Análise de estabilidade e desempenho H2 de sistemas do tipo Lur'e com comutação

(1)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Alan Pereira Suto

An´

_{alise de Estabilidade e Desempenho H}

2

de Sistemas

do Tipo Lur’e com Comuta¸c˜

ao

55/2015

Campinas, SP 2015

(2)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

Alan Pereira Suto

Engenheiro Mecˆanico - FEG/UNESP (2011)

An´

_{alise de Estabilidade e Desempenho H}

2

de Sistemas

do Tipo Lur’e com Comuta¸c˜

ao

Disserta¸cão de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Cam-pinas como parte dos requisitos exigidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica, na Área de Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico.

Orientadora: Profa. Dra. Grace Silva Deaecto

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE `A VERS ˜AO

FI-NAL DA DISSERTA ¸C ˜AO DEFENDIDA PELO ALUNO

ALAN PEREIRA SUTO, E ORIENTADA PELA PROFA. DRA. GRACE SILVA DEAECTO.

Campinas, SP 2015

(3)

Ficha catalogr´afica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da ´Area de Engenharia e Arquitetura Elizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098

Suto, Alan Pereira,

1989-S966a An´alise de estabilidade e desempenho H2 de sistemas do tipo Lur’e com

comuta¸c˜ao / Alan Pereira Suto. - Campinas, SP: [s.n.], 2015. Orientador: Grace Silva Deaecto.

Disserta¸c˜ao (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecˆanica.

1. Sistemas com Comuta¸cão. 2. Sistemas de Controle por Realimenta¸cão. 3. Sistemas Não-Lineares. I. Deaecto, Grace Silva, 1983-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. T´ıtulo.

Informa¸c˜oes para Biblioteca Digital

T´ıtulo em outro idioma: Stability analisys and H2 performance optimization of Lur’e type

switched systems

Palavras-chave em Inglˆes: Switched Systems

Feedback Control Systems Nonlinear Systems

´

Area de concentra¸cão: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titula¸cão: Mestre em Engenharia Mecânica

Banca Examinadora:

Grace Silva Deaecto [Orientador] Janito Vaqueiro Ferreira

Liu Hsu

Data da defesa: 29-05-2015

(4)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

COMISS ÃO DE P ÓS-GRADUA ¸C ÃO EM ENGENHARIA MEC ÂNICA

DEPARTAMENTO DE MEC ˆANICA COMPUTACIONAL

DISSERTA ¸C ˜AO DE MESTRADO ACADˆEMICO

An´

_{alise de Estabilidade e Desempenho H}

2

de Sistemas

do Tipo Lur’e com Comuta¸c˜

ao

Autor: Alan Pereira Suto

Orientadora: Grace Silva Deaecto

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Disserta¸c˜ao:

(5)

Dedico este trabalho `a minha fam´ılia,

que sempre me deu apoio em todas as

minhas escolhas e que atrav´es da uni˜ao

e do amor me permitiu forjar todas as

qualidades do meu car´ater

(6)

Agradecimentos

Com muita alegria dedico este pequeno espa¸co para expressar a imensurável gratidão que tenho por todos aqueles que foram indispensáveis para a minha forma¸cão profissional.

Primeiramente agrade¸co a Deus por me iluminar e guiar meu caminho pelo labirinto tortuoso que chamamos de vida. À minha fam´ılia, que me ensinou não só o que é bondade como também o que significa ser parte de algo maior. Em especial aos meus pais Edson e Inizeth pelo amor infinito, pelo apoio incondicional, pela fé que sempre têm em mim e por tudo que puderam me ensinar ao longo desta jornada. Devo agradecer ao meu irmão Renan que apesar de ser mais novo me permitiu aprender muito com o seu crescimento e com o ato de ensinar-lhe o que eu julgava ideal.

Agrade¸co a minha orientadora Grace S. Deaecto por sua contribui¸cão imensurável para o desenvolvimento da minha forma¸cão, sem o qual a cria¸cão deste trabalho seria praticamente imposs´ıvel. Sua dedica¸cão aos seus alunos e à pesquisa são admiráveis e muitas vezes cativantes, não só estes conceitos como também sua dedica¸cão aos assuntos que são de suma importância a faculdade e sua pol´ıtica a tornam uma professora exemplar. Ela me mostrou também o quanto pode existir por trás de alguém e em diversas ocasiões demonstrou ser uma grande amiga e por isso dedico este paragrafo a ela.

Não devo deixar de agradecer a minha amada Aline B. O. Moré por seu apoio nesta fase importante da minha vida e por estar sempre ao meu lado me dando carinho e valiosos conse-lhos. Também agrade¸co aos meus colegas do grupo de pesquisa: Guilherme Cavalari, Fernando Casanova e Lucas Eg´ıdio, os quais me mostraram a vida de ângulos novos e que além de me fornecer valiosos conselhos para o meu trabalho me ensinaram coisas que levarei para a vida.

Recordo também dos meus amigos Nilson, Lucas, Caetano, Danilo, Dani, Tyminski, Carlos e Leonardo por todos os momentos de discussões acadêmicas acirradas e outras não tão acadêmicas que foram momentos de lazer valiosos. Agrade¸co também aos meus amigos de fora da faculdade Carolina, Michele, Luciano, Adonai, Murilo, Carol, Rafael, Ramon, Astarte e muitos outros que não citei, mas certamente estão no meu cora¸cão, agrade¸co a eles por todo os momentos de lazer aos quais me permitiram descansar desta árdua jornada e retornar para os dias de pesquisa renovado.

Por fim, agrade¸co ao Fundo de Apoio ao Ensino, `a Pesquisa e Extens˜ao, FAEPEX por ter me dado esta valiosa oportunidade, por ter acreditado no meu potencial cient´ıfico e pelo apoio financeiro durante o mestrado.

(7)

Não se pode aprender nada de uma li¸cão que não

seja acompanhada por dor, j´a que n˜ao se pode

conseguir nada sem um sacrif´ıcio. Mas quando

vocˆe aguenta essa dor e a supera, as pessoas

conseguem um cora¸c˜ao forte que n˜ao perde para

nada. Sim, um cora¸c˜ao de a¸co.

(8)

Resumo

SUTO, Alan Pereira. An´alise de Estabilidade e Desempenho H2 de Sistemas do Tipo Lur’e com

Comuta¸cão, Campinas: Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campi-nas, 2015. 58 p. Disserta¸cão (Mestrado).

Esta disserta¸c˜ao trata do controle H2 de sistemas com comuta¸c˜ao do tipo Lur’e baseado no

critério generalizado de Popov. Mais especificamente, uma nova regra de comuta¸cão dependente do estado e da entrada externa é proposta de tal forma a assegurar estabilidade assintótica global e um custo garantido H2de desempenho. Esta nova estratégia de comuta¸cão é o ponto chave para

a generaliza¸cão do célebre critério de Popov. Como no caso de sistemas invariantes no tempo, propomos um teste de estabilidade baseado no dom´ınio da frequência expresso em termos de uma certa combina¸cão convexa das matrizes de espa¸co de estado dos subsistemas. Ademais, este teste leva em conta a inclusão de um ´ındice de desempenho H2 cujo estudo, no presente contexto, é

inédito na literatura. Os resultados teóricos obtidos são aplicados no controle de uma suspensão semi-ativa automotiva evidenciando a validade e a eficiência da fun¸cão de comuta¸cão proposta.

Palavras-chave: Sistemas com Comuta¸c˜ao, Sistemas do Tipo Lur’e, Crit´erio de Popov, LMI e Desempenho H2 .

(9)

Abstract

SUTO, Alan Pereira. Stability Analisys and H2 Performance Optimization of Lur’e Type

Swit-ched Systems, Campinas: School of Mechanical Engineering, University of Campinas, 2015. 58 p. Master’s Thesis.

This Master’s dissertation deals with H2 control design of Lur’e-type switched systems based

on the generalized Popov criterion. More specifically, a novel state-input dependent switching rule is proposed in order to assure global asymptotic stability and an H2 guaranteed cost. This

new switching strategy is the key issue to generalize the celebrated Popov criterion. Likewise the case of time invariant systems, we propose a frequency domain stability test that is expressed in terms of a certain convex combination of the subsystems state space matrices. Moreover, this test takes into account an H2 performance index whose study, in the present context, is new in the

literature. The theoretical results are used to the control design of a car semiactive suspension and to put in evidence the validity and the efficiency of the proposed switching function.

Keywords: Switched System, Lur’e Type Systems, Popov Criterion, LMI and H2

(10)

Lista de Figuras

2.1 Esquema de um sistema do tipo Lur’e . . . 12

2.2 Fun¸c˜ao n˜ao-linear no setor [0, κ] . . . 13

3.1 Sistemas com comuta¸c˜ao . . . 15

3.2 Regi˜ao de factibilidade - Exemplo 3.1 . . . 21

3.3 Trajetória dos estados e fun¸cão de comuta¸cão - Exemplo 3.1 . . . 22

4.1 Crit´erio do C´ırculo - Exemplo Ilustrativo . . . 36

4.2 Crit´erio de Popov - Exemplo Ilustrativo . . . 37

4.3 N˜ao-linearidade no setor - Exemplo Ilustrativo . . . 38

4.4 Trajetória dos estados e fun¸cão de comuta¸cão - Exemplo Ilustrativo . . . 39

5.1 Esquema de uma suspens˜ao semi-ativa . . . 41

5.2 Fun¸c˜ao n˜ao-linear da mola . . . 43

5.3 Custo garantido H2 em decib´eis em fun¸c˜ao de kmin . . . 46

5.4 Acelera¸cão do chassi e fun¸cão de comuta¸cão . . . 47

5.5 Acelera¸cão do chassi e potência de atenua¸cão . . . 48

(11)

Lista de S´ımbolos

I - Matriz identidade.

F (s) - Transformada de Laplace da fun¸c˜ao f (t).

