Modelagem computacional de dados aplicada à detecção de falhas

(1)

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

João Paulo Silva Gonçalves

Modelagem Computacional de Dados Aplicada

à Detecção de Falhas

Campinas

2020

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Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

João Paulo Silva Gonçalves

Modelagem Computacional de Dados Aplicada à

Detecção de Falhas

Dissertação apresentada à Faculdade de En-genharia Elétrica e de Computação da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica, na Área de Automação.

Orientador: Prof. Dr. Mateus Giesbrecht

Este exemplar corresponde à versão final da tese defendida pelo aluno João Paulo Silva Gonçalves, e orientada pelo Prof. Dr. Mateus Giesbrecht

Campinas

2020

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Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Gonçalves, João Paulo Silva,

G586m GonModelagem computacional de dados aplicada à detecção de falhas / João Paulo Silva Gonçalves. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.

GonOrientador: Mateus Giesbrecht.

GonDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

Gon1. Falha de sistema (Engenharia). 2. Bomba centrifuga. 3. Motores de corrente contínua sem escovas. 4. Mínimos quadrados. 5. Métodos de espaço de estados. I. Giesbrecht, Mateus, 1984-. II. Universidade Estadual de

Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Applied computational data modelling to fault detection Palavras-chave em inglês:

Failure analysis (Engineering) Centrifugal pumps

Electric motors, Brushless Least squares

State-space methods

Área de concentração: Automação Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica Banca examinadora:

Mateus Giesbrecht Rafael Ferrari

Juan Francisco Camino dos Santos

Data de defesa: 27-03-2020

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: 0000-0002-6868-4141

- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/3151200579597862

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COMISSÃO JULGADORA - DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Candidato: João Paulo Silva Gonçalves RA: 209467 Data da Defesa: 27 de março de 2020

Título da Tese: "Modelagem computacional de dados aplicada à detecção de falhas”.

Prof. Dr. Mateus Giesbrecht (Presidente) Prof. Dr. Juan Francisco Camino dos Santos Prof. Dr. Rafael Ferrari

A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no SIGA (Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese) e na Secretaria de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

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Primeiramente, agradeço aquele que está acima de tudo e de todos. Agradeço pela oportunidade, pela vida e pelos caminhos aos quais me guiou.

Agradeço ao Prof. Dr. Mateus Giesbrecht, meu orientador, não apenas pelo apoio acadêmico, mas também pela oportunidade me concedida, pelos conselhos, pela paciência e compreensão.

Agradeço também ao Prof. Dr. Fabiano Fruett da FEEC e ao Prof. Dr. José Gilberto Dalfré Filho da FEC, pois através dos seus trabalhos e auxílios foi possível realizar os estudos relacionados a bomba centrífuga nesta dissertação.

Agradeço a minha esposa, Juliana, pelo companheirismo, apoio e principal-mente por seu amor e carinho.

Agradeço aos meus pais, Gilberto e Lúcia, pelo apoio, incentivo e pelo seu amor sem o qual eu não teria chegado até aqui.

Agradeço aos meu colegas de laboratório pela várias risadas e discussões. Por fim, agradeço a Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), ao pro-grama de pós-graduação da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação e ao Departamento de Componentes Semicondutores, Instrumentos e Fotônica (DSIF).

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoa-mento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de FinanciaAperfeiçoa-mento 001 (processo 88882.329371/2019-01).

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O objetivo desta dissertação é a aplicação de técnicas de estimação de parâmetros, identi-ficação de sistemas e realização de séries temporais para detecção e diagnóstico de falhas em sistemas dinâmicos. A pesquisa lida com dois problemas diferentes: a detecção da falha de perda de alimentação de um motor CC sem escovas (BLDC) e a detecção da falha de cavitação por sensores de vibração de uma bomba centrífuga. A abordagem aplicada ao motor BLDC é o uso de algoritmos recursivos para estimação de parâmetros variantes no tempo, com o intuito de estimar as variações dos parâmetros de um modelo matemático dado pelas características do motor e relacioná-las com a falha em questão. Neste con-texto, é utilizado o algoritmo CUSUM como um critério para a realização da estimação de parâmetros variantes no tempo na ocorrência de mudanças abruptas. Já na bomba centrífuga, a abordagem proposta é baseada na teoria de realização de séries temporais multivariáveis em espaço de estados. Utilizando medidas de vibrações, busca-se encontrar os parâmetros de Markov de modelos matemáticos estimados para a bomba e, através da análise dos parâmetros de Markov, classificar e clusterizar diferentes falhas. Tendo os parâmetros de Markov, é proposta a utilização do algoritmo de otimização convexa elipsoides de volumes mínimos para classificar as falhas na bomba. Ao final, os métodos são aplicados para detectar a falha de cavitação e é feita uma análise da qualidade dos resultados. Os resultados gerais, tanto para o motor quando para a bomba, se mostra-ram satisfatórios. No motor foi possível detectar e determinar a natureza da falha. Já na detecção de falhas na bomba, com resultados mais promissores, foi possível detectar a falha de cavitação utilizando os parâmetros de Markov estimados com o uso apenas de sensores de vibração. Também foi possível a detecção da falha de cavitação no seu início (iminência de cavitação) com um bom grau de confiabilidade.

Palavras-chaves: Detecção de Falhas, Motor BLDC, Bomba Centrífuga, Estimação

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The main goal of this master thesis is to use parameter estimation algorithms, system identification methods and time series realization theory for fault detection and diagonosis in dynamic systems. Two mains problems are dealt in this work: the fault detection of a lost power supply of a brushless dc motor (BLDC) and cavitation detection on a centrifugal pump using only vibration sensors. The approach applied to the motor problem is to use recursive estimation for time varying parameters estimation from a mathematical model of the motor. The idea is to estimate the model parameters variations and to find relations to the power supply fault. In this context, the CUSUM algorithm is applied as a criterion for time varying parameter estimation in the ocurrence of abrupt changes. A different approach is proposed to the centrifugal pump fault. Using only vibration data, multivariable state space models are estimated using time series realization methods to estimate the Markov parameters of the time series. The Markov parameters are used as features for a classification and clusterization algorithm from different faults occurring in the pump. This algorithm is a convex optimization algorithm know as minimum volume ellipsoids. At last, the methods are used to detect the cavitation fault and an analysis of classification results is done. The final results, for both problems, were satisfactory. In the power supply fault of the BLDC motor, it was possible to detect and estimate the fault behavior. For the centrifugal pump, it was possible to detect the cavitation fault by using the estimated Markov parameters as features, based only on data provided by vibration sensors. Besides that, it was possible to detect imminent cavitation faults with an acceptable degree of confidence.

Keywords: Fault Detection, Brushless DC Motor, Centrifugal Pump, Recursive

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Figura 1 – Comportamento de Diferentes Tipos de Falhas . . . 50

Figura 2 – Redundância de Hardware X Redundância Analítica . . . 50

Figura 3 – Detecção de Falhas por Geração de Resíduos . . . 52

Figura 4 – Exemplo de Aplicação do Algoritmo de Elipsoides a Um Conjunto de Dados . . . 56

Figura 5 – Matriz de Confusão . . . 58

Figura 6 – Valores Medidos . . . 67

Figura 7 – Resíduos RLS-EXP . . . 71

Figura 8 – Natureza das Falhas . . . 72

Figura 9 – Resultados CUSUM . . . 74

Figura 10 – Estimativa da Resistência . . . 75

Figura 11 – Estimativa da Indutância . . . 75

Figura 12 – Estimativa do Momento de Inércia . . . 76

Figura 13 – Estimativa da constante elétrica . . . 76

Figura 14 – Estimativa da constante de atrito viscoso . . . 77

Figura 15 – Estimativa da constante de tempo elétrica . . . 78

Figura 16 – Estimativa da constante de tempo mecânica . . . 79

Figura 17 – Acelerômetro utilizado . . . 81

Figura 18 – Acelerômetro montado na bomba centrífuga . . . 81

Figura 19 – Exemplo de Valores Singulares dos Modelos - dados retirados do bloco de dados 1 do ensaio 1 . . . 84

Figura 20 – Comparação Dados Reais X Realizações dos Modelos - - dados retirados do bloco de dados 1 do ensaio 1 . . . 85

Figura 21 – Espectros de vibração para ensaios com rotor novo e fixação forte (en-saios 1 a 3) . . . 87

Figura 22 – Espectros de vibração para ensaios com rotor novo e fixação fraca (en-saios 4 a 6) . . . 88

Figura 23 – Espectros de vibração para ensaios com rotor avariado e fixação forte (ensaios 7 a 9) . . . 89

Figura 24 – Espectros de vibração para ensaios com rotor avariado e fixação fraca (ensaios 10 a 12) . . . 90

Figura 25 – Parâmetros de Markov Estimados Ensaio 1 - As diferentes curvas indi-cam os modelos extraídos das diferentes janelas de dados (blocos) . . . 92

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Figura 28 – Matriz de Confusão Classificação com 2000 amostras/bloco, Ordem 2

e Parâmetro de Markov Atraso 0 . . . 96

Figura 29 – Matriz de Confusão Classificação com 2000 amostras/bloco, Ordem 2 e 50 Primeiros Parâmetros de Markov . . . 97

