Implementação e avaliação de uma ferramenta de acompanhamento de controle preditivo para processos da indústria do petróleo

(1)

Implementaç ão e avaliaç ão de uma

ferramenta de acompanhamento de

controle preditivo para processos da

ind ´

ustria do petr ´

oleo

Relat ´orio submetido `a Universidade Federal de Santa Catarina

como requisito para a aprovac¸ ˜ao da disciplina:

DAS 5511: Projeto de Fim de Curso

(2)

Implementaç ão e avaliaç ão de uma ferramenta de

acompanhamento de controle preditivo para processos

da ind ´

ustria do petr ´

oleo

Carolina Maia Vettorazzo

Esta monografia foi julgada no contexto da disciplina

DAS 5511: Projeto de Fim de Curso

e aprovada na sua forma final pelo

Curso de Engenharia de Controle e Automac¸ ˜ao

(3)

Banca Examinadora:

Mario C ´esar M. Massa de Campos

Orientador Empresa

J ´ulio Normey-Rico

Orientador do Curso

Prof. Ricardo Jos ´e Rabelo

Respons ´avel pela disciplina

Prof. xxxxxxx, Avaliador

aluno1, Debatedor

(4)

Agradecimentos

Antes de tudo, agradeço à minha fam´ılia que me apoiou e me acompanhou durante toda a graduaç ão. Obrigado por terem sido mais fortes do que eu e por nunca terem duvidado de mim, mesmo nos momentos mais dif´ıceis.

Agradeço ao professor Julio Normey-Rico e ao engenheiro Mario Campos pela orientaç ão e pela oportunidade de desenvolver este trabalho.

Tamb ém agradeço aos membros do projeto na UFSC, que me apoiaram a dist ância e muito me ensinaram sobre o tema, e a todos que conheci no Cenpes pelos conhecimentos passados a mim, pela ajuda com o meu projeto e pelos momentos descontra´ıdos, que tornaram meu est ágio t ão divertido.

Aproveito tamb ém para agradecer aos meus amigos, n ão s ó aos que estiveram ao meu lado durante minha jornada acad êmica, mas tamb ém aos que estiveram longe e mesmo assim n ão esqueceram de mim.

Por fim, dedico este trabalho a todos aqueles que conheci atrav és dos projetos de pesquisa dos quais participei, da empresa j únior Autojun, do centro acad êmico CAECA e do programa CIn ências sem Fronteiras, e que contribu´ıram de alguma forma para o meu crescimento pessoal e para minha formaç ão profissional.

(5)

Resumo

O controle preditivo baseado em modelo (CPBM) ´e uma das t ´ecnicas de

con-trole moderno que provavelmente teve mais êxito nas aplicaç ões na ind ústria. Por ém, uma das dificuldades encontradas na aplicaç ão de CPBM é a sintonia e avaliaç ão de

desempenho do sistema de controle.

Em geral, os diversos algoritmos de CPBM utilizam diferentes func¸ ˜oes de custo

para calcular a lei de controle, por ém a maioria deles considera como objetivo mini-mizar o erro entre a sa´ıda futura e a refer ência desejada penalizando o esforço incre-mental de controle. Assim, a sintonia desses controladores é diretamente dependente das ponderaç ões das vari áveis controladas e das manipuladas e tamb ém da prediç ão calculada a partir do modelo de prediç ão.

Algumas abordagens de avaliaç ão de controle existentes n ão permitem definir qual vari ável controlada tem o pior seguimento a refer ência e nem o motivo do de-sempenho ruim. Existem ainda metodologias que auxiliam os projetistas a escolher as de ponderaç ões, mas que n ão garantem que as escolhas feitas s ão as melhores poss´ıves.

Por isso a necessidade de m étodos de avaliaç ão de desempenho de sistemas de controle MPC é largamente reconhecida no meio industrial. Com base nisso, foram utilizados seis ´ındices, descritos em [13] que avaliam o desempenho e a sintonia do controlador: os Desvios M édios, o Índice de Seguimento de Refer ência Relativo, o Índice de Supressão de Movimento, o Índice de Controle Relativo, o Índice do Erro de Prediç ão e o Índice de Estabilidade. Estes ´ındices mostram se as vari áveis est ão seguindo a refer ência de forma satisfat ória e caso elas n ão estajam, os ´ındices indicam o porqu ê.

Este trabalho mostra, a partir de simulaç ões de diversos cen ários de operaç ão de uma planta real, que os ´ındices s ão uma ferramenta de grande potencial para avaliaç ão do desempenho do controle e identificaç ão dos problemas que impedem um bom desempenho.

(6)

Abstract

Model Predictive Control (MPC) is probably one of the most successful control techniques used in industrial applications. However, this technology has limitations like the tuning procedure and the control system performance evaluation.

The various MPC algorithms propose different cost functions for obtaining the control law, but the general aim is to minimize the error between the future output and the reference signal, penalizing the control effort necessary for doing so. Therefore, these controllers tuning depend on the weighting sequences and the future output.

Some available performance evaluation approaches do not indicate which varia-ble does not follow the reference signal well or why. There are also methodologies that help designers to choose the weighting sequences, but they do not guarantee the best choice as a result.

That is why there is still the need of new evaluation methods. Based on that, six indices were created. They tell if the controlled variables are following the reference and if they are not, why.

This work show, through various scenarios simulations, that the indices are a great tool to analyze the control performance and identify possible problems that pre-vent a good performance.

(7)

Sum ´ario

Lista de Figuras vi

1 Introduc¸ ˜ao 1

2 Controle Preditivo de Processos da Ind ústria de Petr óleo e G ás 4

2.1 Elementos do CPBM . . . 5

2.1.1 O modelo de predic¸ ˜ao . . . 6

2.1.1.1 O modelo do processo . . . 6

2.1.1.2 Modelo das perturbac¸ ˜oes . . . 9

2.1.1.3 Resposta livre e forc¸ada . . . 10

2.1.2 Func¸ ˜ao Objetivo . . . 11

2.1.3 Obtenc¸ ˜ao da lei de controle . . . 13

2.2 Controle por Matriz Din ˆamica (DMC) . . . 14

2.2.1 DMC Original . . . 14

2.2.2 DMC Recursivo . . . 17

2.3 DMC Multivari ´avel . . . 19

2.3.1 DMC Recursivo Multivari ´avel . . . 22

2.4 Coment ´arios finais . . . 23

3 Ferramenta de Aux´ılio a Sintonia Total (FAST MPC) 24 3.1 C ´alculo dos ´ındices . . . 27

3.1.1 Desvios M ´edios . . . 27

3.1.2 ´Indice de Estabilidade . . . 28

3.1.3 ´Indices de Seguimento de Referˆencia Relativo . . . 29

(8)

3.1.5 ´Indices de Supress˜ao de Movimento . . . 31

3.1.6 ´Indices do Erro de Modelagem . . . 32

3.2 Apresentaç ão Gr áfica dos Resultados . . . 32

3.3 M ´etodo Proposto para Tomada de Decis ˜ao . . . 33

3.3.1 An ´alise dos ´Indices de Seguimento Relativos . . . 33

3.3.2 An álise dos Índices de Supress ão de Movimento . . . 33

4 Caso de estudo e ferramentas de simulac¸ ˜ao e controle 35 4.1 UPGN . . . 35

4.1.1 Controle do teor de C2 no GLP - y3 . . . 37

4.1.2 Controle do teor de C5 na gasolina natural - y8 . . . 39

4.1.3 Controle da abertura da v ´alvula de press ˜ao - y7 . . . 40

4.2 BRLumina . . . 40

4.3 Coment ´arios finais . . . 41

5 Implementaç ão do FAST 43 5.1 Coment ários finais . . . 44

6 Avaliaç ão dos ´ındices e resultados 45 6.1 Caso zero: cen ário inicial . . . 45

6.2 Caso 1: cen ´arios com erros de modelagem . . . 49

6.3 Caso 2: Cen ários com alteraç ões na supress ão das aç ões de controle . 50 6.4 Coment ários finais . . . 52

7 Cap´ıtulo 7: Conclus ˜oes e Perspectivas 54

(9)

Lista de Figuras

4.1 Esquema simplificado da UPGN . . . 35

4.2 Esquema simplificado torre desbutanizadora . . . 42

4.3 Exemplo de cen ´ario do BRLumina . . . 42

6.1 Desvios M ´edios . . . 47

6.2 ´Indices de Seguimento Relativo . . . 47

6.3 ´Indices de Supress ˜ao de Movimento e Controle Relativo . . . 48

6.4 ´Indices de Erro de Modelagem . . . 48

6.5 ´Indice de Estabilidade . . . 49

6.6 ´Indices de Erro de Modelagem . . . 51

(10)

Cap´ıtulo 1: Introduc¸ ˜ao

O controle preditivo baseado em modelo (CPBM) ´e uma das t ´ecnicas de controle

moderno que provavelmente teve mais êxito nas aplicaç ões na ind ústria porque suas estrat égias podem ser aplicadas tanto a sistemas monovari áveis como multivari áveis, as restriç ões nas sa´ıdas e nas aç ões de controle podem ser consideradas no projeto da lei de controle em tempo real e, pela pr ópria definiç ão dos algoritmos, podem ser usadas para controlar processos com atrasos.