L(f(t)) - Operador transformada de Laplace aplicado `a fun¸c˜ao f (t).

L−1_{(F (s))} _{- Operador transformada de Laplace inversa aplicado `a fun¸c˜ao F (s).}

D{F (s)} - Dom´ınio da transformada de Laplace F (s). σ{F (s)} - Valor singular da fun¸c˜ao de transferˆencia F (s).

N _{- Conjunto dos n´}_{umeros naturais.}

R _{- Conjunto dos n´}_{umeros reais.}

R+ _{- Conjunto dos n´}_{umeros reais não negativos.} Rm×n _{- Conjunto das matrizes reais de dimensão m × n.} Cm×n _{- Conjunto das matrizes complexas de dimensão m × n.}

K _{- Conjunto {1, · · · , N}.}

U′ _{- Transposto da matriz real U.}

U(jω)∗ _{- Conjugado da matriz complexa U(jω).}

U(jω)∼ _{- Conjugado transposto da matriz complexa U(jω).}

Re(U(jω)) - Parte real da fun¸cão de variável complexa U(jω). Im(U(jω)) - Parte imaginária da fun¸cão de variável complexa U(jω) U ≥ (>)0 - Matriz U simétrica e semi-definida (definida) positiva. U ≤ (<)0 - Matriz U simétrica e semi-definida (definida) negativa. diag{U, V } - Matriz bloco diagonal formada pelas matrizes U e V .

Tr(U) - Tra¸co da matriz quadrada U.

• - Bloco sim´etrico de uma matriz sim´etrica.

Λ _{- Simplex unit´ario Λ = {λ ∈ R}N _{: λ}

j ≥ 0 , PN_j=1λj = 1}.

Uλ - Combina¸c˜ao linear de matrizes de mesma dimens˜ao Uλ =PNj=1λjUj.

M - Matriz de Metzler Π = {πij} ∈ RN ×N tal que πij ≥ 0, i 6= j, e PN_j=1πji = 0.

Ppi - Combina¸c˜ao linear Ppi =PNj=1πjiPj, com Pj > 0 para todo j ∈ K.

kξk2

2 - Quadrado da norma de uma trajet´oria ξ(t) igual a

R∞

0 ξ(t)

′_ξ(t)dt.

L2 - Conjunto de todas as trajet´orias ξ(t) tais que kξk22 < ∞.

(12)

´Indice

Lista de Figuras xvii

Lista de S´ımbolos xix

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Conceitos Fundamentais 4

2.1 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo . . . 4

2.2 Estabilidade de Sistemas Dinˆamicos . . . 5

2.3 Norma H2 . . . 7

2.3.1 C´alculo Atrav´es de Gramianos . . . 7

2.3.2 C´alculo Atrav´es de LMIs . . . 8

2.4 Passividade e Positividade Real . . . 9

2.5 Sistema do Tipo Lur’e . . . 11

2.6 Considera¸c˜oes do Cap´ıtulo . . . 13

3 Sistemas Lineares com Comuta¸c˜ao 14 3.1 Sistema com Comuta¸c˜ao . . . 14

3.2 Desigualdades de Lyapunov-Metzler . . . 17

3.3 Considera¸c˜oes do Cap´ıtulo . . . 22

4 Sistemas com Comuta¸c˜ao do Tipo Lur’e 23 4.1 Formula¸c˜ao do Problema . . . 23

4.2 Crit´erio do C´ırculo Generalizado . . . 25

(13)

4.4 Exemplo Ilustrativo . . . 35

4.4.1 Crit´erio do C´ırculo Generalizado . . . 35

4.4.2 Crit´erio de Popov Generalizado . . . 36

4.4.3 Simula¸c˜ao Num´erica . . . 37

4.5 Considera¸c˜oes Finais do Cap´ıtulo . . . 38

5 Aplica¸cão em um Sistema de Suspensão Semi-Ativa 40 5.1 Modelagem Matemática . . . 40

5.1.1 Identifica¸cão da Fun¸cão Não-Linear da Mola . . . 41

5.1.2 Obten¸c˜ao das Equa¸c˜oes de Estado . . . 43

5.2 Implementa¸c˜ao da Regra . . . 46

5.2.1 Considera¸c˜oes Finais do Cap´ıtulo . . . 49

6 Conclus˜oes e Perspectivas 50 A Apˆendice 55 A.1 Resultados Auxiliares . . . 55

A.1.1 Desigualdades Matriciais Lineares . . . 55

A.1.2 Lema de Kalman-Yakubovich-Popov . . . 56

(14)

CAP´ITULO

1

Introdu¸c˜

ao

Esta disserta¸cão tem como tema principal o estudo de sistemas com comuta¸cão do tipo Lur’e, com enfoque na análise de estabilidade e desempenho H2. A motiva¸cão para este estudo deve-se

ao fato de que grande parte dos sistemas reais apresentam não-linearidades na malha de controle, tais como satura¸cão, zona morta, histerese entre outras e, muitos deles podem ser modelados como sistemas do tipo Lur’e. Além disso, os sistemas com comuta¸cão estão sendo bastante estudados pela comunidade cient´ıfica, devido às suas caracter´ısticas intr´ınsecas que permitem, por exemplo, obter desempenhos melhores dos que outras técnicas de controle dispon´ıveis na literatura.

Sistemas com comuta¸cão constituem uma importante subclasse de sistemas h´ıbridos carac-terizados por apresentar vários subsistemas e uma fun¸cão de comuta¸cão que seleciona a cada instante de tempo um deles. Nesta disserta¸cão, a fun¸cão de comuta¸cão é a variável de controle que deve ser determinada de forma a assegurar estabilidade e desempenho H2. Os livros

(Liber-zon, 2003) e (Sun & Ge, 2005) e os artigos (DeCarlo et al., 2000), e (Shorten et al., 2007) são referências básicas para iniciar o estudo do tema.

Para o caso de sistemas lineares com comuta¸c˜ao a tempo cont´ınuo a literatura apresenta v´arios resultados relacionados ao estudo de estabilidade e desempenho H2 e H∞, veja por exemplo,

(DeCarlo et al., 2000), (Geromel & Colaneri, 2006), (Geromel et al., 2013) e (Hespanha, 2004) bem como sua generaliza¸cão para tratar do projeto de controle via realimenta¸cão de estado (Geromel & Deaecto, 2009), (Ji et al., 2005) e via realimenta¸cão de sa´ıda (Deaecto et al., 2011), (Geromel et al., 2008a).

Devido ao grande sucesso obtido no campo dos sistemas lineares, o interesse no estudo de sistemas não-lineares é crescente como revelam as referências (Aleksandrov et al., 2011), (Colaneri et al., 2008), (Sun & Wang, 2013), (Yang et al., 2009) e (Zhao & Hill, 2008). Dentre os sistemas não-lineares, uma subclasse muito importante é aquela composta por sistemas do tipo Lur’e que possuem o célebre critério de Popov, formulado no dom´ınio da frequência, como o critério mais

(15)

utilizado para a análise de sua estabilidade. A literatura apresenta poucos resultados relacionados ao estudo da estabilidade destes sistemas, sendo (Aleksandrov et al., 2011) e (Sun & Wang, 2013) alguns exemplos. Ambos tratam do caso em que a regra de comuta¸cão é arbitrária e apresentam somente condi¸cões de estabilidade formuladas no dom´ınio do tempo.

Nesta disserta¸cão, generalizamos os resultados recentes de (Geromel & Deaecto, 2014) que trata exclusivamente da análise de estabilidade no dom´ınio da frequência. Nossa contribui¸cão principal é a introdu¸cão de um custo garantido H2 ao critério generalizado de Popov proposto

nesta referência. Como passo inicial, generalizamos o critério do c´ırculo de forma a fornecer condi¸cões de estabilidade e desempenho baseadas na resposta em frequência de uma certa matriz de transferência. Neste caso, é poss´ıvel projetar uma fun¸cão de comuta¸cão dependente do estado para garantir estabilidade e desempenho H2. Infelizmente, este tipo de fun¸cão não pode ser

utilizada para generalizar e introduzir um custo H2 ao crit´erio de Popov. De fato, o ponto chave

para esta generaliza¸cão é utilizar uma fun¸cão de comuta¸cão mais geral que depende também da entrada externa. É importante ressaltar que esta tarefa não é simples pois os sistemas com comuta¸cão são variantes no tempo e não admitem representa¸cão frequencial.

Os resultados teóricos foram utilizados no último cap´ıtulo, que é dedicado ao controle de uma suspensão semi-ativa automotiva considerando a for¸ca da mola uma fun¸cão não-linear obtida através de valores experimentais. Esta aplica¸cão prática comprova a validade da teoria proposta nos cap´ıtulos anteriores e deixa claro a eficiência da fun¸cão de comuta¸cão projetada. Além da aplicabilidade prática, podemos dizer que um dos resultados mais importantes desta disserta¸cão é obter um método simples que, para o caso de sistemas com uma entrada e uma sa´ıda, permite concluir sobre a estabilidade e o desempenho H2 de sistemas mais complexos que são não-lineares

e variantes no tempo através do diagrama de Nyquist e/ou de Popov de uma certa fun¸cão de transferência a ser determinada. O conteúdo aqui descrito está dividido em seis cap´ıtulos organizados como segue:

• Cap´ıtulo 2: Este cap´ıtulo apresenta alguns conceitos clássicos importantes que servem de base para o desenvolvimento do tema proposto. Mais especificamente, o critério de Lyapunov para o estudo de estabilidade, o cálculo da norma H2, bem como passividade,

positividade real e o problema da estabilidade absoluta são tópicos discutidos neste cap´ıtulo. • Cap´ıtulo 3: Inicia com uma breve introdu¸cão dos sistemas lineares com comuta¸cão, apre-senta as desigualdades de Lyapunov-Metzler que são condi¸cões importantes para o projeto de uma fun¸cão de comuta¸cão estabilizante e obtém condi¸cões de existência destas desigual-dades que são resultados essenciais para o próximo cap´ıtulo. O cap´ıtulo é encerrado com um exemplo ilustrativo.

