GÉRSON EDUARDO MOG MÉTODOS DE C ÁLCULO DE PAR ÂMETROS DE FORMA DE ONDA DA ENERGIA ELÉTRICA CICLO A CICLO

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M´ ETODOS DE C ´ ALCULO DE PAR ˆ AMETROS DE FORMA DE ONDA DA ENERGIA EL´ ETRICA CICLO A CICLO

CURITIBA

MARC¸ O 2005

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M´ ETODOS DE C ´ ALCULO DE PAR ˆ AMETROS DE FORMA DE ONDA DA ENERGIA EL´ ETRICA CICLO A CICLO

Disserta¸cão apresentada como requisito parcial para obten¸cão do grau de Mestre no Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica da Uni- versidade Federal do Paraná.

Orientador: Prof. Dr. Eduardo Parente Ribeiro

CURITIBA

MARC¸ O 2005

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G´ ERSON EDUARDO MOG

M´ ETODOS DE C ´ ALCULO DE PAR ˆ AMETROS DE FORMA DE ONDA DA ENERGIA EL´ ETRICA CICLO A CICLO

Disserta¸cão aprovada como requisito parcial para obten¸cão do grau de Mestre no Pro- grama de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora:

Prof. Dr. Eduardo Parente Ribeiro Universidade Federal do Paran´a

Prof. Dr. Oscar da Costa Gouveia Filho Universidade Federal do Paran´a

Prof. Ph.D. Wilson Arnaldo Artuzi J´unior Universidade Federal do Paran´a

Prof. Ph.D. Jacques Szczupak Pontif´ıcia Universidade Cat´olica

do Rio de Janeiro

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A Rosane, N´` adia, Hendrik e Victor,

Por serem o principal motivo da realiza¸cão deste trabalho, pois este é um investimento para o futuro, não só meu e deles, mas de muitos.

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Ao Lactec, que motivou e viabilizou os passos importantes, ao meu orientador, que conduziu os trabalhos, e a todos que, direta ou indiretamente, contribu´ıram para a sua realiza¸c˜ao e para a divulga¸c˜ao dos artigos publicados.

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Muitos tentam resolver os problemas da forma como outros antes já o fizeram. Assim, chegarão aos mesmos resultados, nada acrescentando ao conhecimento humano. A quebra de paradigmas é uma necessidade para a evolu¸cão. Complicadas fórmulas matemáticas podem dar lugar a um simples novo modo de pensar, com melhores resultados.

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Lista de Figuras . . . viii

Lista de Tabelas . . . xii

Lista de Siglas . . . xiii

Lista de S´ımbolos . . . xiv

Resumo . . . xv

Abstract . . . xvi

1 Introdu¸c˜ao . . . 1

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 2

1.2 Objetivos . . . 3

1.3 Estrutura do Documento . . . 5

2 M´etodos Convencionais . . . 6

2.1 Modelos Matem´aticos . . . 6

2.1.1 Valores DC e RMS de Sinais Peri´odicos . . . 7

2.1.2 Medida de Freq¨uˆencia e Fase . . . 8

2.1.3 Potˆencias Ativa, Reativa e Aparente . . . 9

2.1.4 Medida de Distor¸c˜ao . . . 11

2.2 M´etodos Aplicados a Sinais Peri´odicos Amostrados . . . 13

2.2.1 Valores DC, AC, RMS e Produtos Cruzados de Sinais Periódicos Amostrados 14 2.2.2 Redu¸cão de Erros nos Cálculos de Valores DC e RMS por Média de Vários Per´ıodos . . . 15

2.2.3 Redu¸cão de Erros nos Cálculos de Valores DC e RMS por Varia¸cão da Freqüência de Amostragem . . . 16

2.2.4 Determina¸c˜ao da Passagem por Zero por Amostragem . . . 16

2.2.5 Determina¸c˜ao da Passagem por Zero por Hardware . . . 17

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3 M´etodos Desenvolvidos . . . 22

3.1 Determina¸cão dos Valores DC, RMS e Produtos Cruzados com Número Não Inteiro de Amostras por Per´ıodo . . . 22

3.1.1 N´umero n˜ao Inteiro de Amostras por Per´ıodo . . . 23

3.1.2 Média por Soma de Retângulos com Interpola¸cão Linear no Intervalo Fra- cionário . . . 23

3.1.3 M´edia Quadr´atica e Produtos Cruzados . . . 26

3.1.4 Aplicabilidade do M´etodo . . . 27

3.2 Determina¸c˜ao por Interpola¸c˜ao da Passagem por Zero . . . 27

3.2.1 Interpola¸c˜ao Linear . . . 28

3.2.2 Redu¸c˜ao de Erros pelo M´etodo dos M´ınimos Quadrados . . . 29

3.2.3 Vetoriza¸cão do Método para Implementa¸cão em um DSP . . . 31

3.2.4 Implementa¸c˜ao do M´etodo em um DSP . . . 34

3.3 C´alculo por Filtragem da Distor¸c˜ao de Sinais Amostrados . . . 36

3.3.1 Desenvolvimento dos Filtros . . . 37

3.3.2 Filtros Desenvolvidos . . . 40

3.3.3 Filtros e Respostas para N = 64 . . . 40

3.3.4 Filtros e Respostas para N = 128 . . . 43

3.3.5 Caracter´ısticas dos Filtros . . . 46

4 Resultados . . . 47

4.1 Compara¸cão de Métodos de Cálculo de Valores DC e RMS . . . 47

4.1.1 Procedimentos de Compara¸c˜ao . . . 47

4.1.2 Compara¸c˜ao Usando Onda Senoidal Pura . . . 48

4.1.3 Compara¸c˜ao Usando Onda Ruidosa . . . 56

4.1.4 Compara¸c˜ao Usando Onda Distorcida e Ruidosa . . . 61

4.1.5 Discuss˜ao dos Resultados . . . 66

4.2 Verifica¸cão de Desempenho do Método de Determina¸cão de Instantes de Pas- sagem por Zero de Sinais . . . 67

4.2.1 Procedimentos de Verifica¸c˜ao de Desempenho . . . 68

4.2.2 Desempenho do M´etodo para Sen´oide Pura . . . 69

4.2.3 Desempenho do M´etodo para Sen´oide Ruidosa . . . 71

vi

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4.2.5 Influˆencia do N´umero de Amostras do MMQ . . . 75

4.2.6 Filtragem da Onda Simulada . . . 78

4.2.7 Desempenho do M´etodo para Sen´oide Ruidosa Filtrada . . . 78

4.2.8 Desempenho do M´etodo para Sen´oide Distorcida e Ruidosa Filtrada . . . 79

4.2.9 Influˆencia do N´umero de Amostras do MMQ com Filtragem . . . 80

4.3 Verifica¸cão de Desempenho do Método de Cálculo de Distor¸cão de Sinais por Filtragem . . . 83

4.3.1 Procedimentos de Verifica¸c˜ao de Desempenho . . . 83

5 Conclus˜oes . . . 90

5.1 Cálculos de Valores DC e RMS com Número Não Inteiro de Amostras por Ciclo 90 5.2 Cálculo por Interpola¸cão dos Instantes de Passagem por Zero . . . 91

5.3 C´alculo por Filtragem da Distor¸c˜ao de Sinais Amostrados . . . 92

5.4 Desenvolvimentos Futuros . . . 92

5.5 Conclus˜oes Finais . . . 93

Referˆencias Bibliogr´aficas . . . 95

Apˆendice A -- Sistema de Aquisi¸c˜ao . . . 98

A.1 Hardware. . . 98

A.2 Firmware . . . 99

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Figura 1 Média por soma de retângulos com um último intervalo de amostragem fracionário . . . 24 Figura 2 As amostras de um per´ıodo P e seus respectivos intervalos, incluindo o

