Determina o valor da letra em cada uma das expressões: a)

b. Subtrai 8 a ambos os membros. c. Multiplica ambos os membros por 2. d. Divide ambos os membros por 3.

2. Determina o valor da letra em cada uma das expressões: a) b) c) d) 3. Considera a equação: 6  9 = 6 + 3 Verifica se o número 5 é solução.

Parte : Resolução formal de equações

Resolve as seguintes equações, usando as regras que estudaste:

a)

3x  7  25

b)

x  6  0

c)

4  5t  7

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido nos 1.º, 2.º e 3.º ciclos em aulas referentes ao trabalho com números, os alunos devem ser capazes de:

 Construir e trabalhar expressões numéricas, tendo em conta a prioridade das operações;

 Traduzir, por escrito e oralmente, os seus raciocínios.

Aprendizagens visadas

Com o seu trabalho nesta tarefa, os alunos devem ser capazes de:

 Dar significado ao sinal de , como igualdade numérica e símbolo relacional.  Compreender as noções de equação e solução de uma equação do 1.ºgrau com

uma incógnita.

 Identificar equações equivalentes.

 Aplicar e adaptar estratégias de resolução intuitiva de equações do 1.ºgrau com uma incógnita.

 Aplicar estratégias de resolução formal de equações do 1.ºgrau com uma incógni- ta.

Orientações para o professor Indicações gerais

A duração prevista para a exploração e discussão das três partes desta tarefa correspon- de a dois blocos de 90 minutos, ou seja 180 minutos (ver tabela seguinte):

A resolução de equações a partir das igualdades numéricas

Duração prevista

Tempo de exploração

Tempo para apresentação e validação de resultados

180 min 95 min 85 min

Parte 

90 min

25 min 20 min

Parte  25 min 20 min

Parte 

90 min

20 min 30 min

A tarefa A resolução de equações a partir das igualdades numéricas destina-se a iniciar o trabalho com equações. Trata-se de uma tarefa em que as duas primeiras partes podem ser propostas aos alunos numa aula de 90 minutos, em que aproximadamente 25 minutos estão pre- vistos para a exploração da Parte  e 25 minutos para a sua discussão. Em seguida e de modo análogo, estão previstos 25 minutos para a exploração da Parte  e os restantes 25 minutos da aula para a sua discussão. Os 90 minutos seguintes estão previstos para a resolução da Parte  da tarefa, em que os primeiros 20 minutos estão destinados à sua exploração e os 30 minutos seguintes à sua discussão. Os restantes 40 minutos estão previstos para a resolução conjunta (professor e alunos) da Parte , em que os primeiros 10 minutos estão destinados à introdução das regras formais, por parte do professor e os restantes 30 minutos estão destinados à resolução das equações propostas, com a orientação do professor – nas fases destinadas à exploração da tarefa, os alunos poderão trabalhar em pares ou em pequenos grupos.

Trata-se de uma tarefa de exploração, destinada à introdução do estudo das equações, que pode ser proposta quer a alunos com experiência em trabalho de natureza exploratória, quer a alunos não familiarizados com este tipo de trabalho. De um modo geral, as equações surgem, em contexto de aula, a partir de problemas concretos. Nesta tarefa propõe-se ao professor uma abordagem distinta. Pretendese numa primeira fase que, o aluno compreenda o conceito de equação e a sua „estrutura numérica‟ sem recorrer a qualquer situação contextualizada. A ideia- chave é a de que as equações são objectos matemáticos alicerçados em igualdades numéricas. Deste modo, nesta tarefa, pretende-se que os alunos comecem por construir igualdades numéri- cas verdadeiras, com operações em ambos os membros. Nestas igualdades, o sinal surge como um símbolo relacional/equivalência numérica. A introdução da expressão 9  0 tem como objectivo o aparecimento da igualdade 4  5  9  0. Neste tipo de igualdade numérica, com operações em ambos os membros, o zero actua como agente de transição para outras igualdades numéricas com operações nos dois lados do sinal de “=”.