Por ém, uma das dificuldades encontradas na aplicaç ão de CPBM é a sintonia e

avaliaç ão de desempenho do sistema de controle. Em geral, os diversos algoritmos de CPBM utilizam diferentes funç ões de custo para calcular a lei de controle, por ém a maioria deles considera como objetivo minimizar o erro entre a sa´ıda futura e a refer ência desejada penalizando o esforço incremental de controle. Nas funç ões de custo o erro e o incremento de controle aparecem multiplicados por coeficientes que permitem dar mais ou menos importancia a minimizaç ão de um ou de outro. Esses coeficientes podem ser sequ ências ou matrizes de ponderaç ão do erro e do esforço de controle.

Assim, a sintonia desses controladores é diretamente dependente das ponderaç ões das vari áveis controladas e das vari áveis manipuladas, e tamb ém da prediç ão, ou sa´ıda futura, calculada a partir do modelo de prediç ão. Por isso, para conseguir o de-sempenho desejado do controlador s ão necess ários bons modelos de prediç ão e uma boa escolha nas ponderaç ões das vari áveis.

Por isso a necessidade de m étodos de avaliaç ão de desempenho de sistemas de controle MPC é largamente reconhecida no meio industrial. Algumas abordagens nessa direç ão baseiam-se na comparaç ão do desempenho do sistema de controle sob an álise a um MPC baseado em vari ância m´ınima. Entretanto, com essa aborda-gem n ão se pode definir qual vari ável controlada tem o pior seguimento a refer ência e nem porque ela tem um desempenho ruim. Existem ainda metodologias que auxi-liam os projetistas a escolher as de ponderaç ões, levando em consideraç ão restriç ões

(11)

operacionais e custos, por exemplo. Mas essas metodologias n ˜ao garantem que as escolhas feitas s ˜ao as melhores poss´ıves.

Com base nos par âmetros da funç ão custo e na import ância de uma boa prediç ão, foram criados cinco ´ındices que avaliam o desempenho e a sintonia do controlador:

1. Desvios M ´edios

2. Índices de Seguimento de Refer ência Relativo 3. Índices de Supress ão de Movimento

4. Índices de Controle Relativo 5. Índices do Erro de Prediç ão 6. Índices de Estabilidade

O objetivo deste trabalho é validar o funcionamento desses ´ındices atraves da simulaç ão de diversos cen ários de operaç ão no BRLumina, um software da Petrobr ás que permite a avaliaç ão do funcionamento do controlador em um ambiente offline. A Unidade de Processamento de G ás Natural Atalaia, em Serjipe, foi a planta escolhida para ser simulada no BRLumina. O controle preditivo implementado nesta unidade é do tipo Dinamic Matrix Control.

Atrav és dos ´ındices é poss´ıvel verificar se as vari áveis est ão seguindo a re-fer ência de forma satisfat ória e caso elas n ão estejam, os ´ındices indicam o porqu ê. Durante o projeto, foram criados cen ários com erros de modelagem, com alteraç ões de sintonia e com ru´ıdo, com o intuito de verificar se os ´ındices s ão de fato capazes de mostrar esses problemas. Os resultados deste trabalho mostram que estes ´ındices s ão uma ferramenta de grande potencial para avaliaç ão do desempenho do controle e identificaç ão de pontos de melhoria.

Estes ´ındices [13] est ão sendo desenvolvidos no projeto de colaboraç ão entre o DAS e a Petrobr ás na área de controle avançado. Este projeto de fim de curso foi realizado no Centro de Pesquisas e Desenvolvimento Leopoldo Am érico Miguez de Mello (Cenpes) da Petrobr ás, no Rio de Janeiro.

A Petrobr ás é uma empresa integrada de energia nos setores exploraç ão e produç ão, refino, comercializaç ão, transporte, petroqu´ımica, distribuiç ão de derivados, g ás natural, energia el étrica, g ás-qu´ımica e biocombust´ıveis. A empresa, que hoje é

(12)

l´ıder do setor petrol´ıfero no Brasil, est á presente em outros 17 pa´ıses. E a meta at é 2030 é estar entre as 5 maiores empresas de energia do mundo. Para isso, inovaç ão é fundamental e por isso muitos projetos em colaboraç ão com universidades est ão sendo realizados no Cenpes, que hoje centraliza as atividades de pesquisa e desen-volvimento da empresa.

O cap´ıtulo 2 traz uma revis ão da teoria de controle preditivo e dos conceitos usados na formulaç ão dos ´ındices apresentados no cap´ıtulo 3. O cap´ıtulo 4 explica o processo estudado atrav és dos ´ındices e o software de simulaç ão utilizado. O cap´ıtulo 5 explica como a ferramenta foi implementada e no cap´ıtulo 6 s ão apresentados os re-sultados obtidos atrav és das simulaç ões. As conclus ões s ão apresentadas no cap´ıtulo 7.

(13)

Cap´ıtulo 2: Controle Preditivo de

Processos da Ind ´

ustria de Petr ´

oleo e

G ´as

O controle preditivo baseado em modelo (CPBM) ´e uma das t ´ecnicas de

con-trole moderno mais potentes e provavelmente a que teve mais êxito nas aplicaç ões na ind ústria. As principais causas deste êxito devem-se a que as estrat égias deCPBM po-dem ser aplicadas tanto a sistemas monovari áveis como multivari áveis, as restriç ões nas sa´ıdas e nas aç ões de controle podem ser consideradas no projeto da lei de con-trole em tempo real e, pela pr ópria definiç ão dos algoritmos, podem ser usadas para controlar processos com atrasos.

OCPBMn ão é uma estrat égia de controle espec´ıfica, mas é o nome dado a um conjunto muito grande de m étodos de controle que foram desenvolvidos considerando algumas ideias comuns. As caracter´ısticas comuns destes sistemas de controle s ão basicamente:

• usam um modelo expl´ıcito do processo para predizer a sa´ıda 1 _{do mesmo num}

determinado horizonte finito;

• calculam as aç ões de controle para todo o horizonte a partir da minimizaç ão de uma determinada funç ão objetivo;

• o horizonte é deslizante, pelo que, para cada per´ıodo de amostragem, o hori-zonte é deslocado um passo para frente, aplica-se unicamente a aç ão de con-trole daquele instante e desconsidera-se o resto dos concon-troles dentro do hori-zonte.

As diferenc¸as entre os diversos algoritmos existentes devem-se basicamente `a

(14)

forma de escolher os modelos para o processo e as perturbaç ões, ao tipo de funç ão objetivo e ao procedimento para manipular as restriç ões e o c álculo do controle.

Muitas t écnicas de controle preditivo tem sido aplicadas com êxito na ind ústria [7]. A maioria dos resultados de aplicaç ão pr ática deCPBMcorrespondem à familia dos algoritmos que surgiram no ambiente industrial, como o controle por matriz din âmica (“Dynamic Matrix Control”,DMC) [5] e o controle algor´ıtmico baseado em modelo

(“Mo-del Algorithm Control”,MAC) [17]. Estes algoritmos utilizam modelos de tipo resposta ao impulso ou ao degrau para descrever o processo e modelos bem simples para a descriç ão das perturbaç ões.

Por outro lado, existe outra fam´ılia de algoritmos dentro da classe deCPBM que

surgiram no meio acad êmico, geralmente relacionados ao controle adaptativo, e que possuem uma s érie de caracter´ısticas diferentes aos do primeiro grupo [6]. Neste segundo grupo, onde devem ser inclu´ıdos o controle preditivo generalizado (“Gene-ralized Predictive Controller”, GPC) [4], o controle adaptativo de prediç ão extendida EPSAC (“Extended Prediction Self Adaptive Control”) [10], o controle adaptativo de

horizonte extendidoEHAC (“Extended Horizon Adaptive Control”) [21] e o controle pre-ditivo unificadoUPC[19], a planta é representada por uma funç ão de transfer ência e as perturbaç ões s ão representadas por um modelo auto-regressivo integrado e de m édia m óvel (normalmente denominado na literatura inglesa modeloARIMA[9]), enquanto as

prediç ões da sa´ıda do processo calculam-se usando preditores ótimos.

2.1: Elementos do CPBM

Todos os algoritmos de CPBMpossuem os seguintes elementos em comum:

• O modelo de prediç ão • A funç ão objetivo

• Um m étodo para a obtenç ão da lei de controle

sendo que as diferentes opç ões de modelo, funç ão objetivo e m étodo de c álculo do controle geram as diversas vers ões de controladores propostos na literatura.

(15)

2.1.1: O modelo de predic¸ ˜ao

O modelo de prediç ão é provavelmente o elemento mais importante dentro do controlador, dado que ele deve ser capaz de representar adequadamente a din âmica do processo, deve permitir o c álculo das prediç ões da sa´ıda do processo, ser intuitivo e, ao mesmo tempo, permitir uma an álise te órica do sistema.

2.1.1.1: O modelo do processo

As diferentes estrat égias de CPBM utilizam diferentes formas para representar as relaç ões entre entradas manipuladas, perturbaç ões e sa´ıdas do processo. Em geral, os modelos tamb ém incluem uma representaç ão matem ática das perturbaç ões e do ru´ıdo, assim como dos erros de modelagem. Em geral, o modelo é separado em duas partes: no modelo do processo propriamente dito e no modelo das perturbaç ões; ambos necess ários para o c álculo das prediç ões.

