Inversão de Marchenko em uma dimensão

(1)

FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆ

ANICA

E INSTITUTO DE GEOCIˆ

ENCIAS

JO ÃO C ÂNDIDO MAGALH ÃES

Invers˜

ao de Marchenko em Uma Dimens˜

ao

CAMPINAS 2019

(2)

Invers˜

ao de Marchenko em Uma Dimens˜

ao

Disserta¸cão de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo, na área de Reservatórios e Gestão.

Orientador: Profa_{. Dr}a_{. Maria Am´}_{elia Novais Schleicher}

Coorientador: Prof. Dr. Joerg Dietrich Wilhelm Schleicher

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERS ÃO FINAL DA DISSERTAÇ ÃO DEFENDIDA PELO ALUNO João Cândido Magalhães E ORIENTADA PELA Profa. Dra. Maria Amélia Novais Schleicher.

CAMPINAS 2019

(3)

Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Magalhães, João Cândido,

M27i MagInversão de Marchenko em uma dimensão / João Cândido Magalhães. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

MagOrientador: Maria Amélia Novais Schleicher. MagCoorientador: Joerg Dietrich Wilhelm Schleicher.

MagDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.

Mag1. Geofísica. 2. Ondas sísmicas. 3. Inversão (Geofísica). 4. Ondas

sísmicas - Modelos Matemáticos. I. Schleicher, Maria Amélia Novais, 1967-. II. Schleicher, Joerg Dietrich Wilhelm, 1964-. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Marchenko inversion in one dimension Palavras-chave em inglês:

Geophysics Seismic waves

Inversion (Geophysics)

Seismic waves - Mathematical models

Área de concentração: Reservatórios e Gestão

Titulação: Mestra em Ciências e Engenharia de Petróleo Banca examinadora:

Maria Amélia Novais Schleicher [Orientador] Lúcio Tunes dos Santos

Jessé Carvalho Costa Data de defesa: 25-07-2019

Programa de Pós-Graduação: Ciências e Engenharia de Petróleo

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0001-7885-3423 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/4205097021241285

(4)

FACULDADE DE ENGENHARIA MEC ˆANICA E INSTITUTO DE GEOCIˆENCIAS

DISSERTAÇ ÃO DE MESTRADO ACADÊMICO

Invers˜

ao de Marchenko em Uma Dimens˜

ao

Autor: João Cândido Magalhães

Orientador: Profa. Dra. Maria Am´elia Novais Schleicher Coorientador: Prof. Dr. Joerg Dietrich Wilhelm Schleicher

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Disserta¸c˜ao:

Profa_{. Dr}a_{. Maria Am´}_{elia Novais Schleicher, Presidente}

DMA/IMECC/UNICAMP

Prof. Dr. L´ucio Tunes dos Santos DMA/IMECC/UNICAMP

Prof. Dr. Jess´e Carvalho Costa IGEOG/UFPA

A Ata da defesa com as respectivas assinatura dos membros encontra-se no processo de vida acadˆemica do aluno.

(5)

A Maria Izabel, minha mãe, que me deu a educa¸cão e os valores que me permitiram chegar até aqui, agrade¸co por acreditar em mim e por me apoiar sempre.

A Paula, minha noiva, agrade¸co pela motiva¸cão e companheirismo, por valorizar meu trabalho mesmo sem entendê-lo e por ter se dedicado à revisão do texto.

A Am´elia Novais, minha orientadora, agrade¸co por me aceitar nesse programa e propor este trabalho, por dividir seu conhecimento com generosidade e pelo empenho exigente com

que me orientou nesse per´ıodo.

A Jörg Schleicher, coorientador, agrade¸co pelos ensinamentos, por gentilmente ceder algumas rotinas, pela disposi¸cão em tirar dúvidas e por sempre oferecer bons conselhos e

solu¸c˜oes ´uteis.

Ao professor L´ucio Santos, agrade¸co pelo rigor exigido nos semin´arios e classes e pelos

c´odigos de processamento de sinais escritos em MATLAB que foram utilizados no Cap´ıtulo 4. Ao professor Ricardo Biloti, agrade¸co por todos os ensinamentos e pelas valiosas

suges-tões de programa¸cão, que foram essenciais para a elabora¸cão de todos os algoritmos utilizados nesta disserta¸cão.

A Peter Machado, Alexandre Camargo, Carlos Assis, Bruno Camerando e Joan Guastala, alunos do grupo de Geof´ısica Computacional, pelas discuss˜oes produtivas que auxiliaram na

produ¸c˜ao deste trabalho. `

A PETROBRAS, atrav´es do PRH-230, pelo apoio financeiro.

Ao CNPq, via INCT-GP, `a FEM, ao IMECC e `a Unicamp pela estrutura fornecida durante todo o curso.

(6)

And saw it through without exemption Paul Anka

(7)

A fun¸cão de Green focada em um ponto arbitrário pode ser obtida por meio da solu¸cão da equa¸cão integral de Marchenko ou das equa¸cões acopladas de Marchenko, utlizando-se métodos iterativos. A equa¸cão integral de Marchenko é uma equa¸cão integral unidimen-sional que relaciona a amplitude de espalhamento e o coeficiente de reflexão que deu origem ao campo espalhado, sendo assim, um problema de espalhamento inverso. As equa¸cões acopladas de Marchenko são oriundas da rela¸cão entre o dado s´ısmico (fun¸cão de Green) e uma solu¸cão fundamental de um problema de propaga¸cão (equa¸cão de Helmholtz homogênea com perturba¸cão na velocidade). Este trabalho de disserta¸cão visa reunir as dedu¸cões teóricas da equa¸cão integral de Marchenko e das equa¸cões acopladas de Marchenko, bem como apre-sentar o resultado da implementa¸cão dos dois esquemas iterativos e a compara¸cão entre eles. Além disso, propõe uma aplica¸cão para deteçcão de camadas utilizando as fun¸cões de Green unidirecionais redatumadas.

(8)

The Green’s function focused at an arbitrary point can be obtained from the solution of the Marchenko integral equation or the coupled Marchenko equations, by means of iterative schemes. The Marchenko integral equation is an unidimensional integral equation that re-lates the scattering amplitude and the reflection coefficient that created the scattered field. Therefore this equation represents an inverse scattering problem. The coupled Marchenko equations are a result from the relationship between the seismic data (Green’s function) and the fundamental solution of a propagation problem (homogeneous Helmholtz equation with velocity perturbation). In this master thesis, we unite and compare the theoretical deriva-tions of the Marchenko integral equaderiva-tions and the coupled Marchenko equaderiva-tions and present the implementational results of two iterative schemes for solving them and their compari-son. Moreover, we present an application of the scheme for the coupled equations for layer detection using the one-way redatumed Green’s function.

(9)

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 11

2 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA . . . 14

2.1 Equa¸c˜ao da onda 1D homogˆenea . . . 14

2.2 Solu¸cão da equa¸cão da onda em um meio homogêneo . . . 15

2.2.1 Equa¸c˜ao de Helmholtz com perturba¸c˜ao na velocidade . . . 15

2.2.2 Varia¸c˜ao de parˆametros para um potencial localizado . . . 17

2.2.3 Propriedades das solu¸cões fundamentais de um meio com potencial localizado 20 2.3 Representa¸cão das solu¸cões fundamentais . . . 22

2.4 Equa¸c˜ao integral de Marchenko . . . 24

2.5 Equa¸cão da onda 1D não-homogênea . . . 29

2.5.1 Representa¸c˜ao em campos unidirecionais . . . 29

2.6 Teoremas da reciprocidade . . . 30

2.6.1 Teorema da reciprocidade do tipo correla¸c˜ao . . . 32

2.7 As equa¸c˜oes acopladas de Marchenko . . . 32

2.7.1 Aproxima¸c˜ao por teoria dos raios . . . 35

2.7.2 Condi¸c˜oes de contorno para as equa¸c˜oes acopladas de Marchenko . . . 36

3 METODOLOGIA . . . 39

3.1 O esquema iterativo de Rose . . . 39

3.1.1 Fun¸c˜ao de Green redatumada pelo m´etodo de Broggini e Snieder . . . 45

3.2 O m´etodo de van der Neut . . . 46

3.3 Esquemas iterativos sem modelamento . . . 52

4 APLICAC¸ ˜OES E RESULTADOS . . . 59

4.1 Discrepˆancia nas amplitudes . . . 59

4.2 Efeito de um tra¸co s´ısmico com ru´ıdo nos esquemas iterativos . . . 63

4.3 Esquemas iterativos em um modelo complexo de velocidade . . . 69

(10)

4.5.1 O m´etodo . . . 78

4.5.2 Detec¸c˜ao de camadas em 10 pontos controlados do modelo . . . 81

5 CONCLUS ˜OES . . . 85

REFERˆENCIAS . . . 88

APˆENDICES . . . 90

A Transformada de Fourier . . . 90

(11)

1 INTRODUC

¸ ˜

AO

Os objetivos do método s´ısmico, especificamente da s´ısmica de reflexão, são construir uma imagem do subsolo (imageamento) e recuperar determinadas propriedades f´ısicas do

meio (invers˜ao), tais como velocidade de propaga¸c˜ao e densidade, a partir de um campo de onda registrado em receptores na superf´ıcie.

O campo de onda ´e gerado por uma fonte que injeta energia no meio. A energia se propaga no meio, em forma de uma onda, e, ao encontrar contraste de propriedades f´ısicas, o

meio a espalha de volta para a superf´ıcie, onde o campo de onda ´e registrado pelos receptores (Figura 1).

O registro normalmente é feito na superf´ıcie devido a limita¸cões práticas, mas também pode ser feito colocando-se receptores nas paredes de po¸cos. O registro em cada receptor é

denominado tra¸co s´ısmico e, para registrá-lo, é necessário que se tenha uma fonte, localizada em xs, e um receptor, localizado em xg. Em s´ısmica, é frequente a associa¸cão de um par

coordenadas diferentes para descrever a posi¸cão do tra¸co. Essas coordenadas são o afasta-mento entre a fonte e o receptor (η) e ponto médio entre a fonte e o receptor (ξ). O conjunto

de tra¸cos s´ısmicos compõem uma se¸cão s´ısmica e é utilizado na obten¸cão de imagens ou das propriedades do meio, a depender do método utilizado.