Figura 30 – Matriz de Confusão Classificação com 2000 amostras/bloco, Ordem 2 e 5100 Primeiros Parâmetros de Markov . . . 98

Figura 31 – Matriz de Confusão Classificação com 1000 amostras/bloco, Ordem 4 e Parâmetro de Markov Atraso 0 . . . 99

Figura 32 – Eixos XY - Comparação Atraso 0 Entre Parâmetros de Markov e Sinais Medidos . . . 101

Figura 33 – Eixos XZ - Comparação Atraso 0 Entre Parâmetros de Markov e Sinais Medidos . . . 101

Figura 34 – Eixos YZ - Comparação Atraso 0 Entre Parâmetros de Markov e Sinais Medidos . . . 102

Figura 35 – Resultado Classificação Geral por Elipses . . . 103

Figura 36 – Matriz de Confusão 2D para Falha de Cavitação . . . 105

Figura 37 – Matriz de Confusão 2D para Falha de Iminência de Cavitação . . . 107

Figura 46 – Parâmetros de Markov Estimados Ensaio 10 - As diferentes curvas in-dicam os modelos extraídos das diferentes janelas de dados (blocos) . . 121

Figura 47 – Parâmetros de Markov Estimados Ensaio 11 - As diferentes curvas in-dicam os modelos extraídos das diferentes janelas de dados (blocos) . . 122

(10)

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Tabela 1 – Resultados Parâmetros Estimados em Batelada . . . 70

Tabela 2 – Variância Resíduos . . . 71

Tabela 3 – Parâmetros CUSUM . . . . 73

Tabela 4 – Tempos Estimados CUSUM . . . . 74

Tabela 5 – Testes de Falhas Realizados . . . 82

Tabela 6 – Separação dos Sinais em Blocos . . . 83

Tabela 7 – Parâmetros Algoritmo CCA . . . 83

Tabela 8 – Parâmetros Classificação . . . 86

Tabela 9 – Parâmetros e Resultados para a Classificação por Distância . . . 95

Tabela 10 – Matriz de Confusão VP Cavitação Severa . . . 104

Tabela 11 – Matriz de Confusão VN Cavitação Severa . . . 104

Tabela 12 – Matriz de Confusão FP Cavitação Severa . . . 104

Tabela 13 – Matriz de Confusão FN Cavitação Severa . . . 105

Tabela 14 – Matriz de Confusão VP Iminência de Cavitação . . . 106

Tabela 15 – Matriz de Confusão VN Iminência de Cavitação . . . 106

Tabela 16 – Matriz de Confusão FP Iminência de Cavitação . . . 107

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1 Introdução . . . 14

1.1 Motivação e Justificativa . . . 14

1.2 Breve Referencial Bibliográfico . . . 15

1.2.1 Detecção de Falhas em Motores por Estimação de Parâmetros . . . 15

1.2.2 Detecção de Falhas em Sistemas Mecânicos Utilizando Métodos de Realização de Séries Temporais em Espaço de Estados . . . 17

1.3 Estrutura da Dissertação . . . 19

2 Modelagem Computacional de Dados . . . 21

2.1 Introdução à Teoria da Estimação . . . 21

2.1.1 Características de Estimadores . . . 22

2.1.2 Estimadores em Batelada . . . 23

2.1.2.1 Estimação por Máxima verossimilhança (Maximum Like-lihood Estimation) . . . . 23

2.1.2.2 Estimador de Mínimos Quadrados (Least Squares Estima-tion) . . . . 24

2.1.3 Estimação Recursiva . . . 26

2.2 Identificação de Sistemas . . . 29

2.2.1 Estimação em Identificação de Sistemas . . . 31

2.2.2 Estimação de Parâmetros Variantes no Tempo . . . 36

2.3 Realização de Séries Temporais em Espaço de Estados . . . 38

2.3.1 Problema da Realização de Séries Temporais no Espaço de Estados 40 2.3.2 Análise de Correlações Canônicas e o Algoritmo CCA . . . 42

2.3.2.1 Algoritmo CCA para realização de séries temporais . . . . 45

2.4 Conclusão do Capítulo . . . 48

3 Detecção de Falhas Baseada em Modelos Matemáticos . . . 49

3.1 Introdução à Detecção de Falhas . . . 49

3.2 Detecção de Falhas por Modelos Matemáticos . . . 50

3.3 Conclusão do Capítulo . . . 53

4 Algoritmos de Classificação e Clusterização . . . 54

4.1 Elipsoides de Volume Mínimo . . . 54

4.1.1 Classificação com Elipsoides de Volume Mínimo . . . 57

4.2 Qualidade de Classificadores . . . 57

4.3 Detecção de Mudanças - Algoritmo CUSUM . . . 60

(13)

5.1 Aplicação - Detecção de Falha em Motor CC Sem Escovas . . . 64

5.1.1 Modelagem . . . 65

5.1.2 Metodologia Experimental e Computacional . . . 66

5.1.3 Resultados . . . 70

5.2 Aplicação - Clusterização e Classificação de Falhas Bomba Centrífuga . . . 80

5.2.1 Metodologia . . . 80

5.2.1.1 Metodologia Experimental . . . 80

5.2.1.2 Metodologia Computacional . . . 82

5.2.2 Resultados e Discussões . . . 86

5.2.3 Análise Classificação Iminência de Cavitação e Cavitação Severa . . 103

6 Conclusão . . . 110

6.1 Trabalhos publicados durante o mestrado . . . 111

Referências . . . 112

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1 Introdução

1.1 Motivação e Justificativa

A prevenção e detecção de falhas em sistemas dinâmicos sempre foram de importância primordial em toda a esfera da engenharia. Os principais fatores para isso são redução de custos e confiabilidade. Logo, existem muitos estudos, métodos e litera-tura para análise, detecção e prevenção de falhas de diversos processos. Neste trabalho é utilizada uma abordagem chamada detecção e isolação de falhas baseadas em modelos matemáticos (MBFDI, Model Based Fault Diagnosis and Isolation) (ISERMANN, 2004). A principal ideia desta abordagem é utilizar um modelo matemático do sistema físico e analisar as diferenças entre o modelo e o sistema físico por um sinal de erro ou pelas variações dos parâmetros do modelo. Atreladas a esta abordagem estão as técnicas e mé-todos da grande área de modelagem computacional de dados (BARRETO, 2002), termo cunhado no Laboratório de Controle e Sistemas Inteligentes (LCSI) da Faculdade de En-genharia Elétrica e Computação da Unicamp, que consiste nos métodos utilizados para levantar modelos matemáticos utilizando dados observados. O termo modelagem compu-tacional foi criado para se referir as técnicas e métodos das áreas de modelagem de séries temporais e identificação de sistemas com o intuito de enfatizar as semelhanças entre estas áreas. No trabalho, técnicas das duas abordagens de modelagem computacional de dados, ou seja, da identificação de sistemas dinâmicos(AGUIRRE, 2007) e da realização de séries temporais (BOX et al., 2016), são utilizadas.

O desafio principal da detecção de falhas por modelos matemáticos é con-seguir distinguir os comportamentos gerados pelas falhas de distúrbios externos (sinais externos não observados), incertezas de modelagem e incertezas de observação. Esses de-safios até mesmo aproximaram as pesquisas em detecção de falhas com a área de controle realimentado, principalmente o controle robusto (CHEN, 1999). Além disso, os algorit-mos utilizados para a detecção precisam lidar com diferentes fontes de falhas (diversos atuadores, sensores etc) e buscar maneiras de separá-las umas das outras (problema de classificação).

Outra motivação para o desenvolvimento de técnicas de detecção de falhas é a aplicação de métodos consolidados, com fundamentação teórica e hipóteses bem definidas, a problemas que muitas vezes não se encaixam nessas hipóteses. Como exemplo, os dados obtidos em um ensaio de detecção de falhas podem ser processos estocásticos não esta-cionários. Em muitos métodos de realização de séries temporais é suposto que os dados

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sejam amostras de processos estocásticos estacionários. No entanto, trabalhando com os métodos que consideram hipóteses restritivas, ainda é possível retirar informações rele-vantes das falhas e usá-las para detecção. A vantagem é que algoritmos mais específicos geralmente são mais simples de serem usados que algoritmos mais gerais.

Neste trabalho são tratados dois problemas: a perda de falha de alimentação de um motor CC sem escovas(BLDC, Brushless DC Motor ) e a detecção da falha de cavitação em uma bomba centrífuga por meio de sensores de vibração (acelerômetros). No problema do motor, as técnicas utilizadas advém dos métodos de estimação recursiva por mínimos quadrados. Já a no problema da bomba, utilizaram-se métodos de realização de séries temporais multivariáveis por modelos em espaço de estado.

