De nição 2.41. Sejam f : X → R e a ∈ X ∩ X0. A derivada da função f no ponto a é o
limite lim x→a f (x)−f (a) x−a = limh→0 f (a+h)−f (a) h , denotado por f
0(a). Quando o limite existe, dizemos
que f é derivável no ponto a. Quando f0(x) existe para todo x ∈ X ∩ X0, dizemos que
a função f : X → R é derivável no conjunto X. Usamos a notação f00(x) para indicar a
Proposição 2.42. (Operações com derivadas de funções) Sejam f, g : X → R deriváveis em a ∈ X ∩ X0. Então
i) (f ± g)0(a) = f0(a) ± g0(a);
ii) (f · g)0(a) = f0(a) · g(a) + f (a) · g0(a);
iii) (f/g)0(a) = f
0(a) · g(a) − f (a) · g0(a)
[g(a)]2 , se g(a) 6= 0.
Demonstração. Este resultado também pode ser lido em [5], pág. 93.
Teorema 2.43. (Regra da Cadeia) Sejam f : X → R, g : Y → R, a ∈ X ∩ X0,
b ∈ Y ∩ Y0, f(X) ⊂ Y e f(a) = b. Se f é derivável em a e g é derivável em b então a função composta gof : X → R é derivável em a e (gof)0(a) = g0(f (a)) · f0(a).
Demonstração. A demonstração deste resultado pode ser obtida em [5], pág. 93.
Teorema 2.44. (Teorema de Rolle) Seja f : [a, b] → R contínua com f(a) = f(b). Se f é derivável em (a, b) então existe c ∈ (a, b) tal que f0(c) = 0.
Demonstração. Pelo Teorema de Weierstrass, a função f possui valor mínimo m e máximo M em [a, b]. Se esses valores forem a e b então m = M. Assim f será constante. Logo f0(x) = 0 para todo x ∈ (a, b). Por outro lado, se um dos valores, mínimo ou máximo, digamos c, estiver em (a, b) então f0(c) = 0.
Exemplo 2.45. Seja a função f : R → R de nida por f(x) = x2− 5x + 4. Ela é contínua
e derivável em todo o seu domínio. Além disso, f(0) = 4 = f(5). Pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (0, 5) tal que f0(c) = 0. De fato, pois f0(x) = 2x − 5. Fazendo f0(x) = 0,
vem x = 2, 5. Logo, c = 2, 5. A reta tangente ao grá co de f no ponto de abscissa 2, 5 é paralela ao eixo x. Isto ocorre, pois f0(2, 5) = 0.
Teorema 2.46. (Teorema do Valor Médio) Seja f : [a, b] → R contínua. Se f é derivável em (a, b) então existe c ∈ (a, b) tal que f0(c) = [f (b) − f (a)]/(b − a).
Demonstração. Consideremos a função g : [a, b] → R dada por g(x) = f(x) − dx, com g(a) = g(b). Esta função é contínua, pois f(x) e dx são contínuas. Além disso, g é derivável em (a, b). Portanto, pelo Teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que g0(c) = 0.
Como g(x) = f(x) − dx, segue que g0(x) = f0(x) − d e já que g0(c) = 0 temos f0(c) = d.
Para mostrar que f0(c) = [f (b) − f (a)]/(b − a), consideremos que g(a) = g(b). Assim,
g(a) = f (a) − da = f (b) − db = g(b). De f(a) − da = f(b) − db, vem d = f0(c) = [f (b) − f (a)]/(b − a).
Figura 10: Exemplo do Teorema de Rolle
Exemplo 2.47. Ainda considerando a função f do exemplo 2.45, seja o intervalo (2, 5). Pelo Teorema do Valor Médio, existe c ∈ (2, 5) tal que f0(c) = f (5)−f (2)
5−2 =
4−(−2) 3 = 2.
Procuremos c tal que f0(c) = 2. De f0(c) = 2, vem 2c − 5 = 2 que implica c = 3, 5. A reta
Figura 11: Exemplo do Teorema do Valor Médio
tangente ao grá co de f no ponto de abscissa 3, 5 é paralela à reta secante pelos pontos (2, f (2)) e (5, f(5)), conforme gura 11.
De nição 2.48. Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I. Se o grá co de f se situa sempre acima (respectivamente, abaixo) das retas tangentes no intervalo I, dizemos que o grá co de f tem concavidade para cima (respectivamente, para baixo) em I.
Proposição 2.49. Seja f uma função duas vezes derivável no intervalo aberto I. Se f00(x) > 0 (respectivamente, f00(x) < 0) para todo x ∈ I então o grá co de f tem concavidade para cima (respectivamente, para baixo) em I.
3 métodos iterativos: bissecção,
falsa posição e ponto fixo
Neste capítulo, apresentaremos alguns métodos numéricos como alternativa na resolu- ção de equações. Esses métodos são aproximativos, isto é, são feitas algumas repetições de cálculos, chamadas iterações, que vão fornecendo soluções tão próximas da solução exata quanto queiramos. Como mencionamos no capítulo 1, numa situação prática, chegar bem próximo da solução exata pode ser tão bom quanto a raiz exata. Por exemplo, suponha- mos que uma máquina industrial opere com um braço mecânico que possua uma agulha cuja ponta tenha um diâmetro de um centímetro. Assim, ao mirar o braço numa peça, dependendo da situação, não haverá problema se o centro da ponta da agulha acertar um milímetro fora do ponto certo.
Os métodos iterativos são aplicados em resoluções de equações do tipo f(x) = 0 em que f é uma função contínua. Os resultados que abordamos no capítulo anterior servirão de base para os conceitos que passaremos a apresentar. Em cada seção, vamos mostrar um método, sempre com justi cativas e exemplos. A escrita deste capítulo tem referência em [7].
