles é um mínimo local negativo e o outro, é um ponto crítico do tipo passo da montanha de nível positivo..

(78) 40. Começamos provando a existência do mínimo local num nível de “energia” negativo. Para λc > 0 suficientemente pequeno, a estimativa radial inferior g atinge um máximo num nível de “energia” positivo para 0 < λ < λc . Na prova do Lema 2.4, nós mostramos que o funcional Jλ0 é limitado inferiormente e positivo para x > x0 . Por conseguinte, m é um valor crítico negativo de Jλ0 , e portanto de Jλ , a partir de onde se conclui a existência de um mínimo local. A seguir, passamos a provar a existência de um ponto crítico do tipo passso da mantanha positivo. Já provamos a existência de um mínimo local negativo, o qual será denotado u(0) a partir de agora. Sabemos que Jλ (u(0) ) < 0 e da existência de u(2) com k[u(2) ]00 kL2 (µ) suficientemente grande tal que Jλ (u(2) ) < Jλ (u(0) ). Introduzimos o conjunto de caminhos no espaço de Banach ◦ (0) (2) 2,2 Θ = θ ∈ C [0, 1], W ([0, 1]rdr) |θ(0) = u , θ(1) = u . Consideremos o valor minimax: p = inf max Jλ [θ(s)], θ∈Θ s∈[0,1]. e aplicamos o princípio variacional de Ekeland (ver Apêndice B Teorema B.11) para provar a existência de uma sequência de Palais-Smale nesse valor. ◦. Isto significa que existe uma sequência {un }n∈N ⊂W 2,2 ([0, 1], rdr), tal que Jλ (un ) → p, quando n → ∞ e. ◦. Jλ0 (un ) → 0 em {W 2,2 ([0, 1], rdr)}∗ , quando n → ∞. Devemos provar que esta sequência de Palais-Smale é limitada. ◦. Para u ∈W 2,2 ([0, 1]rdr) verifica-se a seguinte igualdade: Z Z 1 1 0 2

(79)

(80) 1 1 1 0 3 0 00 − u u udr = − (u ) u

(81) + (u ) dr. 2 2 0 0 0 ◦. Escolhemos {un }n∈N ⊂W 2,2 ([0, 1], rdr) uma sequência de Palais-Smale para Jλ no.

(82) 41. nível p e denotamos hzn , un i = hJλ0 (un ), un i, então: 1 1 p + o(1) = Jλ (un ) − hJλ0 (un ), un i + hzn , un i 3 3 Z 1 Z Z 1 1 (u0n )2 1 1 0 3 00 2 f un rdr (un ) + rdr + (u ) dr − λ = 2 0 r2 6 0 n 0 Z 1 n h i0 o0 1 1 1 1 1 − u0n u00n − λf un rdr + hzn , un i r (ru0n )0 − 3 r r r 3 0 Z Z 1 1 (u0n )2 2λ 1 1 00 2 = (un ) + rdr − f un rdr + hzn , un i 2 6 0 r 3 0 3 2 1 ≥e cku00n kL2 (µ) − c2 λkf kL1 (µ) ku00n kL2 (0) + hzn , un i 3 3 ≥ Cku00n kL2 (µ) ,. para uma constante C > 0, n suficientemente grande e λ suficientemente pequeno. ◦. Em consequência, a sequência {un }n∈N é limitada em W 2,2 ([0, 1], rdr). Sabemos, pela Proposição 2.3, que Jλ satisfaz uma condição local de Palais-Smale no ◦. nível p, assim temos para algum u(1)∈W 2,2 ([0, 1], rdr), Jλ (u(1) ) = lim Jλ (un ) = p. n→∞. Assim, u(1) é um ponto crítico obtido via passo da montanha, e consequentemente Jλ0 (u(1) ) = 0, ◦. portanto, a nossa equação diferencial é cumprida em W 2,2 ([0, 1]rdr).. 2.2. CONDIÇÕES DE NAVIER. Consideremos novamente o Problema (2.4) no intervalo unitário, mas agora, submetido às condiçoes de fronteira de Navier. No caso radial, estas condiçoes se traduzem em u(1) = 0 e u00 (1) + u0 (1) = 0, e assumimos também a condição u0 (0) = 0 na origem por razões de simetria. Novamente assumimos f ∈ L1 ([0, 1], rdr). Como na seção anterior, vamos provar a existência de pelo menos duas soluções deste problema de valor na fronteira. ˆ 2,2 ([0, 1], rdr), o qual definimos A nossa estrutura funcional será dada pelo espaço W ◦. ◦. como a interseção W 2,2 ([0, 1], rdr)∩ W 1,2 ([0, 1], rdr)..

