Detecção de comunidades em redes

A detecção de comunidades em redes complexas é um tema de pesquisa importante em muitas áreas como medicina, biologia, sociologia, economia, transporte (72), nas quais a interação entre elementos pode ser naturalmente representada por grafos. A obtenção de estruturas de alta-ordem pode estabelecer evidências sobre a organização e funcionamento dos elementos envolvidos, como por exemplo, a identificação funcional de proteínas ou grupos de pessoas com interesses em comuns. Em redes de música, as comunidades podem refletir a dinâmica da interação entre artistas ou compositores. De forma geral, comunidades indicam nós com grande conectividade intra-grupo, e pequena conectividade entre-grupo. O coeficiente de aglomeração apresentado anteriormente pode ser útil para determinar a tendência de grupos de nós em formar uma comunidade (58).

Muitas das técnicas tradicionais para agrupamento de dados podem ser utilizadas para a detecção de comunidades em redes (58). Algoritmos que desempenham agrupamentos

X 1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 C=4 dis tânc ia 0 10 40 70 90 80 100 20 30 50 60

Figura 3.5– Dendrograma ilustrando algoritmos que realizam agrupamento dos vértices para a detecção de comunidades. Os círculos na parte inferior da figura representam os vértices da rede. Subindo na árvore hierárquica, tem-se a formação de comunidades maiores. A linha tracejada indica as quatro comunidades encontradas para este nível do dendrograma.

hierárquicos dos vértices são clássicos na literatura de redes complexas e se baseiam em similaridades ou dissimilaridades entre pares de vértices na obtenção dos grupos (análogo ao dendrograma da Figura 3.5). Portanto, uma medida de similaridade entre vértices precisa ser previamente definida. Tal medida pode ser estrutural, levando em consideração a topologia da rede; ou pode ser baseada em atributos, levando em consideração as propri- edades dos vértices. Uma medida de similaridade, sij, geralmente pode ser transformada

em uma medida de dissimilaridade dij, da seguinte forma: dij = k − sij, para alguma

constante k. Diferentes algoritmos e medidas de dissimilaridade resultam em diferentes estruturas de comunidades.

teste

Particionamento através de medidas de modularidade teste

Ainda no contexto de partição hierárquica, os algoritmos propostos por Girvan e Newman (70, 73) utilizam índices de centralidade dos nós para detectar comunidades em redes a patir de uma medida conhecida como “vértices com centralidade de intermediação” (do inglês, betweeness centrality), que quantifica a influência de um vértice na rede e é

definida como o número de caminhos curtos que passam por este vértice. Girvan e Newman generalizaram esta medida para o conceito de “arestas com centralidade de intermediação” (do inglês, edge centrality), a qual estabelece o número de caminhos curtos entre vértices

que passam por uma determinada aresta.

É esperado que redes com estruturas de comunidades definidas contenham poucas ares- tas entre grupos distintos. Portanto, caminhos curtos entre nós de diferentes comunidades necessariamente precisam passar por estas arestas (Figura 3.6), as quais terão valores grandes de centralidade de intermediação e irão revelar a estrutura de comunidade da rede.

3.4. Representação de sistemas por grafos 67

Figura 3.6– Uma rede com três estruturas de comunidades (vértices em vermelho, azul e verde) de

acordo com as abordagens de Girvan e Newman. As arestas destacadas na figura indicam as arestas com valores maiores de centralidade de intermediação, as quais oferecem caminhos entre as comunidades, adaptado de (73).

O algoritmo é executado através de uma abordagem divisiva: inicia-se com uma rede totalmente conectada e a cada passo remove-se uma aresta com valor alto de centralidade. Portanto, este algoritmo pode ser computacionalmente custoso para grandes redes. Newman and Girvan posteriormente propuseram medidas alternativas para quantificar a centralidade de intermediação das arestas (73).

Comunidades bem definidas devem surgir a medida que muitas arestas são excluídas. Entretanto, é esperado que os algoritmos descritos acima gerem progressivas partições da rede, que podem ser representadas por um dendrograma. Girvan and Newman (70) definiram uma medida nomeada “modularidade”, para atestar quais conjuntos de comuni- dades mais fielmente descrevem a estrutura da rede antes de estabelecer a partição final, de forma que a partição que proporciona o maior valor de modularidade é escolhida.

