4.4 Ru´ıdo causado por uma pequena diferen¸ca de fase
4.5.2 Detec¸c˜ ao de camadas em 10 pontos controlados do modelo
Com intuito ilustrativo do m´etodo, a Figura 41 exibe 10 pontos de foco distintos em partes diferentes do modelo, com duas zonas de maior velocidade. Os tempos de foco tf
de cada ponto foram calculados usando a equa¸c˜ao (83). Em seguida, utilizou-se o esquema iterativo de van der Neut com 4 itera¸c˜oes para cada ponto de foco, a fim de se obter as
fun¸c˜oes de Green progressivas.
A Figura 42 exibe os passos requeridos pelo m´etodo. Primeiro, escolhem-se duas
solu¸c˜oes da fun¸c˜ao de G+ distintas (foram escolhidos os pontos xf 1 e xf 2). O tempo da
onda direta de cada uma das duas solu¸c˜oes ´e conhecido — tf 1 para o ponto xf 1 e tf 2 para
o ponto xf 2. O pr´oximo passo ´e deslocar para direita a solu¸c˜ao que possui menor tempo de
0 2 4 6 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Distancia (km) Velocidade (km/s) Velocidade 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 41: Modelo com duas zonas de alta velocidadede com 10 pontos de foco (xf i) distintos,
numerados de 1 a 10. 0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 Tempo (s) Amplitude
Pontos de foco 1 & 2
(a) Fun¸c˜oes G+ dos pontos de focamento 1 e 2.
0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 Tempo (s) Amplitude
Pontos de foco 1 & 2
(b) Fun¸c˜oes G+ dos pontos de focamento x f 1 e
xf 2. A solu¸c˜ao que possui tempo de focamento
menor foi deslocada em dt = |tf i− tf k|.
Figura 42: Sismogramas dos pontos de focamento xf 1 e xf 2 da (Figura 41), e deslocados em
tempo.
menor tempo, pois o sismograma ´e finito e n˜ao temos informa¸c˜ao para tempos maiores que
o tempo m´aximo de amostragem (t > 6s). Como ap´os o deslocamento os dois eventos s˜ao idˆenticos (Figura 42b), sabemos que os pontos xf 1 e xf 2 pertencem `a mesma camada.
0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 Tempo (s) Amplitude
Pontos de foco 1 & 4
Figura 43: Fun¸c˜oes G+ dos pontos de focamento xf 1 e xf 4. C´ırculo azul indica o primeiro
evento d´ıspar causado pela mudan¸ca de camada. A solu¸c˜ao que possui tempo de focamento menor foi deslocada em dt = |tf i− tf k|.
A Figura 43 exibe a situa¸c˜ao correspondente da Figura 42b para o caso em que as fun¸c˜oes
de Green redatumadas s˜ao calculadas para os dois pontos xf i: (i = 1 e 4), que encontram-se
em camadas distintas. O c´ırculo azul indica o primeiro evento d´ıspar entre as duas G+. Esse
evento aparece antes das reflex˜oes e m´ultiplas, compartilhadas pelas duas fun¸c˜oes. Como as duas fun¸c˜oes n˜ao s˜ao idˆenticas, sabemos que os respectivos pontos xf est˜ao em camadas
distindas.
As Figuras 44a, 44b e 44c tamb´em s˜ao exemplos de pontos de foco xf i: (i = 3 e 4), (i =
6 e 8) e (i = 9 e 10) que pertencem `a mesma camada (os sismogramas s˜ao idˆenticos), ao passo que os eventos d´ıspares das Figuras 44d a 44f indicam que houve mudan¸ca de camada
entre os respectivos pontos xf i: (i = 1 e 7), (i = 1 e 9) e (i = 3 e 8).
O m´etodo descrito neste trabalho ´e ´util para identificar o n´umero de camadas utilizando
apenas o sismograma, sem que seja necess´ario conhecer do modelo de velocidade. Entretanto, o m´etodo n˜ao permite determinar os valores da velocidade nas camadas detectadas e, por
consequˆencia, sem o modelo de velocidade, n˜ao ´e poss´ıvel conhecer a posi¸c˜ao da camada no espa¸co, mas apenas no tempo.
