Demonstrado os algoritmos utilizados para classificação e clusterização, esta seção apresenta um algoritmo utilizado para detectar mudanças em um sinal (de certa
maneira uambém um problema de classificação). Os requisitos para a escolha deste algo- ritmo era que ele fosse simples e recursivo. O algoritmo é chamado de CUSUM, ou soma cumulativa, e é um algoritmo recursivo utilizado para prever e classificar a ocorrência de mudanças bruscas em um processo estocástico. Esta seção apresenta as ideias do algoritmo baseando-se em (GUSTAFSSON, 2000), em que é apresentado uma forma simplificada e prática do mesmo. Para deduções teóricas mais aprofundadas consultar (GRANJON, 2012) e (MICHELE; NIKIFOROV, 1993).
O algoritmo CUSUM como mostrado em (GUSTAFSSON, 2000) é apresentado em 4.11.
𝑔𝑘= 𝑔𝑘−1+ 𝑠𝑘− 𝜈 (4.11a)
𝑔𝑘= 0 𝑒 ^𝑘𝑐= 𝑘, Se 𝑔𝑘 < 0 (4.11b)
𝑔𝑘= 0 𝑒 𝑘𝑎= 𝑘, Se 𝑔𝑘 > ℎ (4.11c)
em que 𝑔𝑘é chamada estatística de teste, 𝑠𝑘uma medida de distância, ^𝑘𝑐é uma estimativa
de mudança e 𝑘𝑎 é o instante que o alarme é acionado. O parâmetro 𝜈 é chamado drift e
é utilizado para não deixar 𝑔𝑘 tender ao infinito, já que o comportamento de 𝑔𝑘 é do tipo
de um passeio aleatório.
A intuição do algoritmo é a seguinte. O sinal 𝑔𝑘 é somado de seu valor anterior
mais uma medida 𝑠𝑘 usada para medir a variação de algum parâmetro. Conforme 𝑔𝑘 vai
se somando ele irá tender a aumentar e ir para o infinito. Para impedir isso usa-se o parâmetro de drift 𝜈 subtraindo-o de 𝑔𝑘 a todo instante. Além disso, reseta-se 𝑔𝑘 para
zero toda vez que seu valor é negativo. Dada a ocorrência de uma mudança, 𝑔𝑘 passa
a aumentar. Quando seu valor for maior que um limite ℎ, indica a ocorrência de uma mudança e tem-se o tempo de alarme 𝑘𝑎. A estimativa do tempo de mudança é dado por
𝑘𝑐, considerando que a mudança foi brusca. Em (GUSTAFSSON, 2000) sugere-se escolher
𝜈 como a metade do valor esperado de mudança em 𝑔𝑘.
A medida de distância 𝑠𝑘 é escolhida conforme a variação que se pretende
analisar. Algumas escolhas são apresentadas em 4.12 utilizando o sinal de resíduo da estimativa recursiva 𝑒𝑘. A primeira medida 4.12a é utilizada para estimar mudanças na
média do sinal de resíduo e ela é robusta a mudanças na variância. Uma outra medida é usar o valor dos resíduos ao quadrado 4.12b. Esta medida é útil para detectar mudanças na variância do sinal de resíduo e também em mudanças na estimação de parâmetros de um modelo de regressão linear.
𝑠𝑘 = 𝑒𝑘= 𝑦𝑘− ^𝜃𝑘 (4.12a)
𝑠𝑘 = 𝑒2𝑘 (4.12b)
O algoritmo CUSUM tem uma base teórica em teste de hipóteses e análise sequencial (MICHELE; NIKIFOROV, 1993). A forma 4.11 é bem simplificada e voltada mais para aspectos práticos, já que ela é simples e recursiva. A seguir é apresentado um breve resumo dos fundamentos teóricos do algoritmo baseando-se em (GRANJON, 2012). O problema que o algoritmo CUSUM tenta resolver é o seguinte. Dado um pro- cesso estocástico estacionário com amostras independentes e identicamente distribuídas (processo i.d.d) 𝑥𝑘, cada amostra do processo estocástico tem uma função de densidade
de probabilidade (PDF) dependente de um parâmetro 𝜃, 𝑝(𝑥𝑘, 𝜃). O objetivo é identificar
o instante 𝑘𝑐 em que ocorre uma mudança no parâmetro 𝜃. Em termos matemáticos isto
é modelado como um teste de hipótese em que a hipótese H0 4.13a indica nenhuma mu- dança e o valor do parâmetro é 𝜃0 e a hipótese H1 4.13b indica mudança no parâmetro para 𝜃1 no instante 𝑘𝑐. O problema então é determinar se houve ou não uma mudança
entre os instantes 𝑘 = 0 e 𝑘 = 𝑁 e determinar o tempo da mudança 𝑘𝑐.
H0, 𝑝𝑋|H0 = 𝑘 ∑︁ 𝑖=1 𝑝(𝑥𝑖, 𝜃0) (4.13a) H1, 𝑝𝑋|H1 = 𝑘𝑐−1 ∑︁ 𝑖=1 𝑝(𝑥𝑖, 𝜃0) 𝑘 ∑︁ 𝑖=𝑘𝑐 𝑝(𝑥𝑖, 𝜃1) (4.13b)
em que 𝑘 é o instante atual.