Ao iniciar o trabalho com equações, o professor deve estar consciente que, para a maio- ria dos alunos, o símbolo “=” significa apenas “calcula”; ou seja, o símbolo “=” tem a única missão de “produzir um resultado”. Para estes alunos, com uma visão meramente operacional do símbolo de “=”, expressões do tipo 11 4  7 ou 3 11 2 7 não fazem sentido. Des- te modo, na primeira parte desta tarefa, é proposto um trabalho exploratório baseado em igual- dades numéricas, com operações em ambos os membros, com o intuito de promover nos alunos o desenvolvimento da concepção relacional do símbolo “=”. Em todas as igualdades formula- das, o sinal de “=” surge como símbolo relacional (ou seja, a percepção do sinal “=” como um equilíbrio entre os factores que se relacionam) e o professor deverá fazer referencia a este facto.

Nesta fase, o professor poderá também dar um exemplo onde o sinal de “=” surja como símbolo operatório (como por exemplo, 2  3  5).

Na segunda parte da tarefa, propõe-se a construção do conceito de equação, baseado na noção de identidade aritmética com um número escondido, acompanhada da noção de solução de uma equação - trata-se de uma primeira abordagem a estes conceitos, a partir de uma igual- dade numérica com um número “escondido”, que os alunos deverão descobrir de modo a obte- rem uma igualdade numérica verdadeira. Em seguida, pretende-se que os alunos escrevam as diferentes formas de “esconder” números nessa igualdade de modo a que: i) na mesma expres- são não possam estar escondidos números diferentes; e, ii) se um número tiver várias ocorrên- cias na igualdade, possa ser escondido, na mesma expressão, tantas vezes quantas as suas ocor- rências. Contudo, no decorrer da discussão e validação de resultados, o professor poderá: i) registar numa tabela as expressões construídas pelos alunos; ii) substituir por uma letra, o sím- bolo usado pelos alunos para “esconder” o número em cada situação; e iii) formalizar o conceito de equação. No decurso deste procedimento, o professor informará os alunos que: i) os objectos matemáticos que se obtiveram (depois da substituição dos valores escondidos por letras) cha- mam-se equações; ii) a letra que substitui o “número escondido” (número que transforma a equação numa igualdade verdadeira) chama-se incógnita; e, iii) o valor da incógnita designa-se por solução da equação.

Na resolução da questão 2, da segunda parte da tarefa, pretende-se que os alunos escre- vam as sete equações associadas à igualdade numérica 1 7  4  5 4  9 as respectivas soluções. No final, o professor poderá formalizar os conceitos de equação, membro, termo, solução e equações equivalentes. Uma equação é uma expressão como

5 x   x, ou 2x  4  3 ou 3 0 5 1 2 4 x x ,    

devendo os alunos compreender que uma equação envolve “uma igualdade entre duas expres- sões, em que alguns valores são desconhecidos”.  é necessário algum cuidado quando se diz que “uma equação é uma igualdade entre duas expressões, em que alguns valores são desconhe- cidos e que só é satisfeita para certos valores da incógnita”, uma vez que esta condição exclui as

identidades como x  x e as equações impossíveis, como 1 x  x e, muitas vezes, ao olharmos para uma expressão com o sinal de igual, não sabemos se se trata de uma identidade, de uma equação possível ou de uma equação impossível. Neste contexto, o professor é aconse-

1 7  p  5 4  9,

1 7 4  5 y  9 e

1 7  x  5 x  9

(que resultam da resolução da questão 2, da segunda parte da tarefa).

Após a resolução e discussão das duas primeiras partes da tarefa, pretende-se que os alunos adquiram uma efectiva compreensão do conceito de equação, o que lhes permitirá justifi- car que 3  2  5, 2x  4 e 3  5  8 não são equações. Pretende-se ainda que os alunos compreendam que, quando se escreve 3x  4  2x  6 (por exemplo), não se está a dizer que as expressões 3x 4 e 2x  6 são iguais, mas sim que existe um equilíbrio entre os dois membros que se comparam através do sinal de igual, ou seja, os dois membros têm o mesmo valor numérico para um determinado valor da incógnita, neste caso x 10. O professor deve promover nos alunos a compreensão de que o símbolo “ ”, que aparece numa equação, expri- me uma igualdade, não entre as expressões que figuram em cada um dos membros da equação (que, de um modo geral, são diferentes), mas no sentido em que, para um certo valor da incógni- ta, o número que aparece como resultado das operações realizadas na expressão do lado esquer- do é exactamente igual ao número que se obtém substituindo a incógnita por esse mesmo valor, na expressão do lado direito (equilíbrio numérico).