A equa¸c˜ao integral de Marchenko, originalmente proposta por Vladimir A. Marchenko em 1955 (Aktosun, 1987) para descrever o problema de espalhamento inverso da equa¸c˜ao de

Schrödinger, é produto de um problema de propaga¸cão que relaciona a amplitude de espa-lhamento de um meio a seu coeficiente de reflexão. Rose (2002) propôs um esquema iterativo

para focar um pulso a partir de um tra¸co s´ısmico de um meio unidimensional (1D), obtido em configura¸c˜ao de afastamento nulo (zero offset ). Broggini e Snieder (2012) mostraram mais

tarde que essa solu¸cão pode ser utilizada para simular o experimento s´ısmico com receptores enterrados. Esse tipo de opera¸cão é conhecido como redatuma¸cão. Há vários métodos de

redatuma¸cão descritos na literatura, cada qual com suas particularidades — A redatuma¸cão Kirchhoff (Wiggins, 1984) precisa do modelo de velocidade, a redatuma¸cão interferométrica

(Schuster e Zhou, 2006) necessita de fontes ou receptores ao longo de uma superf´ıcie fechada em torno do ponto para o qual se quer redatumar.

(12)

z

x

c0

c1

Figura 1: Desenho esquemático representando o experimento s´ısmico. A fonte (asterisco vermelho) dá origem às ondas (semic´ırculos em verde), que se propagam até serem espalhadas pelo refletor (plano inclinado), dando origem ao campo espalhado (semic´ırculos em vermelho), que é registrado nos receptores (triângulos invertidos em azul).

Vale ressaltar, entretanto, que o objetivo da s´ısmica ´e justamente se conhecer os parˆ a-metros do meio a partir do registro do campo espalhado. O m´etodo desenvolvido por Broggini

e Snieder (2012) necessita apenas do tra¸co s´ısmico registrado na superf´ıcie, e ainda que n˜ao se tenha conhecimento do modelo de velocidade, o tra¸co redatumado ser´a correto. Sua

localiza¸cão no tempo será conhecida; contudo, sua localiza¸cão espacial não poderá ser de-terminada sem um modelo de velocidade. Wapenaar et al. (2013) propuseram as equa¸cões

acopladas de Marchenko, que são equa¸cões integrais com forma similar às de Marchenko e que foram inicialmente derivadas para problemas em duas e três dimensões, e van der Neut et al.

(2015) propuseram um esquema iterativo semelhante ao de Rose para resolver as equa¸c˜oes acopladas. Assim, o m´etodo ganhou maior visibilidade na comunidade cient´ıfica e novas

aplica¸c˜oes come¸caram a surgir, a saber: imageamento (Slob e Wapenaar, 2017; Singh et al., 2015; Meles et al., 2016, 2018; Wapenaar et al., 2014), an´alise de velocidade (Mildner et al.,

(13)

2017) e invers˜ao (Semih, 2018).

Esta disserta¸cão visa reunir os conceitos e ferramentas necessários para entender a equa¸cão integral de Marchenko e sua versão acoplada, bem como os métodos iterativos que

resolvem essas equa¸cões, aplicados apenas para o caso unidimensional. O segundo cap´ıtulo trata da descri¸cão teórica do problema de espalhamento inverso que dá origem à equa¸cão

integral de Marchenko. Cabe ainda a esse cap´ıtulo a conexão dos conceitos do problema de espalhamento inverso e do problema s´ısmico, além das dedu¸cões das equa¸cões acopladas de

Marchenko, utilizando aproxima¸cão por raios. O terceiro cap´ıtulo dedica-se a apresentar a aplica¸cão do método de Broggini e Snieder e também do método de van der Neut em um

mo-delo simples, para fins de compara¸cão. Também considera como a aplica¸cão destes métodos devem ser feitas em dados s´ısmicos reais. O quarto cap´ıtulo reúne exemplos numéricos com

a finalidade de mostrar o efeito da escala incorreta da fonte, avaliar a sensibilidade dos es-quemas ao se utilizar tra¸cos s´ısmicos com ru´ıdo e comparar as solu¸c˜oes iterativas com a

solu¸cão de referência por diferen¸cas finitas. Esse cap´ıtulo também apresenta uma estratégia para deteçcão de camadas utilizando uma solu¸cão do esquema iterativo de van der Neut. O

´

ultimo cap´ıtulo reúne as considera¸cões finais sobre os dois métodos, bem como uma análise dos resultados numéricos obtidos neste trabalho.

(14)

2 FUNDAMENTAC

¸ ˜

AO TE ´

ORICA

As três partes que compõem este cap´ıtulo têm como objetivo reunir as dedu¸cões matemáticas necessárias para se chegar à equa¸cão integral de Marchenko e às equa¸cões acopladas de

Marchenko.

A primeira parte descreve a equa¸cão da onda em uma dimensão. Até a Se¸cão 2.2.1, a

proposta ´e inicialmente resolver a equa¸c˜ao da onda de maneira simplificada (sem fonte e com velocidade constante) e, a seguir, resolver o problema com maior complexidade (em meio

com perturba¸c˜ao de velocidade localizada).

A segunda parte trata das propriedades das solu¸c˜oes fundamentais num caso particular

do problema mais complexo e estabelece uma rela¸c˜ao entre o campo de onda e as propriedades do meio — que se traduz na equa¸c˜ao integral de Marchenko.

A última parte apresenta os recursos necessários para se deduzirem as equa¸cões acopladas de Marchenko, as quais foram inicialmente propostas por Wapenaar et al. (2013).

Sinteti-camente, utilizou-se uma ferramenta para relacionar o problema matem´atico que descreve o experimento s´ısmico 1D e as propriedades das solu¸c˜oes fundamentais dos problemas descritos

nas partes anteriores.

2.1 Equa¸c˜ao da onda 1D homogˆenea

A equa¸cão que governa a propaga¸cão de ondas que se propagam em um meio unidi-mensional (1D) é uma equa¸cão diferencial parcial de segunda ordem homogênea, dada por

∂2 ∂x2u(x, t) − 1 c(x)2 ∂2 ∂t2u(x, t) = 0 , (1)

onde u(x, t) é o campo de onda a ser descrito e x e t são as variáveis espacial e temporal, respectivamente. Além disso, c(x) descreve a distribui¸cão da velocidade de propaga¸cão ao

(15)

2.2 Solu¸cão da equa¸cão da onda em um meio homogêneo

Aplicando a transformada de Fourier (Apêndice A) em ambos os lados na variável temporal da equa¸cão (1), obtém-se a equa¸cão de Helmholtz homogênea

d2

dx2u(x, ω) +b ω2

c(x)2bu(x, ω) = 0 . (2)

Aqui, sup˜oe-se que a fun¸c˜ao u(x, t) possui transformadas direta e inversa de Fourier.

Abordamos inicialmente o problema da solu¸cão da equa¸cão da onda utilizando um mo-delo de velocidade constante, i.e., c(x) = c0. Nesse caso, a equa¸cão (2) se torna uma equa¸cão

diferencial parcial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes. Utilizando a equa¸cão caracter´ıstica (veja, e.g., Boyce e DiPrima, 2017), obtém-se

b u(x, ω) = C1(_cω 0)e i_cω 0x+ C₂(ω c0)e −iω c0x, (3)

onde C1 e C2 são fun¸cões de _cω₀ e são determinadas pelas condi¸cões iniciais do problema.

2.2.1 Equa¸c˜ao de Helmholtz com perturba¸c˜ao na velocidade

Quando se pretende estudar meios que não possuem velocidade constante, seguindo a dedu¸cão contida em Lamb (1980), é poss´ıvel entender o meio heterogêneo como uma

per-turba¸cão do meio homogêneo c0, descrita por uma fun¸cão α(x). A equa¸cão (2), então, assume

a forma

d2

dx2bu(x, ω) +

ω2

c02 (1 + α(x))u(x, ω) = 0 .b (4) A equa¸cão acima é conhecida por equa¸cão de Helmholtz perturbada ou equa¸cão de

Schrödinger independente do tempo. A fun¸cão α(x) é denominada potencial de espalhamento, e contém as varia¸cões espaciais da velocidade.

Como se trata de uma equa¸cão diferencial em x, cabe a solu¸cão pelo método da varia¸cão de parâmetros (veja, e.g., Boyce e DiPrima, 2017). Esse método consiste em utilizar uma

(16)

solu¸cão fundamental da equa¸cão homogênea (equa¸cão (3)), i.e., b u(x, ω) = bA(x, ω c0)e i_cω 0x+ bB(x, ω c0)e −iω c0x, (5) onde bA(x,_cω 0) e bB(x, ω

c0) s˜ao fun¸c˜oes a serem determinadas.

Uma vez que há somente uma equa¸cão a satisfazer, é poss´ıvel impor uma rela¸cão entre

b A(x,_cω

0) e bB(x,

ω

c0). Por comodidade, costuma-se escolher

b A0(x,_cω 0)e i_cω 0x+ bB0(x, ω c0)e −iω c0x = 0 . (6)

Substituindo a equa¸cão (5) na equa¸cão (4) e relacionando-a com a equa¸cão (6), chega-mos ao sistema      b A0(x,_cω 0)e i_cω 0x− bB0(x, ω c0)e −iω c0x = iω c0 α(x)_bu(x, ω) , b A0(x,_cω 0)e i_cω 0x+ bB0(x, ω c0)e −iω c0x = 0 . (7)

Resolvendo o sistema para bA0(x,_cω

0) e bB 0_(x, ω c0) e integrando em x, encontramos b A(x,_cω 0) = iω 2c0 Z x a

α(x0)u(x_b 0, ω)e−i

ω c0x 0 dx0+ bA(a,_cω 0) (8) e b B(x,_cω 0) = − iω 2c0 Z x a α(x0)_bu(x0, ω)ei ω c0x 0 dx0+ bB(a,_cω 0) . (9)

O limite inferior de integra¸cão é um ponto inicial arbitrário, onde bA(a,_cω

0) e bB(a,

ω c0)

são constantes a serem determinadas por uma condi¸cão inicial ou de fronteira do problema. Ao substituir as equa¸cões (8) e (9) na candidata (5), econtramos a seguinte representa¸cão

integral para o campo de onda _bu(x, ω)

b

u(x, ω) = iω 2c0

Z x

a

α(x0)_bu(x0, ω)e−i

ω c0x 0 dx0+ bA(a,_cω 0) ei ω c0x − iω 2c0 Z x a α(x0)_bu(x0, ω)ei ω c0x 0 dx0+ bB(a,_cω 0) e−i ω c0x. (10)

Vale dizer que a equa¸cão (10) não é a solu¸cão da equa¸cão (4), mas sim uma equa¸cão

(17)

duas constantes a serem determinadas.