´

ultimo intervalo de amostragem fracion´ario e seu valor significativo . . . 24 Figura 3 Ultimo intervalo de amostragem fracion´´ ario e localiza¸c˜ao de seu valor

significativo x_i para interpola¸c˜ao . . . 25 Figura 4 Passagem por zero por interpola¸c˜ao linear pelas amostras anterior e pos-

terior . . . 28 Figura 5 Aproxima¸c˜ao de uma sen´oide de amplitude igual a 6300 eN = 64 pontos

por ciclo por uma reta próximo ao ponto de passagem por zero, comK = 2 a K = 10 pontos . . . 35 Figura 6 Coeficientes do filtro da fundamental com 64 amostras por ciclo . . . 41 Figura 7 Resposta em freqüência do filtro da fundamental com 64 amostras por

ciclo . . . 41 Figura 8 Coeficientes do filtro das harmônicas com 64 amostras por ciclo . . . 42 Figura 9 Resposta em freqüência do filtro das harmônicas com 64 amostras por

ciclo . . . 43 Figura 10 Resposta em freq¨uˆencia do filtro da fundamental com 128 amostras por

ciclo . . . 44 Figura 11 Coeficientes do filtro das harmˆonicas com 128 amostras por ciclo limitado

a h= 50 . . . 45 Figura 12 Resposta em freqüência do filtro das harmônicas com 128 amostras por

ciclo limitado a h= 50 . . . 45

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Figura 14 Valores AC calculados a cada ciclo nominal de 64 amostras pelos dois métodos com +1,7% de desvio de freqüência . . . 50 Figura 15 Valores DC calculados a cada ciclo nominal de 64 amostras pelos dois

métodos com +17% de desvio de freqüência . . . 50 Figura 16 Valores AC calculados a cada ciclo nominal de 64 amostras pelos dois

métodos com +17% de desvio de freqüência . . . 51 Figura 17 Valores DC calculados a cada ciclo nominal de 64 amostras pelo método

proposto com desvios de freq¨uˆencia de 1,7% e 17% . . . 51 Figura 18 Erros nos valores AC calculados a cada ciclo nominal de 64 amostras pelo

método proposto com desvios de freqüência de 1,7% e 17% . . . 52 Figura 19 Valores DC máximos e m´ınimos calculados pelos dois métodos para senóide

pura . . . 53 Figura 20 Valores DC m´aximos e m´ınimos calculados pelo m´etodo proposto para

senóide pura . . . 53 Figura 21 Valores AC máximos e m´ınimos calculados pelos dois métodos para senóide

pura . . . 54 Figura 22 Erros nos valores AC m´aximos e m´ınimos calculados pelo m´etodo proposto

para senóide pura . . . 55 Figura 23 Senóide ruidosa usada na simula¸cão, com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 57 Figura 24 Valores DC máximos e m´ınimos calculados pelos dois métodos para senóide

com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 58 Figura 25 Valores DC m´aximos e m´ınimos calculados pelo m´etodo proposto para

senóide com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 58 Figura 26 Valores AC máximos e m´ınimos calculados pelos dois métodos para senóide

com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 59 ix

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Figura 28 Sen´oide distorcida e ruidosa usada na simula¸c˜ao, com achatamento e 1%

de ru´ıdo gaussiano . . . 62 Figura 29 Valores DC máximos e m´ınimos calculados pelos dois métodos para senóide

distorcida e com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 62 Figura 30 Valores DC m´aximos e m´ınimos calculados pelo m´etodo proposto para

senóide distorcida e com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 63 Figura 31 Valores AC máximos e m´ınimos calculados pelos dois métodos para senóide

distorcida e com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 64 Figura 32 Erros nos valores AC m´aximos e m´ınimos calculados pelo m´etodo proposto

para senóide distorcida e com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 64 Figura 33 Erros na média dos per´ıodos calculados com K = 8 para senóide pura 69 Figura 34 Desvios padrão dos per´ıodos calculados com K = 8 para senóide pura . 70 Figura 35 Erros na média dos per´ıodos calculados com K = 8 para senóide com

diferentes n´ıveis de ru´ıdo gaussiano . . . 72 Figura 36 Desvios padr˜ao dos per´ıodos calculados com K = 8 para sen´oide com

diferentes n´ıveis de ru´ıdo gaussiano . . . 72 Figura 37 Onda senoidal distorcida usada para a determina¸c˜ao da passagem por

zero . . . 73 Figura 38 Erros na m´edia dos per´ıodos calculados comK = 8 para sen´oide distorcida

e com diferentes n´ıveis de ru´ıdo gaussiano . . . 74 Figura 39 Desvios padr˜ao dos per´ıodos calculados comK = 8 para sen´oide distorcida

e com diferentes n´ıveis de ru´ıdo gaussiano . . . 75 Figura 40 Maiores erros na m´edia dos per´ıodos calculados para sen´oide com diferen-

tes n´ıveis de ru´ıdo gaussiano, em fun¸c˜ao do n´umero de amostras usadas no MMQ . . . 76

x

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no MMQ . . . 77

Figura 42 Desvios padr˜ao dos per´ıodos calculados com K = 8 para sen´oide com diferentes n´ıveis de ru´ıdo gaussiano e filtrada . . . 79

Figura 43 Desvios padr˜ao dos per´ıodos calculados com K = 8 para sen´oide distorcida, com diferentes n´ıveis de ru´ıdo gaussiano e filtrada . . . 80

Figura 44 Maiores desvios padrão dos per´ıodos calculados para senóide com diferentes n´ıveis de ru´ıdo gaussiano e filtrada, em fun¸cão do número de amostras usadas no MMQ . . . 81

Figura 45 Decomposi¸c˜ao por filtragem da sen´oide pura com N = 64 . . . 85

Figura 46 Decomposi¸c˜ao por filtragem da sen´oide achatada da figura 37 com N = 64 . . . 85

Figura 47 Decomposi¸c˜ao por filtragem da onda quadrada com N = 64 . . . 86

Figura 48 Decomposi¸c˜ao por filtragem da onda triangular com N = 64 . . . 87

Figura 49 Decomposi¸c˜ao por filtragem da onda dente de serra comN = 64 . . . 88

Figura 50 Diagrama de Blocos doFirmware da Placa DSP . . . 100

xi

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Tabela 1 Coeficientes dos vetores para a determina¸cão da passagem por zero pelo método dos m´ınimos quadrados e respectivos máximos divisores comuns 33 Tabela 2 Erros máximos nos cálculos de valores DC e AC pelos dois métodos com

N = 64 para senóide pura . . . 54 Tabela 3 Erros máximos nos cálculos de valores DC e AC pelos dois métodos com

N = 64 para senóide com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 60 Tabela 6 Erros máximos nos cálculos de valores DC e AC pelos dois métodos com

N = 64 para senóide distorcida e com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 65 Tabela 9 Erros máximos nos cálculos de valores DC e AC pelos dois métodos com

N = 100 para senóide distorcida e com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 65 Tabela 10 Erros máximos nos cálculos de valores DC e AC pelos dois métodos com

N = 128 para senóide distorcida e com 1% de ru´ıdo gaussiano . . . 65 Tabela 11 Medi¸cões de distor¸cão de ondas conhecidas . . . 88

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AC Alternate Current - Corrente Alternada

RMS Root Mean Square - Raiz da M´edia Quadr´atica

THD Total Harmonic Distortion - Distor¸c˜ao Harmˆonica Total SIN Sistema Integrado Nacional

ONS Operador Nacional do Sistema

DSP Digital Signal Processor - Processador Digital de Sinais MIPS Milh˜oes de Instru¸c˜oes por Segundo

ADC Analog to Digital Converter - Conversor Analógico-Digital ISA Industry Standard Architecture - Arquitetura Industrial Padrão IHM Interface Homem-Máquina

CPLD Complex Programmable Logic Device - Componente de L´ogica Program´avel Complexo

DC Direct Current - Corrente Cont´ınua ANEEL Agˆencia Nacional de Energia El´etrica PLL Phase Locked Loop - La¸co de Fase For¸cada

DFT Discrete Fourier Transform - Transformada Discreta de Fourier FFT Fast Fourier Transform - Transformada R´apida de Fourier MDC M´aximo Divisor Comum

FIR Finite Impulse Response - Resposta Finita ao Impulso UTR Unidade Terminal Remota

HPI Host Port Interface - Porta de Interface ao Hospedeiro

EPROM Erasable Programmable Read Only Memory - Memória de Somente Leitura Programável e Apagável

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µ Valor M´edio x(t) Sinal Cont´ınuo

T Per´ıodo

f Freq¨uˆencia

φ Fase

P Potência Ativa v(t) Tensão Elétrica i(t) Corrente Elétrica S Potência Aparente Q Potência Reativa h Ordem Harmônica X_d Valor RMS da Distor¸cão

X₁ Valor RMS da Componente Fundamental f_s Freq¨uˆencia de Amostragem

N N´umero de Amostras por Ciclo xn Sinal Amostrado

Ts Per´ıodo de Amostragem

M Número de Ciclos usados para Cálculo de Médias

< Parte Real do N´umero Complexo

= Parte Imagin´aria do N´umero Complexo X_k Transformada de Fourier

K N´umero de Amostras usadas no MMQ ˆ

x_k Amostras Ajustadas pelo MMQ Soma Quadrática dos Erros x(n) Seqüência de Amostras do Sinal F(l) Filtro Discreto