Os modelos mais usados para representar ao processo s ˜ao:

• Resposta Impulsiva. E utilizado no´ MAC e em casos especiais no GPC e no EPSAC. A relac¸ ˜ao entrada sa´ıda vem dada por:

y(t) =

∞

X

i=1

hiu(t − i)

onde hi s ão as amostras da sa´ıda do processo correspondente à aplicaç ão de

um impulso na entrada do mesmo. Em geral, como esta sequ ência é infinita a resposta é truncada para os primeiros M valores, pelo que o modelo somente pode ser usado com plantas est áveis, onde hi → 0 quando i → ∞:

y(t) =

M

X

i=1

hiu(t − i) = H(z−1)u(t) (2.1)

onde H(z−1) = h1z−1+ h2z−2+ · · · + hNz−N, e z−1 ´e o operador atraso unit ´ario.

A prediç ão da sa´ıda em t + k calculada no instante t (doravante ˆy(t + k | t)) usando este modelo é calculada como:

ˆ

y(t + k | t) =

M

X

(16)

Este m étodo é bastante utilizado na pr ática devido a que oferece como vanta-gens: (a) é intuitivo; (b) n ão precisa de conhecimento a-priori do processo para aplicar um m étodo de identificaç ão e pode ser usado em plantas multivari áveis sem acrescentar complexidade, e (c) descreve de maneira simples efeitos mais complexos da din âmica do processo como atrasos e comportamentos de fase n ão minima.

Por outro lado apresenta alguns inconvenientes: (a) n ão pode ser usado com plantas inst áveis e (b) necessita utilizar um grande n úmero de par âmetros para descrever o modelo. Geralmente M pode ser 40 ou 50, valor que pode aumentar ainda mais se o processo tiver um atraso grande.

• Resposta ao degrau. ´E usado pelo DMC e suas variantes. ´E similar ao anterior

mas usa um degrau unit ário como sinal de entrada. Para sistemas est áveis a resposta é: y(t) = y0+ ∞ X i=1 gi∆u(t − i) = y0+ G(z−1)(1 − z−1)u(t) (2.2)

onde os gi s ˜ao as amostras da sa´ıda obtida ao aplicar o degrau e ∆u(t) = u(t) −

u(t − 1). Considerando o sistema no ponto de operaç ão y0 a prediç ão pode ser

calculada como: ˆ y(t + k | t) = ∞ X i=1 gi∆u(t + k − i | t)

A relaç ão entre este modelo e o de resposta impulsiva é dada por:

hi = gi− gi−1 gi = i

X

j=1

hj

Resulta, claro, que este modelo tem as mesmas vantagens e inconvenientes que o anterior.

• Funç ão de Transfer ência. Este modelo é usado noGPC,UPC,EPSAC,EHACentre

outros. Utiliza o conceito de funç ão de transfer ência G = B/A:

(17)

onde z−1 _{representa o operador de atraso no tempo}2_{, os polin ˆomios ficam com}

a seguinte estrutura

A(z−1) = 1 + a1z−1+ a2z−2+ · · · + anaz−na

B(z−1) = b1z−1+ b2z−2+ · · · + bnbz−nb

A prediç ão é calculada como:

ˆ

y(t + k | t) = B(z

−1₎

A(z−1₎u(t + k | t)

Esta representaç ão tem como vantagens principais que pode ser usada para plantas inst áveis e que precisa, em geral, de poucos par âmetros para descrever o comportamento do sistema (o atraso, por exemplo, pode ser descrito apenas com um par âmetro). J á seu principal inconveniente é a necessidade de conhecer a priori a ordem dos polin ômios A e B quando o modelo deve ser identificado a partir de dados experimentais.

• Espac¸o de estados. ´E usado no controle preditivo funcional PFC [16] e tem a

seguinte representac¸ ˜ao:

x(t) = M x(t − 1) + N u(t − 1)

y(t) = Qx(t)

onde x é o estado e M , N e Q s ão matrizes de dimens ões compat´ıveis. A prediç ão é calculada como:

ˆ y(t + k | t) = Qˆx(t + k | t) = Q " Mkx(t) + k X i=1 Mi−1N u(t + k − i | t) #

Sua principal vantagem é que pode ser usada diretamente para processos mul-tivari áveis. Como inconvenientes, cabe mencionar que, em geral, os estados n ão tem significado f´ısico, e que na maioria das vezes é necess ário o uso de observadores, aumentando assim a complexidade de c álculo do controle.

2_{neste cap´ıtulo z}−1_{tamb ´em representar ´a a variavel complexa associada a transformada Z nos casos}

(18)

• Outros modelos. Todos os modelos anteriormente descritos consideram so-mente o comportamento linear ou linearizado do processo, e, por sua simpli-cidade, s ão os mais utilizados. Por ém, modelos n ão lineares tamb ém podem ser usados para descrever a din âmica do processo quando os modelos lineares n ão geram bons resultados. É importante salientar, entretanto, que a soluç ão do problema nestes casos apresenta alguns inconvenientes adicionais como: (a) a obtenç ão do modelo do processo se torna mais dif´ıcil, e (b) a complexidade dos algoritmos de controle resultantes. Redes neurais [20] ou l ógica nebulosa [18] podem ser usadas em algumas aplicaç ões para determinar o modelo de prediç ão.

OCPBMn ão linear é um campo aberto para pesquisas tanto na área de determinaç ão

de modelos como nos procedimentos e algoritmos de otimizaç ão para o c álculo do controle.

2.1.1.2: Modelo das perturbac¸ ˜oes

A escolha de um modelo para as perturbaç ões é t ão importante quanto a do processo. O modelo mais utilizado para a descriç ão de perturbaç ões determin´ısticas e estoc ásticas é o conhecido como modelo auto-regressivo integrado de media m óvel (Auto-Regressive and Integrated Moving Average (ARIMA)). Neste caso, as diferenças

entre a sa´ıda do modelo e do processo s ˜ao modeladas por:

η(t) = C(z

−1_)e(t)

D(z−1₎

onde o polin ômio D(z−1)inclui um integrador ∆ = 1 − z−1, e(t) é um ru´ıdo branco de m édia zero. Os demais par âmetros dos polin ômios C e D s ão usados para descre-ver as carater´ısticas estoc ásticas de n. Este modelo permite representar mudanças aleat órias, “off-sets”e outros fen ômenos normalmente encontrados nos meios indus-triais. Este modelo é usado diretamente noGPC, EPSAC,EHAC eUPC e, com algumas modificaç ões, em outros controladores.

Alguns casos particulares importantes s ˜ao: (a) o modelo usado emDMC,

η(t) = e(t) 1 − z−1

(19)

modelo usado noPFC

η(t) = e(t) (1 − z−1₎2

onde ˆη(t + k | t) = η(t) + (η(t) − η(t − 1))k.

Outras variaç ões destes modelos e estudos sobre o efeito do modelo das perturbaç ões no sistema de controle podem ser encontradas em [1, 14].

2.1.1.3: Resposta livre e forc¸ada

Uma carater´ıstica comum nos CPBM com modelos lineares, é a utilizaç ão dos conceitos de resposta livre e forçada. A ideia é considerar a sequ ência de controle composta por duas partes:

u(t) = uf(t) + uc(t)

uf(t)correspondente aos valores passados da entrada e que s ˜ao mantidos iguais aos

valores da vari ´avel manipulada:

uf(t − j) = u(t − j)para j = 1, 2, · · ·

uf(t + j) = u(t − 1)para j = 0, 1, 2, · · ·

uc(t) ´e zero no passado e igual aos controles a serem aplicados no futuro:

uc(t − j) = 0para j = 1, 2, · · ·

uc(t + j) = u(t + j) − u(t − 1)para j = 0, 1, 2, · · ·

Desta forma a prediç ão da sa´ıda do processo pode ser separada em duas par-tes: a resposta livre (yf(t)), que corresponde à prediç ão quando a entrada e igualada

à uf(t), e a outra, à resposta forçada (yc(t)), que corresponde as prediç ões quando o

controle é igual a uc(t). Como ser é mostrado adiante, estes conceitos s ão importantes

(20)

2.1.2: Func¸ ˜ao Objetivo

Em geral, os diversos algoritmos de CPBM utilizam diferentes func¸ ˜oes de custo

para calcular a lei de controle, por ém a maioria deles consideram como objetivo mini-mizar o erro entre a sa´ıda futura (y) e a refer ência desejada (w) penalizando o esforço incremental de controle ∆u.

Assim, a express ão mais geral desta funç ão objetivo para o caso monovari ável é: J = N2 X j=N1 δ(j)[ˆy(t + j | t) − w(t + j)]2 + Nu X j=1 λ(j)[∆u(t + j − 1)]2 (2.3)

Os elementos desta funç ão s ão:

• Par âmetros: N1, N2, Nu, δ(t) e λ(t). N1 e N2 s ão os horizontes de prediç ão

m´ınimo e m ´aximo, Nu ´e o horizonte de controle. Os valores destes ´ındices tem

uma interpretaç ão clara j á que definem os instantes onde deseja-se que a re-fer ência siga à sa´ıda e onde é importante limitar a aç ão de controle. Assim, se, por exemplo, N1 é grande implica que n ão é importante o erro cometido nos

primeiros N1 − 1 instantes e a resposta obtida tender ´a a ser suave. No caso

particular de sistemas com um atraso de valor d, é l ógico escolher N1 > d, j á

que n ão haver á resposta do sistema à entrada u(t) at é o tempo t = d. Variando Nu é poss´ıvel penalizar durante mais ou menos tempo a aç ão de controle. Os

coeficientes δ(j) e λ(j) s ão as sequ ências de ponderaç ão do erro e do esforço de controle e geralmente s ão escolhidas constantes ou exponenciais ao longo do horizonte. Por exemplo, uma funç ão do tipo:

δ(j) = αN2−j

permite variar a penalizaç ão do erro em diferentes partes do horizonte. Assim, para, por exemplo, gerar respostas mais suaves, escolhe-se um de valor α entre 0e 1 de forma tal que sejam mais penalizados os últimos valores do erro dentro do horizonte.