Com base na teoria de equa¸cões diferenciais, sabe-se que um problema de equa¸cão or-dinária de segunda ordem possui duas solu¸cões fundamentais, que aqui chamamos de u1(x, t)

e u2(x, t) no tempo ou ub1(x, ω) e ub2(x, ω) na frequência — as quais são solu¸cões da forma acima, com condi¸cões iniciais distintas, ou seja, com pares de valores distintos das

constan-tes bA(a,_cω

0) e bB(a,

ω

c0). Toda e qualquer solu¸c˜ao do problema pode ser escrita como uma

combina¸c˜ao linear de duas solu¸c˜oes fundamentais.

2.2.2 Varia¸c˜ao de parˆametros para um potencial localizado

Procuramos duas solu¸c˜oes fundamentais da equa¸c˜ao (4), para o caso em que o potencial

de espalhamento α(x) é localizado, i.e., possui suporte compacto. O objetivo é que as solu¸cões sejam assintoticamente iguais a um impulso unitário quando x tende a ±∞ (Lamb, 1980).

A equivalência assintótica nas equa¸cões a seguir será representada por ∼. Em suma, queremos que u_b1(x, ω) ∼ e

iω c0x quando x → ∞, e que b u2(x, ω) ∼ e −iω c0x

quando x → −∞. Essa condi¸cão pode ser representada matematicamente pelo fato de que a razão entre a fun¸cão e sua representa¸cão assintótica deva tender a 1, ou seja,

lim x→∞ b u1(x, ω) ei ω c0x = 1 , (11) lim x→−∞ b u2(x, ω) e−i ω c0x = 1 . (12)

Como as expressões nas equa¸cões (11) e (12) são assintoticamente constantes, uma condi¸cão necessária é que as suas derivadas devem se aproximar de zero nos limites das equa¸cões (11)

e (12), isto ´e, lim x→∞ d dx b u1(x, ω)e −iω c0x = 0 , (13) lim x→−∞ d dx b u2(x, ω)e i_cω 0x = 0 . (14)

Com essas condi¸cões de comportamento assintótico (que substituem as condi¸cões de fronteira), é poss´ıvel obter solu¸cões particulares para as constantes desconhecidas bA(a,_cω

(18)

b B(a,_cω

0).

Consideramos primeiramente a solu¸c˜ao _bu2(x, ω), que se reduz a um impulso unit´ario

para x → −∞. Ao multiplicar a equa¸c˜ao (10) por ei

ω c0x, tem-se b u2(x, ω)e i_cω 0x = iω 2c0 Z x a α(x0)u_b2(x0, ω)e −i_cω 0x 0 dx0 e2i ω c0x+ bA(a, ω c0)e 2i_cω 0x − iω 2c0 Z x a α(x0)_bu2(x0, ω)e i_cω 0x 0 dx0+ bB(a,_cω 0) , (15)

cuja derivada espacial ´e

d dx h b u2(x, ω)e i_cω 0x i = −ω2 c02 Z x a α(x0)u_b2(x0, ω)e −iω c0x 0 dx0 e2i ω c0x+ 2iω c0A(a,b ω c0)e 2i_cω 0x. (16)

Ao aplicar o limite da equa¸c˜ao (14), obtemos ent˜ao

lim x→−∞ d dx h b u2(x, ω)e i_cω 0x i = lim x→−∞ −ω2 c02 Z x a α(x0)_bu2(x0, ω)e −iω c0x 0 dx0+ 2i_cω 0A(a,b ω c0) e2i ω c0x . (17) Sabe-se que o tempo exponencial e2i

ω

c0x possui módulo unitário, i.e., é uma fun¸cão

limitada. Assim, para que o limite da equa¸cão (17) possa ser zero, é necessário que o termo dentro dos colchetes tenda a zero. Consequentemente, tem-se

lim x→−∞− ω2 c02 Z x a α(x0)u_b2(x0, ω)e −i_cω 0x 0 dx0 = 2i_cω 0A(a,b ω c0) , (18) ou seja, b A(a,_cω 0) = iω 2c0 Z a −∞ α(x0)_bu2(x0, ω)e −iω c0x 0 dx0. (19)

Substituindo esse valor de bA(a,_cω

0) na equa¸c˜ao (15) e fazendo uma an´alise de x quando

tende a −∞, observamos que esse limite somente ser´a 1 se

b B(a,_cω 0) = 1 − iω 2c0 Z a −∞ α(x0)_bu2(x0, ω)e i_cω 0x 0 dx0. (20)

Substituindo as express˜oes (19) e (20) para as constantes bA(a,_cω

0) e bB(a,

ω

c0) na equa¸c˜ao (10),

(19)

com-x 0 xa xb u2(x, t) α(x) 6= 0 c0δ(x + c0t) u1(x, t) c0δ(x − c0t) Velocidade c0

Figura 2: Ilustra¸cão do comportamento das duas solu¸cões particulares _bu1 e ub2 para um potencial espalhador localizado (α(x) = 0, x /∈ [xa, xb]). As setas sólidas e tracejadas indicam

a dire¸cão de propaga¸cão de u_b1 e bu2, respectivamente. Veja a explica¸cão no texto.

portamento assint´otico:

b u2(x, ω) = e −iω c0x+ iω 2c0 Z x −∞ α(x0)u_b2(x0, ω) ei ω c0(x−x 0₎ − e−icω0(x−x 0₎ dx0, (21) ou ainda b u2(x, ω) = e −iω c0x− ω c0 Z x −∞ α(x0)u_b2(x0, ω) sen(_cω₀(x − x0))dx0. (22)

Fazendo uma análise assintótica semelhante à descrita acima para u_b1 e sua derivada, a

análise dos limites (11) e (13) permite chegar à equa¸cão integral particular correspondente para _bu1 b u1(x, ω) = e i_cω 0x− iω 2c0 Z ∞ x α(x0)_bu1(x0, ω) ei ω c0(x−x 0₎ − e−i ω c0(x−x 0₎ dx0, (23) ou de maneira equivalente b u1(x, ω) = e i_cω 0x+ ω c0 Z ∞ x α(x0)u_b1(x0, ω) sen(_cω 0(x − x 0 ))dx0. (24)

Apesar de não dispormos de equa¸cões expl´ıcitas para as solu¸cões_bu2 ebu1, é poss´ıvel determi-nar, a partir de equa¸cões integrais (21) e (23), o seu comportamento.

A Figura 2 ilustra o comportamento das solu¸c˜oes particulares descritas nas equa¸c˜oes

(20)

α(x) = 0 para x /∈ [xa, xb]. Para pontos à direita de xb, a solu¸cão particular ub1 é apenas um impulso unitário se propagando para a direita (seta preta), pois os limites de integra¸cão da equa¸cão (23) estão fora do suporte do potencial espalhador. À esquerda de xa, temos

uma combina¸cão entre um impulso unitário (seta vermelha) e outras formas de onda que se propagam para a direita (seta vermelha) e para a esquerda (seta azul). A segunda solu¸cão

particular _bu2 pode ser interpretada de maneira análoga, porém em lados e com dire¸cões

opostas (setas tracejadas).

Se uma fun¸cão u1(x, t) é solu¸cão da equa¸cão da onda é certo que sua versão reversa no

tempo u1(x, −t) também será solu¸cão da equa¸cão da onda. Para verificar essa propriedade,

basta substituir u1(x, −t) na equa¸c˜ao (1) e verificar que a equa¸c˜ao permanece com a mesma

forma de u1(x, t). O resultado dessa reversão no tempo é chamado de retropropaga¸cão

(desfazer a propaga¸cão). Na Figura 2, as solu¸cões reversas no tempo seriam representadas com a mesma distribui¸cão de campos de onda, porém teriam as setas da dire¸cão de propaga¸cão

com sentidos opostos.

Utilizando a reversão no tempo, é poss´ıvel obter uma rela¸cão que permite conhecer

b

u2 a partir de ub1 ou vice-versa. Se combinarmos a solu¸c˜ao particular e sua vers˜ao reversa no tempo, podemos arranjar os coeficientes de tal forma que seja poss´ıvel descrever a outra

solu¸cão particular. Antes disso, entretanto, é preciso garantir que as solu¸cões particulares e suas versões reversas no tempo constituem pares de solu¸cões fundamentais, i.e., linearmente

independente.

2.2.3 Propriedades das solu¸c˜oes fundamentais de um meio com potencial localizado

´

E necessário saber se _bu1 e sua versão reversa no tempo constituem um par de solu¸cões

fundamentais. Segue do Teorema de Abel (veja, e.g., Boyce e DiPrima, 2017) que duas

solu¸cões de uma equa¸cão diferencial ordinária de segunda ordem constituem de fato um par de solu¸cões fundamentais se forem linearmente independentes, i.e., se seu Wronskiano

W [_bu1;ub ∗ 1] = det b u1 bu ∗ 1 b u0₁ _bu0∗₁ (25)

(21)

for n˜ao-nulo. Aqui_bu∗₁ denota o complexo conjugado de_bu1, i.e., a transformada de Fourier de

u1(x, −t).