1.2 Breve Referencial Bibliográfico

Nesta seção é apresentada uma breve revisão bibliográfica sobre referências que foram utilizadas para o desenvolvimento desta dissertação. Inicialmente são apresentadas referências em que técnicas de detecção de falhas através da estimação de parâmetros de modelo matemático foram utilizadas para detecção de falhas em motores elétricos. Em seguida, são apresentadas referências sobre a aplicação de métodos de realização de séries temporais à detecção de falhas em sistemas dinâmicos.

1.2.1 Detecção de Falhas em Motores por Estimação de Parâmetros

O problema da detecção da falha de perda de alimentação do motor BLDC já foi resolvido utilizando métodos de estimação de parâmetros de modelos matemáticos. Tais métodos já são utilizados para detecção de falhas há um bom tempo (ISERMANN, 1993), (MOSELER; ISERMANN, 2000) e (PROGOVAC et al., 2014).

Em (ISERMANN, 1993) é apresentada uma introdução ao tema de detecção de falhas utilizando modelos matemáticos. O autor apresenta as vantagens que podem ser alcançadas utilizando um modelo matemático do sistema em conjunto com medições de alguns de seus sinais. Uma comparação é feita entre a abordagem clássica e a abordagem por modelos matemáticos. Na primeira, sensores medem variáveis de saída e entrada em certos pontos do sistema e alarmes são gerados quando os valores medidos são diferentes dos esperados quando o sistema está funcionando corretamente. Além disso, no trabalho também é apresentado como diferentes falhas se apresentam nos modelos matemáticos, gerando comportamentos de falhas aditivas ou falhas multiplicativas nas saídas e entradas medidas, nos parâmetros estimados do modelo ou nas variáveis de estados. Estes compor-tamentos são utilizados para detecção de falhas analisando as variáveis estimadas ou os erros de estimação. As mudanças de comportamento devidas a falhas podem ser drifts(ex.

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rampa), padrões periódicos, offsets (ex. mudança brusca do valor) entre outros. O autor ainda traz um pequena comparação de métodos baseados em modelos, relacionado qual método é melhor para cada tipo de falha.

As desvantagens dos métodos de detecção de falhas por modelos são a necessi-dade de obtenção do modelo matemático e a tomada de decisão para detecção e isolação da falha. Em (ISERMANN, 1993) são apresentadas algumas metodologias para o levan-tamento de informações a priori sobre a o sistema em que se deseja detectar a falha, como a criação de um banco de dados do processo, principalmente de falhas já ocorridas, e a relação destas falhas com os padrões observados. Além disso, utilizando exemplos de modelagem de motores diversos, o autor demonstra como é possível gerar sintomas de falhas pelo conhecimento do sistema e pelos parâmetros estimados destes modelos e ao final, demonstra os resultados experimentais das técnicas mostradas anteriormente para detecção de falhas em um drive de motor CC.

O trabalho (MOSELER; ISERMANN, 2000) segue as mesmas linhas de (ISER-MANN, 1993), mas apresenta uma metodologia específica para o motor BLDC. O método de estimação utilizado é o dos mínimos quadrados recursivos com propriedades numéricas melhoradas. O autor destaca a necessidade de o método ser simples do ponto de vista computacional e a necessidade do uso de poucos sensores para a detecção da falha, já que o objetivo é usar a metodologia para embarcar o sistema de detecção em sistemas micro-controlados de baixo custo. Tal ponto também é uma das ideias dos métodos utilizados nesta dissertação para o problema do motor. No trabalho de (MOSELER; ISERMANN, 2000) um modelo mais detalhado do BLDC, semelhante ao modelo utilizado na disser-tação, é construído e, por meio de simulações, os autores demonstram a influência das falhas nos parâmetros elétricos e mecânicos do motor. A tomada de decisões para falhas é realizada considerando os valores dos parâmetros em condições normais de operação. Ao final, resultados experimentais são mostrado para duas falhas: um aumento de resistência de uma das bobinas, simulando um aumento de temperatura do motor, e um aumento da fricção, simulando uma falha de lubrificação. Os resultados encontrados demonstram como estas falhas foram detectadas pela estimação de parâmetros.

Já no trabalho apresentado em (PROGOVAC et al., 2014), foram utilizados métodos de estimação mais sofisticados que os utilizados nas referências anteriores para estimação de falhas em um motor BLDC. Na estrutura de modelo adotada na referência, são consideradas tanto o modo de operação sem falha quanto a operação com falha. O algoritmo de estimação utilizado no trabalho é do tipo Erro-nas-Variáveis e é chamado de mínimos quadrados com correção de enviesamento das estimativas (bias). A principal função desse algoritmo é retirar o bias causado nas estimativas do parâmetros quando se tem ruídos nas variáveis de entrada. No trabalho (PROGOVAC et al., 2014) ainda é

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demonstrado como o algoritmo de correção de bias pode ser implementado com fator de esquecimento, utilizado para lidar com falhas mais abruptas ou que variam de maneira mais rápida. Ao final, é mostrado como esta abordagem foi utilizada para detectar falhas de enrolamentos em um motor BLDC.

Em todas as referências (ISERMANN, 1993), (MOSELER; ISERMANN, 2000) e (PROGOVAC et al., 2014), é mostrado exemplo do MBFDI, Model Based Fault

Detec-tion and Diagnosis ou detecção e diagnósticos de falhas por modelos matemáticos. Esta

a metodologia, como citado na seção anterior, é a base da metodologia de detecção de fa-lhas da dissertação para a solução do problema do motor BLDC. O trabalho realizado na dissertação segues nas mesmas linhas de (ISERMANN, 1993), (MOSELER; ISERMANN, 2000) e (PROGOVAC et al., 2014) em que um modelo é proposto para o motor BLDC e o algoritmo de estimação recursiva por mínimos quadrados é utilizado. No trabalho apre-sentado nesta dissertação também se deseja que a detecção das falhas seja em tempo real e que o método possa ser implementado em sistemas micro-controlados de baixo custo. A principal diferença do que é feito na dissertação em relação a estes trabalhos anteriores é o uso da técnica de reset de covariância no estimador de mínimos quadrados recursivo, utilizando um algoritmo de detecção de mudanças (chamado CUSUM ) para detecção de falhas abruptas.

O problema da detecção de falha de perda de alimentação para o BLDC já foi resolvido utilizando estimação em batelada nos laboratórios LCSI e LSM da Unicamp (TANAKA, 2017). Além disso, técnicas de estimação de parâmetros também são utilizadas em máquinas elétricas para resolverem outras problemas além da detecção de falhas como pode ser visto com mais detalhes em (GIESBRECHT, 2007).

1.2.2 Detecção de Falhas em Sistemas Mecânicos Utilizando Métodos de

Realização de Séries Temporais em Espaço de Estados

Já o problema de detecção de falhas de cavitação na bomba centrífuga de-senvolvido nesta dissertação se baseia nos métodos de realização de séries temporais em espaço de estados. Na literatura de detecção de falhas por vibrações, os métodos são cha-mados de métodos de subespaços estocásticos (PEETERS; ROECK, 2001), (MEVEL et

al., 1999). O nome se dá pela semelhança entre os métodos utilizados e os métodos de

subespaços para identificação de sistemas determinísticos em espaço de estados (OVERS-CHEE, 1996) e geralmente esses métodos de subespaços estocásticos são utilizados para detectar falhas por meio de estimativas modais de estruturas (ex. pontes, prédios etc) (Zhenhua et al., 2010) e (Li-Xian; Sheng-Kui, 2013).

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em vibrações em sistemas mecânicos é a análise do espectro de frequências. Essa abor-dagem baseia-se no fato de que diferentes falhas geram padrões diferentes no espectro de frequências, que podem ser comparados com o espectro de condições nominais (sem falhas) para detectar e classificar a falha (RANDALL, 2011). Geralmente, os sensores de vibração adquirem sinais no domínio do tempo e, para avaliar o espectro de frequências, é necessário o uso de métodos de Fourier, como a Transformada Rápida de Fourier.

Uma abordagem alternativa para evitar o cálculo do espectro de frequência no diagnóstico de falhas é usar características (features) extraídas diretamente dos sinais no domínio do tempo. Abordagens para extrair característica de sistemas mecânicos com base em dados no domínio do tempo foram propostas em (PEETERS; ROECK, 1999; BASSEVILLE et al., 2001). Nesses artigos, os autores propuseram o uso de um algoritmo de realização estocástica em espaço de estados, denominado como algoritmo de subespa-ços estocásticos (PEETERS; ROECK, 1999) ou algoritmo de realização por covariâncias (BASSEVILLE et al., 2001), para extrair auto-estrutura (eigenstructure) de um sistema linear com excitações (entradas) naturais não observáveis. Os algoritmos de realização utilizados em ambos os artigos são baseados em matrizes de Hankel de covariâncias amos-trais calculadas apenas com dados de saída medidos e, por esse motivo, esses métodos foram nomeados como análise modal por saídas (output only methods) ou identificação estrutural baseada em subespaço de saídas.