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A medi¸cão e monitora¸cão de parâmetros de qualidade da energia elétrica de sistemas de potência AC requer vários cálculos, tais como a subtra¸cão dos valores DC e a medi¸cão dos valores RMS de tensões e correntes, potências, freqüências, fases e distor¸cões. Estes cálculos são normalmente realizados com amostras das formas de onda monitoradas, em uma freqüência de amostragem igual aN vezes a freqüência nominal das ondas. Os algoritmos convencionais consideram N como constante e inteiro. Quando a freqüência real tem um desvio em rela¸cão ao seu valor nominal, erros são introduzidos nos cálculos, e médias de vários ciclos são usadas para reduzi-los. Entretanto, para prote¸cão ou obten¸cão dos parâmetros de qualidade instantâneos, os cálculos devem ser realizados a cada ciclo, para uma rápida dete¸cão de distúrbios. Conseqüentemente médias são impraticáveis. É, então, apresentado um método de cálculo de parâmetros da energia elétrica com o objetivo de minimizar estes erros para cálculos em um único ciclo, fazendo N variável e não inteiro. Os métodos convencionais de medi¸cão do per´ıodo de uma onda amostrada da energia elétrica apresentam erros muito grandes para um número pequeno de amostras por ciclo, e o aumento deste número tem um custo muito elevado. Assim, apresenta-se um método de obten¸cão do per´ıodo da onda com pequeno erro, sem um aumento do número de amostras por ciclo. O cálculo de distor¸cão utilizando-se fun¸cões de FFT apresenta erros acima do permitido, devido aos arredondamentos numéricos intermediários deste método.

E apresentada uma solu¸c˜´ ao para reduzir estes erros no cálculo da distor¸cão. Todos os métodos desenvolvidos são colocados em uma forma vetorial, adequada à implementa¸cão em um DSP. São obtidos resultados melhores que os dos métodos convencionais.

Palavras-chave: Energia elétrica; Medi¸cão; Monitora¸cão; Prote¸cão; Qualidade de Energia.

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Measuring and monitoring quality parameters of electrical energy of AC power systems requires several calculations, such the subtraction of DC values and the RMS values measurement of voltage and current, power, frequencies, phases and distortions. These calculations are normally performed with samples of the monitored waveforms, at sample frequency equal to N times the nominal frequency of waves. Conventional algorithms regard N as constant and integer. When the actual frequency has a deviation from its nominal value, errors are introduced in the calculations, and averages are used over several cycles to reduce them. However, for protection or to obtain instantaneous quality parameters, these calculations must be performed every cycle for quick disturbance detection.

Consequently averages are impracticable. So, it is presented a method for electrical energy parameter calculations with a goal of minimizing these errors for one cycle calculations, making N variable and non-integer. Conventional methods for period measurement of a sampled electrical energy waveform present great errors for a small amount of samples per cycle, and increasing of this amount has a large cost. It is presented a method for performing the period measurement with small errors without increasing the amount of samples per period. Distortion calculations using FFT functions have errors above the allowed ones, due to the partial numeric roundings of this method. A solution to reduce these errors in distortion calculations is presented. All the developed methods are put at a vectored form, suitable to DSP implementation. Better results than for conventional methods are obtained.

Key-words: Electric energy; Measurement; Monitoring; Protection; Power Quality.

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1 Introdu¸ c˜ ao

Os sistemas de fornecimento de energia elétrica em corrente alternada (AC), muito usados no Brasil e em todo o planeta, estão passando por um processo de melhoria de qualidade. Este processo prevê a monitora¸cão de parâmetros da forma de onda da energia fornecida, para a avalia¸cão da sua qualidade e uma opera¸cão integrada dos vários pontos de gera¸cão e consumo (IEEE STD. 1159, 1995).

A monitora¸cão de parâmetros da forma de onda da energia elétrica permite uma avalia¸cão cont´ınua da qualidade da energia fornecida e a tomada de a¸cões preventivas e corretivas no caso de desvios em rela¸cão aos padrões aceitáveis (IEEE STD. 1139, 1989) (IEEE STD. 1139, 1999). Estes parâmetros são, principalmente, a amplitude RMS da componente AC, para tensões e correntes, a freqüência das ondas, as fases relativas entre cada par de ondas de um mesmo circuito, geralmente trifásico, e as distor¸cões, representadas pelas amplitudes relativas dos harmônicos e pela distor¸cão harmônica total (THD).

A opera¸cão integrada de um sistema de energia elétrica, tal como o Sistema In- tegrado Nacional (SIN), operado pelo Operador Nacional do Sistema (ONS), exige uma sinergia entre os vários pontos de gera¸cão e consumo de energia, visando uma distribui¸cão racional do fluxo da energia elétrica entre os vários pontos. Pequenas varia¸cões em rela¸cão aos valores estabelecidos podem causar grandes desequil´ıbrios no sistema como um todo, causando desligamentos e blecautes de n´ıvel nacional. As perturba¸cões devem ser rapi- damente detectadas e tomadas a¸cões para isolar o ponto de perturba¸cão, ou seccionar a rede de modo a estabilizar o sistema (ANEEL, 2001).

Desta forma, são necessários equipamentos que forne¸cam os parâmetros da energia elétrica com a precisão requerida para a opera¸cão do sistema em estado estável, e na rapidez exigida para neutralizar as perturba¸cões ocorridas (ONS, 2001).

Os equipamentos de opera¸cão e prote¸cão existentes são feitos para atuar rapida- mente em casos de perturba¸cões do sistema, mas sem a precisão de medi¸cão necessária para os casos de estabilidade. Os equipamentos de medi¸cão existentes são feitos para

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medir corretamente as grandezas elétricas durante o regime permanente do sistema, mas com tempo de cálculo muito grande, inviável para fun¸cões de opera¸cão e prote¸cão. Assim, não há um equipamento que satisfa¸ca às necessidades de opera¸cão, prote¸cão e medi¸cão, por não atenderem simultaneamente os requisitos de tempo e precisão necessários.

1.1 Motiva¸c˜ ao

Recentemente, foi desenvolvido pelo Lactec para a Copel um Sistema de Au- toma¸cão de Subesta¸cões de Energia Elétrica, que agrega umhardware com caracter´ısticas que permitem a implementa¸cão integrada das fun¸cões de opera¸cão, prote¸cão e medi¸cão (MACHADO FILHO et al., 2004).

Este hardware dispõe de um Processador Digital de Sinais (DSP) de 120MIPS (TEXAS INSTRUMENTS, INC., 1998) (TEXAS INSTRUMENTS, INC., 2001a), conversor analógico-digital (ADC) de 16 canais (MAXIM SEMICONDUCTOR, 1998) com precisão de 14 bits sinalizado (13 bits + sinal, em complemento de 2), com liga¸cão a um barramento de microcomputador padrão ISA através de uma memória de acesso dual (TATER, 2002).

Esta memória de acesso dual permite que os resultados de aquisi¸cão e cálculo feitos no DSP sejam lidos pelo microcomputador, para externá-los em seus dispositivos de visualiza¸cão (v´ıdeo, por exemplo) ou interfaces de comunica¸cão (seriais, paralelas ou rede), de modo que se possa obter um instrumento com IHM (Interface Homem-Máquina) amigável e interligado a um sistema mais abrangente (ONS, 2001).

Os algoritmos empregados até o momento são todos convencionais e os desenvolvimentos defirmware esoftwaretem sido espec´ıficos para cada aplica¸cão, não havendo uma concentra¸cão de esfor¸cos no sentido de transformá-los em plataformas de desenvolvimento rápido de aplica¸cões. Cada aplica¸cão é feita por completo, com dif´ıcil reutiliza¸cão do código já implementado para novas aplica¸cões. Desta forma, o desenvolvimento destas novas aplica¸cões ainda é caro e moroso. Com a implementa¸cão de um firmware de aquisi¸cão padrão, será poss´ıvel a rápida implementa¸cão de aplica¸cões, com a reutiliza¸cão completa do código desenvolvido.

Algumas medidas, tais como da freqüência e da fase dos canais analógicos, é feita por hardware, com um componente de lógica programável (CPLD) destinado a esta e outras aplica¸cões (ALTERA CORP., 2003). Este componente tem custo bastante elevado, dados os recursos necessários para acomodar o processamento de somente dois medidores de freqüência e um único medidor de fase, permitindo a monitora¸cão destes parâmetros

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para um único par de canais analógicos. Com os métodos propostos, espera-se a elimina¸cão deste processamento de hardware, substituindo-se a CPLD por outra com custo muito menor, e disponibilizando-se as fun¸cões de medida de freqüência simultaneamente para todos os 16 canais analógicos e de fase para todos os pares poss´ıveis entre estes 16 canais, totalizando 120 medidas poss´ıveis de fase, correspondente ao número de combina¸cões de 16 elementos 2 a 2.

