Desigualdades de Lyapunov-Metzler - Análise de estabilidade e desempenho H2 de sistemas do tipo

πji ≥ 0, j 6= i, e somada para todo j 6= i, j ∈ K, fornece

X j6=i∈K πjix′Pjx ≥ X j6=i∈K πjix′Pix ≥ −πiix′Pix (3.7) indicando que x(t)′ X j∈K πjiPj ! x(t) ≥ 0 (3.8)

e, portanto, D+_{v(x(t)) < 0, o que prova que a origem do sistema (3.1) ´e globalmente assintoti-}

camente est´avel.

Este resultado assegura a estabilidade do sistema mesmo que todos os subsistemas sejam inst´aveis. De fato, reescrevendo a condi¸c˜ao (3.5) como

Ai+ πii 2 I ′ Pi+ Pi Ai+ πii 2 I + X j6=i∈K πjiPj < 0, i ∈ K (3.9)

conclu´ımos que uma condi¸cão necessária para a factibilidade é que (Aii+ (πii/2)I) seja Hurwitz,

pois P

j6=i∈KπjiPj ≥ 0. Consequentemente, como πii ≤ 0 ∀i ∈ K, nenhuma propriedade de

estabilidade é exigida das matrizes Ai, ∀i ∈ K. Infelizmente, estas desigualdades são não convexas

devido ao produto das vari´aveis matriciais {Π, Pi} e, portanto, dif´ıceis de resolver. Entretanto,

para um número pequeno de subsistemas, é poss´ıvel realizar uma busca com rela¸cão aos elementos da matriz Π que, uma vez conhecida, torna a condi¸cão (3.5) uma LMI sendo de fácil solu¸cão. Uma outra maneira de resolvê-la, discutida em (Geromel & Colaneri, 2006), é restringir as matrizes de Metzler a uma subclasse com os mesmos elementos na diagonal principal. Neste caso, as condi¸cões são mais conservadoras, mas podem ser resolvidas facilmente através de uma busca unidimensional e a solu¸cão de LMIs. Estas desigualdades são conhecidas e já foram generalizadas para levar em conta projeto de filtros e de reguladores via realimenta¸cão de estado e de sa´ıda, veja (Geromel & Deaecto, 2009), (Deaecto et al., 2010) e (Deaecto et al., 2011) como alguns exemplos.

3.2 Desigualdades de Lyapunov-Metzler

Esta se¸cão é dedicada à obten¸cão de condi¸cões de existência para as desigualdades de Lyapunov- Metzler. O próximo lema baseia-se nestas desigualdades e apresenta uma nova e alternativa

3.2. Desigualdades de Lyapunov-Metzler

condi¸c˜ao de estabilidade.

Lema 3.2 Suponha que existam uma matriz P > 0, matrizes sim´etricas Wi para todo i ∈ K, e

uma matriz de Metzler Π ∈ M satisfazendo as desigualdades A′

iP + P Ai+

j∈K

πjiWj < 0, i ∈ K (3.10)

Utilizando a fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao σ(t) = u(x(t)) com u(x) = arg min

i∈K x ′_W

ix (3.11)

o sistema (3.1) é globalmente assintoticamente estável. Ademais, a fun¸cão v(x) = x′_{P x é uma}

fun¸c˜ao de Lyapunov para o sistema em considera¸c˜ao.

Prova: _{A prova segue do Lema 3.1 adotando a matriz de Metzler Π(µ) = µΠ ∈ M com Π ∈ M} e µ ≥ 0. Procuramos por uma solu¸c˜ao fact´ıvel de (3.5) com a estrutura Pi = P + µ−1Wi, sendo

P > 0 e Wi sim´etrica para todo i ∈ K. Desta forma (3.5) torna-se

A′_i(P + µ−1Wi) + (P + µ−1Wi)Ai+ N

j=1

µπji(P + µ−1Wj) < 0 (3.12)

Fazendo µ → ∞ temos que Pi → P e P_j∈Kπji(µ)Pj = P_j∈KπjiWj, i ∈ K, o que implica que

(3.5) se reduz a (3.10) quando µ tende ao infinito. Ademais, utilizando a mesma escolha de vari´aveis e para µ → ∞ temos

u(x) = arg min

i∈K x ′_P ix = arg min i∈K x ′_W ix (3.13)

concluindo, assim, a prova.

Vale ressaltar que a desassocia¸cão da fun¸cão de comuta¸cão σ(t) = u(x(t)) com a fun¸cão de Lyapunov v(x) é uma caracter´ıstica importante do Lema 3.2 que não está presente no Lema 3.1. Nosso objetivo neste momento é obter condi¸cões equivalentes expressas em termos de um único subsistema. O teorema a seguir, dispon´ıvel em (Geromel & Deaecto, 2014), é essencial para esta finalidade.