Em (ZHANG et al., 2012) foi proposta uma abordagem simplificada para ex-trair a auto-estrutura de um sistema mecânico utilizando apenas dados das saídas. Embora o método exija menos esforços computacionais do que os propostos em (PEETERS; RO-ECK, 1999; BASSEVILLE et al., 2001), a análise também se baseia na decomposição de uma matriz de covariâncias de Hankel. A combinação entre os algoritmos de realização es-tocástica e determinística também foi explorada para resolver o problema de determinação da auto-estrutural em (REYNDERS; ROECK, 2008).

Uma vez que os métodos de análise modal por saídas foram estabelecidos, foi explorada a ideia de usá-los para detectar falhas comparando as auto-estruturas do sistema em operação nominal e operação com falha. Em (BASSEVILLE et al., 2000), um critério para detectar falhas com base na análise modal por saídas foi proposto. O critério é baseado nos parâmetros de uma distribuição normal calculada a partir dos resíduos, que são determinados a partir do produto entre uma matriz de Hankel de dados observados e uma matriz ortonormal à matriz de observabilidade calculada com dados de condições sem falhas. O método foi validado com dados de uma ponte (MEVEL et al., 2003b) e com dados do steel-quake benchmark (MEVEL et al., 2003a).

A estratégia proposta em (BASSEVILLE et al., 2000) para calcular os resíduos parte do princípio que a excitação de entrada é um processo estocástico estacionário e

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essa hipótese geralmente não é verdadeira para a excitações aleatórias que ocorrem em sistemas físicos. A situação é ainda pior quando uma grande quantidade de dados é usada para calcular a matriz de Hankel de covariâncias. Para resolver esse problema, um teste estatístico robusto foi proposto em (DöHLER; MEVEL, 2011; DöHLER; MEVEL, 2013). A partir desse teste, foi possível detectar as falhas de maneira mais precisa quando o sinal de entrada é não estacionário.

Na dissertação, uma abordagem diferente para usar métodos de realização es-tocástica e parâmetros de Markov é proposta para o diagnóstico de falhas em uma bomba centrífuga. A proposta consiste em usar os parâmetros de Markov de modelos estocásticos estimados a partir de dados de vibração como features para diagnosticar falhas. Os parâ-metros de Markov são calculados com o algoritmo CCA (Canonical Correlation Analysis) usando quantidades limitadas de dados, portanto, a hipótese de estacionariedade pode ser considerada com uma precisão razoável. Para classificar as falhas, duas abordagens foram adotadas. Primeiramente, foi proposto um critério baseado na distância e, em seguida, o algoritmo de elipsoides de volume mínimo foi usado para definir as regiões no espaço de parâmetros de Markov, onde cada condição de falha se encontra.

1.3 Estrutura da Dissertação

A dissertação está organizada da seguinte maneira:

∙ Capítulo 2 : São apresentados os principais conceitos, métodos e algoritmos utili-zados para modelagem computacional de dados. O capítulo foca nas bases da teoria da estimação, nas técnicas de identificação de sistemas e nos conceitos de realiza-ção de séries temporais no espaço de estados, principalmente no algoritmo CCA, relevantes para o trabalho.

∙ Capítulo 3 : Este capítulo apresenta alguns dos conceitos de detecção de falhas e algumas terminologias. Além disso, apresenta as principais ideias dos métodos de detecção de falhas baseadas em modelos matemáticos.

∙ Capítulo 4 : Após as informações das falhas serem geradas pelos algoritmos de modelagem computacional de dados, é necessário tomar a decisão de ocorrência de falhas (detecção) e dizer qual falha ocorreu (isolação). Nesse capítulo são apresen-tados os métodos de classificação, clusterização e detecção de mudanças utilizados.

∙ Capítulo 5 : Esse é o capítulo principal da dissertação, pois é o capítulo que apre-senta os resultados da aplicação dos métodos para detecção de falhas em dois

(20)

siste-mas: um motor BLDC e uma bomba centrífuga. Nele são apresentados a metodologia utilizada e os resultados alcançados, como também discussões dos resultados.

∙ Capítulo 6 : O capítulo conclui o trabalho e apresenta algumas ideias para pesqui-sas futuras. Além disso, mostra os trabalhos publicados pelo autor decorrentes dos estudos realizados no mestrado relacionados a esta dissertação.

(21)

2 Modelagem Computacional de Dados

Este capítulo trata das principais técnicas utilizadas no trabalho para o le-vantamento de modelos matemáticos através do uso de dados observados dos respectivos fenômenos. A seção 2.1 trata dos conceitos básicos de estimação. Com isso, é apresentada na seção 2.2 a aplicação destes conceitos para identificação de sistemas dinâmicos. Já na seção 2.3 apresentam-se as principais ideias da área de séries temporais relevantes para o trabalho.

2.1 Introdução à Teoria da Estimação

A teoria da estimação é o ramo da estatística que busca maneiras de esti-mar valores de parâmetros de dados empíricos que possuem características aleatórias. Os parâmetros geralmente são relacionados a modelos matemáticos usados para explicar o comportamento dos dados. Por exemplo, supondo que os dados possuem uma distribuição de probabilidade Gaussiana, é necessário encontrar maneiras de estimar a média e a vari-ância da distribuição. Adiante é formulado o problema de estimação matematicamente. As principais referências utilizadas nesta seção foram (BAR-SHALOM et al., 2007) para con-ceitos gerais de estimação e (YOUNG, 2011) para estimação recursiva. Em (AGUIRRE, 2007) também encontram-se vários dos mesmos conceitos apresentados ao longo da seção. Dado um parâmetro 𝜃 que se deseja estimar, e um número 𝑁 de observações de uma variável aleatória 𝑌𝑖 ∀𝑖 = 1, 2, ..., 𝑁 , o objetivo é encontrar uma estimativa para

o parâmetro, denotada como ^𝜃. Resumidamente,

^

𝜃(𝑁 ) = ℎ(𝑌1, 𝑌2, ..., 𝑌𝑁) (2.1)

o mapeamento ℎ(.) é chamado de estimador. A dependência de ^𝜃 em 𝑁 significa que o

valor da estimativa do parâmetro depende do número de observações. Como ^𝜃 depende

de variáveis aleatórias, a estimativa também é uma variável aleatória.

Como o estimador ℎ(.) pode assumir várias formas é difícil dizer o que é um bom estimador. No entanto, existem algumas características desejáveis que um estimador deve ter e esse será o tema da próxima seção.

Existem diferentes metodologias de como resolver o problema de estimação. As duas principais abordagens são a estimação clássica e a estimação Bayesiana (que tem como pilar a regra de Bayes). A principal diferença entre elas é que enquanto, a clássica

(22)

trata o parâmetro a se estimar 𝜃 como uma constante determinística, a Bayesiana o trata como uma variável aleatória. No fundo o problema é resolvido como um problema de otimização.

2.1.1 Características de Estimadores

A principal característica que se deseja de um estimador é que ele produza estimativas o mais próximas possíveis do valor real. Isto é traduzido basicamente em dois critérios: estimador ser não polarizado (tendencioso, viesado) e ser consistente. Existem outros critérios, mas estes são os mais importantes.

A polarização de um estimador, tratada deste ponto da dissertação em diante por seu termo em inglês bias, é definida como

Bias(^_{𝜃) = E(^}𝜃) − 𝜃 (2.2)

O bias pode ser entendido como o erro médio que se comete ao estimar um determinado parâmetro. Uma das principais qualidades requeridas de um estimador é que este erro seja zero, levando à definição de estimador não polarizado (Unbiased Estimator ). Um estimador é não polarizado se seu bias for zero. Formalmente,

0 = E(^𝜃) − 𝜃

E(𝜃) = 𝜃^ (2.3)

Intuitivamente, a equação (2.3) significa que, ao utilizar um estimador não polarizado para estimar um parâmetro, em média o valor da estimativa se aproxima do valor real do parâmetro.

Ser não polarizado, não significa necessariamente que o estimador é bom. A estimativa pode ser não polarizada, mas não estar perto o suficiente do parâmetro real. Logo, também é necessário um critério de erro para analisar o quanto um estimador está perto do parâmetro real. Um dos critérios mais utilizados é o erro médio quadrático (Mean

Square Error ou MSE):

𝑀 𝑆𝐸(^_{𝜃) = E}(︁(^𝜃 − 𝜃)2)︁

= 𝑉 𝑎𝑟(︁𝜃 − 𝜃^ )︁_{+ E}2(︁𝜃 − 𝜃^ )︁

(23)

Logo, mesmo que o estimador seja não polarizado, sua variância ainda pode ser grande. O outro critério de qualidade importante é o de consistência. Um estimador é consistente se o erro de estimação convergir em probabilidade para zero. Matematica-mente,

lim

𝑁 →∞𝑃 (|^𝜃 − 𝜃| ≥ 𝜖) = 0 ∀𝜖 > 0 (2.5)

A intuição por trás da definição de consistência é a seguinte. Conforme o número de observações aumenta, a distribuição de probabilidade da estimativa vai se concentrado cada vez mais próximo ao parâmetro real. Ou seja, conforme o número de observações aumenta, a variância da estimativa diminui. Um estimador também é consis-tente se o seu MSE for diminuindo conforme o aumento do número de dados. Aqui vale ressaltar se um estimador é consistente, ele ainda pode ser polarizado.