A implementa¸cão das medidas de freqüência e fase pode ser baseada na determina¸cão dos instantes de passagem por zero das componentes AC dos canais analógicos.

Espera-se que um processamento matemático sobre amostras digitalizadas dos sinais analógicos, selecionadas por algoritmo computacional, possa fornecer estes instantes com a precisão necessária.

O mercado de equipamentos de monitora¸cão e prote¸cão para redes de energia elétrica está hoje dominado por grandes grupos multinacionais, que praticam pre¸cos proibitivos às concessionárias nacionais para a dissemina¸cão destas funcionalidades por toda a rede de distribui¸cão. Assim, estas funcionalidades estão presentes somente em poucos locais privilegiados, tais como grandes consumidores, que são também grandes grupos multinacionais. Com este estudo, é poss´ıvel a instala¸cão de uma maior quantidade de equipamentos voltados à melhoria da qualidade de servi¸co de fornecimento de energia elétrica, permitindo o acesso dos médios e pequenos consumidores aos padrões atualmente oferecidos aos grandes consumidores, tal como nos pa´ıses mais desenvolvidos.

1.2 Objetivos

Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de Métodos de Cálculo de Parâmetros de Forma de Onda da Energia Elétrica Ciclo a Ciclo, para posterior implementa¸cão em um Sistema Digital Multicanal de Aquisi¸cão de Dados de Tensões e Correntes da Rede Elétrica, com hardware já existente, caracterizando em uma escala de tempo de um ciclo, ou per´ıodo, cerca de 16,67ms, seus parâmetros em amplitude, em tempo e em forma de onda, para processamentos que exijam os resultados destes cálculos nesta escala de tempo, tais como prote¸cões de sistemas elétricos, e também para processamentos que não os exijam nesta escala de tempo, como a monitora¸cão de qualidade da energia elétrica.

A valida¸cão dos algoritmos desenvolvidos é feita por simula¸cão, para a qual foi escolhido o MatLab como ferramenta de simula¸cão. Esta simula¸cão deve abranger os

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principais problemas que ocorrem neste tipo de medi¸cão, como as varia¸cões de freqüência, distor¸cões e ru´ıdos. A versão usada do MatLab é a 6.1.

Em um sistema elétrico como o SIN, várias fontes de energia diferentes devem ser interligadas para alimentar o barramento de transmissão e distribui¸cão da energia elétrica. Cada uma das fontes de energia deve estar com a mesma amplitude, freqüência e fase da energia do barramento, para permitir sua interliga¸cão ao sistema. Qualquer diferen¸ca pode causar acidentes de propor¸cões gigantescas. Os procedimentos para esta interliga¸cão constituem a Fun¸cão Sincronismo, que exige medi¸cões de amplitudes com precisão melhor que 1%, de freqüência com desvio máximo de 10mHz para a faixa de opera¸cão de 60Hz ±10% e de fase com desvio máximo de 1 grau.

A caracteriza¸cão dos parâmetros em amplitude deve medir o valor DC dos sinais analógicos, para a determina¸cão do valor RMS da sua componente AC. São então sepa- rados os valores DC e AC dos sinais monitorados. A componente DC destes sinais é, em geral, um erro introduzido pelos transdutores de medidas, uma vez que os acoplamen- tos no sistema são todos magnéticos (transformadores ou transdutores de efeito Hall), que rejeitam naturalmente a componente DC. Para alguns sinais, que representam a transdu¸cão de uma grandeza com varia¸cão lenta, tais como a temperatura e a posi¸cão de potenciômetros, é o seu valor DC que contém a informa¸cão, sendo seu valor AC o ru´ıdo a ser eliminado. Isto justifica a medi¸cão também do valor DC dos sinais monitorados, e não somente sua elimina¸cão.

A caracteriza¸cão dos parâmetros em tempo deve poder determinar o per´ıodo e, conseqüentemente, a freqüência, da componente AC de cada sinal, mais as fases relativas entre cada poss´ıvel par de sinais.

A caracteriza¸cão em forma de onda deve determinar parâmetros de forma de onda, tais como a distor¸cão harmônica, ou outros fatores de forma que sejam necessários e de implementa¸cão tecnicamente viável.

As amostras coletadas das ondas monitoradas também devem estar dispon´ıveis para leitura pelo sistema, o que viabiliza a realiza¸cão de processamentos mais elaborados de análise das formas de onda, que constituem a oscilografia.

A escala de tempo para a determina¸cão destes parâmetros deve ser de um ciclo da rede elétrica, satisfatório para a maioria das atuais fun¸cões de prote¸cão de sistemas. Esta escala poderá ser reduzida para, por exemplo, meio ciclo, se necessário e tecnicamente viável. Como resultado, é poss´ıvel a obten¸cão em uma escala de um ciclo da rede elétrica

(23)

dos dados necessários à realiza¸cão dos processamentos descritos.

Alguns processamentos podem ter seus resultados melhorados com o uso de um tempo de mais de um ciclo. Entretanto, para o objetivo deste trabalho, esta hip´otese n˜ao

´e contemplada, fazendo-se simplesmente observa¸c˜oes nos pontos correlatos.

1.3 Estrutura do Documento

São apresentadas de forma ordenada a teoria envolvida nos problemas abordados e nos métodos convencionais, o desenvolvimento dos métodos propostos, os resultados obtidos com a sua aplica¸cão e as conclusões. O cap´ıtulo 2 apresenta as bases teóricas dos métodos convencionais para os cálculos de valores DC e RMS de ondas periódicas, para a determina¸cão de sua freqüência e sua fase, e para a obten¸cão de sua distor¸cão. No cap´ıtulo 3, são apresentados os métodos propostos desenvolvidos, enfocando seu embasa- mento matemático e obtendo as suas correspondentes expressões para implementa¸cão em um Processador Digital de Sinais. O cap´ıtulo 4 mostra os resultados de compara¸cões entre os métodos apresentados e os resultados de desempenho dos métodos propostos. As con- clusões quanto ao desempenho, aplicabilidade e vantagens dos métodos são apresentadas no cap´ıtulo 5.

(24)

2 M´ etodos Convencionais

Aqui são apresentados métodos atualmente utilizados para a solu¸cão dos problemas discutidos na introdu¸cão. Primeiramente, são apresentadas as bases matemáticas e suas fórmulas, para então introduzir os métodos numéricos. São apresentados somente os métodos usados em sistemas amostrados. Existem muitos outros, baseados em sistemas a tempo cont´ınuo, implementados de forma analógica ou mista, aqui não abordados, por não serem adequados à implementa¸cão em um DSP, dispositivo usado no sistema a ser realizado.

Os parâmetros da onda de energia elétrica a serem caracterizados são definidos nas normas atualmente vigentes (IEEE STD. 1139, 1989) (IEEE STD. 1139, 1999). Exis- tem ainda outras normas estrangeiras para parâmetros de qualidade de energia elétrica, tais como as da África do Sul (NRS-048, 1996). Todas servem como base para o desenvolvimento das normas nacionais, publicadas pela Agência Nacional de Energia Elétrica - ANEEL, principalmente em sua Resolu¸cão 505 (ANEEL, 2001).

Os métodos de interesse abrangem medidas de parâmetros de amplitude e de tempo. As medidas de parâmetros de amplitude visam medir e eliminar a componente DC do sinal para obter a sua componente AC. As medidas de parâmetros de tempo tem o objetivo de determinar o per´ıodo do sinal e a fase relativa entre os pares de sinais cuja defasagem interessa. Para todos os sinais presentes no sistema a ser implementado, é necessário poder-se determinar seus valores DC e AC, mais o per´ıodo. E para todos os poss´ıveis pares de sinais é necessário determinar a fase relativa entre eles. A maioria dos métodos convencionais são encontrados em bibliografias básicas de circuitos elétricos (HAYT JR.; KEMMERLY, 1975).

2.1 Modelos Matem´ aticos

Aqui são apresentadas as fórmulas matemáticas básicas usadas nos métodos de obten¸cão dos valores DC e RMS, da freqüência e da distor¸cão de um sinal senoidal da

(25)

rede el´etrica, mais a fase relativa entre um par de sinais.

2.1.1 Valores DC e RMS de Sinais Peri´ odicos

Para a caracteriza¸cão da potência transferida em cada ponto de um Sistema de Energia Elétrica, são importantes os valores RMS da componente AC das ondas de tensão e corrente, bem como os respectivos produtos cruzados (ALBU; HEYDT, 2003).