(83) 42. Provaremos a existência de soluções para o nosso problema pertencentes a este espaço funcional. Neste caso, as soluções para a equação diferencial correspondem aos pontos críticos de um funcional ligeiramente diferente. Lema 2.6. A equação diferencial (2.4) submetida às condições de fronteira de Navier é ˆ 2,2 ([0, 1], rdr) → R, definido por: a equação de Euler-Lagrange do funcional Iλ : W 1 Iλ (u) = 2. 1. Z 0. 2 Z Z 1 1 1 0 3 u0 00 rdr + u + (u ) dr − λ f urdr r 6 0 0. (2.9). Demonstração: Consideremos a primeira variação de Euler-Lagrange do funcional (??) Z 1 Z u0 φ0 1 1 0 2 0 00 f φrdr u + φ + rdr + (u ) φ dr − λ r r 2 0 0 0 Z 1 n h i0 o0 1 1 1 = r (ru0 )0 − u0 u00 − λf φrdr r r r 0.

(84) d Iλ (u + tφ)

(85) t=0 = dt. Z. 1. 00. onde a última igualdade foi obtida argumentando como na seção anterior, integrando por partes e usando as condições de fronteira, e usando o fato de que φ é arbitrário e pertence ˆ 2,2 ([0, 1], rdr). aW Agora vamos provar um resultado em relação à geometria do funcional Iλ . Primeiro tome em conta que ambos funcionais Jλ e Iλ estão bem definidos em W 2,2 ([0, 1], rdr). Lema 2.7. Seja u ∈ W 2,2 ([0, 1], rdr). Então Iλ (u) ≥ Jλ (u). Demonstração: É suficiente provar 2 Z 1 Z 1 u0 (u0 )2 00 00 2 u + rdr ≥ (u ) + 2 rdr. r r 0 0. (2.10). Mas Z 0. 1. 2 Z 1 Z 1 0 (u0 )2 u0 00 00 2 00 u rdr = (u ) + 2 rdr + 2 u rdr. u + r r r 0 0. Assim (2.10) é válido se, e só se, Z 1 0 00 u u rdr ≥ 0. r 0. (2.11).

(86) 43. Integrando Z. 1. . 0 00 u. u 0. r. 1. Z 1 1 0 20 u u dr = [(u ) ] dr 2 0 0 1 1 1 = (u0 (1))2 − (u0 (0))2 = (u0 (1))2 ≥ 0, 2 2 2. Z rdr =. 00 0. pois u0 (0) = 0. Observação 2.1. Notemos que este resultado implica que a geometria de Iλ corresponde à mesma forma do passo da montanha de Jλ . A seguir, vamos provar a existência de pelo menos duas soluções para o problema com condições de Navier. Proposição 2.8. Toda sequência limitada de Palais-Smale para Iλ no nível c admite uma ˆ 2,2 ([0, 1], rdr). subsequência fortemente convergente em W ˆ 2,2 ([0, 1], rdr) é limitada, descobrimos que, pasComo {un }n∈N ⊂ W. Demonstração:. sando a uma subsequência se necessário, se cumprem as seguintes propriedades: ˆ 2,2 ([0, 1], rdr), quando n → ∞, I. un * u fracamente em W II. u0n → u0 fortemente em Lp ([0, 1], rdr), quando n → ∞, para 1 ≤ p < ∞, III. un → u uniformemente em [0, 1], quando n → ∞, ˆ 2,2 ([0, 1], rdr). para alguma u ∈ W ˆ 2,2 ([0, 1], rdr)}∗ como a Escrevemos a condição de convergência Iλ0 (un ) → 0 em {W seguir: 1 r. 0 0 1 1 0 0 r (run ) = u0n u00n + λf + wn , r r. ˆ 2,2 ([0, 1], rdr), un ∈ W. ˆ 2,2 ([0, 1], rdr)}∗ , quando n → ∞, wn → 0 em {W. onde os wn são os termos de erro. Se multiplicarmos a equação acima por un − u e integrarmos sobre o intervalo unitário com a medida adequada, obtemos: Z 1 u0n (un − u)0 00 00 un + (un − u) + rdr r r 0Z Z 1 1 = u0n u00n (un − u)dr + λ f (un − u)rdr + hwn , un − ui, 0. 0. (2.12).