(16)

• Cap´ıtulo 4: Apresenta os principais resultados desta disserta¸cão. Mais especificamente, trata da determina¸cão de critérios de estabilidade no dom´ınio da frequência, levando em conta a otimiza¸cão de desempenho H2 de sistemas com comuta¸cão do tipo Lur’e. Para

tanto primeiramente generalizamos o critério do c´ırculo e, posteriormente, generalizamos o critério de Popov. Esta última generaliza¸cão só foi poss´ıvel gra¸cas ao projeto de uma fun¸cão de comuta¸cão dependente não só do estado como também da entrada externa. Assim, para sistemas com uma entrada e uma sa´ıda, foi poss´ıvel obter um método gráfico baseado na resposta em frequência de uma certa fun¸cão de transferência, que nos permite concluir sobre a estabilidade desta classe de sistemas. O cap´ıtulo encerra com um exemplo ilustrativo que demonstra a validade dos resultados obtidos.

• Cap´ıtulo 5: Tem como objetivo principal aplicar os conceitos teóricos desenvolvidos para tratar do controle de uma suspensão semi-ativa automotiva. Nesta aplica¸cão prática, te-mos como objetivo minimizar a acelera¸cão vertical do ve´ıculo para aumentar a sensa¸cão de conforto do passageiro. Vale ressaltar que o problema tratado é mais geral e realista pois considera que a for¸ca da mola é não-linear. Desta forma, projetamos uma fun¸cão de comuta¸cão estabilizante que assegura um custo garantido H2 de desempenho.

• Cap´ıtulo 6: Destaca as principais contribui¸c˜oes da disserta¸c˜ao bem como os pontos abor-dados e faz uma breve perspectiva para trabalhos futuros.

(17)

CAP´ITULO

2

Conceitos Fundamentais

Este cap´ıtulo tem por finalidade apresentar alguns conceitos clássicos que são importantes como embasamento teórico para o tema aqui proposto. Inicialmente, discutimos o critério de Lyapunov para o estudo da estabilidade e a norma H2 para a análise do desempenho de

siste-mas lineares invariantes no tempo. Posteriormente, apresentamos os conceitos de passividade e positividade real que são fundamentais para o estudo da estabilidade de sistemas não-lineares do tipo Lur’e. Este estudo será aprofundado durante esta disserta¸cão e generalizado para tratar de sistemas com comuta¸cão.

2.1 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Um sistema linear invariante no tempo pode ser representado pelas seguintes equa¸c˜oes no espa¸co de estado

˙x(t) = Ax(t) + Hw(t), x(0) = 0 (2.1)

z(t) = Ex(t) + Gw(t) (2.2)

onde o vetor x ∈ Rnx _{é o estado, w ∈ R}nw _{é a entrada externa e z ∈ R}nz _{é a sa´ıda controlada.}

As matrizes A, H, E e G possuem dimensões compat´ıveis. A fun¸cão de transferência entre a entrada w e a sa´ıda z é

Hwz(s) = E(sI − A)−1H + G (2.3)

Para G = 0, o sistema é classificado como estritamente próprio, sendo chamado de próprio caso contrário.

(18)

2.2. Estabilidade de Sistemas Dinˆ

amicos

2.2 Estabilidade de Sistemas Dinˆ

amicos

Estabilidade é o primeiro requisito que se deseja atender no projeto de controle de sistemas dinâmicos. O seu conceito está relacionado ao comportamento de um sistema autônomo que, partindo de uma condi¸cão inicial arbitrária, evolui para um ponto de equil´ıbrio. Dentre os critérios de estabilidade existentes vamos apresentar o critério de Lyapunov que é clássico e pode ser encontrado na maioria dos livros de controle, veja por exemplo, (Geromel & Korogui, 2011), (Slotine & Li, 1991), (Vidyasagar, 2002) e (Khalil, 2002). Antes porém, vamos considerar um sistema dinâmico autônomo, e apresentar algumas defini¸cões importantes.

Defini¸c˜ao 2.1 (Ponto de Equil´ıbrio) Ponto de equil´ıbrio ´e definido como sendo o ponto xe ∈

Rnx _{no espa¸co de estado tal que se o sistema partir deste ponto, l´a permanece por todo instante}

de tempo subsequente, ou seja, se x(0) = xe ent˜ao x(t) = xe para todo t ≥ 0.

Defini¸cão 2.2 (Estabilidade Assintótica Global) O ponto de equil´ıbrio xe ∈ Rnx é

global-mente assintoticaglobal-mente estável se, partindo de uma condi¸cão inicial arbitrária x(0) = x0 ∈ Rnx,

o estado x(t) evoluir assintoticamente para o ponto de equil´ıbrio considerado, ou seja, x(t) → xe

quando t → ∞.

De acordo com o critério de Lyapunov o estudo da estabilidade consiste em analisar o com-portamento dinâmico de uma fun¸cão v(x(t)) que mede a distância de um ponto genérico x ∈ Rnx

ao seu ponto de equil´ıbrio xe ∈ Rnx. Se para qualquer condi¸c˜ao inicial x(0) = x0 a fun¸c˜ao

v(x(t)) sempre diminuir no decorrer do tempo tendendo a zero, ent˜ao o ponto de equil´ıbrio xe

é globalmente assintoticamente estável. Por ser do tipo distância, a fun¸cão de Lyapunov deve apresentar as seguintes propriedades, veja (Slotine & Li, 1991) e (Geromel & Korogui, 2011):

• v(x) = 0 para x = xe e v(x) > 0 para todo x 6= xe

• v(x) é diferenciável em rela¸cão a todas as componentes de x ∈ Rnx

O teorema a seguir explicita o critério de Lyapunov para o estudo da estabilidade assintótica global de sistemas dinâmicos.

Teorema 2.1 Considerando um sistema dinˆamico com fun¸c˜ao de Lyapunov v(x), ilimitada para todo x ∈ Rnx _{ilimitado, o ponto de equil´ıbrio x = x}

e ∈ Rnx ´e dito globalmente assintoticamente

est´avel se ˙v(x) < 0 para todo x 6= xe.

Para o sistema linear invariante no tempo ˙x = Ax obtido de (2.1) fazendo w(t) = 0, ∀t ≥ 0, tem-se que, se A é uma matriz não singular, o único ponto de equil´ıbrio é a origem xe= 0. Para

(19)

2.2. Estabilidade de Sistemas Dinˆ

amicos

este sistema a fun¸c˜ao de Lyapunov comumente utilizada na literatura ´e v(x) = x′_{P x com P > 0.}

Aplicando o resultado do Teorema 2.1, temos que o ponto de equil´ıbrio xe = 0 ´e globalmente

assintoticamente est´avel se a desigualdade A′_{P + P A < 0 for satisfeita. De fato, temos}

˙v(x) = ˙x′P x + x′P ˙x = x′(A′P + P A)x

< 0, x 6= 0 (2.4)

Note que para uma matriz 0 < Q ∈ Rnx×nx dada, se for poss´ıvel determinar P > 0 solu¸c˜ao ´unica

da equa¸c˜ao de Lyapunov

A′_{P + P A = −Q} (2.5)

então temos ˙v(x) = −x′_{Qx < 0, ∀x 6= 0. Além de suficiente, a existência de uma solu¸cão}

P > 0 para (2.5) é também necessária para a estabilidade. De fato, como mostrado em (Geromel & Korogui, 2011), assuma que o sistema é assintoticamente estável. Sob esta hipótese, vamos verificar que a solu¸cão

P = Z ∞

0

eA′tQeAtdt (2.6)

é a única solu¸cão da equa¸cão de Lyapunov. Podemos notar facilmente que P é simétrica e, multiplicando (2.6) à direita pelo vetor ξ 6= 0 e à esquerda pelo seu transposto, conclu´ımos que é também definida positiva, uma vez que ξ′_{P ξ > 0 em decorrência do fato de que Q > 0. Além}

disso, temos que (2.6) satisfaz a equa¸c˜ao de Lyapunov, A′_{P + P A =} Z ∞ 0 A′_eA′_t QeAt_{+ e}A′_t QeAt_A_dt = Z ∞ 0 d dt eA′_t QeAt_dt = lim t→∞e A′_t QeAt_{− Q = −Q} (2.7)

pois, por hipótese, o sistema é assintoticamente estável e, portanto, o limite indicado acima tende para zero. O lema a seguir resume os principais pontos discutidos nesta se¸cão.

Lema 2.1 O sistema linear invariante no tempo ˙x = Ax é globalmente assintoticamente estável se e somente se para uma matriz Q > 0 dada, existir uma única matriz P > 0 solu¸cão da equa¸cão de Lyapunov A′_{P + P A + Q = 0.}

(20)

2.3. Norma

_H

2

2.3 _{Norma H}

2

Nesta se¸cão, consideramos o sistema mais geral (2.1)-(2.2) e apresentamos maneiras diferen-tes de calcular a norma H2, seja através de gramianos ou através de LMIs1, veja (Geromel &

Korogui, 2011) e (Colaneri et al., 1997). O Apêndice A apresenta uma breve introdu¸cão sobre desigualdades matriciais lineares. Esta norma é um dos critérios mais utilizados para analisar o desempenho de sistemas dinâmicos e é definida para todas as fun¸cões de transferência Hwz(s)

racionais, estritamente pr´oprias, anal´ıticas no semi-plano complexo direito incluindo o eixo ima-gin´ario, sendo dada pela integral

kHwz(s)k2 = 1 2π Z ∞ −∞ Tr(Hwz(−jω)′Hwz(jω))dω 1/2 < ∞ (2.8)

Aplicando o teorema de Parseval podemos determiná-la no dom´ınio do tempo através da expressão kHwz(s)k2 = Z ∞ 0 Tr(hwz(t)′hwz(t))dt 1/2 < ∞ (2.9)

onde hwz(t) ´e a resposta ao impulso do sistema.

