Desvios M ´edios

Estes ´ındices avaliam a qualidade do seguimento de refer ˆencia das vari ´aveis controladas. Seu valor representa o desvio m ´edio do erro de seguimento em porcen- tagem e pode ser analisado individualmente. Nesse caso, n ˜ao se calcula relativamente os ´ındices pois n ˜ao se tem a intenc¸ ˜ao de analisar as ponderac¸ ˜oes Qy, mas a possibi-

erro. A equac¸ ˜ao 3.2 mostra esse c ´alculo.

D_{y inst}i (k) = 100 · kw

i_{(k) − y}i_(k)k

wi_(k) (3.2)

Ao final do per´ıodo de an ´alise teremos Di

y medio para cada vari ´avel controlada.

A partir desse valor ser ˜ao montados dois tipos de ´ındices diferentes: Desvios M ´edios Individuais e o Desvio M ´edio Total. Os Desvios M ´edios Individuais Di

y indser ˜ao iguais

ao valor final de Di

y medio para cada vari ´avel controlada. E o Desvio M ´edio Total ser ´a o

somat ´orio desses ´ındices individuais dividido pelo n ´umero de vari ´aveis controladas n. Como mostrado na equac¸ ˜ao 3.3.

Di_y = Pn i=1D i y ind n (3.3)

Esse Desvio M ´edio Total ajudar ´a o projetista a saber se as mudanc¸as feitas no projeto do controlador diminu´ıram o erro m ´edio de seguimento de refer ˆencia das vari ´aveis controladas, o que representa uma melhoria da resposta do sistema. Os Desvios M ´edios Individuais s ˜ao analisados quando se tem interesse maior no se- guimento de alguma vari ´avel em particular. ´E o caso quando algumas vari ´aveis do processo tem grande import ˆancia econ ˆomica, por exemplo.

3.1.2: ´Indice de Estabilidade

Esse ´ındice avalia o quanto cada vari ´avel controlada pode melhorar em desem- penho no seguimento da refer ˆencia sem levar o sistema para a instabilidade. Utiliza- dos em conjunto com os ´ındices de Seguimento Individuais e os ´ındices de Supress ˜ao de Movimento auxiliam o projetista a melhorar o desempenho global do sistema. Con- siderando que o desempenho final de um sistema de controle ´e frequentemente obtido considerando o compromisso com seguimento de refer ˆencia e estabilidade, ´e pre- ciso saber se uma vari ´avel controlada est ´a pr ´oxima da sua regi ˜ao de instabilidade. A equac¸ ˜ao 3.6 foi desenvolvida com base no teorema da estabilidade de Lyapunov [11]. Pelo teorema da estabilidade de Lyapunov, uma func¸ ˜ao L(t) : Rn _{→ R repre-}

sentada pela equac¸ ˜ao 3.4 ´e dita ser positiva definida se atende os requisitos expostos na equac¸ ˜ao 3.5. O que pode ser facilmente provado com a equac¸ ˜ao proposta com o o valor dos erros de seguimento de refer ˆencia das vari ´aveis controladas ei _normalizado

L(t) = 1 2 ·  ei_(t) wi 2 (3.4) L(0) = 0 e L > 0 para ∀ ei 6= 0 (3.5)

Como a energia dos estados do sistema precisa decrescer ao longo do tempo, sua derivada deve ser negativa ∂L(t)_∂t < 0. Portanto, para a derivada ´e esperado um valor negativo. Sabe-se que quanto maior o valor absoluto dessa func¸ ˜ao, mais rapi- damente o sistema decresce sua energia e ’mais’ est ´avel ser ´a o sistema. E quando o valor se aproxima de zero ocorre a situac¸ ˜ao inversa. Baseado nessas conclus ˜oes foi criado o ´Indice de Estabilidade, apresentado na equac¸ ˜ao 3.6. O objetivo desse ´ındice ´e mostrar o quanto cada vari ´avel controlada est ´a perto da sua regi ˜ao de instabilidade.