0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 Tempo (s) Amplitude
Pontos de foco 3 & 4
(a) Fun¸c˜oes G+ dos pontos de focamento 3 e 4. 0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 Tempo (s) Amplitude
Pontos de foco 6 & 8
(b) Fun¸c˜oes G+ dos pontos de focamento 6 e 8. 0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 Tempo (s) Amplitude
Pontos de foco 9 & 10
(c) Fun¸c˜oes G+ dos pontos de focamento 9 e 10. 0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 Tempo (s) Amplitude
Pontos de foco 1 & 7
(d) Fun¸c˜oes G+ dos pontos de focamento 1 e 7. 0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 Tempo (s) Amplitude
Pontos de foco 1 & 9
(e) Fun¸c˜oes G+ dos pontos de focamento 1 e 9. 0 1 2 3 4 5 6 -2 0 2 4 6 Tempo (s) Amplitude
Pontos de foco 3 & 8
(f) Fun¸c˜oes G+ dos pontos de focamento 3 e 8.
Figura 44: V´arias solu¸c˜oes com tf distintos. As solu¸c˜oes que possuem tempo de focamento
5 CONCLUS ˜OES
Esta disserta¸c˜ao resumiu a dedu¸c˜ao te´orica da equa¸c˜ao integral de Marchenko e apre- sentou uma dedu¸c˜ao alternativa das equa¸c˜oes acopladas de Marchenko em uma dimens˜ao.
Essas equa¸c˜oes foram resolvidas por esquemas iterativos com a finalidade de se comparar a qualidade da solu¸c˜ao em rela¸c˜ao `a solu¸c˜ao por diferen¸cas finitas e avaliar sua sensibilidade
ao ru´ıdo.
A equa¸c˜ao integral de Marchenko pode ser resolvida pelo esquema iterativo desenvolvido
por Rose (2002). Em s´ıntese, cada itera¸c˜ao envolve trˆes passos, a saber: o c´alculo da resposta de reflex˜ao, o c´alculo da coda pela opera¸c˜ao de mascaramento e sua revers˜ao no tempo e, por
fim, a inje¸c˜ao de um novo pulso, que ´e a subtra¸c˜ao entre o pulso inicial e a coda. Broggini e Snieder (2012) mostram que a solu¸c˜ao, ap´os a convergˆencia, pode ser utilizada para recuperar
a fun¸c˜ao de Green redatumada no ponto xf.
A solu¸c˜ao das equa¸c˜oes acopladas de Marchenko tamb´em pode ser obtida por meio
de um esquema iterativo que faz uso de um operador de mascaramento, desenvolvido por van der Neut et al. (2015). Nesse esquema, a cada itera¸c˜ao, calcula-se a parte regressiva da
solu¸c˜ao por meio da parte progressiva da itera¸c˜ao anterior, para ent˜ao calcular a coda. O esquema de Broggini e Snieder utiliza uma modelagem/convolu¸c˜ao em cada itera¸c˜ao,
enquanto o esquema de van der Neut utiliza duas — apontando que este esquema tem custo computacional pelo menos duas vezes maior.
Em uma situa¸c˜ao real, esses dois esquemas iterativos n˜ao podem ser aplicados por meio de modelamento, por falta de conhecimento do modelo de velocidade. Ao inv´es disso,
os campos espalhados precisam ser determinados por meio da convolu¸c˜ao do pulso a ser injetado com o sismograma de reflex˜ao. Se o tra¸co s´ısmico ´e uma boa aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao
de Green normalizada, os esquemas convergem e recuperam a cinem´atica dos eventos com boa precis˜ao, sem a necessidade de uma corre¸c˜ao intermedi´aria. Para o exemplo em que o
tra¸co foi obtido com uma wavelet Gaussiana, os esquemas convergiram bem e apresentaram a mesma cinem´atica da solu¸c˜ao de referˆencia. A dinˆamica foi comprometida, de modo que,
ap´os sucessivas convolu¸c˜oes, os eventos tiveram suas amplitudes reduzidas e sua dura¸c˜ao incrementada (efeito atribu´ıdo `a auto-convolu¸c˜ao da wavelet). Dessa forma, utilizando uma
simples normaliza¸c˜ao de√2, em cada passo convolutivo dos esquemas iterativos, a dinˆamica da solu¸c˜ao iterativa n˜ao foi corrigida.