• Trajet ória de refer ência: uma das vantagens do CPBM é a possibilidade de

utili-zar o conhecimento dos valores futuros da refer ˆencia (quando dispon´ıveis) para o c ´alculo do sinal de controle, o que permite, por exemplo que o sistema atinja

(21)

mais rapidamente o novo valor desejado. Esta carater´ıstica torna-se interessante em algumas aplicaç ões como em rob ótica m óvel e manipuladora, em servo-acionamentos e em processos do tipo batelada, onde as refer ências futuras s ão conhecidas a priori.

Os valores de w(t + k) utilizados na funç ão objetivo n ão s ão necessariamente coincidentes com a refer ência real do sistema. Normalmente, nas aplicaç ões pr áticas, utilizam-se estrat égias para suavizar as mudanças de refer ência, de forma similar aos filtros utilizados nas estruturas cl ássicas de controle com dois graus de liberdade. Uma forma t´ıpica para esta lei é:

w(t) = r(t) w(t + k) = αw(t + k − 1) + (1 − α)r(t + k) k = 1 . . . N (2.4)

onde α é um par âmetro entre 0 e 1. Esta lei representa um filtro passa-baixas de primeira ordem que pode ser ajustado para suavizar mais, α pr óximo de um, ou menos, α pr óximo de zero, a forma da resposta. Estas ideias s ão usadas no GPC

e no EPSAC para especificar o comportamento desejado para a malha fechada

[3].

• Restriç ões: Na pr ática, todos os processos est ão sujeitos a restriç ões tanto nas vari áveis de sa´ıda como de entrada. Exemplos disto s ão os limites m áximos e m´ınimos impostos aos atuadores (como por exemplo v álvulas), a m áxima velo-cidade de variaç ão de um acionamento (por exemplo servo-acionamentos) ou os valores limites que podem ser atingidos pelas sa´ıdas de um sistema devido a quest ões de segurança. Al ém disso existem restriç ões do tipo econ ômico para o funcionamento do sistema que em geral levaram a escolher pontos de operaç ão muito pr óximos destes limites. Assim, se o controle é corretamente calculado para trabalhar muito pr óximo daquele ótimo, a qualidade e a relaç ão custo-benef´ıcio do processo produtivo s ão otimizadas [2]. Por estes motivos, a inclus ão das restriç ões na funç ão objetivo que se deseja minimizar é importante. Neste sentido, todos os algoritmos de CPBM permitem inclu´ı-las no momento da obtenç ão do m´ınimo de J considerando um conjunto de equaç ões do tipo:

(22)

umin ≤ u(t) ≤ umax ∀t

dumin ≤ u(t) − u(t − 1) ≤ dumax ∀t

ymin ≤ y(t) ≤ ymax ∀t

Deve ser mencionado aqui que, nestes casos, a soluç ão do m´ınimo de J n ão pode ser obtida analiticamente, e requer uma carga de c álculo bem maior que no caso sem restriç ões. Apesar da complexidade de c álculo, a capacidade do CPBM de levar

as restriç ões em consideraç ão é o principal motivo do seu sucesso nas aplicaç ões industriais.

O tratamento do CPBM com restriç ões apresenta diversas dificuldades, tanto te óricas como de implementaç ão. A formulaç ão do problema consiste no correto equacionamento das restriç ões e num tratamento posterior que é conhecido como “estudo de factibilidade e gest ão de restriç ões”. Este tratamento permite o correto funcionamento do algoritmo de otimizaç ão, liberando ou suavizando, quando poss´ıvel, as restriç ões. Por outro lado, do ponto de vista da implementaç ão do algoritmo de otimizaç ão, as pesquisas est ão orientadas à melhoria da efici ência e à minimizaç ão dos tempos de c álculo [8]. Finalmente, os problemas de estabilidade destes sistemas de controle somente tem sido resolvidos parcialmente e numerosas pesquisas vem sendo realizadas nos últimos anos (ver [2, 15] e as refer ências citadas para um estudo mais aprofundado destes problemas).

2.1.3: Obtenc¸ ˜ao da lei de controle

Em todos os algoritmos deCPBMo objetivo ´e calcular u(t + k | t) para minimizar

J. Para isso é necess ário calcular as prediç ões ˆy(t + k | t) como funç ão do controle futuro (a partir do m étodo utilizado por cada algoritmo), e substituir na funç ão J . No caso de utilizar um modelo linear e sem restriç ões, é poss´ıvel obter uma soluç ão anal´ıtica do m´ınimo de J. Em outro caso a soluç ão é obtida de forma iterativa por algum m étodo de otimizaç ão.

Independente do m étodo utilizado, a soluç ão é, em geral, complexa devido ao n úmero de vari áveis envolvidas, principalmente quando os horizontes s ão grandes. Para reduzir os graus de liberdade deste problema alguns algoritmos prop õem estru-turar a lei de controle. Isto pode ser feito como noDMC,GPC,EPSACeEHAC, ajustando

(23)

o horizonte de controle (Nu), o que implica em zerar as variaç ões do controle ap ós um

certo valor no horizonte Nu < N2:

∆u(t + j − 1) = 0 j > Nu

Outra forma de estruturar o controle, que ´e usada noPFC, consiste em calcular

o controle como uma combinaç ão de funç ões preestabelecidas:

u(t + k) =

n

X

i=1

µi(t)Bi(k) (2.5)

onde os Bi s ˜ao escolhidos de acordo com o tipo de processo e de refer ˆencia.

2.2: Controle por Matriz Din ˆamica (DMC)

Nesta seç ão ser á discutido o algoritmo preditivo chamado Controle por Matriz Din âmica (DMC), um dos algoritmos mais difundidos na ind ústria e usado como base

para o controlador CPM da Petrobras. Inicialmente ser á mostrado o algoritmo origi-nal do DMC proposto em [5], e depois ser á introduzido o DMC com implementaç ão recursiva, proposto em [12], que modifica como a resposta livre é calculada de forma a obter um algoritmo mais simples de ser implementado e com a vantagem de n ão afetar o controlador original doDMC.

2.2.1: DMC Original

O algoritmo DMC utiliza os coeficientes da resposta do degrau do sistema para calcular as predic¸ ˜oes:

ˆ y(t + k|t) = ∞ X i=1 gi∆u(t + k − i) + η(t + k|t) (2.6)

onde η(t + k|t) é o erro de prediç ão no instante t + k. Como, em geral, n ão é poss´ıvel determinar o erro de prediç ão futuro, sup õe-se que o erro de prediç ão se manter á constante, ent ão η(t + k|t) = η(t|t) = y(t) − yo(t|t), onde yo é a prediç ão em malha

aberta, ou seja, sem correç ões. Substituindo o erro de prediç ão na Eq. (2.6), e sepa-rando os termos do somat ório que dependem das aç ões futuras de controle tem-se

(24)

ˆ y(t + k|t) = k X i=1 gi∆u(t + k − i) + ∞ X i=1

gk+i∆u(t − i) + y(t) − ∞ X i=1 gi∆u(t − i) ˆ y(t + k|t) = k X i=1 gi∆u(t + k − i) + ∞ X i=1

(gk+i− gi)∆u(t − i) + y(t) (2.7)

O somat ório infinito presente na equaç ão anterior pode ser truncado ap ós M termos, isto porque gk+i−gi ∼= 0, ∀i > M . Isto resulta na seguinte equaç ão de prediç ão

para o DMC: ˆ y(t + k|t) = k X i=1 gi∆u(t + k − i) + M X i=1

(gk+i− gi)∆u(t − i) + y(t) (2.8)

(2.9)

Considerando um horizonte de prediç ão de N amostras e um horizonte de con-trole de Nu, pode-se escrever as prediç ões futuras de forma matricial:

ˆ

y = Gu + I∆u(t − 1) + 1Ny(t) (2.10)

onde 1N ´e um vetor com N linhas cujos elementos s ˜ao todos iguais a 1,

I∆u(t − 1) =        (g2− g1) (g3− g2) . . . (gM +1− gM) (g3− g1) (g4− g2) . . . (gM +2− gM) .. . ... · · · ... (gN +1− g1) (gN +2− g2) . . . (gN +M − gM)               ∆u(t − 1) ∆u(t − 2) .. . ∆u(t − M )        , Gu =        g1 0 . . . 0 g2 g1 . . . 0 .. . ... · · · ... gN gN −1 . . . gN −Nu               ∆u(t) ∆u(t + 1) .. . ∆u(t + Nu− 1)        , e ˆy = [ˆy(t + 1|t), . . . , ˆy(t + N |t)]T.