2.1.2 Estimadores em Batelada

Estimadores em batelada são aqueles que utilizam todas as 𝑁 observações disponíveis. Nesta seção serão apresentados dois estimadores muito utilizados, os quais são estimação por máxima verossimilhança e o estimador de mínimos quadrados.

2.1.2.1 Estimação por Máxima verossimilhança (Maximum Likelihood Estimation)

A estimação por máxima verossimilhança consiste em criar um função cha-mada função de verossimilhança (likelihood function) que depende do parâmetro. Ou seja, dadas 𝑁 observações de uma variável aleatória 𝑌1, 𝑌2, ..., 𝑌𝑁, monta-se a função de

verossimilhança

𝐿(𝑌1, 𝑌2, ..., 𝑌𝑁|𝜃), (2.6)

em que a estimativa de 𝜃 é dada pelo argumento que maximiza esta função ^

𝜃𝑀 𝐿 = arg max 𝜃

𝐿(𝑌1, 𝑌2, ..., 𝑌𝑁|𝜃) (2.7)

Muitas vezes é vantajoso trabalhar com o logaritmo natural da função de máxima verossimilhança, definindo a log-verossimilhança

ln (𝐿(𝑌1, 𝑌2, ..., 𝑌𝑁|𝜃)) (2.8)

Uma coisa importante a se notar é que a função de verossimilhança não é uma probabilidade e que ela depende do valor de 𝜃. Logo, para valores diferentes de 𝜃 ela

(24)

possui outros valores. No entanto, matematicamente esta função é a função de densidade conjunta das 𝑁 variáveis aleatórias observadas condicionadas aos parâmetros 𝜃.

As principais características do estimador de máxima verossimilhança são

1. É consistente

2. É não polarizado assintoticamente ( com 𝑁 → ∞ possui bias zero)

3. A PDF de ^𝜃𝑀 𝐿 converge para uma distribuição normal assintoticamente

2.1.2.2 Estimador de Mínimos Quadrados (Least Squares Estimation)

O estimador de mínimos quadrados (LS, Least Squares Estimation) é um dos estimadores mais utilizados, principalmente em problemas lineares. O estimador de míni-mos quadrados encontra o conjunto de parâmetros que minimiza o erro quadrático entre as observações, 𝑦𝑖 ∀𝑖 = 1, ..., 𝑁 , dependente desses parâmetros suposto. Em termos

ma-temáticos, 𝐽 (𝜃) = 𝑁 ∑︁ 𝑖=1 (𝑦𝑖− 𝑓 (𝜃))2 = 𝑁 ∑︁ 𝑖=1 𝑒2_𝑖 (2.9) ^ 𝜃𝐿𝑆 = arg min 𝜃 𝐽 (𝜃) (2.10)

em que 𝑓 (.) é uma função qualquer que mapeia os parâmetros e as observações .

O problema anterior é um problema de mínimos quadrados não linear. Ge-ralmente se resolve este tipo de problema numericamente (otimização não linear), pois é difícil encontrar uma solução analítica. No entanto, existe um caso que possui solução analítica, o qual é o caso em que 𝑓 (.) é linear. Tal caso é chamado de regressão linear.

A regressão linear busca encontrar um modelo linear que aproxime as observa-ções como uma combinação linear de outras variáveis, chamadas regressores ou variáveis independentes 𝑥𝑗 _{∀𝑗 = 1, ..., 𝑛. Como as observações possuem incertezas, essas são}

geral-mente modeladas como um ruído aditivo branco 1 _{gaussiano com média nula e variância} constante. Sendo assim, o modelo suposto para 𝑁 observações é

1 _{Um ruído branco é uma processo estocástico em que cada instante de tempo ele é uma variável}

(25)

^ 𝑦 = 𝜃1𝑥1+ 𝜃2𝑥2... + 𝜃𝑛𝑥𝑛 (2.11) 𝑦 = ^𝑦 + 𝜖 𝜖∼𝑁 (0,𝜎2 𝜖) (2.12) ^ y = 𝑋 ^𝜃 (2.13) y = 𝑋 ^𝜃 + 𝜖 (2.14)

As duas últimas equações são as formas vetoriais das primeiras. 𝑋 ∈ R𝑁 ×𝑛 _{é a matriz de}

regressores. As colunas representam cada um dos valores do regressores (sobrescrito em

𝑥 representa qual regressor) e cada linha representa o determinado instante de tempo 𝑘.

A variável 𝜖 representa a incerteza, modelada como um ruído branco gaussiano de média nula e variância constante. O vetor y representa a saída observada do instante 1 até 𝑁 e ^

y é a sua estimativa.

Com isso, pode-se formular o problema de estimação dos parâmetros 𝜃 pelo estimador de mínimos quadrados como

^

𝜃𝐿𝑆 = arg min 𝜃

(y − ^y)𝑇(y − ^y) (2.15)

A solução é encontrada expandido a equação anterior, derivando em relação aos parâmetros e igualando a zero

𝐽 (𝜃) = (y − ^y)𝑇(y − ^y) = y𝑇y − y𝑇y − ^^ y𝑇y + ^y𝑇y^ = y𝑇y − 2y𝑇y + ^^ y𝑇y^ 𝐽 (𝜃) = y𝑇y − 2y𝑇𝑋𝜃 + 𝜃𝑇𝑋𝑇𝑋𝜃 (2.16) 𝜕𝐽 (𝜃) 𝜕𝜃 = −2𝑋 𝑇_{y + 2𝑋}𝑇_{𝑋𝜃 = 0} _(2.17) Logo a solução é ^ 𝜃𝐿𝑆 = (︁ 𝑋𝑇𝑋)︁−1𝑋𝑇y (2.18)

A solução do estimador de mínimos quadrados para o caso linear tem uma intuição ge-ométrica muito interessante, notando que a melhor aproximação das observações é dada por (2.19).

^

y = 𝑋^𝜃𝐿𝑆 = 𝑋

(︁

(26)

A equação (2.19) é a projeção ortogonal das observações no espaço coluna da matriz de regressores (STRANG, 2012).

Resumindo, as principais hipótese para o estimador de mínimos quadrados linear são

1. A incerteza é ruido branco Gaussiano

2. A incerteza possui média nula e variância constante (homocedasticidade)

3. Não há correlação entre os regressores e a incerteza

Se todas estas hipóteses estiverem corretas, o estimador de mínimos quadrados é não polarizado e consistente. Além disso, ele é considerado o melhor estimador linear não polarizado (BLUE, Best Linear Unbiased Estimator).

Geralmente estas hipóteses não são sempre atendidas (principalmente a de ruído branco), no entanto existem várias maneiras de as contornar e manter as caraterís-ticas desejáveis do estimador. O estimador mínimos quadrados é um dos mais importantes e mais utilizados em várias áreas da ciência e engenharia.

Um último ponto importante para encerrar a sessão é notar a covariância do erro de estimação. Ela será importante adiante quando será tratada da versão recursiva do estimador de mínimos quadrados. Aqui vale ressaltar que o erro de estimação 𝑦 − ^𝑦 não

é o mesmo que 𝜖. Na verdade, ele é uma aproximação de 𝜖. Se ao término da estimação dos parâmetros, o erro de estimação se comportar como um ruído branco e gaussiano e tiver correlação nula com os regressores, então pode-se dizer que a estimação foi bem sucedida. No entanto, quando se trabalha com dados reais, pode ser que o erro de estimação não seja branco ou que tenha correlação com os regressores ou ambos, o que indica que algumas das hipótese sobre o estimador foram violadas.

Se atendidas todas as hipóteses, a covariância do erro de estimação é

𝐶𝑜𝑣(e) = E(︁(y − ^y)(y − ^y)𝑇)︁

= 𝜎_𝜖2(𝑋𝑇𝑋)−1 (2.20)

2.1.3 Estimação Recursiva

Até agora os estimadores apresentados foram todos para estimação em bate-lada, ou seja, utilizavam todas as 𝑁 observações. Se uma nova observação fosse feita, haveria 𝑁 + 1 dados e toda a estimação deveria ser refeita utilizando os 𝑁 + 1 dados.

(27)

No entanto, geralmente isto traz algumas desvantagens do ponto de vista computacio-nal, como memória e inversão de matrizes. A estimação recursiva, além de evitar estes problemas, também permite tratar outro problemas que não seriam práticos para tratar em batelada. Esta seção se focará no estimador de mínimos quadrado recursivo (RLS,

Recursive Least Squares).

A dedução das equações do RLS são um tanto extensas e não serão deduzidas detalhadamente neste documento. No entanto, em (AGUIRRE, 2007) encontram-se a dedução passo a passo de forma clara.

