Descrição e Análise do Material Didático e das Aulas

Resumidamente, os polos (𝜆_𝑖) de um sistema na forma SS são os autovalores da matriz 𝐴 dos estados. Dessa forma, um sistema dinâmico de ordem 𝑛 terá 𝑛 polos, isto é, 𝜆_𝑖 representa o 𝑖-ésimo polo do sistema, 𝑖 = 1, … , 𝑛.

A maioria dos sistemas dinâmicos, mesmo de ordem maior que 2, apresenta respostas que podem ser classificadas como sendo exponencial ou oscilatória.

Dizemos que se o polo (autovalor da matriz 𝐴 dos estados) for um número real a resposta temporal terá um comportamento exponencial, podendo ser de decaimento (𝜆_𝑖 < 0) ou crescimento (𝜆_𝑖 > 0) exponencial. Se o polo 𝜆_𝑖 for um número complexo, a resposta temporal será oscilatória com ou sem amortecimento, dependendo do coeficiente de amortecimento associado ao polo 𝜆_𝑖.

Um sistema dinâmico linear é estável se, e somente se todos os seus polos estiverem localizados no semiplano esquerdo do plano complexo, ou seja, um sistema linear de ordem 𝑛 é estável se, e somente se: 𝑟𝑒𝑎𝑙 (𝜆_𝑖) < 0, para 𝑖 = 1, … , 𝑛, sendo 𝜆_𝑖 o 𝑖-ésimo polo do sistema. Dessa forma, podemos representar de maneira resumida a estabilidade de um polo pela Figura a seguir.

Figura 5: Regiões de estabilidade do plano complexo

Fonte: Dados da pesquisa

A seguir faremos uma descrição dos materiais didáticos citados pelos entrevistados e uma breve descrição das aulas do professor Carlos que ministra a disciplina de Sistemas de Controle II.

deste material descrevendo de forma simplificada todos os capítulos e por fim comentaremos de forma breve o andamento de suas aulas. Iniciaremos com a descrição das Notas de Aula.

Essa Apostila é composta por 15 capítulos, porém o professor Carlos enviou somente até o Capítulo 10, que segundo ele, são capítulos que abordam de uma maneira geral bastante conceitos de Álgebra Linear. Dessa forma, nossa descrição desse material será realizada baseada nos 10 primeiros capítulos.

O primeiro Capítulo intitulado “Introdução” tem por objetivo introduzir ao leitor uma ideia sobre a Teoria de Controle, relatando que esta teoria é dividida em Teoria Clássica e Teoria Moderna e expondo uma descrição sobre a diferença entre Controle Clássico e Controle Moderno. Nesta introdução o professor Carlos destaca que somente controle por realimentação de estados, visto na Teoria de Controle Moderno, permite controlar um sistema de várias entradas e várias saídas usando somente um controlador, salientando dessa forma, a importância de se estudar tal teoria.

O segundo capítulo, intitulado por “Representação de Sistemas Dinâmicos na Forma do Espaço dos Estados”, discute como transformar uma equação diferencial de ordem 𝑛 em um sistema de 𝑛 equações diferenciais de primeira ordem, sendo que cada equação desse sistema é denominada de equação de estado e essas equações podem ser escritos na forma matricial, denominando de equações de estado na forma matricial.

Ainda referente ao Capítulo 2, o autor também define os estados ou variáveis de estado, as variáveis de saídas e as variáveis de entrada, trazendo alguns exemplos de como transformar uma equação diferencial em sistemas e posteriormente em matrizes na forma de Espaços de Estados. A maioria desses exemplos abrange um contexto geral (de circuito elétrico) já com a equação diferencial que representa esse modelo e em seguida pedem para definir o vetor de estados, de entrada e saída e por fim escrever essa equação na forma dos Espaços dos Estados.

Nesse Capítulo ainda são apresentados alguns conceitos introdutórios, como por exemplo, que a dinâmica de um sistema de equação linear pode ser variante no tempo e dessa forma, as matrizes 𝑨(𝑡), 𝑩(𝑡), 𝑪(𝑡) e 𝑫(𝑡) variam no tempo, isto é, os elementos dessa matriz variam com o tempo. Já os sistemas invariantes, normalmente mais utilizados, não variam no tempo tornando os elementos dessas

matrizes constantes. O autor, relata que esses sistemas podem ser SISO (Single Input - uma entrada, Single Output – uma saída) ou MIMO (Multi Input - múltiplas entradas, Multi Output - múltiplas saídas).