I_{est inst}i (k) = e i_(k) wi_(k)2 · (e i (k) − ei(k − 1)) − e i_(k)2 wi_(k)3 · (w i (k) − wi(k − 1)) (3.6)

A gerac¸ ˜ao deste ´ındice ´e feita calculando uma m ´edia recursiva acumulada ao longo do per´ıodo de an ´alise, como a utilizada nos ´ındices anteriores. Seu valor m ´edio Ii

est medio ao final do per´ıodo de an ´alise ser ´a o ´ındice a ser analisado. Para

efeito demonstrativo em uma escala similar aos outros ´ındices, foi usado seu valor em potenciac¸ ˜ao como a equac¸ ˜ao 3.7 onde α ´e um valor escolhido para determinar a sen- sibilidade da variac¸ ˜ao entre os ´ındices (normalmente se utiliza o valor 100 ou 1000). Portanto, conclui-se que quanto mais pr ´oximo de 0 este valor mais perto de sua regi ˜ao de instabilidade essa vari ´avel se encontra.

I_esti = 10α· √

−Ii

est medio (3.7)

3.1.3: ´Indices de Seguimento de Refer ˆencia Relativo

Estes ´ındices avaliam as vari ´aveis controladas do sistema quanto a qualidade de seu seguimento de refer ˆencia. Baseado na parcela de erro de seguimento de refer ˆencia [˜Y − W]T_MT

yQyMy[˜Y − W] da func¸ ˜ao custo apresentada na equac¸ ˜ao 3.1, foi

montada a equac¸ ˜ao 3.8. Onde yi_{(k) ´e o valor medido da vari ´avel controlada i e w}i_(k)

sua refer ˆencia no instante de amostragem k. O valor ´e normalizado pela refer ˆencia wi(k) para permitir a comparac¸ ˜ao com as outras vari ´aveis controladas. Nota-se que esse valor indica o erro quadr ´atico percentual da vari ´avel controlada normalizado. A

normalizac¸ ˜ao aqui realizada ´e id ˆentica aquela feita pela func¸ ˜ao custo apresentada na equac¸ ˜ao 3.1 mas, caso seja necess ´ario, outras formas de normalizac¸ ˜ao (scaling) devem ser implementadas para evitar a divis ˜ao por zero.

I_{y inst}i (k) =  100 · w i_{(k) − y}i_(k) wi_(k) 2 · Qi y (3.8)

Estes ´ındices s ˜ao calculados para o caso ponderado e n ˜ao ponderado (Qi y =

1). Com os ´ındices sem ponderac¸ ˜oes pode se ver o seguimento real das vari ´aveis controladas e com os ´ındices ponderados pode-se ver o seguimento fict´ıcio que o controle MPC tem de cada vari ´avel controlada.

Ao final do per´ıodo de an ´alise teremos Ii

y medioe Iy medio pi ponderados para cada

vari ´avel controlada.

Para permitir um comparativo entre as vari ´aveis, s ˜ao calculados os ´Indices de Seguimento Relativos como mostrado na equac¸ ˜ao 3.9, onde n ´e o n ´umero de vari ´aveis controladas. Este c ´alculo relativo dar ´a uma vis ˜ao percentual dos erros de seguimento de refer ˆencia das vari ´aveis. Assim os ´Indices de Seguimento Relativos Ii

y rel e Iy rel pi

ponderados permitem comparar a influ ˆencia das ponderac¸ ˜oes usadas na sintonia do controlador analisando a diferenc¸a no valor entre o ´ındice com e sem ponderac¸ ˜ao para cada vari ´avel controlada, como ser ´a explicado na sec¸ ˜ao 3.3.

I_{y rel}i = I i y medio Pn j=1I j y medio (3.9)

Ambos ´ındices indicam o quanto cada vari ´avel controlada representa, em m ´edia, de peso na func¸ ˜ao custo do MPC com relac¸ ˜ao ao seu erro de seguimento de re- fer ˆencia. Portanto quanto menor este ´ındice, melhor ser ´a o seguimento da refer ˆencia desta vari ´avel controlada.