2.3.1 C´

alculo Atrav´

es de Gramianos

A resposta ao impulso do sistema (2.1)-(2.2) ´e dada por

hwz(t) = L−1(Hwz(s)) = EeAtH + Gδ(t), ∀ t ≥ 0 (2.10)

que utilizada em (2.9) fornece kHwz(s)k22 = Z ∞ 0 Tr(hwz(t)′hwz(t))dt = Z ∞ 0 Tr(H′eA′tE′+ G′δ(t))(EeAtH + Gδ(t)) = Tr H′( Z ∞ 0 eA′tE′EeAtdt)H + Tr(H′E′G) + Tr(G′EH) + +Tr(G′G) Z ∞ 0 δ(t)2dt (2.11) 1

(21)

2.3. Norma

_H

2

Levando em conta queR∞

0 δ(t)2dt = (1/π)

R∞

0 dω = +∞, a norma (2.9) ´e finita, se e somente

se, G = 0 e A for Hurwitz2_{. Logo, como mencionado anteriormente, ´e imperativo que a fun¸c˜ao de}

transferˆencia Hwz(s) seja estritamente pr´opria e anal´ıtica no semiplano complexo direito fechado.

Assim, de (2.11) temos kHwz(s)k22 = Tr H′ Z ∞ 0 eA′_t E′_EeAt_dt_H = Tr (H′_P oH) (2.12)

sendo que a matriz Po é o gramiano de observabilidade que é solu¸cão da equa¸cão de Lyapunov

A′Po+ PoA + E′E = 0 (2.13)

Utilizando a propriedade de circularidade do operador tra¸co temos kHwz(s)k22 = Tr(hwz(t)hwz(t)′)

e, procedendo da mesma maneira, obtemos o c´alculo da norma H2 em termos do gramiano

de controlabilidade. As duas formas de se calcular a norma H2 atrav´es de gramianos est˜ao

apresentadas abaixo

kHwz(s)k22 = {Tr (H′PoH) : A′Po+ PoA + E′E = 0} (2.14)

kHwz(s)k22 = {Tr (EPcE′) : APc+ PcA′+ HH′ = 0} (2.15)

A seguir descrevemos o seu cálculo como a solu¸cão de um problema de otimiza¸cão descrito em termos de LMIs.

2.3.2 C´

alculo Atrav´

es de LMIs

Podemos abordar o problema de c´alculo da norma H2 no contexto de programa¸c˜ao convexa.

A equa¸c˜ao (2.13) com Q = E′_{E ≥ 0 pode ser convertida na desigualdade matricial linear}

A′P + P A + E′E < 0 (2.16)

Considerando que toda solu¸cão definida positiva da desigualdade (2.16) satisfaz a equa¸cão de Lyapunov A′_{P + P A + E}′_{E = −S para uma matriz arbitrária S > 0, temos que}

P = Z ∞ 0 eA′t(E′E + S)eAtdt > Po (2.17) 2

(22)

2.4. Passividade e Positividade Real

e, portanto, kHwz(s)k22 = Tr(H′PoH) < Tr(H′P H). Logo, a norma H2pode ser obtida

resolvendo-se o resolvendo-seguinte problema de programa¸c˜ao convexa

kHwz(s)k22 = inf_{P >0}{Tr (H′P H) |A′P + P A + E′E < 0} (2.18)

De forma dual, fazendo as substitui¸c˜oes (A, H, E) por (A′_{, E}′_{, H}′_{), obtemos}

kHwz(s)k22 = inf_{P >0}{Tr (EP E′) |AP + P A′+ HH′ < 0} (2.19)

As solu¸c˜oes dos problemas (2.18) e (2.19) apresentam portanto duas maneiras de calcular a norma H2 no contexto de programa¸c˜ao convexa. Devemos ressaltar que os problemas envolvendo

LMIs são expressos através de conjuntos abertos. Por este motivo, seria válido substituirmos os operadores “inf” e “sup” por “min” e “max” respectivamente, visto que usualmente os métodos utilizados para a solu¸cão de LMIs nos permitem fechar o conjunto de restri¸cões utilizando um escalar ε > 0 arbitrariamente pequeno definido pelo usuário.

2.4 Passividade e Positividade Real

Passividade e positividade real são conceitos de grande importância para o estudo de sistemas do tipo Lur’e. Como será visto em breve eles são conceitos equivalentes interpretados em dom´ınios diferentes, sendo que a passividade é analisada no dom´ınio do tempo e a positividade real no dom´ınio da frequência. A defini¸cão que apresentamos em seguida foi obtida de (Geromel & Korogui, 2011), mas um estudo aprofundado sobre este tema pode também ser encontrado em (Vidyasagar, 2002).

Defini¸c˜_{ao 2.3 (Passividade) O sistema (2.1)-(2.2) ´e passivo se a sua sa´ıda z(t) ∈ R}nw

cor-respondente a qualquer entrada w(t) ∈ Rnw _{definida para todo t ≥ 0 for tal que}

Z ∞

0

z(t)′_{w(t)dt ≥ 0} (2.20)

Note que a defini¸cão impõe que o número de entradas e de sa´ıdas deve ser o mesmo para que o produto escalar em (2.20) seja realizado. Ademais, se esta desigualdade for estrita para toda entrada w(t) 6= 0, o sistema é dito estritamente passivo. Podemos estudar a passividade adotando a fun¸cão de Lyapunov v(x) = x′_{P x e impondo que a sua derivada em rela¸cão a uma trajetória}

(23)

2.4. Passividade e Positividade Real

arbitr´aria do sistema (2.1)-(2.2) satisfa¸ca

˙v(x(t)) < z(t)′w(t) + w(t)′z(t) (2.21)

De fato, integrando ambos os lados obtemos

Z ∞

0

z(t)′w(t)dt > 1

2(v(x(∞)) − v(x(0)))

> 0 (2.22)

pois v(x(0)) = v(0) = 0 e v(x(∞)) > 0 pois v(x) = x′_{P x > 0 para todo x 6= 0 e v(x) = 0}

para x = 0. Assim sendo, calculando a derivada em rela¸cão a uma trajetória genérica do sistema (2.1)-(2.2) as seguintes manipula¸cões algébricas

˙v(x) − z′w − w′z = ˙x′P x + x′_{P ˙x − z}′_{w − w}′z = " x w #′" A′_{P + P A} _{P H − E}′ H′_{P − E} _−G′_{− G} # " x w # (2.23)

asseguram que se P > 0 e a LMI "

A′_{P + P A} _{P H − E}′

H′_{P − E} _−G′ _{− G}

#

< 0 (2.24)

forem verificadas então o sistema linear invariante no tempo é estritamente passivo. Uma con-di¸cão especial ocorre quando G = 0. Neste caso há um elemento nulo na diagonal principal, e desta forma, a LMI (2.24) admite solu¸cão apenas se o sinal de menor for substitu´ıdo pelo sinal de menor ou igual. Para este caso particular a condi¸cão torna-se

A′P + P A < 0, P H = E′ (2.25)

que, se atendida, o sistema em quest˜ao ´e dito passivo.

Vamos agora estudar o que ocorre com a fun¸cão de transferência de um sistema passivo. Antes porém, é importante definir positividade real de um sistema com fun¸cão de transferência Hwz(s).

Defini¸cão 2.4 (Positividade Real) A fun¸cão de variável complexa Hwz(s) : Cnw → Cnw é

positiva real se

(24)

2.5. Sistema do Tipo Lur’e

Para sistemas com uma entrada e uma sa´ıda3 _{esta condi¸c˜ao ´e equivalente a Re(H}

wz(jω)) ≥ 0.

Em outras palavras, a resposta em frequˆencia Hwz(jω) de uma fun¸c˜ao positiva real se situa no

semiplano direito do plano complexo. Se a desigualdade (2.26) for estrita então a fun¸cão de variável complexa é denominada estritamente positiva real.

Assumindo que o sistema é assintoticamente estável e aplicando a versão mais geral do Teo-rema de Parseval, obtemos

Z ∞ 0 z(t)′w(t) + w(t)′z(t)dt = 1 2π Z ∞ −∞ ˆ z(−jω)′w(jω) + ˆˆ _w(−jω)′z(jω)dωˆ = 1 2π Z ∞ −∞ ˆ w(−jω)′ Hwz(−jω)′+ Hwz(jω) ˆw(jω)dω

Como a entrada w(t) é arbitrária, essa igualdade indica que passividade e positividade real são conceitos idênticos e que podem ser verificadas através da existência de uma solu¸cão P > 0 satisfazendo (2.24) ou (2.25). Na se¸cão seguinte, apresentamos brevemente os sistemas do tipo Lur’e e como estes conceitos são utilizados para o estudo da sua estabilidade em ambos os dom´ınios.

2.5 Sistema do Tipo Lur’e

Sistemas do tipo Lur’e são sistemas não-lineares descritos pela seguinte equa¸cão no espa¸co de estado

˙x(t) = Ax(t) + Bq(t), x(0) = 0 (2.27)

p(t) = Cx(t) + Dq(t) (2.28)

q(t) = −φ(p(t)) (2.29)

sendo φ(0) = 0. Os livros (Vidyasagar, 2002) e (Khalil, 2002) apresentam um estudo detalhado sobre estes sistemas e suas condi¸cões de estabilidade. Eles são caracterizados por apresentar em sua estrutura um sistema linear S = (A, B, C, D) com uma realimenta¸cão não-linear φ(p). A Figura 2.1 apresenta um esquema deste sistema.

Note que, a entrada q(t) ∈ Rnq e a sa´ıda p(t) ∈ Rnq possuem a mesma dimens˜ao e s˜ao, na

verdade, variáveis internas que expressam a dependência entre o sistema e a não-linearidade φ(·). Além disso, vamos assumir que para x ∈ Rnx _{dado, a equa¸cão não-linear p + Dφ(p) = Cx admite}

uma ´unica solu¸c˜ao.