Para finalizar, o segundo capítulo, discute sobre como representar esses sistemas por diagramas de blocos, algo que é estudado em outra disciplina, Sistemas de Controle I, só que utilizando Função de Transferência e consequentemente, Transformada de Laplace e o autor retoma, neste material, para verificar as semelhanças e diferenças dessas representações em Espaços dos Estados.

O Capítulo 3 relata sobre a linearização de sistemas dinâmicos. Esse capítulo, segundo o autor, é importante para a Teoria de Controle pois grande parte dessa teoria foi desenvolvida para sistemas lineares e praticamente todos os sistemas reais não são lineares. Perante o exposto, neste Capítulo são ensinadas técnicas para se obter um modelo linear para sistemas não lineares e discutido se é viável ou não substituir e se viável, quando substituir. Não iremos discutir nesta tese este Capítulo pois estamos querendo explorar conceitos de autovalor e autovetor nessa teoria e esse Capítulo não explora esses conceitos, até precisaremos linearizar o sistema de equações que iremos utilizar na aplicação do Evento Contextualizado, porém utilizaremos o software Matlab para linearizar e já linearizado ao aluno, visto que é uma teoria complexa para alunos dos anos iniciais de engenharia e não é essencial para o tema que estamos abordando nesta tese.

O Capítulo 4 refere-se sobre duas formas de se estudar a dinâmica de um sistema, uma utilizando o Espaço dos Estados (SS) abordado na Teoria de Controle Moderno e a outra utilizando as Funções de Transferências (FT) estudada em Controle Clássico. O autor destaca que dependendo o que se quer estudar as duas formas são corretas, porém de acordo com o que se pretende, às vezes é preciso analisar algum fato na outra forma e vice-versa. Diante disso, esse Capítulo discute como transformar SS para FT e vice-versa.

No Capítulo 5, o autor define polo de um sistema na forma SS como sendo os autovalores da matriz de estados 𝑨 e justifica essa definição comparando com a definição de polo de uma FT. Posteriormente, o professor Carlos, ressalta a importância de se estudar os polos, ou seja, os autovalores de um sistema na forma SS pois, segundo este, os polos fornecem todo o comportamento dinâmico do sistema e os autovetores juntamente com os autovalores representam os modos dinâmicos do sistema. Em seguida, o autor define de maneira sucinta os autovalores e autovetores

e explica como determiná-los. Para finalizar a parte teórica deste capítulo, o autor usa uma nomenclatura diferente dos livros de matemática para escrever que a matriz formada pelos autovetores 𝑷 é invertível e que a matriz de estados 𝑨 pode ser obtida fazendo 𝑨 = 𝑷𝑫𝑷^−𝟏, sendo 𝑫 a matriz diagonal de 𝑨 formada pelos autovalores de 𝑨 na diagonal principal. Nos exercícios deste Capítulo pede-se para calcular diretamente, sem nenhum contexto, os autovalores e autovetores de uma matriz dada.

No Capítulo 6, o autor aborda sobre como calcular a resposta temporal de sistemas dinâmicos Linearmente Invariante no Tempo (LIT) na forma SS e relata sobre a importância de se estudar as respostas temporais pois essas respostas permitem analisar o comportamento dinâmico de sistemas no domínio do tempo. Neste capítulo, o autor menciona que existem duas soluções para encontrar a resposta temporal de um sistema: a solução homogênea (cujas entradas são nulas) e a solução forçada (completa). O estudo para obtenção dessas soluções envolve exponencial de matriz, e segundo o autor, existem três formas de se obter a exponencial de matriz, sendo por Transformada de Laplace, por expansão em série e utilizando o Teorema de Cayley-Hamilton³⁵. Segundo o professor Carlos, o método em expansão em série é adequado somente quando se deseja uma resposta numérica, o método de Cayley-Hamilton (que utiliza conceitos de autovalor e autovetor) é raramente utilizado para se obter a resposta temporal de um sistema LIT e, portanto, neste caso, se deseja uma resposta algébrica o mais adequado seria o método de Transformada de Laplace.