3.1 método da bissecção
O Método da Bissecção é um método numérico simples para obtenção de raízes de uma função real. Para iniciar nosso estudo, vamos considerar uma brincadeira entre duas pessoas, onde uma delas tem que acertar qual número entre 0 e 100 a outra pessoa escolheu. Numa primeira escolha, a pessoa escolhe 50, média aritmética entre 0 e 100. Se ela não acerta, então pergunta à outra se o número é menor ou maior que 50. Se a outra pessoa diz que é maior, então o novo palpite é 75, média aritmética entre 50 e 100. É claro que esta brincadeira terá um m. A ideia na escolha dos números é ir reduzindo os intervalos onde está o número procurado. O Método da Bissecção é parecido
com a brincadeira acima. Determinamos um intervalo inicial que contenha uma raiz. Em seguida, vamos reduzindo a amplitude do intervalo usando médias aritméticas conforme veremos a seguir.
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] tal que f(a)f(b) < 0. O Teorema do Valor Intermediário garante que existe ao menos um c ∈ (a, b) , tal que f(c) = 0. O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém uma raiz de f(x). Ele é um método iterativo, isto é, consiste de uma sequência de instruções executadas passo a passo. Cada execução é chamada iteração. Cada iteração usa resultados das iterações anteriores. Os métodos iterativos são aproximativos. Então o que obtemos são valores próximos da solução exata. Assim, deve-se estabelecer, inicialmente, uma precisão ou tolerância, para se ter um critério para encerrar as iterações.
Existem dois critérios de parada para métodos iterativos. Se a raiz exata de f(x) em (a, b) é c então x é raiz aproximada com precisão se:
i) |x − c| < ; ii) |f(x)| < .
Mesmo sem conhecer a raiz exata c, é possível estabelecer o critério i). De fato, pois se x e c pertencem a (a, b) então |x − c| < b − a. Assim, basta reduzir o intervalo [a, b] até que se consiga b − a < .
Vamos descrever o Método da Bissecção. Para simpli car, vamos supor que haja apenas uma raiz c em (a, b).
Figura 12: Sequência de aproximações no Método da Bissecção
f (b0) > 0e f(x0) > 0então c ∈ (a0, x0), pois f(a0) · f (x0) < 0. Escolhemos então a1 = a0
e b1 = x0. Em seguida, x1 = a1+b2 1. Se f(a1) < 0, f(b1) > 0e f(x1) < 0 então c ∈ (x1, b1).
Escolhe-se agora a2 = x1 e b2 = b1. O processo continua até que o critério de parada
escolhido seja satisfeito.
O Método da Bissecção gera as sequências an , bn e, por construção, cn= an+b2 n. Mas
essas sequências sempre vão convergir? O método funciona em qualquer caso? O teorema seguinte responderá a essas perguntas.
Teorema 3.1. Se f : [a, b] → R é contínua e f(a)f(b) < 0, então o Método da Bissecção gera uma sequência cn que converge para c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
Demonstração. Sejam as sequências an, não decrescente e limitada superiormente por
b0, e bn, não crescente e limitada inferiormente por a0. Então existem r e s tais que
lim
n→∞an = r e limn→∞bn = s. Como o comprimento de cada intervalo é sempre metade do
intervalo anterior, temos que bn− an = bn−1− an−1 2 = bn−2− an−2 22 = · · · = b0− a0 2n . Então lim n→∞(bn− an) = limn→∞ b0− a0
2n = 0. Como an e bn são convergentes segue que
lim
n→∞(bn− an) = limn→∞bn− limn→∞an = 0,
donde lim
n→∞bn= limn→∞an. Logo, r = s. Seja r = s = c. Assim,
lim n→∞cn= limn→∞ an+ bn 2 = c + c 2 = c, provando a primeira parte do teorema.
Em cada iteração n, tem-se que f(an)f (bn) < 0. Como f é contínua, vem
0 ≥ lim n→∞f (an)f (bn) = limn→∞f (an) · limn→∞f (bn) = f lim n→∞an · flim n→∞bn . De 0 ≥ flim n→∞an · flim n→∞bn, vem 0 ≥ f (r)f (s) = f (c)f (c) = [f (c)]2 ≥ 0, que acarreta f(c) = 0, completando a demonstração.
Exemplo 3.2. Seja a função f(x) = x log(x) − 1 contínua se x > 0.
Temos f(1) = −1, f(2) = −0, 3979, f(3) = 0, 4314. Como f(2) < 0 e f(3) > 0, existe uma raiz c de f(x) no intervalo (2, 3). Iniciamos o método da bissecção fazendo
a0 = 2, b0 = 3 e x0 = a0+ b0 2 = 2 + 3 2 = 2, 5. Temos f(2) = −0, 3979 < 0, f(2, 5) = −5, 15 · 10−3 < 0 e f(3) = 0, 4314 > 0. Logo, c ∈ (2.5, 3). Tomamos a1 = 2, 5, b1 = 3 e x1 = 2, 5 + 3 2 = 2, 75.
Temos f(2, 5) < 0, f(2, 75) = 0, 2082 > 0 e f(3) > 0. Daí, c ∈ (2.5, 2.75). O processo segue conforme tabela abaixo:
x2= 2, 625 x3= 2, 5625 x4= 2, 5312 x5= 2, 5156 x6= 2, 5078
f (x2) = 0, 1002 f (x3) = 0, 0472 f (x4) = 0, 0209 f (x5) = 7, 85 · 10−3 f (x6) = 1, 35 · 10−3
Considerando o intervalo (2.5, 2.5078), temos as precisões
1 = |2, 5078 − 2, 5| = 0, 078 < 0, 1 e 2 = |f (x6)| = 1, 35 · 10−3 < 0, 01.