(87) 44. após a integração por partes na primeira linha. Os três termos na segunda linha convergem para zero pelas propriedades I (o terceiro somando) e III (o primeiro e segundo somandos) dadas acima. Por outro lado, temos Z 1 (un − u)0 u0 00 00 (un − u) + rdr → 0, quando n → ∞, (2.13) u + r r 0 devido à propriedade I. Agora, subtraindo (2.13) da primeira linha de (2.12), obtemos Z 1 |∆(un − u)|2 rdr → 0, quando n → ∞, 0. onde ∆ = ∂rr + prova.. ∂r é, como na seção anterior, o Laplaciano radial, concluindo assim a r. Agora anunciaremos o resultado principal desta seção. Teorema 2.9. Existe um número real positivo λc tal que, para 0 < λ < λc , o problema de Navier para (2.4) possui pelo menos duas soluções. Demonstração:. Argumentando como na seção prévia, mostraremos a existência de. duas soluções para o nosso problema encontrando dois pontos críticos do funcional Iλ , um deles é um mínimo local negativo e o outro é um ponto crítico obtido via passo da montanha de nível positivo. A prova de existência do mínimo é idêntica ao caso anterior. Aplicaremos a mesma técnica minimax como na seção prévia e portanto, concluímos ˆ 2,2 ([0, 1], rdr) tal que a existência de uma sequência de Palais-Smale {un }n∈N ⊂ W ˆ 2,2 ([0, 1], rdr)}∗ , onde p é o nível crítico Jλ (un ) → p e J 0 (un ) → 0, quando n → ∞ em {W λ. do passo da montanha. Devemos provar que esta sequência de Palais-Smale é limitada. ˆ 2,2 ([0, 1], rdr), verificam-se as seguintes igualdades: Para u ∈ W Z Z Z 1 1 0 2

(88)

(89) 1 1 1 0 2 1 1 0 2 0 00 − u u udr = − (u ) u 0 + (u ) dr = (u ) dr. 2 2 0 2 0 0 ˆ 2,2 ([0, 1], rdr) uma sequência de Palais-Smale para Iλ no Escolhemos {un }n∈N ⊂ W.

(90) 45. nível p e denotamos hzn , un i = hIλ0 (un ), un i, então: 1 1 p + o(1) = Iλ (un ) − hIλ0 (un ), un i + hzn , un i 3 3 Z 1 0 2 1 1 u 2 ≥ u00n + n rdr − c2 λkf kL1 (µ) ku00n kL2 (µ) + hzn , un i 6 0 r 3 3 ≥ Cku00n kL2 (µ) ,. para alguma constante C > 0, n suficientemente grande e λ suficientemente pequeno. ˆ 2,2 ([0, 1], rdr). Em consequência, a sequência {un }n∈N é limitada em W Sabemos pela Proposição 2.8, que Iλ satisfaz uma condição local de Palais-Smale no nível p, assim temos Iλ (u∗ ) = lim Iλ (un ) = p > 0. n→∞. Também, u∗ é um ponto crítico de passo da montanha, assim Iλ (u∗ ) = 0, ˆ 2,2 ([0, 1], rdr). e a nossa equação diferencial é satisfeita em W.

(91) Apêndices. 46.