No Capítulo 7, denominado de “Zeros de Sistemas MIMO”, o autor cita que calcular os zeros de um sistema SISO é extremamente simples, pois são as raízes do polinômio do numerador de sua FT e ressalta que no sistema MIMO é mais complicado, pois a FT de um sistema MIMO é uma matriz composta de várias FT que possuem o mesmo denominador (que dão origem aos polos), porém os numeradores da FT de um sistema MIMO são diferentes.

O autor ainda destaca que os zeros de um sistema MIMO são denominados zeros de transmissão e no caso de sistema SISO o zero de transmissão coincide com os zeros da FT do sistema (que é único). Depois de descrever sobre a diferença entre zeros de um sistema SISO e zeros de um sistema MIMO, isto é, diferença entre zeros

35 O teorema de Cayley-Hamilton afirma que uma matriz satisfaz sua equação característica, isto é, se 𝐴 é uma matriz 𝑛 × 𝑛 com polinômio característico 𝑓(𝜆) = 𝜆^𝑛+ 𝑎₁𝜆^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎_𝑛−1𝜆 + 𝑎_𝑛, então 𝐴^𝑛+ 𝑎1𝐴^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝐴 + 𝑎𝑛𝐼𝑛= 0. (KOLMAN, 1999, p.265)

da FT e zeros de transmissão, o autor define o que é um zero de transmissão e ensina como fazer o cálculo deste. O cálculo dos zeros de transmissão de um sistema LIT consiste, segundo o autor, em um problema denominado de “Autovalor Generalizado”, cuja solução não trivial fornece o valor dos zeros de transmissão do sistema. No Quadro 19, segue a definição de Autovalor Generalizado apontada pelo autor.

Quadro 19: Definição de Autovalor Generalizado

Fonte: Material didático escrito pelo professor Carlos

O Capítulo 8 é denominado “Transformação Linear”. Neste capítulo, o autor menciona que dado um sistema LIT com um dado vetor de estados pode-se transformá-lo em um outro sistema LIT equivalente com outro vetor de estados, sem alterar sua dinâmica, aplicando-se uma Transformação Linear. As saídas e entradas do sistema não se alteram com a Transformação Linear, somente os estados mudam.

O autor ainda salienta que por meio de uma Transformação Linear, um sistema LIT, pode ser escrito na forma diagonal que também é conhecida na área de Teoria de Controle por Forma Modal. Posteriormente, o autor ensina como obter a matriz na forma diagonalizada.

Por fim, no Capítulo 8, o autor destaca que a FT do sistema original e do sistema equivalente (diagonalizado) é a mesma, pois a Transformação Linear não altera as entradas e saídas do sistema e a FT fornece somente relação entre entrada e saída de um sistema. Neste capítulo, o professor Carlos propõe um exercício um pouco mais contextualizado, como pode ser observado, no Quadro 20, a seguir.

Quadro 20: Exercício avião F8

Fonte: Material didático escrito pelo professor Carlos

Com este exemplo podemos perceber que embora esse exercício seja mais contextualizado as informações são dadas de maneira direta, não se discute a modelagem do sistema e nem o contexto envolvido. Também já traz de maneira direta

quem são as variáveis de entrada, saída e estado e já apresenta o sistema aos alunos de forma linearizada e pede-se entre outras coisas para determinar os autovalores e autovetores para se decidir sobre a estabilidade do sistema. Este exercício ao nosso entendimento teria potencial para ser adaptado em um Evento Contextualizado.

No Capítulo 9, o autor começa relembrando que existe uma forma modal (forma diagonal) de representar um sistema. Menciona, que um modo dinâmico de um sistema é representado pelo autovalor (𝜆_𝑖) e o autovetor (𝑣_𝑖) associado a este, mostrando a importância de se estudar modos dinâmicos de um sistema, uma vez que estes definem o comportamento dinâmico desse sistema. Em seguida, o autor relata alguns critérios sobre o autovalor (𝜆_𝑖) para fazer conclusões sobre a natureza, a estabilidade e o funcionamento desse modo dinâmico e ensina como fazer interpretações físicas sobre essas informações em um exemplo. Para finalizar este capítulo, o autor descreve que para ativar um dos modos dinâmicos do sistema o vetor por meio do qual pode ser representada a condição inicial do sistema é paralelo a um dos autovetores do sistema, dessa forma, somente o modo associado a este autovetor aparecerá na resposta temporal do sistema, algo que pode ser útil quando estamos interessados em saber o que está acontecendo com uma saída específica.