3

(25)

2.5. Sistema do Tipo Lur’e

S

−φ(·)

q _p

Figura 2.1: Esquema de um sistema do tipo Lur’e

Nosso objetivo é estudar a estabilidade assintótica global do ponto de equil´ıbrio x = 0 para qualquer não-linearidade pertencente a um setor, ou seja, tratar do problema conhecido como “problema de estabilidade absoluta”. Note que, se a não-linearidade φ(pi) = [φ1(pi) · · · φnq(pi)]

′

possuir todas as componentes pertencentes aos primeiro e terceiro quadrantes satisfazendo a condi¸cão piφi(pi) ≥ 0 para todo pi ∈ R e i ∈ {1, · · · , nq} então a fun¸cão φ(·) satisfaz

p′_{φ(p) ≥ 0} (2.30)

e o sistema do tipo Lur’e é assintoticamente estável sempre que a fun¸cão de transferência da sua parte linear Hqp(s) = C(sI − A)−1B + D for positiva real. De fato, a positividade real de Hqp(s)

implica que a condi¸c˜ao (2.24) ´e satisfeita com v(x) = x′_{P x e P > 0. Assim, procedendo de forma}

equivalente `a equa¸c˜ao (2.23) junto com a desigualdade (2.24), temos ˙v(x) < 2p′q

< −2p′φ(p)

< 0, ∀x 6= 0 ∈ Rnx _(2.31)

Embora a estabilidade seja garantida, a condi¸cão (2.24) é muito conservadora. Assim, ao invés de considerar todo o primeiro e terceiro quadrantes, podemos obter condi¸cões menos con-servadoras reduzindo o tamanho do setor, como por exemplo, restringindo a não-linearidade φ(·) : Rnq _{× R}nq _{ao setor [0, κ] para algum κ > 0 como apresentado na Figura 2.2.}

(26)

2.6. Considera¸

c˜

oes do Cap´ıtulo

p κp φ(p)

Figura 2.2: Fun¸c˜ao n˜ao-linear no setor [0, κ]

e existem dois critérios de estabilidade bastante conhecidos, a saber, o critério do c´ırculo e o critério de Popov que fornecem condi¸cões suficientes no dom´ınio da frequência para a estabilidade absoluta. Além disso, para sistemas com uma entrada e uma sa´ıda, ambos os critérios podem ser aplicados graficamente. Estes critérios serão apresentados nos cap´ıtulos que seguem e serão generalizados para tratar sistemas com comuta¸cão. Nosso interesse principal é obter um método de estabilidade baseado na resposta em frequência de uma certa fun¸cão de transferência a ser determinada. Além disso, vamos considerar a inclusão de um critério de desempenho H2 e

analisar o seu efeito na condi¸c˜ao obtida.

2.6 Considera¸c˜

oes do Cap´ıtulo

Neste cap´ıtulo foram apresentados alguns conceitos cl´assicos importantes para este trabalho. Como destaque apontamos a determina¸c˜ao da norma H2 para sistemas lineares invariantes no

tempo e o estudo da estabilidade de sistemas do tipo Lur’e, temas que ser˜ao continuamente discutidos nesta disserta¸c˜ao.

(27)

CAP´ITULO

3

Sistemas Lineares com Comuta¸c˜

ao

Este cap´ıtulo é dedicado ao estudo de estabilidade de sistemas lineares com comuta¸cão. No presente contexto, a fun¸cão de comuta¸cão é uma variável de controle que deve ser determinada de forma a assegurar estabilidade para o sistema global. Como ficará claro em seguida, estes objetivos são alcan¸cados através da solu¸cão de um conjunto de desigualdades de Lyapunov-Metzler definidas em (Geromel & Colaneri, 2006). O resultado mais importante deste cap´ıtulo é apresentar condi¸cões de existência para estas desigualdades que permitam a generaliza¸cão dos critérios do c´ırculo e de Popov, de forma a encontrar um critério de estabilidade baseado no dom´ınio da frequência para sistemas com comuta¸cão, que não possuem representa¸cão frequencial. Os resultados aqui apresentados estão dispon´ıveis em (Geromel & Deaecto, 2014), mas serão estudados em detalhes pois são conceitos fundamentais para a obten¸cão dos resultados principais desta disserta¸cão.

3.1 Sistema com Comuta¸c˜

ao

Esta se¸cão apresenta uma breve introdu¸cão sobre sistemas com comuta¸cão a tempo cont´ınuo. Estes sistemas são caracterizados por apresentar intera¸cão entre dinâmicas cont´ınuas e discretas e são compostos por vários subsistemas e uma regra de comuta¸cão, também chamada fun¸cão de comuta¸cão, que seleciona a cada instante de tempo um deles. O seu modelo mais simples é dado por

˙x(t) = Aσx(t), x(0) = x0 (3.1)

definido para todo t ≥ 0 onde x(t) ∈ Rnx _{é o estado e σ(t) é a fun¸cão de comuta¸cão que seleciona}

a cada instante de tempo um dos N subsistemas dispon´ıveis Aσ ∈ {A1, · · · , AN}. Como ilustrado

(28)

3.1. Sistema com Comuta¸

c˜

ao

σ(t) i_{∈ K} i∈ K σ(x) x σ-controle σ-perturba¸c˜ao ˙x(t) = Aσx(t) ˙x(t) = Aσx(t)

Figura 3.1: Sistemas com comuta¸c˜ao

• σ-perturba¸cão: A fun¸cão de comuta¸cão σ(t) é arbitrária atuando como uma perturba¸cão. Geralmente, o objetivo de controle consiste em impor um tempo de permanência m´ınimo T > 0 dentro do qual não pode ocorrer comuta¸cão.

• σ-controle: A fun¸cão de comuta¸cão σ(t) = u(x) : Rnx _{→ K = {1, · · · , N} é uma variável de}

controle, dependente do estado, e deve ser determinada de forma a assegurar estabilidade para o sistema em malha fechada.

Nosso objetivo é tratar o segundo caso e obter condi¸cões de estabilidade baseadas na fun¸cão de Lyapunov do tipo m´ınimo

v(x) = min

i∈K x ′_P

ix (3.2)

A fun¸cão de comuta¸cão associada é dada por

σ(t) = u(x(t)) = arg min

i∈K x(t) ′_P

ix(t) (3.3)

sendo Pi > 0, ∀i ∈ K, matrizes a serem determinadas. Antes de apresentar as condi¸c˜oes

de estabilidade vamos definir uma subclasse importante de matrizes de Metzler Π = {πji} ∈

RN ×N _{que possuem elementos n˜ao negativos fora da diagonal principal e que atendem a seguinte} propriedade

X

j∈K

(29)

3.1. Sistema com Comuta¸

c˜

ao

Note que os elementos da diagonal principal satisfazem πii = −Pj6=i∈Kπji ≤ 0, ∀i ∈ K.

Como veremos em seguida, este fato permite que o sistema com comuta¸cão seja estável, mesmo que todos os subsistemas sejam instáveis. Ademais, devido ao fato que e′_{Π = 0 com}

e′ _{= [1 1 · · · 1] ∈ R}N _{a matriz Π possui um autovalor nulo e este autovalor ´e aquele com a}

maior parte real. Al´em disso, de acordo com o Teorema de Frobenius-Perron o autovetor υ ∈ RN

associado ao autovalor nulo de Π é não negativo. Logo, a normaliza¸cão usual P

i∈Kυi = 1

faz com que υ ∈ Λ. Para ν ∈ Λ arbitr´ario a matriz Π = −I + νe′ _{´e uma matriz da classe de}

Metzler M e será de grande importância para a obten¸cão dos resultados principais deste cap´ıtulo. O lema seguinte está dispon´ıvel em (Geromel & Colaneri, 2006) e apresenta condi¸cões para a determina¸cão de uma regra de comuta¸cão estabilizante.

Lema 3.1 Assuma que existam matrizes sim´etricas Pi > 0 e uma matriz de Metzler Π ∈ M

satisfazendo as desigualdades de Lyapunov-Metzler A′_iPi+ PiAi+

X

j∈K

πjiPj < 0, i ∈ K (3.5)

Utilizando a fun¸cão de comuta¸cão (3.3), o sistema (3.1) é globalmente assintoticamente estável. Prova:_{A prova está dispon´ıvel em (Geromel & Colaneri, 2006), mas será repetida em linhas} gerais. Considere que em um instante arbitrário temos σ(t) = i ∈ K. Levando em conta que a fun¸cão v(x) não é diferenciável para todo x ∈ Rnx_{, aplicamos a derivada de Dini, veja}

(Garg, 1998), à direita na fun¸cão de Lyapunov (3.2), em rela¸cão a uma trajetória arbitrária do sistema (3.1), que junto com o Teorema de Danskin fornece

D+v(x(t)) = lim h→0+ v(x(t) + hAix(t)) − v(x(t)) h = min ℓ∈I(x(t))x(t) ′_(A′ iPℓ+ PℓAi)x(t) ≤ x(t)′(A′_iPi+ PiAi)x(t) < −x(t)′ X j∈K πjiPj ! x(t) < 0 (3.6) sendo I(x) = {i ∈ K : v(x) = x′_P

ix}. A segunda desigualdade vem de (3.5) e a terceira ´e

obtida do fato que x(t)′_P

(30)

3.2. Desigualdades de Lyapunov-Metzler

πji ≥ 0, j 6= i, e somada para todo j 6= i, j ∈ K, fornece

X j6=i∈K πjix′Pjx ≥ X j6=i∈K πjix′Pix ≥ −πiix′Pix (3.7) indicando que x(t)′ X j∈K πjiPj ! x(t) ≥ 0 (3.8)

e, portanto, D+_{v(x(t)) < 0, o que prova que a origem do sistema (3.1) ´e globalmente}

assintoti-camente est´avel.