Como conhecemos o comportamento assint´otico das solu¸c˜oes, avaliamos

assintotica-mente o W da solu¸cão u_b1(x, ω) e sua versão reversa no tempo u1(x, −t), ou na frequência

b

u∗₁(x, ω), do seguinte modo. Come¸camos avaliando o comportamento assint´otico de _bu1 e bu

∗ 1, i.e., b u1(x, ω) = e i_cω 0x− iω 2c0 R∞ x α(x 0₎ b u1(x0, ω) ei ω c0(x−x 0₎ − e−i ω c0(x−x 0₎ dx0 ∼ ei ω c0x, b u0₁(x, ω) = i_cω 0e iω c0x − ω 2 2c02 R∞ x α(x 0₎ b u1(x0, ω) ei ω c0(x−x 0₎ + e−i ω c0(x−x 0₎ dx0 ∼ iω c0e iω c0x, b u∗₁(x, ω) = e−i ω c0x− iω 2c0 R∞ x α(x 0₎ b u∗₁(x0, ω) e−i ω c0(x−x 0₎ − ei ω c0(x−x 0₎ dx0 ∼ e−i ω c0x, b u∗₁0(x, ω) = −i_cω 0e iω c0x+ ω 2 2c02 R∞ x α(x 0₎ b u1(x0, ω) ei ω c0(x−x 0₎ + e−i ω c0(x−x 0₎ dx0 ∼ −iω c0e −i_cω 0x. (26)

Substituindo as equivalências acima na fórmula do Wronskiano, vemos que ele apresenta o comportamento assintótico

W [_bu1(x, ω);bu

∗

1(x, ω)] ∼ −2icω0 . (27)

Repetindo o mesmo procedimento para forma assint´otica de _bu2(x, ω) e bu

∗

2(x, ω), obtemos

W [_bu2(x, ω);bu

∗

2(x, ω)] ∼ 2icω0 . (28)

Como ambos os Wronskianos das solu¸cões fundamentais e suas versões reversas no tempo não são identicamente nulos, conclui-se que ambos os pares u_b1, ub

∗

1 e bu2, bu

∗

2 s˜ao assintoticamente

(22)

x 0 γ22(_cω₀)e i_cω 0x γ21(_cω 0)e −iω c0x ei ω c0x α(x) 6= 0 xa xb Velocidade c0

Figura 3: Interpreta¸c˜ao f´ısica da equa¸c˜ao (30). Um impulso com amplitude γ21 incidente

da esquerda para direita (seta vermelha) que se propaga em um meio com velocidade c0,

encontra um potencial espalhador de suporte compacto α(x) e retorna amplitudes γ22 (seta

azul). Depois do potencial espalhador, tem-se apenas um impulso unit´ario que se propaga para x → ∞ (seta preta).

2.3 Representa¸c˜ao das solu¸c˜oes fundamentais

Utilizando-se o princ´ıpio da superposi¸cão, é poss´ıvel escrever qualquer solu¸cão da equa¸cão

da onda como uma combina¸cão linear de duas solu¸cões fundamentais. Especificamente, cada uma das solu¸cões_bu1 eub2 pode ser escrita como uma combina¸cão linear entre a outra solu¸cão

e sua reversa no tempo, i.e.,

b u2(x, ω) = γ11(_cω₀)ub1(x, ω) + γ12( ω c0)bu ∗ 1(x, ω) , (29) b u1(x, ω) = γ21(_cω₀)ub ∗ 2(x, ω) + γ22(_cω₀)bu2(x, ω) . (30)

A Figura 3 ilustra o que está contido na equa¸cão (30), no mesmo estilo da Figura 2: à

esquerda da perturba¸cão, fora do suporte compacto, u_b2 é igual a e −iω c0x e b u∗₂ é igual a ei ω c0x.

Assim, podemos interpretar a equa¸c˜ao (30) como um impulso vindo de −∞ com amplitude

γ21 associada, que incide em um potencial espalhador e retorna amplitudes γ22 com dire¸c˜ao

oposta de propaga¸c˜ao. Dentro do potencial espalhador, as amplitudes γ21 se combinam de

forma destrutiva, de tal forma que, à direita do potencial, o saldo é apenas um impulso unitário que se propaga para x → ∞. A f´ısica da equa¸cão (29) pode ser descrita de maneira

(23)

extrair algumas propriedades sobre γ12 e γ21 e o comportamento das constantes γij quando |ω c0| cresce muito. Substituindo-se a express˜ao (29) em W [_bu1(x, ω);bu2(x, ω)] e (30) em W [u_b2(x, ω);ub1(x, ω)], obt´em-se W [_bu1(x, ω);ub2(x, ω)] = γ11( ω c0)W [ub1(x, ω);ub1(x, ω)] + γ12( ω c0)W [ub1(x, ω);ub ∗ 1(x, ω)] , (31) W [_bu2(x, ω);ub1(x, ω)] = γ21( ω c0)W [ub2(x, ω);ub ∗ 2(x, ω)] + γ22(_cω₀)W [ub2(x, ω);ub2(x, ω)] . (32)

Uma vez que W [u_b1;ub1] = W [bu2;bu2] = 0, podemos observar que o Wronskiano das

solu¸cões fundamentaisu_b1 eub2 é um múltiplo dos Wronskianos das solu¸cões fundamentaisbu1 eu_b∗₁ ouu_b2 eub

∗

2. Ao analisar o comportamento assint´otico da equa¸c˜ao (31) (quando x → ∞)

e da equa¸c˜ao (32) (quando x → −∞), obtemos que os coeficientes γ12 e γ21 se comportam

assintoticamente como

γ21(_cω₀) = γ12(_cω₀) ∼ −

c0

2iωW [bu1(x, ω);ub2(x, ω)] , (33)

onde a divis˜ao por ω representa

1 ω =      0 , se ω = 0 , 1 ω, se ω 6= 0 . (34)

O Apˆendice B traz mais detalhes sobre esse passo.

Comparando as formas assintóticas de (29) e (21), é poss´ıvel calcular as constantes γij(_cω₀) quando x → ∞. Sabemos que, na equa¸cão (29), as fun¸cões que estão no lado direito

da igualdade, _bu1 eub

∗

1, se reduzem a exponenciais do tipo e ±iω c0x. Portanto, b u2(x, ω) ∼ γ11(_cω₀) ei ω c0x + γ12(_cω₀) e−i ω c0x . (35)

Comparando esse comportamento assintótico com a equa¸cão integral (21), para que a equa¸cão (29) seja assintoticamente consistente com a equa¸cão (21), é necessário que as

(24)

constantes γ11 e γ12 sejam iguais a γ11(_cω 0) = iω 2c0 Z ∞ −∞ α(x0)_bu2(x0, ω)e −iω c0x 0 dx0, (36) γ12(_cω₀) = 1 − iω 2c0 Z ∞ −∞ α(x0)u_b2(x0, ω)e i_cω 0x 0 dx0. (37)

Se dividirmos as equa¸c˜oes (29) e (30) por γ21, as constantes assumem a representa¸c˜ao

usual dos coeficientes de transmiss˜ao bT (_cω

0) e de reflex˜ao de um impulso incidente pela direita

b

rR(_cω₀) e pela esquerda brL(

ω

c0) (Lamb, 1980), respectivamente, i.e.,

b T (ω c0)bu2(x, ω) =rbR( ω c0)bu1(x, ω) +bu ∗ 1(x, ω) , (38) b T (ω c0)bu1(x, ω) =rbL( ω c0)bu2(x, ω) +bu ∗ 2(x, ω) . (39)

2.4 Equa¸c˜ao integral de Marchenko

Para se derivar a equa¸c˜ao integral de Marchenko, utilizamos duas candidatas para as

solu¸c˜oes particulares u1(x, t) e u2(x, t) (Lamb, 1980),

u1(x, t) = c0δ(x − c0t) + c0H(c0t − x)CR(x, c0t) (40)

e

u2(x, t) = c0δ(x + c0t) + c0H(c0t + x)CL(x, −c0t) , (41)

onde H é a fun¸cão Heaviside (degrau) e CR e CL são fun¸cões que descrevem o espalhamento

(coda). Essas candidatas se justificam pelo fato de que, tomando suas transformadas de Fourier na vari´avel temporal,

b u1(x, ω) = e i_cω 0x+ Z ∞ x CR(x, `)e i_cω 0`d` , (42) b u2(x, ω) = e −iω c0x+ Z x −∞ CL(x, `)e −iω c0`d` , (43)

(25)

observamos que elas possuem as mesmas formas das equa¸c˜oes integrais (21) e (23), i.e.,

reduzem-se a impulsos unit´arios, ei

ω

c0x e e−i

ω

c0x, quando x → ∞ e x → −∞, respectivamente.

Essas candidatas s˜ao interpretadas fisicamente como um impulso unit´ario seguido de uma

sequência de amplitudes que se reduzem a um impulso unitário após atravessar o potencial localizado, interpreta¸cão idêntica à da Figura 3.