No Capítulo 10, denominado de Controlabilidade e Observabilidade, o professor Carlos relata que nem todas as dinâmicas de um sistema podem ser verificadas pelas saídas do sistema e nem influenciadas pelas entradas do sistema, algo que segundo ele pode ser notado facilmente em termos da FT quando ocorre o cancelamento de um zero com algum polo, fato que não é tão simples de ser observado na forma SS. Em seguida, o professor comenta que dois modelos A e B diferentes que possuem mesma entrada e mesma saída podem possuir funcionalidades diferentes que podem não ser percebidas se analisar a dinâmica do sistema somente pelas entradas e saídas e então diz que para contornar esse problema existem testes para avaliar se um sistema é controlável e observável (fato que só pode ser feito na forma SS, uma vez que a forma FT só analisa entrada e saída do sistema). Em seguida o autor define esses termos e ensina como aplicá-los, finalizando desta forma a análise do material didático escrito pelo professor Carlos.

Agora relataremos, de forma breve, como foram as aulas ministradas pelo professor Carlos na disciplina de Sistemas de Controle II ministrada na quinta série do curso de Engenharia de Controle e Automação.

Essa disciplina é anual, com carga horária total de 80h, ofertadas 100 minutos semanalmente, no ano de 2020 era ofertada às segundas-feiras das 20h50 às 22h30.

Embora essa disciplina seja anual, assistimos somente as aulas referentes ao primeiro semestre de 2020, que são as aulas que contemplam conceitos de Álgebra Linear permeados nessa disciplina. Não podemos deixar de ressaltar que essas aulas ocorreram bem no início da pandemia, foram 3 aulas presenciais e 10 aulas online.

As aulas presenciais foram expositivas, fazendo se o uso de lousa e apresentação da apostila descrita acima, por intermédio de projetor, sempre abordando a teoria e dando exemplos. As aulas online foram ministradas via Blackboard Collaborate³⁶, na qual, o professor compartilhava a tela dele com o material que antes era projetado (apostila dele) e escrevia e grifava sobre este material. No primeiro dia o professor disse que as aulas seriam teóricas e práticas e as aulas práticas seriam usando software Matlab ou Simulink, algo que de certa forma no primeiro semestre acabou não acontecendo, pois o Matlab é um software pago e a IES em pesquisa estava providenciando a utilização deste via acesso remoto (VPN) e, dessa forma, o aluno acessaria uma máquina virtual que possuem vários programas instalados e o Matlab era um desses programas.

Os critérios de avaliação nessa disciplina eram, a princípio, compostos por duas provas semestrais, uma prova substitutiva ao final do curso e duas notas de trabalho, uma por semestre, seguindo a seguinte proporção: 70% da nota era obtida pelas notas das duas provas e 30% era das duas notas de trabalho e a nota de cada trabalho semestral era constituída pela média aritmética dos trabalhos aplicados em cada aula prática. Mas com a pandemia e o curso sendo online acabaram que as notas de trabalhos foram substituídas por resoluções de lista de exercícios e as provas por trabalhos maiores e que teriam que fazer o uso dos softwares, uma vez que este trabalho foi aplicado mais no final do primeiro e segundo semestre e a IES já havia contornado o problema da utilização dos softwares.

A seguir apresentamos o Quadro 21 elaborado com as datas das aulas, conteúdos e comentários breve sobre quais conteúdos foram ministrados.

36 Ferramenta completa de colaboração e webconferência incorporada à plataforma de tecnologia para educação Blackboard.

Quadro 21: Datas das aulas e conteúdos ministrados nas aulas

Data Título da Aula Conteúdos ministrados

17.02 Introdução ao curso Expôs o que a disciplina estuda, qual o propósito desta e quais seriam os critérios de avaliação.

02.03 Representação Espaço dos Estados Explicou o que é o espaço dos estados, como obter a matriz de estado através de exemplos e ensinou como representar um sistema na forma dos SS em diagrama de blocos.

09.03 Introdução ao software Matlab/Simulink Mostrou a interface do Matlab e Simulink e ensinou as ferramentas básicas para começar a utilizar esse software.

16.03 Aula Suspensa Semana que não teve aula para planejar as aulas online.

23.03 Linearização Abordou técnicas para linearizar sistemas dinâmicos e discutiu sobre a validade desses modelos lineares para sistemas não lineares.