Teorema 3.1 Considere que as matrizes sim´etricas Qi ∈ Rnx×nx para todo i ∈ K s˜ao dadas. As

3.2. Desigualdades de Lyapunov-Metzler

a) Existem matrizes Wi > 0, i ∈ K, e uma matriz de Metzler Π ∈ M satisfazendo

Qi+

j∈K

πjiWj < 0, i ∈ K (3.14)

b) Existem matrizes Ri, i ∈ K, e ν ∈ Λ satisfazendo Rν = 0 e

Qi+ Ri < 0, i ∈ K (3.15)

Prova: _{Supondo que a afirma¸c˜ao a) ´e verdadeira, fazendo R}_i ₌P

j∈KπjiWj para todo i ∈ K ´e

evidente que a desigualdade (3.15) ´e verificada. Ademais, escolhendo ν ∈ Λ como o autovetor as- sociado ao autovalor nulo de Π ∈ M temosP

i∈Kπjiνi = 0 para cada j ∈ K. Consequentemente,

temos Rν = X i∈K νi X j∈K πjiWj = X j∈K X i∈K πjiνi ! Wj = 0 (3.16)

e, portanto, a afirma¸cão b) é verdadeira. Por outro lado, assumindo que a afirma¸cão b) é verdadeira e adotando Π = −I + νe′ _{∈ M com e}′ _{= [1 · · · 1] ∈ R}N _obtemos

X j∈K πjiWj = X j∈K νjWj− Wi, i ∈ K (3.17)

Logo, precisamos encontrar Wi tal que Pj∈KνjWj − Wi = Ri para cada i ∈ K. Uma poss´ıvel

solu¸c˜ao ´e

Wi = WN + (RN − Ri), i ∈ K (3.18)

De fato, considerando que Rν = 0, obtemos

X j∈K νjWj− Wi = − X j∈K νjRj+ Ri = Ri

para cada i ∈ K. Finalmente, fazendo WN > 0 grande o suficiente, a determina¸c˜ao de Wi em

(3.18) fornece Wi > 0 para todo i ∈ K, e a prova est´a conclu´ıda.

Ambas as desigualdades s˜ao n˜ao-convexas. Entretanto, a desigualdade (3.15) parece ser mais simples de resolver, visto que, para ν ∈ Λ dado, elas tornam-se LMIs. Utilizando este resultado,

3.2. Desigualdades de Lyapunov-Metzler

o pr´oximo lema apresenta condi¸c˜oes equivalentes ao Lema 3.2.

Lema 3.3 Suponha que existam uma matriz P > 0, matrizes sim´etricas Ri e ν ∈ Λ satisfazendo

Rν = 0 e as LMIs

A′_iP + P Ai+ Ri < 0, i ∈ K (3.19)

Utilizando a fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao σ(t) = u(x(t)) com u(x) = arg max

i∈K x ′_R

ix (3.20)

o sistema (3.1) ´e globalmente assintoticamente est´avel.

Prova: _{A prova segue diretamente do resultado do Teorema 3.1 e a regra de comuta¸c˜ao vem da}

aplica¸c˜ao da solu¸c˜ao (3.18) em (3.13).

Este lema nos permite obter condi¸c˜oes de estabilidade expressas em termos de um ´unico subsistema como apresentado no teorema seguinte.

Teorema 3.2 As condi¸c˜oes de estabilidade apresentadas nos Lemas 3.2 e 3.3 s˜ao fact´ıveis se e somente se existir ν ∈ Λ tal que Aν seja Hurwitz.

Prova: _{Como as condi¸cões dos Lemas 3.2 e 3.3 são equivalentes, podemos provar o teorema} para apenas uma das condi¸cões. Logo, considere que a desigualdade (3.19) é verificada para uma matriz P > 0 e Rν = 0. Logo, multiplicando cada desigualdade de (3.19) por νi ≥ 0 e somando

para todo i ∈ K, obtemos A′

νP + P Aν < 0 o que implica que a matriz Aν ´e Hurwitz. Para provar

a necessidade, suponha que a matriz Aν ´e Hurwitz. Assim, existe P > 0 e uma matriz arbitr´aria

S > 0 satisfazendo A′

νP + P Aν = −S. Esta igualdade pode ser reescrita como Rν = 0 com

−Ri = A′iP + P Ai+ S, onde eliminando S > 0 torna-se A′iP + P Ai+ Ri < 0 para cada i ∈ K,

concluindo, assim, a prova.