Os valores DC e RMS de sinais periódicos são calculados pelo seu valor médio e pelo seu valor médio quadrático. As defini¸cões matemáticas do valor médio (µ) e do valor médio quadrático de um sinal periódico x(t) com per´ıodo T são dadas respectivamente por

µ(x) = 1 T

Z

T

x(t)dt (2.1)

e

µx²= 1 T

Z

T

x²(t)dt (2.2)

O valor DC equivale ao valor médio do sinal, e o valor RMS equivale à raiz quadrada do seu valor médio quadrático, segundo

xDC =µ(x) (2.3)

e

x_{RM S} =^qµ(x²) (2.4)

A componente AC de um sinal equivale `a diferen¸ca entre o sinal e seu valor DC.

O valor AC de um sinal peri´odico ´e o valor RMS de sua componente AC, dado por

x_AC =

r

µ(x−µ(x))² (2.5)

Após manipula¸cões algébricas, a expressão resultante para o valor AC é dada por

x_AC =

q

µ(x²)−µ(x)² (2.6)

(26)

2.1.2 Medida de Freq¨ uˆ encia e Fase

Em sistemas de energia elétrica AC, é necessário o conhecimento preciso dos parâmetros temporais de cada uma das formas de onda das fases que compõem o sistema.

Assim, é necessário que se conhe¸ca a freqüência global de cada circuito de energia e as fases relativas entre os circuitos e entre cada fase de cada circuito.

Os parâmetros temporais de freqüência e fase de cada forma de onda podem ser obtidos através dos instantes de passagem ascendente por zero da componente AC (fase zero), desde que a influência do conteúdo harmônico seja pequena. Os harmônicos podem alterar o valor instantâneo da onda no instante da passagem por zero da componente fundamental, alterando a medida de fase. Os inter-harmônicos alteram a distância entre cada par de passagens por zero da forma de onda, tornando impraticável uma medida da freqüência fundamental em somente um ciclo.

Assim sendo, feitas as devidas considera¸cões de validade das medi¸cões, estas podem ser realizadas através da medida dos instantes de passagem ascendente por zero das formas de onda dos sinais envolvidos. Os instantes são representados pelas estampas de tempo dos eventos de passagem ascendente por zero. A estampa de tempo é um valor atribu´ıdo ao evento no instante de sua ocorrência, pela cópia instantânea de uma contagem seqüencial única para todo o sistema, que geralmente é um contador digital, em hardware ou em software. As estampas de tempo dos eventos permitem os cálculos dos tempos relativos de cada evento e do seqüenciamento dos mesmos.

A precisão necessária para as estampas de tempo é obtida da especifica¸cão da fun¸cão mais cr´ıtica em tempo, ou seja, a Fun¸cão Sincronismo, que exige uma precisão de 10mHz na faixa de freqüências de 55Hz a 66Hz. Isto exige, no caso do uso de passagem por zero, um m´ınimo de 6600 contagens em 66Hz, ou seja, uma precisão de 2,3µs, com uma freqüência de amostragem F_s m´ınima de 6600×66Hz = 435,6kHz. Esta também é a precisão do contador que gera os valores para as estampas de tempo.

Dados dois sinais periódicos x_i(t) e x_j(t), as duas últimas estampas de tempo de passagem ascendente por zero Ti,m−1 eT_i,m do sinal x_i(t) e as duas últimas estampas de tempo T_j,m−1 e T_j,m do sinal x_j(t), os per´ıodos T_i do sinal x_i(t) e T_j do sinal x_j(t) são dados por

T_i =T_i,m−Ti,m−1 (2.7)

(27)

e

T_j =T_j,m−Tj,m−1 (2.8)

As respectivas freqüências f são os seus rec´ıprocos, dadas por

f_i = 1

T_i = 1 T_i,m−Ti,m−1

(2.9) e

f_j = 1

T_j = 1

T_j,m−T_j,m−1 (2.10)

Para sinais x_i(t) e x_j(t) de mesma freqüência, ou freqüências muito próximas, a faseφ_j,i de x_j(t) em rela¸cão a x_i(t) é dada por

φ_j,i= 2πT_j,m−Ti,m−1

T_i,m−T_i,m−1 (2.11)

Esta fase pode exigir uma corre¸c˜ao do seu valor em +2π ou −2π, de modo que se tenha a medida de fase dentro da faixa de interesse, que pode ser 0 ≤ φ_j,i < 2π ou

−π < φ_j,i ≤+π.

As expressões acima resultam os parâmetros temporais obtidos a partir das estampas de tempo dos dois últimos eventos de passagem ascendente por zero da componente AC dos dois sinais utilizados.

2.1.3 Potˆ encias Ativa, Reativa e Aparente

Em sistemas de energia elétrica, é importante a determina¸cão da Potência Ativa entregue pelo circuito, além da sua Potência Aparente e da sua Potência Reativa. A Potência Ativa representa a energia entregue ao consumidor, utilizada na realiza¸cão de trabalho útil. A Potência Aparente é aquela medida pelas amplitudes de tensão e corrente do circuito, usada para o dimensionamento dos seus componentes, tais como cabos condu- tores e dispositivos transformadores. A Potência Reativa representa a energia devolvida pelo consumidor, que ocupa lugar no meio de transmissão mas não realiza trabalho útil.

A Potência AtivaP é determinada pela média da Potência instantânea no circuito com tensão v(t) e corrente i(t), ambas periódicas com o mesmo per´ıodo T. Ela é dada

(28)

por

P = 1 T

Z

T

v(t)i(t)dt (2.12)

A Potência Aparente Sé obtida do produto da tensão RMS medida pela corrente RMS medida, dada por

S =v_{RM S}i_{RM S} (2.13)

A Potência Reativa Q é a componente em quadratura da Potência que, junta- mente com a Potência Ativa, compõe a Potência Aparente, segundo

S² =P²+Q² (2.14)

Assim, o valor absoluto da Potˆencia Reativa ´e dada por

Q=√

S²−P² (2.15)

O seu sinal é dado por conven¸cão, sendo positiva quando a corrente tem fase atrasada em rela¸cão à tensão, e negativa quando a corrente tem fase adiantada em rela¸cão

`

a tens˜ao.

Existem ainda rela¸cões entre as potências ativa P, reativa Q e aparente S e o atraso da faseφ da corrente em rela¸cão à tensão, dadas por

P =Scosφ (2.16)

e

Q=Ssinφ (2.17)

Elas obedecem a 2.14 e à conven¸cão de sinal da Potência Reativa.

(29)

2.1.4 Medida de Distor¸c˜ ao

A Distor¸cão de um sinal senoidal é uma medida do quanto o sinal está diferente de sua forma senoidal ideal. Esta medida pode ser definida de várias formas. A defini¸cão mais usada é a do erro médio quadrático, que determina a fra¸cão de potência do sinal que está fora de sua componente senoidal ideal.

A determina¸cão da forma senoidal ideal de um sinal consiste na medida de seus parâmetros de amplitude e fase na freqüência desejada, que podem variar de acordo com o sinal x(t) usado. Para um sinal periódico com per´ıodo T, pode-se usar uma decomposi¸cão de Fourier, tomando como base uma freqüência fundamental f = 1/T, na qual as amplitudes em fase e em quadratura de cada componente harmônica de ordem h inteira do sinal são dadas respectivamente por

X_h,p = 2 T

Z T 0

x(t) cos2hπt

T dt 0≤h <∞ (2.18) e

X_h,q = 2 T

Z T 0

x(t) sin2hπt

T dt 0≤h <∞ (2.19) Como cos 0 = 1, para h = 0, tem-seX_0,p igual ao valor m´edio de x(t), dado por

X0,p= 1 T

Z T 0

x(t)dt (2.20)

O termo em quadratura X_0,q tem valor nulo, porquanto sin 0 = 0.

O sinal peri´odico assim decomposto pode ser recuperado em fun¸c˜ao dos valores X_h,p e X_h,q por (SCHWARTZ, 1970)

x(t) =

∞

X

h=0

X_h,pcos2hπt

T +X_h,qsin2hπt T

!