O algoritmo de RLS parte da solução de mínimos quadrados em batelada, explicitando o dependência temporal,

^ 𝜃𝑘 = (︁ 𝑋_1:𝑘𝑇 𝑋1:𝑘 )︁−1 𝑋_1:𝑘𝑇 y_1:𝑘 (2.21)

em que 1 : 𝑘 significa que a variável contém as amostras de dados de 1 até o instante 𝑘. O objetivo é encontrar duas parcelas recursivas (𝑘 em função 𝑘 − 1) para cada um dos seguintes termos:

𝑃𝑘 = (︁ 𝑋_1:𝑘𝑇 𝑋1:𝑘 )︁−1 (2.22) 𝑏𝑘 = 𝑋1:𝑘𝑇 y1:𝑘 (2.23) ^ 𝜃𝑘 = 𝑃𝑘𝑏𝑘 (2.24)

O termo 𝑏𝑘 é simples de encontrar, como demonstrado abaixo

𝑏𝑘 = 𝑋1:𝑘𝑇 y1:𝑘 =[︁𝑋𝑇 1:𝑘−1 x𝑘 ]︁ ⎡ ⎣ y_1:𝑘−1 𝑦𝑘 ⎤ ⎦ = 𝑋_1:𝑘−1𝑇 y_1:𝑘−1+ x𝐾𝑦𝑘 𝑏𝑘 = 𝑏𝑘−1+ x𝑘𝑦𝑘. (2.25)

em que x𝑘 é o vetor de regressores, em que cada componente é o valor dos regressores no

instante 𝑘 e considerando que a primeira componente é 1.

O termo para 𝑃𝑘 é um pouco mais complicado, pois necessita do lema de

inversão de matrizes, mostrado a seguir.

(28)

em que 𝐴 ∈ R𝑗×𝑗_{, 𝐶 ∈ R}𝑘×𝑘_{, 𝐵 ∈ R}𝑗×𝑘 _{e 𝐷 ∈ R}𝑘×𝑗_.

Rapidamente será demonstrado como aplicar o lema ao problema da estimação recursiva de 𝑃𝑘 𝑃𝑘= (︁ 𝑋_1:𝑘𝑇 𝑋1:𝑘 )︁−1 = 𝑆_𝑘−1 (2.27) 𝑆𝑘 = [︁ 𝑋𝑇 1:𝑘−1 x𝑘 ]︁ ⎡ ⎣ 𝑋1:𝑘−1 x𝑇 𝑘 ⎤ ⎦= 𝑋_1:𝑘−1𝑇 𝑋_1:𝑘−1+ x_𝑘x𝑇_𝑘 = 𝑆_𝑘−1+ x_𝑘x𝑇_𝑘 (2.28)

Como o valor desejado é 𝑆_𝑘−1 aplica-se o lema de inversão de matrizes fazendo 𝐴 =

𝑆𝑘−1, 𝐵 = x𝑘, 𝐶 = 1 e 𝐷 = x𝑇𝑘. Notando que 𝑃𝑘−1 = 𝑆𝑘−1−1 chega-se a uma forma recursiva

para 𝑃𝑘. 𝑃𝑘= 𝑃𝑘−1− 𝑃𝑘−1x𝑘 (︁ 1 + x𝑇_𝑘𝑃𝑘−1x𝑘 )︁−1 x𝑇_𝑘𝑃𝑘−1 (2.29)

Uma vantagem aparente desta forma é que o termo entre parênteses é um escalar. Com 𝑃𝑘 e 𝑏𝑘, basta multiplicar os termos que tem-se a forma recursiva para

^

𝜃𝑘. Deve-se notar que ^𝜃𝑘−1 = 𝑃𝑘−1𝑏𝑘−1 e que a predição da saída no instante 𝑘 é dada por

^

𝑦𝑘 = x𝑇𝑘𝜃^𝑘−1.

A partir destas considerações, chega-se ao algoritmo do estimador de mínimos quadrados recursivo: ^ 𝜃𝑘 = ^𝜃𝑘−1+ 𝐾𝑘 (︁ 𝑦𝑘− x𝑇𝑘𝜃^𝑘−1 )︁ , (2.30a) 𝐾𝑘 = 𝑃𝑘−1x𝑘 1 + x𝑇 𝑘𝑃𝑘−1x𝑘 , (2.30b) 𝑃𝑘 = 𝑃𝑘−1− 𝐾𝑘x𝑇𝑘𝑃𝑘−1. (2.30c)

as dimensões de cada um dos elementos do algoritmo são ^_{𝜃 ∈ R}𝑛_{, 𝑃}

𝑘 ∈ R𝑛×𝑛, x𝑘 ∈ R𝑛 e

𝐾 ∈ R𝑛.

O estimador RLS tem as mesmas características estatísticas que o LS em batelada. A estimativa do RLS converge para o valor da estimativa do LS. Vale notar que o ganho de correção 𝐾 (fator de ponderação ou ganho de Kalman) varia entre 0 (𝑃𝑘−1→ 0) e 1 (𝑃𝑘−1 → ∞) 2.

A matriz 𝑃𝑘 tem uma interpretação interessante. Como mostrado no LS em

batelada, a covariância do erro de estimação é dada por 𝜎2_(𝑋𝑇

1:𝑘𝑋1:𝑘)−1, ou seja, é a matriz

(29)

𝑃𝑘multiplicada pela variância do ruído. Logo, 𝑃𝑘 calcula covariância do erro de estimação

recursivamente com a diferença apenas de uma multiplicação por uma constante. As diagonais de 𝑃𝑘 demonstram o comportamento da variância do erro de estimação para

cada parâmetro.

O RLS precisa de valores iniciais para iniciar a recursão. Um dos métodos mais utilizados é iniciar ^𝜃0 = 0 e 𝑃0 = 𝑐𝐼, em que 𝑐 é um escalar de alto valor (ex. 106). Isto busca dizer ao algoritmo que o valor inicial dá estimativa não é confiável (variância elevada no erro), com isso o algoritmo da mais peso para as medições no início da estimação até convergir para o valor em estado estacionário do erro. Vale ressaltar que o método de inicialização implica em convergência para o valor estacionário do erro apenas nos casos em que a função objetivo e as restrições do problema de otimização forem convexas. Se as funções não forem convexas o algoritmo pode convergir para diferentes pontos (vide Filtro de Kalman Estendido e Mínimos Quadrados Não Linear). No algoritmo apresentado em (2.63) é suposto que o problema de estimação seja linear (regressão linear), logo este procedimento de inicialização sempre irá convergir.

A próxima seção tratará mais a fundo de como utilizar as técnicas da teoria da estimação para estimar parâmetros de modelos matemáticos de sistemas dinâmicos lineares. A área que envolve a determinação de modelos recebe o nome de Identificação de Sistemas.

2.2 Identificação de Sistemas

Em identificação de sistemas, busca-se encontrar um modelo matemático de um sistema dinâmico utilizando dados de entrada e saída. O modelo pode ser considerado não paramétrico ou paramétrico. Modelos não paramétricos não possuem uma estrutura matemática pré definida, já modelos paramétricos apresentam uma estrutura definida de antemão(ex. ARX, ARMAX, etc). Esta seção é focada em métodos paramétricos para determinação de modelos lineares. As principais referências desta seção são (AGUIRRE, 2007) e (TANGIRALA, 2015).

A modelagem (por modelos lineares) em identificação, considera que a saída do sistema pode ser representada pela combinação linear de dois termos: um termo de-terminístico e um termo estocástico (2.31a). O termo dede-terminístico busca encontrar a influência da entrada determinística na saída e o termo estocástico busca representar in-certezas de modelagem e ruído de medição. A parte estocástica pode ser analisada como a saída de um filtro tendo por entrada um ruído branco e a parte determinística representa

(30)

a função de transferência do sistema (2.31b).

𝑦𝑘 = 𝑦𝑘𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜+ 𝑦

𝐸𝑠𝑡𝑜𝑐á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜

𝑘 (2.31a)

𝑦𝑘 = 𝐺(𝑞)𝑢𝑘+ 𝐻(𝑞)𝑒𝑘 (2.31b)

em que k é o instante de tempo, y a saída do sistema, u a entrada determinística e e é um ruído branco. A letra q representa o operador atraso 𝑞−𝑛𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−𝑛.

Em função do operador atraso, pode-se definir um modelo linear geral de polinômios em q (2.32). Os polinômios são dados por (2.33).

𝑦𝑘 = 𝐵(𝑞) 𝐹 (𝑞)𝐴(𝑞)𝑢𝑘+ 𝐶(𝑞) 𝐷(𝑞)𝐴(𝑞)𝑒𝑘 (2.32) 𝐴(𝑞) = 1 − 𝑎1𝑞−1− 𝑎2𝑞−2− ... − 𝑎𝑛𝑎𝑞 −𝑛𝑎 _(2.33a) 𝐵(𝑞) = 𝑏1𝑞−1+ 𝑏2𝑞−2+ ... + 𝑏𝑛+𝑏𝑞−𝑛𝑏 (2.33b) 𝐶(𝑞) = 1 + 𝑐1𝑞−1+ 𝑐2𝑞−2+ ... + 𝑐𝑛𝑐𝑞 −𝑛𝑐 _(2.33c) 𝐷(𝑞) = 1 + 𝑑1𝑞−1+ 𝑑2𝑞−2+ ... + 𝑑𝑛𝑑𝑞 −𝑛𝑑 _(2.33d) 𝐹 (𝑞) = 1 + 𝑎1𝑞−1+ 𝑓2𝑞−2+ ... + 𝑓𝑛𝑓𝑞 −𝑛𝑓 _(2.33e)

O modelo dado por (2.32) é complexo e em muitos casos modelos mais sim-ples podem ser utilizados obtendo-se um grau de exatidão razoável. Os principais serão apresentados a seguir:

Modelo ARX - Autorregressivo com Entradas Exógenas 𝑦𝑘 =

𝐵(𝑞) 𝐴(𝑞)𝑢𝑘+

1

𝐴(𝑞)𝑒𝑘 (2.34)

Os parâmetros a estimar são 𝑎𝑖 𝑖 = 1, ..., 𝑛𝑎 e 𝑏𝑗 𝑗 = 1, ..., 𝑛𝑏.