Em rela¸c˜ao ao custo computacional, o esquema por convolu¸c˜ao tem custo muito menor
se comparado a diferen¸cas finitas — cerca de 200 vezes menor para os esquemas de van der Neut.
Ambos os m´etodos iterativos foram aplicados a dois tra¸cos s´ısmicos obtidos em dois modelos de velocidade distintos — o primeiro, simples, apresenta duas zonas de alta ve-
locidade; o segundo, complexo, amostrado em um perfil vertical do modelo Marmousi. No primeiro modelo, foi apresentado o problema do escalamento incorreto da fonte para o ponto
de foco posicionado em regi˜ao cuja velocidade ´e maior que a do ponto de inje¸c˜ao. Sua an´alise tamb´em permitiu testar a robustez dos m´etodos iterativos para tra¸co s´ısmico com presen¸ca
de ru´ıdo. A partir do modelo mais complexo, foi poss´ıvel avaliar a qualidade das solu¸c˜oes dos esquemas iterativos em compara¸c˜ao com a solu¸c˜ao de referˆencia por diferen¸cas finitas.
Observamos que, em suma, os dois esquemas apresentaram bons resultados no modelo simples, visto que foi poss´ıvel recuperar a cinem´atica dos eventos eventos mais importantes.
A dinˆamica, entretanto, sofreu pelo escalamento incorreto da fonte. A solu¸c˜ao do tra¸co s´ısmico com ru´ıdo recuperou a cinem´atica da solu¸c˜ao de referˆencia em ambos os esquemas —
sem a utiliza¸c˜ao de um crit´erio de parada, entretanto, as solu¸c˜oes divergiram pelo crit´erio de convergˆencia. Comparativamente, o esquema de van der Neut apresentou maior sensibilidade
ao ru´ıdo.
No perfil extra´ıdo do modelo Marmousi, os dois esquemas apresentaram boa precis˜ao
cinem´atica, recuperando os eventos de maior amplitude. Contudo, para longos tempos no sis- mograma (onde predominam m´ultiplas de baixa amplitude), o erro causado por uma pequena
diferen¸ca de fase no c´alculo da resposta de reflex˜ao comprometeu as acur´acias cinem´atica e dinˆamica.
A an´alise da solu¸c˜ao da fun¸c˜ao de Green progressiva do esquema de van der Neut permitiu apresentar um m´etodo para detec¸c˜ao de camadas: ao comparar duas solu¸c˜oes (G+)
para tempos de foco diferentes, podemos avaliar se h´a ou n˜ao interfaces entre esses dois tempos.
tra¸co com ru´ıdo em modelos complexos. Al´em disso, este trabalho mostrou que o m´etodo de
detec¸c˜ao de camadas foi bem sucedido para um modelo bastante simples — seria necess´ario verificar sua precis˜ao em modelos complexos.
Por fim, para aplicar os esquemas iterativos por convolu¸c˜ao a modelos reais ´e preciso que o tra¸co s´ısmico inicial seja uma boa aproxima¸c˜ao da fun¸c˜ao de Green, ou que se adicione
um passo intermedi´ario de deconvolu¸c˜ao para a remo¸c˜ao do efeito da wavelet ap´os cada convolu¸c˜ao, a fim de se controlar o efeito da auto-convolu¸c˜ao.
REFERˆENCIAS
Aktosun, T., 1987, Marchenko inversion for perturbations: I: Inverse Problems, 3, 523–553. (DOI: 10.1088/0266-5611/3/4/006).
Bleistein, N., J. K. Cohen e J. W. Stockwell Jr., 2001, Mathematics of multidimensional seismic imaging, migration, and inversion: Springer.
Boyce e DiPrima, 2017, Boyce’s elementary differential equations and boundary value prob- lems: John Wiley And Sons UK.
Brackenhoff, J., 2016, Rescaling of incorrect source strength using Marchenko redatuming: Disserta¸c˜ao de Mestrado, Delft University of Technology.
Broggini, F. e R. Snieder, 2012, Connection of scattering principles: a visual and mathemati- cal tour: European Journal of Physics, 33, 593–613. (DOI: 10.1088/0143-0807/33/3/593).