30.03 Transformação entre SS e FT Discutiu qual a necessidade de transformar o sistema na forma SS para forma FT e ensinou como transformar sistemas SS para FT.

06.04 Transformação entre SS e FT – parte 2 Fez exemplos de como transformar sistemas na forma SS para TF, ensinou como transformar sistemas na forma TF para SS e fez exercícios

13.04 Polos Recordou o que era polos nas FT e definiu polo

na representação de SS, ensinou como calcular os autovalores e autovetores explicou o que eram modos dinâmicos do sistema.

27.04 Polos e Resposta Temporal Relatou um pouco sobre como interpretar os modos dinâmicos, isto é, como interpretar os autovalores e autovetores em um problema físico e fez exemplos. Começou a introduzir os conceitos de resposta temporal, falando sobre solução homogênea de exponencial de matriz e de como calcular essa exponencial de matriz de três formas diferentes.

04.05 Resposta Temporal Recordou os conceitos introduzidos na aula anterior, discutiu qual método para resolver exponencial de matriz é melhor dependendo do interesse e das informações que se tem e das informações que se deseja obter, falou sobre solução forçada e finalizou a aula com exercícios.

11.05 Zeros de Transmissão Recordou a definição de zeros de sistemas SISO em FT, comentou da complexidade de se obter zeros de sistema MIMO, comentou que em sistemas MIMO zero de cada FT não é necessariamente o zero do sistema MIMO que são denominados zeros de transmissão. Definiu zeros de transmissão e ensinou como calcular estes e por fim, comentou sobre problema de autovalor generalizado.

18.05 Análise Modal Ensina a representar um sistema da forma SS na forma modal/diagonal (nem sempre existirá, depende se todos os autovalores da matriz de estado serão distintos), em seguida explica como analisar a resposta temporal da forma modal e por fim, resolve exercícios desse conteúdo.

01.06 Análise Modal, Controlabilidade e Observabilidade

Ensina que as respostas temporais dos estados do sistema na forma diagonal ou modal representam as respostas temporais e individuais de cada modo dinâmico do sistema e explica como calcular e analisar essas respostas

individuais dos modos dinâmicos. Comenta que os estados de um sistema podem ser obtidos da combinação linear dos modos do sistema. Por fim, começa a introduzir a ideia de controlabilidade e observabilidade.

08.06 Controlabilidade e Observabilidade Define os conceitos de observabilidade e controlabilidade, explica como representar um sistema na forma SS na forma controlável e observável e também como decidir se um sistema é observável ou controlável (técnicas que envolvem posto de matrizes).

15.06 Trabalho Tirou dúvidas referente ao trabalho proposto 22.06 Trabalho Tirou dúvidas referente ao trabalho proposto Fonte: dados da pesquisa

Este material foi o primeiro contato que tivemos com esta teoria e este ajudou-nos a ter um pouco da noção do que é estudado na disciplina de Sistema de Controle II, situando-nos com a linguagem utilizada na área e, além disso, familiarizou-nos com os conceitos básicos da área de Controle. Esta apostila é bem sucinta (o que concordamos que é a intenção mesmo de uma apostila), aborda os conceitos matemáticos com bastante rigor, porém com uma linguagem simples, o que na nossa opinião cumpre o papel desta disciplina cujo objetivo não é o ensino de Matemática e sim utilizá-la como uma ferramenta.

Um fato que nos chamou a atenção foi a falta de um pouco mais de discussão sobre como fazer as interpretações dessa teoria em problemas mais aplicados na área do futuro engenheiro de Controle e Automação, uma vez que esta disciplina é lecionada no último ano do curso. E ao nosso ver, também achamos que poderia ser explorado um pouco mais a modelagem dos problemas (que na maioria dos exercícios vem com a modelagem pronta), embora hoje sabemos que existem outras disciplinas anteriormente (Modelagem de Sistemas Dinâmicos e Sistema de Controle I) que pelo que percebemos a primeira é uma disciplina que se discute como deduzir esses modelos e a segunda aborda os conceitos físicos e interpretações de alguns dos conceitos, por exemplo de polos e zeros, e estes possuem as mesmas interpretações na forma SS, talvez por este motivo este fato não é tão explorado nesta disciplina.

A seguir, faremos uma descrição e análise do livro “Engenharia de Controle Moderno” do autor Katsuhiko Ogata³⁷.

37 OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.