A questão 1 da Parte  da tarefa tem como objectivo levar os alunos à compreensão de que não se altera a veracidade de uma igualdade numérica: (i) quando se adiciona ou subtrai o mesmo número aos seus dois membros e (ii) quando se multiplica ou divide os seus dois mem- bros pelo mesmo número, excepto zero. Estas regras, que podemos designar por regras de

transformação de igualdades numéricas, poderão servir de base à introdução das regras formais

para a resolução de equações.

As equações da questão 2 da Parte  da tarefa poderão ser resolvidas recorrendo a métodos informais de resolução, recorrendo a técnicas de contagem (por exemplo x  3 12

os alunos contam 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 logo são necessárias nove unidades para ir do 3 ao 12) ou a factos numéricos (por exemplo, x  3 12então 12  3  9 _logo x  9).

As equações da Parte  da tarefa deverão ser resolvidas usando as regras formais para a resolução de equações, alicerçadas nas regras de transformação de igualdades numéricas (ver item seguinte Algumas explorações, Parte ). Nos exemplos iniciais, o professor poderá suge-

rir aos alunos a verificação do resultado, pretende-se com este procedimento contribuir para a compreensão do conceito de equação. Nas primeiras equações da Parte  não devem ser usados “procedimentos simplificados”, de modo a evitar erros que habitualmente são cometidos na resolução de equações, por exemplo: transpor termos de um membro para o outro sem lhes tro- car o sinal, ou escrever que a equação 3x  2 é equivalente à equação 2

3

x 

 . Entende-se

por “procedimentos simplificados” quando numa equação, um termo troca de membro então troca de sinal e quando numa equação a x b x b

a

   . Estes procedimentos apresentar-se- ão ao aluno como naturais, após a aplicação e algum treino de regras formais de resolução de equações. Importa também que, o professor deixe bem claro que numa equação não há membro da incógnitas – embora seja intuitiva e naturalmente aceite a escolha frequente do primeiro membro para isolar termos com incógnita.

Na fase inicial da resolução de equações, antes da redução à forma , é possível observarem-se incorrecções na transposição de termos de um membro para o outro, sem troca de sinal, ao desembaraçar de parênteses:

i) 2 (x9)3x  2x  9  3x...; ii) (x6 )  5x  3 x  6 5x  3  ....

Poderão também ocorrer dificuldades aquando da redução dos termos semelhantes. É frequente os alunos errarem na passagem a x b x b

a

   , onde os erros mais frequentes e a possível razão são:

Equação Dificuldades Possível explicação

5x  9 5 9 5 9 x 

Os alunos dividem o primeiro membro pelo coeficiente do termo em e dividem o segundo membro por ele próprio. Há, notoriamente, uma incompreensão sobre a utilidade e a importância da divisão dos dois membros de uma equação pelo mesmo número diferente de zero. Neste tipo de situações, parece haver uma memoriza- ção da regra, mas sem compreensão do seu verdadeiro significado.

Algumas explorações

Parte : Construção de igualdades numéricas verdadeiras

Na questão 1 da primeira parte da tarefa, as igualdades numéricas podem tornar-se ver- dadeiras através do preenchimento das quadrículas do seguinte modo:

5 + 7 = 12 29 – 4 = 25

Na questão 2 da primeira parte da tarefa, depois de descoberto o critério usado para estabelecer as ligações entre as expressões dadas (igual valor numérico), poderão resultar as igualdades 4  5  9, 4  5  9  0 e 4 5 10  6  5. Em seguida, poder-se-á calcular o valor numérico de cada uma das expressões dadas e escrevê-lo no espaço respectivo.

5x  9 9 5

x 



Erro: “5 trocou de membro, logo trocou de sinal”. Trata-se

de um erro clássico na resolução de equações e que revela uma concepção errada da regra da transposição (troca de

membrotroca de sinal). O número 5, de facto, terá de tro-

car de membro mas, neste caso, essa mudança resulta de uma “neutralização multiplicativa” do 5 e não de uma “neu- tralização aditiva”. Portanto, não deverá haver qualquer troca de sinal. O professor deve alertar os alunos para estas situações. A ideia errónea de que qualquer troca de mem- bro, implica uma troca de sinal, pode constituir um perigo para o uso de procedimentos simplificados nas primeiras resoluções. 9 6 x   9 6 9 9 x    

Neste caso, os alunos obtêm uma equação equivalente, mas não neutralizam o 6. 3x 18 3 3 3 1 8 x 

Para estes alunos, o coeficiente do termo em x surge sempre no numerador  a regra de dividir ambos os membros de uma equação pelo mesmo número, diferente de zero, não é aplicada à situação em causa.