Analisamos, a seguir, os lados esquerdo ( bE) e direito ( bD) da equa¸c˜ao (39), reescrita como b Ψ(_cω 0)bu1(x, ω) +bu1(x, ω) | {z } b E(ω) =r_bL(_cω 0)bu2(x, ω) +ub ∗ 2(x, ω) | {z } b D(ω) , (44) onde se define bΨ(_cω 0) = bT ( ω

c0) − 1. Notamos que nessa forma da equa¸c˜ao ´e poss´ıvel tratar a

expressão do lado esquerdo de modo análogo à do lado direito. ´

E preciso definir de antem˜ao as transformadas inversas das fun¸c˜oes bΨ(_cω

0), brR( ω c0) e b rL(_cω₀), respectivamente, por Ψ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ b Ψ(κ)e−iκxdκ , (45) rR(x) = 1 2π Z ∞ −∞b rR(κ)e−iκxdκ , (46) rL(x) = 1 2π Z ∞ −∞b rL(κ)e−iκxdκ . (47)

Come¸camos reescrevendo os termos da direita ( bD) da equa¸c˜ao (44),

b D(ω) = _brL(_cω₀) . bu2(x, ω) + ub ∗ 2(x, ω) , (48) b D(ω) = Z ∞ −∞ rL(z)e iω c0zdz . Z ∞ −∞ u2(x, t0)eiωt 0 dt0 + Z ∞ −∞ u2(x, t0)e−iωt 0 dt0, (49)

e conclu´ımos que a sua transformada inversa, ´e dada por

D(t) = 1 2π Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ rL(z)e i_cω 0zdz . Z ∞ −∞ u2(x, t0)eiωt 0 dt0 + Z ∞ −∞ u2(x, t0)e−iωt 0 dt0 e−iωtdω . (50)

(26)

Supondo que ´e posss´ıvel rearranjar a ordem de integra¸c˜ao, pois nem rL nem u2

depen-dem da vari´avel ω, obt´em-se

D(t) = 1 2π Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ rL(z)u2(x, t0)e −iω(t−t0₋z c0)_{dω dz dt}0 _{+ u}₂_{(x, −t).} ₍₅₁₎

A execu¸c˜ao da integral em ω fornece uma fun¸c˜ao δ, de modo a resultar em

D(t) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ rL(z)u2(x, t0)δ(t − t0− z c0 )dz dt0+ u2(x, −t) . (52)

Nessa express˜ao, podemos executar a integra¸c˜ao em z, obtendo

D(t) = c0

Z ∞

−∞

rL(c0(t − t0))u2(x, t0)dt0+ u2(x, −t) . (53)

Ao substituir a candidata para u2(x, t) (equa¸c˜ao (41)), chegamos a

D(t) = c0rL(c0t + x) + c20

Z ∞

−∞

H(c0t + x)rL(c0(t − t0))CL(x, −c0t0)dt0

+ c0δ(x − c0t) + c0H(x − c0t)CL(x, c0t) , (54)

onde usamos que

c0 Z ∞ −∞ c0rL(c0(t − t0))δ(x + c0t0)dt0 = c0 Z ∞ −∞ rL(c0t + x − η)δ(η)dη = c0rL(c0t + x) . (55)

Repetindo o processo acima descrito para o lado esquerdo bE, tem-se de forma an´aloga

E(t) = c0

Z ∞

−∞

Ψ(c0(t − t0))u2(x, t0)dt0+ u2(x, −t) , (56)

e, substituindo a equa¸c˜ao (40) na equa¸c˜ao (56), obtemos

E(t) = c0Ψ(c0t − x) + c20

Z ∞

−∞

H(c0t − x)Ψ(c0(t − t0))CR(x, c0t0)dt0

(27)

Igualando os lados D e E, temos uma equa¸c˜ao e quatro vari´aveis (Ψ, rL, CL, e CR).

Ao analisar as candidatas das solu¸c˜oes u1(x, t), u2(x, t) e u2(x, −t) (veja tamb´em os seus

diagramas (x, t) representados nas Figuras 4a a 4c), observamos que a solu¸c˜ao u1(x, t) ´e uma

fun¸cão causal, i.e., u1(x, t) é igual a zero para c0t − x < 0 na Figura 4c. Além disso, as

solu¸c˜oes u2(x, t) e u2(x, −t) s˜ao diferentes de zero para c0t − x < 0 (diagramas das Figuras 4a

e 4b).

Avaliando os lados D(t) e E(t) calculados anteriormente para o caso c0t − x < 0, temos

que a solu¸c˜ao u1(t), neste caso, ser´a nula, i.e., E(t) = 0. Ou seja,

c0Ψ(c0t − x) + c20

Z ∞

−∞

H(c0t − x)Ψ(c0(t − t0))CR(x, c0t0)dt0

+ c0δ(x − c0t) + c0H(c0t − x)CR(x, c0t) = 0 , ∀ x > c0t . (58)

Como o lado direito D(t) ´e a combina¸c˜ao linear de u2(x, t) e u2(x, −t), combinadas as partes

das Figuras 4a e 4b para c0t < x, que s˜ao diferentes de 0 (Figura 4d), obt´em-se a seguinte

condi¸c˜ao sobre rL e CL: 0 = c0rL(x + c0t) + c0CL(x, c0t) + c20 Z ∞ x c0 rL(c0(t − t0))CL(x, −c0t0)dt0. (59)

Essa equa¸cão é conhecida como a equa¸cão integral de Marchenko.

Assim, ao considerar o intervalo acima discutido (Burridge, 1980), foi poss´ıvel chegar a uma equa¸c˜ao integral com apenas duas vari´aveis, CL e rL.

Tomando c0t = y e −c0t0 = x0, chegamos à representa¸cão mais usual da equa¸cão integral

0 = rL(x + y) + CL(x, y) +

Z x

−∞

rL(y + x0)CL(x, x0)dx0. (60)

Essa equa¸c˜ao integral permite calcular o coeficiente de reflex˜ao, desde que conhecida

a fun¸cão da amplitude de espalhamento, ou então permite também modelar a amplitude de espalhamento, caso os coeficientes de reflexão sejam conhecidos.

(28)

x t

t = −_cx

0

(a) Dom´ınio da solu¸c˜ao u2(x, t). A ´area

sombreada vermelha representa o suporte de CL(x, −c0t), a seta preta representa o suporte

da fun¸c˜ao δ(x + c0t).

x

t t = cx0

(b) Dom´ınio da solu¸c˜ao u2(x, −t). A ´area

som-breada verde representa o suporte de CL(x, c0t),

a seta preta representa o suporte da fun¸c˜ao δ(x − c0t).

x

t t = cx0

(c) Dom´ınio da solu¸c˜ao u1(x, t). A ´area

som-breada azul representa o suporte de CR(x, c0t),

a seta preta representa o suporte da fun¸c˜ao δ(x − c0t).

x

t t = cx0

(d) u2(x, t)+u2(x, −t), considerando o caso c0t−

x < 0 .

Figura 4: Diagramas esquemáticos ilustrando o suporte das candidatas das equa¸cões (40) e (41), a versão reversa no tempo da equa¸cão (41) e o caso particular da solu¸cão u1.

(29)

2.5 Equa¸cão da onda 1D não-homogênea

Até este ponto, tratamos da equa¸cão da onda homogênea, que descreve a propaga¸cão de um campo de onda pré-existente (introduzido por condi¸cões iniciais ou de contorno).

Entretanto, os problemas utilizados para representar o experimento s´ısmico são problemas da equa¸cão da onda com uma fonte pontual e instantânea localizada em xs, i.e.,

d2 dx2G (x, t; xs) − 1 c(x)2 d2 dt2G (x, t; xs) = −δ(x − xs)δ(t) . (61)

Transformando a vari´avel temporal do problema para o dom´ınio da frequˆencia (ω),

obtemos a equa¸cão de Helmholtz não-homogênea

d2

dx2G (x, ω; xb s) +

ω2

c(x)2G (x, ω; xb s) = −δ(x − xs). (62)

A fun¸cão G (x, t; xs) chamada de fun¸cão de Green, representa a solu¸cão desse problema de

propaga¸c˜ao.

2.5.1 Representa¸c˜ao em campos unidirecionais

Em certas ocasi˜oes, ´e conveniente representar o campo de onda G (x, t; xs) em suas

componentes de propaga¸c˜ao nas dire¸c˜oes positivasG+_{(x, t; x}

s) e negativas G−(x, t; xs) de x.

Nos problemas 2D e 3D, é comum utilizar a decomposi¸cão na dire¸cão de z.

O campo de onda completo pode ser representado como a soma destes dois campos

G (x, t; xs) = G+(x, t; xs) +G−(x, t; xs) . (63)

onde o superscrito ± na fun¸cão bG refere-se à dire¸cão de propaga¸cão — a fun¸cão progressiva, que tem sentido de propaga¸cão para a direita (sentido positivo do eixo x), tem sinal positivo como superscrito; a fun¸cão regressiva, cuja dire¸cão de propaga¸cão é para a esquerda, tem

(30)

2.6 Teoremas da reciprocidade

Frequentemente, os dados s´ısmicos adquiridos em campo contém informa¸cão da fun¸cão de Green limitada a uma pequena região, decorrente de limita¸cões f´ısicas na realiza¸cão do

experimento. Para experimentos em duas dimens˜oes, o acesso aos dados ´e limitado aos dados adquiridos em algumas linhas de levantamento discretizadas em espa¸cos regulares de

receptores. Para o caso em discuss˜ao (1D), seguimos as dedu¸c˜oes contidas em Bleistein et al. (2001).

Idealmente, temos acesso à fun¸cão de Green em um ponto xg de aquisi¸cão, i.e.,

conhe-cemos bG (xg, ω; xs). No entanto, por conveniˆencia, usamos uma ferramenta que permita

relacionar a fun¸cão de Green, i.e., um campo teórico proveniente de uma fonte pontual conhe-cida e de solu¸cão controlada (modelado), a um campo pouco conhecido, que denominaremos

b

U (x, ω), gerado por fontes Q(x, t). Os dois campos de onda são solu¸cões das equa¸cões

d2 dx2G (x, ω; xb s) + ω2 c(x)2G (x, ω; xb s) = −δ(x − xs) (64) e d2 dx2U (x, ω) +b ω2 c(x)2U (x, ω) = − bb Q(x, ω) , (65)

onde bQ(x, ω) é uma fun¸cão que descreve a fonte no espa¸co e na frequência. Multiplicando (64) por bU e (65) por bG e subtraindo os resultados, temos

b U (x, ω) d 2 dx2G (x, ω; xb s) − bG (x, ω; xs) d2 dx2U (x, ω) =b b G (x, ω; xs) bQ(x, ω) − δ(x − xs) bU (x, ω) . (66)

Podemos escrever o lado esquerdo de uma outra forma (Bleistein et al., 2001), a saber,

d dx b U (x, ω) d dxG (x, ω; xb s) − bG (x, ω; xs) d dxU (x, ω)b = b G (x, ω; xs) bQ(x, ω) − δ(x − xs) bU (x, ω) . (67)

(31)

Integrando essa equa¸c˜ao em um intervalo (a, −a) em torno do suporte das fun¸c˜oes

δ(x − xs) e bQ(x, ω), e utilizando a vers˜ao 1D do Teorema de Green, i.e.,

Z a −a d dx b U (x, ω) d dxG (x, ω; xb s) − bG (x, ω; xs) d dxU (x, ω)b dx = b G (x, ω; xs) d dxU (x, ω) − bb U (x, ω) d dxG (x, ω; xb s) a −a , (68) chegamos `a rela¸c˜ao b U (xs, ω) = Z a −a b G (x, ω; xs) bQ(x, ω)dx + b G (x, ω; xs) d dxU (x, ω) − bb U (x, ω) d dxG (x, ω; xb s) a −a . (69)

Essa equa¸cão é conhecida como Teorema da Reciprocidade do tipo convolu¸cão.