(2.21) Como a freqüência de interesse é a fundamental, as suas componentes em fase e em quadratura são respectivamente X_1,p eX_1,q, obtidas de 2.18 e 2.19 fazendo-se h= 1, resultando

X_1,p= 2 T

Z T 0

x(t) cos 2πt

T dt (2.22)

(30)

e

X_1,q = 2 T

Z T 0

x(t) sin2πt

T dt (2.23)

A forma senoidal ideal do sinal x(t) ´e a sua componente fundamental, denotada porx1(t), e dada por

x₁(t) =X_1,pcos2πt

T +X_1,qsin2πt

T (2.24)

A sua amplitude A₁ ´e dada por

A₁ =^qX_1,p² +X_1,q² (2.25)

O seu valor RMS, cujo quadrado representa a potˆencia do sinal ideal, ´e

X₁ = A₁

√2 =

sX_1,p² +X_1,q²

2 (2.26)

A componente de distor¸c˜ao do sinal x(t), denotada porx_d(t) pode ser dada por

x_d(t) =x(t)−x₁(t) (2.27)

A medida da amplitude equivalente de distor¸c˜ao, X_d, pode ser dada pelo valor RMS da componente de distor¸c˜ao x_d(t), segundo

X_d=

r

µx_d(t)² (2.28)

A medida final d_x da distor¸cão é a rela¸cão entre a amplitude da distor¸cãoX_d e a amplitude da onda ideal X₁, segundo (LOWENBERG, 1977)

d_x = X_d

X₁ (2.29)

Normalmente, a componente DC do sinal x(t) é descartada nesta medida de distor¸cão, devendo ser subtra´ıda deste valor. Como em sistemas de energia elétrica AC, as componentes DC são nulas, a componente AC do sinal se confunde com o próprio sinal, mantendo a validade de 2.27.

(31)

Alguns autores usam a rela¸cão entre a amplitude da distor¸cão Xd e a amplitude AC totalx_AC, definida em 2.5, que exclui o valor médio, ou DC, segundo (LOWENBERG, 1977)

d_x = X_d

x_AC (2.30)

A rela¸c˜ao entre os valores de X_d, X₁ e x_AC ´e dada por

x²_AC =X₁²+X_d² (2.31)

A equa¸cão 2.29 permite que a distor¸cão varie no intervalo 0 ≤dx≤ ∞, enquanto que 2.30 restringe seu valor a 0 ≤ d_x ≤ 1, porquanto a potência de distor¸cão é inclusa no denominador. Uma distor¸cão unitária, ou de 100%, segundo 2.29 significa que a potência de distor¸cão é igual à potência do sinal na fundamental, enquanto que o mesmo valor de distor¸cão de 100% segundo 2.30 significa que toda a potência do sinal está fora da fundamental. Para distor¸cões pequenas, próximas de zero, as duas se aproximam, igualando-se no ponto de distor¸cão nula.

2.2 M´etodos Aplicados a Sinais Peri´ odicos Amostrados

Para sinais periódicos amostrados, o dom´ınio do tempo é substitu´ıdo por um valor discreto, que representa os instantes de amostragem dos sinais. As fórmulas apresentadas são modificadas para o dom´ınio discreto, com a substitui¸cão das integra¸cões por somatórios e da escala de tempo por uma escala numérica discreta. Adicionalmente, são instroduzidas limita¸cões de validade dos cálculos, determinadas por Nyquist, sendo descritos em seu teorema de amostragem (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999).

Um fator preponderante é a freqüência de amostragemf_s, que deve ser escolhida de modo que os desvios introduzidos pela discretiza¸cão não invalidem os cálculos. A rela¸cão entre ela e a freqüência do sinal f pode ser dada por

f_s=N f (2.32)

O valor N é o número de amostras por per´ıodo T do sinal amostrado, e deve ser o maior poss´ıvel, para estender a validade dos cálculos, mas pequeno o suficiente para que o processamento possa ser executado no processador dispon´ıvel.

(32)

2.2.1 Valores DC, AC, RMS e Produtos Cruzados de Sinais Peri´ odicos Amostrados

Os métodos discretos usualmente empregados para os cálculos dos parâmetros em amplitude de sinais amostrados são descritos na norma vigente (IEEE STD. 1159, 1995).

Para sinais periódicos amostrados x_n com N amostras por per´ıodo, o valor médio X e o valor médio quadrático X² são dados por

X = 1 N

N−1

X

n=0

x_n (2.33)

e

X² = 1 N

N−1

X

n=0

x²_n (2.34)

O valor DC do sinal amostrado x_n´e exatamente o seu valor m´edio, dado por

X_DC =X (2.35)

O valor RMS total de x_n é a raiz quadrada do seu valor médio quadrático, dado por

X_{RM S} =

q

X² (2.36)

O valor da componente AC do sinal pode ser obtido pelo cálculo da média quadrática do sinal sem sua componente DC, dado por

X_AC =

s

x_n−X² (2.37)

Após simplifica¸cão algébrica, a expressão resultante para X_AC é dada por

X_AC =

q

X²−X² (2.38)

Estes métodos são adequados quando se tem uma freqüência de amostragem f_s exatamente igual aN vezes a freqüência do sinal periódico, conforme 2.32, resultando em exatamenteN amostras x_n igualmente espa¸cadas ao longo de um per´ıodoT do sinal.

(33)

Quando o per´ıodo T do sinal não corresponder a exatos N per´ıodos de amostragem T_s, as fases inicial e final do intervalo total usado nos cálculos não são as mesmas, havendo a introdu¸cão de erros (WANG; BOLLEN, 2004) (MESROBIAN; ROWE, 1991).

Neste caso, a integra¸cão discreta correspondente ao somatório não abrange exatamente um per´ıodo do sinal amostrado, fazendo com que haja uma varia¸cão introduzida pela falta ou duplica¸cão de uma parte do per´ıodo. Assim, os valores instantâneos variáveis não se cancelam e o valor médio desejado não é encontrado.

O produto cruzado de dois sinais periódicos, tais como a tensão e a corrente de um mesmo circuito, resulta a sua potência ativa discreta. Para sinais periódicos amostrados com exatamenteN amostras por per´ıodo, o produto cruzado é dado por

XY = 1 N

N−1

X

n=0

(xnyn) (2.39)

Os valores x_n e y_n representam as amostras dos dois sinais, que tem exatamente o mesmo per´ıodoT, correspondente aN per´ıodos de amostragem T_s.

Analogamente a 2.35 e 2.38, os valores DC e RMS podem ser obtidos para o segundo sinal amostradoy_n, usando-se Y e y em lugar deX e x, respectivamente.

O valor do produto cruzado discreto das componentes AC dos sinais ´e dado por

XY_AC =XY −X Y (2.40)

2.2.2 Redu¸c˜ ao de Erros nos C´ alculos de Valores DC e RMS por M´ edia de V´ arios Per´ıodos

Um método de redu¸cão de erros é o cálculo da média de vários intervalos, o que corresponde ao aumento do intervalo de cálculo para mais de um per´ıodo do sinal.

Este m´etodo ´e utilizado em outros tipos de processamento, como a contagem s´ıncrona (KOLANKO, 1993) e o uso dewavelet (HAMID; KAWASAKI, 2001).

Com o cálculo de médias para M per´ıodos do sinal, tipicamente o erro máximo cometido é dividido pelo valor M, resultando em um limitante superior de 1/M, caso suponhamos um erro máximo de 100% para um per´ıodo. Grosseiramente, para que sejam cometidos erros máximos de 5%, deveria ser feita uma média deM = 20 per´ıodos, o que seria impraticável para um sistema de prote¸cão, pois este intervalo representa um ter¸co

(34)

de segundo, e o sistema j´a estaria danificado ap´os este tempo, se algo grave estivesse ocorrendo.

Desta forma, o método de média dos valores DC e RMS de vários per´ıodos do sinal não poderia ser aqui empregado, pois um dos objetivos é a implementa¸cão de sistemas de prote¸cão. Para medi¸cão de valores estáveis, este método é adequado, pois reduz o erro cometido à medida que o intervalo de medi¸cão aumenta.

2.2.3 Redu¸c˜ ao de Erros nos C´ alculos de Valores DC e RMS por Varia¸c˜ ao da Freq¨ uˆ encia de Amostragem

Uma alternativa para a redu¸cão dos erros nos cálculos dos valores DC e RMS de sinais periódicos que tenham desvios em sua freqüência f em rela¸cão ao valor ideal f_s/N é o ajuste da freqüência de amostragem f_s para manter a rela¸cão ideal. Os erros são anulados pela manuten¸cão da rela¸cão inteira 2.32.

Para sistemas com somente um circuito de energia elétrica, este método é adequado, empregando-se um PLL e um divisor digital de freqüência porN. Desta forma, um sistema PLL poderia manter a freqüência de amostragem fs igual a N vezes a freqüência f do sinal. Porém, como o sistema proposto deve também possibilitar a implementa¸cão da Fun¸cão Sincronismo, onde é determinado o instante no qual dois circuitos, que podem ser independentes, possam ser interligados, há duas freqüências diferentes, e não é poss´ıvel que o PLL mantenha a rela¸cão dada por 2.32 para ambos os circuitos. Um deles deve ser escolhido para acionar o PLL, e o outro fica com seus cálculos prejudicados.