Este resultado assegura a estabilidade do sistema mesmo que todos os subsistemas sejam inst´aveis. De fato, reescrevendo a condi¸c˜ao (3.5) como

Ai+ πii 2 I ′ Pi+ Pi Ai+ πii 2 I + X j6=i∈K πjiPj < 0, i ∈ K (3.9)

conclu´ımos que uma condi¸cão necessária para a factibilidade é que (Aii+ (πii/2)I) seja Hurwitz,

pois P

j6=i∈KπjiPj ≥ 0. Consequentemente, como πii ≤ 0 ∀i ∈ K, nenhuma propriedade de

estabilidade é exigida das matrizes Ai, ∀i ∈ K. Infelizmente, estas desigualdades são não convexas

devido ao produto das vari´aveis matriciais {Π, Pi} e, portanto, dif´ıceis de resolver. Entretanto,

para um número pequeno de subsistemas, é poss´ıvel realizar uma busca com rela¸cão aos elementos da matriz Π que, uma vez conhecida, torna a condi¸cão (3.5) uma LMI sendo de fácil solu¸cão. Uma outra maneira de resolvê-la, discutida em (Geromel & Colaneri, 2006), é restringir as matrizes de Metzler a uma subclasse com os mesmos elementos na diagonal principal. Neste caso, as condi¸cões são mais conservadoras, mas podem ser resolvidas facilmente através de uma busca unidimensional e a solu¸cão de LMIs. Estas desigualdades são conhecidas e já foram generalizadas para levar em conta projeto de filtros e de reguladores via realimenta¸cão de estado e de sa´ıda, veja (Geromel & Deaecto, 2009), (Deaecto et al., 2010) e (Deaecto et al., 2011) como alguns exemplos.

3.2 Desigualdades de Lyapunov-Metzler

Esta se¸cão é dedicada à obten¸cão de condi¸cões de existência para as desigualdades de Lyapunov-Metzler. O próximo lema baseia-se nestas desigualdades e apresenta uma nova e alternativa

(31)

3.2. Desigualdades de Lyapunov-Metzler

condi¸c˜ao de estabilidade.

Lema 3.2 Suponha que existam uma matriz P > 0, matrizes sim´etricas Wi para todo i ∈ K, e

uma matriz de Metzler Π ∈ M satisfazendo as desigualdades A′

iP + P Ai+

X

j∈K

πjiWj < 0, i ∈ K (3.10)

Utilizando a fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao σ(t) = u(x(t)) com u(x) = arg min

i∈K x ′_W

ix (3.11)

o sistema (3.1) é globalmente assintoticamente estável. Ademais, a fun¸cão v(x) = x′_{P x é uma}

fun¸c˜ao de Lyapunov para o sistema em considera¸c˜ao.

Prova: _{A prova segue do Lema 3.1 adotando a matriz de Metzler Π(µ) = µΠ ∈ M com Π ∈ M} e µ ≥ 0. Procuramos por uma solu¸c˜ao fact´ıvel de (3.5) com a estrutura Pi = P + µ−1Wi, sendo

P > 0 e Wi sim´etrica para todo i ∈ K. Desta forma (3.5) torna-se

A′_i(P + µ−1Wi) + (P + µ−1Wi)Ai+ N

X

j=1

µπji(P + µ−1Wj) < 0 (3.12)

Fazendo µ → ∞ temos que Pi → P e P_j∈Kπji(µ)Pj = P_j∈KπjiWj, i ∈ K, o que implica que

(3.5) se reduz a (3.10) quando µ tende ao infinito. Ademais, utilizando a mesma escolha de vari´aveis e para µ → ∞ temos

u(x) = arg min

i∈K x ′_P ix = arg min i∈K x ′_W ix (3.13)

concluindo, assim, a prova.

Vale ressaltar que a desassocia¸cão da fun¸cão de comuta¸cão σ(t) = u(x(t)) com a fun¸cão de Lyapunov v(x) é uma caracter´ıstica importante do Lema 3.2 que não está presente no Lema 3.1. Nosso objetivo neste momento é obter condi¸cões equivalentes expressas em termos de um único subsistema. O teorema a seguir, dispon´ıvel em (Geromel & Deaecto, 2014), é essencial para esta finalidade.

Teorema 3.1 Considere que as matrizes sim´etricas Qi ∈ Rnx×nx para todo i ∈ K s˜ao dadas. As

(32)

3.2. Desigualdades de Lyapunov-Metzler

a) Existem matrizes Wi > 0, i ∈ K, e uma matriz de Metzler Π ∈ M satisfazendo

Qi+

X

j∈K

πjiWj < 0, i ∈ K (3.14)

b) Existem matrizes Ri, i ∈ K, e ν ∈ Λ satisfazendo Rν = 0 e

Qi+ Ri < 0, i ∈ K (3.15)

Prova: _{Supondo que a afirma¸c˜ao a) ´e verdadeira, fazendo R}_i ₌P

j∈KπjiWj para todo i ∈ K ´e

evidente que a desigualdade (3.15) ´e verificada. Ademais, escolhendo ν ∈ Λ como o autovetor as-sociado ao autovalor nulo de Π ∈ M temosP

i∈Kπjiνi = 0 para cada j ∈ K. Consequentemente,

temos Rν = X i∈K νi X j∈K πjiWj = X j∈K X i∈K πjiνi ! Wj = 0 (3.16)

e, portanto, a afirma¸cão b) é verdadeira. Por outro lado, assumindo que a afirma¸cão b) é verda-deira e adotando Π = −I + νe′ _{∈ M com e}′ _{= [1 · · · 1] ∈ R}N _obtemos

X j∈K πjiWj = X j∈K νjWj− Wi, i ∈ K (3.17)

Logo, precisamos encontrar Wi tal que Pj∈KνjWj − Wi = Ri para cada i ∈ K. Uma poss´ıvel

solu¸c˜ao ´e

Wi = WN + (RN − Ri), i ∈ K (3.18)

De fato, considerando que Rν = 0, obtemos

X j∈K νjWj− Wi = − X j∈K νjRj+ Ri = Ri

para cada i ∈ K. Finalmente, fazendo WN > 0 grande o suficiente, a determina¸c˜ao de Wi em

(3.18) fornece Wi > 0 para todo i ∈ K, e a prova est´a conclu´ıda.

Ambas as desigualdades s˜ao n˜ao-convexas. Entretanto, a desigualdade (3.15) parece ser mais simples de resolver, visto que, para ν ∈ Λ dado, elas tornam-se LMIs. Utilizando este resultado,

(33)

3.2. Desigualdades de Lyapunov-Metzler

o pr´oximo lema apresenta condi¸c˜oes equivalentes ao Lema 3.2.

Lema 3.3 Suponha que existam uma matriz P > 0, matrizes sim´etricas Ri e ν ∈ Λ satisfazendo

Rν = 0 e as LMIs

A′_iP + P Ai+ Ri < 0, i ∈ K (3.19)

Utilizando a fun¸c˜ao de comuta¸c˜ao σ(t) = u(x(t)) com u(x) = arg max

i∈K x ′_R

ix (3.20)

o sistema (3.1) ´e globalmente assintoticamente est´avel.

Prova: _{A prova segue diretamente do resultado do Teorema 3.1 e a regra de comuta¸c˜ao vem da}

aplica¸c˜ao da solu¸c˜ao (3.18) em (3.13).

Este lema nos permite obter condi¸c˜oes de estabilidade expressas em termos de um ´unico subsistema como apresentado no teorema seguinte.

Teorema 3.2 As condi¸c˜oes de estabilidade apresentadas nos Lemas 3.2 e 3.3 s˜ao fact´ıveis se e somente se existir ν ∈ Λ tal que Aν seja Hurwitz.

Prova: _{Como as condi¸cões dos Lemas 3.2 e 3.3 são equivalentes, podemos provar o teorema} para apenas uma das condi¸cões. Logo, considere que a desigualdade (3.19) é verificada para uma matriz P > 0 e Rν = 0. Logo, multiplicando cada desigualdade de (3.19) por νi ≥ 0 e somando

para todo i ∈ K, obtemos A′

νP + P Aν < 0 o que implica que a matriz Aν ´e Hurwitz. Para provar

a necessidade, suponha que a matriz Aν ´e Hurwitz. Assim, existe P > 0 e uma matriz arbitr´aria

S > 0 satisfazendo A′

νP + P Aν = −S. Esta igualdade pode ser reescrita como Rν = 0 com

−Ri = A′iP + P Ai+ S, onde eliminando S > 0 torna-se A′iP + P Ai+ Ri < 0 para cada i ∈ K,

concluindo, assim, a prova.

Dado que os Lemas 3.2 e 3.3 são casos particulares do Lema 3.1, a existência de ν ∈ Λ tal que Aν seja Hurwitz é uma condi¸cão apenas suficiente para a factibilidade das condi¸cões de

Lyapunov-Metzler. Como veremos no próximo cap´ıtulo, o resultado do Teorema 3.2 é essencial, para a obten¸cão de um critério de estabilidade para sistemas com comuta¸cão do tipo Lur’e, baseado na resposta em frequência de uma certa combina¸cão convexa das matrizes em espa¸co de estado dos subsistemas. O exemplo a seguir compara as condi¸cões apresentadas no Lema 3.1 e no Teorema 3.2.