Dada a divisão de uma rede com um conjunto de vértices V em c comunidades,

V1, V2, ..., Vc, de forma que ∪ci=1Vc = V , o valor de modularidade Q desta partição é

definido como: Q= c X i=1   A(Vi, Vi) A(V, V ) − A(Vi, V) A(V, V ) !2  (3.14)

em que A(S, T ) corresponde ao número de arestas entre duas comunidades S e T , estabe- lecido como:

A(S, T ) = X i∈S,j∈T

Aij (3.15)

O primeiro termo, A(Vi,Vi)

A(V,V ), estabelece a fração de arestas que conecta vértices dentro

da comunidade Vi; enquanto que o segundo termo, A_A(V_{(V,V )}i,V), indica a fração de arestas que

se conectam com vértices na comunidade Vi.

Q= 1 2m n X i=1 n X j=1 Aij − kikj 2m ! δ(ci, cj) (3.16)

em que m é o número de arestas da rede, ki é o grau do vértice i, ci é a comunidade que o

vértice i está inserido, e δ(ci, cj) = 1 se os vértices i e j fazem parte da mesma comunidade.

A presença de comunidades bem definidas é evidenciada quando Q ≅ 1, ao passo que

Q_{≤ 0 indica que a estrutura obtida não é melhor que uma estrutura obtida ao acaso. Girvan}

e Newman utilizaram esta medida para determinar quando parar o particionamento da rede. Tal abordagem pode ser computacionalmente custosa, e otimizações foram posteriormente implementadas (74, 75). Clauset (76) introduz o conceito de “modularidade local”, para a identificação de estruturas locais de comunidade.

teste

Particionamento espectral teste

Análises espectrais têm sido bastante exploradas para a caracterização de grafos e redes complexas, mostrando-se uma alternativa em relação às métricas baseadas na topologia dos grafos que, geralmente, são correlacionadas e dependentes (77). Em termos matemáticos, quando um grafo é analisado no domínio espectral, constitui-se uma representação em termos de componentes ortogonais, o que significa que a informação está, de alguma forma, não correlacionada. Neste contexto, uma análise dos autovetores e autovalores da matriz de adjacência ou da matriz Laplaciana pode identificar características que não estariam disponíveis em métricas definidas no domínio da topologia. Algoritmos para particionamento espectral em redes são geralmente baseados na decomposição de valores próprios da matriz Laplaciana.

Considere A e B a matriz de adjacência e incidência de um grafo G = (V, E), em que

V é o conjunto de vértices e E é o conjunto de arestas. A matriz Laplaciana, Q, é dada

por:

Q= BBT _{= ∆ − A (3.17)}

em que ∆ é a matriz diagonal dos graus de V . Na matriz diagonal dos graus, v(i, i) é a soma dos graus do vértice i; e v(i, j) = 0, para todo i 6= j.

O segundo menor autovalor da matriz Laplaciana representa a conectividade algébrica do grafod _{(78). Pode ser mostrado que o autovetor associado a esse autovalor, conhecido}

como vetor de Fiedler (26), está diretamente relacionado com a conectividade do grafo. Na prática, os sinais dos elementos do vetor de Fiedler podem ser usados para particionar o grafo em duas regiões. Esse processo pode ser visto como uma quantização para digitos d

A conectividade algébrica de um grafo G é um atributo espectral do mesmo, dado pelo segundo menor autovalor da matriz Laplaciana. O valor deste autovalor é maior que 0 se G é um grafo conexo. É utilizado, por exemplo, para medir o quão conectado um grado é, e para sincronização em modelos de redes complexas.

3.5. Considerações finais 69 binários (ou zero ou um). Entretanto, propõe-se quantizar os coeficientes do vetor de Fiedler em C valores, onde C representa o número desejado de grupos. Desta forma, o grafo é essencialmente particionado em C subgrafos ou comunidades, o que é equivalente a encontrar C − 1 vales no histrograma que representa a distribuição de valores dos coeficientes do autovetor. Para o estudo realizado nesta tese, os limiares foram encontrados através de uma inspeção visual do histogramae_{. Uma análise matemática mais detalhada}

sobre os autovetores da matriz Laplaciana e suas propriedades pode ser encontrada em (77).

3.5 Considerações finais

Este capítulo apresentou a fundamentação teórica de métodos de análise utilizados no trabalho. Os capítulos a seguir descrevem a forma com que estes métodos serão aplicados no contexto de síntese de novas sequências, classificação automática de gêneros musicais, e geração de listas de reprodução.

Para todas estas investigações os atributos do ritmo são comuns e refletem a dinâmica das sequências temporais das notas de valores. A metodologia para a obtenção destes atributos está descrita no próximo capítulo.

e

Futuramente, pretende-se usar métodos da literatura de processamento de imagens para a estimação automática destes limiares (79).

71

Capítulo 4