Brougois, A., M. Bourget, P. Lailly, M. Poulet, P. Ricarte e R. Versteeg, 1990, Marmousi, model and data: Apresentado em: EAEG Workshop - Practical Aspects of Seismic Data
Inversion, EAGE Publications BV. (DOI: 10.3997/2214-4609.201411190).
Burridge, R., 1980, The Gelfand-Levitan, the Marchenko, and the Gopinath-Sondhi integral
equations of inverse scattering theory, regarded in the context of inverse impulse-response problems: Wave Motion, 2, 305–323. (DOI: 10.1016/0165-2125(80)90011-6).
Cui, T., I. Vasconcelos, D.-J. van Manen e K. Wapenaar, 2018, A tour of Marchenko re- datuming: Focusing the subsurface wavefield: The Leading Edge, 37, 67a1–67a6. (DOI:
10.1190/tle37010067a1.1).
Lamb, G. L., 1980, Elements of soliton theory: Willey & Sons.
Meles, G. A., K. Wapenaar e A. Curtis, 2016, Reconstructing the primary reflections in seismic data by Marchenko redatuming and convolutional interferometry: Geophysics, 81,
Q15–Q26. (DOI: 10.1190/geo2015-0377.1).
Meles, G. A., K. Wapenaar e J. Thorbecke, 2018, Virtual plane-wave imaging via Marchenko
redatuming: Geophysical Journal International, 214, 508–519. (DOI: 10.1093/gji/ggy143). Mildner, C., F. Broggini, J. O. A. Robertsson, D.-J. van Manen e S. Greenhalgh, 2017,
Target-oriented velocity analysis using Marchenko-redatumed data: Geophysics, 82, R75–
R86. (DOI: 10.1190/geo2016-0280.1).
Oppenheim, A., 2014, Discrete-time signal processing: Pearson.
Rose, J. H., 2002, Single-sided autofocusing of sound in layered materials: Inverse Problems, 18, 1923–1934. (DOI: 10.1088/0266-5611/18/6/329).
Schuster, G. T. e M. Zhou, 2006, A theoretical overview of model-based and correlation-based redatuming methods: Geophysics, 71, SI103–SI110. (DOI: 10.1190/1.2208967).
Semih, D., 2018, Marchenko inversion: Disserta¸c˜ao de Mestrado, Delft University of Tech- nology.
Singh, S., R. Snieder, J. Behura, J. v an der Neut, K. Wapenaar e E. Slob, 2015, Marchenko imaging: Imaging with primaries, internal multiples, and free-surface multiples: Geo-
physics, 80, S165–S174. (DOI: 10.1190/geo2014-0494.1).
Slob, E. e K. Wapenaar, 2017, Theory for Marchenko imaging of marine seismic data with
free surface multiple elimination: Apresentado em: 79th EAGE Conference and Exhibition 2017, EAGE Publications BV.
van der Neut, J., I. Vasconcelos e K. Wapenaar, 2015, On Green's function retrieval by itera- tive substitution of the coupled Marchenko equations: Geophysical Journal International,
203, 792–813. (DOI: 10.1093/gji/ggv330).
Wapenaar, K., F. Broggini, E. Slob e R. Snieder, 2013, Three-dimensional single-sided
Marchenko inverse scattering, data-driven focusing, Green’s function retrieval, and their mutual relations: Physical Review Letters, 110. (DOI: 10.1103/physrevlett.110.084301).
Wapenaar, K., J. Thorbecke, J. van der Neut, F. Broggini, E. Slob e R. Snieder, 2014, Marchenko imaging: Geophysics, 79, WA39–WA57. (DOI: 10.1190/geo2013-0302.1).
Wiggins, J. W., 1984, Kirchhoff integral extrapolation and migration of nonplanar data: Geophysics, 49, 1239–1248. (DOI: 10.1190/1.1441752).
Witten, B. e J. Shragge, 2006, Quaternion-based signal processing: Apresentado em: SEG Technical Program Expanded Abstracts 2006, Society of Exploration Geophysicists.
Yilmaz, O., 2001, Seismic data analysis: Processing, inversion, and interpretation of seismic data: Society of Exploration Geophysicists.