(34)

3.2. Desigualdades de Lyapunov-Metzler

0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 α β

Figura 3.2: Regi˜ao de factibilidade - Exemplo 3.1

Exemplo 3.1 Considere o sistema linear com comuta¸c˜ao (3.1), extra´ıdo de (Hu et al., 2008) e definido pelas matrizes

A1 =    −3 −6 3 2 _{2 −3} α _{0 −2}   , A2 =    1 3 3 β −3 −3 0 _{0 −2}    (3.21)

Variamos os parˆametros α e β nos intervalos [0.5, 2] e [−2, 1], respectivamente, e analisamos a factibilidade das desigualdades de Lyapunov-Metzler apresentadas no Lema 3.1 para

Π = " −p q p −q # (3.22)

com (p, q) pertencentes à caixa [0, 20] × [0, 20]. Na Figura 3.2, a região predominante em cinza claro apresenta pontos (α, β) para os quais existe uma combina¸cão convexa estável das matrizes dos subsistemas. Portanto, de acordo com o Teorema 3.2 as condi¸cões dos Lemas 3.2 e 3.3 são satisfeitas e, consequentemente, as desigualdades de Lyapunov-Metzler são válidas. A região mais escura indica pontos para os quais as desigualdades de Lyapunov-Metzler são fact´ıveis, mas não existe uma combina¸cão convexa estável das matrizes dos subsistemas. Em particular, para o ponto (α, β) = (1.0, −0.9) em destaque, temos que as matrizes

(35)

3.3. Considera¸

c˜

oes do Cap´ıtulo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t x (t ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1 2 t σ (t )

Figura 3.3: Trajetória dos estados e fun¸cão de comuta¸cão - Exemplo 3.1

P1 =    3.6048 8.0420 _−6.7034 8.0420 _{34.4956 −33.0632} −6.7034 −33.0632 34.3784   , P2 =    4.6089 4.6781 _−0.4977 4.6781 _{11.6580 −12.0200} −0.4977 −12.0200 22.7412    (3.23)

satisfazem as desigualdades de Lyapunov-Metzler para Π com (p, q) = (1.86, 1.79) e são impor-tantes para a implementa¸cão da fun¸cão de comuta¸cão (3.3). A Figura 3.3 apresenta as trajetórias do estado, partindo de x0 = [3 0 0]′, e a fun¸cão de comuta¸cão obtida. Podemos notar a

ocorrên-cia de modos deslizantes estáveis, mesmo sem a existênocorrên-cia de combina¸cão convexa estável das matrizes Ai, i ∈ {1, 2}. Este fato será estudado com maiores detalhes em trabalhos futuros.

3.3 Considera¸c˜

oes do Cap´ıtulo

Neste cap´ıtulo fizemos uma breve introdu¸cão sobre sistemas com comuta¸cão e apresenta-mos condi¸cões para o projeto de uma fun¸cão de comuta¸cão estabilizante. Estas condi¸cões são chamadas de desigualdades de Lyapunov-Metzler e são conhecidas da literatura, onde já foram generalizadas para tratar diversas aplica¸cões, como o projeto de filtros e de controlares via reali-menta¸cão de estado e de sa´ıda. No nosso contexto, apresentamos vários resultados preliminares relacionados às condi¸cões de existência destas desigualdades, os quais nos permitirão generali-zar o Critério do C´ırculo e o Critério de Popov para sistemas com comuta¸cão, temas que serão abordados no próximo cap´ıtulo.

(36)

CAP´ITULO

4

Sistemas com Comuta¸c˜

ao do Tipo Lur’e

Com base na teoria desenvolvida anteriormente, estamos em condi¸cões de obter os principais resultados desta disserta¸cão. Eles consistem em determinar critérios de estabilidade baseados no dom´ınio da frequência, levando em conta a otimiza¸cão de desempenho H2 de sistemas com

comu-ta¸cão do tipo Lur’e. Este cap´ıtulo completa os resultados recentes de (Geromel & Deaecto, 2014) que trata exclusivamente de estabilidade, sendo que nossa principal contribui¸cão, como obser-vado em (Suto & Deaecto, 2014) e (Deaecto & Suto, accepted), é introduzir o cálculo do custo garantido H2 no critério generalizado de Popov. Como passo inicial, generalizamos o critério do

c´ırculo e fornecemos uma fun¸cão de comuta¸cão estabilizante dependente do estado que assegura um desempenho H2 para o sistema em malha fechada. Infelizmente, utilizando a mesma fun¸cão

de comuta¸cão não é poss´ıvel generalizar o célebre critério de Popov. O ponto chave para esta generaliza¸cão é adotar uma nova fun¸cão de comuta¸cão que depende não-somente do estado, mas também da entrada externa. Gra¸cas a esta fun¸cão, é poss´ıvel obter um método gráfico baseado na resposta em frequência de uma certa fun¸cão de transferência obtida a partir da combina¸cão convexa das matrizes em espa¸co de estado dos subsistemas.

4.1 Formula¸c˜

ao do Problema

Considere um sistema com comuta¸c˜ao do tipo Lur’e com a realiza¸c˜ao no espa¸co de estado

˙x = Aσx + Bσq + Hσw, x(0) = 0 (4.1)

p = Cσx + Dσq (4.2)

z = Eσx + Fσq (4.3)

(37)

4.1. Formula¸

c˜

ao do Problema

Neste sistema, o vetor x ∈ Rnx _{´e o estado, q ∈ R}nq _{e w ∈ R}nw _{s˜ao as entradas e p ∈ R}nq _{e z ∈ R}nz

s˜ao as sa´ıdas. Supomos que w ∈ Rnw ´e uma entrada externa do tipo impulsiva w(t) = δ(t)e

k,

sendo ek a k-ésima coluna da matriz identidade de ordem nw× nw. A fun¸cão de comuta¸cão σ(t)

seleciona a cada instante de tempo t ≥ 0 um dos subsistemas dentre aqueles pertencentes ao conjunto K = {1, . . . , N}.

´

E importante notar que os vetores de entrada q e de sa´ıda p possuem a mesma dimensão e são, na verdade, variáveis internas que expressam a dependência do sistema com a não-linearidade φ(·) : Rnq _{→ R}nq _{pertencente ao setor [0, κ] para algum κ > 0. Mais especificamente, a}

não-linearidade é da forma φ(ξ) = [φ1(ξ1) · · · φm(ξm)]′ onde cada componente satisfaz a condi¸cão de

setor (φi(ξi) −κξi)φi(ξi) ≤ 0 para todo ξi ∈ R e i ∈ K. Consequentemente, qualquer fun¸c˜ao desta

classe ´e tal que (φ(ξ) − κξ)′_{φ(ξ) ≤ 0 para ξ ∈ R}nq_{. Ademais, como usualmente, admitimos que}

para x ∈ Rnx dado, a equa¸c˜ao n˜ao-linear p + D

iφ(p) = Cix possui uma ´unica solu¸c˜ao para cada

i ∈ K. Note que esta hipótese é válida sempre que Di = 0, ∀i ∈ K. Para facilitar a nota¸cão,

assumimos que o conjunto de todas as não-linearidades que satisfazem estas restri¸cões algébricas é denotado por Φ. Note que para w = 0 e φ(0) = 0 ∈ Φ temos que x = 0 é o ponto de equil´ıbrio do sistema (4.1)-(4.4).

Nosso objetivo é determinar uma fun¸cão de comuta¸cão dependente do estado σ(t) = u(x(t)) de tal forma a assegurar estabilidade assintótica global da origem para todo φ ∈ Φ e um ´ındice de desempenho H2 definido como

J2(σ) = nw

X

k=1

kzkk22 (4.5)

sendo a sa´ıda controlada zk(t) correspondente `a entrada w(t) = δ(t)ek com o impulso aplicado

no k-ésimo canal. Podemos notar que para φ(·) = 0, ∀t ≥ 0 e σ(t) = i, ∀t ≥ 0 fixo, este ´ındice se iguala à norma H2 ao quadrado do i-ésimo subsistema estável correspondente. Por ser

extremamente dif´ıcil de calcular, devido `a sua natureza n˜ao-linear e variante no tempo, vamos considerar um limitante superior adequado do mesmo.

Nas se¸c˜oes seguintes apresentamos crit´erios de estabilidade e desempenho H2 baseados no

dom´ınio da frequência que nos permitem generalizar o critério do c´ırculo e de Popov para sistemas com comuta¸cão do tipo Lur’e. Mais especificamente, apresentamos condi¸cões que asseguram a existência de uma fun¸cão de comuta¸cão estabilizante dependente do estado e, posteriormente, mostramos como construir uma nova fun¸cão que depende simultaneamente do estado e da entrada externa viabilizando, assim, a generaliza¸cão do critério de Popov.

(38)

4.2. Crit´

erio do C´ırculo Generalizado

4.2 Crit´

erio do C´ırculo Generalizado

O teorema seguinte apresenta as condi¸cões generalizadas para o critério do c´ırculo baseadas na ado¸cão de uma fun¸cão de Lyapunov do tipo m´ınimo.