Para entender essa nomenclatura, analisemos o caso em que a fun¸c˜ao bQ(x, ω) ´e uma

fonte pontual e instantˆanea localizada em xg, i.e., δ(x − xg). Neste caso, a solu¸c˜ao da

equa¸cão (65) é a fun¸cão de Green bG(xs, ω; xg). Tomando o limite quando a → ∞ e aplicando

a condi¸c˜ao de radia¸c˜ao de Sommerfeld (Bleistein et al., 2001), i.e., os campos de onda decaem para zero no infinito, obtemos

b

G (xs, ω; xg) = bG (xg, ω; xs) . (70)

Essa propriedade ´e conhecida como reciprocidade — afirma que, em um meio sem bordas, a

fun¸cão de Green registrada em xs para uma fonte pontual em xg é igual à fun¸cão de Green

registrada em xg para uma fonte pontual em xs.

Avan¸cando em complexidade, é poss´ıvel calcular, de maneira semelhante, o campo quando bQ é uma fonte pontual e variável no tempo, i.e., δ(x − xg) bF (ω). Nesse caso, tem-se

b

(32)

Utilizando a equa¸c˜ao (70), pode-se trocar a posi¸c˜ao da fonte pelo receptor em bU

b

U (xg, ω; xs) = bG (xg, ω; xs) bF (ω) , (72)

ou no tempo,

U (xg, t; xs) =G (xg, t; xs) ∗tF (t) , (73)

onde ∗t representa o operador de convolu¸c˜ao temporal.

A equa¸cão (73) é um importante resultado, pois permite conhecer o campo de onda de qualquer fonte pontual que seja variável no tempo, desde que a fun¸cão de Green do meio

seja conhecida. Ainda mais, ao multiplicar a equa¸c˜ao (70) por bF (ω), reconhecemos que a propriedade da reciprocidade se estende a qualquer campo de onda de uma fonte pontual.

2.6.1 Teorema da reciprocidade do tipo correla¸c˜ao

Repetindo o processo acima descrito para um campo te´orico bU∗(x, ω), i.e., utilizando

a versão complexo conjugado da equa¸cão (65), é poss´ıvel obter o Teorema da Reciprocidade do tipo correla¸cão, a saber

b U∗(xs, ω) = Z a −a b G (x, ω; xs) bQ∗(x, ω)dx + b G (x, ω; xs) d dxUb ∗ (x, ω) − bU∗(x, ω) d dxG (x, ω; xb s) a −a . (74)

2.7 As equa¸c˜oes acopladas de Marchenko

As equa¸c˜oes acopladas de Marchenko constituem uma forma diferente, mas relacionada,

de representar a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (4).

Wapenaar et al. (2013) deduziram as equa¸c˜oes acopladas de Marchenko por meio do

Teorema de Green, combinando a ideia de separa¸cão de campos da Se¸cão 2.5.1 e os Teore-mas da Reciprocidade descritos na Se¸cão 2.6. Em seus trabalhos, a dedu¸cão é mais geral,

(33)

u1 G x c (x ) xa xi xs xb xe xf

Figura 5: Modelo de velocidade para as duas fun¸cões sob considera¸cão, com destaque para o trecho em que a velocidade da fun¸cão de Green (verde) é igual à da solu¸cão fundamental (vermelho).

voltada para campos tridimensionais e, para isso, os autores fazem uso de operadores

pseudo-diferenciais. Nesta se¸cão, será apresentada uma dedu¸cão para 1D que não necessita do uso de operadores pseudo-diferenciais.

Come¸camos a dedu¸cão escolhendo um ponto arbitrário xs, à esquerda do potencial

es-palhador, para a fonte da fun¸c˜ao de Green, e um ponto localizado `a direita do potencial

espalhador, que ser´a chamado de ponto de foco, com xf > xs. Consideramos ainda um

meio fict´ıcio com distribui¸c˜ao de velocidade arbitr´aria fora do intervalo [xs, xf], mas

impo-mos a restri¸cão de que as propriedades f´ısicas do meio fict´ıcio são idênticas às do meio da fun¸cão da equa¸cão (4) no intervalo [xs, xf], para um meio acústico, i.e., ω

2

c(x)2 =

ω2

c02 (1 + α(x))

(veja a Figura 5). Consideramos a fun¸c˜ao de Green bG (x, ω; xs) satisfazendo a equa¸c˜ao (62)

no meio fict´ıcio, para fins de relacioná-la com a solu¸cão procuradau_b1 da equa¸cão (4)

Podemos relacionar as duas equa¸cões pelo Teorema de Green — com a ressalva de impor restri¸cão conveniente para a solu¸cão fundamental do campo de onda, qual seja: o campo de

onda deve chegar ao ponto de foco xf em t = 0 (o que implica que deve passar em xs quando

t = −tf, onde tf ´e o tempo de trˆansito da onda direta entre xs e xf) e propagar dali adiante

como um ´unico pulso. Assim, a equa¸c˜ao (66) se apresenta

b u1 d2 dx2G − bb G d2 dx2ub1 = −δ(x − xs)bu1, (75)

(34)

b

u1 foram suprimidos.

Reescrevendo a parte esquerda da equa¸c˜ao e integrando em um intervalo [xi, xe]

ar-bitr´ario, temos

b u1 d dxG − bb G d dxub1 xe xi dx = − Z xe xi δ(x − xs)bu1dx . (76)

A integral do lado direito ´e nula se xs ∈ [x/ i, xe]. Portanto, se tomarmos os pontos xi

e xe imediatamente `a direita de xs e xf, respectivamente, i.e., xi = xs+ e xe = xf + , e

considerarmos cada vez menor, a equa¸c˜ao (76) se reduz a

lim →0+ b u1 d dxG − bb G d dxbu1 xf+ xs+ = 0 , (77) i.e., b u1 d dxG − bb G d dxub1 x+_f x+s = 0 , (78)

onde x+_f e x+_s indica que esses pontos foram aproximados pela direita.

Na expressão (78), podemos separar a fun¸cão de Green e a solu¸cão fundamental em

suas componentes propagando para a direita, bG+ e _bu+₁, e para esquerda, bG− eu_b−₁, de acordo com b G = bG+ + bG−, (79) b u1 =ub1 + +u_b1−. (80)

Substituindo essa decomposi¸c˜ao em componentes unidirecionais na equa¸c˜ao (78), obte-mos (_bu+₁ +_bu−₁) d dx( bG +_{+ b}_G− ) − ( bG++ bG−) d dx(bu + 1 +bu − 1) x+_f x+s = 0 . (81)

(35)

2.7.1 Aproxima¸c˜ao por teoria dos raios

Localmente, podemos usar uma candidata de aproxima¸c˜ao de alta frequˆencia (WKBJ)

para descrever os campos bG e u_b1, e suas componentes direcionais, escrevendo todos esses

campos de onda na forma

b

p(x, ω) = A(x)eiωτ (x), (82)

ondep(x, ω), A(x) e τ (x) s˜_b ao um campo de onda, e as suas associadas fun¸c˜oes de amplitude

e de tempo de trˆansito, respectivamente.

Substituindo essa candidata na equa¸c˜ao da onda e separando os termos adequadamente,

chegamos `a equa¸c˜ao iconal

d

dxτ (x) = ± 1

c(x), (83)

onde o sinal define a dire¸cão de propaga¸cão (tempo de trânsito crescendo para a direita ou

para a esquerda), e `a equa¸c˜ao do transporte

d2 dx2τ (x)A(x) + 2 d dxτ (x) d dxA(x) = 0 . (84)

A derivada espacial da equa¸c˜ao (82) ´e

d

dxbp(x, ω) = A

0

(x)eiωτ (x)+ iωτ0(x)A(x)eiωτ (x). (85)

Se a frequˆencia ω for alta, podemos supor que o termo que cont´em a primeira derivada

da amplitude possui pouca varia¸cão em rela¸cão a ω, i.e., |A0/A| |ωτ0|. Logo, podemos desconsiderar o primeiro termo do lado direito na equa¸cão acima, obtendo

d

dxp(x, ω) ≈ iωτb

0

(x)A(x)eiωτ (x)= ±i ω

c(x)p(x, ω) ,b (86)

onde foi usada a equa¸c˜ao (83).

A partir dessas aproxima¸c˜oes para as componentes direcionais de u_b1 e bG , observamos

(36)

propaga¸c˜ao. Portanto, conclui-se que b G− d dxub − _≈ b u− d dxGb − _e b G+ d dxub + _≈ b u+ d dxGb +_, ₍₈₇₎ b G− d dxub + _{≈ −} b u+ d dxGb − e Gb+ d dxub − _{≈ −} b u− d dxGb +_. ₍₈₈₎

Substituindo essas identidades na equa¸c˜ao (81), podemos reescrevˆe-la na forma

b G+ d dxub − 1 + bG − d dxbu + 1 x=x+_f = b G+ d dxub − 1 + bG − d dxub + 1 x=x+s , (89)

onde a quantidade em colchetes ´e preservada sob propaga¸c˜ao de xs a xf, ou ainda

b G+ d dxbu − 1 + bG − d dxub + 1 x=x+_f = − b u−₁ d dxGb +₊ b u+₁ d dxGb − x=x+s . (90)

Essa última forma é mais útil na dedu¸cão das equa¸cões acopladas de Marchenko.