Modelo ARMAX - Autorregressivo Média Móvel com Entradas Exó-genas 𝑦𝑘= 𝐵(𝑞) 𝐴(𝑞)𝑢𝑘+ 𝐶(𝑞) 𝐴(𝑞)𝑒𝑘 (2.35)

Os parâmetros a estimar são 𝑎𝑖 (𝑖 = 1, ..., 𝑛𝑎), 𝑏𝑗 (𝑗 = 1, ..., 𝑛𝑏) e 𝑐𝑧 (𝑧 = 1, ..., 𝑛𝑐).

Modelo OE - Erro na Saída

𝑦𝑘=

𝐵(𝑞)

(31)

em que os parâmetros a estimar são 𝑏𝑗 e 𝑓𝑤 (𝑤 = 1, ..., 𝑛𝑓).

Modelo Box Jenkins 𝑦𝑘 =

𝐵(𝑞) 𝐹 (𝑞)𝑢𝑘+

𝐶(𝑞)

𝐷(𝑞)𝑒𝑘 (2.37)

Os parâmetros a estimar são o 𝑏𝑗, 𝑐𝑧, 𝑓𝑤 e 𝑑ℎ (ℎ = 1, ..., 𝑛𝑑).

A necessidade de diferentes modelos, como apresentados anteriormente, advém do fato de que nem sempre a incerteza presente nos dados pode ser modelada como um ruído branco. Se este fato não é garantido, o resultado do estimador como o mínimos quadrados será polarizado. Logo, diferentes modelos representam diferentes maneiras de tratarmos a incerteza nos dados com o objetivo de garantir a qualidade da estimativa. Além disso, os modelos proporcionam diferentes graus de liberdade para explicar o com-portamento do sistema dinâmico em questão e também análises de custo benefício.

De modo geral o 𝐴𝑅𝑋 é o mais simples de estimar, já que ele pode ser estimado pelo LS ordinário. No entanto, ele é o que mais restringe a estrutura do modelo, pois trata a incerteza apenas como um ruído branco. Nem sempre é possível tratar a incerteza como ruído branco e devido a isso o modelo 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋 é um dos mais utilizados em identificação de sistemas. O 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋 permite uma maior liberdade na escolha do modelo da parte estocástica. Nele, a ordem do polinômio 𝐶(𝑞) pode ser escolhida grande o suficiente, após a determinação da estrutura do modelo da parte determinística, até que o erro de estimação seja um ruído branco. Já o modelo 𝑂𝐸 oferece uma grande vantagem na escolha de estrutura do modelo. Utilizando o modelo 𝑂𝐸 é possível estimar a parte determinística da saída sem a necessidade de se preocupar com a estrutura da parte estocástica. A dificuldade é que o modelo 𝑂𝐸 cai em um problema de otimização não linear. No entanto, tal fato pode ser contornado utilizando o algoritmo de estimação para o modelo 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋, bastando colocar o 𝑂𝐸 na forma 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋. O algoritmo é chamado de pseudo-regressão linear (PLR, Pseudo Linear Regression) ou mínimo quadrados estendido (ELS, Extended

Least Squares). Ele será um dos assuntos da próxima seção.

2.2.1 Estimação em Identificação de Sistemas

Os principais métodos de estimação utilizados em identificação de sistemas para modelos lineares são os métodos de predição de erro, que são gerais e resultam em métodos conhecidos em casos particulares como o método de mínimos quadrados. Nesta seção serão apresentadas as principais ideias e alguns casos particulares.

Os métodos de predição de erro buscam estimar modelos matemáticos mini-mizando o erro de predição de um passo a frente:

(32)

em que ^𝑦𝑘|𝑘−1 significa o valor da saída predito no instante 𝑘 utilizando informações

(dados) até o instante 𝑘 − 1.

Tal erro é minimizado parametrizando o modelo matemático de entrada e saída em função de um vetor de parâmetros 𝜃, ou seja, o modelo em (2.31b) passa agora a ser representado como:.

^

𝑦𝑘|𝑘−1= 𝐺(𝑞, 𝜃)𝑢𝑘+ 𝐻(𝑞, 𝜃)𝑒𝑘 (2.39)

sendo 𝑢𝑘 a entrada do sistema e 𝑒𝑘 um ruído branco. Vale ressaltar que 𝜉𝑘|𝑘−1 e 𝑒𝑘 são

diferentes. O erro de predição de um passo a frente pode ser visto como uma estimativa de 𝑒𝑘.

O objetivo é estimar os parâmetros 𝜃 de forma que eles minimizem uma função de custo do erro de predição de um passo a frente, no caso é dado o exemplo de uma função quadrática, mas o método é geral e pode ser utilizado com outras funções de custo. A minimização do critério quadrático é representada matematicamente como:

^ 𝜃 = arg min 𝜃 𝑁 ∑︁ 𝑘=1 𝜉_{𝑘|𝑘−1}2 = arg min 𝜃 𝑁 ∑︁ 𝑘=1 (︁ 𝑦𝑘− ^𝑦𝑘|𝑘−1 )︁2 (2.40)

em que 𝑁 é o número total de amostras, 𝑦𝑘 é a saída observada e ^𝑦𝑘|𝑘−1 é o preditor

de um passo a frente da saída observada. Logo, para os métodos de predição do erro é necessário uma expressão para o preditor de um passo a frente, já que este é função de 𝜃. A forma geral do preditor de um passo a frente é (2.41). Esta expressão não será deduzida aqui, mas sua dedução pode ser encontrada de forma detalhada em (AGUIRRE, 2007) Capítulo 5 complemento 5.4, além das suposições teóricas para que ela seja válida.

^

𝑦𝑘|𝑘−1= 𝐻(𝑞)−1𝐺(𝑞)𝑢𝑘+

[︁

1 − 𝐻(𝑞)−1]︁𝑦𝑘 (2.41)

O problema 2.40 é geral e, dependendo da parametrização utilizada (modelo matemático), diferentes preditores de um passo a frente serão gerados. Para a maior parte dos modelos apresentados na seção anterior, o problema de otimização dado por (2.40) é não linear. Logo, são necessários algoritmos de otimização não linear para resolvê-los. No entanto, em alguns casos o problema de otimização é linear ou podem-se utilizar maneiras diferentes para resolver o problema como pseudo-regressão linear, sem a necessidade de utilizar algoritmos não lineares. Tais casos serão apresentados a seguir.

Se o modelo escolhido for do tipo ARX, o problema de otimização é linear nos parâmetros e tem solução exatamente igual a solução do estimador de mínimos quadrados.

(33)

Isto pode ser analisado da seguinte maneira, representado a estimativa de um passo a frente da saída como:

^

𝑦𝑘|𝑘−1= 𝜓𝑘−1𝑇 𝜃^ (2.42)

em que 𝜓𝑘−1 ∈ 𝑅𝑛𝜃 é o vetor de regressores utilizando dados até o instante de tempo

𝑘 − 1.

O vetor de regressores para o modelo ARX é formado por valores atrasados da entrada e saída :

𝜓_𝑘−1𝑇 =[︁−𝑦𝑘−1 · · · −𝑦𝑘−𝑛𝑦 𝑢𝑘−1 · · · 𝑢𝑘−𝑛𝑢

]︁

(2.43)

A estimativa dos parâmetros do modelo ARX é dada por

^

𝜃 =(︁Ψ𝑇Ψ)︁−1Ψ𝑇y (2.44) em que Ψ é a matriz de regressores. Ela é formada pelo vetor de regressores, em que cada linha da matriz é dado pelo valor do vetor de regressores transposto no instante 𝑘. A solução anterior é a mesma que a solução do estimador de mínimos quadrados. Conforme pode ser observado ao se comparar (2.44) com (2.18).

Quando um modelo mais complexo como o 𝑂𝐸 é utilizado, a solução não é tão trivial e cai-se em um problema de otimização não linear. No entanto, pode-se usar um método de estimação chamado de pseudo-regressão linear ou também mínimos quadrados estendido. Tal método é apresentado a seguir para o modelo 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋. Para se encontrar a formulação da predição de um passo a frente do 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋 é necessário o valor do erro de um passo a frente para o modelo 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋. Utilizando (2.41), o preditor para o modelo

𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋 é dado por (2.45).