Nota-se que na matriz I existem coeficientes gicom ´ındice maior que M , quando

(25)

A Eq. (2.10) pode ser reescrita da forma:

ˆ

y = Gu + fr (2.11)

onde fr = I∆u(t − 1) + 1Ny(t) ´e a resposta livre do sistema.

Nesta equaç ão pode-se observar que se as condiç ões iniciais s ão nulas a res-posta livre é zero, e que se for aplicado um degrau unit ário em u,

∆u(t) = 1, ∆u(t + 1) = 0, · · · , ∆u(t + N − 1) = 0

a sequ ência de sa´ıda [ˆy(t + 1), ˆy(t + 2), · · · , ˆy(t + N )]T _{ser á igual à primeira coluna de}

G. Isto implica que a primeira coluna de G pode ser calculada a partir da resposta ao degrau do sistema. Na pr ática é interessante escolher um horizonte de controle Nu < N (normalmente Nu = N/5 gera resultados satisfat órios) o que simplifica o

problema de controle pois diminui os graus de liberdade. Neste caso na equaç ão de c álculo das prediç ões a matriz G ter á dimens ão N × Nu e o vetor u dimens ão Nu× 1.

Para calcular o m´ınimo de J é conveni ênte escrever a express ão (2.3) como:

J = (Gu + f_r− w)T_Q

y(Gu + fr− w) + u T_Q

uu (2.12)

onde Qy e Qu s ão matrizes diagonais com os valores das ponderaç ões na

diagonal.

w =h w(t + d + 1) w(t + d + 2) · · · w(t + d + N ) iT

A equaç ão (2.12) pode ser escrita como uma forma quadr ática:

J = 1 2u

T_{Hu + b}T_{u + f}

0 (2.13)

(26)

H = 2(GTG + λI) bT = 2(f_r− w)TG f₀ = (f_r− w)T_(f

r− w)

O m´ınimo de J pode ser calculado, quando n ão h á restriç ões, igualando o gra-diente de J a zero. Assim, o controle pode ser calculado atrav és da equaç ão a seguir:

u = −H−1b = (GTG + λI)−1GT(w − f_r) (2.14)

Como o algoritmo é de horizonte deslizante, unicamente o primeiro sinal de controle é aplicado (primeiro elemento do vetor u), assim a lei de controle final é:

∆u(t) = K(w − f_r) (2.15)

onde K ´e a primeira linha da matriz (GTG + λI)−1GT e w o vetor de referencias futuras.

2.2.2: DMC Recursivo

Em [12], demonstrou-se a propriedade recursiva do DMC, que ser¨ıá apresen-tada a seguir. As prediç ões de malha aberta em t + k dado as informaç ões em t e t − 1 s ão dadas a seguir:

yo(t + k|t) = ∞ X i=k+1 gi∆u(t + k − i) yo(t + k|t − 1) = ∞ X i=k+2 gi∆u(t + k − i)

A diferença entre a prediç ão de malha aberta em t + k dado t, e em t + k dado t − 1, é apenas a aç ão de controle nova ∆u(t − 1) que n ão se conhecia em t − 1. Subtraindo as equaç ões anteriores:

(27)

yo(t + k|t) − yo(t + k|t − 1) = gk+1∆u(t − 1) + ∞ X i=k+2 gi∆u(t + k − i) − ∞ X i=k+2 gi∆u(t + k − i) yo(t + k|t) = gk+1∆u(t − 1) + yo(t + k|t − 1)

A utilizaç ão do DMC recursivo é feita da seguinte forma: mant ém-se em mem ória um vetor com M elementos: Ylivre = [yo(t|t − 1), . . . , yo(t + M − 1|t − 1)]T. Seus

ele-mentos s ão as repostas livres dadas as aç ões de controle conhecidas at é o instante t − 1. Ao iniciar o controlador DMC no instante t0, dado que o sistema encontra-se em

regime permanente, considera-se que as predic¸ ˜oes de malha aberta sejam constantes e iguais ao valor de y(t0).

Ao iniciar a execuç ão do algoritmo DMC no instante t, é preciso atualizar o vetor de resposta livre pois o incremento da aç ão de controle ∆u(t − 1) agora é conhecido:

Ylivre= Ylivre+        g1 g2 .. . gM        ∆u(t − 1)

Assim, obt ´em-se o vetor Ylivre atualizado. Ap ´os obter o novo sinal de controle

u(t), ´e preciso “deslocar” os valores dentro do vetor Ylivre, isto porque no instante

posterior t + 1, ser ão precisas as repostas livres de t + 1 at é t + M baseadas nos dados at é t. Ent ão, o primeiro elemento é descartado pois é a prediç ão relativa ao instante t que j á passou. O problema é que, ao se fazer este deslocamento, o último elemento, no caso a prediç ão em y(t + M |t), é desconhecida. Por ém, no caso est ável, yo(t + M |t) ∼= yo(t + M − 1|t), assim, o novo vetor Ylivreser á dado por:

Ylivre =           yo(t + 1|t) yo(t + 2|t) .. . yo(t + M − 1|t) yo(t + M − 1|t)          

(28)

yo(t + M − 1|t) = ∞ X i=M gi∆u(t + M − 1 − i) yo(t + M |t) = ∞ X i=M +1 gi∆u(t + M − i) = ∞ X i=M gi+1∆u(t + M − 1 − i) yo(t + M |t) − yo(t + M − 1|t) = ∞ X i=M (gi+1− gi)∆u(t + M − 1 − i)

Como gi+1− gi ∼= 0, ∀i > M , tem-se que yo(t + M |t) ∼= yo(t + M − 1|t), como se

queria demonstrar.

Assim, o c ´alculo da resposta livre considerada no DMC-recursivo ´e dado da seguinte forma: fr =     yo(t + 1|t) .. . yo(t + N |t)     + 1N(y(t) − yo(t|t)) (2.16)

Utilizando esta forma de implementaç ão, os c álculos necess ários para obter a resposta livre se tornam mais simples, n ão sendo necess ário o armazenamento dos incrementos passados de controle. Como este procedimento so altera o modo de calcular a resposta livre, o restante do algoritmo de controle n ão é modificado.

2.3: DMC Multivari ´avel

O algoritmo para o caso monovari ável, apresentado na seç ão 2.2.1, pode ser facilmente estendido para o caso multivari ável. Para um sistema com m entradas e n sa´ıdas, as prediç ões s ão calculadas da seguinte forma:

(29)

                                       ˆ y1(t + k|t) = P∞

i=1g11,i∆u1(t + k − i) +

P∞

i=1g12,i∆u2(t + k − i)+

. . . +P∞

i=1g1m,i∆um(t + k − i) + η1(t + k|t)

..

. = ...

ˆ

yn(t + k|t) = P ∞

i=1gn1,i∆u1(t + k − i) +

P∞

i=1gn2,i∆u2(t + k − i)+

. . . +P∞

i=1gnm,i∆um(t + k − i) + ηn(t + k|t)

(2.17)

onde ˆyh(t + k|t) é a prediç ão da h- ésima sa´ıda no instante t + k dado os dados em t,

uj a j- ésima entrada, ghj,i é o i- ésimo coeficiente da resposta ao degrau da sa´ıda h em

relaç ão à entrada j, e ηh é o erro de prediç ão que é calculado de maneira id êntica ao

caso monovari ´avel, ou seja, ηh(t + k|t) = ηh(t + k|t) = yh(t) − yoh(t|t).

A prediç ão de malha aberta sem correç ão da sa´ıda h, yoh(t|t), é dada por

yoh(t|t) = ∞ X i=1 gh1,i∆u1(t − i) + ∞ X i=1 gh2,i∆u2(t − i) + . . . + ∞ X i=1

ghm,i∆um(t − i),

(2.18)

substituindo a equaç ão anterior na equaç ão 2.17, obt ém-se a prediç ão de uma forma similar ao apresentado no caso monovari ável, excetuando o fato de agora haver mais vari áveis de controle:

ˆ yh(t + k|t) = k X i=1 gh1,i∆u1(t + k − i) + . . . + k X i=1 ghm,i∆um(t + k − i) + ∞ X i=1

(gh1,k+i− gh1,i)∆u1(t − i) + . . . + ∞

X

i=1

(ghm,k+i− ghm,i)∆um(t − i)

+y(t)

Assim como apresentado anteriormente, os somat órios infinitos podem ser trun-cados ap ós M termos pois, para sistemas est áveis, ghj,k+i− ghj,i ∼= 0 , ∀i > M .

(30)

generalidade, um horizonte de predic¸ ˜ao N e de controle Nu comum a todas as

entra-das, as prediç ões da h- ésima sa´ıda podem ser escritas como a seguir:

ˆ yh=     ˆ yh(t + 1|t) .. . ˆ yh(t + N |t)     = [Gh1 Gh2 . . . Ghm]     ∆u1(t) . . . ∆um(t) .. . ... ... ∆u1(t + Nu− 1) . . . ∆um(t + Nu− 1)     + [Ih1 Ih2 . . . Ihm]     ∆u1(t − 1) . . . ∆um(t − 1) .. . ... ... ∆u1(t − M ) . . . ∆um(t − M )     +1Nyh(t), (2.19)

ou, de forma mais compacta,

ˆ

yh = [Gh1 Gh2 . . . Ghm] u + [Ih1 Ih2 . . . Ihm] ∆u(t − 1) + 1Nyh(t),

onde as matrizes Ghj e Ihj s ão calculadas de maneira id êntica ao caso monovari ável.