Teorema 4.1 Defina as matrizes Cκi = κCi e Dκi = I + κDi para todo i ∈ K. Se existirem

matrizes Pi > 0 e uma matriz de Metzler Π ∈ M satisfazendo as desigualdades matriciais

" A′ iPi+ PiAi+ Ei′Ei+ Ppi PiBi+ Ei′Fi− Cκi′ • F′ iFi− Dκi− Dκi′ # < 0 (4.6)

para todo i ∈ K com Ppi =P_j∈KπjiPj, então utilizando a fun¸cão de comuta¸cão σ(t) = u(x(t))

com

u(x) = arg min

i∈K x ′_P

ix (4.7)

o sistema (4.1)-(4.4) ´e globalmente assintoticamente est´avel e satisfaz a desigualdade J2(σ) < min

i∈K Tr(H ′

iPiHi) (4.8)

Prova: _{Podemos notar que o sistema (4.1)-(4.4) pode ser reescrito, alternativamente, como}

˙x = Aσx + Bσq, x(0) = Hσ(0)ek (4.9)

p = Cσx + Dσq (4.10)

z = Eσx + Fσq (4.11)

q = −φ(p) (4.12)

Para esta representa¸c˜ao adote a fun¸c˜ao de Lyapunov v(x) = mini∈Kx′Pix e considere que em um

instante de tempo arbitrário t ≥ 0 a fun¸cão de comuta¸cão é σ(t) = i ∈ I(x) com I(x) := {i : v(x) = x′_P

ix}. Ademais, a derivada de Dini satisfaz

D+v(x) = min ℓ∈I(x)2x ′_P ℓ(Aix + Biq) ≤ 2x′Pi(Aix + Biq) < −X j∈K πjix′Pjx + 2(q + κp)′q − z′z < 2(φ(p) − κp)′φ(p) − z′z < −z′z (4.13)

(39)

4.2. Crit´

erio do C´ırculo Generalizado

onde a segunda desigualdade segue de (4.6) multiplicando `a esquerda por [x′ _q′_{] e `a direita pelo}

seu transposto, a terceira desigualdade vem da validade de x′_P

jx ≥ x′Pix pois i ∈ I(x) e j ∈ K

e a quarta ´e verificada pois φ(p) ∈ Φ. Para a obten¸c˜ao do custo garantido H2, basta integrar

(4.13) de ambos os lados de t = 0 a t → ∞ obtendo kzk2

2 < mini∈Kx′0Pix0 pois a estabilidade

assint´otica do sistema assegura v(x(∞)) → 0. Logo, para x0 = Hσ(0)ek temos nw X k=1 kzk22 < nw X k=1 min i∈K e ′ kHσ(0)′ PiHσ(0)ek < min i∈K nw X k=1 e′_kH_σ(0)′ PiHσ(0)ek < min i∈K Tr(H ′ σ(0)PiHσ(0)) (4.14)

em que podemos escolher σ(0) = i∗ _{que ´e o ´ındice i ∈ K para o qual o termo do lado direito de}

(4.14) ´e m´ınimo. A prova est´a conclu´ıda.

Vale ressaltar que devido ao produto de variáveis matriciais presentes no primeiro bloco diagonal, as condi¸cões de (4.6) são não convexas. Entretanto, este termo é importante pois permite que as condi¸cões sejam verificadas mesmo que todos os subsistemas sejam instáveis. Note que para algum κ > 0, estamos interessados em resolver o seguinte problema

min

i∈K {Piinf,Π}∈Ψ

Tr(H_i′PiHi) (4.15)

onde Ψ é o conjunto de todas as solu¸cões fact´ıveis de (4.6). Nosso interesse é resolvê-lo para o máximo valor poss´ıvel de κ, o que pode ser obtido através de busca linear. Por outro lado, como podemos esperar, este valor está no limiar de factibilidade de (4.6) e, portanto, o custo H2 pode

ser muito elevado, o que indica que deve existir um compromisso entre ganho de desempenho e tamanho máximo do setor. Este fato será ilustrado no exemplo dispon´ıvel no final deste cap´ıtulo. Utilizando os Lemas 3.2 e 3.3 apresentados no cap´ıtulo anterior a factibilidade de (4.6) é assegurada se Rν = 0 e as LMIs " A′ iP + P Ai+ Ei′Ei+ Ri P Bi+ Ei′Fi− Cκi′ • F′ iFi− Dκi− D′κi # < 0 (4.16)

forem verificadas para todo i ∈ K. Note que Ri est´a concentrada no primeiro bloco diagonal de

(4.16) fazendo com que apenas uma subclasse de sistemas do tipo Lur’e seja considerada quando deseja-se obter uma interpreta¸c˜ao frequencial dos resultados. O teorema a seguir apresenta este

(40)

4.2. Crit´

erio do C´ırculo Generalizado

fato.

Teorema 4.2 Assuma que (Bi, Hi, Ci, Di, Ei, Fi) = (B, H, C, D, E, F ) para todo i ∈ K. As

condi¸c˜oes do Teorema 4.1 s˜ao verificadas se existirem uma matriz P > 0 e um vetor ν ∈ Λ satisfazendo " A′ νP + P Aν+ E′E P B + E′F − Cκ′ • F′_{F − D} κ− D′κ # < 0 (4.17)

O custo garantido H2 ´e J2(σ) < Tr(H′P H).

Prova: _{Aplicando o Complemento de Schur (veja o Apˆendice A) em (4.17) obtemos A}′

νP +P Aν+ E′_{E + Q = −S com S > 0, Q = (P B + E}′_{F − C}′ κ) (−F′F + Dκ+ Dκ′) −1 (P B + E′_{F − C}′ κ)′ e −F′_{F +D}

κ+Dκ′ > 0. Esta condi¸c˜ao pode ser escrita como Rν = 0 e −Ri > A′iP +P Ai+E′E +Q

para todo i ∈ K. Logo, substituindo Q e realizando novamente o Complemento de Schur obtemos (4.16). Uma vez que o custo é o mesmo daquele associado à (4.16), a prova está conclu´ıda.

A importância deste resultado se dá pelo fato de que ele permite a interpreta¸cão no dom´ınio da frequência das condi¸cões apresentadas no Teorema 4.1. De fato, note que podemos obter um sistema LIT1 _{cujo estudo permite concluir sobre a estabilidade e o desempenho H}

2 do sistema

com comuta¸cão (4.1)-(4.4). O sistema LIT em considera¸cão é o seguinte

˙x = Aνx + Bq, x(0) = Hek (4.18)

p = Cx + Dq (4.19)

z = Ex + F q (4.20)

com matriz de transferˆencia dada por " ˆ p ˆ z # = " T (s, ν) U(s, ν) # ˆ q (4.21)

com T (s, ν) = C(sI − Aν)−1B + D e U(s, ν) = E(sI − Aν)−1B + F . Vale ressaltar que se

alguma das matrizes (B, H, C, D, E, F ) depender de ´ındice, o resultado do Teorema 4.2 deixa de ser válido. O teorema a seguir apresenta a condi¸cão de existência no dom´ınio da frequência das desigualdades (4.17).

Teorema 4.3 As condi¸c˜oes do Teorema 4.2 s˜ao verificadas se e somente se existirem ν ∈ Λ e

1

(41)

4.2. Crit´

erio do C´ırculo Generalizado

κ > 0 satisfazendo

T (−jω, ν)′+ T (jω, ν) > −κ−1(2I − U(−jω, ν)′U(jω, ν)) (4.22) para qualquer ω ∈ R.

Prova: _{Note que podemos escrever (4.17), relacionado ao sistema S}_κ _{= (A}_ν_{, B, [C}′

κE′]′, [D′κF′]′), como " A′_νP+ P Aν P B • 0 # +    0 I C_κ D_κ E F    ′ M    0 I C_κ D_κ E F   <0 (4.23)

sendo o multiplicador M dado por

M =    0 −I 0 −I 0 0 0 0 I    (4.24)

Utilizando o Lema de Kalman-Yakubovich-Popov (KYP), veja (Rantzer, 1996) e (Willems, 1971) e o material dispon´ıvel no Apˆendice A, temos que (4.23) ´e verificada para algum P > 0 e algum ν ∈ Λ se e somente se a desigualdade " I Gκ(−jω, ν) #′ M " I Gκ(jω, ν) # <0 (4.25)

também for verificada para todo ω ∈ R, sendo Gκ(s, ν) a fun¸cão de transferência do sistema Sκ

Gκ(jω, ν) = " Cκ E # (sI − Aν)−1B+ " Dκ F # = " κT(jω, ν) + I U(jω, ν) # (4.26)

Considerando (4.26), fazendo as multiplica¸c˜oes indicadas em (4.25) e rearranjando os termos, obtemos

(4.21) e a prova est´a conclu´ıda.

Sobre este teorema é importante fazer algumas observa¸cões. A primeira é que impondo E = 0 e F = 0 temos U(s) = 0 e, consequentemente, a condi¸cão (4.22) se reduz à condi¸cão clássica do critério do c´ırculo

(42)

4.2. Crit´

erio do C´ırculo Generalizado

que, no caso escalar, torna-se Re(T (jω, ν)) > −κ−1 _{para todo ω ∈ R. A segunda ´e que, impondo}

E = C e D = F temos que T (jω, ν) = U(jω, ν) e a condi¸c˜ao (4.22), para o caso escalar, torna-se

|T (jω, ν) − κ|2 < κ2+ 2 (4.28)

ou seja, T (jω, ν) deve se localizar no interior de um c´ırculo centrado em κ e de raio √κ2 _{+ 2.}

Quando κ → ∞ o raio torna-se aproximadamente κ e, portanto, como no caso do crit´erio do c´ırculo a fun¸c˜ao T (s, ν) tende a ser real positiva.

Na verdade, estamos interessados em determinar ν ∈ Λ que fornece o máximo setor. No caso escalar da condi¸cão (4.22) podemos resolver o seguinte problema de otimiza¸cão

max ν∈Λa,ω∈R κ (4.29) sujeito a L(jω, ν) > 0 com L(jω, ν) = Re(T (jω, ν)) + κ−1 1 −|U(jω, ν)| 2 2 (4.30) e Λa sendo o subconjunto de Λ composto por todo λ ∈ Λ tal que Aλ ´e Hurwitz. Este problema

não é fácil de se resolver devido ao acoplamento entre as fun¸cões de transferência T (·) e U(·) através de κ. Uma maneira de eliminar o acoplamento deixando o problema mais simples, porém mais conservador, é considerar a condi¸cão

T (−jω, ν)′+ T (jω, ν) > −κ−1(2 − ρ) I (4.31)

no lugar de (4.22), sendo ρ = kU(s, ν)k2

∞, o qual se reduz a

Re(T (jω, ν)) > −κ−1(1 − ρ/2) (4.32)

Desta forma, o valor de ν ∈ Λ correspondente ao máximo setor é obtido resolvendo-se o seguinte problema de otimiza¸cão

max

ν∈Λa

min

ω≥0Re (T (jω, ν)) (4.33)

Após determinar o valor de ν ∈ Λae κ > 0, as demais variáveis importantes para implementa¸cão

da fun¸cão de comuta¸cão do tipo máximo

σ(t) = u(x(t)) = max

i∈K x(t) ′_R