(92) 47. APÊNDICE A -- PRELIMINARES. Neste capítulo, iremos apresentar alguns conceitos que foram utilizados ao longo deste trabalho. Durante todo este apêndice, o conjunto Ω será um conjunto aberto e limitado com fronteira ∂Ω suave de Rn .. A.1. ESPAÇOS DE SOBOLEV. Definição A.1. Um vetor da forma α = (α1 , α2 , . . . , αn ); onde cada componente αi é um inteiro não-negativo, é chamado um multi-índice de ordem |α| = α1 + α2 + · · · αn . Definição A.2. Dado um multi-índice α e uma função u, definimos Dα u =. ∂ |α| u = ∂xα11 . . . ∂xαnn u. ∂xα1 1 . . . ∂xαnn. Definição A.3. Se k é um inteiro não negativo, Dk u = {Dα u : |α| = k}, é o conjunto de todas as derivadas parciais de ordem k. Atribuindo alguma ordem para as derivadas parciais, podemos também considerar Dk u(x) como um ponto em Rn .  1/2 X Definição A.4. |Dk u| =  |Dα u|2  . k. |α|=k. Definição A.5. Suponha u, v ∈ L1loc (Ω) e α um multi-índice. Dizemos que v é a αth derivada parcial fraca de u, denotada Dα u = v, definida por. Z. α. |α|. Z. uD φdx = (−1) Ω. vφdx Ω.

(93) 48. para todas as funções teste φ ∈ C0∞ (Ω). Fixemos 1 ≤ p ≤ ∞ e seja k um inteiro não negativo. Definição A.6. O espaço de Sobolev W k,p (Ω) consiste de todas as funções localmente integráveis u : Ω → R tais que para cada multiíndice α, com |α| ≤ k, Dα u existe no sentido fraco e pertence ao Lp (Ω). Observação A.1. Se p = 2, escrevemos usualmente H k (Ω) = W k,2 (Ω) (k = 0, 1, . . . ). Note que H 0 (Ω) = L2 (Ω). Definição A.7. Se u ∈ W k,p (Ω), definimos sua norma como sendo  1/p   XZ    |Dα u|p dx , 1 ≤ p < ∞;  |α|≤k Ω kukW k,p (Ω) =  X    ess supΩ |Dα u|, p = ∞,   |α|≤k. onde, ess supf = inf {r ∈ R | ν(f > r) = 0} e ν denota a medida usual em Rn . Definição A.8. Convergência em espaços de Sobolev. a) Seja {un }n∈N ⊂ W k,p (Ω) uma sequência, e u ∈ W k,p (Ω). Dizemos que un converge para u em W k,p (Ω), denotado un → u em W k,p (Ω), quando lim kun − ukW k,p (Ω) = 0.. n→∞. b) Denotamos por k,p un → u em Wloc (Ω), quando n → ∞,. quando un → u em W k,p (V ), quando n → ∞, para cada V ⊂⊂ Ω (V ⊂ V ⊂ Ω). Definição A.9. O espaço W0k,p (Ω) se define como sendo o fecho de C0∞ (Ω) em W k,p (Ω)..

(94) 49. Observação A.2. u ∈ W0k,p (Ω) se e só se, existe uma sequência {un }n∈N ⊂ C0∞ , tal que, un → u em W k,p (Ω), quando n → ∞. Observação A.3. Vamos interpretar W0k,p (Ω) como aquelas funções u ∈ W k,p (Ω) tais que Dα u = 0 sobre ∂Ω para toda |α| ≤ k − 1, (ver [16] página 245,259). Definição A.10 (Notação de o pequeno). Escrevemos f = o(g), quando x → x0 , se lim. x→x0. A.2. |f (x)| = 0. |g(x)|. CÁLCULO DAS VARIAÇÕES. Se escrevemos uma EDP na forma abstrata: A(u) = 0,. (A.1). onde A representa, posivelmente, um operador diferencial parcial não linear e u é a incógnita. Não existe uma teoria geral para resolver tais EDP’s. O cálculo das variações identifica uma classe importante de tais problemas não lineares que podem ser resolvidos usando técnicas relativamente simples da análise funcional não linear. Esta é a classe de problemas variacionais, isto é, EDP da forma (A.1), onde o operador não linear A é a “derivada” de um funcional de “energia” adequado I. Simbolicamente escrevemos A = I 0.. (A.2). I 0 (u) = 0.. (A.3). Então o problema (A.1) fica. A vantagem desta nova formulação é que agora podemos reconhecer soluções de (A.1) como sendo pontos críticos de I.. A.2.1. Primeira variação, equação de Euler-Lagrange. Suponha que Ω ⊂ Rn seja um conjunto aberto e limitado com fronteira ∂Ω suave, e seja dada uma função suave L : Rn × R × Ω −→ R..