Combinando as prediç ões de todas as sa´ıdas, obt ém-se a seguinte representaç ão matricial: ˆ y = Gu + I∆u(t − 1) + Iyy(t) (2.20) onde ˆy = ˆy1T, . . . , ˆyhT T , y = [y1(t), . . . , yh(t)], e G =     G11 . . . G1m .. . ... ... Gh1 . . . Ghm     , I =     I11 . . . I1m .. . ... ... Ih1 . . . Ihm     , Iy=     1N 0 . . . 0 0 1N . . . 0 0 0 . . . 1N     .

(31)

que ´e um vetor de ordem h · N × 1.

2.3.1: DMC Recursivo Multivari ´avel

A propriedade recursiva do DMC apresentada na seç ão 2.2.2 continua v álida no caso multivari ável, com a diferença que agora ser á necess ário manter h vetores de respostas livres correspondentes a cada sa´ıda.

Da mesma forma que no caso monovari ável, mant ém-se em mem ória h vetores com M elementos: Yh,livre = [yoh(t|t − 1), . . . , yoh(t + M − 1|t − 1)]T. Seus elementos

s ão as respostas livres dadas as aç ões de controle conhecidas at é o instante t − 1. Ao iniciar o controlador DMC no instante t0, dado que o sistema encontra-se em regime

permanente, considera-se que as predic¸ ˜oes de malha aberta para todas as sa´ıdas sejam constantes e iguais ao valor de yh(t0).

Depois de iniciar a execuç ão do algoritmo DMC no instante t, é preciso atualizar o vetor de resposta livre com o incremento das aç ões de controle ∆uj(t − 1) , j =

1, . . . , m, que agora s ˜ao conhecidas:

Yl,livre = Yl,livre +        gh1,1 gh1,2 .. . gh1,M        ∆u1(t − 1) + . . . +        ghm,1 ghm,2 .. . ghm,M        ∆um(t − 1)

Assim, obt ´em-se o vetor Yh,livreatualizado. Ap ´os obter o novo sinal de controle

u(t), ´e preciso “deslocar” os valores dentro do vetor Yh,livre, isto porque no instante

posterior t + 1, ser ão precisos as repostas livres de t + 1 at é t + M baseadas nos dados at é t. Ent ão, o primeiro elemento é descartado pois é a prediç ão relativa ao instante t que j á passou. O problema é que, ao se fazer este deslocamento, o último elemento, no caso a prediç ão em yh(t+M |t), é desconhecida. Por ém, no caso est ável,

(32)

YH,livre =           yoh(t + 1|t) yoh(t + 2|t) .. . yoh(t + M − 1|t) yoh(t + M − 1|t)          

Desta forma, as prediç ões no DMC recursivo multivari ável s ão dadas por

ˆ

y = Gu + fr. (2.21)

Considerando que yoh = [yoh(t + 1), . . . , yoh(t + N )], a resposta livre fr ´e dada

por fr =     yo1 .. . yoh     + Iy h (y1(t) − yo1(t)) . . . (yl(t) − yoh(t)) i . (2.22)

2.4: Coment ´arios finais

Neste cap´ıtulo foi feita uma revis ão da teoria de controle preditivo e dos concei-tos usados na formulaç ão dos ´ındices que ser ão apresentados no cap´ıtulo 3. Al ém disso, tamb ém é apresentada a teoria do controle por matriz din âmica que é o tipo de controle preditivo usado na unidade de processamento analisada neste projeto, descrita no cap´ıtulo 4.

(33)

Cap´ıtulo 3: Ferramenta de Aux´ılio a

Sintonia Total (FAST MPC)

O desenvolvimento da FAST MPC faz parte de uma dissertaç ão de mestrado [13] desenvolvida no projeto de pesquisa e desenvolvimento ”Algoritmos para Identificaç ão e Controle Preditivo N ão Linear de Processos da Ind ústria do Petr óleo de G ás Natu-ral”. Este é um projeto do Departamento de Automaç ão e Sistemas em colaboraç ão com o Cenpes da Petrobr ás.

Como o objetivo deste trabalho é validar a metodologia proposta atrav és de um estudo de caso, este cap´ıtulo traz uma explicaç ão detalhada do c álculo dos ´ındices e da an álise do desempenho e da sintonia do controle. O conte údo deste cap´ıtulo é baseado em relat órios t écnicos do projeto e outros materiais internos.

Uma das dificuldades encontradas na aplicaç ão de Controle Preditivo baseado em Modelo é avaliaç ão da sintonia e do desempenho do sistema de controle. Por isso a necessidade de m étodos de avaliaç ão de desempenho de sistemas de controle MPC é largamente reconhecida no meio industrial. Algumas abordagens nessa direç ão baseiam-se na comparaç ão do desempenho do sistema de controle sob an álise a um MPC baseado em vari ância m´ınima. Entretanto, com essas abordagens n ão se pode definir qual vari ável controlada tem o pior seguimento a refer ência, porque ela tem um desempenho ruim ou onde modificar a sintonia do controlador para atingir um determinado objetivo.

Para conseguir o desempenho desejado do controlador s ão necess ários bons modelos de prediç ão e uma boa escolha nas ponderaç ões das vari áveis, j á que a sintonia do controlador é diretamente dependente das matrizes de ponderaç ão das vari áveis controladas Qy e das vari áveis manipuladas Qu, e tamb ém da prediç ão ¯Y

calculada a partir do modelo de predic¸ ˜ao.

A equaç ão 3.1 mostra a funç ão custo na forma para sistemas multivari áveis, onde ¯Y é a prediç ão da vari ável controlada do sistema, W (k) é a refer ência ou valor

(34)

desejado da vari ável controlada (target), 4U (k) é a variaç ão do sinal de controle, Qy e Qu s ão matrizes de ponderaç ão escolhidas arbitrariamente pelo projetista. As

matrizes My e Mus ão matrizes que realizam a normalizaç ão das vari áveis controladas

e manipuladas. Esta normalizaç ão pode ser realizada com o valor m áximo esperado para cada vari ável ou com o range (xmax - xmin), por exemplo. Neste trabalho ser á

definido um valor Une Yn como valores normalizados onde Un= usse Yn = w.

J = [¯Y − W]TMT_yQyMy[¯Y − W] + 4UTMTuQuMu4 U (3.1)

Com base nos par âmetros da funç ão custo e na import ância de uma boa prediç ão, foram criados seis ´ındices que avaliam o desempenho e a sintonia do controlador:

1. Índices de Avaliaç ão: • Desvios M édios;

• ´Indices de Estabilidade. 2. ´Indices de Sintonia:

• ´Indices de Seguimento Relativos; • ´Indices de Controle Relativos;

• Índices de Supress ão de Movimento; • Índices de Erro de Modelagem.

Os Índices de Avaliaç ão ser ão utilizados para analisar o desempenho da planta de forma global e verificar a possibilidade de melhoria das respostas das vari áveis controladas. J á os Índices de Sintonia ser ão utilizados para analisar o ajuste das ponderaç ões Qy e Qu da funç ão custo e os modelos utilizados. Os Índices de Erro

de Modelagem e os Desvios M édios s ão os únicos ´ındices que podem ser analisa-dos como um indicador, ou seja, seus valores tem uma interpretaç ão f´ısica real inde-pendente. Os outros ´ındices n ão tem sentido analisados isoladamente e devem ser comparados com todos os ´ındices das demais vari áveis.

Os ´ındices, analisados em conjunto, indicam como o controlador est á tratando cada vari ável em relaç ão as outras, permitindo uma an álise e avaliaç ão da sintonia do controlador MPC e fornecendo uma base s ólida para a localizaç ão dos principais pro-blemas relacionados com as ponderaç ões da funç ão custo utilizada ou com os mode-los de prediç ão. O resultado dessa avaliaç ão visa auxiliar a tomada de decis ão quanto

(35)

a modificar as ponderaç ões da funç ão custo do controlador MPC ou re-identificar os modelos de prediç ão utilizados.

Os Desvios M édios e os Índices de Seguimento Relativos n ão ponderados s ão os ´ındices que avaliam a qualidade do sistema de controle MPC e servem como ponto de partida para as an álises do desempenho do MPC. Como estes ´ındices s ão cal-culados com o erro de seguimento de refer ência, a vari ável controlada com menor ´ındice ser á aquela que est á fazendo o melhor seguimento de refer ência. Os Desvios M édios apresentam uma a m édia absoluta do erro de seguimento de refer ência em porcentagem de cada vari ável controlada enquanto os Índices de Seguimento Rela-tivos mostram uma vis ão percentual relativa ao somat ório de todos erros individuais para o caso ponderado e n ão ponderado. Em um sistema sob controle é natural que algumas vari áveis controladas tenham maior import ância econ ômica que outras. Uma vari ável que representa uma concentraç ão, por exemplo, pode ter mais necessidade de seguir uma refer ência do que uma vari ável press ão que est á dentro dos seus limi-tes aceit áveis. Assim, se a concentraç ão apresenta um ´ındice de seguimento pior do que a press ão, alguma aç ão precisa ser tomada para melhorar o quadro.