3.1.4: ´Indices Controle Relativo

Estes ´ındices avaliam as vari ´aveis manipuladas do sistema quanto a atividade de sua ac¸ ˜ao de controle. Baseado na parcela de esforc¸o de controle 4UTMT_uQuMu4U

da func¸ ˜ao custo da equac¸ ˜ao 3.1. Representado na equac¸ ˜ao 3.10 e normalizado pela ac¸ ˜ao de controle em regime permanente (ui

ss) para permitir a comparac¸ ˜ao com as

os casos de poss´ıvel divis ˜ao por zero). Estes ´ındices tamb ´em ser ˜ao calculados para os casos ponderado e n ˜ao ponderado (Qi

u = 1) pelo mesmo motivo apresentado para

os ´Indices de Seguimento Relativos.

I_{u inst}i (k) =  100 · 4u i_(k) ui ss(k) 2 · Qi u (3.10)

Para esses ´ındices tamb ´em ser ˜ao aplicadas as f ´ormulas m ´edias e relativas da mesma forma apresentada para os ´Indices de Seguimento. E o valor do ´ındice que ser ´a analisado ´e o Ii

u medio obtido ao final do per´ıodo de an ´alise, neste caso tamb ´em

na forma Ii

u rel e Iu rel pi ponderada. O objetivo destes ´ındices ´e mostrar quais vari ´aveis

manipuladas est ˜ao sendo mais solicitadas baseado no peso que elas representam na func¸ ˜ao custo do MPC. Disso conclui-se que quanto maior o ´ındice, maior a variac¸ ˜ao da vari ´avel manipulada.

3.1.5: ´Indices de Supress ˜ao de Movimento

Estes ´ındices avaliam o quanto uma vari ´avel controlada est ´a sendo afetada com relac¸ ˜ao `a supress ˜ao da variac¸ ˜ao das vari ´aveis manipuladas imposta pelas ponderac¸ ˜oes em Qu que se relacionam a ela. Calculados utilizando a equac¸ ˜ao 3.11, onde m ´e o

n ´umero de vari ´aveis manipuladas e Kij s ˜ao os ganhos das func¸ ˜oes de transfer ˆencias

que s ˜ao acopladas com aquela vari ´avel controlada.

I_{sm inst}i (k) = [w i_(k)]2 Pm j=1[4uj(k) · Kij] 2 · 1 1000 (3.11)

A gerac¸ ˜ao destes ´ındices ´e feita com o c ´alculo de m ´edia recursiva como nos ´ındices anteriores e o Ii

sm medio obtido ao final do per´ıodo de an ´alise ser ´a o valor a

ser analisado. Neste caso n ˜ao ser ´a calculado a comparac¸ ˜ao relativa das vari ´aveis. Quanto maior for este ´ındice, maior ser ´a a supress ˜ao de movimento que est ´a sendo aplicada as vari ´aveis manipuladas que afetam aquela vari ´avel controlada. Como pode ser observado, tamb ´em nestes ´ındices, a refer ˆencia da vari ´avel controlada ´e usada como forma de normalizar. Caso a refer ˆencia seja nula deve ser usado outro valor como, por exemplo, o maior valor esperado da controlada.

3.1.6: ´Indices do Erro de Modelagem

Estes ´ındices avaliam a qualidade dos modelos de predic¸ ˜ao usados para predi- zer o comportamento do sistema. Mostrado na equac¸ ˜ao??, calcula os erros entre as predic¸ ˜oes do modelo ˜yi_{e as sa´ıdas reais do processo y}i _{normalizados pela refer ˆencia}

wi _{para permitir a comparac¸ ˜ao com as outras vari ´aveis controladas.}

I_{em inst}i (k) = 100 · k ˜y

i_{(k) − y}i_(k)k

wi_(k) (3.12)

Os valores instant ˆaneos s ˜ao aplicados na equac¸ ˜ao de m ´edia recursiva e o valor do ´ındice que ser ´a analisado s ˜ao os Ii

em medio obtidos ao final do per´ıodo de an ´alise.

O valor destes ´ındices podem ser interpretados como os erros m ´edios de predic¸ ˜ao de cada vari ´avel controlada. Quanto maior for o ´ındice, maior a quantidade de erros nos modelos daquela vari ´avel controlada ou necessidade de modelagem de perturbac¸ ˜oes ainda n ˜ao modeladas. O mesmo coment ´ario vale aqui, caso a refer ˆencia seja nula pode ser usado o maior valor esperado da controlada na normalizac¸ ˜ao.