O algoritmo CUSUM é recursivo, logo conforme chega uma nova amostra 𝑥𝑘
ele realiza a tomada de decisão entre a hipótese 𝐻𝑜 ou 𝐻1. Se for decidido que é a hipótese
𝐻1, estima-se o valor do tempo da mudança 𝑘𝑐.
O problema de decidir entre as duas hipóteses é realizado pelo teste de razão de verosimilhança 𝐿 4.14. É decidida a hipótese por um parâmetro ℎ fornecido pelo usuário. Se 𝐿 é maior que ℎ, decide-se pela hipótese 𝐻1 se não mantém-se a hipótese 𝐻0.
𝐿(𝑘, 𝑘𝑐) = 𝑙𝑛 (︃ 𝑝𝑋|H1 𝑝𝑋|H0 )︃ = 𝑘 ∑︁ 𝑖=𝑘𝑐 𝑙𝑛 (︃ ∑︀𝑘 𝑖=𝑘𝑐𝑝(𝑥𝑖, 𝜃1) ∑︀𝑘 𝑖=𝑘𝑐𝑝(𝑥𝑖, 𝜃0) )︃ (4.14)
Como não se sabe o parâmetro 𝑘𝑐, este é substituído pela sua estimativa de
generalizado e utilizando 4.15, é possível calcular seu valor a cada nova amostra. A de- tecção da mudança então é feita comparando o valor de 𝐺(𝑘) com o valor de limite ℎ. Se
𝐺(𝑘) for maior que ℎ, detecta-se a mudança.
𝐺(𝑘) = máx 𝐿(𝑘, 𝑘𝑐) = máx 𝑘 ∑︁ 𝑖=𝑘𝑐 𝑙𝑛 (︃ ∑︀𝑘 𝑖=𝑘𝑐𝑝(𝑥𝑖, 𝜃1) ∑︀𝑘 𝑖=𝑘𝑐𝑝(𝑥𝑖, 𝜃0) )︃ (4.15)
em que o máximo é encontrado pelo valor de 𝑘𝑐 que faz 𝐿(𝑘, 𝑘𝑐) ser máximo.
Já a etapa de estimação para estimar o tempo de mudança 𝑘𝑐 é dada pela
estimativa de máximo verosimilhança ^𝑘𝑐 4.16.
^ 𝑘𝑐= arg max 1<𝑘𝑐<𝑘 𝐿(𝑘, 𝑘𝑐) = arg max 1<𝑘𝑐<𝑘 𝑘 ∑︁ 𝑖=𝑘𝑐 𝑙𝑛 (︃ ∑︀𝑘 𝑖=𝑘𝑐𝑝(𝑥𝑖, 𝜃1) ∑︀𝑘 𝑖=𝑘𝑐𝑝(𝑥𝑖, 𝜃0) )︃ (4.16)
Vale ressaltar a diferença entre 𝐺(𝑘) e ^𝑘𝑐. 𝐺(𝑘) é dado pelo valor máximo de
𝐿(𝑘,𝑘𝑐), o qual por sua vez é encontrado utilizando o valor de 𝑘𝑐 que maximiza 𝐿(𝑘, 𝑘𝑐).
4.4
Conclusão do Capítulo
O capítulo trouxe as principais ideias utilizadas para classificação, clusteriza- ção e detecção de falhas usadas no trabalho. Primeiramente é apresentado o algoritmo de elipsoides de volume mínimo, o qual tem papel primordial neste trabalho para a classifica- ção de falhas na bomba centrífuga. Após isso, são apresentados métricas para mensurar a qualidade de classificadores. Estas métricas também são utilizadas no problema da bomba centrífuga. Ao término do capítulo é apresentado o algoritmo CUSUM para classificação de mudanças abruptas em um sinal estocástico. Ele é utilizado no algoritmo RLS-CR para detecção de falhas no motor. O próximo capítulo traz mais detalhes de como estes algoritmos, e também aqueles apresentados nos capítulos anteriores, foram utilizados para chegar aos resultados encontrados neste trabalho.
5 Aplicações - Metodologia, Resultados e
Discussões
Este capítulo traz a aplicação das técnicas mostradas nos capítulos anterio- res a problemas de detecção de falhas. A primeira aplicação é a detecção de uma falha de perda de alimentação de um motor CC sem escovas (BLDC, Brushless DC Motor ). As principais ideias nesta aplicação são a utilização de técnicas de estimação recursiva, detecção de falhas por resíduos e por estimação de parâmetros variantes no tempo. A segunda aplicação é a detecção de diferentes falhas em uma bomba centrífuga por meios de técnicas de realização de séries temporais no espaço de estados. O objetivo principal é detectar falhas de cavitação e iminência de cavitação utilizando apenas observações das vibrações da bomba por um acelerômetro. Nesta aplicação utilizam-se estimativas dos parâmetros de Markov do modelo como características utilizadas para a classificação e clusterização de diferentes falhas. Utiliza-se também o algoritmo de elipsoides e é feita a análise dos resultados da classificação para as falhas de cavitação e iminência de cavitação. De certa forma este capítulo dá continuidade a trabalhos dos autores de (SILVA, 2017) e (TANAKA, 2017) para o motor BLDC e de (PEDOTTI et al., 2016) para a Bomba.