A determinação do máximo esforço normal de cálculo que pode ser aplicado a um pilar, geralmente, envolve um processo iterativo, pois tanto o esforço normal adimensional quanto o momento fletor adimensional dependem de seu valor. No entanto, este exemplo apresenta como pode ser estimado o valor do esforço normal de cálculo sem a necessidade de iterações, de maneira gráfica, com a aplicação dos diagramas de interação desenvolvidos neste trabalho.
Considera-se um pilar com seção transversal quadrada de , com um comprimento equivalente . O concreto utilizado tem resistência característica à compressão
e o aço adotado é o aço CA-50, com resistência característica ao escoamento e módulo de elasticidade longitudinal 𝐸 . A seção transversal apresenta armadura longitudinal com quatro barras de de diâmetro, dispostas conforme a Figura 63, e estribos de de diâmetro, com um cobrimento . Deseja-se saber qual o valor do máximo esforço normal de cálculo que pode ser aplicado ao pilar, considerando-se a aplicação dos momentos
mínimos de norma e verificando-se as demais condições de segurança da ABNT NBR 6118: 2007.
Figura 63: Representação da seção transversal do exemplo de determinação do máximo esforço normal de cálculo.
Como o pilar considerado tem seção quadrada, ele apresenta nas duas direções principais o mesmo índice de esbeltez ( ) e o mesmo momento mínimo de primeira ordem ( ), calculados conforme as
expressões:
, e 8.28
. 8.29
Verifica-se que o valor do momento mínimo de primeira ordem fica em função do valor do esforço normal de cálculo, o qual deve ser determinado.
Pode-se verificar a possibilidade de serem desprezados os efeitos de segunda ordem por meio do parâmetro :
25 cm
. 8.30 Onde foi adotado em conformidade com a Tabela 8. Como foi encontrado verifica-se a necessidade de considerar os efeitos locais de segunda ordem.
A partir dos dados da seção transversal, apresentados anteriormente, pode-se calcular o valor da relação :
, e 8.31
. 8.32
Determina-se, então, a expressão do esforço normal adimensional ( ) em função do esforço normal de cálculo ( ):
. 8.33
Pode-se determinar, ainda, a expressão do momento fletor adimensional de primeira ordem (𝜇 ) em função do esforço normal de
cálculo ( ): 𝜇 . 8.34
Por conseguinte, podem ser escritas duas expressões para o esforço normal de cálculo ( ), uma delas em função do esforço normal adimensional ( ) e a outra expressão em função do momento fletor adimensional de primeira ordem (𝜇 ):
, e 8.35
𝜇 . 8.36
Igualando-se as duas expressões apresentadas para o esforço normal de cálculo, encontra-se a expressão que relaciona o esforço normal adimensional e o momento fletor adimensional de primeira ordem. Para este caso:
𝜇 8.37
𝜇 . 8.38
Como a armadura longitudinal da seção transversal é conhecida, pode-se determinar a área da seção transversal de aço:
, 8.39
e determinar a taxa mecânica de armadura:
. 8.40
Em tal caso, sabendo-se que , , e 𝜇 , pode-se obter o valor do máximo esforço normal de
cálculo que pode ser aplicado ao pilar diretamente pelos diagramas para duas linhas de armadura, com e , com e , realizando-se as interpolações necessárias. Para que isso seja possível, deve ser traçada sobre cada diagrama a reta correspondente à equação linear que relaciona o esforço normal adimensional e o momento fletor adimensional (𝜇 ), tomando-se os valores
de 𝜇 ou correspondentes ao ponto de intersecção da reta com a
curva referente à taxa mecânica de armadura calculada. Caso o valor da taxa mecânica de armadura calculada não corresponda a nenhuma curva desenhada no diagrama original, encontram-se as curvas mais próximas a este valor, a curva imediatamente inferior e a curva imediatamente superior, e toma-se visualmente o ponto referente ao local onde provavelmente passaria a curva correspondente, conforme a Figura 64.
Figura 64: Demonstração do processo para obtenção do máximo esforço normal de cálculo pelos diagramas de interação.
Repetindo-se o mesmo procedimento para todas as combinações de e , são encontrados valores para o esforço normal adimensional, ou para o momento fletor adimensional, conforme o caso. Para e , encontra-se .
Para e , encontra-se .
Para e , encontra-se .
Para e , encontra-se .
Realizando-se a interpolação linear entre os valores obtidos nos diagramas, encontra-se . Substituindo-se este valor na
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 0 .0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 .60 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 .91 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 M o m e n to fl e to r ad im e n si o n al (µ 1d )
Esforço normal adimensional (νd)
Taxa mecânica de armadura para d'/h = 0,15 e λ = 60
ω = 3.0 ω = 2.5 ω = 2.0 ω = 1.5 ω = 1.0 ω = 0.5 ω = 0.0
expressão correspondente, encontra-se o valor do esforço normal de cálculo:
. 8.41 Se o procedimento for efetuado utilizando o momento fletor adimensional de primeira ordem, deve-se encontrar o mesmo resultado, sendo que o valor obtido só não será exatamente igual devido às imprecisões ocorridas nas leituras dos diagramas. Salienta-se que, neste exemplo, devido ao fato do momento fletor adimensional de primeira ordem apresentar um valor bastante inferior em relação ao esforço normal adimensional, incorre-se em maiores erros ao se efetuar a sua leitura. Por este fato, indica-se que sempre se adote o parâmetro adimensional que apresente os maiores valores absolutos nos diagramas, visando-se reduzir a possibilidade de erros na leitura, devida às limitações visuais. Neste caso, o outro parâmetro adimensional poderia servir de verificação da ordem de grandeza dos resultados, pois os valores obtidos não devem ser muito diferentes.
Conclui-se que este pilar deve resistir a um esforço normal de cálculo aproximadamente igual a .
8.3.1 Verificação do valor do esforço normal de cálculo por meio das planilhas eletrônicas
Entrando-se com os dados do pilar no cabeçalho da planilha correspondente ao caso, considerando-se , determina- se o momento fletor último resistente e o momento total atuante . Desta forma, verifica-se que o valor
do momento fletor atuante é próximo ao valor do momento fletor resistente, concluindo-se que a diferença entre os valores decorre do erro de leitura nos diagramas, que é impossível de ser evitado devido às limitações visuais comuns em métodos gráficos.
8.3.2 Verificação do valor do esforço normal de cálculo por meio do programa PPAP-FCN
Entrando-se com os dados do pilar no programa, considerando-se , encontra-se para o momento fletor último resistente e para o momento total atuante
. Logo, o valor obtido pelo programa é o mesmo valor obtido pelas planilhas, verificando-se os resultados encontrados e as condições de segurança.
8.3.3 Considerações acerca da determinação do máximo esforço normal de cálculo
Conclui-se que, por meio dos diagramas de interação, pode-se determinar o máximo esforço normal de cálculo sem iterações, como foi demonstrado. No entanto, deve-se ter ciência de que os diagramas foram desenvolvidos pelo método geral e que a ocorrência de erros de leitura podem gerar resultados contrários à segurança do pilar. Por este motivo, deve-se ter bastante atenção para realizar o mínimo de arredondamentos possível no decorrer dos cálculos, traçar corretamente as retas sobre os diagramas, com os instrumentos adequados, e ler com muita atenção todos os valores.
9 ANÁLISE DOS DIAGRAMAS
Por meio da confecção dos diagramas apresentados, em anexo, foi possível a realização da análise dos resultados, sob a forma genérica, conforme as conclusões apresentadas a seguir.