Dado que os Lemas 3.2 e 3.3 são casos particulares do Lema 3.1, a existência de ν ∈ Λ tal que Aν seja Hurwitz é uma condi¸cão apenas suficiente para a factibilidade das condi¸cões de

Lyapunov-Metzler. Como veremos no próximo cap´ıtulo, o resultado do Teorema 3.2 é essencial, para a obten¸cão de um critério de estabilidade para sistemas com comuta¸cão do tipo Lur’e, baseado na resposta em frequência de uma certa combina¸cão convexa das matrizes em espa¸co de estado dos subsistemas. O exemplo a seguir compara as condi¸cões apresentadas no Lema 3.1 e no Teorema 3.2.

3.2. Desigualdades de Lyapunov-Metzler

0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 α β

Figura 3.2: Regi˜ao de factibilidade - Exemplo 3.1

Exemplo 3.1 Considere o sistema linear com comuta¸c˜ao (3.1), extra´ıdo de (Hu et al., 2008) e definido pelas matrizes

A1 =    −3 −6 3 2 _{2 −3} α _{0 −2}   , A2 =    1 3 3 β −3 −3 0 _{0 −2}    (3.21)

Variamos os parˆametros α e β nos intervalos [0.5, 2] e [−2, 1], respectivamente, e analisamos a factibilidade das desigualdades de Lyapunov-Metzler apresentadas no Lema 3.1 para

Π = " −p q p −q # (3.22)

com (p, q) pertencentes à caixa [0, 20] × [0, 20]. Na Figura 3.2, a região predominante em cinza claro apresenta pontos (α, β) para os quais existe uma combina¸cão convexa estável das matrizes dos subsistemas. Portanto, de acordo com o Teorema 3.2 as condi¸cões dos Lemas 3.2 e 3.3 são satisfeitas e, consequentemente, as desigualdades de Lyapunov-Metzler são válidas. A região mais escura indica pontos para os quais as desigualdades de Lyapunov-Metzler são fact´ıveis, mas não existe uma combina¸cão convexa estável das matrizes dos subsistemas. Em particular, para o ponto (α, β) = (1.0, −0.9) em destaque, temos que as matrizes

3.3. Considera¸c˜oes do Cap´ıtulo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t x (t ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1 2 t σ (t )

Figura 3.3: Trajetória dos estados e fun¸cão de comuta¸cão - Exemplo 3.1

P1 =    3.6048 8.0420 _−6.7034 8.0420 _{34.4956 −33.0632} −6.7034 −33.0632 34.3784   , P2 =    4.6089 4.6781 _−0.4977 4.6781 _{11.6580 −12.0200} −0.4977 −12.0200 22.7412    (3.23)

satisfazem as desigualdades de Lyapunov-Metzler para Π com (p, q) = (1.86, 1.79) e são impor- tantes para a implementa¸cão da fun¸cão de comuta¸cão (3.3). A Figura 3.3 apresenta as trajetórias do estado, partindo de x0 = [3 0 0]′, e a fun¸cão de comuta¸cão obtida. Podemos notar a ocorrên-

cia de modos deslizantes estáveis, mesmo sem a existência de combina¸cão convexa estável das matrizes Ai, i ∈ {1, 2}. Este fato será estudado com maiores detalhes em trabalhos futuros.

3.3 Considera¸c˜oes do Cap´ıtulo

Neste cap´ıtulo fizemos uma breve introdu¸cão sobre sistemas com comuta¸cão e apresentamos condi¸cões para o projeto de uma fun¸cão de comuta¸cão estabilizante. Estas condi¸cões são chamadas de desigualdades de Lyapunov-Metzler e são conhecidas da literatura, onde já foram generalizadas para tratar diversas aplica¸cões, como o projeto de filtros e de controlares via realimenta¸cão de estado e de sa´ıda. No nosso contexto, apresentamos vários resultados preliminares relacionados às condi¸cões de existência destas desigualdades, os quais nos permitirão generalizar o Critério do C´ırculo e o Critério de Popov para sistemas com comuta¸cão, temas que serão abordados no próximo cap´ıtulo.

CAP´ITULO

4

Sistemas com Comuta¸c˜ao do Tipo Lur’e

Com base na teoria desenvolvida anteriormente, estamos em condi¸cões de obter os principais resultados desta disserta¸cão. Eles consistem em determinar critérios de estabilidade baseados no dom´ınio da frequência, levando em conta a otimiza¸cão de desempenho H2 de sistemas com comu-

ta¸cão do tipo Lur’e. Este cap´ıtulo completa os resultados recentes de (Geromel & Deaecto, 2014) que trata exclusivamente de estabilidade, sendo que nossa principal contribui¸cão, como obser- vado em (Suto & Deaecto, 2014) e (Deaecto & Suto, accepted), é introduzir o cálculo do custo garantido H2 no critério generalizado de Popov. Como passo inicial, generalizamos o critério do