3x  2 3

3

Das ligações estabelecidas poderão surgir as igualdades numéricas 12  6  6, 14  2 7, 3 4  6  2 9, 3 9  5  2  4 5 e 22  2  4 5. Em todas estas igualdades, o sinal de “=” surge como um símbolo relacional.

Parte   Construção de equações

Na questão 1 da segunda parte da tarefa, poder-se-á deduzir que: i) o número “escondi- do” é 5; ii) de acordo com as duas exigências da questão, há seis formas diferentes de “escon- der” números na igualdade 5 2  4  7  2:

A identidade 5  2  4  7  2 é a “igualdade numérica” que serve de “alicerce” a qualquer uma das equações escritas, isto é, 5 2  4  7  2 é a igualdade numérica que está associada a qualquer uma destas equações.

Na questão 2 da segunda parte da tarefa, poder-se-á concluir que há sete equações cuja igualdade numérica associada é 1 7  4  5 4  9:

5  2  4  7  2 (igualdade numérica verdadeira)

Número escondido Equação/Solução

5 2 2 2 4 7

.

Parte : Resolução de equações

Na questão 1, ao efectuar os cálculos pode constatar-se que, realizando a mesma opera- ção em ambos os membros da igualdade numérica, a relação de equivalência (equilíbrio numé- rico) mantém-se (por exemplo, 4 3  2  9  5 é o mesmo que



4 3  2



 6 



9  5



 6.

Porém, na questão 4, quando numa equação se pretende o valor de x, pretende-se encon- trar o valor de para o qual a igualdade é verdadeira, recorrendo às regras formais de resolução. Por exemplo, na equação 4x  1 13  3x, como x representa um número, então 4 x e 3 x

também representam números e, portanto, podemos aplicar-lhes operações aritméticas. Como se pretende que as expressões 4x 1 e 13  3 x tenham o mesmo valor numérico, as expressões



4x 1



 3x e



1 3  3x



 3x também terão o mesmo valor numérico (assim, neutrali-

za-se o termo 3 x no 2.º membro). Deste modo, pode escrever-se



4x 1



 3x 



13  3x



 3x, isto é, 7x 113. Adicionando agora uma unidade a 7x 1 e a 13 escreve-se 7x  1 113 1 e, portanto, 7x 14 (neutralizou-se 1 no 1.º membro da equação). Por fim, dividindo 7 x e 14 por 7, tem-se que 7 1 4

7 7

x

 . Este procedi- mento permite neutralizar o coeficiente da incógnita e determinar o seu valor, x  2.

Explorações de alunos

Compreensão do sinal de igual

Na resolução da primeira questão da tarefa, a correcta utilização do sinal de igual pode evidenciar a compreensão do seu significado relacional. As seguintes resolu- ções são exemplos dessa compreensão:

Sequências de igualdades do tipo 7  3 10  2 12 evidenciam a percepção operacional que a maioria dos alunos tem relativamente ao sinal de igual, tendem a vê-lo como indicador do resultado de um conjunto de operações escritas à sua esquerda e perdem de vista o que ele significa em relação aos vários membros da expressão em causa. Situações como esta proporcionam uma excelente oportunidade para o professor discutir com os alunos a perspectiva relacional do sinal de igual e a sua correcta utilização, enfatizando a ideia da leitura de uma igualdade nos dois sentidos (da esquerda para a direita e da direita para a esquerda).

Na questão seguinte, os alunos podem estabelecer igualdades numéricas verdadeiras como as seguintes:

De facto, os alunos podem recorrer a raciocínios aritméticos que os conduzam à escolha das ligações efectuadas e ao estabelecimento de um critério de ligação e a justificação de tais raciocínios pode ser correctamente verbalizada pelos alunos, do seguinte modo:

Compreensão do conceito de equação

Na segunda parte da tarefa, a obtenção de uma equação e respectiva solução, pode decorrer da representação da incógnita por um espaço vazio, que esconde um valor, e que poste-

riormente é substituído pela letra que representará a incógnita, com valor igual ao número escondido. A equação que a seguir se apresenta foi obtida substituindo na igualdade numérica o número 1 pela letra , sem efectuar as operações 7  4 e 5  4  9.