2.7.2 Condi¸c˜oes de contorno para as equa¸c˜oes acopladas de Marchenko

Se a velocidade for constante na vizinhan¸ca de xs, a fun¸c˜ao de Green deve se parecer

com a sua solu¸c˜ao em um meio ilimitado de velocidade constante (Bleistein et al., 2001), i.e.,

G (x, t; xs) =

c0

2H(c0t − |x − xs|) . (91)

Como queremos que a solu¸c˜ao fundamental u1 se reduza, por constru¸c˜ao, a um pulso

tipo δ em xf, é mais conveniente trabalharmos com uma versão da fun¸cão de Green que

possua a mesma forma de pulso. Portanto, definimos a fun¸cão G como a solu¸cão da equa¸cão

de Helmholtz não homogênea com a seguinte normaliza¸cão para o termo fonte

d2 dx2G(x, ω; xb s) + ω2 c2 0 b G(x, ω; xs) = −2i_cω₀δ(x − xs) , (92)

(37)

ou no tempo ∂2 ∂x2G(x, t; xb s) + 1 c0 ∂2 ∂t2G(x, t; xb s) = 2 c0 ∂ ∂tδ(t) δ(x − xs) . (93)

Com essa normaliza¸cão, a solu¸cão da nova fun¸cão de Green normalizada (G) adquire a forma

G(x, t; xs) = c0δ(c0t − |x − xs|) = δ(t − |x−xs|

c0 ). (94)

Aplicando essa solu¸cão às condi¸cões de contorno para a fun¸cão de Green progressiva medida no ponto xs, temos

b

G+(x, ω; xs) = e i_cω

0(x−xs), (95)

e sua derivada espacial

d dxGb + (x, ω; xs) = i ω c0 ei ω c0(x−xs). (96)

O tra¸co s´ısmico gravado em xs ´e a parte da fun¸c˜ao de Green bG−(x, ω; xs) que propaga

para a esquerda (regressiva). Aproximamos a resposta de reflex˜ao do meio por uma s´erie de

termos na forma da equa¸c˜ao (82), atrasados em tempo por tempos τk, i.e.,

b G−(x, ω; xs) ≈ ∞ X k=0 Ak(x)e−iωτk(x) ≡ bR(x, ω; xs) . (97)

Dessa forma, é poss´ıvel aproximar a derivada espacial com a mesma argumenta¸cão usada para a aproxima¸cão (86), i.e.,

d dxGb − (x, ω; xs) ≈ −i ω c(x) ∞ X k=0

Ak(x)e−iωτk(x) ≡ −i

ω

c(x)R(x, ω; xb s) . (98)

Estas condi¸c˜oes de contorno podem ser utilizadas de maneira semelhante para a

com-ponente regressiva da solu¸c˜ao fundamental em xf. A componente regressiva da solu¸c˜ao

fundamental em xf ´e igual a zero, por constru¸c˜ao

b u+₁(x, ω) = ei ω c0(x−xf), (99) b u−₁(xf, ω) = 0 , (100)

(38)

j´a que foi imposto a _bu1 representar somente um impulso que propaga para a direita, para

x > xf.

Substituindo essas condi¸c˜oes de contorno em (90), lembrando o limite, obtemos

iω c0b u−₁(xs; ω) − i ω c0 b R(xs, ω; xs)ub + 1(xs; ω) = −i ω c0 b G−(xf, ω; xs) , (101) ou ent˜ao b G−(xf, ω; xs) = bR(xs, ω; xs)bu + 1(xs; ω) −ub − 1(xs, ω) . (102) ´

E poss´ıvel repetir esse processo para o complexo conjugado da solu¸c˜ao fundamental, de

maneira a obter b G+(xf, ω; xs) = − bR(xs, ω; xs)bu −∗ 1 (xs; ω) +bu +∗ 1 (xs, ω) . (103)

No dom´ınio do tempo, as equa¸c˜oes (102) e (103) s˜ao dadas por

G−(xf, t; xs) = R(xs, t; xs) ∗tu+1(xs; t) − u−1(xs, t) , (104)

G+(xf, t; xs) = −R(xs, t; xs) ∗tu−1(xs; −t) + u+1(xs, −t) . (105)

As equa¸cões (102) a (105) são as equa¸cões acopladas de Marchenko 1D na frequência e no tempo (van der Neut et al., 2015), respectivamente.

(39)

3 METODOLOGIA

A equa¸c˜ao de Marchenko e suas vers˜oes acopladas (60), (104) e (105) podem ser re-solvidas por esquemas iterativos.

Rose (2002) foi o primeiro a reconhecer esse potencial e desenvolveu um esquema ite-rativo com o intuito de construir um pulso cuja forma seja um ´unico pulso conhecido, no

tempo tf = 0, a partir de um tra¸co s´ısmico amostrado em configura¸c˜ao zero offset (ZO). A

partir desse esquema, demonstrou-se que o pulso produzido na ´ultima itera¸c˜ao (Qk_{(t)) ´}_{e uma}

solu¸c˜ao aproximada da equa¸c˜ao de Marchenko.

Baseado no trabalho de Rose, Broggini e Snieder (2012) demonstraram uma forma de

obter a fun¸c˜ao de Green redatumada em xf, i.e., G(xf, t; xs), a partir da soma do tra¸co u(t)

gerado pelo pulso Qk_{(t) com sua vers˜}_{ao revertida no tempo u(−t).}

Mais tarde, van der Neut et al. (2015) desenvolveram um esquema iterativo para re-solver as equa¸c˜oes acopladas de Marchenko que guarda certa similaridade com o esquema

desenvolvido por Rose. A vantagem de se resolver as equa¸cões acopladas é que, ao final do es-quema iterativo, é obtida informa¸cão dos campos em componentes regressivas e progressivas,

separadamente.

Nesta disserta¸c˜ao, implementamos e comparamos os esquemas iterativos de Rose (2002)

e de van der Neut et al. (2015). A ideia de ambos os esquemas é adicionar a um impulso inicial uma coda, de tal forma que cancele todas as reflexões geradas pela propaga¸cão no

meio entre xs e xf.

3.1 O esquema iterativo de Rose

Para realizar o esquema iterativo de Rose, inicialmente propagamos o campo gerado por uma fonte Q0_{(t)δ(x − x}

s), de modo que passe por xs em t = −tf, a fim de que o

pulso transmitido alcance xf em t = 0. Em seguida, gravamos sua resposta em xs, o tra¸co

s´ısmico, em uma configura¸c˜ao ZO, i.e., S0_(x

s, t; xs). Respeitando as condi¸c˜oes da Se¸c˜ao 2.7.2,

injetamos uma fonte com a normaliza¸c˜ao Q0(t) = _c2

0

_d

dtQ(t), onde Q(t) ´e a forma de wavelet

(40)

A Figura 6 exibe o modelo de velocidade escolhido, que possui uma zona de maior

velocidade, de 2.5 km/s, na região entre x = 0.75 km e x = 3.25 km. No restante, a velocidade é c0 = 1.5 km/s. O ponto de foco escolhido se encontra após a zona de alta

velocidade em xf = 4 km. Desse modo, o tempo de focamento tf ´e 2 s e todas as reflex˜oes,

primárias e múltiplas, são observadas em tempos múltiplos de 1 s.

O tra¸co S0, exibido na Figura 7a, foi gerado por um esquema de diferen¸cas finitas centrado de 2a_{ordem no tempo e 6}a_{ordem no espa¸co, usando uma wavelet do tipo Gaussiana.}

Para iniciar o processo iterativo, primeiro precisamos obter a resposta de reflex˜ao. Uma vez que S0_(x

s, t; xs) cont´em o campo gerado pela fonte, a resposta de reflex˜ao R0(xs, t; xs)

pode ser obtida por meio da opera¸c˜ao

R0(xs, t; xs) = S0(xs, t; xs) − Q(t) . (106)

Assim, com a resposta de reflex˜ao, podemos calcular a primeira coda (Figura 7b), i.e.,

a parte do campo de onda que segue o impulso transmitido. Para isso, define-se um operador Θt

Θt{u(x, t)} = H(tf − t)u(x, t) , (107)

que zera o campo para tempos maiores que tf.

Então, aplicamos esse operador à reposta de reflexão

Θt{R} = R0(xs, t; xs)H(tf − t), (108)

e, revertendo o resultado no tempo, obt´em-se a coda

coda0(t) = Θ−t{R} = R0(xs, −t; xs)H(t + tf) . (109)

Note que na realiza¸cão numérica dessa opera¸cão, é necessário zerar um pouco a mais

da resposta de reflexão, pois a aproxima¸cão numérica de um impulso possui dura¸cão finita. ´

E importante zerar o impulso transmitido por inteiro para se obter a coda pura.

Ao aplicar a janela de mascaramento ao tra¸co s´ısmico, percebemos que a coda0(t) contém todas as reflexões primárias do meio entre xse xf, mas não contém nenhuma reflexão

(41)

0 1 2 3 4 5 6 7

Distance (km)

-2 0 2 4 6 8

Velocity (km/s)

Velocity Model

Figura 6: Modelo de velocidade com uma zona de alta velocidade (2.5 km/s). Os marcadores ×, asterisco, e triˆangulo representam, respectivamente, as posi¸c˜oes espaciais do ponto de foco escolhido, fonte e receptor.

em pontos al´em de xf.

O próximo pulso a ser injetado, Q1(t) (Figura 7c), é a subtra¸cão entre a wavelet inicial Q0_{(t) e a coda}0_(t)

Q1(t) = Q(t) − coda0(t) , (110)

de modo que a coda injetada cancele, completamente ou de maneira aproximada, a coda ge-rada pela transmiss˜ao do primeiro impulso na zona de perturba¸c˜ao de velocidade. Lembramos

que no algoritmo de diferen¸cas finitas injetamos de fato, como fonte, _c2

0

_d

dtQ 1_(t).