c´ırculo e fornecemos uma fun¸cão de comuta¸cão estabilizante dependente do estado que assegura um desempenho H2 para o sistema em malha fechada. Infelizmente, utilizando a mesma fun¸cão

de comuta¸cão não é poss´ıvel generalizar o célebre critério de Popov. O ponto chave para esta generaliza¸cão é adotar uma nova fun¸cão de comuta¸cão que depende não-somente do estado, mas também da entrada externa. Gra¸cas a esta fun¸cão, é poss´ıvel obter um método gráfico baseado na resposta em frequência de uma certa fun¸cão de transferência obtida a partir da combina¸cão convexa das matrizes em espa¸co de estado dos subsistemas.

4.1 Formula¸c˜ao do Problema

Considere um sistema com comuta¸c˜ao do tipo Lur’e com a realiza¸c˜ao no espa¸co de estado

˙x = Aσx + Bσq + Hσw, x(0) = 0 (4.1)

p = Cσx + Dσq (4.2)

z = Eσx + Fσq (4.3)

4.1. Formula¸c˜ao do Problema

Neste sistema, o vetor x ∈ Rnx _{´e o estado, q ∈ R}nq _{e w ∈ R}nw _{s˜ao as entradas e p ∈ R}nq _{e z ∈ R}nz

s˜ao as sa´ıdas. Supomos que w ∈ Rnw ´e uma entrada externa do tipo impulsiva w(t) = δ(t)e

sendo ek a k-ésima coluna da matriz identidade de ordem nw× nw. A fun¸cão de comuta¸cão σ(t)

seleciona a cada instante de tempo t ≥ 0 um dos subsistemas dentre aqueles pertencentes ao conjunto K = {1, . . . , N}.

E importante notar que os vetores de entrada q e de sa´ıda p possuem a mesma dimensão e são, na verdade, variáveis internas que expressam a dependência do sistema com a não-linearidade φ(·) : Rnq _{→ R}nq _{pertencente ao setor [0, κ] para algum κ > 0. Mais especificamente, a não-}

linearidade ´e da forma φ(ξ) = [φ1(ξ1) · · · φm(ξm)]′ onde cada componente satisfaz a condi¸c˜ao de

setor (φi(ξi) −κξi)φi(ξi) ≤ 0 para todo ξi ∈ R e i ∈ K. Consequentemente, qualquer fun¸c˜ao desta

classe ´e tal que (φ(ξ) − κξ)′_{φ(ξ) ≤ 0 para ξ ∈ R}nq_{. Ademais, como usualmente, admitimos que}

para x ∈ Rnx dado, a equa¸c˜ao n˜ao-linear p + D

iφ(p) = Cix possui uma ´unica solu¸c˜ao para cada

i ∈ K. Note que esta hipótese é válida sempre que Di = 0, ∀i ∈ K. Para facilitar a nota¸cão,

assumimos que o conjunto de todas as não-linearidades que satisfazem estas restri¸cões algébricas é denotado por Φ. Note que para w = 0 e φ(0) = 0 ∈ Φ temos que x = 0 é o ponto de equil´ıbrio do sistema (4.1)-(4.4).

Nosso objetivo é determinar uma fun¸cão de comuta¸cão dependente do estado σ(t) = u(x(t)) de tal forma a assegurar estabilidade assintótica global da origem para todo φ ∈ Φ e um ´ındice de desempenho H2 definido como

J2(σ) = nw

k=1

kzkk22 (4.5)

sendo a sa´ıda controlada zk(t) correspondente `a entrada w(t) = δ(t)ek com o impulso aplicado

no k-ésimo canal. Podemos notar que para φ(·) = 0, ∀t ≥ 0 e σ(t) = i, ∀t ≥ 0 fixo, este ´ındice se iguala à norma H2 ao quadrado do i-ésimo subsistema estável correspondente. Por ser

extremamente dif´ıcil de calcular, devido `a sua natureza n˜ao-linear e variante no tempo, vamos considerar um limitante superior adequado do mesmo.

Nas se¸c˜oes seguintes apresentamos crit´erios de estabilidade e desempenho H2 baseados no

dom´ınio da frequência que nos permitem generalizar o critério do c´ırculo e de Popov para sistemas com comuta¸cão do tipo Lur’e. Mais especificamente, apresentamos condi¸cões que asseguram a existência de uma fun¸cão de comuta¸cão estabilizante dependente do estado e, posteriormente, mostramos como construir uma nova fun¸cão que depende simultaneamente do estado e da entrada externa viabilizando, assim, a generaliza¸cão do critério de Popov.

No documento Análise de estabilidade e desempenho H2 de sistemas do tipo Lur'e com comutação (páginas 30-38)