2.2 M´ etodos Aplicados a Sinais Peri´ odicos Amostrados
2.2.5 Determina¸c˜ ao da Passagem por Zero por Hardware
Uma alternativa `a determina¸c˜ao por amostragem da passagem por zero ´e a com-para¸c˜ao utilizando-se um hardware digital. Neste m´etodo, o sinal x(t) a ser verificado passa por um circuito comparador, para ser comparado ao seu valor m´edio, determinando se o sinal est´a acima ou abaixo dele. Para sinais com baixo ru´ıdo e pequeno conte´udo harmˆonico, o sinal digital de sa´ıda do comparador, o qual ´e n´ıvel l´ogico 1 (um) para sinal acima da m´edia e n´ıvel l´ogico 0 (zero) para sinal abaixo da m´edia, pode ser amostrado para a utiliza¸c˜ao pelo m´etodo apresentado anteriormente.
Este m´etodo equivale a fazer a amostragem do sinal com apenas um bit, com somente dois n´ıveis de discretiza¸c˜ao e a tomada de decis˜ao por um circuito eletrˆonico digital. Os demais parˆametros permanecem iguais ao m´etodo citado. Por´em, diferente-mente daquele, este m´etodo permite usar um circuito digital composto por contadores e circuitos seq¨uenciais para executar a medida. Um contador livre, na freq¨uˆencia m´ınima de 435,6kHz, para satisfazer ao requisito de erro m´aximo de 2,3µs, fornece um valor a um registrador no instante da passagem ascendente por zero (de 0 para 1) do sinal amostrado, registrando a estampa de tempo do instante do evento. Os registros podem ser lidos por um processador para os c´alculos apresentados em 2.7, 2.8 e 2.11. Esta leitura pelo processador pode ser feita somente a cada evento, atrav´es de uma interrup¸c˜ao ou por sele¸c˜ao direta (polling), livrando o processador deste trabalho de leitura de todos os valores das amostras.
Uma implementa¸c˜ao feita em uma CPLD Altera MAX7000 (ALTERA CORP., 2003) utilizou 94 de suas 256 macroc´elulas para apenas dois freq¨uenc´ımetros e um ´unico fas´ımetro.
Um grande inconveniente deste m´etodo ´e que as amostras s˜ao tomadas muito pr´oximas umas das outras, resultando uma varia¸c˜ao muito pequena entre os valores das amostras xn pr´oximas da passagem por zero. Isto deixa este m´etodo muito sens´ıvel aos ru´ıdos do sinal x(t), causando repique (bouncing) no sinal digital de um bit amostrado.
A implementa¸c˜ao de circuitos digitais de elimina¸c˜ao de repique (debouncing) ocupa uma quantidade razo´avel de espa¸co na CPLD utilizada, aumentando ainda mais os custos desta implementa¸c˜ao.
2.2.6 Determina¸c˜ ao da THD por Transformada de Fourier Discreta
Quando o sinal x(t) ´e amostrado, resultando o sinal discreto xn, com uma quan-tidade deN amostras por per´ıodoT, o universo de freq¨uˆenciasfkdo espectro mensur´avel em um per´ıodoT passa a ser tamb´em discreto, dado por
fk= k
T k = 0,1,2, . . . ,N
2 (2.41)
O limite do espectro mensur´avel fk ≤ N/(2T) corresponde `a freq¨uˆencia de Nyquist (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999).
Assim, a distor¸c˜ao medida em um ciclo, ou per´ıodo T, ´e a distor¸c˜ao harmˆonica total T HD, porquanto todas as freq¨uˆencias do espectro mensur´avel s˜ao m´ultiplas da freq¨uˆencia fundamental f = 1/T.
A THD pode ser calculada por Elas s˜ao baseadas respectivamente nas defini¸c˜oes 2.29 e 2.30.
O valor h´e a ordem harmˆonica, e vh ´e a amplitude da harmˆonica de ordem h. A equa¸c˜ao 2.42 calcula a THD em rela¸c˜ao `a potˆencia da fundamental, equivalente a 2.29, enquanto que 2.43 calcula-a em rela¸c˜ao `a potˆencia total, equivalente a 2.30.
A amplitude de distor¸c˜ao de 2.28, ´e dada em sua forma discreta por
vd=
Aplicando-se 2.44 em 2.42 e 2.43, resultam respectivamente
O m´etodo num´erico mais tradicional de c´alculo da distor¸c˜ao harmˆonica ´e a aplica¸c˜ao da Transformada de Fourier Discreta sobre as amostras de um per´ıodo do sinal.