APˆENDICES
A Transformada de Fourier
Seja f (t) um fun¸c˜ao real. Definimos sua transformada de Fourier e sua transformada
inversa como
b f (ω) =
Z ∞
−∞
f (t)eiωtdt , (A.1)
f (t) = 1 2π
Z ∞
−∞
b
f (ω)e−iωtdω . (A.2)
Neste trabalho, supomos que as transformadas de Fourier de todas as fun¸c˜oes envolvidas existem. Com as equa¸c˜oes (A.1) e (A.2), obtem-se algumas propriedades importantes, a
saber: b f (−ω) = bf∗(ω) ; (A.3) F {f(−t)} = bf∗(ω) ; (A.4) F {d dtf (t)} = −iω bf (ω) ; (A.5) F {f ∗tg} = bf (ω)bg(ω) , (A.6)
ondeF denota a transformada direta de Fourier, o superscrito * denota o complexo conjugado de bf (ω) e ∗t, o operador de convolu¸c˜ao temporal.
B Divis˜ao por ω
Na equa¸c˜ao (33) precisamos efetuar uma divis˜ao por ω. Essa opera¸c˜ao n˜ao ´e poss´ıvel se ω = 0. Estudamos, neste apˆendice, o procedimento correto neste caso. Iniciamos as nossas
considera¸c˜oes com a observa¸c˜ao de que a fun¸c˜ao Heaviside (H(t)) pode ser escrita como
H(t) = Z t
−∞
Note que a integral na equa¸c˜ao (A.7) ´e igual a Z t −∞ δ(τ )dτ = 0, se t < 0 ; 1 2, se t = 0 ; 1, se t > 0 , (A.8)
que ´e a fun¸c˜ao Heaviside. Esse resultado mostra que a fun¸c˜ao Heaviside ´e a primitiva da distribui¸c˜ao δ(t).
A transformada de Fourier da fun¸c˜ao Heaviside ´e dada por
b H(ω) =
Z ∞
0
cos(ωt) + i sen(ωt)dt . (A.9)
Podemos calcular o resultado da integral em cos(ωt) e sen(ωt) da seguinte maneira. Primeiro, para a integral com o cos(ωt), seu resultado pode ser obtido tomando a transfor-
mada inversa de Fourier da fun¸c˜ao bδ(ω)
πδ(t) = Z ∞
0
cos(ωt)dω . (A.10)
Aqui usamos que bδ(ω) = 1 e tamb´em usamos as propriedades das integrais de fun¸c˜oes pares
e ´ımpares avaliadas em um intervalo sim´etrico — onde supomos que o intervalo [−∞, ∞] ´e sim´etrico.
Para a integral com o sen(ωt) avaliamos dois casos. No primeiro, para ω = 0, notamos que seu resultado ser´a zero. Agora, avaliamos o segundo caso em que ω 6= 0. Para calcularmos
seu resultado, tomamos ωt = π2 − χ e reescrevemos a integral como
i Z ∞ 0 sen(ωt)dt = i ω Z ∞ −π 2 cos(χ)dχ . (A.11)
Separando o intervalo de integra¸c˜ao do lado direito em dois [−π2, 0] e [0, ∞], temos
i Z ∞ 0 sen(ωt)dt = − 1 iω " Z 0 −π 2 cos(χ)dχ + Z ∞ 0 cos(χ)dχ # . (A.12)
Executando as integrais da direita temos
i Z ∞
0
sen(ωt)dt = − 1
iωsen(0) − sen(−
π
2) + πδ(1)
(A.13)
como sen(0) = δ(1) = 0 e −sen(−π2) = 1, segue que
i Z ∞ 0 sen(ωt)dt = 0, se ω = 0 ; − 1 iω, se ω 6= 0 . (A.14)
Substituindo (A.10) e (A.14) na equa¸c˜ao (A.9), obtemos a transformada de Fourier da fun¸c˜ao Heaviside
b
H(ω) = πδ(ω) −
”1”
iω , (A.15)
aqui express˜ao iω1 possui aspas como lembrete, pois ela equivale a zero no caso ω = 0. Esse ´e um resultado muito importante, pois formaliza as express˜oes que s˜ao divididas por iω no