2.2.4 Determina¸c˜ ao da Passagem por Zero por Amostragem

Dado um sinal periódico amostrado x_n sem ru´ıdos relevantes e com média nula, a passagem por zero de sua componente AC é determinada pela passagem por zero do próprio sinal. Se a média não for nula, mas for conhecida, pode-se usar a diferen¸ca entre o sinal e sua média, tornando-a nula e prosseguindo-se o cálculo.

A estampa de tempo da passagem por zero de um sinal periódico amostrado pode ser dada pelo valornT_s tal que xn−1 <0 e x_n≥0. A incerteza nesta medida de tempo é de±T_s/2, resultando uma incerteza de ±T_s para o per´ıodo T do sinal. Assim, o per´ıodo de amostragem T_s deve ser no máximo 2,3µs para a precisão necessária para a Fun¸cão Sincronismo.

(35)

Um sistema com um per´ıodo de amostragem Ts = 2,3µspara cada sinal tem um custo muito elevado para a tecnologia atual, sendo completamente invi´avel tecnicamente.

Mesmo com o DSP empregado, que possui 120MIPS, este tempo representa somente 276 instru¸cões, e não seria poss´ıvel determinar-se a passagem por zero de vários sinais com uma cadência de valores neste tempo. Como exemplo, para 16 canais, haveria somente 17 instru¸cões executáveis por amostra para cada canal.

2.2.5 Determina¸c˜ ao da Passagem por Zero por Hardware

Uma alternativa à determina¸cão por amostragem da passagem por zero é a compara¸cão utilizando-se um hardware digital. Neste método, o sinal x(t) a ser verificado passa por um circuito comparador, para ser comparado ao seu valor médio, determinando se o sinal está acima ou abaixo dele. Para sinais com baixo ru´ıdo e pequeno conteúdo harmônico, o sinal digital de sa´ıda do comparador, o qual é n´ıvel lógico 1 (um) para sinal acima da média e n´ıvel lógico 0 (zero) para sinal abaixo da média, pode ser amostrado para a utiliza¸cão pelo método apresentado anteriormente.

Este método equivale a fazer a amostragem do sinal com apenas um bit, com somente dois n´ıveis de discretiza¸cão e a tomada de decisão por um circuito eletrônico digital. Os demais parâmetros permanecem iguais ao método citado. Porém, diferente- mente daquele, este método permite usar um circuito digital composto por contadores e circuitos seqüenciais para executar a medida. Um contador livre, na freqüência m´ınima de 435,6kHz, para satisfazer ao requisito de erro máximo de 2,3µs, fornece um valor a um registrador no instante da passagem ascendente por zero (de 0 para 1) do sinal amostrado, registrando a estampa de tempo do instante do evento. Os registros podem ser lidos por um processador para os cálculos apresentados em 2.7, 2.8 e 2.11. Esta leitura pelo processador pode ser feita somente a cada evento, através de uma interrup¸cão ou por sele¸cão direta (polling), livrando o processador deste trabalho de leitura de todos os valores das amostras.

Uma implementa¸cão feita em uma CPLD Altera MAX7000 (ALTERA CORP., 2003) utilizou 94 de suas 256 macrocélulas para apenas dois freqüenc´ımetros e um único fas´ımetro.

Um grande inconveniente deste método é que as amostras são tomadas muito próximas umas das outras, resultando uma varia¸cão muito pequena entre os valores das amostras x_n próximas da passagem por zero. Isto deixa este método muito sens´ıvel aos ru´ıdos do sinal x(t), causando repique (bouncing) no sinal digital de um bit amostrado.

(36)

A implementa¸cão de circuitos digitais de elimina¸cão de repique (debouncing) ocupa uma quantidade razoável de espa¸co na CPLD utilizada, aumentando ainda mais os custos desta implementa¸cão.

2.2.6 Determina¸c˜ ao da THD por Transformada de Fourier Discreta

Quando o sinal x(t) é amostrado, resultando o sinal discreto x_n, com uma quantidade deN amostras por per´ıodoT, o universo de freqüênciasf_kdo espectro mensurável em um per´ıodoT passa a ser também discreto, dado por

f_k= k

T k = 0,1,2, . . . ,N

2 (2.41)

O limite do espectro mensurável f_k ≤ N/(2T) corresponde à freqüência de Nyquist (OPPENHEIM; SCHAFER, 1999).

Assim, a distor¸cão medida em um ciclo, ou per´ıodo T, é a distor¸cão harmônica total T HD, porquanto todas as freqüências do espectro mensurável são múltiplas da freqüência fundamental f = 1/T.

A THD pode ser calculada por

T HD₁ =

q PN/2

h=2v_h² v1

(2.42) ou

T HD₂ =

q PN/2

h=2v_h²

q PN/2

h=1vh2

(2.43) Elas s˜ao baseadas respectivamente nas defini¸c˜oes 2.29 e 2.30.

O valor hé a ordem harmônica, e v_h é a amplitude da harmônica de ordem h. A equa¸cão 2.42 calcula a THD em rela¸cão à potência da fundamental, equivalente a 2.29, enquanto que 2.43 calcula-a em rela¸cão à potência total, equivalente a 2.30.

A amplitude de distor¸c˜ao de 2.28, ´e dada em sua forma discreta por

v_d=

v u u u t

N/2

X

h=2

v_h² (2.44)

(37)

Aplicando-se 2.44 em 2.42 e 2.43, resultam respectivamente

T HD₁ = vd

v₁ (2.45)

e

T HD₂ = v_d

√v12+vd2 (2.46)

O método numérico mais tradicional de cálculo da distor¸cão harmônica é a aplica¸cão da Transformada de Fourier Discreta sobre as amostras de um per´ıodo do sinal.

Esta aplica¸cão pode ser feita em sua forma básica, conhecida como DFT ou em sua forma rápida, ou FFT, que nada mais é do que uma forma de cálculo da DFT (OPPENHEIM;

SCHAFER, 1999).

A FFT é adequada a processadores convencionais, não otimizados para processamento de sinais, onde uma opera¸cão de multiplica¸cão toma um tempo bastante longo, muito maior que uma soma, por exemplo. Este método é otimizado para a máxima redu¸cão da quantidade de opera¸cões de multiplica¸cão. Entretanto, em Processadores Di- gitais de Sinais, o produto escalar de vetores é uma opera¸cão otimizada porhardware, de modo que, para número de pontos pequeno, a aplica¸cão da DFT é mais rápida que a FFT.

O limite deste valor depende da tecnologia empregada. O estado atual da arte permite uma DFT mais r´apida que uma FFT para N = 256 pontos, porquanto a DFT utiliza de forma mais ostensiva os mecanismos de paralelismo epipelining do DSP, enquanto que a FFT emprega uma quantidade menor de multiplica¸c˜oes, mas isoladas, sem aproveitar os recursos de paralelismo do processador.

A aplica¸cão da DFT, ou FFT, sobre as N amostras x_n de um per´ıodo do sinal resulta os valores de amplitude em fase e em quadratura para cada ordem harmônica, da ordemh = 0, ou valor DC, à ordem h= N −1, representados respectivamente pelas partes real < e imaginária = dos N números complexos X_k, com k = 0,1,2, . . . , N −1, resultantes. As rotinas presentes em bibliotecas matemáticas de DSP fornecemN valores reais, porquanto X0 é real, Xk e XN−k são conjugados para 0 < k < N/2 e X_N/2 é real, resultando somente N valores reais. Isto é chamado RFFT, ou Real FFT, nas bibliotecas de DSP (TEXAS INSTRUMENTS, INC., 2002). Normalmente, os resultados são apresentados na seguinte ordem: X₀, X_N/2, <X₁, =X₁, <X₂, =X₂, . . . , <X_N/2−1,

=XN/2−1, totalizando os N valores.

(38)

O valor de v1, correspondente ao módulo do número complexo resultante da aplica¸cão da freqüência fundamental, ou seja, h= 1, no sinal amostrado x_n, é dado por

v₁ =

q

(<X₁)²+ (=X₁)² (2.47)

O valor de vd ´e dado por

v_d =

v u u u t

N/2−1

X

h=2

(<X_h)²+ (=X_h)²+ X_N/2 2

!2

(2.48) A parcela correspondente ao termo de Nyquist, i=N/2, deve ser dividida por 2, pois representa a contribui¸c˜ao do harmˆonico N/2 e do seu aliasing simultaneamente.