Na resolução desta questão, os alunos revelam ter compreendido o conceito de equação ao observarem que o número 4 está em ambos os membros da igualdade numérica e, ao substi- tuírem esse valor em ambos os membros por uma letra específica. No exemplo que se apresenta a seguir esse valor foi substituído pela letra .

Porém, há alunos que revelam dificuldades neste procedimento (construção de equa- ções), como por exemplo alunos que apresentam a equação x  7 4  5  x  9, revelando não terem compreendido de que a mesma letra não pode tomar valores diferentes na mesma equação.

Resolução de equações usando métodos informais

Na determinação do valor da letra em equações do tipo 2  3a 17, os alunos podem recorrer ao cálculo mental e posteriormente, dar a resposta à pergunta através da substituição da incógnita por esse valor determinado e fazendo os cálculos respectivos.

É natural que haja alunos que recorram às operações inversas das operações que figu- ram no primeiro membro para determinar o valor da letra em cada situação.

Na resolução de equações através de métodos de resolução informais, os alunos podem também utilizar estratégias numéricas para a determinação do valor da incógnita e posterior- mente substituir esse valor e verificar que se trata de uma igualdade numérica verdadeira.

De facto, os alunos revelam ter compreendido o conceito de solução de uma equação quando substituem correctamente o valor da incógnita e verificam que, procedendo desse modo, obtêm uma igualdade numérica verdadeira.

Resolução de equações usando métodos formais

Na fase de introdução das regras práticas de resolução de uma equação, o professor pode pedir aos alunos que expliquem os procedimentos uns dos outros, promovendo uma refle- xão acerca do que está, ou não, correcto. No exemplo que a seguir se apresenta, o número 3 troca de membro mas, essa mudança resulta de uma “neutralização multiplicativa” do 3, e não aditiva. Portanto, neste caso, não poderá haver qualquer troca de sinal. A resolução de questões, análogas às do enunciado da Parte , como a que a seguir se apresenta, promove nos alunos a compreensão das regras de resolução de uma equação e põe em destaque o perigo dos procedi- mentos simplificados, nomeadamente nas primeiras resoluções.

A compreensão das regras formais de resolução de uma equação conduz os alunos à concepção estrutural da mesma, pois conseguem ver a equação como um todo, analisando-a e resolvendo-a de modo individual e eficaz, revelando um bom domínio das técnicas de neutrali- zação aditiva e multiplicativa (mesmo sem recurso a procedimentos simplificados) e isolando a incógnita no membro mais conveniente (no caso que a seguir se apresenta, o segundo).

A noção de equilíbrio é fundamental na resolução de equações. Este equilíbrio é tradu- zido pelo sinal de igual. O uso da técnica de realizar a mesma operação em ambos os membros

da equação permite conservar esse equilíbrio e tem como objectivo neutralizar: i) termos inde-

pendentes e/ou termos com incógnita (recorrendo à adição/subtracção); ou, ii) coeficientes de termos com incógnita (recorrendo à divisão/multiplicação). Estes procedimentos, alicerçados nas regras de transformação de igualdades numéricas promovem a compreensão das regras formais de resolução de uma equação.

As idades dos três irmãos

Versão1: O Martim, o Luís e a Sofia são irmãos. O Luís tem mais 2 anos que a Sofia e

menos dois anos que o Martim. [Observação: Considera a idade em anos].

a) Comenta as seguintes afirmações: “A soma das idades do Luís e da Sofia é sempre um número par”.

b) Comenta a seguinte afirmação: “A soma das idades dos três irmãos é igual ao triplo da idade do Luís”.

c) Suponhamos que o Martim tem oito anos. Daqui a quantos anos é que a soma das idades do Luís e da Sofia é o quádruplo da idade actual do Martim.

No documento SEQUÊNCIAS E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS APRENDIZAGEM DA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES A PARTIR DE IGUALDADES NUMÉRICAS (páginas 56-71)