Para identificar onde atuar para melhorar o seguimento de refer ência de uma vari ável controlada foram criados os ´ındices de seguimento relativos para saber como atuar nas ponderaç ões Qy ´ındices de erro de modelagem para verificar a qualidade

dos modelos de prediç ão, ´ındices de aç ão de controle relativos e supress ão de movi-mento para verificar como atuar nas ponderaç ões Qu. Os ´ındices de seguimento e de

controle, que s ão baseados em uma parcela da funç ão custo, s ão calculados para os casos com e sem ponderaç ão. Isso permite comparar o efeito da ponderaç ão com o resultado verificado nas mediç ões reais. No caso sem ponderaç ão pode se ver como o sistema est á funcionando na realidade e no caso ponderado pode-se ver a vis ão que o controle MPC tem do funcionamento do sistema para calcular as futuras aç ões de controle.

Com uma adequada interpretaç ão desses ´ındices dever á ser poss´ıvel identifi-car:

• Quais vari ´aveis controladas devem ter seus seguimentos de refer ˆencia melhora-dos,

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3.1: C ´alculo dos ´ındices

A cada instante de tempo k do controle s ão calculados os ´ındices Instant âneos a partir das equaç ões 3.2, 3.6,3.8,3.10, 3.11,3.12, mostradas a seguir. Como o objetivo é obter valores que refletem o comportamento do sistema ao longo de um determinado tempo, calcula-se a m édia dos ´ındices Instant âneos atrav és de um algoritmo recursivo. Neste algoritmo n ão h á necessidade do c álculo de N e pode-se ainda escolher o tempo da janela de mediç ões utilizadas para o c álculo da m édia, Nmedia, e a influ ência

dos elementos dentro da janela s ˜ao ponderados por um fator de esquecimento. Ou seja, o ´ındice calculado no instante k − Nmedia − 1 tem efeito zero sobre o c ´alculo

da m édia. j á a influ ência no c álculo da m édia cresce desde 0 at é 1 para os ´ındices instant âneos calculados em k − Nmedia− 1 at é k.

A m édia recursiva é calculada com o seguinte pseudo-c ódigo: Defina: x = 5 Nmedia e I_{y medio}i = 0 se k = 1 : Den(k) = 1 I_{y medio}i (k) = I_{y inst}i (k) sen ão: Den(k) = Den(k − 1) · e−x+ 1 I_{y medio}i (k) = e −x_{· I}i y medio(k − 1) · Den(k − 1) + I i y inst(k) Den(k)

Todos os valores s ão normalizados entre 0 e 1 onde é poss´ıvel observar a influ ência da sintonia do MPC no sistema para cada vari ável em comparaç ão com as outras em uma mesma amplitude e a normalizaç ão utilizada é a mesma da funç ão custo apresentada.

3.1.1: Desvios M ´edios

Estes ´ındices avaliam a qualidade do seguimento de refer ência das vari áveis controladas. Seu valor representa o desvio m édio do erro de seguimento em porcen-tagem e pode ser analisado individualmente. Nesse caso, n ão se calcula relativamente os ´ındices pois n ão se tem a intenç ão de analisar as ponderaç ões Qy, mas a

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erro. A equaç ão 3.2 mostra esse c álculo.

D_{y inst}i (k) = 100 · kw

i_{(k) − y}i_(k)k

wi_(k) (3.2)

Ao final do per´ıodo de an ´alise teremos Di

y medio para cada vari ´avel controlada.

A partir desse valor ser ão montados dois tipos de ´ındices diferentes: Desvios M édios Individuais e o Desvio M édio Total. Os Desvios M édios Individuais Di

y indser ˜ao iguais

ao valor final de Di

y medio para cada vari ável controlada. E o Desvio M édio Total ser á o

somat ório desses ´ındices individuais dividido pelo n úmero de vari áveis controladas n. Como mostrado na equaç ão 3.3.

Di_y = Pn i=1D i y ind n (3.3)

Esse Desvio M édio Total ajudar á o projetista a saber se as mudanças feitas no projeto do controlador diminu´ıram o erro m édio de seguimento de refer ência das vari áveis controladas, o que representa uma melhoria da resposta do sistema. Os Desvios M édios Individuais s ão analisados quando se tem interesse maior no se-guimento de alguma vari ável em particular. É o caso quando algumas vari áveis do processo tem grande import ância econ ômica, por exemplo.

3.1.2: ´Indice de Estabilidade

Esse ´ındice avalia o quanto cada vari ável controlada pode melhorar em desem-penho no seguimento da refer ência sem levar o sistema para a instabilidade. Utiliza-dos em conjunto com os ´ındices de Seguimento Individuais e os ´ındices de Supress ão de Movimento auxiliam o projetista a melhorar o desempenho global do sistema. Con-siderando que o desempenho final de um sistema de controle é frequentemente obtido considerando o compromisso com seguimento de refer ência e estabilidade, é pre-ciso saber se uma vari ável controlada est á pr óxima da sua regi ão de instabilidade. A equaç ão 3.6 foi desenvolvida com base no teorema da estabilidade de Lyapunov [11]. Pelo teorema da estabilidade de Lyapunov, uma funç ão L(t) : Rn _{→ R}

repre-sentada pela equaç ão 3.4 é dita ser positiva definida se atende os requisitos expostos na equaç ão 3.5. O que pode ser facilmente provado com a equaç ão proposta com o o valor dos erros de seguimento de refer ência das vari áveis controladas ei _normalizado

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L(t) = 1 2 · ei_(t) wi 2 (3.4) L(0) = 0 e L > 0 para ∀ ei 6= 0 (3.5)

Como a energia dos estados do sistema precisa decrescer ao longo do tempo, sua derivada deve ser negativa ∂L(t)_∂t < 0. Portanto, para a derivada é esperado um valor negativo. Sabe-se que quanto maior o valor absoluto dessa funç ão, mais rapi-damente o sistema decresce sua energia e ’mais’ est ável ser á o sistema. E quando o valor se aproxima de zero ocorre a situaç ão inversa. Baseado nessas conclus ões foi criado o Índice de Estabilidade, apresentado na equaç ão 3.6. O objetivo desse ´ındice é mostrar o quanto cada vari ável controlada est á perto da sua regi ão de instabilidade.

I_{est inst}i (k) = e i_(k) wi_(k)2 · (e i (k) − ei(k − 1)) − e i_(k)2 wi_(k)3 · (w i (k) − wi(k − 1)) (3.6)

A geraç ão deste ´ındice é feita calculando uma m édia recursiva acumulada ao longo do per´ıodo de an álise, como a utilizada nos ´ındices anteriores. Seu valor m édio Ii

est medio ao final do per´ıodo de an ´alise ser ´a o ´ındice a ser analisado. Para

efeito demonstrativo em uma escala similar aos outros ´ındices, foi usado seu valor em potenciaç ão como a equaç ão 3.7 onde α é um valor escolhido para determinar a sen-sibilidade da variaç ão entre os ´ındices (normalmente se utiliza o valor 100 ou 1000). Portanto, conclui-se que quanto mais pr óximo de 0 este valor mais perto de sua regi ão de instabilidade essa vari ável se encontra.

I_esti = 10α· √

−Ii

est medio (3.7)

3.1.3: ´Indices de Seguimento de Refer ˆencia Relativo

Estes ´ındices avaliam as vari áveis controladas do sistema quanto a qualidade de seu seguimento de refer ência. Baseado na parcela de erro de seguimento de refer ência [˜Y − W]T_MT

yQyMy[˜Y − W] da funç ão custo apresentada na equaç ão 3.1, foi

montada a equaç ão 3.8. Onde yi_(k) _{é o valor medido da vari ável controlada i e w}i_(k)

sua refer ência no instante de amostragem k. O valor é normalizado pela refer ência wi(k) para permitir a comparaç ão com as outras vari áveis controladas. Nota-se que esse valor indica o erro quadr ático percentual da vari ável controlada normalizado. A

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normalizaç ão aqui realizada é id êntica aquela feita pela funç ão custo apresentada na equaç ão 3.1 mas, caso seja necess ário, outras formas de normalizaç ão (scaling) devem ser implementadas para evitar a divis ão por zero.

I_{y inst}i (k) = 100 · w i_{(k) − y}i_(k) wi_(k) 2 · Qi y (3.8)

Estes ´ındices s ˜ao calculados para o caso ponderado e n ˜ao ponderado (Qi y =

1). Com os ´ındices sem ponderaç ões pode se ver o seguimento real das vari áveis controladas e com os ´ındices ponderados pode-se ver o seguimento fict´ıcio que o controle MPC tem de cada vari ável controlada.

Ao final do per´ıodo de an ´alise teremos Ii

y medioe Iy medio pi ponderados para cada

vari ´avel controlada.

Para permitir um comparativo entre as vari áveis, s ão calculados os Índices de Seguimento Relativos como mostrado na equaç ão 3.9, onde n é o n úmero de vari áveis controladas. Este c álculo relativo dar á uma vis ão percentual dos erros de seguimento de refer ência das vari áveis. Assim os Índices de Seguimento Relativos Ii

y rel e Iy rel pi

ponderados permitem comparar a influ ência das ponderaç ões usadas na sintonia do controlador analisando a diferença no valor entre o ´ındice com e sem ponderaç ão para cada vari ável controlada, como ser á explicado na seç ão 3.3.