O valor DC, correspondente ao número complexo resultante da aplica¸cão da freqüência nula ao sinal amostradox_n, pode ser obtido por

v_DC =X₀ (2.49)

Este valor ser´a real, porquanto os valores do sinal amostrado x_n s˜ao todos reais.

O somatório de 2.48 utiliza N −3 parcelas que já são os resultados de muitas opera¸cões truncadas ou arredondadas de multiplica¸cão e soma feitas na FFT ou DFT.

Desta forma, o resultado da propaga¸cão de erros é muito grande. Ainda, esta última soma é quadrática, o que faz com que os erros não se cancelem, mesmo que a sua média global seja nula, fornecendo sempre um valor de THD acima do correto.

A aplica¸cão de uma DFT e do respectivo cálculo da distor¸cão resultamN−3 produtos escalares de vetores de N amostras por vetores de N coeficientes. Estas opera¸cões podem usar o acumulador de 40 bits do DSP para a totaliza¸cão do resultado, reduzindo os erros de truncamento intermediário. Assim, sãoN −3 conjuntos de N multiplica¸cões de números de 16 bits, com totaliza¸cão em 40 bits cada conjunto. Cada um destes valores

é elevado ao quadrado e somado. Esta última opera¸cão pode ser implementada pelo produto interno de um vetor constru´ıdo com osN−3 resultados dos produtos escalares. Este produto interno é o produto escalar do vetor por ele mesmo, fazendo uso do acumulador de 40 bits do DSP. Os truncamentos se reduzem ao armazenamento dos resultados dos N−3 produtos escalares, o que é feito em 16 bits na memória de dados do DSP. Assim, esta aplica¸cão resulta uma etapa de truncamento de 40 bits para 16 bits.

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Quando da aplica¸cão de uma FFT, o número de truncamentos é muito maior.

Uma FFT é implementada com a aplica¸cão de etapas deN/2 opera¸cões chamadas butter- fly, porquanto obtém dois resultados a partir de dois valores e dos seus coeficientes. Após a aplica¸cão destasN/2butterflies, os dados são movidos na memória, numa opera¸cão de embaralhamento, para aplica¸cão de novasbutterflies. Este processo é executado até que as opera¸cões da FFT tenham sido todas executadas, em um total de log₂N etapas, para N em “radix-2”, ou potências de 2. A cada etapa de aplica¸cão das butterflies, os resultados devem ser armazenados na memória do DSP, sendo retirados do acumulador de 40 bits e guardados na memória de 16 bits, resultando log₂N etapas de truncamento encadeadas.

Cada etapa de truncamento introduz erros, que são propagados para a próxima etapa, que também introduz seus erros. ParaN = 64, por exemplo, são 6 etapas de aplica¸cão debut- terflies, com as respectivas 6 etapas de truncamento. O erro resultante não é desprez´ıvel.

Alguns métodos de corre¸cão fazem com que este erro seja neutralizado, mas não eliminado. Um método muito usado, mas pouco divulgado pelos fabricantes de equipamentos,

é a subtra¸cão dos erros médios quadráticos da aplica¸cão da FFT nos valores individuais das amplitudes obtidas na Transformada de Fourier. Entretanto, ele é baseado estatistica- mente em formas de onda que normalmente ocorrem em sistemas de energia, aumentando os erros quando a forma da distor¸cão da onda não é a normal. Uma distor¸cão na forma de onda da energia elétrica que normalmente ocorre é o seu achatamento, ou diminui¸cão do seu valor nas maiores amplitudes, que pode ser causada pela satura¸cão de núcleos de transformadores, e modelada, por exemplo, por uma terceira harmônica em fase com a fundamental. Quando a linha de transmissão é longa, esta fase pode variar ao longo da linha por diferen¸cas de velocidades de propaga¸cão, e pode ocorrer a triangulariza¸cão da onda, ou seja, aumento do seu valor nas maiores amplitudes, onde a fase entre a fundamental e a terceira harmônica se torna oposta, ouφ =π. Neste caso, as corre¸cões estat´ısticas feitas nas amplitudes resultantes da Transformada de Fourier acabam aumentando o erro, em lugar de diminu´ı-lo. Assim, este método de corre¸cão não é adequado para sistemas de grande extensão geográfica, tais como o SIN. É necessário, então, buscar-se métodos mais precisos de cálculo da THD que não exijam estas corre¸cões baseadas em estat´ısticas (WAGNER et al., 2003).

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3 M´ etodos Desenvolvidos

Os métodos de determina¸cão dos parâmetros de amplitude e temporais da forma de onda da energia elétrica foram desenvolvidos visando a sua aplica¸cão em um Sistema de Aquisi¸cão previamente constru´ıdo para este fim. O Sistema de Aquisi¸cão é apresentado no apêndice, na forma de descri¸cão de seuhardware e do diagrama de blocos de seusoftware, indicando nestes blocos a aplicabilidade dos vários métodos descritos.

Diante das dificuldades e restri¸cões encontradas nos métodos existentes, houve a necessidade do desenvolvimento de novos métodos que não possuam estes problemas.

Estes métodos desenvolvidos são apresentados nas se¸cões a seguir. Eles são referentes aos cálculos de valores DC e RMS, determina¸cão das estampas de tempo de passagem ascendente por zero e ao cálculo da distor¸cão.

Estes métodos foram apresentados em conferências internacionais do IEEE, de acordo com as referências apresentadas nas respectivas se¸cões.

3.1 Determina¸c˜ ao dos Valores DC, RMS e Produtos Cruzados com N´ umero N˜ ao Inteiro de Amostras por Per´ıodo

Os métodos convencionais apresentados, empregados em energia elétrica para o cálculo dos seus valores DC, RMS e produtos cruzados, utilizam um número inteiro e fixo de amostras por per´ıodo. Estes métodos fazem os cálculos supondo que não haja desvio na freqüência em rela¸cão à freqüência nominal, geralmente 60Hz, trazendo erros caso ocorra este desvio, o que é a maioria dos casos (WANG; BOLLEN, 2004) (MESROBIAN;

ROWE, 1991).

Também a freqüência de amostragem f_s deve ser um múltiplo da freqüência nominal f do sinal, para que não haja erros introduzidos por este desvio no projeto, o que limita o projetista de hardware a utilizar relógios que possibilitem esta rela¸cão inteira, podendo levar ao uso de um cristal oscilador adicional, com o inconveniente aumento de

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custo do sistema, além de permitir a gera¸cão de interferências entre as freqüências dos vários cristais osciladores, com batimentos que interferem no funcionamento dos circuitos.

3.1.1 N´ umero n˜ ao Inteiro de Amostras por Per´ıodo

Quando o per´ıodo T do sinal periódico amostrado não é um múltiplo inteiro do per´ıodo de amostragemT_s, não há um número inteiro que satisfa¸ca 2.32. Desta forma, N deve poder ser não inteiro. Como a freqüência f do sinal amostrado não é fixa, então N deve também poder ser variável (MOG; RIBEIRO, 2004a) (MOG; RIBEIRO, 2004b).

N˜ao havendo um inteiro que satisfa¸ca 2.32, deve ser definida uma vari´avel que o substitua. Assim, define-se o per´ıodoP por

P = T

T_s =N +δ (3.1)

O per´ıodo não inteiro P é dividido em uma parte inteira N e uma parte fra- cionária 0≤δ <1. Em um per´ıodo P, há N intervalos de amostragem inteiros, mais um

´

ultimo intervalo de amostragem fracionário. A composi¸cão do valor médio no per´ıodo P compreende as N amostras dos intervalos inteiros, mais uma amostra interpolada, correspondente ao último intervalo de amostragem fracionário, calculada pelos valores das amostras anterior e posterior ao instante de término do per´ıodo.

3.1.2 M´ edia por Soma de Retˆ angulos com Interpola¸c˜ ao Linear no Inter- valo Fracion´ ario

Tomando como base os instantes e os valores das amostras x_n, cada uma define um retˆangulo entren−1/2 en+ 1/2, com base unit´aria e alturax_n, com correspondente

´

area x_n. A figura 1 mostra estes retˆangulos, que somados para n= 1 a n=N equivalem

`

a integra¸c˜ao por soma de retˆangulos do sinal amostrado xnno intervalo deN per´ıodos de amostragem.

Para o último intervalo de amostragem fracionário, deve ser determinado o instante do seu valor significativo, que representa a altura do retângulo definido por ele. A figura 2 mostra os N intervalos inteiros definidos por cada amostra, mais o último intervalo de amostragem fracionário, com a localiza¸cão de seu valor significativo, no seu ponto médio.

A figura 3 mostra um detalhamento do ´ultimo intervalo de amostragem fra-