^

𝑦_{𝑘|𝑘−1,^}_𝜃 = 𝐵(𝑞)𝑢𝑘+ [1 − 𝐴(𝑞)]𝑦(𝑘) + [𝐶(𝑞) − 1]𝜉𝑘|𝑘−1,^𝜃 (2.45) .

O vetor de regressores do modelo 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋 é representado por (2.46). Percebe-se que o problema é não linear, já que o erro de predição de um passo a frente não é conhecido e sim depende de ^𝜃.

𝜓𝑇_𝑘−1 =[︁−𝑦𝑘−1 · · · −𝑦𝑘−𝑛𝑦 𝑢𝑘−1 · · · 𝑢𝑘−𝑛𝑢 𝜉𝑘|𝑘−1,^𝜃 · · · 𝜉𝑘|𝑘−𝑛𝑐,^𝜃

]︁

(34)

.

O modelo 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋 pode ser estimado utilizando o algoritmo de pseudo re-gressão linear ( PLR) ou mínimos quadrados estendidos (ELS). Vale ressaltar que a ordem dos polinômios deve ser escolhida a a priori. O algoritmo é descrito nos passos abaixo:

Algoritmo de Pseudo-Regressão Linear

∙ Passo 1: Estimar o modelo apenas com a parte 𝐴𝑅𝑋 por mínimos quadrados ordinário, ou seja, utilizando apena os dados de entrada 𝑢𝑘 e saída 𝑦𝑘. Neste caso,

a estimativa dos parâmetros e os regressores são dados por:

𝜓_𝑘−1𝑇 =[︁−𝑦𝑘−1 · · · −𝑦𝑘−𝑛𝑦 𝑢𝑘−1 · · · 𝑢𝑘−𝑛𝑢

]︁

(2.47a)

^

𝜃 =(︁Ψ𝑇Ψ)︁−1Ψ𝑇y (2.47b)

∙ Passo 2: Calcula-se o vetor de resíduos (erro de predição de um passo utilizando todas as amostras) usando a estimativa do passo 1:

𝜉1 = y − Ψ ^𝜃 (2.48)

em que 1 representa a primeira iteração. Atentar que 𝜉1 ∈ 𝑅𝑁.

∙ Passo 3 Faça a iteração 𝑖 = 𝑖+1 ( sendo que 𝑖 = 2 na primeira iteração) e utilizando 𝜉𝑖−1 (utilizando iteração anterior) monte a matriz de regressores utilizando 𝜉𝑖1 e

calcule a nova estimativa. Neste caso, os regressores e a estimativa dos parâmetros são dados por:

𝜓𝑇_𝑘−1 =[︁−𝑦𝑘−1 · · · −𝑦𝑘−𝑛𝑦 𝑢𝑘−1 · · · 𝑢𝑘−𝑛𝑢 𝜉𝑖−1 · · · 𝜉𝑖−𝑛𝜉 ]︁ (2.49a) ^ 𝜃𝑖= (︁ Ψ𝑇_𝑖 Ψ𝑖 )︁−1 Ψ𝑇_𝑖 y (2.49b)

∙ Passo 4: Calcule novamente o vetor de resíduos para a iteração atual

𝜉𝑖= y − Ψ𝑖𝜃^𝑖 (2.50)

∙ Passo 5: Volte ao passo 3 e o repita até que se atinja o critério de convergência do algoritmo.

O critério de convergência do algoritmo de pseudo-regressão linear não é defi-nido de forma analítica. Geralmente, observa-se o valor das estimativas dos parâmetros.

(35)

Se após algumas iterações, não ocorrerem variações significativas nos parâmetros estima-dos, então considera-se que o algoritmo convergiu. Um exemplo de critério seria analisar a diferença absoluta entre o valor da estimativa atual e da estimativa anterior. Se esta diferença for menor que uma porcentagem arbitrária, por exemplo 5%, considera-se que o algoritmo convergiu.

A estimação por pseudo regressão linear nem sempre converge já que o pro-blema que ela resolve, no fundo, é não linear. No entanto, é um método poderoso que livra da necessidade de utilizar um algoritmo de otimização não linear (como Newton-Raphson). No entanto, para modelos 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋, existe uma condição de convergência para o algoritmo apresentado em (AGUIRRE, 2007). O método de ELS supõe que o modelo seja ARMAX, no entanto é possível colocar todos os modelos apresentados anteriormente na forma de um modelo ARMAX. Logo, ele pode ser utilizado para estimar modelos OE e até mesmo o Box-Jenkins. Abaixo segue a representação dos modelos 𝑂𝐸 e 𝐵𝑜𝑥−𝐽 𝑒𝑛𝑘𝑖𝑛𝑠 como modelos 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋.

1. Modelo ARMAX

𝐴(𝑞)𝑦𝑘 = 𝐵(𝑞)𝑢𝑘+ 𝐶(𝑞)𝑒𝑘 (2.51)

.

2. Modelo OE como ARMAX

𝐹 (𝑞)𝑦𝑘 = 𝐵(𝑞)𝑢𝑘+ 𝐹 (𝑞)𝑒𝑘 (2.52) . 𝐴(𝑞) = 𝐹 (𝑞) 𝑒 𝐶(𝑞) = 𝐹 (𝑞) (2.53) . ^ 𝑦_{𝑘|𝑘−1,^}_𝜃 = 𝐵(𝑞)𝑢𝑘+ [1 − 𝐹 (𝑞)] 𝑦(𝑘) + [𝐹 (𝑞) − 1] 𝜉_{𝑘|𝑘−1,^}_𝜃 (2.54) .

3. Modelo 𝐵𝑂𝑋 − 𝐽 𝐸𝑁 𝐾𝐼𝑁 𝑆 como ARMAX

𝐹 (𝑞)𝐷(𝑞)𝑦𝑘 = 𝐷(𝑞)𝐵(𝑞)𝑢𝑘+ 𝐹 (𝑞)𝐶(𝑞)𝑒𝑘 (2.55)

.

(36)

.

^

𝑦_{𝑘|𝑘−1,^}_𝜃 = 𝐵𝐵𝐽(𝑞)𝑢𝑘+ [1 − 𝐴𝐵𝐽(𝑞)]𝑦(𝑘) + [𝐶𝐵𝐽(𝑞) − 1]𝜉_{𝑘|𝑘−1,^}_𝜃 (2.57)

.

Embora as equações anteriores aparentem ser complexas, vale observar que um polinômio em 𝑞, 𝑍(𝑞), multiplicando um dos sinais 𝑥𝑘 (𝑢𝑘, 𝑦𝑘 ou 𝜉𝑘) é

simples-mente um sinal filtrado pelo filtro dado pelo polinômio 𝑥𝑓_𝑘 = 𝑍(𝑞)𝑥𝑘. Logo, o modelo

𝐵𝑂𝑋 − 𝐽 𝐸𝑁 𝐾𝐼𝑁 𝑆 pode ser colocado como 𝐴𝑅𝑀 𝐴𝑋 filtrando seus sinais pelo

respec-tivos polinômios.

A vantagem do algoritmo ELS é que ele também possui uma forma recursiva (RELS) mostrada em (2.58). A diferença do RLS apresentado na seção de introdução de estimação é que na primeira iteração do ELS usam-se apenas regressores de entrada e saída e após isso adicionam-se os regressores de ruído utilizando 𝜉𝑘. Uma ideia é inicializar

o vetor de regressores nos elementos de ruído em zero na primeira iteração e após ela, substituir os valores pela estimativa.

^ 𝜃𝑘 = ^𝜃𝑘−1 + 𝐾𝑘 (︁ 𝑦𝑘− 𝜓𝑇𝑘𝜃^𝑘−1 )︁ , (2.58a) 𝐾𝑘 = 𝑃𝑘−1𝜓𝑘 1 + 𝜓𝑇 𝑘𝑃𝑘−1𝜓𝑘𝑇 , (2.58b) 𝑃𝑘 = 𝑃𝑘−1− 𝐾𝑘𝜓𝑇𝑘𝑃𝑘−1. (2.58c) 𝜉𝑘 = 𝑦𝑘− 𝜓𝑘𝑇𝜃^𝑘 (2.58d) sendo que 𝜓𝑇

𝑘 é o mesmo que 𝜓𝑇𝑘−1 nas demonstrações anteriores.

2.2.2 Estimação de Parâmetros Variantes no Tempo

Em identificação de sistemas, muitas vezes deseja-se estimar parâmetros que variem ao longo do tempo, o que acontece frequentemente quando as técnicas de identi-ficação de sistemas são utilizadas para diagnóstico de falhas. Neste caso, os estimadores obrigatoriamente precisam ser recursivos e além disso, algumas mudanças precisam ser feitas para alterar a memória dos estimadores. Para entender esta característica de me-mória, basta realizar uma análise do RLS. Conforme a matriz 𝑃𝑘 → 0, o estimador de

RLS deixa de confiar nas medições e basicamente confia apenas na estimativa do instante anterior, ou seja, 𝐾 → 0. Logo, o algoritmo não fica mais sensível a mudanças nos dados. Quando 𝐾 é próximo de zero a convergência para o novo valor do parâmetro pode até