Esta aplica¸c˜ao pode ser feita em sua forma b´asica, conhecida como DFT ou em sua forma r´apida, ou FFT, que nada mais ´e do que uma forma de c´alculo da DFT (OPPENHEIM;
SCHAFER, 1999).
A FFT ´e adequada a processadores convencionais, n˜ao otimizados para proces-samento de sinais, onde uma opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao toma um tempo bastante longo, muito maior que uma soma, por exemplo. Este m´etodo ´e otimizado para a m´axima redu¸c˜ao da quantidade de opera¸c˜oes de multiplica¸c˜ao. Entretanto, em Processadores Di-gitais de Sinais, o produto escalar de vetores ´e uma opera¸c˜ao otimizada porhardware, de modo que, para n´umero de pontos pequeno, a aplica¸c˜ao da DFT ´e mais r´apida que a FFT.
O limite deste valor depende da tecnologia empregada. O estado atual da arte permite uma DFT mais r´apida que uma FFT para N = 256 pontos, porquanto a DFT utiliza de forma mais ostensiva os mecanismos de paralelismo epipelining do DSP, enquanto que a FFT emprega uma quantidade menor de multiplica¸c˜oes, mas isoladas, sem aproveitar os recursos de paralelismo do processador.
A aplica¸c˜ao da DFT, ou FFT, sobre as N amostras xn de um per´ıodo do sinal resulta os valores de amplitude em fase e em quadratura para cada ordem harmˆonica, da ordemh = 0, ou valor DC, `a ordem h= N −1, representados respectivamente pelas partes real < e imagin´aria = dos N n´umeros complexos Xk, com k = 0,1,2, . . . , N −1, resultantes. As rotinas presentes em bibliotecas matem´aticas de DSP fornecemN valores reais, porquanto X0 ´e real, Xk e XN−k s˜ao conjugados para 0 < k < N/2 e XN/2 ´e real, resultando somente N valores reais. Isto ´e chamado RFFT, ou Real FFT, nas bibliotecas de DSP (TEXAS INSTRUMENTS, INC., 2002). Normalmente, os resultados s˜ao apresentados na seguinte ordem: X0, XN/2, <X1, =X1, <X2, =X2, . . . , <XN/2−1,
=XN/2−1, totalizando os N valores.
O valor de v1, correspondente ao m´odulo do n´umero complexo resultante da aplica¸c˜ao da freq¨uˆencia fundamental, ou seja, h= 1, no sinal amostrado xn, ´e dado por
v1 = A parcela correspondente ao termo de Nyquist, i=N/2, deve ser dividida por 2, pois representa a contribui¸c˜ao do harmˆonico N/2 e do seu aliasing simultaneamente.
O valor DC, correspondente ao n´umero complexo resultante da aplica¸c˜ao da freq¨uˆencia nula ao sinal amostradoxn, pode ser obtido por
vDC =X0 (2.49)
Este valor ser´a real, porquanto os valores do sinal amostrado xn s˜ao todos reais.
O somat´orio de 2.48 utiliza N −3 parcelas que j´a s˜ao os resultados de muitas opera¸c˜oes truncadas ou arredondadas de multiplica¸c˜ao e soma feitas na FFT ou DFT.
Desta forma, o resultado da propaga¸c˜ao de erros ´e muito grande. Ainda, esta ´ultima soma ´e quadr´atica, o que faz com que os erros n˜ao se cancelem, mesmo que a sua m´edia global seja nula, fornecendo sempre um valor de THD acima do correto.
A aplica¸c˜ao de uma DFT e do respectivo c´alculo da distor¸c˜ao resultamN−3 pro-dutos escalares de vetores de N amostras por vetores de N coeficientes. Estas opera¸c˜oes podem usar o acumulador de 40 bits do DSP para a totaliza¸c˜ao do resultado, reduzindo os erros de truncamento intermedi´ario. Assim, s˜aoN −3 conjuntos de N multiplica¸c˜oes de n´umeros de 16 bits, com totaliza¸c˜ao em 40 bits cada conjunto. Cada um destes valores
´e elevado ao quadrado e somado. Esta ´ultima opera¸c˜ao pode ser implementada pelo pro-duto interno de um vetor constru´ıdo com osN−3 resultados dos produtos escalares. Este produto interno ´e o produto escalar do vetor por ele mesmo, fazendo uso do acumulador de 40 bits do DSP. Os truncamentos se reduzem ao armazenamento dos resultados dos N−3 produtos escalares, o que ´e feito em 16 bits na mem´oria de dados do DSP. Assim, esta aplica¸c˜ao resulta uma etapa de truncamento de 40 bits para 16 bits.