R0(xs, t; xs) = S0(xs, t; xs) − Q(t) . (111)

Uma vez que a coda assim gerada tamb´em sofre de perdas de transmiss˜ao na zona de

perturba¸cão da velocidade, o cancelamento na primeira itera¸cão normalmente é incompleto. Por isso, repetimos esse processo k vezes, até que um critério de convergência seja atingido.

(42)

-2 0 2 4 6

Tempo (s)

-2 0 2 4 6 8

Amplitude

Sismograma Deslocado Q(t)

(a) Wavelet Gaussiana Q0(t) = Q(t) simulando um pulso tipo δ na primeira itera¸c˜ao (tracejado verde) e seu tra¸co s´ısmico correspondente S0(xs, t; xs) (preto). A barra vertical vermelha indica o tempo de foco

tf escolhido. -2 0 2 4 6 Tempo (s) -2 0 2 4 6 8 Amplitude -t{R} (b) coda0(t): equa¸c˜ao (109). -2 0 2 4 6 Tempo (s) -2 0 2 4 6 8 Amplitude Q1(t) (c) Q1(t): equa¸c˜ao (110).

Figura 7: Sumário do processo envolvido na primeira itera¸cão e resultados do cálculo da primeira coda e do pulso após a primeira itera¸cão.

(43)

Aqui, o crit´erio de convergˆencia utilizado foi a norma euclidiana da diferen¸ca entre a coda

atual e a coda da itera¸c˜ao anterior

k(codak_{− coda}k−1_)k

kcodak_k < β , (112)

onde β é um valor de tolerância arbitrário. Em nossos experimentos usamos o valor de

β = 0.05.

Após o critério de convergência ser atingido, injetamos o pulso resultante Qk _{com a}

normaliza¸cão da fonte definida na equa¸cão (92) e gravamos o tra¸co s´ısmico. Neste exemplo, 3 itera¸cões foram suficientes para garantir a convergência. A Figura 8 exibe seis snapshots no

tempo da propaga¸cão no meio, mostrando o efeito do pulso obtido pelo processo iterativo. É poss´ıvel notar, nas Figuras 8a e 8b, que o pulso é seguido de uma coda que entra em contato

com o meio e, apenas em t = 0 s (Figura 8c), a coda se cancela, restando apenas a wavelet Q(t), i.e., o pulso Gaussiano escolhido e um pequeno artefato do processo num´erico. Em

seguida, em t > 0, a coda reaparece e continua a se propagar pelo meio (Figuras 8d a 8f). Enfatizamos então que no esquema de Rose, a gera¸cão de um único pulso se dá somente no

tempo t = 0, quando as codas progressivas e regressivas se cancelam. Como em tempos t > 0 a coda progressiva continua existindo, o campo de onda gerado pelo esquema de Rose n˜ao

realiza a inje¸cão de um único impulso para o meio à direita de xf. Em consequência disso,

(44)

0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (a) Snapshot de Q3_{(t) em} t = −0.4 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (b) Snapshot de Q3_{(t) em} t = −0.2 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (c) Snapshot de Q3_{(t) em} t = 0 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (d) Snapshot de Q3(t) em t = 0.2 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (e) Snapshot de Q3(t) em t = 0.4 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (f) Snapshot de Q3(t) em t = 0.6 s.

Figura 8: Seis snapshots da propaga¸cão da solu¸cão pelo méotodo iterativo de Rose.

-2 0 2 4 6

Tempo (s)

-2 0 2 4 6 8

Amplitude

Figura 9: Sismograma gravado em xg = 0 km, devido `a inje¸c˜ao de _c2₀

_d

dtQ

3_{(t) em x}

(45)

3.1.1 Fun¸c˜ao de Green redatumada pelo m´etodo de Broggini e Snieder

Como o sismograma de reflexão registrado em xg = 0 ainda contém a intera¸cão da coda

com as outras partes do modelos, não representa a fun¸cão de Green do meio para uma fonte em x = xf. Broggini e Snieder (2012) mostraram em seu trabalho que é poss´ıvel obter essa

fun¸cão de Green redatumada combinando o sismograma obtido pela propaga¸cão da solu¸cão de Rose u(t) e sua versão reversa no tempo u(−t), i.e.,

G(xf, t; xs) = u(t) + u(−t) . (113)

A Figura 10 exibe a compara¸cão entre a combina¸cão da solu¸cão u(t) (Figura 9) e a

sua solu¸cão reversa no tempo com a solu¸cão de referência da fun¸cão de Green por diferen¸cas finitas. Há, entretanto, uma discrepância vis´ıvel entre as amplitudes da fun¸cão de Green

redatumada e da solu¸cão por diferen¸cas finitas. Essa discrepância é mais percept´ıvel no pulso direto, indicado pela seta verde na Figura. O método produz uma fun¸cão de Green

redatumada com amplitudes maiores que as da solu¸c˜ao por diferen¸cas finitas.

O m´etodo tamb´em produz eventos anticausais (seta azul). Contudo, como esses eventos

são uma versão reversa no tempo da fun¸cão de Green redatumada, aplicando um filtro que zera o campo para t < tf, esses eventos são facilmente removidos, sem alterar o resultado

(46)

-2 0 2 4 6

Tempo (s)

-2 0 2 4 6 8

Amplitude

u(x_s,t)+u(x _s,-t) FD Green

Figura 10: Fun¸cão de Green redatumada pelo método de Broggini e Snieder (vermelho cont´ınuo) e solu¸cão por diferen¸cas finitas (preto tracejado). A seta verde indica o pulso direto, a seta azul, os eventos anticausais intr´ınsecos do método.

3.2 O m´etodo de van der Neut

Para as equa¸c˜oes acopladas de Marchenko, van der Neut et al. (2015) desenvolveram

um esquema iterativo semelhante ao esquema de Rose. Eles separaram u1 em suas partes

progressivas (u+₁) e regressivas (u−₁) e escreveram a solu¸c˜ao fundamental u+₁(t) como

u+₁(t) = u1d(t) + ucoda(t) , (114)

i.e., u+₁(t) ´e composto por um pulso direto unit´ario inicial (u1d), seguido de uma coda (ucoda).

Essa separa¸cão tem a mesma forma do ansatz utilizado para resolver a equa¸cão integral de Marchenko (equa¸cão (21)).

(47)

operador ˜Θ, definido por

˜

Θ{u(x, t)} = H(tf − |t|) u(x, t) , (115)

`

as equa¸c˜oes (104) e (105). Note que enquanto o filtro Θt de Rose s´o zera o campo de onda

para t > tf, esse novo filtro ˜Θ zera o campo para t > tf e t < −tf. A observa¸c˜ao de que a

realiza¸cão numérica do impulso precisa ser eliminada por completo, fazendo com que o filtro real seja um pouco maior do que o filtro teórico, também se aplica neste caso.

´

E importante reconhecer que não há campo registrado antes de tf em xs, pois a fun¸cão

de Green é causal. Logo, a fun¸cão de Green quando multiplicada por ˜Θ será igual a zero

(equa¸cão (116)). Por outro lado, a solu¸cão fundamental u−₁ registrada em xg só existe no

intervalo [−tf, tf]. Assim, n˜ao ser´a afetada pelo mascaramento.

Para a u+₁, ˜Θ remove a onda direta (u1d), registrada em xs em t = −tf, e preserva

todas as primárias e múltiplas que possam chegar no tempo de trânsito duplo no intervalo

[−tf, tf] (ucoda). Essas prim´arias e m´ultiplas precisam ser canceladas no interior do potencial

espalhador at´e o ponto xf para t > tf, para que tenhamos de fato a solu¸c˜ao fundamental.

Consequentemente, ao aplicar a janela de mascaramento ˜Θ às fun¸cões G±e u±, obtemos as seguintes rela¸cões

˜ Θ{G} = 0 , (116) ˜ Θ{u+₁} = ucoda, (117) ˜ Θ{u−₁} = u−₁ . (118)

Assim, aplicando o operador `as equa¸c˜oes acopladas de Marchenko, obtemos

˜

Θ{R(xs, t; xs) ∗tu+1(xs, t)} = u−1(xs, t) , (119)

˜

Θ{R(xs, t; xs) ∗tu1−(xs, −t)} = ucoda(xs, −t) . (120)

O algoritmo ´e iniciado tomando-se u0_coda= 0 e u0_1d= δ((t + tf) − |x−xs|

c0 ) na equa¸c˜ao (114)

para achar u+0₁ . A inje¸c˜ao no meio deste campo produz, de acordo com a equa¸c˜ao (119), o

campo u−0₁ . Este campo então é revertido no tempo e injetado novamente no meio para, de acordo com a equa¸cão (120), produzir a primeira aproxima¸cão da coda, u1

(48)

0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (a) Snapshot de u−3₁ (−t) t = −0.4 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (b) Snapshot de u−3₁ (−t) t = −0.2 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (c) Snapshot de u−3₁ (−t) t = 0 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (d) Snapshot de u−3₁ (−t) t = 0.2 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (e) Snapshot de u−3₁ (−t) t = 0.4 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (f) Snapshot de u−3₁ (−t) t = 0.6 s. Figura 11: Seis snapshots da propaga¸c˜ao da solu¸c˜ao u−3₁ (−t).

-2 0 2 4 6

Tempo (s)

-2 0 2 4 6 8

Amplitude

Figura 12: Sismograma de u−3₁ (−t).

(49)

0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (a) Snapshot de u+3₁ (t) t = −0.4 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (b) Snapshot de u+3₁ (t) t = −0.2 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (c) Snapshot de u+3₁ (t) t = 0 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (d) Snapshot de u+3₁ (t) t = 0.2 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (e) Snapshot de u+3₁ (t) t = 0.4 s. 0 1 2 3 4 5 6 7 Distancia (km) -2 0 2 4 6 8 Amplitude (f) Snapshot de u+3₁ (t) t = 0.6 s. Figura 13: Seis snapshots da propaga¸c˜ao da solu¸c˜ao u+3₁ (t).

-2 0 2 4 6

Tempo (s)

-2 0 2 4 6 8

Amplitude

Figura 14: Sismograma de u+3₁ (t).