I_{y rel}i = I i y medio Pn j=1I j y medio (3.9)

Ambos ´ındices indicam o quanto cada vari ável controlada representa, em m édia, de peso na funç ão custo do MPC com relaç ão ao seu erro de seguimento de re-fer ência. Portanto quanto menor este ´ındice, melhor ser á o seguimento da rere-fer ência desta vari ável controlada.

3.1.4: ´Indices Controle Relativo

Estes ´ındices avaliam as vari áveis manipuladas do sistema quanto a atividade de sua aç ão de controle. Baseado na parcela de esforço de controle 4UTMT_uQuMu4U

da funç ão custo da equaç ão 3.1. Representado na equaç ão 3.10 e normalizado pela aç ão de controle em regime permanente (ui

ss) para permitir a comparac¸ ˜ao com as

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os casos de poss´ıvel divis ão por zero). Estes ´ındices tamb ém ser ão calculados para os casos ponderado e n ão ponderado (Qi

u = 1) pelo mesmo motivo apresentado para

os ´Indices de Seguimento Relativos.

I_{u inst}i (k) = 100 · 4u i_(k) ui ss(k) 2 · Qi u (3.10)

Para esses ´ındices tamb ém ser ão aplicadas as f órmulas m édias e relativas da mesma forma apresentada para os Índices de Seguimento. E o valor do ´ındice que ser á analisado é o Ii

u medio obtido ao final do per´ıodo de an ´alise, neste caso tamb ´em

na forma Ii

u rel e Iu rel pi ponderada. O objetivo destes ´ındices ´e mostrar quais vari ´aveis

manipuladas est ão sendo mais solicitadas baseado no peso que elas representam na funç ão custo do MPC. Disso conclui-se que quanto maior o ´ındice, maior a variaç ão da vari ável manipulada.

3.1.5: ´Indices de Supress ˜ao de Movimento

Estes ´ındices avaliam o quanto uma vari ável controlada est á sendo afetada com relaç ão à supress ão da variaç ão das vari áveis manipuladas imposta pelas ponderaç ões em Qu que se relacionam a ela. Calculados utilizando a equaç ão 3.11, onde m é o

n úmero de vari áveis manipuladas e Kij s ão os ganhos das funç ões de transfer ências

que s ˜ao acopladas com aquela vari ´avel controlada.

I_{sm inst}i (k) = [w i_(k)]2 Pm j=1[4uj(k) · Kij] 2 · 1 1000 (3.11)

A geraç ão destes ´ındices é feita com o c álculo de m édia recursiva como nos ´ındices anteriores e o Ii

sm medio obtido ao final do per´ıodo de an ´alise ser ´a o valor a

ser analisado. Neste caso n ão ser á calculado a comparaç ão relativa das vari áveis. Quanto maior for este ´ındice, maior ser á a supress ão de movimento que est á sendo aplicada as vari áveis manipuladas que afetam aquela vari ável controlada. Como pode ser observado, tamb ém nestes ´ındices, a refer ência da vari ável controlada é usada como forma de normalizar. Caso a refer ência seja nula deve ser usado outro valor como, por exemplo, o maior valor esperado da controlada.

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3.1.6: ´Indices do Erro de Modelagem

Estes ´ındices avaliam a qualidade dos modelos de prediç ão usados para predi-zer o comportamento do sistema. Mostrado na equaç ão??, calcula os erros entre as prediç ões do modelo ˜yi_{e as sa´ıdas reais do processo y}i _{normalizados pela refer ência}

wi _{para permitir a comparaç ão com as outras vari áveis controladas.}

I_{em inst}i (k) = 100 · k ˜y

i_{(k) − y}i_(k)k

wi_(k) (3.12)

Os valores instant âneos s ão aplicados na equaç ão de m édia recursiva e o valor do ´ındice que ser á analisado s ão os Ii

em medio obtidos ao final do per´ıodo de an ´alise.

O valor destes ´ındices podem ser interpretados como os erros m édios de prediç ão de cada vari ável controlada. Quanto maior for o ´ındice, maior a quantidade de erros nos modelos daquela vari ável controlada ou necessidade de modelagem de perturbaç ões ainda n ão modeladas. O mesmo coment ário vale aqui, caso a refer ência seja nula pode ser usado o maior valor esperado da controlada na normalizaç ão.

3.2: Apresentaç ão Gr áfica dos Resultados

Para facilitar a visualizaç ão dos ´ındices foi escolhido o gr áfico de barras, por ser intuitivo e permitir comparar o valor final dos ´ındices de cada vari ável lado a lado. Os Índices de Seguimento Relativos e de Controle Relativos que possuem ´ındices ponderados e n ão ponderados ser ão plotados em um mesmo gr áfico mas com valo-res n ão ponderados no eixo positivo e os valovalo-res ponderados no eixo negativo para permitir visualizar a influ ência que as ponderaç ões est ão causando em cada vari ável analisada.

Quando o sistema apresenta um n úmero muito grande de vari áveis manipula-das e controlamanipula-das e/ou quando n ão h á acoplamento total entre elas, adicionalmente aos gr áficos dos ´ındices gerados podem ser utilizados a relaç ão de ganhos das funç ões de transfer ência das vai áveis para permitir analisar a intensidade que uma poss´ıvel mudança nas ponderaç ões ir á causar na vari ável em an álise e em quais vari áveis essa mudança tamb ém ir á se refletir.

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3.3: M ´etodo Proposto para Tomada de Decis ˜ao

Para ajudar o projetista na an álise dos ´ındices, foi criado um m étodo que ana-lisa a situaç ão atual e indica que direç ão tomar a decis ão visando uma mudança de cen ário. Antes de iniciar o m étodo é necess ário a definiç ão dos objetivos de controle. Uma vez gerados os ´ındices, a an álise tem dois caminhos: An álise dos´ındices de avaliaç ão (desempenho global do sistema) que pode ser feita com os Desvios M édios, junto com os Índices de Estabilidade; e a an álise dos ´ındices de sintonia (desempenho relativos) feita com os Índices de Seguimento Relativos, Controle Rela-tivos, Supress ão de Movimento e Erro de Modelagem.

Para os ´ındices de avaliaç ão deve-se iniciar pelos Desvios M édios para saber se o sistema pode ser melhorado. Para a an álise dos ´ındices de sintonia, inicia-se pelos Índices de Seguimento Relativos não ponderados. O objetivo de controle com relação ao seguimento das vari áveis deve ser vis´ıvel nesses ´ındices. Caso esses ´ındices n ão sejam satisfat órios, é necess ário uma an álise mais abrangente. O seguimento de refer ência de uma vari ável controlada depende: da qualidade do modelo de prediç ão e das ponderaç ões Qy e Qu. Para analisar a qualidade dos modelos de prediç ão

deve-se olhar o Índice de Erro de Modelagem. Se este ´ındice possuir um valor elevado, ent ão pode-se inferir que o erro do modelo tem grande influ ência no sistema em malha fechada e seria necess ário uma re-identificaç ão do modelo utilizado pelo controlador. Para a an álise das ponderaç ões de Qy deve-se analisar os Índices de Seguimento

Relativos e para a an álise de Qu os Índices de Supress ão de Movimento.

3.3.1: An ´alise dos ´Indices de Seguimento Relativos

Caso a diferenc¸a D = Ii

y rel − Iy rel pi seja negativa, a ponderac¸ ˜ao usada para

esta controlada est á com grande influ ência no sistema de controle, de forma que a ponderaç ão pode ser diminu´ıda em benef´ıcio de outras controladas com maior im-port ância ou aumentada para se atingir um melhor seguimento.

3.3.2: An álise dos Índices de Supress ão de Movimento

Se este ´ındice possui um valor grande, ent ão uma poss´ıvel causa é a grande supress ão das vari áveis manipuladas que afetam esta controlada. E caso contr ário, ent ão as referidas manipuladas est ão com liberdade para agir nesta controlada. Em

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ambos os casos para decidir quais ponderaç ões devem ser modificadas, deve-se ana-lisar os Índices de Controle Relativos de cada manipulada. Assim como no caso dos Índices de Seguimento Relativos, se a diferença D = Ii

u rel − Iu rel pi for negativa, a

ponderaç ão est á suprimindo a aç ão dessa manipulada e pode ser diminu´ıda ou vice-versa. Deve-se analisar somente as vari áveis manipuladas que influenciam a din âmica daquela vari ável controlada e os ganhos das funç ões de transfer ências para se conhe-cer a intensidade que a mudança deve ser feita.

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Cap´ıtulo 4: Caso de estudo e

ferramentas de simulac¸ ˜ao e controle

Os ´ındices mostrados no cap´ıtulo 3 foram avaliados numa unidade de proces-samento de g ás natural (UPGN) da Petrobr ás simulada no software BRLumina, de-senvolvido pela pr ópria empresa.

4.1: UPGN

O objetivo do processamento do g ás natural é recuperar o propano (C3), o butano (C4) e o pentano e hidrocarbonetos mais pesados (C5+), separando-os dos hidrocarbonetos leves (C1 e C2). O processamento de g ás natural gera tr ês produtos finais: o g ás industrial (composto por C1 e C2), o GLP (composto por C3 e C4) e a gasolina natural (composta por C5+).

Figura 4.1: Esquema simplificado da UPGN

Nesta unidade, a separaç ão dos hidrocarbonetos é feita atrav és do processo de absorç ão refrigerada por propano, produzido na pr ópria unidade. Na primeira etapa o g ás natural passa pela primeira torre, a torre de absorç ão, que separa os