(95) 50. Chamamos L de Lagrangiano. Notação A.1. Escrevemos L = L(p, z, x) = L(p1 , . . . , pn , z, x1 , . . . , xn ), para p ∈ Rn , z ∈ R e x ∈ Ω. Assim p é o nome da variável para a qual substituimos ∇w(x) acima, e z é a variável para a qual substituimos w(x). Também estabelecemos    Dp L = (Lp1 , . . . , Lpn )    Dz L = Lz     Dx L = (Lx1 , . . . , Lxn ). Vamos precisar as ideias acima asumindo que I tem a forma explícita Z L(∇w(x), w(x), x)dx I(w) =. (A.4). Ω. para funções suaves w : Ω → R satisfazendo, por exemplo, a condição de contorno w = g sobre ∂Ω.. (A.5). Suponhamos adicionalmente que para uma função particular u, a qual satisfaz a condição u = g sobre ∂Ω, seja um minimizante de I entre todas as funções w que satisfazem (A.5). Então u é solução de uma certa equação diferencial parcial não linear. Escolhamos qualquer função φ ∈ C0∞ (Ω) e consideremos a função de valor real i(t) = I(u + tφ) , t ∈ R. Como u é um minimizador de I e u + tφ = u = g sobre ∂Ω, observamos que i tem um mínimo em t = 0. Portanto i0 (0) = 0. Explicitamente calculamos esta derivada (chamada a primeira variação) Z i(t) = L(∇u + t∇φ, u + tφ, x)dx. Ω. Assim 0. i (t) =. Z X n Ω i=1. Lpi (∇u + t∇φ, u + tφ, x)φxi + Lz (∇u + t∇φ, u + tφ, x)φdx.. (A.6).

(96) 51. Se t = 0, deduzimos de (A.6) que 0. 0 = i (0) =. Z X n. Lpi (∇u, u, x)φxi + Lz (∇u, u, x)φdx.. Ω i=1. Agora, como φ tem suporte compacto, podemos integrar por partes e obter # Z " X n 0= − (Lpi (∇u, u, x))xi + Lz (∇u, u, x) φdx. Ω. i=1. Como esta igualdade verifica-se para toda função teste φ, concluímos que u resolve a EDP não linear −. n X. (Lpi (∇u, u, x))xi + Lz (∇u, u, x) = 0 em Ω.. i=1. Esta é a equação de Euler-Lagrange associada ao funcional de energia I definido por (A.4). Para mais detalhes veja [16].. A.2.2. Derivada de Gateaux. Consideremos um funcional I : U → R, onde U é um subconjunto aberto de um espaço de Banach H. O funcional I tem uma derivada de Gateaux f ∈ H ∗ em u ∈ U se, para cada v ∈ H, I admite a expansão I(u + tv) = I(u) + thf, vi + o(t). (A.7). com t ∈ R. A derivada de Gateaux de I em u é denotada por I 0 (u). Se a derivada de Gateaux existe para todo u ∈ U , então I é dito Gateaux diferenciável. Observação A.4. Se I(u) está definido e se I(u + tv) está definido para todo t > 0 suficientemente pequeno, então

(97) 1 d

(98) hI (u), vi = I(u + tv)

(99) = lim I(u + tv) − I(u) . t→0 t dt t=0 0. Definição A.11. Dizemos que u ∈ U é um ponto crítico de I, se I 0 (u) = 0..