Quando da aplica¸c˜ao de uma FFT, o n´umero de truncamentos ´e muito maior.
Uma FFT ´e implementada com a aplica¸c˜ao de etapas deN/2 opera¸c˜oes chamadas butter-fly, porquanto obt´em dois resultados a partir de dois valores e dos seus coeficientes. Ap´os a aplica¸c˜ao destasN/2butterflies, os dados s˜ao movidos na mem´oria, numa opera¸c˜ao de embaralhamento, para aplica¸c˜ao de novasbutterflies. Este processo ´e executado at´e que as opera¸c˜oes da FFT tenham sido todas executadas, em um total de log2N etapas, para N em “radix-2”, ou potˆencias de 2. A cada etapa de aplica¸c˜ao das butterflies, os resultados devem ser armazenados na mem´oria do DSP, sendo retirados do acumulador de 40 bits e guardados na mem´oria de 16 bits, resultando log2N etapas de truncamento encadeadas.
Cada etapa de truncamento introduz erros, que s˜ao propagados para a pr´oxima etapa, que tamb´em introduz seus erros. ParaN = 64, por exemplo, s˜ao 6 etapas de aplica¸c˜ao de but-terflies, com as respectivas 6 etapas de truncamento. O erro resultante n˜ao ´e desprez´ıvel.
Alguns m´etodos de corre¸c˜ao fazem com que este erro seja neutralizado, mas n˜ao elimi-nado. Um m´etodo muito usado, mas pouco divulgado pelos fabricantes de equipamentos,
´e a subtra¸c˜ao dos erros m´edios quadr´aticos da aplica¸c˜ao da FFT nos valores individuais das amplitudes obtidas na Transformada de Fourier. Entretanto, ele ´e baseado estatistica-mente em formas de onda que normalestatistica-mente ocorrem em sistemas de energia, aumentando os erros quando a forma da distor¸c˜ao da onda n˜ao ´e a normal. Uma distor¸c˜ao na forma de onda da energia el´etrica que normalmente ocorre ´e o seu achatamento, ou diminui¸c˜ao do seu valor nas maiores amplitudes, que pode ser causada pela satura¸c˜ao de n´ucleos de transformadores, e modelada, por exemplo, por uma terceira harmˆonica em fase com a fundamental. Quando a linha de transmiss˜ao ´e longa, esta fase pode variar ao longo da linha por diferen¸cas de velocidades de propaga¸c˜ao, e pode ocorrer a triangulariza¸c˜ao da onda, ou seja, aumento do seu valor nas maiores amplitudes, onde a fase entre a fundamen-tal e a terceira harmˆonica se torna oposta, ouφ =π. Neste caso, as corre¸c˜oes estat´ısticas feitas nas amplitudes resultantes da Transformada de Fourier acabam aumentando o erro, em lugar de diminu´ı-lo. Assim, este m´etodo de corre¸c˜ao n˜ao ´e adequado para sistemas de grande extens˜ao geogr´afica, tais como o SIN. ´E necess´ario, ent˜ao, buscar-se m´etodos mais precisos de c´alculo da THD que n˜ao exijam estas corre¸c˜oes baseadas em estat´ısticas (WAGNER et al., 2003).
3 M´ etodos Desenvolvidos
Os m´etodos de determina¸c˜ao dos parˆametros de amplitude e temporais da forma de onda da energia el´etrica foram desenvolvidos visando a sua aplica¸c˜ao em um Sistema de Aquisi¸c˜ao previamente constru´ıdo para este fim. O Sistema de Aquisi¸c˜ao ´e apresentado no apˆendice, na forma de descri¸c˜ao de seuhardware e do diagrama de blocos de seusoftware, indicando nestes blocos a aplicabilidade dos v´arios m´etodos descritos.
Diante das dificuldades e restri¸c˜oes encontradas nos m´etodos existentes, houve a necessidade do desenvolvimento de novos m´etodos que n˜ao possuam estes problemas.
Estes m´etodos desenvolvidos s˜ao apresentados nas se¸c˜oes a seguir. Eles s˜ao referentes aos c´alculos de valores DC e RMS, determina¸c˜ao das estampas de tempo de passagem ascendente por zero e ao c´alculo da distor¸c˜ao.
Estes m´etodos foram apresentados em conferˆencias internacionais do IEEE, de acordo com as referˆencias apresentadas nas respectivas se¸c˜oes.